Лимитийн жишээг тооцоолох. Функцийн хязгаар - тодорхойлолт, теорем ба шинж чанарууд

Дээрх нийтлэлээс та ямар хязгаарлалт, юугаар хооллодогийг олж мэдэх боломжтой - энэ нь маш чухал юм. Яагаад? Та тодорхойлогч гэж юу болохыг ойлгохгүй байж, тэдгээрийг амжилттай шийдэж чадахгүй байж магадгүй бөгөөд та дериватив гэж юу болохыг огт ойлгохгүй байж магадгүй бөгөөд тэдгээрийг "А"-тай олох болно. Гэхдээ хэрэв та хязгаар гэж юу болохыг ойлгохгүй байгаа бол практик даалгавруудыг шийдвэрлэхэд хэцүү байх болно. Мөн жишээ шийдэл болон миний дизайны зөвлөмжүүдтэй танилцах нь зүйтэй болов уу. Бүх мэдээллийг энгийн бөгөөд хүртээмжтэй хэлбэрээр үзүүлэв.

Мөн энэ хичээлийн зорилгоор бидэнд дараах сургалтын хэрэглэгдэхүүн хэрэгтэй болно. Гайхамшигтай хязгааруудТэгээд Тригонометрийн томъёо. Тэдгээрийг хуудаснаас олж болно. Гарын авлагыг хэвлэх нь хамгийн сайн арга юм - энэ нь илүү тохиромжтой бөгөөд үүнээс гадна та тэдгээрийг офлайн байдлаар ашиглах шаардлагатай болдог.

Гайхалтай хязгаарын хувьд юугаараа онцлог вэ? Эдгээр хязгааруудын гайхалтай зүйл бол тэдгээрийг алдартай математикчдын агуу оюун ухаанаар нотолсон явдал бөгөөд талархалтай үр удам нь тригонометрийн функц, логарифм, хүч чадлын овоолго бүхий аймшигт хязгаараас зовох шаардлагагүй юм. Өөрөөр хэлбэл, хязгаарыг олохдоо бид онолын хувьд батлагдсан бэлэн үр дүнг ашиглах болно.

Хэд хэдэн гайхалтай хязгаарлалтууд байдаг боловч практик дээр 95% тохиолдолд хагас цагийн оюутнууд хоёр гайхалтай хязгаарлалттай байдаг. Эхний гайхалтай хязгаар, Хоёр дахь гайхалтай хязгаар. Эдгээр нь түүхэнд тогтсон нэрс бөгөөд жишээлбэл, "анхны гайхалтай хязгаар" гэж ярихдаа таазнаас авсан санамсаргүй хязгаар биш, маш тодорхой зүйлийг хэлдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Эхний гайхалтай хязгаар

Дараах хязгаарлалтыг анхаарч үзээрэй: ("тэр" гэсэн уугуул үсгийн оронд би "альфа" грек үсгийг ашиглах болно, энэ нь материалыг танилцуулах үүднээс илүү тохиромжтой).

Хязгаарыг олох манай дүрмийн дагуу (нийтлэлийг үзнэ үү Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээ) бид функцэд тэгийг орлуулахыг оролддог: тоологч дээр бид тэгийг авдаг (тэг-ийн синус нь тэг), хуваагч дээр ч тэг байх нь ойлгомжтой. Тиймээс бид азаар илчлэх шаардлагагүй хэлбэрийн тодорхой бус байдалтай тулгарч байна. Математик шинжилгээний явцад дараахь зүйлийг нотолж байна.

Математикийн энэ баримтыг нэрлэдэг Эхний гайхалтай хязгаар. Би хязгаарын аналитик нотолгоо өгөхгүй, гэхдээ бид хичээл дээр түүний геометрийн утгыг авч үзэх болно. хязгааргүй жижиг функцууд.

Ихэнхдээ практик даалгаврын функцийг өөр өөрөөр зохион байгуулж болох бөгөөд энэ нь юу ч өөрчлөхгүй.

- ижил анхны гайхалтай хязгаар.

Гэхдээ та өөрөө тоологч болон хуваагчийг өөрчилж чадахгүй! Хэрэв хязгаарыг хэлбэрээр өгсөн бол ямар нэгэн зүйлийг дахин цэгцлэхгүйгээр ижил хэлбэрээр шийдвэрлэх ёстой.

Практикт зөвхөн хувьсах хэмжигдэхүүн төдийгүй энгийн функц эсвэл комплекс функц нь параметрийн үүрэг гүйцэтгэдэг. Цорын ганц чухал зүйл бол тэглэх хандлагатай байдаг.

Жишээ нь:
, , ,

Энд , , , , мөн бүх зүйл сайн байна - эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглах боломжтой.

Гэхдээ дараах оруулга нь тэрс үзэл юм.

Яагаад? Олон гишүүнт нь тэг рүү чиглэдэггүй тул тав руу чиглэдэг.

Дашрамд хэлэхэд хурдан асуулт: хязгаар нь юу вэ? ? Хариултыг хичээлийн төгсгөлд олж болно.

Практикт бүх зүйл тийм ч жигд байдаггүй, оюутанд үнэгүй хязгаарлалтыг шийдэж, амархан нэвтрэх эрхийг санал болгодоггүй. Хммм... Би эдгээр мөрүүдийг бичиж байх үед маш чухал бодол санаанд орж ирэв - эцсийн эцэст "үнэгүй" математикийн тодорхойлолт, томъёог цээжээр санаж байх нь дээр, энэ нь асуулт гарч ирэх үед тест хийхэд үнэлж баршгүй тус болно. "хоёр" ба "гурав"-ын хооронд шийдэгдэх бөгөөд багш сурагчаас энгийн асуулт асуух эсвэл энгийн жишээг шийдэхийг санал болгохоор шийднэ ("магадгүй тэр (үүд) юу мэдэж байгаа байх?!").

Практик жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ 1

Хязгаарыг ол

Хэрэв бид хязгаарт синусыг анзаарсан бол энэ нь анхны гайхалтай хязгаарыг хэрэглэх боломжийн талаар нэн даруй бодоход хүргэнэ.

Эхлээд бид 0-ийг хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд орлуулахыг оролддог (бид үүнийг оюун ухаанаар эсвэл ноорог хэлбэрээр хийдэг):

Тиймээс бид хэлбэрийн хувьд тодорхойгүй байна зааж өгөхөө мартуузайшийдвэр гаргахдаа. Хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь анхны гайхамшигтай хязгаартай төстэй боловч энэ нь яг тийм биш, энэ нь синусын доор, харин хуваагч дээр байна.

Ийм тохиолдолд бид хиймэл техник ашиглан анхны гайхалтай хязгаарыг өөрсдөө зохион байгуулах хэрэгтэй. Үндэслэл нь дараах байдалтай байж болно: "Бидний синус дор байгаа нь бид бас хуваагчийг авах шаардлагатай гэсэн үг юм."
Мөн үүнийг маш энгийнээр хийдэг:

Өөрөөр хэлбэл, хуваагчийг энэ тохиолдолд зохиомлоор 7-оор үржүүлж, ижил долоогоор хуваана. Одоо бидний бичлэг танил болсон.
Даалгаврыг гараар зурахдаа энгийн харандаагаар эхний гайхалтай хязгаарыг тэмдэглэхийг зөвлөж байна.

Юу болсон бэ? Үнэн хэрэгтээ бидний дугуйлсан илэрхийлэл нэгж болж хувирч, ажилд алга болсон:

Одоо гурван давхар фракцаас салах л үлдлээ.

Олон түвшний бутархайг хялбарчлахаа мартсан хүн лавлах номонд байгаа материалыг дахин сэргээнэ үү. Сургуулийн математикийн хичээлийн халуун томъёо .

Бэлэн. Эцсийн хариулт:

Хэрэв та харандааны тэмдэг ашиглахыг хүсэхгүй байгаа бол шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.

“

Эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглацгаая

“

Жишээ 2

Хязгаарыг ол

Дахин бид хязгаарт бутархай ба синусыг харж байна. Тоолуур ба хуваарьт тэгийг орлуулахыг оролдъё:

Үнэхээр бидэнд тодорхойгүй байдал байгаа тул эхний гайхалтай хязгаарыг зохион байгуулахыг хичээх хэрэгтэй. Ангидаа Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээБид тодорхойгүй байгаа үед тоо болон хуваагчийг үржүүлэх хэрэгтэй гэсэн дүрмийг авч үзсэн. Энд ижил зүйл байна, бид градусыг бүтээгдэхүүн (үржүүлэгч) хэлбэрээр илэрхийлнэ.

Өмнөх жишээний нэгэн адил бид гайхалтай хязгаарын эргэн тойронд харандаа зурж (энд хоёр нь байна), тэдгээр нь нэгдмэл байх хандлагатай байгааг илтгэнэ.

Үнэндээ хариулт бэлэн байна:

Дараах жишээнүүдэд би Paint дээр урлаг хийхгүй, дэвтэр дээрээ шийдлийг хэрхэн зөв зурах талаар бодож байна - та аль хэдийн ойлгосон.

Жишээ 3

Хязгаарыг ол

Хязгаарлалтын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд тэгийг орлуулна.

Ил болгох шаардлагатай тодорхойгүй байдал үүссэн. Хэрэв хязгаарт шүргэгч байгаа бол үүнийг сайн мэддэг тригонометрийн томъёог ашиглан бараг үргэлж синус ба косинус болгон хувиргадаг (дашрамд хэлэхэд тэд котангенстай ижил зүйлийг хийдэг, арга зүйн материалыг үзнэ үү. Халуун тригонометрийн томъёохуудсан дээр Математикийн томъёо, хүснэгт, лавлах материал).

Энэ тохиолдолд:

Тэг косинус нь нэгтэй тэнцүү бөгөөд үүнийг арилгахад хялбар байдаг (энэ нь нэг рүү чиглэж байгааг тэмдэглэхээ мартуузай):

Тиймээс, хэрэв хязгаарт косинус нь ҮРЖҮҮЛЭГЧ юм бол түүнийг ойролцоогоор нэгж болгон хувиргах шаардлагатай бөгөөд энэ нь бүтээгдэхүүнд алга болно.

Энд бүх зүйл үржүүлэх, хуваахгүйгээр илүү хялбар болсон. Эхний гайхалтай хязгаар нь нэг болж хувирч, бүтээгдэхүүнд алга болно.

Үүний үр дүнд хязгааргүй байдлыг олж авдаг бөгөөд энэ нь тохиолддог.

Жишээ 4

Хязгаарыг ол

Тоолуур ба хуваарьт тэгийг орлуулахыг оролдъё.

Тодорхой бус байдлыг олж авна (бидний санаж байгаагаар тэг косинус нь нэгтэй тэнцүү)

Бид тригонометрийн томъёог ашигладаг. Анхаарна уу! Зарим шалтгааны улмаас энэ томъёог ашиглах хязгаарлалт нь маш түгээмэл байдаг.

Тогтмол хүчин зүйлсийг хязгаарын дүрсээс цааш шилжүүлье:

Эхний гайхалтай хязгаарыг зохион байгуулъя:

Энд бид зөвхөн нэг гайхалтай хязгаарлалттай бөгөөд энэ нь нэг болж хувирч, бүтээгдэхүүнд алга болдог:

Гурван давхар бүтцээс салцгаая:

Хязгаар нь үнэхээр шийдэгдсэн тул бид үлдсэн синус тэг рүү чиглэж байгааг харуулж байна:

Жишээ 5

Хязгаарыг ол

Энэ жишээ нь илүү төвөгтэй тул үүнийг өөрөө олж мэдээрэй.

Хувьсагчийг өөрчилснөөр зарим хязгаарыг 1-р гайхалтай хязгаар хүртэл бууруулж болно, та энэ тухай нийтлэлээс бага зэрэг уншиж болно. Хязгаарыг шийдвэрлэх аргууд.

Хоёр дахь гайхалтай хязгаар

Математик анализын онолд дараахь зүйлийг нотолсон.

Энэ баримт гэж нэрлэдэг хоёр дахь гайхалтай хязгаар.

Лавлагаа: иррационал тоо юм.

Параметр нь зөвхөн хувьсагч төдийгүй нарийн төвөгтэй функц байж болно. Ганц чухал зүйл бол хязгааргүйд тэмүүлдэг.

Жишээ 6

Хязгаарыг ол

Хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь зэрэгтэй байвал энэ нь та хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг хэрэгжүүлэхийг хичээх хэрэгтэй гэсэн эхний шинж тэмдэг юм.

Гэхдээ эхлээд бид үргэлжийн адил илэрхийлэлд хязгааргүй их тоог орлуулахыг хичээдэг бөгөөд үүнийг хийх зарчмыг хичээл дээр авч үзсэн болно. Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээ.

Хэзээ гэдгийг анзаарахад амархан зэрэгийн суурь нь , илтгэгч нь байна , өөрөөр хэлбэл, хэлбэр нь тодорхойгүй байна:

Энэхүү тодорхой бус байдал нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарын тусламжтайгаар тодорхойлогддог. Гэхдээ ихэвчлэн тохиолддог шиг хоёр дахь гайхамшигтай хязгаар нь мөнгөн таваг дээр байдаггүй бөгөөд үүнийг зохиомлоор зохион байгуулах шаардлагатай байдаг. Та дараах байдлаар тайлбарлаж болно: энэ жишээн дээр параметр нь , энэ нь бид бас индикаторыг зохион байгуулах шаардлагатай гэсэн үг юм. Үүнийг хийхийн тулд бид суурийг хүч чадалд дээшлүүлж, илэрхийлэл өөрчлөгдөхгүйн тулд бид үүнийг хүчирхэг болгон дээшлүүлнэ.

Даалгаврыг гараар хийж дуусгахад бид харандаагаар тэмдэглэнэ.

Бараг бүх зүйл бэлэн болсон, аймшигтай зэрэг нь сайхан захидал болж хувирав:

Энэ тохиолдолд бид хязгаарын дүрсийг өөрөө заагч руу шилжүүлдэг:

Жишээ 7

Хязгаарыг ол

Анхаар! Энэ төрлийн хязгаарлалт маш олон удаа тохиолддог тул энэ жишээг сайтар судалж үзээрэй.

Хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд хязгааргүй их тоог орлуулахыг оролдъё.

Үр дүн нь тодорхойгүй байдал юм. Гэхдээ хоёр дахь гайхалтай хязгаар нь маягтын тодорхойгүй байдалд хамаарна. Юу хийх вэ? Бид градусын суурийг хөрвүүлэх хэрэгтэй. Бид ингэж тайлбарлаж байна: хуваагч дээр бид байгаа бөгөөд энэ нь тоологч дээр бид бас зохион байгуулах шаардлагатай гэсэн үг юм.

Хязгаарыг олох тухай асуудлыг шийдвэрлэх Хязгаарыг олох асуудлыг шийдвэрлэхдээ зарим хязгаарыг санаж байх хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр тэдгээрийг дахин тооцоолох бүрд байх болно. Эдгээр мэдэгдэж буй хязгаарыг нэгтгэснээр бид § 4-т заасан шинж чанаруудыг ашиглан шинэ хязгаарлалтуудыг олох болно. Тохиромжтой болгох үүднээс бид хамгийн их тулгардаг хязгааруудыг танилцуулж байна: Хязгаар 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), хэрэв f (x) тасралтгүй бол x a Хэрэв функц тасралтгүй байх нь мэдэгдэж байгаа бол хязгаарыг олохын оронд функцийн утгыг тооцоолно. Жишээ 1. Lim (x*-6l:+ 8)-ийг ол. Олон гишүүнт X->2 гишүүний функц тасралтгүй байх тул lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Жишээ 2. Ол. лим -Г. . Эхлээд хуваагчийн хязгаарыг олно: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; энэ нь X-Y1 тэгтэй тэнцүү биш бөгөөд энэ нь бид 4 § 4 шинж чанарыг ашиглаж болно, тэгвэл x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. Хязгаар хуваагч X X нь тэгтэй тэнцүү тул § 4-ийн 4-р өмчийг хэрэглэх боломжгүй, харин хуваагч нь тогтмол тоо бөгөөд хуваагч нь [x2x) -> -0 бол x - 1-д бүхэл бутархай тодорхойгүй хэмжээгээр нэмэгддэг. үнэмлэхүй утга, өөрөөр хэлбэл lim " 1 X - * - - 1 x* + x Жишээ 4. lim\-ll*"-г ол!"" "Хүлээгчийн хязгаар тэг байна: lim (xr-6lg+ 8) = 2*- 6-2 + 8 = 0, тиймээс X шинж чанар 4 § 4 хамаарахгүй. Гэхдээ тоологчийн хязгаар нь мөн тэгтэй тэнцүү байна: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Тэгэхээр тоологч ба хуваагчийн хязгаар нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү байна. Гэсэн хэдий ч 2-ын тоо нь хүртэгч ба хувагчийн аль алиных нь үндэс учир бутархайг x-2 зөрүүгээр багасгаж болно (Безутын теоремын дагуу). Үнэндээ x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" тиймээс xr- - f- 6 g x-3 -1 1 Жишээ 5. lim xn (n бүхэл тоо, эерэг)-ийг ол. X-тэй Бидэнд xn = X* X байна. . X, n удаа Хүчин зүйл бүр хязгааргүй өсдөг тул бүтээгдэхүүн мөн хязгааргүй өсдөг, өөрөөр хэлбэл lim xn = oo. x oo Жишээ 6. lim xn(n бүхэл тоо, эерэг)-ийг ол. X -> - CO Бидэнд xn = x x... x байна. Хүчин зүйл бүр сөрөг хэвээр байхын зэрэгцээ үнэмлэхүй утгаараа өсдөг тул тэгш хэмтэй тохиолдолд эерэг хэвээр байх үед бүтээгдэхүүн нь хязгааргүй өсөх болно, өөрөөр хэлбэл lim *n = + oo (бүр n хувьд). *-* -о сондгой градусын хувьд бүтээгдэхүүний үнэмлэхүй утга өсөх боловч сөрөг хэвээр байна, өөрөөр хэлбэл lim xn = - oo (n сондгой үед). p -- 00 Жишээ 7. lim -ийг ол. x x-*- co * Хэрэв m>pu бол бид бичиж болно: m = n + kt энд k>0. Иймд xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x - x> A x yu Бид 6-р жишээнд ирлээ. If ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x -* yu A X -> co Энд тоологч тогтмол хэвээр байх ба хуваагч нь үнэмлэхүй утгаараа өсөх тул lim -ь = 0. X - *oo X* Энэ жишээний үр дүнг дараах хэсэгт санахыг зөвлөж байна. дараах хэлбэр: Хүчин чадлын функц хурдан өсөх тусам экспонент том болно. $хв_Зхг + 7 Жишээ 8. lim g L -г-=-г олоорой. Энэ жишээнд x-*® «J* "Г bХ -ох-о ба хуваагч болон хуваагч нь хязгааргүй нэмэгдэнэ. Тоолуур ба хуваагчийг хоёуланг нь хуваая. хуваагчийг x-ийн хамгийн их хүчээр, өөрөөр хэлбэл xb дээр, дараа нь 3 7_ Жишээ 9. Лирийг олж хувиргах замаар бид лира ^ = lim X CO + 3 7 3 lim -5 = 0, lim -, = 0 болно. , тэгвэл хуваарийн хязгаар 1-тэй тэнцүү байна.Тиймээс бүхэл бутархай хязгааргүй өснө, өөрөөр хэлбэл t lim. cos*-функц тасралтгүй гэдгийг санаарай: лира (2 + cos x) = 2. + cozy =2 Дараа нь x->- S lim (l-fsin*) Жишээ 15. lim * -ийг ол.<*-e>2 ба lim e "(X"a)\ Поло X-+ ± co X ± CO дар (l: - a)2 = z; (n;-a)2 нь x-тэй үргэлж сөрөг бус, хязгааргүй өсдөг тул x- ±oo үед шинэ хувьсагч z-*oc. Тиймээс бид qt £ олж авна<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (§5-ийн тайлбарыг үзнэ үү). g -*■ co Үүний нэгэн адил, lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, учир нь x ± oo g m - (x- a)z нь x ->±oo байдлаар хязгааргүй буурдаг (§-ийн тэмдэглэлийг үзнэ үү).

Хэд хэдэн тод жишээг авч үзье.

X нь тоон хувьсагч, X нь түүний өөрчлөлтийн талбар байцгаая. Хэрэв X-д хамаарах х тоо бүр тодорхой у тоотой холбоотой бол тэд X олонлог дээр функц тодорхойлогдсон гэж хэлээд y = f(x) гэж бичнэ.
Энэ тохиолдолд X багц нь 0X ба 0Y гэсэн хоёр координатын тэнхлэгээс бүрдэх хавтгай юм. Жишээлбэл, y = x 2 функцийг дүрсэлье. 0X ба 0Y тэнхлэгүүд нь X-ийг үүсгэдэг - түүний өөрчлөлтийн талбай. Зураг нь функц хэрхэн ажилладагийг тодорхой харуулж байна. Энэ тохиолдолд y = x 2 функц нь X олонлог дээр тодорхойлогддог гэж тэд хэлдэг.

Функцийн бүх хэсэгчилсэн утгуудын Y олонлогийг f(x) утгын олонлог гэнэ. Өөрөөр хэлбэл утгын багц нь функцийг тодорхойлсон 0Y тэнхлэгийн дагуух интервал юм. Дүрсэлсэн парабол нь f(x) > 0 гэдгийг тодорхой харуулж байна, учир нь x2 > 0. Тиймээс утгын хүрээ нь . Бид олон утгыг 0Y-ээр хардаг.

Бүх x-ийн олонлогийг f(x)-ийн муж гэнэ. Бид олон тодорхойлолтыг 0X-ээр хардаг бөгөөд бидний хувьд зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ нь [-; +].

Хэрэв а цэгийн аль ч орчимд а-аас өөр X олонлогийн цэгүүд байвал a (a-д хамаарах эсвэл X) цэгийг X олонлогийн хязгаарын цэг гэнэ.

Функцийн хязгаар гэж юу болохыг ойлгох цаг нь болсон уу?

Х нь а тоо руу чиглэдэг шиг функц нь чиглэдэг цэвэр b-г гэнэ функцийн хязгаар. Үүнийг дараах байдлаар бичсэн байна.

Жишээлбэл, f(x) = x 2. Бид x 2 дээр функц ямар хандлагатай байгааг (тэнцүү биш) олж мэдэх хэрэгтэй. Эхлээд бид хязгаарыг бичнэ.

Графикийг харцгаая.

0X тэнхлэгийн 2-р цэгээр 0Y тэнхлэгтэй параллель шугам татъя. Энэ нь (2;4) цэг дээр бидний графикийг огтолно. Энэ цэгээс 0Y тэнхлэг рүү перпендикуляр буулгаж, 4-р цэг рүү орцгооё. Манай функц x 2 дээр үүнийг зорьдог. Хэрэв бид одоо f(x) функцэд 2-ын утгыг орлуулах юм бол хариулт нь ижил байх болно. .

Одоо цааш явахаасаа өмнө хязгаарын тооцоо, үндсэн тодорхойлолтуудыг танилцуулъя.

19-р зуунд Францын математикч Августин Луи Коши танилцуулсан.

f(x) функц нь x = A цэгийг агуулсан тодорхой интервал дээр тодорхойлогддог гэж үзье, гэхдээ f(A)-ийн утгыг тодорхойлох нь огт шаардлагагүй юм.

Дараа нь Кошигийн тодорхойлолтоор функцийн хязгаарХэрэв C > 0 бүрт D > 0 тоо байвал f(x) нь тодорхой B тоо байх бөгөөд х нь А руу чиглэдэг.

Тэдгээр. хэрэв x А цэг дэх f(x) функц нь В хязгаараар хязгаарлагдмал бол үүнийг ингэж бичнэ

Дарааллын хязгаарХэрэв дурын жижиг эерэг тоо B > 0 тохиолдолд n > N тохиолдолд бүх утгууд тэгш бус байдлыг хангадаг N тоо байвал тодорхой А тоог дуудна.

Энэ хязгаар нь иймэрхүү харагдаж байна.

Хязгаарлалттай дарааллыг конвергент гэж нэрлэнэ, хэрэв үгүй бол бид үүнийг дивергент гэж нэрлэнэ.

Та аль хэдийн анзаарсанчлан хязгаарыг lim дүрсээр зааж өгсөн бөгөөд үүний доор хувьсагчийн зарим нөхцөл бичигдсэн бөгөөд дараа нь функц өөрөө бичигдсэн байдаг. Ийм олонлогийг "... хамаарах функцийн хязгаар" гэж унших болно. Жишээ нь:

- функцийн хязгаар нь x нь 1 рүү чиглэдэг.

"1-д ойртож байна" гэсэн илэрхийлэл нь x нь 1-д хязгааргүй ойртсон утгыг дараалан авдаг гэсэн үг юм.

Одоо энэ хязгаарыг тооцоолохын тулд 1 утгыг x-д орлуулахад хангалттай болох нь тодорхой боллоо.

Тодорхой тоон утгаас гадна x нь мөн хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Жишээ нь:

Х илэрхийлэл нь х нь байнга нэмэгдэж, хязгааргүй хязгааргүйд ойртож байна гэсэн үг юм. Иймд х-г хязгааргүйг орлуулбал 1-x функц нь эсрэг тэмдгээр байх хандлагатай болох нь тодорхой болно.

Тиймээс, хязгаарын тооцооЭнэ нь түүний тодорхой утгыг эсвэл хязгаараар хязгаарлагдсан функц унах тодорхой хэсгийг олоход хүргэдэг.

Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн хязгаарыг тооцоолохдоо хэд хэдэн дүрмийг ашиглах нь чухал юм.

Ойлголт хязгаарын мөн чанарболон үндсэн дүрэм хязгаарын тооцоо, та тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар гол ойлголттой болох болно. Хэрэв ямар нэгэн хязгаарлалт танд хүндрэл учруулж байвал сэтгэгдэл дээр бичээрэй, бид танд туслах болно.

Тайлбар: Хууль зүй бол зөрчилдөөн болон амьдралын бусад бэрхшээлийг шийдвэрлэхэд тусалдаг хууль зүйн шинжлэх ухаан юм.

Сэдэв 4.6 Хязгаарлалтын тооцоо

Функцийн хязгаар нь хязгаарын цэг дээр тодорхойлогдсон эсэхээс хамаардаггүй. Гэхдээ үндсэн функцүүдийн хязгаарыг тооцоолох практикт энэ нөхцөл байдал чухал ач холбогдолтой юм.

1. Хэрэв функц нь энгийн бөгөөд хэрэв аргументийн хязгаарын утга нь түүний тодорхойлолтын мужид хамаарах бол функцийн хязгаарыг тооцоолохдоо аргументийн хязгаарын утгыг энгийн орлуулалт болгон бууруулна. f (x) энгийн функцийн хязгаар at х тэмүүлж байнаА Тодорхойлолтын мужид орсон , х = дээрх функцийн хэсэгчилсэн утгатай тэнцүү байна А, өөрөөр хэлбэл lim f(x)=f( а) .

2. Хэрэв x нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай байдагэсвэл аргумент нь функцийн тодорхойлолтын мужид хамаарахгүй тоо руу чиглэдэг бол ийм тохиолдол бүрт функцийн хязгаарыг олох нь тусгай судалгаа шаарддаг.

Томъёо болгон ашиглаж болох хязгаарын шинж чанарт суурилсан хамгийн энгийн хязгааруудыг доор харуулав.

Функцийн хязгаарыг олох илүү төвөгтэй тохиолдлууд:

тус бүрийг тусад нь авч үздэг.

Энэ хэсэгт тодорхой бус байдлыг илчлэх үндсэн аргуудыг тоймлон харуулах болно.

1. Тухайн үед х тэмүүлж байнаА f(x) функц нь хоёр хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн харьцааг илэрхийлнэ

a) Эхлээд та функцийн хязгаарыг шууд орлуулах замаар олох боломжгүй эсэхийг шалгах хэрэгтэй бөгөөд аргумент дахь заасан өөрчлөлтөөр энэ нь хоёр хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүний харьцааг илэрхийлнэ. Бутархайг 0-д чиглэсэн хүчин зүйлээр багасгахын тулд хувиргалтыг хийдэг. Функцийн хязгаарын тодорхойлолтын дагуу х аргумент нь хэзээ ч түүнтэй давхцдаггүй, түүний хязгаарын утга руу чиглэдэг.

Ерөнхийдөө хэрэв бид функцийн хязгаарыг хайж байгаа бол х тэмүүлж байнаА , тэгвэл та x утга авахгүй гэдгийг санах хэрэгтэй А, өөрөөр хэлбэл x нь a-тай тэнцүү биш.

b) Безоутын теоремыг хэрэглэсэн. Хэрэв та хуваагч болон хуваагч нь х = хязгаарын цэг дээр алга болох олон гишүүнт бутархайн хязгаарыг хайж байгаа бол. А, тэгвэл дээрх теоремын дагуу олон гишүүнт хоёулаа x-т хуваагдана. А.

в) Тоолуур эсвэл хуваагч дахь иррационалийг иррационал илэрхийлэлд нэгтгэгчээр үржүүлэх замаар устгаж, дараа нь хялбаршуулсаны дараа бутархайг багасгана.

d) 1-р гайхалтай хязгаарыг (4.1) ашигладаг.

e) Хязгааргүй жижиг тоонуудын эквивалентийн тухай теорем ба дараах зарчмуудыг ашиглана.

2. Тухайн тохиолдол хэзээ х тэмүүлж байнаА f(x) функц нь хоёр хязгааргүй их хэмжээний харьцааг илэрхийлнэ

a) Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үл мэдэгдэх хамгийн дээд зэрэгт хуваах.

б) Ерөнхийдөө та дүрмийг ашиглаж болно

3. Тухайн тохиолдол хэзээ х тэмүүлж байнаА f (x) функц нь хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүн ба хязгааргүй их хэмжээний үржвэрийг илэрхийлнэ.

Бутархай нь тоологч ба хуваагч нь нэгэн зэрэг 0 эсвэл хязгааргүй рүү чиглэдэг хэлбэрт хувирдаг, өөрөөр хэлбэл. 3-р тохиолдол 1 эсвэл 2-р тохиолдол болж буурна.

4. Тухайн тохиолдол хэзээ х тэмүүлж байнаА f (x) функц нь хоёр эерэг хязгааргүй их хэмжигдэхүүний зөрүүг илэрхийлнэ

Энэ тохиолдлыг дараах аргуудын аль нэгээр 1 эсвэл 2 төрөл болгон бууруулна.

a) бутархайг нийтлэг хуваагч руу оруулах;

б) функцийг бутархай болгон хувиргах;

в) үндэслэлгүй байдлаас ангижрах.

5. Тухайн тохиолдол хэзээ х тэмүүлж байнаА f(x) функц нь суурь нь 1, илтгэгч нь хязгааргүйд чиглэсэн хүчийг илэрхийлнэ.

Функцийг 2-р гайхалтай хязгаарыг ашиглах байдлаар өөрчилсөн (4.2).

Жишээ.Хай .

Учир нь x 3 руу чиглэдэг, тэгвэл бутархайн хуваагч нь 3 2 +3 *3+4=22, хуваагч нь 3+8=11 гэсэн тоо руу чиглэнэ. Тиймээс,

Жишээ

Энд бутархайн хүртэгч ба хуваагч байна x 2 руу чиглэж байна 0 (төрлийн тодорхойгүй байдал) руу чиглэнэ, бид тоологч ба хуваагчийг үржвэрлэх, бид lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)-ыг авна.

Жишээ

Тоолуур ба хуваагчийг тоологчтой нийлдэг илэрхийллээр үржүүлэхэд бид байна

Тоолуур дахь хашилтыг нээвэл бид олж авна

Жишээ

2-р түвшин. Жишээ. Функцийн хязгаарын тухай ойлголтыг эдийн засгийн тооцоонд хэрэглэх жишээг өгье. Ердийн санхүүгийн гүйлгээг авч үзье: хэмжээний зээл олгох С 0 гэсэн нөхцөлтэйгээр тодорхой хугацааны дараа Тдүнг буцаан олгоно С Т. Үнэ цэнийг тодорхойлъё r харьцангуй өсөлттомъёо

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

Харьцангуй өсөлтийг үр дүнгийн утгыг үржүүлэх замаар хувиар илэрхийлж болно r 100-аар.

Томъёогоор (1) утгыг тодорхойлоход хялбар байдаг С Т:

С Т= С 0 (1 + r)

Хэдэн бүтэн жилийн урт хугацааны зээлийг тооцохдоо нийлмэл хүүгийн схемийг ашигладаг. Энэ нь 1-р жил бол энэ хэмжээнээс бүрддэг С 0 нь (1 +) хүртэл нэмэгддэг r) удаа, дараа нь хоёр дахь жилдээ (1 + r) дахин нэмэгдэнэ С 1 = С 0 (1 + r), өөрөөр хэлбэл С 2 = С 0 (1 + r) 2 . Энэ нь ижил төстэй харагдаж байна С 3 = С 0 (1 + r) 3. Дээрх жишээнүүдээс та үнийн дүнгийн өсөлтийг тооцоолох ерөнхий томъёог гаргаж болно nНийлмэл хүүгийн схемийг ашиглан тооцоолох жил:

S n= С 0 (1 + r) n.

Санхүүгийн тооцоонд нийлмэл хүүг жилд хэд хэдэн удаа тооцдог схемийг ашигладаг. Энэ тохиолдолд үүнийг зааж өгсөн болно жилийн ханш rТэгээд жилийн хуримтлалын тоо к. Дүрмээр бол хуримтлалыг тэнцүү интервалаар, өөрөөр хэлбэл интервал бүрийн уртаар хийдэг Tkжилийн нэг хэсгийг бүрдүүлдэг. Дараа нь тухайн хугацаанд Тжил (энд Тбүхэл тоо байх албагүй) дүн С Ттомъёогоор тооцоолно

(2)

Тухайн тоотой давхцаж буй тооны бүхэл хэсэг хаана байна, жишээ нь: Т? бүхэл тоо.

Жилийн ханш ийм байг rбөгөөд үйлдвэрлэдэг nтогтмол давтамжтайгаар жилд хуримтлал . Дараа нь тухайн жилийн дүн С 0-ийг томъёогоор тодорхойлсон утга хүртэл нэмэгдүүлнэ

(3)

Онолын шинжилгээ болон санхүүгийн үйл ажиллагааны практикт "тасралтгүй хуримтлагдсан хүү" гэсэн ойлголт ихэвчлэн тулгардаг. Тасралтгүй хуримтлагдсан хүү рүү шилжихийн тулд та (2) ба (3) томъёонд тоонуудыг тодорхойгүй хугацаагаар нэмэгдүүлэх шаардлагатай. кТэгээд n(өөрөөр хэлбэл чиглүүлэх кТэгээд nхязгаар хүртэл) ба функцууд ямар хязгаарт чиглэхийг тооцоол С ТТэгээд С 1. Энэ процедурыг (3) томъёонд хэрэглэцгээе:

Буржгар хаалт дахь хязгаар нь хоёр дахь гайхалтай хязгаартай давхцаж байгааг анхаарна уу. Үүнээс үүдэн жилийн ханшаар rтасралтгүй хуримтлагдсан хүүтэй, хэмжээ С 1 жилийн 0 нь үнэ цэнэ хүртэл нэмэгддэг С 1 *, томъёогоор тодорхойлогддог

С 1 * = С 0 e r (4)

Одоо нийлбэрээ гаргая С 0-ийг хүүгийн нэмэгдэлтэйгээр зээлээр олгож байна nжилд нэг удаа тогтмол давтамжтайгаар. гэж тэмдэглэе r eжилийн эцэст жилийн ханш С 0 нь утга хүртэл нэмэгддэг С 1 * томъёоноос (4). Энэ тохиолдолд бид үүнийг хэлэх болно r e- Энэ жилийн хүү nжилд нэг удаа, жилийн хүүтэй тэнцэх rтасралтгүй хуримтлалтай.(3) томъёоноос бид олж авна

S* 1 =S 0 (1+r e /n) n

Сүүлчийн томьёо ба томъёоны (4) баруун гар талыг тэнцүүлж, сүүлчийнх нь гэж үзнэ Т= 1, бид хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг гаргаж чадна rТэгээд r e:

Эдгээр томъёог санхүүгийн тооцоололд өргөн ашигладаг.

Функцийн хязгаар- тоо аХэрэв энэ хувьсах хэмжигдэхүүн өөрчлөгдөх явцад тодорхойгүй хугацаагаар ойртвол зарим нэг хувьсах хэмжигдэхүүний хязгаар болно. а.

Өөрөөр хэлбэл, тоо Ань функцийн хязгаар юм у = f(x)цэг дээр x 0, хэрэв функцийн тодорхойлолтын мужаас ямар нэгэн цэгийн дарааллын хувьд тэнцүү биш x 0, аль нь цэгт нийлдэг x 0 (lim x n = x0), харгалзах функцын утгуудын дараалал нь тоонд нийлдэг А.

Хязгааргүй байх хандлагатай аргументыг өгвөл хязгаар нь тэнцүү байх функцийн график Л:

Утга Абайна функцийн хязгаар (хязгаарлалтын утга). f(x)цэг дээр x 0ямар нэг цэгийн дараалсан тохиолдолд , аль нь нийлдэг x 0, гэхдээ агуулаагүй x 0түүний элементүүдийн нэг болгон (жишээ нь цоорсон ойролцоо x 0), функцийн утгуудын дараалал -д нийлдэг А.

Кошигийн дагуу функцийн хязгаар.

Утга Абайх болно функцийн хязгаар f(x)цэг дээр x 0хэрэв урьдчилан авсан сөрөг бус тооны хувьд ε харгалзах сөрөг бус тоог олох болно δ = δ(ε) аргумент бүрийн хувьд x, нөхцөлийг хангаж байна 0 < | x - x0 | < δ , тэгш бус байдал хангагдана | f(x)A |< ε .

Хэрэв та хязгаарын мөн чанар, түүнийг олох үндсэн дүрмийг ойлговол энэ нь маш энгийн байх болно. Функцийн хязгаар гэж юу вэ f (x)цагт xтэмүүлж байна атэнцүү байна А, ингэж бичсэн байна:

Түүнээс гадна хувьсагчийн хандлагатай утга x, зөвхөн тоо биш, мөн хязгааргүй (∞), заримдаа +∞ эсвэл -∞ байж болно, эсвэл огт хязгааргүй байж болно.

Яаж гэдгийг ойлгохын тулд функцийн хязгаарыг ол, шийдлүүдийн жишээг үзэх нь дээр.

Функцийн хязгаарыг олох шаардлагатай f (x) = 1/xхаягаар:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Эхний хязгаарын шийдлийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд та зүгээр л орлуулж болно xтүүний хандлагатай тоо, i.e. 2, бид авна:

Функцийн хоёр дахь хязгаарыг олъё. Энд оронд нь цэвэр 0-ийг орлуулна xболомжгүй, учир нь Та 0-д хувааж болохгүй. Гэхдээ бид тэгтэй ойролцоо утгыг авч болно, жишээлбэл, 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 гэх мэт, мөн функцийн утга f (x)нэмэгдэх болно: 100; 1000; 10000; 100,000 гэх мэт. Тиймээс хэзээ гэж ойлгож болно x→ 0 Хязгаарын тэмдгийн доор байгаа функцын утга хязгааргүй өсөх болно, i.e. хязгааргүй рүү тэмүүл. Энэ нь:

Гурав дахь хязгаарын тухайд. Өмнөх тохиолдолтой ижил нөхцөл байдал, үүнийг орлуулах боломжгүй юм ∞ хамгийн цэвэр хэлбэрээр. Хязгааргүй өсөлтийн асуудлыг авч үзэх хэрэгтэй x. Бид 1000-ыг нэг нэгээр нь орлуулдаг; 10000; 100000 гэх мэтчилэн бидэнд функцийн утга байна f (x) = 1/xбуурах болно: 0.001; 0.0001; 0.00001; гэх мэтээр тэг рүү тэмүүлдэг. Тийм учраас:

Функцийн хязгаарыг тооцоолох шаардлагатай

Хоёр дахь жишээг шийдэж эхлэхэд бид тодорхойгүй байдлыг харж байна. Эндээс бид тоологч ба хуваагчийн хамгийн дээд зэргийг олдог - энэ бол x 3, бид үүнийг тоологч болон хуваагч дахь хаалтнаас гаргаж аваад дараа нь дараах байдлаар бууруулна.

Хариулт

Эхний алхам энэ хязгаарыг олох, оронд нь 1 утгыг орлуулна уу x, үр дүнд нь тодорхойгүй байдал үүсдэг. Үүнийг шийдэхийн тулд тоологчийг үржвэрлэж, квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох аргыг ашиглан хийцгээе. x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1.2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Тиймээс тоологч нь:

Хариулт