Зааварчилгаа
Хэрэв зураг дээр анхны векторыг тэгш өнцөгт хоёр хэмжээст координатын системээр дүрсэлсэн бол перпендикуляр байгуулах шаардлагатай бол хавтгай дээрх векторуудын перпендикуляр байдлын тодорхойлолтыг үргэлжлүүлнэ үү. Ийм хос чиглэсэн сегментийн хоорондох өнцөг нь 90 ° -тай тэнцүү байх ёстой гэж заасан байдаг. Хязгааргүй олон тооны ийм векторуудыг байгуулж болно. Тиймээс, анхны вектор руу перпендикулярыг хавтгайн аль ч тохиромжтой газар зурж, түүн дээр өгөгдсөн эрэмбэлэгдсэн хос цэгийн урттай тэнцүү сегментийг байрлуулж, түүний төгсгөлүүдийн аль нэгийг перпендикуляр векторын эхлэл болгон онооно. Үүнийг протектор ба захирагч ашиглан хий.
Анхны векторыг хоёр хэмжээст координатаар ā = (X₁;Y₁) өгвөл перпендикуляр хос векторын скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой гэж үзье. Энэ нь (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 тэнцүү байхын тулд хүссэн координатыг ō = (X₂,Y₂) сонгох шаардлагатай гэсэн үг юм X₂ координатын тэгээс ялгаатай утга, Y₂ координатыг Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁ томьёог ашиглан тооцоолно. Жишээлбэл, ā = (15;5) векторын хувьд абсцисс нь нэгтэй, ординат нь -(15*1)/5 = -3-тэй тэнцүү байх ō вектор байх болно, өөрөөр хэлбэл. ō = (1;-3).
Гурван хэмжээст болон бусад аливаа ортогональ координатын системийн хувьд векторуудын перпендикуляр байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь үнэн юм - тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Тиймээс, хэрэв анхны чиглэсэн хэрчим нь ā = (X₁,Y₁,Z₁) координатаар өгөгдсөн бол түүнд перпендикуляр (ā,ō) нөхцөлийг хангасан координатуудыг ō = (X₂,Y₂,Z₂) дараалсан хос цэгээс сонго. ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Хамгийн хялбар арга бол X₂ ба Y₂-д дан утгыг оноож, Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁*) хялбаршуулсан тэгшитгэлээс Z₂-ийг тооцоолох явдал юм. 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. Жишээлбэл, ā = (3,5,4) векторын хувьд энэ нь дараах хэлбэрийг авна: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Дараа нь абсцисс ба ординатыг авна. перпендикуляр вектор нэг байх ба энэ тохиолдолд -(3+5)/4 = -2-тэй тэнцүү байна.
Эх сурвалжууд:
- перпендикуляр бол векторыг ол
Тэдгээрийг перпендикуляр гэж нэрлэдэг вектор, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 90º байна. Перпендикуляр векторуудыг зургийн хэрэгсэл ашиглан бүтээдэг. Хэрэв тэдгээрийн координат нь мэдэгдэж байгаа бол векторуудын перпендикуляр байдлыг аналитик аргаар шалгаж эсвэл олж болно.
Танд хэрэгтэй болно
- - протектор;
- - луужин;
- - шугам.
Зааварчилгаа
Өгөгдсөнд перпендикуляр вектор байгуул. Үүнийг хийхийн тулд векторын эхлэл болох цэг дээр перпендикулярыг сэргээнэ. Үүнийг протектор ашиглан 90º өнцгөөр хийж болно. Хэрэв танд протектор байхгүй бол луужин ашиглан үүнийг хий.
Үүнийг векторын эхлэх цэг дээр тохируулна уу. Дурын радиустай тойрог зур. Дараа нь эхний тойрог векторын байрлах шугамыг огтолж буй цэгүүдэд төвтэй хоёрыг байгуул. Эдгээр тойргийн радиус нь хоорондоо тэнцүү байх ёстой бөгөөд эхний барьсан тойргоос том байх ёстой. Тойргуудын огтлолцлын цэгүүд дээр анхны векторын эхлэл дээр перпендикуляр байх шулуун шугамыг байгуулж, үүн дээр перпендикуляр векторыг зур.
Векторууд перпендикуляр байх нөхцөл
Зөвхөн цэгийн үржвэр нь тэг байвал векторууд перпендикуляр байна.
a(xa;ya) ба b(xb;yb) хоёр вектор өгөгдсөн. Хэрэв xaxb + yayb = 0 илэрхийлэл байвал эдгээр векторууд перпендикуляр байх болно.
Хэрэв хөндлөн үржвэр нь тэг байвал векторууд параллель байна
Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл. Хавтгай дээрх шулуун шугамын үндсэн бодлого.
Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамыг эхний эрэмбийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно Ax + By + C = 0, A ба B тогтмолууд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш, өөрөөр хэлбэл. A2 + B2 0. Энэ нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийг шугамын ерөнхий тэгшитгэл гэнэ. A, B, C тогтмолуудын утгуудаас хамааран дараах онцгой тохиолдлууд боломжтой: - C = 0, A 0, B 0 – шулуун шугам эхийг дайран өнгөрөх - A = 0, B 0 , C 0 (
C = 0) - Oy тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам - B = 0, A 0, C 0 ( Ax + C = 0) - Oy тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам - B = C = 0, A 0 - шулуун шугам нь Oy тэнхлэгтэй давхцаж байна - A = C = 0, B 0 – шулуун шугам нь Ox тэнхлэгтэй давхцаж байна Шулуун шугамын тэгшитгэлийг аливаа өгөгдсөн анхны нөхцлөөс хамааран янз бүрийн хэлбэрээр үзүүлж болно.
Ax+By+C=0 түвшний A, B, C коэффициентүүдийн ядаж нэг нь 0-тэй тэнцүү бол түвшин
дуудсан бүрэн бус. Шулуун шугамын тэгшитгэлийн хэлбэрээр түүний байрлалыг дүгнэж болно
тэгш байдал OXU. Боломжит тохиолдлууд:
1 C=0 L: Ax+By=0 t O(0,0) нь энэ тэгшитгэлийг хангаж байгаа нь шулуун гэсэн үг
гарал үүслээр дамждаг
2 A=0 L: Ву+С=0 - хэвийн VP n=(0,B) эндээс OX тэнхлэгт перпендикуляр байна.
шулуун шугам нь OX тэнхлэгтэй параллель байна гэсэн үг
3 V = 0 L: Ay+C=0 0 - нэрлэсэн утга n=(A,0) эндээс OY тэнхлэгт перпендикуляр байна.
Үүнээс үзэхэд шулуун шугам нь op-amp-ийн тэнхлэгтэй параллель байна
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - гарал үүслээр дамждаггүй, огтлолцдог).
хоёр тэнхлэг.
Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл ба: 
Онгоц хоорондын өнцөг.
Тодорхойлогчдын тооцоо
Тодорхойлогчдын тооцоо нь бүх эрэмбийн тодорхойлогчдод хамаарах тэдгээрийн мэдэгдэж буй шинж чанарууд дээр суурилдаг. Эдгээр шинж чанарууд нь:
1. Тодорхойлогчийн хоёр мөрийг (эсвэл хоёр баганыг) өөрчилвөл тодорхойлогч тэмдэг өөрчлөгдөнө.
2. Тодорхойлогчийн хоёр баганын (эсвэл хоёр мөр) харгалзах элементүүд тэнцүү буюу пропорциональ байвал тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.
3. Мөр, багануудыг дарааллаар нь сольж хийвэл тодорхойлогчийн утга өөрчлөгдөхгүй.
4. Хэрэв мөр (эсвэл баганын) бүх элементүүд нийтлэг хүчин зүйлтэй бол түүнийг тодорхойлогч тэмдэгээс хасаж болно.
5. Нэг мөрийн (эсвэл баганын) элементүүдэд өөр мөр (эсвэл баганын) харгалзах элементүүдийг нэмж, ижил тоогоор үржүүлбэл тодорхойлогчийн утга өөрчлөгдөхгүй.
Матриц ба тэдгээрийн дээрх үйлдлүүд
Матриц- тоонуудын (эсвэл цагирагийн элементүүдийн) тэгш өнцөгт хүснэгт хэлбэрээр бичигдсэн математикийн объект болон бусад ижил төстэй объектуудын хооронд алгебрийн үйлдлүүдийг (нэмэх, хасах, үржүүлэх гэх мэт) зөвшөөрдөг. Ихэвчлэн матрицуудыг хоёр хэмжээст (тэгш өнцөгт) хүснэгт хэлбэрээр илэрхийлдэг. Заримдаа олон хэмжээст матриц эсвэл тэгш өнцөгт бус матрицуудыг авч үздэг.
Ихэвчлэн матрицыг латин цагаан толгойн том үсгээр тэмдэглэж, дугуй хаалтаар "(...)" (мөн "[…]" дөрвөлжин хаалт эсвэл "||…||" давхар шулуун шугамаар тэмдэглэсэн) тэмдэглэдэг.
Матрицыг (матрицын элементүүд) бүрдүүлдэг тоонуудыг ихэвчлэн матрицтай ижил үсгээр тэмдэглэдэг боловч жижиг үсгээр (жишээлбэл, a11 нь А матрицын элемент юм).
Матрицын элемент бүр 2 дэд тэмдэгттэй (aij) - эхний "i" нь тухайн элемент байрлах мөрийн дугаарыг, хоёр дахь "j" нь баганын дугаарыг илэрхийлнэ. Тэд "хэмжээст матриц" гэж хэлдэг бөгөөд энэ матриц нь m мөр, n баганатай гэсэн үг юм. Үргэлж нэг матрицад байдаг
Матриц дээрх үйлдлүүд
aij нь А матрицын элементүүд, bij нь В матрицын элементүүд байг.
Шугаман үйлдлүүд:
А матрицыг λ тоогоор (тэмдэг: λA) үржүүлэх нь В матрицыг байгуулахаас бүрдэх бөгөөд түүний элементүүд нь А матрицын элемент бүрийг энэ тоогоор үржүүлж, өөрөөр хэлбэл В матрицын элемент бүр нь тэнцүү байна.
A + B матрицыг нэмэх нь бүх элементүүд нь А ба В матрицын бүх харгалзах элементүүдийн хосын нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл С матрицын элемент бүр нь тэнцүү байх C матрицыг олох үйлдэл юм.
A − B матрицыг хасах үйлдэл нь нэмэхтэй адилаар тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь элементүүд нь C матрицыг олох үйлдэл юм
Зөвхөн ижил хэмжээтэй матрицад нэмэх, хасах үйлдлийг зөвшөөрдөг.
Тэг матриц Θ байгаа бөгөөд үүнийг өөр А матрицад нэмэхэд А нь өөрчлөгдөхгүй, өөрөөр хэлбэл
Тэг матрицын бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байна.
Шугаман бус үйлдлүүд:
Матрицын үржүүлэх (тэмдэглэгээ: AB, үржүүлэх тэмдэг багатай) нь элементүүд нь эхний хүчин зүйлийн харгалзах мөр ба хоёр дахь баганын элементүүдийн бүтээгдэхүүний нийлбэртэй тэнцүү C матрицыг тооцоолох үйлдэл юм. .cij = ∑ aikbkj k
Эхний хүчин зүйл нь хоёр дахь мөрийн тоотой ижил тооны баганатай байх ёстой. Хэрэв А матриц нь B - хэмжээтэй байвал тэдгээрийн үржвэрийн хэмжээс нь AB = C байна. Матрицын үржүүлэх нь солигддоггүй.
Матрицын үржүүлэх нь ассоциатив юм. Зөвхөн дөрвөлжин матрицуудыг зэрэглэлд шилжүүлж болно.
Матрицын шилжүүлэг (тэмдэг: AT) нь матрицыг үндсэн диагональтай харьцуулахад тусгах үйлдэл юм.
Хэрэв А нь хэмжээний матриц бол AT нь хэмжээсийн матриц юм
Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив
Нарийн төвөгтэй функц нь дараах хэлбэртэй байна: F(x) = f(g(x)), i.e. нь функцийн функц юм. Жишээ нь: y = sin2x, y = ln(x2+2x) гэх мэт.
Хэрэв x цэг дээр g(x) функц нь g"(x) деривативтай, u = g(x) цэг дээр f(u) функц нь f"(u) деривативтай бол үүсмэл байна. x цэгт f(g(x)) нийлмэл функц байгаа бөгөөд f"(u)g"(x)-тэй тэнцүү байна.
Далд функцийн дериватив
Олон асуудалд y(x) функц нь далд хэлбэрээр тодорхойлогддог. Жишээлбэл, доорх функцүүдийн хувьд
y(x) хамаарлыг тодорхой олж авах боломжгүй.
Далд функцээс y"(x) деривативыг тооцоолох алгоритм дараах байдалтай байна.
Та эхлээд тэгшитгэлийн хоёр талыг х-тэй харьцуулан ялгах хэрэгтэй, y нь x-ийн дифференциалагдах функц гэж үзээд нийлмэл функцийн деривативыг тооцоолох дүрмийг ашиглан;
Ү"(x) деривативын үр дүнд үүссэн тэгшитгэлийг шийд.
Тодорхой болгохын тулд хэд хэдэн жишээг авч үзье.
Тэгшитгэлээр өгөгдсөн y(x) функцийг ялга.
Тэгшитгэлийн хоёр талыг х хувьсагчаас ялгаж үзье:
үр дүнд нь юу хүргэж байна
Лапиталийн дүрэм
L'Hopital-ийн дүрэм. f(x) ба g(x) функцууд орчинд байг. t-ki x0 pr-nye f' ба g' энэ маш t-tu x0-ийн боломжийг хассан. lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 байг, тэгвэл x®x0-ийн f(x)/g(x) 0/0-ийг өгнө. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4), lim(x®x0)f(x)/g(x)= функцийн харьцааны хязгаартай давхцах үед lim(x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)
44
.1.(Интервал дээр деривативтай функцийн монотон байдлын шалгуур) Функцийг бичье. 
тасралтгүй дээр
(a,b) ба цэг бүрт f"(x) дериватив байна. Дараа нь
1)f нь (a,b)-аар нэмэгдэнэ, хэрэв зөвхөн хэрэв байгаа бол
2) (a,b)-аар багасна
2. (Интервал дээр деривативтай функцийн хатуу монотон байх хангалттай нөхцөл) Функцийг бичье. 
(a,b) дээр тасралтгүй байх ба цэг бүрт f"(x) дериватив байна. Дараа нь
1) хэрэв f нь (a,b) дээр хатуу нэмэгддэг;
2) хэрэв f нь (a,b) дээр хатуу буурна.
Ерөнхийдөө эсрэгээрээ үнэн биш юм. Хатуу монотон функцийн дериватив алга болж болно. Гэсэн хэдий ч дериватив нь тэг биш цэгүүдийн багц нь (a,b) интервал дээр нягт байх ёстой. Бүр тодруулбал тэгдэг.
3. (Интервал дээр деривативтай функцийн хатуу монотон байдлын шалгуур) ба үүсмэл f"(x) нь интервалын хаа сайгүй тодорхойлогддог. Дараа нь дараах хоёр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд f нь (a,b) интервал дээр хатуу нэмэгдэнэ.
Векторуудын цэгийн үржвэр. Векторуудын хоорондох өнцөг. Векторуудын параллелизм буюу перпендикуляр байдлын нөхцөл.
Векторуудын скаляр үржвэр нь тэдгээрийн урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэр юм.
Дараах мэдэгдлүүд нь планиметрийн нэгэн адил нотлогддог.
Тэг биш хоёр векторын скаляр үржвэр нь зөвхөн векторууд перпендикуляр байвал тэг болно.
Векторын скаляр квадрат, өөрөөр хэлбэл өөрийн болон өөрийнхөө скаляр үржвэр нь түүний уртын квадраттай тэнцүү байна.
Хоёр векторын координатаар өгөгдсөн скаляр үржвэрийг томъёогоор тооцоолж болно
Зөвхөн цэгийн үржвэр нь тэг байвал векторууд перпендикуляр байна. Жишээ. Хоёр вектор ба өгөгдсөн. Хэрэв x1x2 + y1y2 = 0 илэрхийлэл байвал эдгээр векторууд перпендикуляр байх болно. Тэг биш векторуудын хоорондох өнцөг нь эдгээр векторууд чиглүүлэх шулуун шугамын хоорондох өнцөг юм. Тодорхойлолтоор аливаа вектор ба тэг векторын хоорондох өнцгийг тэгтэй тэнцүү гэж үзнэ. Хэрэв векторуудын хоорондох өнцөг 90 ° бол ийм векторуудыг перпендикуляр гэж нэрлэдэг. Бид векторуудын хоорондох өнцгийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
Энэ нийтлэл нь гурван хэмжээст орон зай дахь хавтгай дээрх хоёр векторын перпендикуляр байдлын утгыг илчилж, нэг буюу бүхэл хос векторт перпендикуляр векторын координатыг олох болно. Энэ сэдэв нь шулуун ба хавтгайн тэгшитгэлтэй холбоотой асуудлуудад хамаатай.
Бид хоёр векторын перпендикуляр байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлийг авч үзэж, өгөгдсөн векторын перпендикуляр векторыг олох аргыг шийдэж, хоёр векторт перпендикуляр векторыг олох нөхцөл байдлыг авч үзэх болно.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Хоёр векторын перпендикуляр байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл
Хавтгай болон гурван хэмжээст орон зайд перпендикуляр векторуудын тухай дүрмийг хэрэгжүүлье.
Тодорхойлолт 1
Тэг биш хоёр векторын хоорондох өнцөг нь 90 ° (π 2 радиан) -тай тэнцүү бол үүнийг гэнэ. перпендикуляр.
Энэ нь юу гэсэн үг вэ, ямар нөхцөлд тэдгээрийн перпендикуляр байдлын талаар мэдэх шаардлагатай вэ?
Зургийн тусламжтайгаар перпендикуляр байдлыг тогтоох боломжтой. Өгөгдсөн цэгүүдээс хавтгайд вектор зурахдаа тэдгээрийн хоорондох өнцгийг геометрээр хэмжиж болно. Хэдийгээр векторуудын перпендикуляр байдал тогтоогдсон ч энэ нь бүрэн үнэн зөв биш байх болно. Ихэнхдээ эдгээр даалгаврууд нь протектор ашиглан үүнийг хийхийг зөвшөөрдөггүй тул энэ аргыг векторуудын талаар өөр юу ч мэдэхгүй тохиолдолд л хэрэглэнэ.
Хавтгай эсвэл огторгуй дахь тэг биш хоёр векторын перпендикуляр байдлыг батлах ихэнх тохиолдлуудыг ашиглан хийдэг. хоёр векторын перпендикуляр байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл.
Теорем 1
a → , b → = 0 тэгшитгэлийг хангах тэгтэй тэнцүү тэгтэй тэнцүү биш a → ба b → векторуудын скаляр үржвэр нь тэдгээрийн перпендикуляр байдалд хангалттай.
Нотлох баримт 1
Өгөгдсөн векторууд a → ба b → перпендикуляр байя, тэгвэл a ⇀ , b → = 0 тэнцүү болохыг батлах болно.
-ийн тодорхойлолтоос векторуудын цэгэн үржвэртэнцүү гэдгийг бид мэднэ Өгөгдсөн векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэр. Нөхцөлөөр a → ба b → нь перпендикуляр бөгөөд энэ нь тодорхойлолтод үндэслэн тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 90 ° байна гэсэн үг юм. Дараа нь бид a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 байна.
Нотлох баримтын хоёр дахь хэсэг
a ⇀, b → = 0 байх нөхцөлд a → ба b → перпендикуляр байдлыг батална.
Үнэн хэрэгтээ нотлох баримт нь өмнөхөөсөө эсрэгээрээ юм. a → ба b → нь тэг биш гэдгийг мэддэг бөгөөд энэ нь a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ тэгшитгэлээс косинусыг олдог гэсэн үг юм. Дараа нь бид cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 болно. Косинус нь тэг тул a → ба b → векторуудын a →, b → ^ өнцөг 90 ° -тай тэнцүү байна гэж дүгнэж болно. Тодорхойлолтоор бол энэ нь зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай өмч юм.
Координатын хавтгай дээрх перпендикуляр байдлын нөхцөл
Бүлэг координат дахь скаляр үржвэрхавтгайд болон (a → ,) ба b → = (b x, b y) координаттай векторуудад хүчинтэй (a → , b →) = a x · b x + a y · b y тэгш бус байдлыг харуулдаг. b → ) = a x · b x + a y · b y векторуудын хувьд a → = (a x , a y , a z) ба b → = (b x , b y , b z) орон зайд. Координатын хавтгайд хоёр векторын перпендикуляр байх зайлшгүй ба хангалттай нөхцөл нь x · b x + a y · b y = 0, гурван хэмжээст орон зайд a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 байна.
Үүнийг практикт хэрэгжүүлж, жишээнүүдийг харцгаая.
Жишээ 1
a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4) гэсэн хоёр векторын перпендикуляр байдлын шинж чанарыг шалга.
Шийдэл
Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд скаляр үржвэрийг олох хэрэгтэй. Хэрэв нөхцөлийн дагуу энэ нь тэгтэй тэнцүү бол тэдгээр нь перпендикуляр байна.
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Нөхцөл хангагдсан бөгөөд энэ нь өгөгдсөн векторууд хавтгайд перпендикуляр байна гэсэн үг юм.
Хариулт:тийм, өгөгдсөн a→ ба b → векторууд перпендикуляр байна.
Жишээ 2
i → , j → , k → координатын векторууд өгөгдсөн. i → - j → ба i → + 2 · j → + 2 · k → векторууд перпендикуляр байж чадах эсэхийг шалга.
Шийдэл
Векторын координат хэрхэн тодорхойлогддогийг санахын тулд та нийтлэлийг унших хэрэгтэй тэгш өнцөгт координатын систем дэх вектор координатууд.Ийнхүү өгөгдсөн i → - j → ба i → + 2 · j → + 2 · k → векторууд нь харгалзах (1, - 1, 0) ба (1, 2, 2) координатуудтай болохыг олж харлаа. Бид тоон утгуудыг орлуулж, дараахийг авна: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
Илэрхийлэл нь тэгтэй тэнцүү биш, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, энэ нь i → - j → ба i → + 2 j → + 2 k → векторууд гэсэн үг юм. нөхцөл хангагдаагүй тул перпендикуляр биш байна.
Хариулт:үгүй, i → - j → ба i → + 2 · j → + 2 · k → векторууд перпендикуляр биш байна.
Жишээ 3
Өгөгдсөн векторууд a → = (1, 0, - 2) ба b → = (λ, 5, 1). Эдгээр векторууд перпендикуляр байх үед λ-ийн утгыг ол.
Шийдэл
Орон зай дахь хоёр векторын перпендикуляр байдлын нөхцөлийг квадрат хэлбэрээр ашиглавал бид олж авна
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
Хариулт:векторууд λ = 2 утгад перпендикуляр байна.
Шаардлагатай, хангалттай нөхцөлд ч перпендикуляр байдлын асуудал боломжгүй байх тохиолдол байдаг. Хоёр вектор дээрх гурвалжны гурван талын мэдэгдэж буй өгөгдлийг өгөгдсөн бол олох боломжтой векторуудын хоорондох өнцөгтэгээд шалгаарай.
Жишээ 4
A B = 8, A C = 6, B C = 10 см талтай A B C гурвалжин өгөгдсөн A B → ба A C → векторуудыг перпендикуляр эсэхийг шалгана уу.
Шийдэл
A B → ба A C → векторууд перпендикуляр байвал A B C гурвалжинг тэгш өнцөгт гэж үзнэ. Дараа нь бид Пифагорын теоремыг хэрэглэнэ, B C нь гурвалжны гипотенуз юм. B C 2 = A B 2 + A C 2 тэгш байдал үнэн байх ёстой. Үүнээс үзэхэд 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 болно. Энэ нь A B ба A C нь A B C гурвалжны хөлүүд тул A B → ба A C → нь перпендикуляр байна гэсэн үг юм.
Өгөгдсөн векторын перпендикуляр координатыг хэрхэн олохыг сурах нь чухал юм. Энэ нь векторууд перпендикуляр байх тохиолдолд хавтгайд ч, орон зайд ч боломжтой.
Хавтгайд өгөгдсөн нэгэнд перпендикуляр векторыг олох.
Тэг биш a → вектор нь хавтгай дээр хязгааргүй тооны перпендикуляр вектортой байж болно. Үүнийг координатын шугам дээр дүрсэлцгээе.
Тэг биш вектор a → шулуун дээр хэвтэж байгаа a. Тэгвэл a шулуунд перпендикуляр дурын шулуун дээр байрлах өгөгдсөн b → нь a → -тэй перпендикуляр болно. Хэрэв i → вектор j → векторт перпендикуляр эсвэл λ нь тэгээс бусад бодит тоотой тэнцүү λ · j → векторуудын аль нэг нь байвал b → перпендикуляр a → = (a x , a y) векторын координатыг олно. ) нь хязгааргүй олон тооны шийдлүүд болж буурдаг. Харин a → = (a x , a y) -д перпендикуляр векторын координатыг олох шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд векторуудын перпендикуляр байдлын нөхцөлийг дараах хэлбэрээр бичих шаардлагатай: a x · b x + a y · b y = 0. Бидэнд перпендикуляр векторын хүссэн координат болох b x ба b y байна. a x ≠ 0 үед b y-ийн утга тэг биш байх ба b x-ийг a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x тэгш бус байдлаас тооцоолж болно. a x = 0 болон a y ≠ 0-ийн хувьд бид b x-д тэгээс өөр ямар ч утгыг оноож, b y = - a x · b x a y илэрхийллээс b y-ийг олно.
Жишээ 5
a → = (- 2 , 2) координаттай вектор өгөгдсөн. Үүнд перпендикуляр векторыг ол.
Шийдэл
Хүссэн векторыг b → (b x , b y) гэж тэмдэглэе. a → ба b → векторууд перпендикуляр байх нөхцлөөс түүний координатыг олж болно. Дараа нь бид: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 болно. b y = 1 гэж оноож, орлуулъя: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Тиймээс томъёоноос бид b x = - 2 - 2 = 1 2 болно. Энэ нь b → = (1 2 , 1) вектор нь a → -д перпендикуляр вектор байна гэсэн үг.
Хариулт: b → = (1 2 , 1) .
Хэрэв гурван хэмжээст орон зайн тухай асуулт гарч ирвэл асуудлыг ижил зарчмаар шийддэг. Өгөгдсөн a → = (a x, a y, a z) векторын хувьд хязгааргүй тооны перпендикуляр векторууд байна. Үүнийг гурван хэмжээст координатын хавтгайд засах болно. Өгөгдсөн a → шугаман дээр хэвтэх a. Шулуун а-д перпендикуляр хавтгайг α гэж тэмдэглэв. Энэ тохиолдолд α хавтгайаас ямар ч тэг биш b → вектор нь a →-д перпендикуляр байна.
Тэг биш векторт перпендикуляр b → координатыг олох шаардлагатай a → = (a x , a y , a z) .
b → координатыг b x , b y ба b z-ээр өгье. Тэдгээрийг олохын тулд хоёр векторын перпендикуляр байдлын нөхцлийн тодорхойлолтыг ашиглах шаардлагатай. a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 тэгшитгэл хангагдсан байх ёстой. Нөхцөлөөс a → нь тэг биш бөгөөд энэ нь координатуудын аль нэг нь тэгтэй тэнцүү биш утгатай байна гэсэн үг юм. a x ≠ 0, (a y ≠ 0 эсвэл a z ≠ 0) гэж үзье. Иймд бид a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 тэгш бус байдлыг бүхэлд нь энэ координатаар хуваах эрхтэй бөгөөд b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y илэрхийллийг олж авна. + a z · b z a x. Бид b y ба b x координатуудад дурын утгыг оноож, b x-ийн утгыг b x = - a y · b y + a z · b z a x томъёонд үндэслэн тооцоолно. Хүссэн перпендикуляр вектор нь a → = (a x, a y, a z) утгатай байна.
Жишээ ашиглан нотлох баримтыг авч үзье.
Жишээ 6
a → = (1, 2, 3) координаттай вектор өгөгдсөн. Өгөгдсөнтэй перпендикуляр векторыг ол.
Шийдэл
Хүссэн векторыг b → = (b x , b y , b z) гэж тэмдэглэе. Векторууд перпендикуляр байх нөхцөлийг үндэслэн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой.
a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
Хэрэв b y = 1, b z = 1 бол b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5 байна. Үүнээс үзэхэд векторын координатууд b → (- 5 , 1 , 1) байна. b → вектор нь өгөгдсөн перпендикуляр векторуудын нэг юм.
Хариулт: b → = (- 5 , 1 , 1) .
Өгөгдсөн хоёр векторт перпендикуляр векторын координатыг олох
Гурван хэмжээст орон зайд векторын координатыг олох хэрэгтэй. Энэ нь a → (a x, a y, a z) ба b → = (b x, b y, b z) коллинеар бус векторуудад перпендикуляр байна. a → ба b → векторууд нь коллинеар байвал бодлогод a → эсвэл b → перпендикуляр векторыг олоход хангалттай.
Шийдвэрлэхдээ векторуудын вектор бүтээгдэхүүний тухай ойлголтыг ашигладаг.
Векторуудын вектор бүтээгдэхүүн a → ба b → нь a → ба b → аль алинд нь нэгэн зэрэг перпендикуляр байх вектор юм. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд a → × b → вектор үржвэрийг ашиглана. Гурван хэмжээст орон зайн хувьд энэ нь a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z хэлбэртэй байна.
Жишээ бодлого ашиглан вектор үржвэрийг илүү дэлгэрэнгүй авч үзье.
Жишээ 7
b → = (0, 2, 3) ба a → = (2, 1, 0) векторууд өгөгдсөн. Өгөгдөлтэй перпендикуляр дурын векторын координатыг нэгэн зэрэг ол.
Шийдэл
Шийдвэрлэхийн тулд та векторуудын вектор үржвэрийг олох хэрэгтэй. (Догол мөрийг үзнэ үү матрицын тодорхойлогчийг тооцоолохвекторыг олох). Бид авах:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →
Хариулт: (3 , - 6 , 4) - Өгөгдсөн a → ба b → -д нэгэн зэрэг перпендикуляр байх векторын координатууд.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
