Хавтгайн тэгшитгэл. Онгоцны тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?
Онгоцны харилцан зохион байгуулалт. Даалгаврууд

Орон зайн геометр нь "хавтгай" геометрээс илүү төвөгтэй биш бөгөөд бидний сансарт хийсэн нислэгүүд энэ нийтлэлээс эхэлдэг. Сэдвийг эзэмшихийн тулд та сайн ойлголттой байх хэрэгтэй векторууд, үүнээс гадна онгоцны геометрийг мэддэг байхыг зөвлөж байна - ижил төстэй байдал, олон аналоги байх тул мэдээлэл илүү сайн шингээх болно. Миний цуврал хичээлээр 2D ертөнцийг нийтлэлээр нээж байна Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл. Харин одоо Batman хавтгай дэлгэцээ орхиж, Байконурын сансрын буудлаас хөөрч байна.

Зураг, тэмдгүүдээс эхэлье. Схемийн хувьд онгоцыг параллелограмм хэлбэрээр зурж болох бөгөөд энэ нь орон зайн сэтгэгдэл төрүүлдэг.

Онгоц бол хязгааргүй, гэхдээ бидэнд зөвхөн нэг хэсгийг нь дүрслэх боломж бий. Практикт параллелограммаас гадна зууван эсвэл бүр үүл зурдаг. Техникийн шалтгааны улмаас онгоцыг яг ийм байдлаар, яг энэ байрлалаар дүрслэх нь надад илүү тохиромжтой. Практик жишээн дээр авч үзэх бодит онгоцуудыг ямар ч байдлаар байрлуулж болно - зургийг гартаа аваад орон зайд эргүүлж, онгоцонд ямар ч налуу, ямар ч өнцгийг өгнө.

Тэмдэглэлүүд: онгоцыг андуурахгүйн тулд ихэвчлэн жижиг Грек үсгээр тэмдэглэдэг. хавтгай дээрх шулуун шугамэсвэл хамт орон зай дахь шулуун шугам. Би үсэг хэрэглэж заншсан. Зураг дээр энэ нь "сигма" гэсэн үсэг бөгөөд цоорхой биш юм. Хэдийгээр нүхтэй онгоц үнэхээр инээдтэй юм.

Зарим тохиолдолд онгоцыг тэмдэглэхийн тулд доод үсэгтэй ижил Грек үсгийг ашиглах нь тохиромжтой байдаг, жишээлбэл, .

Хавтгай нь нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван өөр цэгээр өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог нь ойлгомжтой. Тиймээс онгоцны гурван үсэгтэй тэмдэглэгээ нь нэлээд түгээмэл байдаг - жишээлбэл, тэдгээрт хамаарах цэгүүд гэх мэт. Ихэнхдээ үсгүүдийг хаалтанд оруулдаг: , онгоцыг өөр геометрийн дүрстэй андуурахгүйн тулд.

Туршлагатай уншигчдад би өгөх болно хурдан нэвтрэх цэс:

• Цэг ба хоёр вектор ашиглан хавтгайн тэгшитгэлийг хэрхэн үүсгэх вэ?
• Цэг ба хэвийн векторыг ашиглан хавтгайн тэгшитгэлийг хэрхэн үүсгэх вэ?

мөн бид удаан хүлээхгүй:

Ерөнхий хавтгай тэгшитгэл

Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл нь коэффициентүүд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш хэлбэртэй байна.

Хэд хэдэн онолын тооцоо, практик асуудлууд нь ердийн ортонормаль суурь болон орон зайн аффин суурь (хэрэв тос нь тос бол хичээл рүүгээ буцна уу) хоёуланд нь хүчинтэй. Векторуудын шугаман (бус) хамаарал. Векторуудын үндэс). Хялбар болгохын тулд бид бүх үйл явдлууд ортонормаль суурь ба декартын тэгш өнцөгт координатын системд тохиолддог гэж үзэх болно.

Одоо орон зайн төсөөллөө бага зэрэг дасгал хийцгээе. Хэрэв таных муу байвал зүгээр, одоо бид үүнийг бага зэрэг хөгжүүлэх болно. Мэдрэл дээр тоглоход хүртэл бэлтгэл хэрэгтэй.

Хамгийн ерөнхий тохиолдолд, тоонууд нь 0-тэй тэнцүү биш үед онгоц нь бүх гурван координатын тэнхлэгийг огтолдог. Жишээлбэл, иймэрхүү:

Онгоц бүх чиглэлд хязгааргүй үргэлжилдэг бөгөөд бид зөвхөн нэг хэсгийг л дүрслэх боломжтой гэдгийг би дахин давтан хэлье.

Хавтгайнуудын хамгийн энгийн тэгшитгэлийг авч үзье.

Энэ тэгшитгэлийг хэрхэн ойлгох вэ? Бодоод үз дээ: "X" ба "Y" утгуудын хувьд "Z" нь ҮРГЭЛЖ тэгтэй тэнцүү байна. Энэ бол "уугуул" координатын хавтгайн тэгшитгэл юм. Үнэн хэрэгтээ, тэгшитгэлийг албан ёсоор дараах байдлаар дахин бичиж болно. , "x" ба "y" ямар утгыг авах нь бидэнд хамаагүй гэдгийг та эндээс тодорхой харж болно, "z" нь тэгтэй тэнцүү байх нь чухал юм.

Үүний нэгэн адил:
– координатын хавтгайн тэгшитгэл;
– координатын хавтгайн тэгшитгэл.

Асуудлыг бага зэрэг хүндрүүлье, хавтгайг авч үзье (энд болон догол мөрөнд бид тоон коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү биш гэж үздэг). Тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр дахин бичье. Үүнийг яаж ойлгох вэ? "X" нь "y" ба "z"-ийн аль ч утгын хувьд тодорхой тоотой тэнцүү байна. Энэ хавтгай нь координатын хавтгайтай параллель байна. Жишээлбэл, хавтгай нь хавтгайтай параллель бөгөөд нэг цэгээр дамжин өнгөрдөг.

Үүний нэгэн адил:
– координатын хавтгайтай параллель байх хавтгайн тэгшитгэл;
– координатын хавтгайтай параллель байх хавтгайн тэгшитгэл.

Гишүүдийг нэмье: . Тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно: , өөрөөр хэлбэл "zet" нь юу ч байж болно. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? "X" ба "Y" нь хавтгайд тодорхой шулуун шугам татдаг хамаарлаар холбогддог (та үүнийг мэдэх болно. хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэл?). “z” ямар ч байж болох тул энэ шулуун шугамыг дурын өндөрт “хуулбарласан”. Тиймээс тэгшитгэл нь координатын тэнхлэгтэй параллель хавтгайг тодорхойлдог

Үүний нэгэн адил:
– координатын тэнхлэгтэй параллель байх хавтгайн тэгшитгэл;
– координатын тэнхлэгтэй параллель байх хавтгайн тэгшитгэл.

Хэрэв чөлөөт нөхцлүүд тэг байвал онгоцууд харгалзах тэнхлэгүүдээр шууд дамжих болно. Жишээлбэл, сонгодог “шууд пропорциональ”: . Хавтгай дээр шулуун шугам зураад, үүнийг оюун ухаанаар дээш доош үржүүл ("Z" нь ямар ч байсан). Дүгнэлт: тэгшитгэлээр тодорхойлсон хавтгай нь координатын тэнхлэгээр дамжин өнгөрдөг.

Бид тоймыг дуусгаж байна: онгоцны тэгшитгэл гарал үүслээр дамждаг. За, цэг нь энэ тэгшитгэлийг хангаж байгаа нь тодорхой харагдаж байна.

Эцэст нь зурагт үзүүлсэн тохиолдол: - онгоц нь бүх координатын тэнхлэгт ээлтэй, харин найман октантын аль нэгэнд байрлах гурвалжинг "тасалж" байдаг.

Орон зай дахь шугаман тэгш бус байдал

Мэдээллийг ойлгохын тулд та сайн судлах хэрэгтэй хавтгай дээрх шугаман тэгш бус байдал, учир нь олон зүйл ижил төстэй байх болно. Материал нь практикт нэлээд ховор байдаг тул догол мөр нь хэд хэдэн жишээ бүхий товч тоймтой байх болно.

Хэрэв тэгшитгэл нь хавтгайг тодорхойлдог бол тэгш бус байдал
асуу хагас зай. Хэрэв тэгш бус байдал нь хатуу биш бол (жагсаалтын сүүлийн хоёр нь) тэгш бус байдлын шийдэлд хагас орон зайгаас гадна хавтгай өөрөө орно.

Жишээ 5

Хавтгайн нэгж нормаль векторыг ол .

Шийдэл: Нэгж вектор нь урт нь нэг вектор юм. Энэ векторыг -ээр тэмдэглэе. Векторууд хоорондоо уялдаатай байгаа нь тодорхой байна.

Эхлээд хавтгайн тэгшитгэлээс хэвийн векторыг хасна: .

Нэгж векторыг хэрхэн олох вэ? Нэгж векторыг олохын тулд танд хэрэгтэй бүрвекторын координатыг векторын уртаар хуваана.

Норматив векторыг дахин бичээд уртыг нь олъё:

Дээр дурдсаны дагуу:

Хариулах:

Баталгаажуулах: баталгаажуулахад юу шаардлагатай байсан.

Хичээлийн сүүлийн догол мөрийг сайтар судалсан уншигчид үүнийг анзаарсан байх нэгж векторын координатууд нь векторын чиглэлийн косинусуудтай яг ижил байна:

Одоо байгаа асуудлаас завсарлага авъя: танд дурын тэг биш вектор өгөгдсөн үед, мөн нөхцөлийн дагуу түүний чиглэлийн косинусыг олох шаардлагатай (хичээлийн сүүлчийн бодлогуудыг үзнэ үү Векторуудын цэгийн үржвэр), тэгвэл та үнэн хэрэгтээ үүнтэй коллинеар нэгж векторыг олно. Үнэндээ нэг саванд хоёр даалгавар.

Нэгж хэвийн векторыг олох хэрэгцээ нь математик шинжилгээний зарим асуудалд үүсдэг.

Бид ердийн векторыг хэрхэн яаж загасчлахыг олж мэдсэн, одоо эсрэг асуултанд хариулъя:

Цэг ба хэвийн векторыг ашиглан хавтгайн тэгшитгэлийг хэрхэн үүсгэх вэ?

Ердийн вектор ба цэгийн энэхүү хатуу бүтэц нь сумны самбарт сайн мэддэг. Гараа урагш сунгаж, сансар огторгуйн дурын цэгийг, жишээлбэл, хажуугийн самбар дээрх жижиг муурыг оюун ухаанаараа сонгоорой. Мэдээжийн хэрэг, энэ цэгээр дамжуулан та гартаа перпендикуляр нэг хавтгай зурж болно.

Векторт перпендикуляр цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг олохын тулд өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрч буй хавтгайд дүн шинжилгээ хийцгээе.

Сансар огторгуйд бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан гурван координатын тэнхлэг байцгаая - Үхэр, ӨөТэгээд Оз. Цаасан хуудсыг тэгш байлгахын тулд барина. Онгоц нь хуудас өөрөө, бүх чиглэлд түүний үргэлжлэл байх болно.

Болъё Порон зай дахь дурын хавтгай. Түүнд перпендикуляр вектор бүрийг нэрлэдэг хэвийн вектор энэ онгоц руу. Мэдээжийн хэрэг, бид тэг биш векторын тухай ярьж байна.

Хэрэв онгоцны аль нэг цэг мэдэгдэж байвал Пба түүнд ямар нэг хэвийн вектор байвал энэ хоёр нөхцөлөөр огторгуй дахь хавтгай бүрэн тодорхойлогдоно(өгөгдсөн цэгээр дамжуулан та өгөгдсөн векторт перпендикуляр нэг хавтгайг зурж болно). Онгоцны ерөнхий тэгшитгэл нь:

Тэгэхээр, хавтгайн тэгшитгэлийг тодорхойлох нөхцөлүүд нь. Өөрийгөө авахын тулд хавтгай тэгшитгэл, дээрх маягттай бол онгоцонд сууна Пдур зоргоороо цэг М хувьсах координаттай x, y, z. Энэ цэг нь зөвхөн онгоцонд хамаарна вектор векторт перпендикуляр(Зураг 1). Үүний тулд векторуудын перпендикуляр байдлын нөхцлийн дагуу эдгээр векторуудын скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм.

Вектор нь нөхцөлөөр тодорхойлогддог. Бид векторын координатыг томъёогоор олно :

.

Одоо векторуудын скаляр үржвэрийн томъёог ашиглана уу , бид скаляр үржвэрийг координат хэлбэрээр илэрхийлнэ.

Гол нь М(x; у; z)Хавтгай дээр дур мэдэн сонгогдвол хамгийн сүүлийн тэгшитгэл нь хавтгай дээр байрлах дурын цэгийн координатаар хангагдана. П. Нэг цэгийн хувьд Н, өгөгдсөн онгоцонд хэвтэхгүй, i.e. тэгш байдал (1) зөрчигдсөн.

Жишээ 1.Векторт перпендикуляр цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл. (1) томъёог ашиглаад дахин харцгаая:

Энэ томъёонд тоонууд А , БТэгээд Cвекторын координат ба тоо x0 , y0 Тэгээд z0 - цэгийн координат.

Тооцоолол нь маш энгийн: бид эдгээр тоог томъёонд орлуулж, авна

Бид үржүүлэх шаардлагатай бүх зүйлийг үржүүлж, зөвхөн тоонуудыг (үсэггүй) нэмнэ. Үр дүн:

.

Энэ жишээн дээрх хавтгайд шаардлагатай тэгшитгэлийг хувьсах координатын хувьд нэгдүгээр зэргийн ерөнхий тэгшитгэлээр илэрхийлсэн байна. x, y, zонгоцны дурын цэг.

Тиймээс, хэлбэрийн тэгшитгэл

дуудсан ерөнхий хавтгай тэгшитгэл .

Жишээ 2.Тэгшитгэлээр өгөгдсөн хавтгайг тэгш өнцөгт декартын координатын системд байгуул .

Шийдэл. Хавтгайг бүтээхийн тулд нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгийг, жишээлбэл, онгоцны координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг мэдэх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Эдгээр цэгүүдийг хэрхэн олох вэ? Тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олохын тулд Оз, та асуудлын мэдэгдэлд өгөгдсөн тэгшитгэлийн X ба Y-ийн тэгийг орлуулах хэрэгтэй. x = y= 0. Тиймээс бид авдаг z= 6. Тиймээс өгөгдсөн хавтгай тэнхлэгийг огтолно Озцэг дээр А(0; 0; 6) .

Үүнтэй адилаар бид онгоцны тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олдог Өө. At x = z= 0 бид авна y= −3, өөрөөр хэлбэл цэг Б(0; −3; 0) .

Эцэст нь бид онгоцныхоо тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олдог Үхэр. At y = z= 0 бид авна x= 2, өөрөөр хэлбэл цэг C(2; 0; 0) . Бидний шийдэлд олж авсан гурван цэг дээр үндэслэн А(0; 0; 6) , Б(0; −3; 0) ба C(2; 0; 0) өгөгдсөн хавтгайг байгуул.

Одоо авч үзье ерөнхий хавтгай тэгшитгэлийн онцгой тохиолдлууд. Эдгээр нь тэгшитгэлийн тодорхой коэффициентүүд (2) тэг болох тохиолдол юм.

1. Хэзээ D= 0 тэгшитгэл цэгийн координатаас хойш эхийг дайран өнгөрөх хавтгайг тодорхойлно 0 (0; 0; 0) энэ тэгшитгэлийг хангана.

2. Хэзээ A= 0 тэгшитгэл тэнхлэгтэй параллель хавтгайг тодорхойлно Үхэр, учир нь энэ хавтгайн хэвийн вектор тэнхлэгт перпендикуляр байна Үхэр(тэнхлэг дээрх түүний проекц Үхэртэгтэй тэнцүү). Үүний нэгэн адил, хэзээ B= 0 онгоц тэнхлэгтэй параллель Өө, Тэгээд хэзээ C= 0 онгоц тэнхлэгтэй параллель Оз.

3. Хэзээ A=D= 0 тэгшитгэл нь тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайг тодорхойлно Үхэртэнхлэгтэй параллель байдаг тул Үхэр (A=D= 0). Үүнтэй адилаар онгоц тэнхлэгээр дамжин өнгөрдөг Өө, мөн тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх онгоц Оз.

4. Хэзээ A=B= 0 тэгшитгэл нь координатын хавтгайтай параллель хавтгайг тодорхойлно xOy, тэнхлэгүүдтэй параллель байдаг тул Үхэр (А= 0) ба Өө (Б= 0). Үүний нэгэн адил, онгоц нь хавтгайтай параллель байна yOz, мөн онгоц бол онгоц юм xOz.

5. Хэзээ A=B=D= 0 тэгшитгэл (эсвэл z = 0) координатын хавтгайг тодорхойлно xOy, учир нь энэ нь хавтгайтай параллель байна xOy (A=B= 0) ба гарал үүслээр дамждаг ( D= 0). Үүний нэгэн адил, Eq. у=Орон зай дахь 0 нь координатын хавтгайг тодорхойлдог xOz, ба тэгшитгэл x = 0 - координатын хавтгай yOz.

Жишээ 3.Хавтгайн тэгшитгэлийг үүсгэ П, тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх Өөба хугацаа.

Шийдэл. Тиймээс онгоц тэнхлэгээр дамжин өнгөрдөг Өө. Тиймээс, түүний тэгшитгэлд y= 0 бөгөөд энэ тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна. Коэффициентийг тодорхойлох АТэгээд Cцэг нь онгоцонд харьяалагддаг давуу талыг ашиглая П .

Тиймээс түүний координатуудын дунд бидний аль хэдийн гаргаж авсан хавтгай тэгшитгэлд орлуулж болох зүйлүүд байдаг (). Цэгийн координатыг дахин харцгаая.

М0 (2; −4; 3) .

Тэдний дунд x = 2 , z= 3 . Бид тэдгээрийг ерөнхий тэгшитгэлд орлуулж, тодорхой тохиолдлын тэгшитгэлийг авна.

2А + 3C = 0 .

2-ыг орхи Атэгшитгэлийн зүүн талд 3-ыг хөдөлгө Cбаруун талд, бид авдаг

А = −1,5C .

Олдсон утгыг орлуулах Атэгшитгэлд оруулбал бид олж авна

эсвэл .

Энэ бол жишээнүүдийн нөхцөлд шаардлагатай тэгшитгэл юм.

Хавтгай тэгшитгэлийн бодлогыг өөрөө шийдэж, дараа нь шийдлийг хар

Жишээ 4.Хэрэв тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол координатын тэнхлэгүүд эсвэл координатын хавтгайн хувьд хавтгайг (эсвэл нэгээс олон бол хавтгай) тодорхойл.

Туршилтын явцад тохиолддог ердийн асуудлуудын шийдлийг "Хавтгай дээрх асуудлууд: параллелизм, перпендикуляр байдал, нэг цэг дээрх гурван хавтгайн огтлолцол" сурах бичигт оруулсан болно.

Гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл

Өмнө дурьдсанчлан, онгоц барихад шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь нэг цэг ба хэвийн вектороос гадна нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэг юм.

Нэг шулуун дээр хэвтэхгүй, гурван өөр цэг өгье. Заасан гурван цэг нь нэг шулуун дээр оршдоггүй тул векторууд нь хоорондоо уялдаа холбоогүй тул хавтгайн аль ч цэг нь цэгүүдтэй нэг хавтгайд оршдог бөгөөд хэрэв векторууд , ба coplanar, i.e. дараа нь, зөвхөн хэзээ Эдгээр векторуудын холимог бүтээгдэхүүнтэгтэй тэнцүү.

Холимог бүтээгдэхүүний илэрхийлэлийг координатаар ашигласнаар бид хавтгайн тэгшитгэлийг олж авна

(3)

Тодорхойлогчийг илрүүлсний дараа энэ тэгшитгэл нь (2) хэлбэрийн тэгшитгэл болно, өөрөөр хэлбэл. хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл.

Жишээ 5.Нэг шулуун дээр оршдоггүй өгөгдсөн гурван цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бич.

ба шугамын ерөнхий тэгшитгэлийн онцгой тохиолдлыг тодорхойл.

Шийдэл. (3) томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна.

Ердийн хавтгай тэгшитгэл. Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зай

Хавтгайн хэвийн тэгшитгэл нь хэлбэрээр бичигдсэн тэгшитгэл юм

Энэ нийтлэл нь өгөгдсөн шугамд перпендикуляр гурван хэмжээст орон зайд өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайд тэгшитгэлийг хэрхэн үүсгэх талаар санааг өгдөг. Өгөгдсөн алгоритмыг ердийн асуудлыг шийдэх жишээн дээр шинжилье.

Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр огторгуйн өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг олох

Түүнд гурван хэмжээст орон зай ба тэгш өнцөгт координатын систем O x y z өгье. М 1 цэг (x 1, y 1, z 1), a шулуун ба M 1 цэгийг дайран өнгөрөх α хавтгайг а шулуунд перпендикуляр өгөв. α хавтгайн тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Энэ асуудлыг шийдэж эхлэхээсээ өмнө 10-11-р ангийн сургалтын хөтөлбөрт дурдсан геометрийн теоремыг санацгаая.

Тодорхойлолт 1

Гурван хэмжээст орон зайн өгөгдсөн цэгээр өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр нэг хавтгай өнгөрдөг.

Одоо өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр, эхлэл цэгийг дайран өнгөрөх энэ ганц хавтгайн тэгшитгэлийг хэрхэн олохыг харцгаая.

Хэрэв энэ хавтгайд хамаарах цэгийн координат, мөн хавтгайн хэвийн векторын координат тодорхой байвал онгоцны ерөнхий тэгшитгэлийг бичих боломжтой.

Бодлогын нөхцөлүүд нь α хавтгай өнгөрөх M 1 цэгийн x 1, y 1, z 1 координатуудыг бидэнд өгнө. Хэрэв бид α хавтгайн хэвийн векторын координатыг тодорхойлох юм бол шаардлагатай тэгшитгэлийг бичих боломжтой болно.

α хавтгайд перпендикуляр а шулуун дээр оршдог α хавтгайн хэвийн вектор нь α шулууны дурын чиглэлийн вектор байх болно. Ийнхүү α хавтгайн хэвийн векторын координатыг олох бодлого а шулууны чиглүүлэх векторын координатыг тодорхойлох бодлого болж хувирав.

Шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг тодорхойлохдоо янз бүрийн аргуудыг ашиглан хийж болно: энэ нь эхний нөхцөлд шулуун шугамыг зааж өгөх сонголтоос хамаарна. Жишээ нь, хэрэв асуудлын өгүүлбэр дэх шулуун а нь хэлбэрийн каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

эсвэл хэлбэрийн параметрийн тэгшитгэлүүд:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

тэгвэл шулуун шугамын чиглэлийн вектор нь a x, a y, a z координатуудтай болно. А шулуун шугамыг M 2 (x 2, y 2, z 2) ба M 3 (x 3, y 3, z 3) гэсэн хоёр цэгээр дүрсэлсэн тохиолдолд чиглэлийн векторын координатыг дараах байдлаар тодорхойлно. x3 – x2, y3 – y2 , z3 – z2).

Тодорхойлолт 2

Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг олох алгоритм:

Бид a шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг тодорхойлно. a → = (a x, a y, a z) ;

Бид α хавтгайн хэвийн векторын координатыг a шулууны чиглүүлэх векторын координат гэж тодорхойлно.

n → = (A , B , C) , энд A = a x , B = a y , C = a z;

M 1 (x 1, y 1, z 1) цэгийг дайран өнгөрөх, хэвийн вектортой хавтгайн тэгшитгэлийг бичнэ. n → = (A, B, C) A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 хэлбэрээр. Энэ нь огторгуйн өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх, өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр байх хавтгайд шаардлагатай тэгшитгэл байх болно.

Үүний үр дүнд хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл нь: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 нь сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл эсвэл хавтгайн хэвийн тэгшитгэлийг авах боломжтой болгодог.

Дээр олж авсан алгоритмыг ашиглан хэд хэдэн жишээг шийдье.

Жишээ 1

M 1 (3, - 4, 5) цэг өгөгдсөн бөгөөд түүгээр хавтгай өнгөрөх ба энэ хавтгай нь координатын шугам O z-тэй перпендикуляр байна.

Шийдэл

координатын шулууны чиглэлийн вектор O z нь координатын вектор k ⇀ = (0, 0, 1) болно. Тиймээс онгоцны хэвийн вектор нь координаттай (0, 0, 1) байна. Өгөгдсөн M 1 (3, - 4, 5) цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бичье, түүний хэвийн вектор нь координат (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Хариулт: z – 5 = 0 .

Энэ асуудлыг шийдэх өөр аргыг авч үзье:

Жишээ 2

O z шулуунд перпендикуляр байгаа хавтгайг C z + D = 0, C ≠ 0 хэлбэрийн бүрэн бус ерөнхий хавтгай тэгшитгэлээр өгнө. C ба D утгыг тодорхойлно уу: онгоц өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх утгууд. Энэ цэгийн координатыг C z + D = 0 тэгшитгэлд орлуулбал: C · 5 + D = 0 болно. Тэдгээр. тоонууд, C ба D нь хамаарлаар хамааралтай - D C = 5. C = 1-ийг авснаар бид D = - 5 болно.

Эдгээр утгыг C z + D = 0 тэгшитгэлд орлуулж, O z шулуун шугамд перпендикуляр, M 1 (3, - 4, 5) цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн шаардлагатай тэгшитгэлийг авъя.

Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно: z – 5 = 0.

Хариулт: z – 5 = 0 .

Жишээ 3

Эхийг дайран өнгөрөх, x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2 шулуунтай перпендикуляр хавтгайн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Асуудлын нөхцөл дээр үндэслэн өгөгдсөн шулуун шугамын чиглэлийн векторыг өгөгдсөн хавтгайн хэвийн вектор n → болгон авч болно гэж үзэж болно. Тиймээс: n → = (- 3 , - 7 , 2) . О (0, 0, 0) цэгийг дайран өнгөрөх, n → = (- 3, - 7, 2) хэвийн вектортой хавтгайн тэгшитгэлийг бичье.

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр координатын эхийг дайран өнгөрөх онгоцны шаардлагатай тэгшитгэлийг бид олж авсан.

Хариулт:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Жишээ 4

Тэгш өнцөгт координатын систем O x y z нь гурван хэмжээст орон зайд өгөгдсөн бөгөөд дотор нь A (2, - 1, - 2) ба B (3, - 2, 4) гэсэн хоёр цэг байдаг. α хавтгай нь A B шулуунд перпендикуляр А цэгийг дайран өнгөрдөг. Сегментүүдэд α хавтгайд тэгшитгэл үүсгэх шаардлагатай.

Шийдэл

α хавтгай нь A B шулуунтай перпендикуляр байвал A B → вектор нь α хавтгайн хэвийн вектор болно. Энэ векторын координатыг B (3, - 2, 4) ба А (2, - 1, - 2) цэгүүдийн харгалзах координатын зөрүүгээр тодорхойлно:

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Одоо онгоцны шаардлагатай тэгшитгэлийг сегментээр байгуулъя:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Хариулт:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх, өгөгдсөн хоёр хавтгайд перпендикуляр хавтгайн тэгшитгэлийг бичих шаардлага байдаг асуудлууд байдгийг бас тэмдэглэх нь зүйтэй. Ерөнхийдөө энэ асуудлын шийдэл нь өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг байгуулах явдал юм. огтлолцсон хоёр хавтгай шулуун шугамыг тодорхойлно.

Жишээ 5

Тэгш өнцөгт координатын систем O x y z өгөгдсөн бөгөөд дотор нь M 1 (2, 0, - 5) цэг байна. a шулууны дагуу огтлолцох 3 x + 2 y + 1 = 0 ба x + 2 z – 1 = 0 хоёр хавтгайн тэгшитгэлийг мөн өгөв. А шулуунд перпендикуляр М 1 цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайд тэгшитгэл үүсгэх шаардлагатай.

Шийдэл

Шулуун шугамын чиглүүлэх векторын координатыг тодорхойлъё a. Энэ нь n → (1, 0, 2) хавтгайн хэвийн вектор n 1 → (3, 2, 0) ба x + 2 z -ийн хэвийн вектор 3 x + 2 y + 1 = 0 хоёуланд нь перпендикуляр байна. 1 = 0 хавтгай.

Дараа нь чиглүүлэх вектор α → a шугамын хувьд бид n 1 → ба n 2 → векторуудын вектор үржвэрийг авна.

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Ийнхүү n → = (4, - 6, - 2) вектор нь а шулуунд перпендикуляр хавтгайн хэвийн вектор болно. Онгоцны шаардлагатай тэгшитгэлийг бичье.

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 у - z - 9 = 0

Хариулт: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Евклидийн геометрийн шулуун шугамын шинж чанарууд.

Ямар ч цэгээр хязгааргүй тооны шулуун шугам зурж болно.

Дурын хоёр давхцаагүй цэгээр нэг шулуун шугам зурж болно.

Хавтгайн хоёр зөрж буй шугам нь нэг цэг дээр огтлолцдог эсвэл огтлолцдог

зэрэгцээ (өмнөхөөс хойш).

Гурван хэмжээст орон зайд хоёр шугамын харьцангуй байрлалын гурван сонголт байдаг.

• шугамууд огтлолцдог;

• шугамууд зэрэгцээ байна;

• шулуун шугамууд огтлолцдог.

Чигээрээ шугам— нэгдүгээр эрэмбийн алгебрийн муруй: декартын координатын систем дэх шулуун шугам

хавтгайд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн ( шугаман тэгшитгэл).

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно

Ax + Wu + C = 0,

ба тогтмол А, Бнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг ерөнхий

шулуун шугамын тэгшитгэл.Тогтмолуудын утгуудаас хамаарна А, БТэгээд ХАМТДараах онцгой тохиолдлууд боломжтой.

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- шулуун шугам эхийг дайран өнгөрдөг

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам OU

. B = C = 0, A ≠0- шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна OU

. A = C = 0, B ≠0- шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг аливаа өгөгдсөн байдлаас хамааран янз бүрийн хэлбэрээр үзүүлж болно

анхны нөхцөл.

Нэг цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэл ба хэвийн вектор.

Тодорхойлолт. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд векторбүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй (A, B)

тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ. Цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол A(1, 2)векторт перпендикуляр (3, -1).

Шийдэл. A = 3 ба B = -1 байвал шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя: 3x - y + C = 0. С коэффициентийг олохын тулд

Үүссэн илэрхийлэлд өгөгдсөн А цэгийн координатыг орлуулъя: 3 - 2 + С = 0

C = -1. Нийт: шаардлагатай тэгшитгэл: 3x - y - 1 = 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.

Орон зайд хоёр цэг өгье M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Тэгээд M2 (x 2, y 2, z 2),Дараа нь шугамын тэгшитгэл,

Эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөх:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэг байвал харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой. Асаалттай

хавтгай, дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан:

Хэрэв x 1 ≠ x 2Тэгээд x = x 1, Хэрэв x 1 = x 2 .

Бутархай = кдуудсан налуу Чигээрээ.

Жишээ. A(1, 2) ба B(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Дээр бичсэн томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Цэг ба налууг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шугамын ерөнхий тэгшитгэл Ax + Wu + C = 0хүргэж байна:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна

к налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл.

Нэг цэгээс шулуун шугам ба чиглэлийн векторын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та даалгаврыг оруулж болно

цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам ба шулуун шугамын чиглүүлэх вектор.

Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр (α 1 , α 2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь нөхцөлийг хангадаг

Aα 1 + Bα 2 = 0дуудсан шулуун шугамын чиглүүлэх вектор.

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ. А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх чиглэлийн вектор (1, -1) бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид хүссэн шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно. Ax + By + C = 0.Тодорхойлолтын дагуу,

Коэффициент нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. Ax + Ay + C = 0,эсвэл x + y + C / A = 0.

цагт x = 1, y = 2бид авдаг C/A = -3, өөрөөр хэлбэл шаардлагатай тэгшитгэл:

x + y - 3 = 0

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ах + Ву + С = 0 С≠0 байвал -С-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

эсвэл хаана

Коэффициентийн геометрийн утга нь a коэффициент нь огтлолцох цэгийн координат юм

тэнхлэгтэй шулуун Өө,А б- шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат OU.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв x - y + 1 = 0.Энэ шугамын тэгшитгэлийг сегментээр ол.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр тал Ax + Wu + C = 0тоогоор хуваах гэж нэрлэдэг

хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 -шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг сонгох ёстой μ*C< 0.

Р- эхлэлээс шулуун шугам хүртэл унасан перпендикулярын урт;

А φ - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг Өө.

Жишээ. Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв 12x - 5y - 65 = 0. Төрөл бүрийн тэгшитгэл бичихэд шаардлагатай

энэ шулуун шугам.

сегмент дэх энэ шугамын тэгшитгэл:

Энэ шугамын налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

Шугамын тэгшитгэл:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, шулуун шугамууд,

тэнхлэгүүдтэй параллель буюу эхийг дайран өнгөрөх.

Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр мөр өгөгдсөн бол y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, дараа нь эдгээр шугамын хоорондох хурц өнцөг

гэж тодорхойлох болно

Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ байна k 1 = k 2. Хоёр шугам перпендикуляр байна

Хэрэв k 1 = -1/ k 2 .

Теорем.

Шууд Ax + Wu + C = 0Тэгээд A 1 x + B 1 y + C 1 = 0коэффициентүүд пропорциональ байх үед параллель

A 1 = λA, B 1 = λB. Хэрэв бас С 1 = λС, дараа нь шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатууд

Эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж олддог.

Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугам М 1 (x 1, y 1)ба шугамд перпендикуляр y = kx + b

тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв оноо өгсөн бол M(x 0, y 0),дараа нь шулуун шугам хүртэлх зай Ax + Wu + C = 0гэж тодорхойлсон:

Баталгаа. Гол нь байя М 1 (x 1, y 1)- цэгээс унасан перпендикулярын суурь Мөгөгдсөн төлөө

шууд. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай МТэгээд М 1:

(1)

Координатууд x 1Тэгээд 1 цагттэгшитгэлийн системийн шийдийг олж болно:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн M 0 цэгийг перпендикуляраар дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

шулуун шугам өгөгдсөн. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.