Гармоник хэлбэлзлийн үед дүүжингийн хөдөлгөөний хууль. Гармоник тэгшитгэл

Гармоник хэлбэлзэл нь аргументаас хамаарал нь синус эсвэл косинусын функцийн шинж чанартай байдаг аливаа хэмжигдэхүүнийг үе үе өөрчлөх үзэгдэл юм. Жишээлбэл, хэмжигдэхүүн нь зохицон хэлбэлзэж, цаг хугацааны явцад дараах байдлаар өөрчлөгддөг.

Энд x - өөрчлөгдөж буй хэмжигдэхүүний утга, t - цаг хугацаа, үлдсэн параметрүүд нь тогтмол байна: A - хэлбэлзлийн далайц, ω - хэлбэлзлийн мөчлөгийн давтамж, хэлбэлзлийн бүрэн үе шат, хэлбэлзлийн эхний үе шат.

Дифференциал хэлбэрийн ерөнхий гармоник хэлбэлзэл

(Энэ дифференциал тэгшитгэлийн энгийн бус шийдэл нь мөчлөгийн давтамжтай гармоник хэлбэлзэл юм)

Чичиргээний төрлүүд

Системийг тэнцвэрт байдлаас нь салгасны дараа системийн дотоод хүчний нөлөөн дор чөлөөт чичиргээ үүсдэг. Чөлөөт хэлбэлзэл нь гармоник байхын тулд хэлбэлзлийн систем нь шугаман (хөдөлгөөний шугаман тэгшитгэлээр тодорхойлогддог) байх шаардлагатай бөгөөд үүнд эрчим хүчний алдагдал байхгүй (сүүлийн нь сулралт үүсгэдэг).

Албадан чичиргээ нь гадны тогтмол хүчний нөлөөн дор үүсдэг. Тэдгээрийг гармоник болгохын тулд хэлбэлзлийн систем нь шугаман (хөдөлгөөний шугаман тэгшитгэлээр тодорхойлогддог) байх нь хангалттай бөгөөд гадаад хүч нь цаг хугацааны явцад гармоник хэлбэлзэл хэлбэрээр өөрчлөгддөг (өөрөөр хэлбэл энэ хүчний цаг хугацааны хамаарал нь синусоид байдаг) .

Гармоник тэгшитгэл

хэлбэлзэх S утгын t хугацаанаас хамаарах хамаарлыг өгнө; Энэ нь тодорхой хэлбэрийн чөлөөт гармоник хэлбэлзлийн тэгшитгэл юм. Гэсэн хэдий ч ихэвчлэн чичиргээний тэгшитгэлийг дифференциал хэлбэрээр энэ тэгшитгэлийн өөр нэг дүрслэл гэж ойлгодог. Тодорхой байхын тулд (1) тэгшитгэлийг хэлбэрээр авъя

Үүнийг цаг хугацааны хувьд хоёр удаа ялгаж үзье.

Дараахь харилцаа холбоо байгааг харж болно.

үүнийг чөлөөт гармоник хэлбэлзлийн тэгшитгэл (дифференциал хэлбэрээр) гэж нэрлэдэг. Тэгшитгэл (1) нь дифференциал тэгшитгэлийн (2) шийдэл юм. (2) тэгшитгэл нь хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл тул бүрэн шийдийг гаргахын тулд хоёр анхны нөхцөл шаардлагатай (өөрөөр хэлбэл (1) тэгшитгэлд багтсан А ба   тогтмолуудыг тодорхойлох); жишээ нь: t = 0 үед хэлбэлзлийн системийн байрлал ба хурд.

Математикийн дүүжин гэдэг нь таталцлын хүчний жигд талбарт жингүй сунадаггүй утас эсвэл жингүй бариул дээр байрлах материаллаг цэгээс бүрдэх механик систем болох осциллятор юм. Чөлөөт уналтын хурдатгал g бүхий жигд таталцлын талбарт хөдөлгөөнгүй дүүжлэгдсэн l урттай математик дүүжингийн жижиг байгалийн хэлбэлзлийн хугацаа нь тэнцүү байна.

мөн дүүжингийн далайц ба массаас хамаарахгүй.

Физик савлуур нь осциллятор бөгөөд энэ нь биеийн массын төв биш цэгтэй харьцуулахад аливаа хүчний талбарт хэлбэлздэг хатуу биет эсвэл хүчний үйл ажиллагааны чиглэлд перпендикуляр тогтсон тэнхлэг юм. энэ биеийн массын төвөөр дамжин өнгөрөх.

Хамгийн их хурд ба хурдатгалын утгууд

V(t) ба a(t) хамаарлын тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийсний дараа тригонометрийн хүчин зүйл 1 эсвэл -1-тэй тэнцүү байх тохиолдолд хурд ба хурдатгал нь хамгийн их утгыг авна гэж таамаглаж болно. Томъёогоор тодорхойлно

v(t) ба a(t) хамаарлыг хэрхэн олж авах вэ

7. Чөлөөт чичиргээ. Хөдөлгөөний хурд, хурдатгал, энерги. Чичиргээ нэмэх

Чөлөөт чичиргээ(эсвэл байгалийн чичиргээ) нь гадны нөлөөлөл байхгүй үед зөвхөн анх олгосон энергийн улмаас (потенциал эсвэл кинетик) үүсдэг хэлбэлзлийн системийн хэлбэлзэл юм.

Потенциал эсвэл кинетик энергийг жишээлбэл, механик системд анхны шилжилт эсвэл анхны хурдаар дамжуулан өгч болно.

Чөлөөт хэлбэлзэлтэй биетүүд бусад биетэй үргэлж харилцан үйлчлэлцдэг ба тэдгээртэй хамт биетүүдийн системийг бүрдүүлдэг хэлбэлзлийн систем.

Жишээлбэл, пүрш, бөмбөлөг, пүршний дээд үзүүрийг бэхэлсэн босоо тулгуур (доорх зургийг үз) нь тербеллийн системд багтдаг. Энд бөмбөг утас дагуу чөлөөтэй гулсдаг (үрэлтийн хүч бага байдаг). Хэрэв та бөмбөгийг баруун тийш хөдөлгөж, өөртөө үлдээвэл тэнцвэрийн байрлалын эргэн тойронд чөлөөтэй хэлбэлзэх болно (цэг ТУХАЙ) тэнцвэрийн байрлал руу чиглэсэн пүршний уян харимхай хүчний үйлчлэлээс үүдэлтэй.

Механик хэлбэлзлийн системийн өөр нэг сонгодог жишээ бол математик дүүжин юм (доорх зургийг үз). Энэ тохиолдолд бөмбөг нь таталцлын хүч ба утаснуудын уян харимхай хүч гэсэн хоёр хүчний нөлөөн дор чөлөөт хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг (Дэлхий мөн хэлбэлзлийн системд багтдаг). Тэдний үр дүн нь тэнцвэрийн байрлал руу чиглэнэ.

Тербеллийн системийн биетүүдийн хооронд үйлчилж буй хүчийг нэрлэдэг дотоод хүч. Гадны хүчээрсистемээс гаднах биетүүдээс системд үйлчилж буй хүчийг гэнэ. Энэ үүднээс авч үзвэл чөлөөт хэлбэлзэл нь системийг тэнцвэрт байдлаас нь гаргасны дараа дотоод хүчний нөлөөн дор систем дэх хэлбэлзэл гэж тодорхойлж болно.

Чөлөөт чичиргээ үүсэх нөхцөл нь:

1) системийг энэ байдлаас гаргасны дараа тогтвортой тэнцвэрийн байрлал руу буцаах хүч тэдгээрт гарч ирэх;

2) системд үрэлт байхгүй.

Чөлөөт чичиргээний динамик.

Уян хатан хүчний нөлөөн дор биеийн чичиргээ. Уян харимхай хүчний үйлчлэлд байгаа биеийн хэлбэлзлийн хөдөлгөөний тэгшитгэл Ф(зураг харна уу) Ньютоны хоёр дахь хуулийг харгалзан авч болно ( F = м) ба Хукийн хууль ( F удирдлага= -kx), Хаана мБөмбөгний масс ба уян хатан хүчний нөлөөн дор бөмбөг олж авсан хурдатгал, к- хаврын хөшүүн байдлын коэффициент, X- биеийг тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэх (хоёр тэгшитгэлийг хэвтээ тэнхлэгт проекцоор бичсэн болно. Өө). Эдгээр тэгшитгэлийн баруун талыг тэнцүүлж, хурдатгалыг харгалзан үзэх Ань координатын хоёр дахь дериватив юм X(нүүлгэн шилжүүлэлт), бид дараахь зүйлийг авна.

.

Энэ нь уян харимхай хүчний үйлчлэлээр хэлбэлзэж буй биеийн хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэл юм: цаг хугацааны (биеийн хурдатгал) координатын хоёр дахь дериватив нь эсрэг тэмдгээр авсан координаттай шууд пропорциональ байна.

Математик дүүжингийн хэлбэлзэл.Математик дүүжин (зураг) -ийн хэлбэлзлийн тэгшитгэлийг олж авахын тулд таталцлын хүчийг нэмэгдүүлэх шаардлагатай. Ф Т= мгхэвийн байдалд Fn(утасны дагуу чиглэсэн) ба шүргэгч F τ(бөмбөгний замд шүргэгч - тойрог) бүрэлдэхүүн хэсгүүд. Таталцлын ердийн бүрэлдэхүүн хэсэг Fnба утасны уян харимхай хүч FynpНийтдээ дүүжинд төв рүү чиглэсэн хурдатгал өгдөг бөгөөд энэ нь хурдны хэмжээнд нөлөөлдөггүй, зөвхөн чиглэлийг нь өөрчилдөг ба шүргэгч бүрэлдэхүүн хэсэг. F τБөмбөгийг тэнцвэрт байдалд нь эргүүлж, хэлбэлзлийн хөдөлгөөн хийхэд хүргэдэг хүч юм. Өмнөх тохиолдлын нэгэн адил тангенциал хурдатгалын хувьд Ньютоны хуулийг ашиглана ma τ = F τмөн үүнийг өгсөн F τ= -мг синα, бид авах:

a τ= -g sinα,

Тэнцвэрийн байрлалаас хазайх хүч ба өнцөг учир хасах тэмдэг гарч ирэв α эсрэг шинж тэмдэгтэй байна. Жижиг хазайлтын өнцгийн хувьд нүгэл α ≈ α. Эргээд, α = с/л, Хаана с- нуман О.А., I- утасны урт. Үүнийг харгалзан үзвэл ба τ= s", бид эцэст нь:

Тэгшитгэлийн хэлбэр нь тэгшитгэлтэй төстэй . Зөвхөн энд системийн параметрүүд нь утасны урт ба таталцлын хурдатгал бөгөөд хаврын хөшүүн чанар, бөмбөгний масс биш юм; координатын үүргийг нумын уртаар гүйцэтгэдэг (өөрөөр хэлбэл, эхний тохиолдол шиг явсан зай).

Тиймээс чөлөөт чичиргээг эдгээр чичиргээг үүсгэдэг хүчний физик шинж чанараас үл хамааран ижил төрлийн (ижил хуулинд захирагдах) тэгшитгэлээр тодорхойлдог.

Тэгшитгэл шийдвэрлэх ба хэлбэрийн функц юм:

x = xmcos ω 0т(эсвэл x = xmнүгэл ω 0т).

Өөрөөр хэлбэл чөлөөт хэлбэлзлийг гүйцэтгэж буй биеийн координат нь косинус эсвэл синусын хуулийн дагуу цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг тул эдгээр хэлбэлзэл нь гармоник болно.

Eq-д. x = xmcos ω 0т(эсвэл x = xmнүгэл ω 0т), х м- чичиргээний далайц, ω 0 - хэлбэлзлийн өөрийн мөчлөгийн (дугуй) давтамж.

Чөлөөт гармоник хэлбэлзлийн мөчлөгийн давтамж ба үеийг системийн шинж чанараар тодорхойлно. Иймд пүршнд бэхлэгдсэн биеийн чичиргээний хувьд дараах хамаарал хүчинтэй байна.

.

Пүршний хөшүүн чанар их байх тусам ачааллын масс бага байх тусам байгалийн давтамж ихсэх нь туршлагаар бүрэн нотлогддог.

Математик дүүжингийн хувьд дараах тэгшитгэлүүд хангагдана.

.

Энэ томьёог анх Голландын эрдэмтэн Гюйгенс (Ньютоны үеийн хүн) олж, туршилтаар туршиж үзсэн.

Савлуурын уртыг уртасгах тусам хэлбэлзлийн хугацаа нэмэгддэг бөгөөд түүний массаас хамаардаггүй.

Гармоник хэлбэлзэл нь хатуу үе үе (синус эсвэл косинусын хуулийг дагаж мөрддөг тул) бөгөөд тэр ч байтугай бодит (физик) дүүжингийн идеализаци болох математикийн дүүжинд ч зөвхөн бага хэлбэлзэлтэй үед л боломжтой байдагт онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй. өнцөг. Хэрэв хазайлтын өнцөг их байвал ачааны шилжилт нь хазайлтын өнцөгтэй (өнцгийн синус) пропорциональ биш, хурдатгал нь шилжилт хөдөлгөөнтэй пропорциональ биш болно.

Чөлөөтэй хэлбэлзэж буй биеийн хурд, хурдатгалд мөн гармоник хэлбэлзэл орно. Функцийн цаг хугацааны деривативыг авах ( x = xmcos ω 0т(эсвэл x = xmнүгэл ω 0т)), бид хурдны илэрхийлэлийг олж авдаг:

v = -v мнүгэл ω 0t = -v мх мcos (ω 0t + π/2),

Хаана v м= ω 0 х м- хурдны далайц.

Хурдатгалын ижил төстэй илэрхийлэл Абид ялгах замаар олж авдаг ( v = -v мнүгэл ω 0t = -v мх мcos (ω 0t + π/2)):

a = -a мcos ω 0т,

Хаана а м= ω 2 0х м- хурдатгалын далайц. Тиймээс гармоник хэлбэлзлийн хурдны далайц нь давтамжтай, хурдатгалын далайц нь хэлбэлзлийн давтамжийн квадраттай пропорциональ байна.

ГАРМОНИК чичиргээ
Косинус эсвэл синус (гармоник хууль) хуулийн дагуу физик хэмжигдэхүүн өөрчлөгдөх хэлбэлзлийг нэрлэдэг. гармоник чичиргээ.Жишээлбэл, механик гармоник чичиргээний хувьд:.
Эдгээр томъёонд ω нь чичиргээний давтамж, x m нь чичиргээний далайц, φ 0 ба φ 0 ' нь чичиргээний эхний үе шатууд юм. Дээрх томьёо нь эхний үе шатыг тодорхойлохдоо ялгаатай бөгөөд φ 0 ’ = φ 0 +π/2 үед бүрэн давхцдаг.
Энэ бол үечилсэн хэлбэлзлийн хамгийн энгийн төрөл юм. Функцийн тодорхой хэлбэр (синус эсвэл косинус) нь системийг тэнцвэрийн байрлалаас нь зайлуулах аргаас хамаарна. Хэрэв зайлуулалт нь түлхэлтээр явагддаг бол (кинетик энергийг өгдөг) t=0 үед шилжилт х=0, тиймээс φ 0 '=0 тохируулж sin функцийг ашиглах нь илүү тохиромжтой; t = 0 үед тэнцвэрийн байрлалаас хазайх үед (потенциал энергийн тухай мэдээлсэн) шилжилт x = x m тул cos функц ба φ 0 = 0-ийг ашиглах нь илүү тохиромжтой. cos буюу нүгэл тэмдгийн доорх илэрхийлэл гэж нэрлэдэг.хэлбэлзлийн үе шат:
.
Хэлбэлзлийн үе шатыг радианаар хэмжиж, тухайн үеийн шилжилтийн утгыг (хэлбэлзэх хэмжигдэхүүн) тодорхойлно.
Хэлбэлзлийн далайц нь зөвхөн анхны хазайлтаас (хэлбэлзлийн системд өгсөн анхны энерги) хамаарна.
Гармоник хэлбэлзлийн үеийн хурд ба хурдатгал.
Хурдны тодорхойлолтоор бол хурд нь цаг хугацааны хувьд байрлалын дериватив юм
Ийнхүү гармоник хэлбэлзлийн хөдөлгөөний үед хурд нь гармоник хуулийн дагуу өөрчлөгддөг боловч хурдны хэлбэлзэл нь фазын шилжилтийн хэлбэлзлээс π/2-оор түрүүлж байгааг бид харж байна. Утга - хэлбэлзлийн хөдөлгөөний хамгийн дээд хурд (хурдны хэлбэлзлийн далайц).
Тиймээс гармоник хэлбэлзлийн хурдны хувьд бид: , мөн эхний үе шат тэг байх тохиолдолд (графикийг харна уу). Хурдатгалын тодорхойлолтын дагуу хурдатгал нь цаг хугацааны хувьд хурдны дериватив юм..
нь цаг хугацааны хувьд координатын хоёр дахь дериватив юм. Дараа нь: . Гармоник хэлбэлзлийн хөдөлгөөний үед хурдатгал нь мөн гармоник хуулийн дагуу өөрчлөгддөг боловч хурдатгалын хэлбэлзэл нь хурдны хэлбэлзлээс π/2, шилжилтийн хэлбэлзлээс π (хэлбэлзэл үүсдэг гэж хэлдэг) эсрэг фазын үед) Утга - хамгийн их хурдатгал (хурдатгалын хэлбэлзлийн далайц). Тиймээс бид хурдатгалын хувьд:
Хөдөлгөөний үйл явц, график, түүнд харгалзах математик илэрхийлэлд хийсэн дүн шинжилгээнээс харахад хэлбэлзэж буй бие тэнцвэрийн байрлалыг давах үед (шилжилт нь тэг), хурдатгал нь тэг, биеийн хурд хамгийн их байдаг нь тодорхой байна. бие нь тэнцвэрийн байрлалыг инерцээр дамжуулдаг), шилжилтийн далайцын утгад хүрэхэд хурд нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд хурдатгал нь үнэмлэхүй утгаараа хамгийн их байна (бие нь хөдөлгөөний чиглэлийг өөрчилдөг).
Гармоник чичиргээний үеийн шилжилт ба хурдатгалын илэрхийллүүдийг харьцуулж үзье: ба .
Та бичиж болно: - өөрөөр хэлбэл шилжилтийн хоёр дахь дериватив нь шилжилттэй шууд пропорциональ (эсрэг тэмдэгтэй) байна. Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг гармоник чичиргээний тэгшитгэл. Энэ хамаарал нь шинж чанараас үл хамааран аливаа гармоник хэлбэлзэлд хамаарна. Бид тодорхой хэлбэлзлийн системийн параметрүүдийг хэзээ ч ашиглаж байгаагүй тул зөвхөн мөчлөгийн давтамж нь тэдгээрээс хамаарна.
Чичиргээний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичих нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг. , энд T нь хэлбэлзлийн үе юм. Дараа нь, хэрэв цагийг хугацааны бутархайгаар илэрхийлбэл тооцооллыг хялбарчлах болно. Жишээлбэл, хугацааны 1/8-ийн дараа нүүлгэн шилжүүлэлтийг олох шаардлагатай бол бид дараахь зүйлийг авна. Хурд болон хурдатгалын хувьд ч мөн адил.

Систем нь бие биенээсээ үл хамааран хоёр буюу хэд хэдэн хэлбэлзэлд нэгэн зэрэг оролцох тохиолдол байдаг. Эдгээр тохиолдолд хэлбэлзлийг бие биен дээрээ давхцуулах (нэмэх) замаар үүсдэг нарийн төвөгтэй хэлбэлзлийн хөдөлгөөн үүсдэг. Мэдээжийн хэрэг, хэлбэлзэл нэмэх тохиолдол маш олон янз байж болно. Эдгээр нь зөвхөн нэмсэн хэлбэлзлийн тооноос гадна хэлбэлзлийн параметрүүд, тэдгээрийн давтамж, үе шат, далайц, чиглэл зэргээс хамаарна. Хэлбэлзэл нэмэх тохиолдлуудыг бүгдийг нь авч үзэх боломжгүй тул бид зөвхөн бие даасан жишээнүүдийг авч үзэх болно.
1. Нэг чиглэлийн хэлбэлзлийг нэмэх. Ижил давтамжтай, гэхдээ өөр өөр фаз ба далайцтай хоёр хэлбэлзлийг нэмье.

(4.40)
Хэлбэлзэл нь бие биендээ наалдсан үед


Тэгшитгэлийн дагуу A ба j шинэ параметрүүдийг танилцуулъя.

(4.42)
Тэгшитгэлийн систем (4.42) шийдвэрлэхэд хялбар.

(4.43)

(4.44)
Тиймээс x-ийн хувьд бид эцэст нь тэгшитгэлийг олж авна

(4.45)
Тиймээс ижил давтамжийн нэг чиглэлтэй хэлбэлзлийг нэмсний үр дүнд бид гармоник (синусоид) хэлбэлзлийг олж авдаг бөгөөд далайц ба фазыг (4.43) ба (4.44) томъёогоор тодорхойлно.
Хоёр нэмэлт хэлбэлзлийн үе шатуудын хоорондын хамаарал өөр байдаг онцгой тохиолдлуудыг авч үзье.


(4.46)
Одоо ижил далайцтай, ижил үе шаттай, гэхдээ өөр өөр давтамжтай нэг чиглэлтэй хэлбэлзлийг нэмье.


(4.47)
Давтамжууд хоорондоо ойрхон, өөрөөр хэлбэл w1~w2=w тохиолдлыг авч үзье.
Дараа нь бид ойролцоогоор (w1+w2)/2= w, (w2-w1)/2 нь бага утгатай гэж таамаглах болно. Үүссэн хэлбэлзлийн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

(4.48)
Түүний графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 4.5 Энэ хэлбэлзлийг цохих гэж нэрлэдэг. Энэ нь w давтамжтай тохиолддог боловч далайц нь том хугацаанд хэлбэлздэг.

2. Хоёр харилцан перпендикуляр хэлбэлзлийг нэмэх. Нэг хэлбэлзэл нь х тэнхлэгийн дагуу, нөгөө нь у тэнхлэгийн дагуу явагдана гэж үзье. Үүссэн хөдөлгөөн нь xy хавтгайд байрлах нь тодорхой.
1. Хэлбэлзлийн давтамж ба фаз нь ижил боловч далайц өөр байна гэж үзье.

(4.49)
Үүссэн хөдөлгөөний траекторийг олохын тулд та (4.49) тэгшитгэлээс цаг хугацааг хасах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд нэг тэгшитгэлийн гишүүнийг нөгөө гишүүнээр нь хуваахад хангалттай бөгөөд үүний үр дүнд бид олж авдаг

(4.50)
Тэгшитгэл (4.50)-аас харахад энэ тохиолдолд хэлбэлзлийг нэмэх нь шулуун шугамын хэлбэлзэлд хүргэдэг бөгөөд налуу нь далайцын харьцаагаар тодорхойлогддог.
2. Нэмэгдсэн хэлбэлзлийн үе шатууд нь бие биенээсээ /2-оор ялгаатай байх ба тэгшитгэлүүд нь дараах хэлбэртэй байна.

(4.51)
Үүссэн хөдөлгөөний траекторийг олохын тулд цаг хугацааг тооцохгүйгээр тэгшитгэлийг (4.51) квадрат болгож, эхлээд тэдгээрийг A1 ба A2 болгон хувааж, дараа нь нэмэх хэрэгтэй. Траекторын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

(4.52)
Энэ бол эллипсийн тэгшитгэл юм. Ижил давтамжийн харилцан перпендикуляр хоёр хэлбэлзлийн аль ч эхний үе шат ба далайцын хувьд үүссэн хэлбэлзэл нь эллипсийн дагуу явагдана гэдгийг баталж болно. Түүний чиг баримжаа нь нэмсэн хэлбэлзлийн үе шат ба далайцаас хамаарна.
Хэрэв нэмсэн хэлбэлзэл нь өөр өөр давтамжтай байвал үүссэн хөдөлгөөний замнал нь маш олон янз болж хувирдаг. Зөвхөн x ба y дахь хэлбэлзлийн давтамжууд бие биенийхээ үржвэр бол битүү траекторийг олж авна. Ийм хөдөлгөөнийг үе үе гэж ангилж болно. Энэ тохиолдолд хөдөлгөөний траекторийг Лиссажугийн дүрс гэж нэрлэдэг. Хөдөлгөөний эхэнд ижил далайц, фаз бүхий 1:2 давтамжийн харьцаатай хэлбэлзлийг нэмснээр олж авсан Лиссажусын нэг дүрсийг авч үзье.

(4.53)
Y тэнхлэгийн дагуух чичиргээ нь x тэнхлэгийн дагуухаас хоёр дахин их тохиолддог. Ийм хэлбэлзлийг нэмэх нь наймны дүрс хэлбэрээр хөдөлгөөний траекторийг бий болгоно (Зураг 4.7).

8. Норгосон хэлбэлзэл ба тэдгээрийн параметрүүд: бууралт ба хэлбэлзлийн коэффициент, сулрах хугацаа

)Норгосон хэлбэлзлийн үе:

Т = (58)

At δ << ω o Чичиргээ нь гармоникаас ялгаатай биш: T = 2π/ ω o.

2) Норгосон хэлбэлзлийн далайц(119) томъёогоор илэрхийлнэ.

3) Сул доройтлыг бууруулах,дараалсан хоёр чичиргээний далайцын харьцаатай тэнцүү байна А(т) Мөн А(t+T), тодорхой хугацааны туршид далайц буурах хурдыг тодорхойлдог.

= э д Т (59)

4) Логарифмын бууралт- Хугацааны зөрүүтэй цаг хугацааны моментуудад тохирсон хоёр дараалсан хэлбэлзлийн далайцын харьцааны натурал логарифм

q = ln = ln e d Т =dT(60)

Логарифмын бууралт нь тухайн хэлбэлзлийн системийн тогтмол утга юм.

5) Амрах цагхугацаа гэж нэрлэдэг заншилтай ( т) энэ үед саармагжуулсан хэлбэлзлийн далайц e дахин буурдаг:

e d τ = e, δτ = 1,

t = 1/г, (61)

(60) ба (61) илэрхийллийн харьцуулалтаас бид дараахь зүйлийг олж авна.

q= = , (62)

Хаана Н э -амрах үед хийсэн хэлбэлзлийн тоо.

Хэрэв тухайн хугацаанд тсистем үүрэг гүйцэтгэдэг Ν тэгвэл эргэлзэх т = Ν . Τ саармагжуулсан хэлбэлзлийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

S = A 0 e -d N T cos(w t+j)= A 0 e -q N cos(w t+j).

6)Тербеллийн системийн чанарын хүчин зүйл(Q)-ийг ихэвчлэн хэлбэлзлийн үеийн систем дэх энергийн алдагдлыг тодорхойлдог хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг.

Q = 2х , (63)

Хаана В- системийн нийт энерги; ΔW- тодорхой хугацааны туршид тархсан энерги. Эрчим хүч бага байх тусам системийн чанарын хүчин зүйл нэмэгддэг. Тооцоолол үүнийг харуулж байна

Q = = pN e = =. (64)

Гэсэн хэдий ч чанарын хүчин зүйл нь логарифмын сулралын бууралттай урвуу хамааралтай байна. (64) томъёоноос чанарын хүчин зүйл нь хэлбэлзлийн тоотой пропорциональ байна Н этайвшруулах үед системээр гүйцэтгэдэг.

7) Боломжит эрчим хүч t цаг үеийн системийг боломжит эрчим хүчээр илэрхийлж болно В 0 хамгийн их хазайлтаар:

В = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN. (65)

Хэрэв энерги нь 100 дахин буурсан бол хэлбэлзэл бараг зогссон гэж уламжлалт байдлаар үздэг (далайц нь 10 дахин буурсан). Эндээс бид системийн гүйцэтгэсэн хэлбэлзлийн тоог тооцоолох илэрхийлэлийг авч болно.

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

Н = = . (66)

9. Албадан чичиргээ. Резонанс. Апериодын хэлбэлзэл. Өөрөө хэлбэлзэл.

Системийг сааруулагчгүй хэлбэлзэл гүйцэтгэхийн тулд гаднаас үүссэн үрэлтийн улмаас хэлбэлзлийн энергийн алдагдлыг нөхөх шаардлагатай. Системийн хэлбэлзлийн энерги буурахгүй байхын тулд системд үе үе үйлчилдэг хүчийг ихэвчлэн нэвтрүүлдэг (бид ийм хүчийг нэрлэх болно). албадах, болон хэлбэлзэл нь албадан байна).

ТОДОРХОЙЛОЛТ: албаданЭдгээр нь гаднах үе үе өөрчлөгддөг хүчний нөлөөн дор хэлбэлзлийн системд үүсдэг хэлбэлзэл юм.

Энэ хүч нь ихэвчлэн хоёрдмол үүрэг гүйцэтгэдэг:

нэгдүгээрт, энэ нь системийг ганхуулж, тодорхой хэмжээний эрчим хүчээр хангадаг;

хоёрдугаарт, эсэргүүцэл ба үрэлтийн хүчийг даван туулахын тулд эрчим хүчний алдагдлыг (эрчим хүчний хэрэглээ) үе үе нөхдөг.

Хуулийн дагуу хөдөлгөгч хүч нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг.

.

Ийм хүчний нөлөөн дор хэлбэлзэж буй системийн хөдөлгөөний тэгшитгэлийг байгуулъя. Системд мөн хагас уян харимхай хүч ба орчны эсэргүүцлийн хүч нөлөөлдөг гэж бид таамаглаж байна (энэ нь бага хэлбэлзлийн таамаглалд үнэн юм). Дараа нь системийн хөдөлгөөний тэгшитгэл дараах байдлаар харагдах болно.

Эсвэл .

Системийн хэлбэлзлийн байгалийн давтамжийг , , – орлуулсны дараа бид нэг төрлийн бус шугаман дифференциал тэгшитгэл 2-ыг олж авна. thзахиалга:

Дифференциал тэгшитгэлийн онолоос нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл ба нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдийн нийлбэртэй тэнцүү болохыг мэддэг.

Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь мэдэгдэж байна:

,

Хаана ; а 0 ба а– дурын const.

.

Вектор диаграммыг ашиглан та энэ таамаглал үнэн эсэхийг шалгаж, мөн ""-ийн утгыг тодорхойлж болно. а"Ба" j”.

Хэлбэлзлийн далайцыг дараах илэрхийллээр тодорхойлно.

.

"Утга" j”, энэ нь албадан хэлбэлзлийн фазын хоцрогдлын хэмжээ юм Үүнийг тодорхойлсон хөдөлгөгч хүчнээс мөн вектор диаграммаас тодорхойлогддог бөгөөд дараахь хэмжээтэй байна.

.

Эцэст нь, нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь дараах хэлбэртэй болно.

(8.18)

Энэ функцийг хослуулсан

(8.19)

албадан хэлбэлзлийн дор системийн үйл ажиллагааг дүрсэлсэн нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг өгдөг. (8.19) нэр томъёо нь хэлбэлзлийг бий болгох гэж нэрлэгддэг үйл явцын эхний үе шатанд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг (Зураг 8.10). Цаг хугацаа өнгөрөх тусам экспоненциал хүчин зүйлийн улмаас хоёр дахь гишүүний үүрэг (8.19) улам бүр буурч, хангалттай хугацаа өнгөрсний дараа үүнийг үл тоомсорлож, шийдэлд зөвхөн (8.18) нэр томъёог үлдээж болно.

Тиймээс (8.18) функц нь тогтвортой төлөвийн албадан хэлбэлзлийг дүрсэлдэг. Эдгээр нь хөдөлгөгч хүчний давтамжтай тэнцүү давтамжтай гармоник хэлбэлзлийг илэрхийлдэг. Албадан хэлбэлзлийн далайц нь хөдөлгөгч хүчний далайцтай пропорциональ байна. Өгөгдсөн хэлбэлзлийн системийн хувьд (w 0 ба b-ээр тодорхойлогддог) далайц нь хөдөлгөгч хүчний давтамжаас хамаарна. Албадан хэлбэлзэл нь фазын хөдөлгөгч хүчнээс хоцорч, “j” хоцрогдлын хэмжээ нь хөдөлгөгч хүчний давтамжаас мөн хамаарна.

Албадан хэлбэлзлийн далайц нь хөдөлгөгч хүчний давтамжаас хамаарах нь тухайн системд тодорхой давтамжтайгаар хэлбэлзлийн далайц нь хамгийн их утгад хүрэхэд хүргэдэг. Осцилляцийн систем нь энэ давтамж дахь хөдөлгөгч хүчний үйл ажиллагаанд онцгой хариу үйлдэл үзүүлдэг. Энэ үзэгдлийг гэж нэрлэдэг резонанс, харгалзах давтамж нь байна резонансын давтамж.

ТОДОРХОЙЛОЛТ: албадан хэлбэлзлийн далайц огцом нэмэгдэж буй үзэгдлийг гэнэ. резонанс.

Резонансын давтамжийг албадан хэлбэлзлийн далайцын хамгийн их нөхцлөөр тодорхойлно.

. (8.20)

Дараа нь энэ утгыг далайцын илэрхийлэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

. (8.21)

Дунд зэргийн эсэргүүцэл байхгүй тохиолдолд резонансын хэлбэлзлийн далайц хязгааргүй болж хувирна; ижил нөхцөлд резонансын давтамж (b=0) хэлбэлзлийн байгалийн давтамжтай давхцдаг.

Албадан хэлбэлзлийн далайцын хөдөлгөгч хүчний давтамжаас хамаарах хамаарлыг (эсвэл хэлбэлзлийн давтамжаас ижил) графикаар дүрсэлж болно (Зураг 8.11). Тусдаа муруй нь "b"-ийн өөр өөр утгатай тохирч байна. "b" бага байх тусам энэ муруйны дээд ба баруун талд байрлах болно (w res гэсэн илэрхийллийг харна уу). Маш өндөр саармагжуулах үед резонанс ажиглагддаггүй - давтамж нэмэгдэх тусам албадан хэлбэлзлийн далайц нь монотоноор буурдаг (Зураг 8.11-ийн доод муруй).

b-ийн өөр өөр утгатай тохирох графикуудын багцыг нэрлэдэг резонансын муруй.

Тэмдэглэлрезонансын муруйн талаар:

w®0 хандлагатай байгаа тул бүх муруй нь -тэй тэнцүү тэгээс өөр утгатай болно. Энэ утга нь тогтмол хүчний нөлөөн дор систем хүлээн авсан тэнцвэрийн байрлалаас шилжилт хөдөлгөөнийг илэрхийлнэ. Ф 0 .

Учир нь w®¥ бүх муруй асимптотоор тэг рүү чиглэдэг, учир нь өндөр давтамжтай үед хүч нь чиглэлээ маш хурдан өөрчилдөг тул систем тэнцвэрийн байрлалаас мэдэгдэхүйц шилжих цаг хугацаа байдаггүй.

b бага байх тусам резонансын ойролцоо далайц давтамжтай өөрчлөгдөх тусам хамгийн их "хурц" болно.

Резонансын үзэгдэл нь ихэвчлэн, ялангуяа акустик, радио инженерчлэлд ашигтай байдаг.

Өөрөө хэлбэлзэл- тогтмол эрчим хүчээр дэмжигдсэн шугаман бус эргэх холбоо бүхий диссипатив динамик систем дэх унтрахгүй хэлбэлзэл, өөрөөр хэлбэл үе үе бусгадны нөлөө.

Өөрөө хэлбэлзэл нь ялгаатай албадан хэлбэлзэлУчир нь сүүлийнх нь үүсдэг үе үеГадны нөлөөлөл ба энэ нөлөөллийн давтамжтай тохиолддог бол өөрөө хэлбэлзэл үүсэх ба тэдгээрийн давтамж нь өөрөө өөрөө хэлбэлздэг системийн дотоод шинж чанараар тодорхойлогддог.

Хугацаа өөрөө хэлбэлзэл 1928 онд А.А.Андронов Оросын нэр томъёонд нэвтрүүлсэн.

Жишээ[

Өөрөө хэлбэлзлийн жишээнд:

· ороомгийн жингийн хүндийн хүчний байнгын үйлчлэлийн улмаас цагны савлуурын уналтгүй хэлбэлзэл;

жигд хөдөлж буй нумны нөлөөгөөр хийлийн чавхдаст чичиргээ

· Тогтмол тэжээлийн хүчдэлийн үед мультивибраторын хэлхээ болон бусад электрон генераторуудад хувьсах гүйдэл үүсэх;

· эрхтэний хоолой дахь агаарын баганын хэлбэлзэл, түүнд агаарыг жигд нийлүүлэх. (мөн зогсох долгионыг үзнэ үү)

· ган тэнхлэгийг соронзоос дүүжлэн мушгисан гуулин цагны механизмын эргэлтийн чичиргээ (Гамазковын туршилт) (Дугуйн кинетик энерги нь нэг туйлт генераторын нэгэн адил цахилгаан талбайн потенциал энерги, потенциал энерги болон хувирдаг). Нэг туйлт моторын нэгэн адил цахилгаан орон нь дугуйны кинетик энерги болон хувирдаг.)

Маклаковын алх

Цахилгаан хэлхээн дэх гүйдлийн давтамжаас хэд дахин бага давтамжтай хувьсах гүйдлийн энергийг ашиглан цохих алх.

Хэлбэлзэх хэлхээний ороомог L нь ширээн дээр (эсвэл цохих шаардлагатай бусад объект) дээр байрладаг. Доод талаас нь төмөр хоолой орж ирдэг бөгөөд доод төгсгөл нь алхны цохилтын хэсэг юм. Хоолой нь Foucault-ийн гүйдлийг багасгах босоо үүртэй. Тербеллийн хэлхээний параметрүүд нь түүний хэлбэлзлийн байгалийн давтамж нь хэлхээний гүйдлийн давтамжтай давхцдаг (жишээлбэл, хотын ээлжит гүйдэл, 50 герц).

Гүйдлийг асааж, хэлбэлзлийг тогтоосны дараа хэлхээний гүйдэл ба гадаад хэлхээний резонансын резонанс ажиглагдаж, төмрийн хоолойг ороомог руу татна. Ороомгийн индукц нэмэгдэж, хэлбэлзлийн хэлхээ нь резонансаас гарч, ороомог дахь гүйдлийн хэлбэлзлийн далайц буурдаг. Тиймээс хоолой нь таталцлын нөлөөн дор анхны байрлалдаа буцаж ирдэг - ороомгийн гадна талд. Дараа нь хэлхээний доторх гүйдлийн хэлбэлзэл нэмэгдэж, резонанс дахин үүснэ: хоолойг дахин ороомог руу татна.

Хоолой хийдэг өөрөө хэлбэлзэл, өөрөөр хэлбэл, үе үе дээш доош хөдөлгөөн хийж, тэр үед ширээг алх шиг чанга тогшдог. Эдгээр механик өөрөө хэлбэлзлийн хугацаа нь тэдгээрийг дэмждэг хувьсах гүйдлийн хугацаанаас хэдэн арван дахин урт байдаг.

Энэхүү алхыг Москвагийн Физик-Технологийн дээд сургуулийн лекцийн ажилтан М.И.Маклаковын нэрээр нэрлэсэн бөгөөд тэрээр өөрөө хэлбэлзлийг харуулах туршилтыг санал болгож, хийсэн юм.

Өөрөө хэлбэлзлийн механизм

Зураг 1.Өөрөө хэлбэлзлийн механизм

Өөрөө хэлбэлзэл нь өөр шинж чанартай байж болно: механик, дулааны, цахилгаан соронзон, химийн. Өөр өөр систем дэх өөрөө хэлбэлзэл үүсэх, хадгалах механизм нь физик, химийн өөр өөр хуулиудад тулгуурлаж болно. Янз бүрийн системийн өөрөө хэлбэлзлийн тоон үзүүлэлтийг нарийн тодорхойлохын тулд өөр өөр математикийн төхөөрөмж шаардлагатай байж болно. Гэсэн хэдий ч энэ механизмыг чанарын хувьд тодорхойлсон бүх өөрөө хэлбэлздэг системд нийтлэг диаграммыг төсөөлж болно (Зураг 1).

Диаграм дээр: С- тогтмол (үе үе бус) нөлөөллийн эх үүсвэр; Р- тогтмол эффектийг хувьсагч болгон хувиргадаг шугаман бус хянагч (жишээ нь цаг хугацааны хувьд завсарлагатай), "дүүжин" осциллятор В- системийн хэлбэлзэгч элемент(үүд), эргэх холбоогоор дамжуулан осцилляторын хэлбэлзэл Бзохицуулагчийн ажиллагааг хянах Р, асууж байна үе шатТэгээд давтамжтүүний үйлдэл. Өөрөө хэлбэлздэг систем дэх тархалт (эрчим хүчний алдагдал) нь байнгын нөлөөллийн эх үүсвэрээс энергийн урсгалаар нөхөгддөг бөгөөд үүнээс болж өөрөө хэлбэлзэл нь унтардаггүй.

Цагаан будаа. 2Савлууртай цагны ратчет механизмын диаграмм

Хэрэв системийн хэлбэлзэгч элемент нь өөрийн гэсэн чадвартай бол саармагжуулсан хэлбэлзэл(гэж нэрлэдэг гармоник диссипатив осциллятор), өөрөө хэлбэлзэл (тухайн хугацаанд системд ижил тархалт ба энергийн оролттой) ойролцоо давтамжтайгаар тогтоогддог. цуурайтсанЭнэ осцилляторын хувьд тэдгээрийн хэлбэр нь гармоникт ойртож, далайц нь тодорхой хязгаарт байх тусам гадны байнгын нөлөөллийн хэмжээ их байх болно.

Энэ төрлийн системийн жишээ бол дүүжин цагны ратчет механизм бөгөөд диаграммыг Зураг дээр үзүүлэв. 2. Ратчет дугуйны тэнхлэг дээр А(энэ системд шугаман бус зохицуулагчийн үүргийг гүйцэтгэдэг) хүчний байнгын момент байдаг М, гол эх үүсвэрээс эсвэл жингээс араагаар дамждаг. Дугуй эргэх үед АТүүний шүд нь савлуурт богино хугацааны хүчний импульс өгдөг П(oscillator), үүний ачаар түүний хэлбэлзэл арилдаггүй. Механизмын кинематик нь систем дэх санал хүсэлтийн үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд дугуйны эргэлтийг дүүжингийн хэлбэлзэлтэй синхрончлох замаар бүхэл бүтэн хэлбэлзлийн үед дугуй нь нэг шүдтэй тохирох өнцгөөр эргэлддэг.

Гармоник осциллятор агуулаагүй өөрөө хэлбэлздэг системийг нэрлэдэг Амралт. Тэдгээрийн чичиргээ нь гармоникуудаас эрс ялгаатай байж болох бөгөөд тэгш өнцөгт, гурвалжин эсвэл трапец хэлбэртэй байдаг. Тайвшрах өөрөө хэлбэлзлийн далайц ба хугацаа нь тогтмол нөлөөллийн хэмжээ ба системийн инерц ба сарних шинж чанаруудын харьцаагаар тодорхойлогддог.

Цагаан будаа. 3Цахилгаан хонх

Тайвшрах өөрөө хэлбэлзлийн хамгийн энгийн жишээ бол цахилгаан хонхны ажиллагаа юм. Зураг дээр үзүүлсэн. 3. Энд байнгын (үе үе бус) өртөх эх үүсвэр нь цахилгаан батерей юм У; Шугаман бус зохицуулагчийн үүргийг цавчих машин гүйцэтгэдэг Т, цахилгаан хэлхээг хаах, нээх, үүний үр дүнд тасалдсан гүйдэл гарч ирдэг; хэлбэлзэгч элементүүд нь цахилгаан соронзонгийн цөмд үе үе өдөөгддөг соронзон орон юм Э, болон зангуу А, хувьсах соронзон орны нөлөөн дор хөдөлж байна. Арматурын хэлбэлзэл нь таслагчийг идэвхжүүлдэг бөгөөд энэ нь эргэх холбоог үүсгэдэг.

Энэ системийн инерцийг хоёр өөр физик хэмжигдэхүүнээр тодорхойлно: арматурын инерцийн момент Ацахилгаан соронзон ороомгийн индукц Э. Эдгээр параметрүүдийн аль нэгийг нэмэгдүүлэх нь өөрөө хэлбэлзлийн хугацааг нэмэгдүүлэхэд хүргэдэг.

Хэрэв системд бие биенээсээ хамааралгүйгээр хэлбэлздэг хэд хэдэн элемент байгаа бөгөөд шугаман бус зохицуулагч эсвэл зохицуулагч (тэдгээрийн хэд хэдэн байж болно) зэрэгт нөлөөлдөг бол өөрөө хэлбэлзэл нь илүү төвөгтэй шинж чанартай байж болно, жишээлбэл: үе үе, эсвэл динамик эмх замбараагүй байдал.

Байгаль, технологид

Өөрөө хэлбэлзэл нь байгалийн олон үзэгдлийн үндэс суурь болдог.

· Агаарын жигд урсгалын нөлөөгөөр ургамлын навчны чичиргээ;

· гол мөрний хагарал, хурдацтай урсгал дээр турбулент урсгал үүсэх;

· ердийн гейзерүүдийн үйлдэл гэх мэт.

Олон тооны янз бүрийн техникийн төхөөрөмж, төхөөрөмжүүдийн ажиллах зарчим нь өөрөө хэлбэлзэлд суурилдаг, үүнд:

· механик болон цахилгааны бүх төрлийн цагийг ажиллуулах;

· бүх үлээвэр болон чавхдаст хөгжмийн зэмсгийн чимээ;

©2015-2019 сайт
Бүх эрх нь тэдний зохиогчид хамаарна. Энэ сайт нь зохиогчийн эрхийг шаарддаггүй, гэхдээ үнэгүй ашиглах боломжийг олгодог.
Хуудас үүсгэсэн огноо: 2017-04-04

Хамгийн энгийн хэлбэлзэл нь гармоник чичиргээ- тэнцвэрийн байрлалаас хэлбэлзэх цэгийн шилжилт нь синус эсвэл косинусын хуулийн дагуу цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг хэлбэлзэл.

Тиймээс, бөмбөгийг тойрог хэлбэрээр жигд эргүүлснээр түүний төсөөлөл (гэрлийн зэрэгцээ туяанд сүүдэр) нь босоо дэлгэц дээр гармоник хэлбэлзлийн хөдөлгөөнийг гүйцэтгэдэг (Зураг 1).

Гармоник чичиргээний үед тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэхийг дараах хэлбэрийн тэгшитгэлээр (үүнийг гармоник хөдөлгөөний кинематик хууль гэж нэрлэдэг) тодорхойлно.

Энд x нь нүүлгэн шилжүүлэлт - тэнцвэрийн байрлалтай харьцуулахад t цаг хугацааны хэлбэлзлийн цэгийн байрлалыг тодорхойлсон хэмжигдэхүүн бөгөөд тухайн үеийн тэнцвэрийн байрлалаас цэгийн байрлал хүртэлх зайгаар хэмжигддэг; A - хэлбэлзлийн далайц - тэнцвэрийн байрлалаас биеийн хамгийн их шилжилт; T - хэлбэлзлийн хугацаа - нэг бүрэн хэлбэлзлийн хугацаа; тэдгээр. хэлбэлзлийг тодорхойлсон физик хэмжигдэхүүний утгууд давтагдах хамгийн богино хугацаа; - эхний үе шат;

t цаг үеийн хэлбэлзлийн үе шат. Хэлбэлзлийн үе шат нь тодорхой хэлбэлзлийн далайцын хувьд биеийн хэлбэлзлийн системийн төлөвийг (шилжилт, хурд, хурдатгал) ямар ч үед тодорхойлдог үечилсэн функцийн аргумент юм.

Хэрэв цаг хугацааны эхний мөчид хэлбэлзлийн цэг тэнцвэрийн байрлалаас хамгийн их шилжсэн бол , тэгвэл тэнцвэрийн байрлалаас цэгийн шилжилт нь хуулийн дагуу өөрчлөгдөнө.

Хэрэв хэлбэлзэх цэг нь тогтвортой тэнцвэрийн байрлалд байвал тэнцвэрийн байрлалаас цэгийн шилжилт нь хуулийн дагуу өөрчлөгдөнө.

1 секундын дотор гүйцэтгэсэн бүрэн хэлбэлзлийн тоотой тэнцэх хугацааны урвуу утга болох V утгыг хэлбэлзлийн давтамж гэнэ.

Хэрэв t хугацааны туршид бие N бүрэн хэлбэлзэл хийвэл

Хэмжээ Бие s-д хэдэн хэлбэлзэл хийж байгааг харуулахыг нэрлэдэг мөчлөгийн (дугуй) давтамж.

Гармоник хөдөлгөөний кинематик хуулийг дараах байдлаар бичиж болно.

Графикийн хувьд хэлбэлзэх цэгийн шилжилтийн цаг хугацааны хамаарлыг косинусын долгионоор (эсвэл синус долгион) илэрхийлдэг.

Зураг 2, а нь тухайн тохиолдлын тэнцвэрийн байрлалаас хэлбэлзэх цэгийн шилжилтийн цаг хугацааны хамаарлын графикийг үзүүлэв.

Цаг хугацааны явцад хэлбэлзэх цэгийн хурд хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд бид энэ илэрхийллийн цаг хугацааны деривативыг олно.

х тэнхлэг дээрх хурдны проекцын далайц хаана байна.

Энэ томъёо нь гармоник хэлбэлзлийн үед биеийн хурдны х тэнхлэг дээрх проекц нь ижил давтамжтай, өөр далайцтай гармоник хуулийн дагуу өөрчлөгддөг ба фазын шилжилтээс (Зураг 2, б) түрүүлж байгааг харуулж байна. ).

Хурдатгалын хамаарлыг тодруулахын тулд бид хурдны төсөөллийн цаг хугацааны деривативыг олно.

х тэнхлэг дээрх хурдатгалын проекцын далайц хаана байна.

Гармоник хэлбэлзэлтэй үед хурдатгалын проекц нь фазын шилжилтээс k-ээр түрүүлж байна (Зураг 2, в).

Үүний нэгэн адил та хамаарлын графикийг үүсгэж болно

Үүнийг харгалзан хурдатгалын томъёог бичиж болно

тэдгээр. гармоник хэлбэлзэлтэй бол хурдатгалын проекц нь шилжилт хөдөлгөөнтэй шууд пропорциональ бөгөөд тэмдгийн эсрэг байна, өөрөөр хэлбэл. хурдатгал нь шилжилтийн эсрэг чиглэлд чиглэнэ.

Тиймээс хурдатгалын төсөөлөл нь шилжилтийн хоёр дахь дериватив бөгөөд үр дүнгийн хамаарлыг дараах байдлаар бичиж болно.

Сүүлчийн тэгш байдлыг нэрлэдэг гармоник тэгшитгэл.

Гармоник хэлбэлзэл байж болох физик системийг нэрлэдэг гармоник осциллятор, ба гармоник чичиргээний тэгшитгэл нь байна гармоник осцилляторын тэгшитгэл.

ГАРМОНИК чичиргээт хөдөлгөөн

§1 Гармоник чичиргээний кинематик

Цаг хугацаа өнгөрөх тусам давтагдах процессыг хэлбэлзэл гэж нэрлэдэг.

Хэлбэлзлийн үйл явц, өдөөх механизмын шинж чанараас хамааран: механик чичиргээ (дүүжин, утас, барилга байгууламж, дэлхийн гадаргуу гэх мэт) хэлбэлзэл; цахилгаан соронзон хэлбэлзэл (ээлж буй гүйдлийн хэлбэлзэл, векторын хэлбэлзэл ба цахилгаан соронзон долгион гэх мэт); цахилгаан механик чичиргээ (утасны мембраны чичиргээ, чанга яригч диффузор гэх мэт); атом дахь дулааны хөдөлгөөний үр дүнд цөм ба молекулуудын чичиргээ.

0 цэгийн эргэн тойронд эргэлтийн хөдөлгөөн хийж буй [OD] (радиус вектор) сегментийг авч үзье. Урт |OD| =А . Тогтмол ω 0 өнцгийн хурдтайгаар эргэлт явагдана. Дараа нь радиус вектор ба тэнхлэгийн хоорондох өнцөг φxхуулийн дагуу цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг

Энд φ 0 - [OD] ба тэнхлэгийн хоорондох өнцөг Xцаг хугацааны хувьдт= 0. [OD] сегментийн тэнхлэг дээрх проекц Xцаг хугацааны хувьдт= 0

мөн дур зоргоороо цаг хугацааны хувьд

(1)

Ийнхүү [OD] сегментийн х тэнхлэг дээрх проекц нь тэнхлэгийн дагуу үүсэх хэлбэлзэлд ордог. X, эдгээр хэлбэлзлийг косинусын хуулиар (томъёо (1)) дүрсэлсэн.

Косинусын хуулиар тодорхойлсон хэлбэлзэл

эсвэл синус

дуудсан гармоник.

Гармоник чичиргээ нь үе үе, учир нь x (ба у)-ийн утга тогтмол давтамжтайгаар давтагдана.

Хэрэв [OD] сегмент нь зураг дээрх хамгийн доод байрлалд байгаа бол, i.e. цэг Дцэгтэй давхцаж байна Р, тэгвэл түүний x тэнхлэг дээрх проекц нь тэг болно. [OD] сегментийн энэ байрлалыг тэнцвэрийн байрлал гэж нэрлэе. Дараа нь бид тоо хэмжээ гэж хэлж болно Xхэлбэлзэх цэгийн тэнцвэрийн байрлалаас шилжилт хөдөлгөөнийг дүрсэлдэг. Тэнцвэрийн байрлалаас хамгийн их шилжилтийг гэж нэрлэдэг далайцхэлбэлзэл

Хэмжээ

косинусын тэмдгийн доор байрлахыг фаз гэж нэрлэдэг. Үе шатцаг хугацааны дурын агшинд тэнцвэрийн байрлалаас шилжих шилжилтийг тодорхойлнот. Цагийн эхний мөч дэх үе шатт = 0 , φ 0-тэй тэнцүү бол эхний үе шат гэж нэрлэдэг.

Т

Нэг бүрэн хэлбэлзэл үүсэх хугацааг хэлбэлзлийн үе гэнэ Т. Нэгж хугацаанд ногдох хэлбэлзлийн тоог хэлбэлзлийн давтамж ν гэнэ.

Хугацаатай тэнцэх хугацааны дараа Т, өөрөөр хэлбэл косинусын аргумент ω 0-ээр нэмэгдэхэд Т, хөдөлгөөн давтагдаж, косинус өмнөх утгыг авна

учир нь косинусын үе нь 2π, тэгэхээр ω 0 байна Т= 2π

иймээс ω 0 нь биеийн 2π секундын хэлбэлзлийн тоо юм. ω 0 - мөчлөг эсвэл дугуй давтамж.

гармоник чичиргээний загвар

А- далайц, Т- үе, X- нүүлгэн шилжүүлэлт,т- цаг.

Бид шилжилтийн тэгшитгэлийг ялгах замаар хэлбэлзэх цэгийн хурдыг олно X(т) цаг хугацаагаар

тэдгээр. хурд vофсетээс үе шатаараа ялгаатай Xдээрπ /2.

Хурдатгал нь хурдны анхны дериватив (шилжилтийн хоёр дахь дериватив) цаг хугацааны хувьд юм.

тэдгээр. хурдатгал Афазын шилжилтээс π-ээр ялгаатай.

График байгуулъя X( т) , y( т) Тэгээд А( т) нэг координатын тооцоогоор (хялбар болгохын тулд φ 0 = 0 ба ω 0 = 1 гэж үзье)

Үнэгүй эсвэл өөрийн системийг тэнцвэрт байдлаас нь салгасны дараа өөртөө үлдсэн системд үүсэх хэлбэлзэл гэж нэрлэдэг.

Үе үе давтагдах аливаа хөдөлгөөнийг oscillatory гэж нэрлэдэг. Иймд хэлбэлзлийн үед биеийн координат ба хурдаас хамаарах хамаарлыг цаг хугацааны үечилсэн функцээр тодорхойлдог. Сургуулийн физикийн хичээлд биеийн хамаарал ба хурд нь тригонометрийн функц болох чичиргээг авч үздэг. , эсвэл тэдгээрийн хослол, тодорхой тоо хаана байна. Ийм хэлбэлзлийг гармоник гэж нэрлэдэг (функц Тэгээд ихэвчлэн гармоник функц гэж нэрлэдэг). Физикийн улсын нэгдсэн шалгалтын хөтөлбөрт багтсан хэлбэлзлийн талаархи асуудлыг шийдэхийн тулд та хэлбэлзлийн хөдөлгөөний үндсэн шинж чанаруудын тодорхойлолтыг мэдэх хэрэгтэй: далайц, үе, давтамж, тойрог (эсвэл мөчлөг) давтамж, хэлбэлзлийн үе шат. Эдгээр тодорхойлолтуудыг өгч, жагсаасан хэмжигдэхүүнүүдийг гармоник хэлбэлзлийн үед үргэлж хэлбэрээр илэрхийлж болох биеийн координатын цаг хугацааны хамаарлын параметрүүдтэй холбоно.

хаана , мөн зарим тоонууд байна.

Хэлбэлзлийн далайц нь хэлбэлзэж буй биеийн тэнцвэрийн байрлалаас хамгийн их хазайлт юм. (11.1) дэх косинусын хамгийн их ба хамгийн бага утга нь ±1-тэй тэнцүү тул хэлбэлзэх биеийн хэлбэлзлийн далайц (11.1) -тэй тэнцүү байна. Хэлбэлзлийн хугацаа нь биеийн хөдөлгөөн давтагдах хамгийн бага хугацаа юм. Хамаарал (11.1)-ийн хувьд дараах зүйлсийг харгалзан хугацааг тогтоож болно. Косинус нь үетэй үечилсэн функц юм. Иймд ийм утгаар дамжуулан хөдөлгөөн бүрэн давтагддаг бөгөөд . Эндээс бид авдаг

Тойрог (эсвэл мөчлөг) хэлбэлзлийн давтамж нь цаг хугацааны нэгжид гүйцэтгэсэн хэлбэлзлийн тоо юм. (11.3) томъёоноос бид дугуй давтамж нь (11.1) томъёоны хэмжигдэхүүн гэж дүгнэж байна.

Хэлбэлзлийн үе шат нь координатын цаг хугацааны хамаарлыг тодорхойлдог тригонометрийн функцийн аргумент юм. (11.1) томъёоноос бид хөдөлгөөнийг (11.1) хамаарлаар тодорхойлсон биеийн хэлбэлзлийн үе шат нь тэнцүү байгааг харж байна. . Цаг = 0 байх үеийн хэлбэлзлийн фазын утгыг эхний үе гэж нэрлэдэг. Хамааралтай байдлын хувьд (11.1) хэлбэлзлийн эхний үе шат нь тэнцүү байна. Мэдээжийн хэрэг, хэлбэлзлийн эхний үе шат нь үргэлж нөхцөлт байдаг цаг хугацааны лавлах цэгийг (момент = 0) сонгохоос хамаарна. Цаг хугацааны гарал үүслийг өөрчилснөөр хэлбэлзлийн эхний үе шатыг үргэлж тэгтэй тэнцүүлж, (11.1) томъёоны синусыг косинус болгон эсвэл эсрэгээр нь "эргэж" болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын хөтөлбөрт хавар ба математикийн дүүжингийн хэлбэлзлийн давтамжийн томъёоны талаархи мэдлэгийг багтаасан болно. Пүршний савлуурыг ихэвчлэн пүршний нөлөөн дор гөлгөр хэвтээ гадаргуу дээр хэлбэлзэж чаддаг биеийг нэрлэдэг бөгөөд хоёр дахь төгсгөл нь тогтмол байдаг (зүүн зураг). Математикийн дүүжин бол урт, жингүй, сунадаггүй утсан дээр хэлбэлзэж, хэмжээсийг нь үл тоомсорлож болох асар том бие юм (баруун зураг). Энэхүү системийн "математик дүүжин" хэмээх нэр нь хийсвэрийг илэрхийлдэгтэй холбоотой юм. математикийнбодит загвар ( физик) дүүжин. Хаврын болон математикийн дүүжингийн хэлбэлзлийн үе (эсвэл давтамж) томъёог санах хэрэгтэй. Хаврын савлуурын хувьд

утасны урт хаана байна, таталцлын хурдатгал. Асуудлыг шийдвэрлэх жишээн дээр эдгээр тодорхойлолт, хуулиудын хэрэглээг авч үзье.

Ачааллын хэлбэлзлийн мөчлөгийн давтамжийг олох даалгавар 11.1.1Эхлээд хэлбэлзлийн үеийг олоод дараа нь (11.2) томъёог ашиглая. 10 м 28 секунд нь 628 секунд бөгөөд энэ хугацаанд ачаалал 100 удаа хэлбэлздэг тул ачааллын хэлбэлзлийн хугацаа 6.28 секунд байна. Тиймээс хэлбэлзлийн мөчлөгийн давтамж нь 1 с -1 байна (хариулт 2 ). IN асуудал 11.1.2ачаалал 600 секундэд 60 хэлбэлзэл хийсэн тул хэлбэлзлийн давтамж 0.1 с -1 (хариулт) 1 ).

Ачаа 2.5 хугацаанд хэр хол явахыг ойлгохын тулд ( асуудал 11.1.3), түүний хөдөлгөөнийг дагацгаая. Хэсэг хугацааны дараа ачаалал хамгийн их хазайх цэг рүү буцаж, бүрэн хэлбэлзлийг дуусгана. Тиймээс энэ хугацаанд ачаалал дөрвөн далайцтай тэнцэх зайг туулах болно: тэнцвэрийн байрлал руу - нэг далайц, тэнцвэрийн байрлалаас нөгөө чиглэлд хамгийн их хазайлтын цэг хүртэл - хоёр дахь нь, тэнцвэрийн байрлал руу буцна. гуравдугаарт, тэнцвэрийн байрлалаас эхлэх цэг хүртэл - дөрөв дэх. Хоёрдахь хугацаанд ачаалал дахин дөрвөн далайцаар, үлдсэн хагаст хоёр далайцаар дамждаг. Тиймээс туулсан зай нь арван далайцтай тэнцүү байна (хариулт 4 ).

Биеийн хөдөлгөөний хэмжээ нь эхлэх цэгээс төгсгөл хүртэлх зай юм. 2.5-аас дээш үе даалгавар 11.1.4бие нь хоёр бүтэн, хагас бүтэн хэлбэлзлийг дуусгах цагтай болно, i.e. хамгийн их хазайлттай байх боловч тэнцвэрийн байрлалын нөгөө талд байх болно. Тиймээс шилжилтийн хэмжээ нь хоёр далайцтай тэнцүү байна (хариулт 3 ).

Тодорхойлолтоор хэлбэлзлийн үе шат нь хэлбэлзэгч биеийн координатуудын цаг хугацааны хамаарлыг тодорхойлдог тригонометрийн функцийн аргумент юм. Тиймээс зөв хариулт байна асуудал 11.1.5 - 3 .

Хугацаа нь бүрэн хэлбэлзлийн хугацаа юм. Энэ нь биеийг хөдөлж эхэлсэн цэг рүү буцах нь тодорхой хугацаа өнгөрсөн гэсэн үг биш юм: бие нь ижил хурдтай ижил цэг рүү буцах ёстой. Жишээлбэл, тэнцвэрийн байрлалаас хэлбэлзэж эхэлсэн бие нь нэг чиглэлд хамгийн их хэмжээгээр хазайж, буцаж буцаж, нөгөө чиглэлд хамгийн их хазайж, буцаж буцаж ирэх цагтай болно. Тиймээс энэ хугацаанд бие нь тэнцвэрийн байрлалаас хоёр удаа хамгийн их хэмжээгээр хазайж, буцаж ирэх цагтай болно. Үүний үр дүнд тэнцвэрийн байрлалаас хамгийн их хазайлтын цэг рүү шилжих нь ( асуудал 11.1.6) бие нь хугацааны дөрөвний нэгийг зарцуулдаг (хариулт 3 ).

Гармоник хэлбэлзэл нь хэлбэлзэж буй биеийн координатуудын цаг хугацааны хамаарлыг цаг хугацааны тригонометрийн (синус эсвэл косинус) функцээр тодорхойлдог. IN даалгавар 11.1.7Эдгээр нь функцууд бөгөөд тэдгээрт багтсан параметрүүдийг 2 ба 2 гэж тодорхойлсон хэдий ч . Функц нь цагийн квадратын тригонометрийн функц юм. Тиймээс чичиргээ нь зөвхөн хэмжигдэхүүн бөгөөд гармоник байдаг (хариулт 4 ).

Гармоник чичиргээний үед биеийн хурд нь хуулийн дагуу өөрчлөгддөг , хурдны хэлбэлзлийн далайц хаана байна (хугацааны лавлах цэгийг хэлбэлзлийн эхний үе нь тэгтэй тэнцүү байхаар сонгосон). Эндээс бид биеийн кинетик энергийн цаг хугацааны хамаарлыг олдог
(асуудал 11.1.8). Цаашид алдартай тригонометрийн томъёог ашиглан бид олж авна

Энэ томъёоноос харахад биеийн кинетик энерги гармоник хэлбэлзлийн үед гармоник хуулийн дагуу өөрчлөгддөг боловч хоёр дахин давтамжтайгаар өөрчлөгддөг (хариулт 2 ).

Ачааллын кинетик энерги ба пүршний потенциал энерги хоорондын хамаарлын цаана ( асуудал 11.1.9) дараах зүйлсийг харгалзан үзэхэд хялбар байдаг. Биеийн тэнцвэрийн байрлалаас хамгийн их хэмжээгээр хазайсан үед биеийн хурд нь тэг байх ба иймээс хаврын боломжит энерги нь ачааллын кинетик энергиэс их байдаг. Эсрэгээр, бие тэнцвэрийн байрлалыг давахад пүршний боломжит энерги тэг болж, кинетик энерги нь боломжит энергиэс их байдаг. Тиймээс тэнцвэрийн байрлал ба хамгийн их хазайлт хооронд кинетик ба потенциал энергийг нэг удаа харьцуулна. Мөн тодорхой хугацааны туршид бие нь тэнцвэрийн байрлалаас хамгийн их хазайлт эсвэл буцах хүртэл дөрвөн удаа дамждаг тул тухайн хугацаанд ачааллын кинетик энерги ба хаврын боломжит энергийг дөрвөн удаа харьцуулж үздэг (хариулт 2 ).

Хурдны хэлбэлзлийн далайц ( даалгавар 11.1.10) энерги хадгалагдах хуулийг ашиглан олоход хамгийн хялбар. Хамгийн их хазайх цэг дээр хэлбэлзлийн системийн энерги нь пүршний потенциал энергитэй тэнцүү байна. , пүршний хөшүүн байдлын коэффициент хаана байна, чичиргээний далайц. Тэнцвэрийн байрлалаар дамжин өнгөрөхөд биеийн энерги нь кинетик энергитэй тэнцүү байна , биеийн масс хаана байна, тэнцвэрийн байрлалыг дамжин өнгөрөх биеийн хурд, энэ нь хэлбэлзлийн процессын үед биеийн хамгийн их хурд бөгөөд тиймээс хурдны хэлбэлзлийн далайцыг илэрхийлдэг. Эдгээр энергийг тэнцүүлж үзвэл бид олдог

(хариулт 4 ).

(11.5) томъёоноос бид дүгнэж байна ( асуудал 11.2.2), түүний хугацаа нь математик дүүжингийн массаас хамаардаггүй бөгөөд урт нь 4 дахин нэмэгдэхэд хэлбэлзлийн хугацаа 2 дахин нэмэгддэг (хариулт). 1 ).

Цаг нь цаг хугацааны интервалыг хэмжихэд ашигладаг хэлбэлзлийн процесс юм ( асуудал 11.2.3). "Цаг яарч байна" гэсэн үг нь энэ үйл явцын хугацаа байх ёстой хугацаанаас бага байна гэсэн үг юм. Тиймээс эдгээр цагуудын явцыг тодруулахын тулд үйл явцын хугацааг нэмэгдүүлэх шаардлагатай байна. Томъёоны дагуу (11.5) математикийн дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацааг нэмэгдүүлэхийн тулд түүний уртыг нэмэгдүүлэх шаардлагатай (хариулт 3 ).

доторх хэлбэлзлийн далайцыг олохын тулд асуудал 11.2.4, биеийн координатын цаг хугацааны хамаарлыг нэг тригонометрийн функц хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай. Нөхцөлд өгөгдсөн функцийн хувьд үүнийг нэмэлт өнцөг оруулах замаар хийж болно. Энэ функцийг үржүүлэх, хуваах тригонометрийн функцийг нэмэх томъёог ашиглан бид олж авна

ийм өнцөг хаана байна . Энэ томъёоноос харахад биеийн хэлбэлзлийн далайц нь байна (хариулт 4 ).