Бодит болон зохиомол тоо. Комплекс тоо гэж юу вэ? Жишээ

Квадрат тэгшитгэлийн шинж чанарыг судлахдаа хязгаарлалт тавьсан - тэгээс бага дискриминантын хувьд шийдэл байхгүй. Бодит тооны багцын тухай ярьж байна гэж шууд хэлсэн. Бодит үнэ цэнийн тухай заалтад ямар нууц агуулагдаж байгааг математикчийн сониуч ухаан сонирхох болно.

Цаг хугацаа өнгөрөхөд математикчид нэг хасах хоёр дахь язгуурын нөхцөлт утгыг нэг болгон авдаг цогц тоонуудын тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн.

Түүхэн суурь

Математикийн онол нь энгийнээс нийлмэл рүү дараалан хөгждөг. "Цогцолбор тоо" гэдэг ойлголт хэрхэн үүссэн, яагаад хэрэгтэй байгааг олж мэдье.

Эрт дээр үеэс математикийн үндэс нь ердийн тооллого байсан. Судлаачид зөвхөн байгалийн үнэт зүйлсийг мэддэг байсан. Нэмэх, хасах нь энгийн байсан. Эдийн засгийн харилцаа улам нарийн төвөгтэй болохын хэрээр ижил утгыг нэмэхийн оронд үржүүлэх аргыг хэрэглэж эхэлсэн. Үржүүлэхийн урвуу үйлдэл гарч ирэв - хуваах.

Натурал тооны тухай ойлголт нь арифметик үйлдлийн хэрэглээг хязгаарласан. Бүхэл тоон утгууд дээр хуваах бүх асуудлыг шийдэх боломжгүй. эхлээд рационал үнэлэмжийн тухай ойлголт руу, дараа нь иррациональ үнэлэмж рүү хөтөлсөн. Хэрэв оновчтой бол шугам дээрх цэгийн яг байршлыг зааж өгөх боломжтой бол иррациональ хувьд ийм цэгийг зааж өгөх боломжгүй юм. Та зөвхөн байршлын интервалыг ойролцоогоор зааж өгч болно. Рационал ба иррационал тоонуудын хослол нь өгөгдсөн масштабтай тодорхой шугамаар дүрслэгдэх бодит олонлогийг бүрдүүлдэг. Шугамын дагуух алхам бүр нь натурал тоо бөгөөд тэдгээрийн хооронд рационал ба иррационал утгууд байна.

Онолын математикийн эрин үе эхэлсэн. Одон орон, механик, физикийн хөгжил улам бүр нарийн төвөгтэй тэгшитгэлийн шийдлийг шаарддаг. Ерөнхий хэлбэрээр квадрат тэгшитгэлийн үндэс олдсон. Илүү төвөгтэй куб олон гишүүнтийг шийдэх үед эрдэмтэд зөрчилдөөнтэй тулгарсан. Сөрөг шоо язгуурын тухай ойлголт нь утга учиртай боловч квадрат язгуурын хувьд энэ нь тодорхойгүй байдалд хүргэдэг. Түүнээс гадна квадрат тэгшитгэл нь зөвхөн кубын онцгой тохиолдол юм.

1545 онд Итали Г.Кардано төсөөллийн тооны тухай ойлголтыг нэвтрүүлэхийг санал болгов.

Энэ тоо нь хасах нэгийн хоёр дахь үндэс болсон. Цогцолбор тоо гэдэг нэр томьёо эцэст нь ердөө гурван зуун жилийн дараа алдарт математикч Гауссын бүтээлүүдэд бий болсон. Тэрээр алгебрийн бүх хуулиудыг төсөөллийн тоо хүртэл албан ёсоор өргөжүүлэхийг санал болгов. Жинхэнэ шугам хавтгай болж өргөжсөн. Дэлхий том болсон.

Үндсэн ойлголтууд

Бодит багцад хязгаарлалт тавьдаг хэд хэдэн функцийг эргэн санацгаая.

• y = arcsin (x), сөрөг ба эерэг нэгдлийн хоорондох утгын мужид тодорхойлогддог.
• y = ln(x), эерэг аргументуудын хувьд утга учиртай.
• квадрат язгуур у = √x, зөвхөн x ≥ 0-д тооцно.

i = √ (-1) гэж тэмдэглэснээр бид төсөөллийн тоо гэх мэт ойлголтыг нэвтрүүлсэн бөгөөд энэ нь дээрх функцүүдийн тодорхойлолтын мужаас бүх хязгаарлалтыг арилгах боломжийг олгоно. y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) гэх мэт илэрхийллүүд цогц тоонуудын тодорхой орон зайд утгыг авдаг.

Алгебрийн хэлбэрийг x ба y бодит утгуудын олонлог дээр z = x + i×y, i 2 = -1 гэж бичиж болно.

Шинэ үзэл баримтлал нь аливаа алгебрийн функцийг ашиглах бүх хязгаарлалтыг арилгаж, түүний гадаад төрх нь бодит болон төсөөллийн утгуудын координат дахь шулуун шугамын графиктай төстэй юм.

Нарийн төвөгтэй онгоц

Комплекс тоонуудын геометрийн хэлбэр нь тэдгээрийн олон шинж чанарыг төсөөлөх боломжийг олгодог. Re(z) тэнхлэгийн дагуу бид x-ийн бодит утгуудыг, Im(z) - y-ийн төсөөллийн утгуудыг тэмдэглээд дараа нь хавтгай дээрх z цэг нь шаардлагатай цогц утгыг харуулах болно.

Тодорхойлолт:

• Re(z) - бодит тэнхлэг.
• Im(z) - төсөөллийн тэнхлэг гэсэн үг.
• z нь комплекс тооны нөхцөлт цэг юм.
• Тэг цэгээс z хүртэлх векторын уртын тоон утгыг модуль гэнэ.
• Бодит ба төсөөллийн тэнхлэгүүд нь онгоцыг дөрөвний нэг болгон хуваадаг. Координатын эерэг утгатай - I улирал. Бодит тэнхлэгийн аргумент 0-ээс бага, төсөөллийн тэнхлэг 0-ээс их бол хоёрдугаар улирал. Координатууд сөрөг байх үед - III улирал. Сүүлийн, IV улиралд олон эерэг бодит утгууд ба сөрөг төсөөллийн утгууд байдаг.

Тиймээс x ба y координаттай хавтгай дээр та нийлмэл тооны цэгийг үргэлж нүдээр дүрсэлж болно. Бодит хэсгийг төсөөлж буй хэсгээс нь салгахын тулд i тэмдгийг оруулсан болно.

Үл хөдлөх хөрөнгө

1. Төсөөллийн аргументийн тэг утгын хувьд бид зүгээр л бодит тэнхлэгт байрлах, бодит олонлогт хамаарах тоог (z = x) олж авна.
2. Бодит аргументийн утга тэг болох онцгой тохиолдол бол z = i×y илэрхийлэл нь төсөөллийн тэнхлэг дээрх цэгийн байршилтай тохирч байна.
3. z = x + i × y гэсэн ерөнхий хэлбэр нь аргументуудын тэг бус утгуудын хувьд байх болно. Дөрөвний аль нэг дэх нийлмэл тоог тодорхойлсон цэгийн байршлыг заана.

Тригонометрийн тэмдэглэгээ

Туйлын координатын систем болон нүгэл, косын тодорхойлолтыг санацгаая. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр функцийг ашиглан та хавтгай дээрх аль ч цэгийн байршлыг тодорхойлж болно. Үүнийг хийхийн тулд туйлын цацрагийн урт ба бодит тэнхлэгт налуу өнцгийг мэдэхэд хангалттай.

Тодорхойлолт. ∣z ∣ хэлбэрийн тэмдэглэгээг cos(ϴ) тригонометрийн функцууд болон i ×sin(ϴ) төсөөллийн хэсгийн нийлбэрээр үржүүлсэн тэмдэглэгээг тригонометрийн комплекс тоо гэнэ. Энд бид бодит тэнхлэгт налуу өнцгийн тэмдэглэгээг ашигладаг

ϴ = arg(z), ба r = ∣z∣, цацрагийн урт.

Тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолт, шинж чанараас харахад маш чухал Moivre томъёо дараах байдалтай байна.

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Энэ томьёог ашиглан тригонометрийн функц агуулсан олон тооны тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Ялангуяа экспонентацийн асуудал гарч ирэхэд.

Модуль ба үе шат

Нарийн төвөгтэй багцын тайлбарыг дуусгахын тулд бид хоёр чухал тодорхойлолтыг санал болгож байна.

Пифагорын теоремыг мэддэг тул туйлын координатын систем дэх цацрагийн уртыг тооцоолоход хялбар байдаг.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), нийлмэл орон зайд ийм тэмдэглэгээг “модуль” гэж нэрлэдэг бөгөөд 0-ээс хавтгай дээрх цэг хүртэлх зайг тодорхойлдог.

Бодит ϴ шугам руу нийлмэл цацрагийн налуу өнцгийг ихэвчлэн фаз гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолтоос харахад бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг цикл функц ашиглан дүрсэлсэн нь тодорхой байна. Тухайлбал:

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × sin(ϴ);

Үүний эсрэгээр, үе шат нь томъёогоор дамжуулан алгебрийн утгуудтай холбогддог.

ϴ = arctan(x / y) + µ, геометрийн функцүүдийн үечилсэн байдлыг харгалзан μ залруулга оруулсан болно.

Эйлерийн томъёо

Математикчид экспоненциал хэлбэрийг ихэвчлэн ашигладаг. Комплекс хавтгайн тоог илэрхийлэл болгон бичнэ

z = r × e i × ϴ, энэ нь Эйлерийн томьёооос үүсэлтэй.

Энэхүү тэмдэглэгээ нь физик хэмжигдэхүүнийг практик тооцоолоход өргөн тархсан. Экспоненциал комплекс тоо хэлбэрээр дүрслэх хэлбэр нь синусоид гүйдэлтэй хэлхээг тооцоолох шаардлагатай бөгөөд өгөгдсөн хугацаатай функцүүдийн интегралуудын утгыг мэдэх шаардлагатай инженерийн тооцоололд ялангуяа тохиромжтой байдаг. Тооцоолол нь өөрөө янз бүрийн машин, механизмыг зохион бүтээхэд туслах хэрэгсэл болдог.

Үйл ажиллагааг тодорхойлох

Өмнө дурьдсанчлан, математикийн үндсэн функцуудтай ажиллах алгебрийн бүх хуулиуд нь нийлмэл тоонд хамаарна.

Сум ажиллагаа

Нарийн төвөгтэй утгыг нэмэхэд тэдгээрийн бодит болон төсөөлөл хэсгүүд нь мөн нэмэгддэг.

z = z 1 + z 2, энд z 1 ба z 2 нь ерөнхий хэлбэрийн комплекс тоо юм. Илэрхийлэлийг хувиргаж, хаалт нээж, тэмдэглэгээг хялбаршуулсаны дараа бид бодит аргументыг авна x = (x 1 + x 2), төсөөллийн аргумент у = (y 1 + y 2).

График дээр энэ нь сайн мэддэг параллелограммын дүрмийн дагуу хоёр векторыг нэмсэн мэт харагдаж байна.

Хасах үйлдэл

Энэ нь нэг тоо эерэг, нөгөө нь сөрөг, өөрөөр хэлбэл толин тусгалын хэсэгт байрлах үед нэмэх онцгой тохиолдол гэж үздэг. Алгебрийн тэмдэглэгээ нь бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийн ялгаа шиг харагдаж байна.

z = z 1 - z 2, эсвэл нэмэх үйлдэлтэй төстэй аргументуудын утгыг харгалзан бид бодит утгуудын хувьд x = (x 1 - x 2) ба төсөөллийн утгуудыг y = авна. (y 1 - y 2).

Нарийн төвөгтэй хавтгайд үржүүлэх

Олон гишүүнттэй ажиллах дүрмийг ашиглан бид цогцолбор тоог шийдэх томъёог гаргана.

z=z 1 × z 2 алгебрийн ерөнхий дүрмийн дагуу бид аргумент бүрийг тайлбарлаж, ижил төстэй зүйлсийг танилцуулна. Бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг дараах байдлаар бичиж болно.

• x = x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
• y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

Хэрэв бид экспоненциал комплекс тоог ашиглавал илүү үзэсгэлэнтэй харагдаж байна.

Илэрхийлэл дараах байдалтай байна: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Хэлтэс

Хуваах үйлдлийг үржүүлэх үйлдлийн урвуу гэж үзэх үед экспоненциал тэмдэглэгээнд бид энгийн илэрхийлэлийг олж авдаг. z 1-ийн утгыг z 2-т хуваах нь тэдгээрийн модулиуд болон фазын зөрүүг хуваах үр дүн юм. Албан ёсоор комплекс тоон экспоненциал хэлбэрийг ашиглахдаа дараах байдлаар харагдана.

z = z 1 / z 2 = r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i(ϴ 1- ϴ 2) .

Алгебрийн тэмдэглэгээний хэлбэрээр нийлмэл хавтгайд тоог хуваах үйлдлийг арай илүү төвөгтэй бичдэг.

Аргументуудыг тайлбарлаж, олон гишүүнт хувиргалтыг хийснээр x = x 1 × x 2 + y 1 × y 2, y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2 утгыг олж авахад хялбар байдаг. , z 2 ≠ 0 бол тайлбарласан орон зайн хүрээнд энэ илэрхийлэл утга учиртай болно.

Үндэс гаргаж байна

Дээр дурдсан бүх зүйлийг илүү нарийн төвөгтэй алгебрийн функцуудыг тодорхойлоход ашиглаж болно - ямар ч хүчийг нэмэгдүүлэх ба түүний урвуу - үндсийг задлах.

N хүчийг нэмэгдүүлэх ерөнхий ойлголтыг ашиглан бид дараахь тодорхойлолтыг олж авна.

z n = (r × e i ϴ) n .

Ерөнхий шинж чанаруудыг ашиглан бид үүнийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

z n = r n × e i ϴ n .

Бид нийлмэл тоог хүчирхэг болгох энгийн томъёог олж авсан.

Зэрэглэлийн тодорхойлолтоос бид маш чухал үр дүнг олж авдаг. Төсөөллийн нэгжийн тэгш чадал үргэлж 1-тэй тэнцүү байна. Төсөөллийн нэгжийн сондгой хүч нь үргэлж -1-тэй тэнцүү байна.

Одоо урвуу функцийг судалж үзье - үндсийг задлах.

Тэмдэглэгээг хялбар болгохын тулд бид n = 2-ыг авна. Комплекс С хавтгай дээрх z цогц утгын w квадрат язгуурыг ихэвчлэн тэгээс их буюу тэгтэй тэнцүү аливаа бодит аргументуудад хүчинтэй z = ± илэрхийлэл гэж үздэг. w ≤ 0-ийн хувьд шийдэл байхгүй.

Хамгийн энгийн квадрат тэгшитгэлийг авч үзье z 2 = 1. Комплекс тоонуудын томъёог ашиглан бид r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0 гэж дахин бичнэ. Бичлэгээс харахад r 2 = 1 ба ϴ = 0, тиймээс бид 1-тэй тэнцүү өвөрмөц шийдэлтэй байна. Гэхдээ энэ нь z = -1 гэсэн ойлголттой зөрчилдөж, квадрат язгуурын тодорхойлолттой тохирч байна.

Бид юуг анхаарч үзэхгүй байгаагаа олж мэдье. Хэрэв бид тригонометрийн тэмдэглэгээг санаж байвал бид мэдэгдлийг сэргээх болно - үе шат ϴ үе үе өөрчлөгдөхөд комплекс тоо өөрчлөгддөггүй. Хугацааны утгыг p тэмдгээр тэмдэглэвэл дараах хүчинтэй байна: r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p), үүнээс 2ϴ = 0 + p, эсвэл ϴ = p / 2. Тиймээс e i 0 = 1 ба e i p /2 = -1 . Бид хоёр дахь шийдлийг олж авсан бөгөөд энэ нь квадрат язгуурын талаархи ерөнхий ойлголттой нийцдэг.

Тиймээс, цогцолбор тооны дурын язгуурыг олохын тулд бид процедурыг дагаж мөрдөх болно.

• Экспоненциал хэлбэрийг бичье w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk), k нь дурын бүхэл тоо.
• Бид мөн Эйлерийн z = r × e i ϴ хэлбэрийг ашиглан шаардлагатай тоог илэрхийлж болно.
• Үндэс олборлох функцийн ерөнхий тодорхойлолтыг ашиглая r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
• Модуль ба аргументуудын тэгш байдлын ерөнхий шинж чанаруудаас бид r n = ∣w∣ ба nϴ = arg (w) + p×k гэж бичнэ.
• Комплекс тооны язгуурын төгсгөлийн тэмдэглэгээг z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n томъёогоор тодорхойлно.
• Сэтгэгдэл. Тодорхойлолтоор ∣w∣ утга нь эерэг бодит тоо бөгөөд энэ нь аливаа хүчний үндэс нь утга учиртай гэсэн үг юм.

Талбай ба хань

Эцэст нь хэлэхэд бид комплекс тоо бүхий хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэхэд ач холбогдол багатай боловч математикийн онолыг цаашид хөгжүүлэхэд зайлшгүй шаардлагатай хоёр чухал тодорхойлолтыг өгсөн.

Нэмэх ба үржүүлэх илэрхийлэл нь z цогцолбор хавтгайн аль ч элементийн аксиомуудыг хангасан тохиолдолд талбар үүсгэдэг гэж хэлдэг.

1. Цогцолбор нэр томъёоны газрыг солих нь цогц нийлбэрийг өөрчлөхгүй.
2. Энэ мэдэгдэл үнэн - нийлмэл илэрхийлэлд хоёр тооны дурын нийлбэрийг утгаараа сольж болно.
3. z + 0 = 0 + z = z үнэн байх саармаг утга 0 байна.
4. Аливаа z-ийн хувьд эсрэг тал байдаг - z, нэмэх нь тэг өгдөг.
5. Нарийн төвөгтэй хүчин зүйлсийн байршлыг өөрчлөхөд нарийн төвөгтэй бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй.
6. Дурын хоёр тооны үржүүлгийг тэдгээрийн утгаар сольж болно.
7. Төвийг сахисан утга 1 байгаа бөгөөд үүнийг үржүүлэхэд комплекс тоо өөрчлөгдөхгүй.
8. z ≠ 0 болгонд z -1 урвуу утга байгаа бөгөөд үүнийг үржүүлбэл 1 болно.
9. Хоёр тооны нийлбэрийг гуравны нэгээр үржүүлэх нь тус бүрийг энэ тоогоор үржүүлж үр дүнг нэмэх үйлдэлтэй тэнцэнэ.
10. 0 ≠ 1.

z 1 = x + i×y ба z 2 = x - i×y тоонуудыг коньюгат гэнэ.

Теорем.Хослуулахын тулд дараах мэдэгдэл үнэн байна.

• Нийлбэрийн коньюгат нь коньюгат элементүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
• Бүтээгдэхүүний коньюгат нь коньюгатуудын бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.
• тоотой тэнцүү байна.

Ерөнхий алгебрийн хувьд ийм шинж чанарыг ихэвчлэн хээрийн автоморфизм гэж нэрлэдэг.

Жишээ

Комплекс тоонуудын өгөгдсөн дүрэм, томъёоны дагуу та тэдгээртэй хялбар ажиллах боломжтой.

Хамгийн энгийн жишээнүүдийг авч үзье.

Даалгавар 1. 3y +5 x i= 15 - 7i тэгшитгэлийг ашиглан x ба y-ийг тодорхойлно.

Шийдэл. Комплекс тэгш байдлын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая, тэгвэл 3у = 15, 5х = -7. Тиймээс x = -7 / 5, у = 5.

Даалгавар 2. 2 + i 28 ба 1 + i 135 утгыг тооцоол.

Шийдэл. Мэдээжийн хэрэг, 28 нь нийлмэл тооны тодорхойлолтын үр дагавараас эхлээд i 28 = 1 зэрэгт хүрсэн тэгш тоо бөгөөд энэ нь илэрхийлэл нь 2 + i 28 = 3 гэсэн үг юм. Хоёр дахь утга i 135 = -1, дараа нь 1 + i 135 = 0.

Даалгавар 3. 2 + 5i ба 4 + 3i утгуудын үржвэрийг тооцоол.

Шийдэл. Нарийн төвөгтэй тоог үржүүлэх ерөнхий шинж чанараас бид (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20) олж авна. Шинэ утга нь -7 + 26i байх болно.

Даалгавар 4. z 3 = -i тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоол.

Шийдэл. Нарийн төвөгтэй тоог олох хэд хэдэн сонголт байж болно. Боломжит хувилбаруудын нэгийг авч үзье. Тодорхойлолтоор ∣ - i∣ = 1, -i-ийн үе шат нь -p / 4. Анхны тэгшитгэлийг r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk, эндээс z = e - p / гэж дахин бичиж болно. 12 + pk /3 , дурын бүхэл тоонд k.

Шийдлийн багц нь (e - ip/12, e ip /4, e i 2 p/3) хэлбэртэй байна.

Яагаад цогцолбор тоо хэрэгтэй вэ?

Эрдэмтэд онол дээр ажиллаж байхдаа түүний үр дүнг практикт ашиглах талаар огт боддоггүй олон жишээг түүх мэддэг. Математик бол юуны түрүүнд оюун санааны тоглоом, шалтгаан-үр дагаврын холбоог чанд баримтлах явдал юм. Бараг бүх математик бүтээцүүд интеграл ба дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ирдэг бөгөөд тэдгээр нь эргээд олон гишүүнтийн үндсийг олох замаар тодорхой хэмжээгээр шийдэгддэг. Энд бид эхлээд зохиомол тооны парадокстой тулгардаг.

Байгалийн шинжлэх ухааны эрдэмтэд бүрэн практик асуудлуудыг шийдэж, янз бүрийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг ашиглаж, математикийн парадоксуудыг олж илрүүлдэг. Эдгээр парадоксуудын тайлбар нь үнэхээр гайхалтай нээлтүүдэд хүргэдэг. Цахилгаан соронзон долгионы хос шинж чанар нь ийм жишээ юм. Цогцолбор тоо нь тэдний шинж чанарыг ойлгоход шийдвэрлэх үүрэг гүйцэтгэдэг.

Энэ нь эргээд оптик, радио электроник, эрчим хүч болон бусад олон технологийн салбарт практик хэрэглээг олсон. Өөр нэг жишээ бол физик үзэгдлийг ойлгоход илүү хэцүү байдаг. Үзэгний үзүүрт эсрэг бодисыг урьдчилан таамаглаж байсан. Зөвхөн олон жилийн дараа үүнийг физикийн синтез хийх оролдлого эхэлдэг.

Ийм нөхцөл байдал зөвхөн физикт байдаг гэж бодож болохгүй. Амьд байгаль, макромолекулуудын нийлэгжилт, хиймэл оюун ухааныг судлах явцад үүнээс багагүй сонирхолтой нээлтүүд хийгддэг. Энэ бүхэн нь бидний ухамсрын тэлэлт, байгалийн хэмжигдэхүүнийг энгийн нэмэх, хасахаас холдсоны ачаар юм.

§1. Нарийн төвөгтэй тоо

1°. Тодорхойлолт. Алгебрийн тэмдэглэгээ.

Тодорхойлолт 1. Нарийн төвөгтэй тоозахиалгат хос бодит тоог дуудна Тэгээд , хэрэв тэдний хувьд тэгш байдал, нэмэх, үржүүлэх үйлдлүүдийн тухай ойлголтыг тодорхойлсон бол дараахь аксиомуудыг хангана.

1) Хоёр тоо
Тэгээд
зөвхөн хэрэв л бол тэнцүү
,
, өөрөөр хэлбэл

2) Комплекс тоонуудын нийлбэр
Тэгээд

ба тэнцүү
, өөрөөр хэлбэл

3) Комплекс тоонуудын үржвэр
Тэгээд
гэж тэмдэглэсэн тоо юм
ба тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

Комплекс тоонуудын багцыг тэмдэглэв C.

Маягтын тоонуудын томъёо (2), (3).
хэлбэрийг авна

Эндээс маягтын тоог нэмэх, үржүүлэх үйлдлүүд гарч ирнэ
Бодит тоо хэлбэрийн комплекс тооны нэмэх, үржүүлэхтэй давхцана
бодит тоогоор тодорхойлогддог .

Цогцолбор тоо
дуудсан төсөөллийн нэгжболон томилогдсон , өөрөөр хэлбэл
Дараа нь (3)-аас

(2), (3)-аас  гэсэн утгатай

Илэрхийлэл (4) гэж нэрлэгддэг алгебрийн тэмдэглэгээнийлмэл тоо.

Алгебрийн тэмдэглэгээнд нэмэх ба үржүүлэх үйлдлүүд дараах хэлбэртэй байна.

Нарийн төвөгтэй тоог дараах байдлаар тэмдэглэнэ
,- бодит хэсэг, - төсөөллийн хэсэг, Энэ бол цэвэр төсөөллийн тоо юм. Зориулалт:
,
.

Тодорхойлолт 2. Цогцолбор тоо
дуудсан коньюгатнийлмэл тоотой
.

Нарийн төвөгтэй холболтын шинж чанарууд.

1)

2)
.

3) Хэрэв
, Тэр
.

4)
.

5)
- бодит тоо.

Баталгаажуулалтыг шууд тооцоогоор гүйцэтгэдэг.

Тодорхойлолт 3. Тоо
дуудсан модульнийлмэл тоо
болон томилогдсон
.

Энэ нь ойлгомжтой
, ба


. Томъёо нь бас тодорхой байна:
Тэгээд
.

2°. Нэмэх, үржүүлэх үйлдлүүдийн шинж чанарууд.

1) шилжих чадвар:
,
.

2) Нийгэмлэг:,
.

3) Тархалт: .

Баталгаа 1) – 3) нь бодит тоонуудын ижил төстэй шинж чанарт үндэслэн шууд тооцоолол хийдэг.

4)
,
.

5) , C ! , тэгшитгэлийг хангаж байна
. Энэ

6) ,C, 0, ! :
. Энэ тэгшитгэлийг үржүүлэх замаар олно



.

Жишээ. Нарийн төвөгтэй тоог төсөөлөөд үз дээ
алгебрийн хэлбэрээр. Үүнийг хийхийн тулд бутархайн хуваагч ба хуваагчийг хуваагчийн нийлмэл тоогоор үржүүлнэ. Бидэнд:

3°. Комплекс тоонуудын геометрийн тайлбар. Комплекс тоог бичих тригонометр ба экспоненциал хэлбэр.

Тэгш өнцөгт координатын системийг хавтгайд зааж өгье. Дараа нь
CТа хавтгай дээрх цэгийг координаттай тааруулж болно
.(1-р зургийг үз). Мэдээжийн хэрэг, ийм захидал харилцаа нь ганцаарчилсан байдаг. Энэ тохиолдолд абсцисса тэнхлэг дээр бодит тоонууд, ординатын тэнхлэг дээр цэвэр зохиомол тоонууд байрлана. Тиймээс абсцисса тэнхлэгийг нэрлэдэг бодит тэнхлэг, ба ордны тэнхлэг − төсөөллийн тэнхлэг. Комплекс тоонууд байрлах хавтгайг нэрлэдэг нарийн төвөгтэй хавтгай.

Үүнийг анхаарна уу Тэгээд
гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байдаг ба Тэгээд Үхрийн тухай тэгш хэмтэй.

Комплекс тоо бүрийг (жишээ нь, хавтгай дээрх цэг бүр) эхлэл нь О цэг дээр, төгсгөл нь цэг дээр байдаг вектортой холбоотой байж болно.
. Векторууд болон комплекс тоонуудын хоорондын захидал харилцаа нь нэгээс нэг юм. Тиймээс комплекс тоонд харгалзах вектор , ижил үсгээр тэмдэглэсэн

Д вектор шугам
нийлмэл тоонд харгалзах
, тэнцүү байна
, ба
,
.

Векторын тайлбарыг ашиглан бид вектор болохыг харж болно
− векторуудын нийлбэр Тэгээд , А
− векторуудын нийлбэр Тэгээд
.(2-р зургийг үз). Тиймээс дараах тэгш бус байдал хүчинтэй байна: ,

Урттай хамт вектор өнцгийг танилцуулъя вектор хооронд ба Үхрийн тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс тооцсон Ox тэнхлэг: хэрэв тоолох нь цагийн зүүний эсрэг байвал өнцгийн тэмдэг эерэг, цагийн зүүний дагуу байвал сөрөг байна. Энэ өнцөг гэж нэрлэгддэг комплекс тооны аргументболон томилогдсон
. Булан хоёрдмол утгагүйгээр тодорхойлогддоггүй, гэхдээ нарийвчлалтай
… . Учир нь
аргумент тодорхойлогдоогүй байна.

Томъёо (6) гэж нэрлэгддэг зүйлийг тодорхойлдог тригонометрийн тэмдэглэгээнийлмэл тоо.

(5)-аас хэрэв гэвэл
Тэгээд
Тэр

(5)-аас
яах вэ Тэгээд нийлмэл тоо нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог. Эсрэг заалт нь үнэн биш юм: тухайлбал, комплекс тоо түүний модуль өвөрмөц олддог бөгөөд аргумент , (7)-ын ачаар − нарийвчлалтай
. Энэ нь мөн аргумент (7)-аас гардаг тэгшитгэлийн шийдэл болгон олж болно

Гэсэн хэдий ч, энэ тэгшитгэлийн бүх шийдлүүд (7) -ийн шийдэл биш юм.

Комплекс тооны аргументын бүх утгуудаас нэгийг сонгосон бөгөөд үүнийг аргументийн үндсэн утга гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг тэмдэглэнэ.
. Ихэвчлэн аргументийн гол утгыг интервалын аль нэгээр нь сонгодог
, эсвэл интервалд

Үржүүлэх, хуваах үйлдлийг тригонометрийн хэлбэрээр гүйцэтгэхэд тохиромжтой.

Теорем 1.Комплекс тоонуудын үржвэрийн модуль Тэгээд нь модулиудын үржвэртэй тэнцүү бөгөөд аргумент нь аргументуудын нийлбэр, i.e.

, А.

Үүний нэгэн адил

,

Баталгаа.Болъё,. Дараа нь шууд үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна.

Үүний нэгэн адил

.■

Үр дагавар(Мойврын томъёо). Учир нь
Мойврын томъёо хүчин төгөлдөр байна

П жишээ. Цэгийн геометрийн байршлыг олцгооё
. 1-р теоремоос ийм зүйл гарч байна.

Тиймээс үүнийг бүтээхийн тулд эхлээд цэг байгуулах хэрэгтэй , энэ нь урвуу байдал юм нэгж тойрогтой харьцуулахад, дараа нь Үхрийн тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй цэгийг олоорой.

Болъё
, тэдгээр.
Цогцолбор тоо
гэж тэмдэглэсэн
, өөрөөр хэлбэл РЭйлерийн томъёо хүчинтэй

Учир нь
, Тэр
,
. Теорем 1-ээс
функц нь юу вэ
Та ердийн экспоненциал функцтэй ажиллах боломжтой, i.e. тэгш байдал хүчинтэй байна

,
,
.

(8)-аас
харуулах тэмдэглэгээнийлмэл тоо

, Хаана
,

Жишээ. .

4°. Үндэс -комплекс тооны-р зэрэглэл.

Тэгшитгэлийг авч үзье

Болъё
, мөн (9) тэгшитгэлийн шийдийг хэлбэрээр хайж байна
. Дараа нь (9) хэлбэрийг авна
, бид үүнийг хаанаас олдог
,
, өөрөөр хэлбэл

,
,
.

Тиймээс (9) тэгшитгэл нь үндэстэй

(10) дунд яг байгаа гэдгийг харуулъя өөр өөр үндэс. Үнэхээр,

ялгаатай, учир нь Тэдний аргументууд нь өөр бөгөөд үүнээс бага ялгаатай
. Дараа нь,
, учир нь
. Үүний нэгэн адил
.

Тиймээс тэгшитгэл (9) -д
яг байна үндэс
, тогтмолын оройн хэсэгт байрладаг - радиустай тойрог дотор бичээстэй гурвалжин төв нь t.O.

Ингэснээр энэ нь батлагдсан

Теорем 2.Үндэс олборлолт -комплекс тооны-р зэрэглэл
Энэ нь үргэлж боломжтой. Бүх язгуур утга -ийн зэрэг зөвийн орой дээр байрладаг -гоныг төв нь тэг, радиустай тойрогт бичнэ
. Үүний зэрэгцээ,

Үр дагавар.Үндэс -1-ийн хүчийг томъёогоор илэрхийлнэ

.

1-ийн хоёр үндэсийн үржвэр нь үндэс, 1 нь үндэс юм - эв нэгдлийн хүч, үндэс
:
.

Комплекс тоонуудын талаархи шаардлагатай мэдээллийг эргэн санацгаая.

Цогцолбор тоохэлбэрийн илэрхийлэл юм а + би, Хаана а, ббодит тоонууд ба би- гэж нэрлэгддэг төсөөллийн нэгж, квадрат нь –1-тэй тэнцүү тэмдэг, өөрөөр хэлбэл би 2 = –1. Тоо адуудсан бодит хэсэг, мөн тоо б - төсөөллийн хэсэгнийлмэл тоо z = а + би. Хэрэв б= 0, дараа нь оронд нь а + 0битэд энгийнээр бичдэг а. Бодит тоо нь нийлмэл тоонуудын онцгой тохиолдол гэдгийг харж болно.

Комплекс тоон дээрх арифметик үйлдлүүд нь бодит тоонуудтай адил байна: тэдгээрийг бие биендээ нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах боломжтой. Нэмэх, хасах нь дүрмийн дагуу явагдана ( а + би) ± ( в + ди) = (а ± в) + (б ± г)би, үржүүлэх нь дүрмийг дагаж мөрддөг ( а + би) · ( в + ди) = (ac – бд) + (зар + МЭӨ)би(энд үүнийг ашигладаг би 2 = –1). Тоо = а – бидуудсан нарийн төвөгтэй коньюгатруу z = а + би. Тэгш байдал z · = а 2 + б 2 нь нэг цогцолбор тоог өөр (тэг биш) цогцолбор тоогоор хэрхэн хуваахыг ойлгох боломжийг танд олгоно.

(Жишээ нь, .)

Цогцолбор тоо нь тохиромжтой, харааны геометрийн дүрстэй байдаг: тоо z = а + бикоординаттай вектороор дүрсэлж болно ( а; б) декартын хавтгай дээр (эсвэл бараг ижил зүйл болох цэг - эдгээр координат бүхий векторын төгсгөл). Энэ тохиолдолд хоёр нийлмэл тооны нийлбэрийг харгалзах векторуудын нийлбэр хэлбэрээр дүрсэлсэн (үүнийг параллелограммын дүрмийг ашиглан олж болно). Пифагорын теоремын дагуу координаттай векторын урт ( а; б) -тэй тэнцүү байна. Энэ хэмжээг гэж нэрлэдэг модульнийлмэл тоо z = а + биба | гэж тэмдэглэнэ z|. Энэ векторын x тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй (цагийн зүүний эсрэг тоолно) хийсэн өнцгийг нэрлэнэ маргааннийлмэл тоо zба Arg гэж тэмдэглэнэ z. Аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдоогүй бөгөөд зөвхөн 2-ын үржвэрийг нэмэх хүртэл л болно π радианууд (эсвэл градусаар тооцвол 360 °) - эцсийн эцэст эхийг тойрон ийм өнцгөөр эргүүлэх нь векторыг өөрчлөхгүй нь ойлгомжтой. Харин уртын вектор бол rөнцөг үүсгэдэг φ х тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй бол түүний координат нь ( r cos φ ; rнүгэл φ ). Эндээс л болж байна тригонометрийн тэмдэглэгээнийлмэл тоо: z = |z| · (cos(Arg z) + бинүгэл(Арг z)). Энэ хэлбэрээр нарийн төвөгтэй тоо бичих нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг, учир нь энэ нь тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулдаг. Тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог үржүүлэх нь маш энгийн: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Арг z 2) + бинүгэл(Арг z 1 + Арг z 2)) (хоёр нийлмэл тоог үржүүлэхэд тэдгээрийн модулиудыг үржүүлж, аргументуудыг нэмнэ). Эндээс дагана Мойврын томъёонууд: z n = |z|n· (учир нь n· (Арг z)) + бинүгэл( n· (Арг z))). Эдгээр томьёог ашиглан нийлмэл тооноос ямар ч зэрэгтэй үндсийг гаргаж авахыг сурахад хялбар байдаг. z-ийн n-р үндэс- энэ бол нарийн төвөгтэй тоо w, Юу w n = z. Энэ нь ойлгомжтой , ба , хаана колонлогоос дурын утгыг авч болно (0, 1, ..., n– 1). Энэ нь үргэлж яг байдаг гэсэн үг юм nүндэс nнийлмэл тооны 1-р зэрэг (хавтгай дээр тэдгээр нь ердийн тооны орой дээр байрладаг n-гон).