Шулуун шугам ба тойргийн байрлал хоорондын харилцан үйлчлэл. Хичээл "Шугам ба тойргийн харьцангуй байрлал"

Дидактик зорилго:шинэ мэдлэгийг бий болгох.

Хичээлийн зорилго.

Боловсролын:

• Математикийн ойлголтыг бүрдүүлэх: тойрогтой шүргэгч, шугам ба тойргийн харьцангуй байрлал, практик судалгааны ажлаар оюутнууд эдгээр ойлголтыг ойлгож, хуулбарлахад хүрэх.

Эрүүл мэндийг хэмнэх:

• ангид сэтгэлзүйн таатай уур амьсгалыг бий болгох;

Боловсролын:

• Сурагчдын танин мэдэхүйн сонирхол, тайлбарлах, олж авсан үр дүнг нэгтгэн дүгнэх, харьцуулах, харьцуулах, дүгнэлт гаргах чадварыг хөгжүүлэх.

Боловсролын:

• Математикийн тусламжтайгаар хувийн соёлыг төлөвшүүлэх.

Сургалтын хэлбэрүүд:

• агуулга - яриа, практик ажил;
• үйл ажиллагааг зохион байгуулахад - хувь хүний, урд талын.

Хичээлийн төлөвлөгөө

Тоног төхөөрөмж:

• компьютер, дэлгэц, проектор;
• Тараах материал.

Боловсролын нөөц:

1. Математик. Ерөнхий боловсролын сургуулийн 6 дугаар ангийн сурах бичиг; / Г.В.Дорофеев, М., Боловсрол, 2009

2. Маркова В.И. Улсын боловсролын стандартыг хэрэгжүүлэх хүрээнд геометрийн хичээл заах онцлог: арга зүйн зөвлөмж, Киров, 2010 он.

3. Атанасян Л.С. "Геометр 7-9" сурах бичиг.

Хичээлийн үеэр

1. Зохион байгуулалтын мөч. Мэдлэгийг шинэчлэх.

Багш хичээлийн сэдвийг зарлана. "Тойрог" гэдэг үгнээс ямар холбоо үүсдэг болохыг олж мэд.

Хэрэв радиус нь 2.4 см бол тойргийн диаметр хэд вэ?

Диаметр нь 6.8 см бол радиус нь хэд вэ?

2. Зорилгоо тодорхойлох.

Оюутнууд хичээлийн зорилгоо тодорхойлж, багш тэдгээрийг нэгтгэн дүгнэж, хичээлийн зорилгоо тодорхойлдог.

Хичээлийн үйл ажиллагааны хөтөлбөрийг боловсруулсан болно.

3. Шинэ материалтай танилцах.

1) Загвартай ажиллах: "Загвар дээр шулуун ба тойрог хэрхэн хавтгай дээр байрлаж болохыг харуулах."

Тэдэнд хэдэн нийтлэг зүйл байдаг вэ?

2) Практик судалгааны ажил хийх.

Зорилтот. Шугаман ба тойргийн харьцангуй байрлалын шинж чанарыг тогтоо.

Тоног төхөөрөмж: цаасан дээр зурсан тойрог ба саваагаар шулуун шугам, захирагч.

1. Зурган дээр (цаасан дээр) тойрог ба шулуун шугамын харьцангуй байрлалыг тогтооно.
2. R тойргийн радиус ба тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зайг хэмжинэ.
3. Судалгааны үр дүнг хүснэгтэд бичнэ үү.

4. R ба d-ийн харьцаанаас хамаарч шулуун ба тойргийн харьцангуй байрлалын талаар дүгнэлт гарга.

Дүгнэлт: Хэрэв тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай нь радиустай тэнцүү бол шулуун шугам нь тойрогт хүрч, тойрогтой нэг нийтлэг цэгтэй байна. Хэрэв тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай нь радиусаас их байвал тойрог ба шулуун шугамд нийтлэг цэг байхгүй болно. Хэрэв тойргийн төвөөс шугам хүртэлх зай нь радиусаас бага бол шугам нь тойргийг огтолж, түүнтэй хоёр нийтлэг цэгтэй болно.

5. Анхан шатны ойлголт, асуудлыг шийдвэрлэх замаар нэгтгэх.

1) Сурах бичгийн даалгавар: No498, No499.

2) Шугаман ба тойргийн харьцангуй байрлалыг тодорхойлно уу:

• 1. R=16см, d=12см
• 2. R=5см, d=4.2см
• 3. R=7.2дм, d=3.7дм
• 4. R=8 см, d=1.2дм
• 5. R=5 см, d=50мм

a) шулуун ба тойрог нь нийтлэг цэггүй;

б) шугам нь тойрогтой шүргэгч;

в) шулуун шугам нь тойрогтой огтлолцдог.

• d нь тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай, R нь тойргийн радиус юм.

3) Тойргийн диаметр нь 10.3 см, тойргийн төвөөс шугам хүртэлх зай 4.15 см бол шугам ба тойргийн харьцангуй байрлалын талаар юу хэлж болох вэ; 2 дм; 103 мм; 5.15 см, 1 дм 3 см.

4) О төвтэй, А цэгтэй тойрог өгөгдсөн. Тойргийн радиус 7 см, ОА хэрчмийн урт нь: а) 4 см бол А цэг хаана байх вэ; б) 10 см; в) 70 мм.

6. Тусгал

Хичээл дээр юу сурсан бэ?

Ямар загвар бий болсон бэ?

Карт дээрх дараах даалгаврыг гүйцэтгээрэй.

Хоёр цэг бүрээр шулуун шугам зур. Шулуун шугам бүр тойрогтой хэдэн нийтлэг цэгтэй вэ?

Шулуун ______ ба тойрогт нийтлэг цэг байхгүй.

Шулуун ______ ба тойрог нь зөвхөн нэг ___________ цэгтэй.

______, _______, ________, _______ шулуун шугамууд болон тойрог нь хоёр нийтлэг цэгтэй.

7. Дүгнэж байна. Гэрийн даалгавар тохируулах:

1) хичээлийн эхэнд эмхэтгэсэн кластерт дүн шинжилгээ хийж, олж авсан мэдлэгээ харгалзан өөрчлөх;

2) сурах бичиг: № 500;

3) хүснэгтийг бөглөнө үү (карт дээр).

Шулуун ба тойргийн харьцангуй байрлал Шулуун ба тойрог нь харьцангуй байрлалаас хамааран хэдэн нийтлэг цэгтэй болохыг олж мэдье. Тойргийн төвөөр шулуун шугам өнгөрвөл түүний хэвтэж буй диаметрийн хоёр төгсгөлд тойрог огтлолцох нь тодорхой байна. энэ прима.

Шулуун байг Ррадиусын тойргийн төвөөр дамждаггүй r.Перпендикуляр зурцгаая ТЭРшулуун шугам руу Рмөн үсгээр тэмдэглэнэ гэнэ перпендикулярын урт, өөрөөр хэлбэл энэ тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай (Зураг 1) ). Бид шугам ба тойргийн хоорондын хамаарлаас хамааран тэдгээрийн харьцангуй байрлалыг судалдаг гТэгээд r.Гурван тохиолдол бий.

1) г Рцэгээс Нхоёр сегментийг хойш тавь АСААЛТТАЙТэгээд NV,тэнцүү урттай (Зураг 1) Пифагорын теоремын дагуу OA=,

0 B= Тиймээс оноо АТэгээд INтойрог дээр хэвтэж байгаа тул шугамын нийтлэг цэгүүд юм Рба өгөгдсөн тойрог.

Шугам гэдгийг баталцгаая Рмөн энэ тойрогт өөр нийтлэг цэг байхгүй. Тэд өөр нэг нийтлэг цэгтэй байна гэж бодъё C. Дараа нь медиан О.Д.тэгш өнцөгт гурвалжин OAS. сууринд хүргэв АС,Энэ гурвалжны өндөр, тиймээс ТУХАЙДх. Сегментүүд О.Д.Тэгээд ТЭРтаарахгүй байна

дундаас хойш Дсегмент АСцэгтэй таарахгүй N -сегментийн дунд цэг , AB.О цэгээс хоёр перпендикуляр зурсан болохыг бид олж мэдсэн. ТЭРТэгээд OD-шулуун шугам руу R,энэ нь боломжгүй юм. Тэгэхээр Хэрэвзай Тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай нь тойргийн радиусаас бага (г< р), Тэр шулуун шугам ба тойрогХоёр нийтлэг цэг байдаг.Энэ тохиолдолд шугамыг дуудна секанттойрогтой холбоотой.

2) d=r.Энэ тохиолдолд OH=r,өөрөөр хэлбэл цэг Нтойрог дээр байрладаг тул шугам ба тойргийн нийтлэг цэг юм (Зураг 1, б).Чигээрээ Рмөн тойрогт өөр ямар ч нийтлэг цэг байхгүй, учир нь аль ч цэгийн хувьд МЧигээрээ Р.цэгээс ялгаатай Н, OM>OH= r(ташуу ОМилүү перпендикуляр Тэр),Тиймээс , М цэг тойрог дээр хэвтэхгүй. Тэгэхээр хэрэв уралдаануудТойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай нь радиустай тэнцүү бол шулуун ба тойрог нь зөвхөн нэг нийтлэг цэгтэй байна.

3) d>rЭнэ тохиолдолд -Өө> rТийм ч учраас . ямар ч цэгийн хувьд МЧигээрээ p 0MON.>r(будаа . 1,A)Тиймээс М цэг тойрог дээр хэвтэхгүй. Тэгэхээр, .хэрэв тойргийн төвөөс зайХэрэв шулуун шугам хүртэлх зай нь тойргийн радиусаас их байвал шулуун ба тойрог нь нийтлэг цэггүй болно.

Шулуун ба тойрог нь нэг юмуу хоёр нийтлэг цэгтэй байж болох ба ямар ч нийтлэг цэггүй байж болохыг бид нотолсон. Тойрог бүхий шулуун шугамганцхан нийтлэг цэгийг тойрогтой шүргэгч гэж нэрлэдэг.болон тэдний нийтлэг цэгийг шугам ба тойргийн шүргэлтийн цэг гэнэ. 2-р зурагт шулуун шугам байна Р- О төвтэй тойрогтой шүргэгч, А- холбоо барих цэг.

Шүргэх шинж чанарын тухай теоремыг баталъя.

Теорем. Тойрогтой шүргэгч нь перпендикуляр байнаруу холбоо барих цэг хүртэл зурсан радиус.

Баталгаа. Болъё Р- О төвтэй тойрогтой шүргэгч. А- холбоо барих цэг (2-р зургийг үз). Үүнийг баталъя. шүргэгч нь юу вэ Ррадиустай перпендикуляр О.А.

Энэ нь тийм биш гэж бодъё. Дараа нь радиус: О.Ашулуун шугам руу налуу байна Р.Цэгээс татсан перпендикуляр тул ТУХАЙшулуун шугам руу R,бага налуу О.А, дараа нь төвөөс зай ТУХАЙшулуун шугам руу тойрог Ррадиусаас бага. Тиймээс шулуун Рмөн тойрог нь хоёр нийтлэг цэгтэй. Гэхдээ энэ нь нөхцөлтэй зөрчилдөж байна; Чигээрээ Р- шүргэгч. Тиймээс шулуун Ррадиустай перпендикуляр О.А.Теорем нь батлагдсан.

Төвтэй тойрогтой хоёр шүргэгчийг авч үзье ТУХАЙ, цэгээр дамжин өнгөрөх Амөн тойрог дээр цэг дээр хүрнэ INба C (Зураг 3). Сегментүүд ABТэгээд АСзалгацгаая шүргэгч сегментүүдnyh, А цэгээс зурсан.Тэд батлагдсан теоремоос үүдэлтэй дараах шинж чанартай байдаг.

Нэг цэгээс татсан тойрог руу шүргэгч хэсгүүд нь тэнцүү бөгөөд энэ цэг ба тойргийн төвийг дайран өнгөрөх шулуун шугамтай тэнцүү өнцөг үүсгэнэ.

Энэ мэдэгдлийг батлахын тулд Зураг 3-т хандъя. Шүргэгчийн шинж чанарын тухай теоремын дагуу 1 ба 2 өнцөг нь зөв өнцөг тул гурвалжин болно. ABOТэгээд ASOтэгш өнцөгт. Тэд нийтлэг гипотенузтай тул тэнцүү байна О.Аба тэнцүү хөлтэй ОБТэгээд OS.Тиймээс, AB=ACболон 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 height=163" height="163">

Цагаан будаа. 2 Зураг. 3

https://pandia.ru/text/78/143/images/image010_57.gif" өргөн "101" өндөр "19 src=">.

Холбоо барих цэгээр дамжуулан диаметрийг зурах БИ, байх болно: ; Тийм ч учраас

Цагаан будаа. 1 Зураг. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" width="191 height=177" height="177">.jpg" width="227 height=197" height="197" >

Нуман, хөвч ба хөвчүүдийн төвөөс зай хоорондын хамаарал.

Теоремууд. Нэг тойрогт эсвэлВ тэнцүү тойрог :

1) хэрэв нумууд тэнцүү бол тэдгээрийн дагуух хөвчүүд тэнцүү бөгөөд төвөөс ижил зайтай байна;

2) Хэрэв хагас тойргоос жижиг хоёр нум тэнцүү биш бол тэдгээрийн том нь том хөвчээр дамждаг ба хоёр хөвчөөс том нь төв рүү ойр байрлана. .

1) нумыг тавь ABнумантай тэнцүү CD(Зураг 1), хөвч AB ба гэдгийг батлах шаардлагатай CDтэнцүү ба мөн тэнцүү ба перпендикуляр OEТэгээд OF,төвөөс хөвч хүртэл доошлуулсан.

Салбараа эргүүлье OAJBтөвийн эргэн тойронд ТУХАЙсумаар заасан чиглэлд маш их радиус ТУХАЙ-тай давхцсан OS.Дараа нь нуман VA.нуман хэлбэрээр явах болно CDмөн тэдгээрийн тэгш байдлын улмаас эдгээр нумууд давхцах болно. Энэ нь AS хөвч нь хөвчтэй давхцдаг гэсэн үг юм CDба перпендикуляр OE-тай давхцах болно OF(нэг цэгээс зөвхөн нэг перпендикулярыг шулуун шугам руу буулгаж болно), i.e. AB=CDТэгээд OE=OF.

2) нумыг тавь AB(Зураг 2) бага нум CD,мөн үүнээс гадна хоёр нум нь хагас тойргоос бага; хөвч гэдгийг нотлох шаардлагатай ABбага хөвч CD,ба перпендикуляр OEилүү перпендикуляр OF. Үүнийг нуман дээр тавьцгаая CDнуман SK,тэнцүү AB,болон туслах хөвчийг зур SK, энэ нь батлагдсан зүйлээс харахад хөвчтэй тэнцүү байна ABмөн төвөөс адилхан алслагдсан. Гурвалжин дээр C.O.D.Тэгээд ШҮҮСнэг талын хоёр тал нь нөгөө талын хоёр талтай тэнцүү (радиус гэх мэт), гэхдээ эдгээр талуудын хооронд хүрээлэгдсэн өнцөг нь тэнцүү биш; энэ тохиолдолд, бидний мэдэж байгаагаар, илүү том өнцгүүдийн эсрэг, i.e. lCOD,том тал нь худлаа байх ёстой, энэ нь гэсэн үг CD>CK,тэгээд л тэр CD>AB.

Үүнийг батлахын тулд OE>OF,бид явуулах болно OLXCKнотлогдсоны дагуу гэдгийг анхаарна уу. OE=OL;тиймээс бид харьцуулахад хангалттай OF-тай OL.Тэгш өнцөгт гурвалжинд 0 FM(зураг дээр зураасаар бүрхэгдсэн) гипотенуз ОМилүү хөл OF;Гэхдээ OL>ОМ;энэ нь бүр ч илүү гэсэн үг OL>OF.тэгээд л тэр OE>OF.

Нэг тойргийн хувьд бидний нотолсон теорем нь тэнцүү тойргийн хувьд үнэн хэвээр байна, учир нь ийм тойрог нь бие биенээсээ зөвхөн байрлалаараа л ялгаатай байдаг.

Эсрэг теоремууд. Өмнөх догол мөрөнд ижил радиустай хоёр нумын харьцуулсан хэмжээтэй холбоотой бүх төрлийн бие биенээ үгүйсгэсэн тохиолдлуудыг авч үзсэн бөгөөд хөвчний харьцуулсан хэмжээ, тэдгээрийн төвөөс хол зайтай холбоотой харилцан үл хамаарах дүгнэлтийг гаргасан тул эсрэг заалтууд байх ёстой. үнэн, в. яг:

IN нэг тойрог эсвэл тэнцүү тойрог:

1) тэнцүү хөвчүүд нь төвөөс ижил зайтай байх ба тэнцүү нумуудыг хамардаг;

2) төвөөс ижил алслагдсан хөвчүүд нь тэнцүү бөгөөд тэнцүү нумуудыг хамардаг;

3) хоёр тэгш бус хөвчний том нь төв рүү ойртож, том нумыг татдаг;

4) төвөөс тэгш бус алслагдсан хоёр хөвч, төвд ойр байгаа нь илүү том бөгөөд илүү том нумтай.

Эдгээр саналууд нь зөрчилдөөнөөр амархан нотлогдож болно. Жишээлбэл, тэдгээрийн эхнийхийг батлахын тулд бид дараах байдлаар тайлбарлаж байна: хэрэв эдгээр хөвчүүд нь тэгш бус нумуудтай байсан бол шууд теоремын дагуу тэдгээр нь тэнцүү биш байх байсан нь нөхцөлтэй зөрчилдөж байна; Энэ нь тэнцүү хөвчүүд нь тэнцүү нумуудыг багтаах ёстой гэсэн үг юм; ба хэрэв нумууд тэнцүү бол шууд теоремын дагуу тэдгээрт багтах хөвчүүд төвөөс ижил зайтай байна.

Теорем. Диаметр нь хөвчүүдийн хамгийн том нь юм .

Хэрэв бид төв рүү холбогдвол ТУХАЙтөвөөр дамждаггүй зарим хөвчний төгсгөлүүд, жишээ нь хөвч AB(Зураг 3) дараа нь бид гурвалжин авна AOB,аль нэг тал нь энэ хөвч, нөгөө хоёр нь радиус, Харин гурвалжинд тал бүр нь нөгөө хоёр талын нийлбэрээс бага байна; Тиймээс хөвч ABхоёр радиусын нийлбэрээс бага; харин диаметр бүр CDхоёр радиусын нийлбэртэй тэнцүү. Энэ нь голч нь төвөөр дамждаггүй ямар ч хөвчөөс их байна гэсэн үг юм. Гэхдээ голч нь мөн хөвч учраас бид голч нь хөвчний хамгийн том нь гэж хэлж болно.

Цагаан будаа. 1 Зураг. 2

Тангенс теорем.

Өмнө дурьдсанчлан, нэг цэгээс тойрог руу татсан шүргэгч сегментүүд ижил урттай байна. Энэ уртыг нэрлэдэг шүргэгч зайцэгээс тойрог хүртэл.

Шүргэх теоремгүйгээр бичээстэй тойргийн тухай, өөрөөр хэлбэл олон өнцөгтийн талуудтай шүргэгч тойргийн тухай нэгээс олон асуудлыг шийдэх боломжгүй юм.

Гурвалжин дахь тангенсийн зай.

Гурвалжны талууд байх хэрчмүүдийн уртыг ол ABCнь тойрог бичсэн шүргэх цэгүүдээр хуваагдана (Зураг 1,а), жишээлбэл, шүргэгч зай тацэгээс Атойрог руу. Хажуу талыг нь нэмье бТэгээд в, дараа нь нийлбэрээс талыг хасна А. Нэг оройноос татсан шүргэгчийн тэгш байдлыг харгалзан бид 2-ыг авна та. Тэгэхээр,

та=(б+в-a)/ 2=p-а,

Хаана p=(a+б+в)/ 2 нь энэ гурвалжны хагас периметр юм. Оройнуудын хажуугийн хэсгүүдийн урт INТэгээд ХАМТ, тус тус тэнцүү байна p-бТэгээд p-в.

Үүний нэгэн адил, хажуугийн (гадна) шүргэгч гурвалжны тойргийн хувьд А(Зураг 1, b), шүргэгч зайнаас INТэгээд ХАМТтус тус тэнцүү байна p-вТэгээд p-б, мөн дээрээс нь А- Зүгээр л х.

Эдгээр томъёог эсрэг чиглэлд бас ашиглаж болно гэдгийг анхаарна уу.

Үүнийг булан руу явуул ТАтойрог бичсэн бөгөөд өнцгийн оройноос тойрог хүртэлх шүргэгч зай нь тэнцүү байнахэсвэлp- а, Хаанах- гурвалжны хагас периметр ABC, А a=BC. Дараа нь тойрог нь шугаманд хүрнэ Нар(гурвалжны гадна эсвэл дотор тус тус).

Үнэн хэрэгтээ, жишээлбэл, шүргэгч зай нь тэнцүү байг p-а. Дараа нь бидний тойрог гурвалжны тойрогтой ижил цэгүүдэд өнцгийн талууд руу хүрнэ ABC, энэ нь үүнтэй давхцаж байна гэсэн үг юм. Тиймээс энэ нь шугаманд хүрдэг Нар.

Хязгаарлагдмал дөрвөлжин.Шүргэгчийн тэгш байдлын тухай теоремоос шууд гарч ирнэ (Зураг 2а).

Хэрэв тойргийг дөрвөлжин хэлбэрээр бичиж болох юм бол түүний эсрэг талын нийлбэрүүд тэнцүү байна.

AD+ BC= AB+ CD

Тайлбарласан дөрвөлжин нь гүдгэр байх ёстой гэдгийг анхаарна уу. Үүний эсрэг нь бас үнэн юм:

Хэрэв дөрвөлжин нь гүдгэр бөгөөд түүний эсрэг талуудын нийлбэр тэнцүү бол тойрог дотор нь бичиж болно.

Үүнийг параллелограммаас өөр дөрвөн өнцөгт баталъя. Жишээлбэл, дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын хоёр талыг авч үзье ABТэгээд DC,үргэлжлүүлэх үед тэдгээр нь нэг цэг дээр огтлолцоно Э(Зураг 2, b). Гурвалжинд тойрог бичье ADE. Түүний шүргэгч зай teцэг хүртэл Этомъёогоор илэрхийлнэ

тэ=½ (AE+ED-МЭ).

Гэхдээ нөхцөлийн дагуу дөрвөлжингийн эсрэг талуудын нийлбэрүүд тэнцүү байна гэсэн үг AD+BC=AB+CD, эсвэл AD=AB+CD-МЭӨ. Энэ утгыг илэрхийлэлд орлуулж байна te, бид авдаг

te=½ ((AE-AB)+(ED-CD)+BC)= ½ (BE+EC+МЭӨ),

бөгөөд энэ нь гурвалжны хагас периметр юм МЭӨ. Дээр нотлогдсон шүргэх нөхцлөөс харахад бидний тойрог хүрч байна МЭӨ.

https://pandia.ru/text/78/143/images/image020_13.jpg" өргөн "336" өндөр "198 src=">

Түүний гаднах цэгээс тойрог руу татсан хоёр шүргэгч нь тэнцүү бөгөөд энэ цэгийг төвтэй холбосон шулуун шугамтай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг бөгөөд энэ нь AOB ба AOB1 тэгш өнцөгт гурвалжны тэгшитгэлээс үүсдэг.

Хавтгай дээр тойрог ба зарим шулуун шугам өгье. Энэ шулуун дээр C тойргийн төвөөс перпендикуляр буулгая; энэ перпендикулярын сууриар тэмдэглэе. Нэг цэг нь тойрогтой харьцуулахад гурван боломжит байрлалыг эзэлж болно: a) тойргийн гадна, б) тойрог дээр, в) тойрог дотор. Үүнээс хамааран шулуун шугам нь доор тайлбарласан тойрогтой харьцуулахад гурван өөр байрлалын аль нэгийг эзэлнэ.

a) Тойргийн C төвөөс шулуун шугам руу унасан перпендикулярын суурь нь тойргийн гадна байрлана (Зураг 197). Дараа нь шулуун шугам нь тойрогтой огтлолцдоггүй; Үнэн хэрэгтээ, заасан тохиолдолд нөхцөл байдлын дагуу төвөөс радиусаас илүү зайд зайлуулна). Түүгээр ч зогсохгүй а шулуун дээрх дурын М цэгийн хувьд өгөгдсөн шулуун дээрх цэг бүр тойргийн гадна байрладаг.

б) Перпендикулярын суурь нь тойрог дээр унана (Зураг 198). Дараа нь шулуун шугам нь тойрогтой яг нэг нийтлэг цэгтэй байна. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв M нь шугамын өөр цэг бол (налуу цэгүүд нь перпендикуляраас урт) M цэг нь гадаад мужид байрладаг. Тойрогтой нэг нийтлэг цэгтэй ийм шулууныг энэ цэг дэх тойрогтой шүргэгч гэж нэрлэдэг. Эсрэгээр шулуун шугам нь тойрогтой нэг нийтлэг цэгтэй бол энэ цэг рүү татсан радиус нь энэ шулуунтай перпендикуляр болохыг харуулъя. Үнэн хэрэгтээ энэ шугам руу төвөөс перпендикуляр буулгая. Хэрэв түүний суурь нь тойрог дотор байрладаг бол c)-д үзүүлсэн шиг шулуун шугам нь түүнтэй хамт хоёр нийтлэг цэгтэй байх болно. Хэрэв энэ нь тойргийн гадна байрладаг бол a) шулуун шугам нь тойрогтой нийтлэг цэггүй болно.

Тиймээс перпендикуляр нь шулуун ба тойргийн нийтлэг цэг дээр - тэдгээрийн шүргэлтийн цэг дээр унадаг гэж үзэх хэвээр байна. Чухал ач холбогдолтой болох нь батлагдсан

Теорем. Тойрог дээрх цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам нь тухайн цэг рүү татсан радиустай перпендикуляр байвал тойрогт хүрнэ.

Энд өгөгдсөн тойрогтой шүргэгчийн тодорхойлолт нь бусад муруй руу шилжихгүй гэдгийг анхаарна уу. Шулуун шугамын муруй шугамтай шүргэгчийн илүү ерөнхий тодорхойлолт нь хязгаарын онолын үзэл баримтлалтай холбоотой бөгөөд дээд математикийн хичээлд нарийвчлан авч үзсэн болно. Энд бид зөвхөн ерөнхий ойлголтыг өгөх болно. Тойрог ба түүн дээрх А цэгийг өгье (Зураг 199).

Тойргийн өөр А цэгийг авч АА шулуун шугамын хоёр цэгийг холбоно. Тойргийн дагуу хөдөлж буй А цэг дараалсан шинэ байрлалуудыг эзэлдэг ба А цэг рүү улам бүр ойртож байг. А цэгийг тойрон эргэдэг АА шулуун нь хэд хэдэн байрлалыг эзэлдэг: энэ тохиолдолд хөдөлж буй цэг А цэг рүү ойртох тусам , шулуун шугам нь шүргэгч AT-тай давхцах хандлагатай байна. Иймд бид шүргэгчийг өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрч буй секантын хязгаарлах байрлал ба түүнд хязгааргүй ойртож буй муруйн цэг гэж хэлж болно. Энэ хэлбэрээр шүргэгчийн тодорхойлолт нь маш ерөнхий хэлбэрийн муруйд хамаарна (Зураг 200).

в) Эцэст нь цэгийг тойрог дотор хэвтүүлнэ (Зураг 201). Дараа нь . Бид C төвөөс шулуун шугам руу татсан налуу тойргийг авч үзэх болно, суурь нь цэгээс хоёр боломжит чиглэлийн аль нэгэнд шилжих болно. Суурь нь цэгээс холдох тусам налуугийн урт нь нэг хэвийн байдлаар нэмэгдэх болно; налуу суурийн тодорхой байрлалд тэдгээрийн урт нь тойрог дээр шугамын K ба L харгалзах цэгүүдтэй яг тэнцүү байх болно.