Гайхалтай хязгаарыг тооцоолох. Эхний гайхалтай хязгаар: онол ба жишээ

Хоёр дахь гайхалтай хязгаарын томъёо нь lim x → ∞ 1 + 1 x x = e юм. Бичгийн өөр хэлбэр нь иймэрхүү харагдаж байна: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

Хоёрдахь гайхалтай хязгаарын тухай ярихдаа бид 1 ∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг шийдвэрлэх ёстой, өөрөөр хэлбэл. хязгааргүй хэмжээгээр нэгж.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг тооцоолох чадвар нь ашигтай байх асуудлуудыг авч үзье.

Жишээ 1

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 хязгаарыг ол.

Шийдэл

Шаардлагатай томьёог орлуулж, тооцооллыг хийцгээе.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Бидний хариулт хязгааргүйн хүчинд нэг болсон. Шийдлийн аргыг тодорхойлохын тулд бид тодорхойгүй байдлын хүснэгтийг ашигладаг. Хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг сонгож, хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийцгээе.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Хэрэв x → ∞ бол t → - ∞ болно.

Орлуулсны дараа юу олж авсныг харцгаая:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Хариулт: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Жишээ 2

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x хязгаарыг тооцоол.

Шийдэл

Хязгааргүйг орлуулаад дараахийг авъя.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Хариуд нь бид өмнөх асуудалтай ижил зүйлийг дахин авсан тул бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг дахин ашиглаж болно. Дараа нь бид тэжээлийн функцын үндсэн дээр бүх хэсгийг сонгох хэрэгтэй.

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Үүний дараа хязгаарлалт дараах хэлбэрийг авна.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Хувьсагчдыг солих. t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 гэж үзье; хэрэв x → ∞ бол t → ∞ байна.

Үүний дараа бид анхны хязгаарт юу олж авснаа бичнэ.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

Энэ хувиргалтыг гүйцэтгэхийн тулд бид хязгаар, эрх мэдлийн үндсэн шинж чанарыг ашигласан.

Хариулт: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Жишээ 3

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 хязгаарыг тооцоол.

Шийдэл

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

Үүний дараа бид хоёр дахь агуу хязгаарыг хэрэгжүүлэх функцийг өөрчлөх хэрэгтэй. Бид дараахь зүйлийг авсан.

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Одоо бид бутархайн хуваагч болон хуваагч дахь ижил илтгэгчтэй (зургаантай тэнцүү) байгаа тул хязгааргүй дэх бутархайн хязгаар нь эдгээр коэффициентүүдийн дээд түвшний харьцаатай тэнцүү байх болно.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2-ийг орлуулснаар бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг олж авна. Юу гэсэн үг:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Хариулт: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

дүгнэлт

Тодорхой бус байдал 1 ∞, i.e. Хязгааргүй хүчинд нэгдэх нь хүчний хуулийн тодорхойгүй байдал тул экспоненциал чадлын функцүүдийн хязгаарыг олох дүрмийг ашиглан илрүүлж болно.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Дээрх нийтлэлээс та ямар хязгаарлалт, юугаар хооллодогийг олж мэдэх боломжтой - энэ нь маш чухал юм. Яагаад? Та тодорхойлогч гэж юу болохыг ойлгохгүй байж, тэдгээрийг амжилттай шийдэж чадахгүй байж магадгүй бөгөөд та дериватив гэж юу болохыг огтхон ч ойлгохгүй байж магадгүй бөгөөд тэдгээрийг "А"-тай олох болно. Гэхдээ хэрэв та хязгаар гэж юу болохыг ойлгохгүй байгаа бол практик даалгавруудыг шийдвэрлэхэд хэцүү байх болно. Мөн жишээ шийдэл болон миний дизайны зөвлөмжүүдтэй танилцах нь зүйтэй болов уу. Бүх мэдээллийг энгийн бөгөөд хүртээмжтэй хэлбэрээр үзүүлэв.

Мөн энэ хичээлийн зорилгоор бидэнд дараах сургалтын хэрэглэгдэхүүн хэрэгтэй болно. Гайхамшигтай хязгааруудТэгээд Тригонометрийн томъёо. Тэдгээрийг хуудаснаас олж болно. Гарын авлагыг хэвлэх нь хамгийн сайн арга юм - энэ нь илүү тохиромжтой бөгөөд үүнээс гадна та тэдгээрийг офлайн байдлаар ашиглах шаардлагатай болдог.

Гайхалтай хязгаарын хувьд юугаараа онцлог вэ? Эдгээр хязгааруудын гайхалтай зүйл бол тэдгээрийг алдартай математикчдын агуу оюун ухаанаар нотолсон явдал бөгөөд талархалтай үр удам нь тригонометрийн функц, логарифм, хүч чадлын овоолго бүхий аймшигт хязгаараас зовох шаардлагагүй юм. Өөрөөр хэлбэл, хязгаарыг олохдоо бид онолын хувьд батлагдсан бэлэн үр дүнг ашиглах болно.

Хэд хэдэн гайхалтай хязгаарлалтууд байдаг боловч практик дээр 95% тохиолдолд хагас цагийн оюутнууд хоёр гайхалтай хязгаарлалттай байдаг. Эхний гайхалтай хязгаар, Хоёр дахь гайхалтай хязгаар. Эдгээр нь түүхэнд тогтсон нэрс бөгөөд жишээлбэл, "анхны гайхалтай хязгаар" гэж ярихдаа таазнаас авсан санамсаргүй хязгаар биш, маш тодорхой зүйлийг хэлдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Эхний гайхалтай хязгаар

Дараах хязгаарлалтыг анхаарч үзээрэй: ("тэр" гэсэн уугуул үсгийн оронд би "альфа" грек үсгийг ашиглах болно, энэ нь материалыг танилцуулах үүднээс илүү тохиромжтой).

Хязгаарыг олох манай дүрмийн дагуу (нийтлэлийг үзнэ үү Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээ) бид функцэд тэгийг орлуулахыг оролддог: тоологч дээр бид тэгийг авдаг (тэгийн синус нь тэг), хуваагч дээр ч тэг байх нь ойлгомжтой. Тиймээс бид азаар илчлэх шаардлагагүй хэлбэрийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. Математик шинжилгээний явцад дараахь зүйлийг нотолж байна.

Математикийн энэ баримтыг нэрлэдэг Эхний гайхалтай хязгаар. Би хязгаарын аналитик нотолгоо өгөхгүй, гэхдээ бид хичээл дээр түүний геометрийн утгыг авч үзэх болно. хязгааргүй жижиг функцууд.

Ихэнхдээ практик даалгаврын функцийг өөр өөрөөр зохион байгуулж болох бөгөөд энэ нь юу ч өөрчлөхгүй.

- ижил анхны гайхалтай хязгаар.

Гэхдээ та өөрөө тоологч болон хуваагчийг өөрчилж чадахгүй! Хэрэв хязгаарыг хэлбэрээр өгсөн бол ямар нэгэн зүйлийг дахин цэгцлэхгүйгээр ижил хэлбэрээр шийдвэрлэх ёстой.

Практикт зөвхөн хувьсах хэмжигдэхүүн төдийгүй энгийн функц эсвэл комплекс функц нь параметрийн үүрэг гүйцэтгэдэг. Энэ нь тэг рүү чиглэх нь л чухал юм.

Жишээ нь:
, , ,

Энд , , , , мөн бүх зүйл сайн байна - эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглах боломжтой.

Гэхдээ дараах оруулга нь тэрс юм:

Яагаад? Олон гишүүнт нь тэг рүү чиглэдэггүй тул тав руу чиглэдэг.

Дашрамд хэлэхэд хурдан асуулт: хязгаар нь юу вэ? ? Хариултыг хичээлийн төгсгөлд олж болно.

Практикт бүх зүйл тийм ч жигд байдаггүй, оюутанд үнэгүй хязгаарлалтыг шийдэж, амархан нэвтрэх эрхийг санал болгодоггүй. Хммм... Би эдгээр мөрүүдийг бичиж байх үед маш чухал бодол санаанд орж ирэв - эцсийн эцэст "үнэгүй" математикийн тодорхойлолт, томъёог цээжээр санаж байх нь дээр, энэ нь асуулт гарч ирэх үед тест хийхэд үнэлж баршгүй тус болно. "хоёр" ба "гурав"-ын хооронд шийдэгдэх бөгөөд багш сурагчаас энгийн асуулт асуух эсвэл энгийн жишээг шийдэхийг санал болгохоор шийднэ ("магадгүй тэр (үүд) юу мэдэж байгаа байх?!").

Практик жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ 1

Хязгаарыг ол

Хэрэв бид хязгаарт синусыг анзаарсан бол энэ нь анхны гайхалтай хязгаарыг хэрэглэх боломжийн талаар нэн даруй бодоход хүргэнэ.

Эхлээд бид хязгаарын тэмдгийн доор 0-ийг орлуулахыг оролддог (бид үүнийг оюун ухаанаар эсвэл ноорог хэлбэрээр хийдэг):

Тиймээс бид хэлбэрийн хувьд тодорхойгүй байна зааж өгөхөө мартуузайшийдвэр гаргахдаа. Хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь анхны гайхалтай хязгаартай төстэй боловч энэ нь яг тийм биш, энэ нь синусын доор, харин хуваагч дээр байна.

Ийм тохиолдолд бид хиймэл техник ашиглан анхны гайхалтай хязгаарыг өөрсдөө зохион байгуулах хэрэгтэй. Үндэслэл нь дараах байдалтай байж болно: "Бидэнд байгаа синус дор байгаа нь бид бас хуваагчийг авах шаардлагатай гэсэн үг юм."
Мөн үүнийг маш энгийнээр хийдэг:

Өөрөөр хэлбэл, хуваагчийг энэ тохиолдолд зохиомлоор 7-оор үржүүлж, ижил долоогоор хуваана. Одоо бидний бичлэг танил болсон.
Даалгаврыг гараар зурахдаа анхны гайхалтай хязгаарыг энгийн харандаагаар тэмдэглэхийг зөвлөж байна.

Юу болсон бэ? Үнэн хэрэгтээ бидний дугуйлсан илэрхийлэл нэгж болж хувирч, ажилд алга болсон:

Одоо гурван давхар фракцаас салах л үлдлээ.

Олон түвшний бутархайг хялбарчлахаа мартсан хүн лавлах номонд байгаа материалыг дахин сэргээнэ үү. Сургуулийн математикийн хичээлийн халуун томъёо .

Бэлэн. Эцсийн хариулт:

Хэрэв та харандаа тэмдэг ашиглахыг хүсэхгүй байгаа бол шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.

“

Эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглацгаая

“

Жишээ 2

Хязгаарыг ол

Дахин бид хязгаарт бутархай ба синусыг харж байна. Тоолуур ба хуваарьт тэгийг орлуулахыг оролдъё:

Үнэхээр бидэнд тодорхойгүй байдал байгаа тул эхний гайхалтай хязгаарыг зохион байгуулахыг хичээх хэрэгтэй. Хичээл дээр Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээБид тодорхойгүй байгаа үед тоо болон хуваагчийг үржүүлэх хэрэгтэй гэсэн дүрмийг авч үзсэн. Энд адилхан, бид зэрэглэлийг бүтээгдэхүүн (үржүүлэгч) хэлбэрээр илэрхийлнэ.

Өмнөх жишээний нэгэн адил бид гайхалтай хязгаарын эргэн тойронд харандаа зурж (энд хоёр нь байна), тэдгээр нь нэгдмэл байх хандлагатай байгааг илтгэнэ.

Үнэндээ хариулт бэлэн байна:

Дараах жишээнүүдэд би Paint дээр урлаг хийхгүй, дэвтэр дээрээ шийдлийг хэрхэн зөв зурах талаар бодож байна - та аль хэдийн ойлгосон.

Жишээ 3

Хязгаарыг ол

Хязгаарлалтын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд тэгийг орлуулна.

Ил болгох шаардлагатай тодорхойгүй байдал үүссэн. Хэрэв хязгаарт шүргэгч байгаа бол үүнийг сайн мэддэг тригонометрийн томъёог ашиглан бараг үргэлж синус ба косинус болгон хувиргадаг (дашрамд хэлэхэд тэд котангенстай ижил зүйлийг хийдэг, арга зүйн материалыг үзнэ үү. Халуун тригонометрийн томъёоХуудас дээр Математикийн томъёо, хүснэгт, лавлах материал).

Энэ тохиолдолд:

Тэгийн косинус нь нэгтэй тэнцүү бөгөөд үүнийг арилгахад хялбар байдаг (энэ нь нэг рүү чиглэж байгааг тэмдэглэхээ мартуузай):

Тиймээс, хэрэв хязгаарт косинус нь ҮРЖҮҮЛЭГЧ юм бол түүнийг ойролцоогоор нэгж болгон хувиргах шаардлагатай бөгөөд энэ нь бүтээгдэхүүнд алга болно.

Энд бүх зүйл үржүүлэх, хуваахгүйгээр илүү хялбар болсон. Эхний гайхалтай хязгаар нь нэг болж хувирч, бүтээгдэхүүнд алга болно.

Үүний үр дүнд хязгааргүй байдлыг олж авдаг бөгөөд энэ нь тохиолддог.

Жишээ 4

Хязгаарыг ол

Тоолуур ба хуваарьт тэгийг орлуулахыг оролдъё.

Тодорхой бус байдлыг олж авна (бидний санаж байгаагаар тэг косинус нь нэгтэй тэнцүү)

Бид тригонометрийн томъёог ашигладаг. Тэмдэглэл авах! Зарим шалтгааны улмаас энэ томъёог ашиглах хязгаарлалт нь маш түгээмэл байдаг.

Тогтмол хүчин зүйлсийг хязгаарын дүрсээс цааш шилжүүлье:

Эхний гайхалтай хязгаарыг зохион байгуулъя:

Энд бид зөвхөн нэг гайхалтай хязгаарлалттай бөгөөд энэ нь нэг болж хувирч, бүтээгдэхүүнд алга болдог:

Гурван давхар бүтцээс салцгаая:

Хязгаар нь үнэхээр шийдэгдсэн тул бид үлдсэн синус тэг рүү чиглэж байгааг харуулж байна:

Жишээ 5

Хязгаарыг ол

Энэ жишээ нь илүү төвөгтэй тул үүнийг өөрөө олж мэдээрэй.

Хувьсагчийг өөрчилснөөр зарим хязгаарыг 1-р гайхалтай хязгаар хүртэл бууруулж болно, та энэ тухай нийтлэлээс бага зэрэг уншиж болно. Хязгаарыг шийдвэрлэх аргууд.

Хоёр дахь гайхалтай хязгаар

Математик анализын онолд дараахь зүйлийг нотолсон.

Энэ баримт гэж нэрлэдэг хоёр дахь гайхалтай хязгаар.

Лавлагаа: нь иррационал тоо юм.

Параметр нь зөвхөн хувьсагч төдийгүй нарийн төвөгтэй функц байж болно. Ганц чухал зүйл бол хязгааргүйд тэмүүлдэг.

Жишээ 6

Хязгаарыг ол

Хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь зэрэгтэй байвал энэ нь та хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг хэрэгжүүлэхийг хичээх хэрэгтэй гэсэн эхний шинж тэмдэг юм.

Гэхдээ эхлээд бид үргэлжийн адил илэрхийлэлд хязгааргүй их тоог орлуулахыг хичээдэг бөгөөд үүнийг хийх зарчмыг хичээл дээр авч үзсэн болно. Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээ.

Хэзээ гэдгийг анзаарахад амархан зэрэгийн суурь нь , илтгэгч нь байна , өөрөөр хэлбэл, хэлбэр нь тодорхойгүй байна:

Энэхүү тодорхой бус байдал нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарын тусламжтайгаар тодорхойлогддог. Гэхдээ ихэвчлэн тохиолддог шиг хоёр дахь гайхамшигтай хязгаар нь мөнгөн таваг дээр байдаггүй бөгөөд үүнийг зохиомлоор зохион байгуулах шаардлагатай байдаг. Та дараах байдлаар тайлбарлаж болно: энэ жишээн дээр параметр нь , энэ нь бид бас индикаторыг зохион байгуулах шаардлагатай гэсэн үг юм. Үүнийг хийхийн тулд бид суурийг хүч чадалд дээшлүүлж, илэрхийлэл өөрчлөгдөхгүйн тулд бид үүнийг хүчирхэг болгон дээшлүүлнэ.

Даалгаврыг гараар хийж дуусгахад бид харандаагаар тэмдэглэнэ.

Бараг бүх зүйл бэлэн болсон, аймшигтай зэрэг нь сайхан захидал болж хувирав:

Энэ тохиолдолд бид хязгаарын дүрсийг өөрөө заагч руу шилжүүлдэг:

Жишээ 7

Хязгаарыг ол

Анхаар! Энэ төрлийн хязгаарлалт маш олон удаа тохиолддог тул энэ жишээг сайтар судалж үзээрэй.

Хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд хязгааргүй их тоог орлуулахыг оролдъё.

Үр дүн нь тодорхойгүй байдал юм. Гэхдээ хоёр дахь гайхалтай хязгаар нь маягтын тодорхойгүй байдалд хамаарна. Юу хийх вэ? Бид градусын суурийг хөрвүүлэх хэрэгтэй. Бид ингэж тайлбарлаж байна: хуваагч дээр бид байна, энэ нь тоологч дээр бид бас зохион байгуулах хэрэгтэй гэсэн үг юм.

Нотолгоо:

Эхлээд дарааллын тохиолдлын теоремыг баталъя

Ньютоны бином томъёоны дагуу:

Бид авсан гэж бодвол

Энэ тэгшитгэлээс (1) n нэмэгдэх тусам баруун талын эерэг гишүүний тоо нэмэгдэнэ. Үүнээс гадна n нэмэгдэхийн хэрээр тоо нь багасдаг тул утгууд нь багасдаг нэмэгдэж байна. Тиймээс дараалал нэмэгдэж, (2)*Бид энэ нь хязгаарлагдмал гэдгийг харуулж байна. Тэгш тэгш байдлын баруун талд байгаа хаалт бүрийг нэгээр соливол баруун тал нь нэмэгдэж, тэгш бус байдал гарч ирнэ.

Үүссэн тэгш бус байдлыг бататгаж, бутархайн хуваагчд байрлах 3,4,5, ...-г 2-оор солицгооё: Геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглан хаалтанд байгаа нийлбэрийг олно: Иймд (3)*

Тиймээс дараалал нь дээрээс хязгаарлагдаж, (2) ба (3) тэгш бус байдал хангагдана. Тиймээс Вейерштрассын теорем (дараал нийлэх шалгуур) дээр үндэслэн дараалал monotonically нэмэгдэж, хязгаарлагдмал, энэ нь e үсгээр тэмдэглэсэн хязгаартай гэсэн үг юм. Тэдгээр.

Хоёр дахь гайхалтай хязгаар нь x-ийн байгалийн утгуудын хувьд үнэн гэдгийг мэдэж байгаа тул бид бодит x-ийн хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг батлах болно, өөрөөр хэлбэл бид үүнийг батлах болно. . Хоёр тохиолдлыг авч үзье:

1. Х-ийн утга бүрийг хоёр эерэг бүхэл тооны хооронд оруулъя: , энд x-ийн бүхэл хэсэг байна. => =>

Хэрэв , тэгвэл, хязгаарын дагуу Бидэнд байгаа

Хязгаарын оршин тогтнох шалгуур (завсрын функцийн хязгаарын тухай) дээр үндэслэнэ

2. Байг. Тэгвэл − x = t орлуулалтыг хийцгээе

Энэ хоёр тохиолдлоос харахад ийм байна жинхэнэ x-ийн хувьд.

Үр дагавар:

9 .) Хязгааргүй жижиг тоонуудын харьцуулалт. Хязгаарт хязгааргүй жижиг тоог тэнцүү тоогоор солих теорем, хязгааргүй жижиг тоонуудын үндсэн хэсгийн тухай теорем.

функцуудыг a( x) ба б( x) – б.м. цагт x ® x 0 .

ТОДОРХОЙЛОЛТ.

1)а( x) дуудсан -аас хязгааргүй жижиг дээд эрэмбэл б (x) Хэрэв

Бичнэ үү: a( x) = o(b( x)) .

2)а( x) Тэгээдб( x)гэж нэрлэдэг ижил дарааллын хязгааргүй жижиг тоо, Хэрэв

хаана CÎℝ ба C¹ 0 .

Бичнэ үү: a( x) = О(б( x)) .

3)а( x) Тэгээдб( x) гэж нэрлэдэг тэнцүү , Хэрэв

Бичнэ үү: a( x) ~ б( x).

4)а( x) харьцангуй k эрэмбийн хязгааргүй жижиг гэж нэрлэдэг
туйлын хязгааргүй жижигб( x), хязгааргүй жижиг бола( x)Тэгээд(б( x))к ижил дараалалтай байх, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв

хаана CÎℝ ба C¹ 0 .

ТЕОРЕМ 6 (хязгааргүй жижиг тоог тэнцүү тоогоор солих тухай).

Болъёа( x), б( x), a 1 ( x), b 1 ( x)– б.м. x дээр ® x 0 . Хэрэва( x) ~ a 1 ( x), б( x) ~ b 1 ( x),

Тэр

Нотолгоо: А ( x) ~ a 1 ( x), б( x) ~ b 1 ( x), Дараа нь

ТЕОРЕМ 7 (хязгааргүй жижиг тооны үндсэн хэсгийн тухай).

Болъёа( x)Тэгээдб( x)– б.м. x дээр ® x 0 , баб( x)– б.м. -ээс өндөр дараалала( x).

= , a оноос хойш b( x) – a( x), дараа нь, i.e. -аас нь тодорхой байна a( x) + б( x) ~ a( x)

10) Цэг дэх функцийн тасралтгүй байдал (эпсилон-дельта хэлээр, геометрийн хязгаар) Нэг талт тасралтгүй байдал. Интервал дахь тасралтгүй байдал, сегмент дээр. Тасралтгүй функцүүдийн шинж чанарууд.

1. Үндсэн тодорхойлолтууд

Болъё е(x) нь тухайн цэгийн зарим хөршид тодорхойлогддог x 0 .

ТОДОРХОЙЛОЛТ 1. Функц f(x) дуудсан нэг цэг дээр тасралтгүй x 0 Хэрэв тэгш байдал үнэн бол

Тэмдэглэл.

1) Теорем 5 §3-ын дагуу тэгш байдлыг (1) хэлбэрээр бичиж болно.

Нөхцөл (2) - нэг талт хязгаарын хэлээр цэг дэх функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолт.

2) Тэгш байдлыг (1) дараах байдлаар бичиж болно.

Тэд: "хэрэв функц нь цэг дээр тасралтгүй байвал x 0 байвал хязгаарын тэмдэг болон функцийг сольж болно."

ТОДОРХОЙЛОЛТ 2 (e-d хэлээр).

Функц f(x) дуудсан нэг цэг дээр тасралтгүй x 0 Хэрэв"e>0 $d>0 ийм, Юу

хэрэв xОU( x 0 , d) (жишээ нь | x – x 0 | < d),

дараа нь f(x)БИ ЧАМАЙГ( е(x 0), e) (жишээ нь | е(x) – е(x 0) | < e).

Болъё x, x 0 Î Д(е) (x 0 - тогтмол, x -дур зоргоороо)

гэж тэмдэглэе: Д x= x - x 0 – аргументийн өсөлт

Д е(x 0) = е(x) – е(x 0) – pointx дээрх функцийн өсөлт 0

ТОДОРХОЙЛОЛТ 3 (геометрийн).

Функц f(x) дээр дуудсан нэг цэг дээр тасралтгүй x 0 хэрэв энэ үед аргумент дахь хязгааргүй бага өсөлт нь функцийн хязгааргүй бага өсөлттэй тохирч байвал, өөрөөр хэлбэл

Функцийг зөвшөөр е(x) нь [ интервал дээр тодорхойлогддог. x 0 ; x 0 + d) (интервал дээр ( x 0 – d; x 0 ]).

ТОДОРХОЙЛОЛТ. Функц f(x) дуудсан нэг цэг дээр тасралтгүй x 0 баруун талд (зүүн ), Хэрэв тэгш байдал үнэн бол

Энэ нь ойлгомжтой е(x) цэг дээр тасралтгүй байна x 0 Û е(x) цэг дээр тасралтгүй байна x 0 баруун ба зүүн.

ТОДОРХОЙЛОЛТ. Функц f(x) дуудсан интервалын турш тасралтгүй e ( а; б) хэрэв энэ интервалын цэг бүрт тасралтгүй байвал.

Функц f(x) сегмент дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг [а; б] хэрэв интервал дээр тасралтгүй байвал (а; б) хилийн цэгүүд дээр нэг талын тасралтгүй байдалтай(жишээ нь цэг дээр тасралтгүй абаруун талд, цэг дээр б- зүүн).

11) Хагарлын цэгүүд, тэдгээрийн ангилал

ТОДОРХОЙЛОЛТ. Хэрэв функц f(x) x цэгийн зарим хөршид тодорхойлогддог 0 , гэхдээ энэ үед үргэлжилдэггүй е(x) x цэг дээр тасархай гэж нэрлэдэг 0 , мөн цэг нь өөрөө x 0 таслах цэг гэж нэрлэдэг функцууд f(x) .

Тэмдэглэл.

1) е(x) цэгийн бүрэн бус хөршөөр тодорхойлж болно x 0 .

Дараа нь функцийн харгалзах нэг талын тасралтгүй байдлыг авч үзье.

2) Þ цэгийн тодорхойлолтоос x 0 нь функцийн таслах цэг юм е(x) хоёр тохиолдолд:

a) U( x 0 , d)О Д(е) , Харин е(x) тэгш байдал хангагдахгүй

б) U * ( x 0 , d)О Д(е) .

Энгийн функцүүдийн хувьд зөвхөн b) тохиолдол боломжтой.

Болъё x 0 - функцийн таслах цэг е(x) .

ТОДОРХОЙЛОЛТ. x цэг 0 дуудсан таслах цэг I төрлийн хэрэв функц f(x)Энэ үед баруун болон зүүн талдаа хязгаарлагдмал хязгаартай.

Хэрэв эдгээр хязгаарууд тэнцүү бол x цэг 0 дуудсан зөөврийн таслах цэг , өөрөөр - үсрэх цэг .

ТОДОРХОЙЛОЛТ. x цэг 0 дуудсан таслах цэг II төрлийн хэрэв функцийн нэг талын хязгаарын нэгээс доошгүй бол f(x)энэ үед тэнцүү байна¥ эсвэл байхгүй.

12) Интервал дээр үргэлжилсэн функцүүдийн шинж чанарууд (Вейерштрассын теоремууд (баталгаагүй) ба Коши).

Вейерштрассын теорем

Дараа нь f(x) функц интервал дээр тасралтгүй байг

1)f(x) нь хязгаарлагдмал

2) f(x) интервал дээрх хамгийн бага ба хамгийн том утгыг авна

Тодорхойлолт: m=f функцийн утгыг дурын x€ D(f) хувьд m≤f(x) бол хамгийн бага нь гэнэ.

Аливаа x € D(f)-ийн хувьд m≥f(x) бол m=f функцийн утгыг хамгийн их гэж хэлнэ.

Функц нь сегментийн хэд хэдэн цэг дээр хамгийн бага/том утгыг авч болно.

f(x 3)=f(x 4)=макс

Коши теорем.

f(x) функц нь хэрчим дээр тасралтгүй байх ба x нь f(a) ба f(b)-ийн хооронд агуулагдах тоо гэж үзье, тэгвэл f(x 0)= g байхаар ядаж нэг x 0 € цэг байна.

Одоо сэтгэл санаа тайван байж, цааш нь авч үзье гайхалтай хязгаарууд.
шиг харагдаж байна.

Х хувьсагчийн оронд янз бүрийн функцууд байж болох бөгөөд гол зүйл нь 0 байх хандлагатай байдаг.

Хязгаарыг тооцоолох шаардлагатай

Таны харж байгаагаар энэ хязгаар нь анхны гайхалтай зүйлтэй маш төстэй боловч энэ нь бүхэлдээ үнэн биш юм. Ерөнхийдөө, хэрэв та хязгаарт гэм нүглийг анзаарсан бол эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглах боломжтой эсэх талаар нэн даруй бодох хэрэгтэй.

Манай №1 дүрмийн дагуу бид x-ийн оронд тэгийг орлуулна.

Бид тодорхойгүй байдлыг олж авдаг.

Одоо анхны гайхалтай хязгаарыг өөрсдөө зохион байгуулахыг хичээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд энгийн хослол хийцгээе:

Тиймээс бид 7x-ийг тодруулахын тулд тоологч ба хуваагчийг зохион байгуулдаг. Одоо танил гайхалтай хязгаар аль хэдийн гарч ирэв. Шийдвэр гаргахдаа үүнийг тодруулахыг зөвлөж байна:

Эхний гайхалтай жишээн дээрх шийдлийг орлуулж, дараахь зүйлийг олж авцгаая.

Бутархай хэсгийг хялбарчлах:

Хариулт: 7/3.

Таны харж байгаагаар бүх зүйл маш энгийн.

шиг харагдаж байна , энд e = 2.718281828... иррационал тоо.

x хувьсагчийн оронд янз бүрийн функцууд байж болно, гол нь тэдгээр нь .

Хязгаарыг тооцоолох шаардлагатай

Энд бид хязгаарын тэмдгийн дор зэрэг байгааг харж байгаа бөгөөд энэ нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг ашиглах боломжтой гэсэн үг юм.

Ердийнх шигээ бид №1 дүрмийг ашиглах болно - оронд нь x-г орлуулах болно:

Эндээс харахад х дээр градусын суурь нь , илтгэгч нь 4x > , i.e. Бид маягтын тодорхой бус байдлыг олж авна:

Хоёрдахь гайхамшигтай хязгаарыг ашиглан тодорхойгүй байдлаа илчилье, гэхдээ эхлээд үүнийг зохион байгуулах хэрэгтэй. Таны харж байгаагаар илэрхийлэл өөрчлөгдөхгүйн тулд бид суурийг 3x, үүнтэй зэрэгцэн 1/3x хүртэл өсгөх үзүүлэлтэд хүрэх хэрэгтэй.

Манай гайхалтай хязгаарыг онцлохоо бүү мартаарай:

Тэд үнэхээр ийм л байдаг гайхалтай хязгаарууд!
Хэрэв танд асуулт байгаа бол эхний болон хоёр дахь гайхалтай хязгаарууд, дараа нь тэднээс сэтгэгдэл дээр асуугаарай.
Бид аль болох хүн бүрт хариулах болно.

Та мөн энэ сэдвээр багштай хамтран ажиллах боломжтой.
Бид танай хотод мэргэшсэн багш сонгох үйлчилгээг санал болгож байгаадаа таатай байна. Манай түншүүд танд таатай нөхцөлөөр сайн багшийг хурдан сонгох болно.

Мэдээлэл хангалтгүй байна уу? - Чи чадна !

Та тэмдэглэлийн дэвтэрт математикийн тооцоо бичиж болно. Лого (http://www.blocnot.ru) бүхий дэвтэрт тусад нь бичих нь илүү тааламжтай байдаг.

Энэхүү нийтлэл: "Хоёр дахь гайхалтай хязгаар" нь дараахь хэлбэрийн тодорхойгүй байдлын хүрээнд тодруулгад зориулагдсан болно.

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ болон $ ^\infty $.

Түүнчлэн, ийм тодорхой бус байдлыг экспоненциал функцийн логарифм ашиглан илрүүлж болох боловч энэ нь шийдлийн өөр арга бөгөөд үүнийг өөр өгүүллээр авч үзэх болно.

Томъёо ба үр дагавар

Томъёохоёр дахь гайхалтай хязгаарыг дараах байдлаар бичнэ: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( энд ) e \ойролцоогоор 2.718 $$

Энэ нь томъёоноос гардаг үр дагавар, эдгээр нь хязгаартай жишээг шийдвэрлэхэд ашиглахад маш тохиромжтой: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( Энд ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Хоёрдахь гайхалтай хязгаарыг экспоненциал функцэд үргэлж хэрэглэж болохгүй, гэхдээ зөвхөн суурь нь нэгдмэл байх хандлагатай тохиолдолд л хэрэглэгдэх болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд суурийн хязгаарыг оюун ухаанаар тооцоолж, дараа нь дүгнэлт гарга. Энэ бүгдийг жишээ шийдэлд авч үзэх болно.

Шийдлийн жишээ

Шууд томъёо, түүний үр дагаврыг ашиглан шийдлийн жишээг авч үзье. Бид томъёо шаардлагагүй тохиолдлуудад дүн шинжилгээ хийх болно. Зөвхөн бэлэн хариултыг бичихэд л хангалттай.

Асуудал нь хоёр дахь гайхалтай хязгаартай төстэй боловч үүнгүйгээр шийдэж болох тохиолдлуудыг авч үзье.

"Хоёр дахь гайхалтай хязгаар: Шийдлийн жишээ" нийтлэлд томъёо, түүний үр дагаварт дүн шинжилгээ хийж, энэ сэдвийн асуудлын нийтлэг төрлүүдийг өгсөн болно.