Хоёр машин дээр ээлжийн үед гарсан гэмтэлтэй хэсгүүдийн тоог хуваарилах хуулийг гаргаж, энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт болон стандарт хазайлтыг тооцоол.

192. Цагны нэмэлт тохируулга шаардлагатай байх магадлал 0.2 байна. Санамсаргүй байдлаар сонгосон гурван цагны хооронд нэмэлт тохируулга хийх шаардлагатай цагны тоог хуваарилах хууль гарга. Үүссэн тархалтын хуулийг ашиглан энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг ол. Дурангийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперсийн тохирох томъёог ашиглан үр дүнг шалгана уу.

193. Боломжтой зургаан сугалааны тасалбараас дөрөв нь хожихгүй, нэг сугалааны тасалбарыг хожсон тасалбартай тулгарах хүртэл санамсаргүй байдлаар сугалаа. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гарга - хэрэв авсан тасалбар бүрийг буцааж өгөхгүй бол авсан тасалбарын тоо. Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба стандарт хазайлтыг ол.

194. Оюутан дөрвөөс илүүгүй удаа шалгалт өгөх боломжтой. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гаргана уу - шалгалтанд тэнцэх оролдлогын тоо, хэрэв тэнцэх магадлал 0.75 бөгөөд дараагийн оролдлого бүрт 0.1-ээр нэмэгддэг. Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

195. X ба Y бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулиуд дараах байдалтай байна.

X–Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг гаргаж D(X–Y) = D(X) + D(Y) дисперсийн шинж чанарыг шалгана уу.

196. Тус цехэд байгаа ижил төрлийн таван цагны зөвхөн нэг нь буруу байрлалтай дүүжинтэй байдаг. Мастер санамсаргүй байдлаар сонгосон цагийг шалгадаг. Шалгасан дүүжинтэй цаг илэрсэн даруйд шалгалт дуусна (шалгасан цагийг дахин харахгүй). Мастер үзсэн хэдэн цагийн хуваарилалтын хуулийг гаргаж, энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба тархалтыг тооцоол.

197. X ба Y бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг түгээлтийн хуулиар тодорхойлно.

X 2 + 2Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг зурж, математик хүлээлтийн шинж чанарыг шалгана уу: M(X 2 + 2Y) = M(X 2) + 2M(Y).

198. X 1 = 1 ба x 2 = 2 гэсэн хоёр утгыг авсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь 7/6-тай тэнцэх математикийн хүлээлттэй байдаг нь мэдэгдэж байна. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн утгаа авах магадлалыг ол. 2 X 2 санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг гаргаж түүний дисперсийг ол.

199. Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X ба Y нь тархалтын хуулиар тодорхойлогддог.

P(X= 3) ба P(Y= 4)-ийг ол. X – 2Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг зурж, математикийн хүлээлт ба дисперсийн шинж чанарыг шалгана уу: M(X – 2Y) = M(X) – 2M(Y); D(X – 2Y) = D(X) + 4D(Y).

201–210-р бодлогод ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд өгөгдсөн.

201. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн ξ нь хэвийн тархалттай. P(0)-г ол< ξ<10), если Мξ= 10 и Р(10< ξ<20)= 0,3.

202. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн ξ нь хэвийн тархалттай. P(35)-г ол< ξ<40), если Мξ= 25 и Р(10< ξ<15)= 0,2.

203. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн ξ нь хэвийн тархалттай. P(1< ξ<3), если Мξ= 3 и Р(3< ξ<5)= 0,1915.

204. <σ).

205. Нормаль хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн ξ-ийн хувьд Р(|ξ–а|-г ол<2σ).

206. Нормаль хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн ξ-ийн хувьд Р(|ξ–а|-г ол<4σ).

207. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн ξ ба η хэвийн тархалттай,

Мξ= –1; Dξ= 2; Мη= 5; Dη= 7. Магадлалын нягт ба тэдгээрийн нийлбэрийн тархалтын функцийг бич. Р(ξ+η) олох<5) и Р(–1< ξ+η<3).

208. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд ξ, η, ζ нь хэвийн хуулийн дагуу тархсан ба Мξ= 3; Dξ= 4; Мη= –2; Dη= 0.04; Мζ= 1; Dζ= 0.09. Тэдгээрийн нийлбэрийн магадлалын нягт ба тархалтын функцийг бич. Р(ξ+η+ζ) олох<5) и Р(–1< ξ+η+ζ<3).

209. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд ξ, η, ζ хэвийн тархалттай ба Мξ= –1; Dξ= 9; Мη= 2; Dη= 4; Мζ= –3; Dζ= 0.64. Тэдгээрийн нийлбэрийн магадлалын нягт ба тархалтын функцийг бич. Р(ξ+η+ζ) олох<0) и

Р(–3< ξ+η+ζ<0).

210. Автомат машин нь ξ диаметрийг хянаж, булны үйлдвэрлэдэг. ξ нь хэвийн тархсан ба a = 10 мм, σ = 0.1 мм гэж үзвэл 0.9973 магадлалтайгаар үйлдвэрлэсэн булны диаметр агуулагдах интервалыг ол.

211-220-р бодлогод n = 100 эзэлхүүнтэй X дээжийг хүснэгтээр өгөв.

Энд хэмжилтийн үр дүн x i = 0.2·a +(i –1)·0.3·b; n i - x i утга үүсэх давтамжууд.

1) w i =n i /n харьцангуй давтамжийн олон өнцөгт байгуулах;

2) түүврийн дундаж, түүврийн дисперс D B ба стандарт хазайлт σ B-ийг тооцоолох;

3) онолын давтамжийг тооцоолох. Олон өнцөгттэй ижил зураг дээр график байгуулах;

4) χ 2 шалгуурыг ашиглан популяцийн хэвийн тархалтын талаарх таамаглалыг α = 0.05 ач холбогдлын түвшинд шалгана.

211. a = 4; b = 3; 212 . a = 3; b = 2; 213. a = 5; b = 1; 214. a = 1; b = 4;

215. a = 3; b = 5; 216. a=2; b = 3; 217. a = 4; b = 1; 218. a = 2; b = 5; 219. a = 1; b = 2; 220. a = 5; b = 4.

221-230-р асуудалд n = 100 эзэлхүүнтэй X ба Y шинж чанаруудын хамтарсан хэмжилтийн үр дүнгийн хоёр хэмжээст түүврийг корреляцийн хүснэгтээр тодорхойлно.

Энд x i = 0.2·a +(i –1)·0.3·b; y i = 0.5·a +(j – 1)·0.2·b.

1) олох ба σ y. Өмнөх бодлогоос σ x-ийн утгуудыг авна уу.

2) Корреляцийн коэффициентийг тооцоол r B . X ба Y шинж чанаруудын хоорондын харилцааны мөн чанарын талаар дүгнэлт гарга.

3) Х дээр Ү-ийн регрессийн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэлбэрээр байгуул.

4) График дээр корреляцийн талбар зурна, i.e. цэгүүдийг (xi, yi) зурж, шулуун шугам байгуулна.

221. a = 4; b = 3; 222. a = 3; b = 2; 223. a = 5; b = 1;

224. a = 1; b = 4; 225. a = 3; b = 5; 226. a = 2; b = 3;

227. a = 4; b = 1; 228. a = 2; b = 5; 229. a = 1; b = 2

230. a = 5; b = 4

231–240-р бодлогод функцийн хамгийн их утгыг ол

нөхцөлд . Хүснэгтээс утгыг авна уу

шаардлагатай:

1) шугаман програмчлалын асуудлыг графикаар шийдвэрлэх;

2) хүснэгтийн симплекс аргыг ашиглан асуудлыг шийдэх;

3) туслах шийдлүүд болон боломжит шийдлүүдийн бүсийн оройн хоорондох захидал харилцааг харуулах;

241–250-р асуудалд гурван ханган нийлүүлэгчийн дунд төвлөрсөн зарим төрлийн нэгэн төрлийн ачааг A i () таван хэрэглэгч B j () хүргэх ёстой.

б 5Тодорхойлох хэрэгтэй

Бүх ачааг ханган нийлүүлэгчдээс салгах, бүх хэрэглэгчдийн хэрэгцээг хангах, энэ төлөвлөгөө нь хамгийн бага зардалтай байх боломжийг олгодог тээврийн оновчтой төлөвлөгөө. "Баруун хойд" өнцгийн аргыг ашиглан анхны тусламжийн төлөвлөгөөг олоорой. Боломжит аргыг ашиглан оновчтой төлөвлөгөөг ол. Төлөвлөгөө бүрийн тээвэрлэлтийн зардлыг тооцоол. 251-260-р даалгавруудад салбар дөрвөн объектод хөрөнгө оруулалт хийдэг. Шимтгэлийн шинж чанар, орон нутгийн нөхцөл байдлыг харгалзан үзэхэд санхүүжилтийн хэмжээнээс хамааран салбарын ашгийг төлбөрийн матрицын элементүүдээр илэрхийлдэг. Асуудлыг хялбарчлахын тулд салбарын алдагдал нь салбарын ашигтай тэнцүү байна гэж үзье. Аж үйлдвэрийн оновчтой стратегийг олох.

Шаардлагатай:

1) хүснэгтэд байгаа анхны өгөгдлийг нэгтгэн дүгнэж, хэрэв байгаа бол матриц тоглоомын шийдлийг цэвэр стратегиар олох (өөрөөр бол дараагийн алхам 2-ыг үзнэ үү);

3) өгөгдсөн матрицын тоглоомтой дүйцэхүйц хос хос бодлого үүсгэх;

4) симплекс аргыг ашиглан шууд асуудлын оновчтой шийдлийг олох (В салбарын хувьд);

5) хувьсагчдын захидал харилцааг ашиглан давхар асуудлын оновчтой шийдлийг бичих (А салбарын хувьд);

6) энэ шийдлийн геометрийн тайлбарыг өгөх (А үйлдвэрлэлийн хувьд);

7) хос бодлогын оновчтой шийдлүүд, оновчтой стратеги, тоглоомын өртөг хоорондын хамаарлыг ашиглан холимог стратеги дэх тоглоомын шийдлийг олох;

сонголт 1 сонголт 2 сонголт 3

1. Аналитик геометр ба вектор алгебр……………….. 4

2. Шугаман тэгшитгэл ба комплекс тооны систем………….. 5

3. Функцийн график зурах, хязгаарыг тооцоолох

функцүүдийн таслах цэгийг тодорхойлох.……………………………. 6

4. Функцийн дериватив, хамгийн их ба хамгийн бага утгууд

сегмент дээр..………………………………………………….… 9

5. Функцийн судалгаа, график байгуулах,

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцууд, хамгийн бага квадратын арга.... 11

6. Тодорхой бус, тодорхойгүй, буруу интеграл….. 12

7. Дифференциал тэгшитгэл ба системийг шийдвэрлэх

дифференциал тэгшитгэл…………….……….…….….…… 14

8. Олон ба муруйн интеграл …………………………… 15

9. Тоон ба хүчний цувааны судалгаа, ойролцоо

Дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл………………………… 17

10. Магадлалын онол……………….……………………………… 18

Петр Алексеевич Буров

Анатолий Николаевич Муравьев

Даалгаврын цуглуулга

©2015-2019 сайт
Бүх эрх нь тэдний зохиогчид хамаарна. Энэ сайт нь зохиогчийн эрхийг шаарддаггүй, гэхдээ үнэгүй ашиглах боломжийг олгодог.
Хуудас үүсгэсэн огноо: 2017-12-07

Үйлчилгээний зорилго. Онлайн үйлчилгээг ашиглах математикийн хүлээлт, дисперс болон стандарт хазайлтыг тооцдог(жишээг үзнэ үү). Түүнчлэн F(X) тархалтын функцийн графикийг зурсан.

• Онлайн шийдэл
• Видео заавар

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн шинж чанарууд

1. Тогтмол утгын математик хүлээлт нь өөртэй нь тэнцүү байна: M[C]=C, C – тогтмол;
2. M=C M[X]
3. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна: M=M[X]+M[Y]
4. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна: X ба Y нь бие даасан байвал M=M[X] M[Y] .

Тархалтын шинж чанарууд

1. Тогтмол утгын дисперс нь тэг: D(c)=0.
2. Тогтмол хүчин зүйлийг дисперсийн тэмдгийн доор квадрат болгож авч болно: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Хэрэв X ба Ү санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байвал нийлбэрийн дисперс нь дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай бол: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Дараах тооцооллын томъёо нь тархалтын хувьд хүчинтэй байна.
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Жишээ. X ба Y бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперсүүд мэдэгдэж байна: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Z=9X-8Y+7 санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг ол.
Шийдэл. Математикийн хүлээлтийн шинж чанарт үндэслэн: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Дисперсийн шинж чанарт үндэслэн: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 – 64*6 = 345

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системүүд. Санамсаргүй хоёр аргументийн функц. Эргэлтийн томъёо. Хэвийн тархалтын тогтвортой байдал, 3-р хуудас

Санамсаргүй X аргументын функцийг өгье. Аргументийн тархалтын хуулийг мэдэж, энэ функцийн математик хүлээлтийг олох шаардлагатай.

1. Х аргументыг тархалтын цуваатай дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үзье

.

Жишээ 3.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтаар өгөгдсөн

Функцийн математик хүлээлтийг ол .

Y боломжит утгууд:

; ; .

2. Аргумент X нь p(x) тархалтын нягтаар тодорхойлогдсон тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн байг. Функцийн математик хүлээлтийг олохын тулд эхлээд Y утгын тархалтын нягтын g(y)-ийг олж, дараа нь дараах томъёог ашиглана. .

Боломжтой бол утгууд , Тэр .

Жишээ 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь нягтралаар өгөгдсөн интервалд (0, π/2); энэ интервалаас гадуур p(x)=0. Функцийн математик хүлээлтийг ол .

, , , ; Тиймээс,

§ 17. Санамсаргүй хоёр аргументын функц.

Эргэлтийн томъёо. Хэвийн тархалтын тогтвортой байдал.

o Хэрэв X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд бүр Z санамсаргүй хэмжигдэхүүний нэг боломжит утгатай тохирч байвал Z гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хоёр аргументийн функц X ба Ү:

.

Цаашдын жишээнүүд нь функцийн тархалтыг хэрхэн олохыг харуулах болно нэр томъёоны мэдэгдэж буй тархалтын дагуу. Энэ асуудал практикт ихэвчлэн тохиолддог. Жишээлбэл, хэрэв хэмжих хэрэгслийн уншилтын X-алдаа жигд тархсан бол алдааны нийлбэрийн тархалтын хуулийг олох даалгавар гарч ирнэ. .

Тохиолдол 1. X ба Y-г үзье дискрет бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд. Z=X+Y функцийн тархалтын хуулийг гаргахын тулд Z-ийн бүх боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалыг олох шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл Z санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цувааг эмхэтгэсэн.

Жишээ 1.Дискрет бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X ба Y, тархалтаар тодорхойлогддог

3. САНАМСГҮЙ ХУВЬСАГЧИД. Санамсаргүй хувьсагчийн тухай ойлголт

Санамсаргүй хувьсагчИжил нөхцөлд хийсэн туршилтын үр дүнд санамсаргүй хүчин зүйлээс хамаарч өөр өөр утгыг авч үздэг хэмжигдэхүүн гэж нэрлэгддэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний жишээ: шоо дээр өнхрүүлсэн цэгийн тоо, багц дахь гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо, сумны цохилтын цэгийн зорилтот цэгээс хазайлт, төхөөрөмжийн ажиллах хугацаа гэх мэт. Салангид бөгөөд тасралтгүй байдаг. санамсаргүй хэмжигдэхүүн. ДискретСанамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэгддэг, боломжит утгууд нь тоолж болох олонлог, төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй (өөрөөр хэлбэл элементүүдийг дугаарлаж болох олонлог) үүсгэдэг.

ҮргэлжилсэнСанамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэгддэг бөгөөд түүний боломжит утгууд нь тооны шугамын төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй интервалыг тасралтгүй дүүргэдэг. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын тоо үргэлж хязгааргүй байдаг.

Бид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг латин цагаан толгойн төгсгөлөөс том үсгээр тэмдэглэнэ. X, Ю, . ; санамсаргүй хувьсагчийн утгууд - жижиг үсгээр: X, y,. . Тиймээс, XСанамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын бүхэл бүтэн багцыг илэрхийлнэ X -Түүний тодорхой утгын зарим нь.

Хуваарилалтын хуульДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хооронд ямар ч хэлбэрээр заасан захидал харилцаа юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудыг үзье Xбайна . Туршилтын үр дүнд санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь эдгээр утгуудын аль нэгийг авна, i.e. Хосоор үл нийцэх үйл явдлуудын бүрэн бүлгээс нэг үйл явдал тохиолдох болно.

Эдгээр үйл явдлын магадлалыг бас мэдэгдээрэй:

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль Xнэртэй хүснэгт хэлбэрээр бичиж болно Түгээлтийн ойролцооДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн:

Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн x ба у-ийн тархалтын хуулийг өгөв

q х

q
х

Энэ бол тархалтын геометрийн хууль юм.

(бид нийлсэн цувралыг авдаг, учир нь
).

Даалгавар 4.-аас үдэшлэгт 10 Стандарт бус гурван хэсэг байдаг. Хоёр хэсгийг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Сонгогдсон хоёр хэсэгт стандарт бус хэсгүүдийн тоог хуваарилах хуулийг бичнэ үү. Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тооцоол.

Шийдэл. Санамсаргүй утга X- Сонгогдсон хоёр хэсгээс стандарт бус хэсгүүдийн тоо дараах боломжит утгатай байна.


Тэдний магадлалыг олцгооё

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын шаардлагатай хуулийг бүтээцгээе

Математикийн хүлээлтийг олох

.

Даалгавар 5.Зургаан сарын хугацаанд хувьцааны үнэ цэнийн одоогийн ханштай харьцуулахад X-ийн үнэ цэнийн боломжит таамаглалыг хуваарилалтын хуулийн хэлбэрээр өгсөн болно.

Жилийн 36%-ийн хүүтэй банкинд мөнгө байршуулснаас хувьцаа худалдаж авах нь илүү ашигтай байх магадлалыг ол.

Шийдэл.Банкны хадгаламжийн дүнгийн өсөлт нь 6 сарын дараа 3% байх болно. Хувьцаа худалдаж авах нь банкны хадгаламжаас илүү ашигтай байх магадлалыг илүү өндөр өсөлттэй харгалзах магадлалын нийлбэрээр тодорхойлно. хувьцааны үнэ:

Асуудал 6. Тодорхой автомашины дилерийн автомашинд үйлчлэх, сурталчлах өдөр тутмын зардал дунджаар 100 мянган рубль, борлуулалтын тоог нэмэгдүүлээрэй. XӨдрийн цагаар машинууд дараахь хуваарилалтын хуулийг дагаж мөрддөг.

a) 150 мянган рублийн машины үнээр өдөр тутмын ашгийн математик хүлээлтийг ол. b) Машины өдрийн борлуулалтын зөрүү.

Шийдэл. a) Өдөр тутмын ашгийг томъёогоор тооцоолно

P = (150 X- 100) мянган рубль

Шаардлагатай шинж чанар М(P) нь математикийн хүлээлтийн дээрх шинж чанаруудыг ашиглан олддог (мянган рублиэр):

b) Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль X 2 харагдаж байна:

М(X 2) = 0 ∙ 0,25 + 1 ∙ 0,2 + 9 ∙ 0,1 + 16 ∙ 0,1 + 25 ∙ 0,1 + 36 ∙ ∙0,05 + 49 ∙ 0,05 + 64 ∙ 0,025 + 81 ∙ 0,025 = 13,475.

Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ М(X) = 2.675. Үүний үр дүнд бид хүссэн тархалтын утгыг олж авна:

Асуудал 7. Санамсаргүй утга Xтүгээлтийн функцээр бүхэлд нь тэнхлэгт заасан
. Магадлалын нягтын функц ба магадлалыг ол Xинтервалд агуулагдсан утгыг авна ( 0,1 ).

Шийдэл. А - тэргүүн байр

Асуудлын шийдлийг 4-р зурагт дагалдах нь ашигтай.

З асуудал 8. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь 5-р зурагт үзүүлсэн хэлбэртэй байна.

Олно: a) магадлалын нягтын функц; б) графикийг харах Ф(x), санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн шинж чанаруудыг зааж өгөх, жишээлбэл, боломжит утгын хүрээ, хамгийн их магадлалтай утгууд гэх мэт; V) М(X), Д(X) ; G) П(X 2 ) . Тэгвэл тухайн хэсэг нь сайн байх магадлал тэнцүү байна

Бид эд анги үйлдвэрлэх нь "амжилтанд хүрэх" магадлал бүхий бие даасан туршлага гэж үздэг. х=0,31 . Дараа нь шаардлагатай тооны хэсгүүдийг хамаарлаас тодорхойлно

Даалгавар 1.Сугалаанд: 5000 денийн үнэтэй машин багтсан. нэгж, 250 денийн үнэтэй 4 зурагт. нэгж, 200 денийн үнэ бүхий 5 видео бичигч. нэгж Нийт 1000 тасалбар 7 хоногийн турш худалдаалагдаж байна. нэгж Нэг тасалбар худалдаж авсан сугалаанд оролцогчийн авсан цэвэр хожлын мөнгийг хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл.Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд - нэг тасалбарын цэвэр ялалт - 0 - 7 = -7 мөнгөтэй тэнцүү байна. нэгж (хэрэв тасалбар хожоогүй бол), 200 – 7 = 193, 250 – 7 = 243, 5000 – 7 = 4993 ден. нэгж (хэрэв тасалбар нь видеомагнитофон, зурагт эсвэл автомашины хожилтой бол). 1000 тасалбараас хожоогүй хүмүүсийн тоо 990, заасан хожил нь 5, 4, 1 гэдгийг харгалзан магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

тэдгээр. түгээлтийн цуврал

Даалгавар 2.Оюутан хичээлийн хичээлээр улирлын шалгалт өгөх магадлал АТэгээд Б, 0.7 ба 0.9-тэй тэнцүү байна. Оюутны өгөх улирлын шалгалтын тоог хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд X- тэнцсэн шалгалтын тоо – 0, 1, 2.

Болъё А би– оюутан тэнцэх үйл явдал бишалгалт ( би=1,2). Дараа нь тухайн оюутан 0, 1, 2-р шалгалтанд тэнцэх магадлал нь тэнцүү байх болно (бид үйл явдлыг тоолно. А 1 ба А 2 бие даасан):

Тэгэхээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа

Даалгавар 3.Тооцоол М(X)санамсаргүй хувьсагчийн хувьд X- 1-р даалгаврын дагуу цэвэр ашиг.

тэдгээр. дундаж ашиг нь тэг байна. Үр дүн нь тасалбарын борлуулалтаас олсон бүх орлого ялалт руу шилждэг гэсэн үг юм.

Даалгавар 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулиудыг мэддэг XТэгээд Ю– 1 ба 2-р шидэгчдийн авсан онооны тоо.

Хоёр буудлагын аль нь илүү сайн бууддагийг олж мэдэх шаардлагатай.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цувааг авч үзвэл XТэгээд Ю, Энэ асуултад хариулах нь тоон утгын элбэг дэлбэг байдлаас хол байна. Нэмж дурдахад эхний мэргэн бууч нь авсан онооны хэт их утгатай (жишээлбэл, 0.1-ээс дээш) магадлал өндөртэй байдаг. X= 0; 1 ба X= 9; 10), хоёр дахь мэргэн бууч нь завсрын утгатай ( Ю = 4; 5; 6).

Мэдээжийн хэрэг, хоёр мэргэн буучаас илүү сайн мэргэн бууч нь дунджаар илүү оноо авсан нь тодорхой байна.

өөрөөр хэлбэл хоёр шидэгчийн авсан онооны дундаж тоо ижил байна.

Даалгавар 5. 4-р бодлогод мэргэн бууч бүрийн авсан онооны зөрүү ба стандарт хазайлтыг тооцоол.

Тиймээс, авсан онооны дундаж утга тэнцүү байвал ( М(X)=М(Ю)) түүний хэлбэлзэл, i.e. дундаж утгатай харьцуулахад тархалтын шинж чанар, хоёр дахь мэргэн буучийн хувьд бага ( Д(X)

Бид үүнд итгэлтэй байна

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг авч үзвэл X биномбидэнд байгаа

Даалгавар 7.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа нь үл мэдэгдэх хоёр утгаас бүрдэнэ. Эдгээр утгуудын аль нэгийг санамсаргүй хэмжигдэхүүн авах магадлал 0.8 байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт 3.2, дисперс нь 0.16 бол түүний тархалтын функцийг ол.

Шийдэл.Түгээлтийн цуврал нь хэлбэртэй байна

эсвэл

Үүссэн системийг шийдэж, бид хоёр шийдлийг олдог.

Тэгээд

Бид түгээлтийн функцийн илэрхийлэлийг бичнэ.

эсвэл

Даалгавар 8.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц өгөгдсөн X:

a) Магадлалын нягтыг ол е(x); б) график байгуулах е(x) Мөн Ф(x); в) эсэхийг шалгаарай X– тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн; г) магадлалыг ол П(X=1), П(X

Асуудал 10.Банк зээл олгосон nхэмжээгээр өөр өөр зээлдэгчдэд СР. тус бүр нь зээлийн хүүтэй r. а) банкнаас олох ашгийн математик хүлээлт, тархалт, түүнчлэн зээлдэгч зээлээ төлөх магадлал тэнцүү бол хүүгийн нөхцөлийг ол. х; б) математикийн хүлээлт ба ашгийн стандарт хазайлт n =1000, х =0,8, С= 100 мянган рубль Тэгээд r = 30%.

Шийдэл. a) Зээлдэгч нар хоорондоо ямар ч хамааралгүй тул бид байгаа гэж үзэж болно nбие даасан туршилтууд. Туршилт бүрт банкнаас зээлээ алдах магадлал q = = 1 – p байна. Болъё X- зээлийн хүүг төлсөн зээлдэгчийн тоо, дараа нь банкны ашгийг томъёогоор тодорхойлно.

Хаана Xнь хоёр нэрийн тархалтын хуультай санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Зээл олгох нь ашгийн математикийн эерэг хүлээлт (эерэг дундаж ашиг) тохиолдолд л утга учиртай байдаг. М( P) > 0, хүүгийн нөхцөл дараах байдалтай байна.

b) Зээлийн хүү нь ашгийн математикийн хүлээлт эерэг байх нөхцөлийг хангана: 30 >100(1 – 0,8)/0,8. Ашиг олох математикийн хүлээлт:

100 ∙ 1000 (30 ∙ 0.8/100 – 0.2) = 4 сая рубль.

Ашгийн стандарт хазайлт:

Асуудал 1. 25 ширхэг савхин хүрэмний 5 нь далд гэмтэлтэй. 3 хүрэм худалдаж аваарай. Худалдан авсан хүрэмний доголдлын тоог хуваарилах хуулийг ол. Түгээлтийн олон өнцөгтийг байгуул.

Даалгавар 2.Баланс гаргахад алдаа гарсан байх магадлал 0.3 байна. Аудиторт дүгнэлт гаргахын тулд аж ахуйн нэгжийн 3 балансыг танилцуулсан. Шалгаж буй үлдэгдлийн эерэг дүгнэлтийн тоог хуваарилах хууль гарга.

Даалгавар 3.Хоёр худалдан авагч бие даан нэг худалдан авалт хийдэг. Эхний худалдан авагч худалдан авалт хийх магадлал 0.8, хоёр дахь худалдан авалт хийх магадлал 0.6 байна. Санамсаргүй утга X– үйлчлүүлэгчдийн хийсэн худалдан авалтын тоо. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тайлбарла X.

Даалгавар 4.Хоёр консервийн үйлдвэр дэлгүүрт 2:3 харьцаатай бүтээгдэхүүн нийлүүлдэг. Эхний үйлдвэрт дээд зэргийн чанартай бүтээгдэхүүний эзлэх хувь 90%, хоёрдугаарт 80% байна. Дэлгүүрт 3 лааз лаазалсан хүнсний бүтээгдэхүүн худалдаж авсан. Хамгийн өндөр чанартай бүтээгдэхүүнтэй лаазны тооны математикийн хүлээлт ба стандарт хазайлтыг ол.

Даалгавар 5.Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягт Xфункцээр (–π/2; π/2) интервалд заасан
Энэ интервалаас гадуур
Параметрийг олох ХАМТсанамсаргүй хэмжигдэхүүнийг цохих магадлалыг тодорхойлно Xинтервал руу (0; π/4).

Даалгавар 6.Санамсаргүй утга Xмагадлалын нягтар өгөгдсөн
үед – ∞

4)М(X) = 2.519, σ( X) ≈ 0,64; 5)C = 1/2; 6)
7)М x= =1 цаг, Д x= 1/3 цаг 2; 8)σ x = 48.8 гр.

СМОЛЕНСК УЛСЫН ИХ СУРГУУЛЬ

МАГАДЛАЛЫН ОНОЛЫН ДАГУУ

Магадлалын онолын хязгаарын теоремууд.

Математикийн хүлээлт ба дисперстэй аливаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд Чебышевын тэгш бус байдал хүчинтэй байна.

П(| X— а|> ε )≤
(1)

П(| X— а|≤ ε )≥ 1-

Чебышевын теорем : Хэрэв зөрүүтэй бол nбие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд X 1 , X 2 . X nнь ижил тогтмол хэмжээнд, дараа нь тоо нь хязгааргүй нэмэгддэг nСанамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундаж нь тэдний математик хүлээлтийн арифметик дундажтай магадлалаар нийлдэг, i.e.

Үр дагавар:Хэрэв бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X 1 , X 2 . X nижил математикийн хүлээлттэй, тэнцүү а, мөн тэдгээрийн дисперсүүд нь ижил тогтмол тоогоор хязгаарлагддаг бол Чебышевын тэгш бус байдал ба Чебышевын теорем дараах хэлбэртэй байна.

Бернуллигийн теорем : Үйл явдлын харьцангуй давтамж nдавтан бие даасан туршилтууд, тэдгээр нь тус бүрт ижил магадлалтай тохиолдож болно х, тооны хязгааргүй өсөлттэй nмагадлал нь магадлалд нийлдэг хЭнэ үйл явдлын талаар тусдаа тестээр:

Ижил тархсан хэмжигдэхүүний төв хязгаарын теорем : Хэрэв X 1 , X 2 . X n– тэнцүү математик хүлээлттэй бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн М[ X би ] =а, зөрүү Д[ X би ]= а 2 ба гуравдахь эрэмбийн үнэмлэхүй төв мөчүүд М(| X би — а би | 3 )= м би , (
) , дараа нь дүнгийн хуваарилалтын хууль Ю n = X 1 + X 2 +. + X nцагт
хэвийн хэмжээнд хязгааргүй ойртдог. Ялангуяа, хэрэв бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүн X биижил тархсан бол тэдгээрийн нийлбэрийн тархалтын хууль нь хэвийн хуульд хязгааргүй ойртдог.
.

Мойвр-Лапласын орон нутгийн теорем : Хэрэв магадлал хүйл явдал тохиолдох Атуршилт бүрт тогтмол бөгөөд 0 ба 1-ээс ялгаатай, дараа нь магадлал П м , nтэр үйл явдал Атохиолдох болно мнэг удаа nхангалттай олон тооны бие даасан туршилтууд n, ойролцоогоор тэнцүү байна

,

.

Мойвр-Лапласын интеграл теорем : Хэрэв магадлал хүйл явдал тохиолдох АТуршилт бүрт тогтмол бөгөөд 0 ба 1-ээс ялгаатай, дараа нь тоо гарах магадлал мүйл явдал тохиолдох АВ nхүртэлх бие даасан туршилтуудыг дүгнэсэн аөмнө б(хамааруулсан), хангалттай олон тоотой nойролцоогоор тэнцүү

–

Лаплас функц (эсвэл магадлалын интеграл);

,
.

Хичээлийн зорилго : 1. Төвийн хязгаарын теоремыг хэрэглэх нөхцөлүүдийг эзэмшсэн байх.

2. Хэвийн тархалтын хуультай холбоотой магадлалыг тооцоолох ур чадварыг бэхжүүлэх.

3. Оюутнуудад их тооны хуулийн илрэлийг танихыг заа.

Энэ сэдвээр хичээл хийхийн тулд дараахь асуултын хариултыг бэлтгэх хэрэгтэй.

Их тооны хуулийн мөн чанар юу вэ?

Чебышевын тэгш бус байдлын практик болон онолын ач холбогдол юу вэ?

Чебышевын теорем ямар практик ач холбогдолтой вэ?

Харьцангуй давтамжийн тогтвортой байдлын шинж чанарыг Бернулли теоремыг ашиглан тайлбарла.

Магадлалын онолын төв хязгаарын теоремын мөн чанар юу вэ?

Даалгавар 1.Мал аж ахуйн фермийн усны дундаж хэрэглээ өдөрт 1000 литр бөгөөд энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт нь 200 литрээс хэтрэхгүй байна. Ямар ч сонгосон өдөр фермийн усны урсац 2000 л-ээс хэтрэхгүй байх магадлалыг Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглан тооцоол.

Шийдэл.Тархалт Д(X)=σ 2 ≤200 2 . 0≤X≤2000 интервалын хил нь математикийн хүлээлттэй харьцуулахад тэгш хэмтэй тул M(X)=1000, дараа нь хүссэн үйл явдлын магадлалыг тооцоолохын тулд Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглаж болно.

,

тэдгээр. 0.96-аас багагүй байна.

Даалгавар 2.Статистикийн мэдээгээр нярайн дунджаар 87% нь 50 насалдаг байна. Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглан 1000 нярайн 50 нас хүртлээ амьд үлдэх хувь нь энэ үйл явдлын магадлалаас 0.04-ээс ихгүй (үнэмлэхүй утгаараа) ялгаатай байх магадлалыг тооцоол.

,

тэдгээр. 0.929-аас багагүй байна.

Даалгавар 3. 200 ширхэг ижил хайрцагтай цахилгаан чийдэнг шатаах дундаж хугацааг тодорхойлохын тулд хайрцаг бүрээс нэг чийдэнг дээж авсан. Сонгосон 200 цахилгаан чийдэнгийн дундаж шатаах хугацаа нь шаталтын стандарт хазайлт нь мэдэгдэж байгаа бол бүх багц дахь чийдэнгийн дундаж шатаах хугацаанаас 5 цагаас илүүгүй (үнэмлэхүй утгаараа) ялгаатай байх магадлалыг тооцоол. хайрцаг тус бүрийн чийдэнгийн хугацаа 7 цагаас бага байна.

Хүссэн үйл явдлын магадлалыг олох

,

тэдгээр. 0.9902-аас багагүй байна.

Даалгавар 4.Эдгээр хэмжигдэхүүний арифметик дундаж нь хэмжигдэхүүний бодит утгаас 1-ээс ихгүй (үнэмлэхүй утгаараа) ялгаатай болохыг 0.95-аас доошгүй магадлалаар баталгаажуулахын тулд тухайн хэмжигдэхүүнийг хэдэн хэмжилт хийх ёстой вэ? хэмжилт бүрийн стандарт хазайлт 5-аас хэтрэхгүй байна уу?

олох хэрэгтэй n, аль үед

.

Чебышевын тэгш бус байдлыг хэрэгжүүлье.

, хаана

болон цагт
, өөрөөр хэлбэл дор хаяж 500 хэмжилт хийх шаардлагатай.

Даалгавар 5.Метроны галт тэрэгнүүд тодорхой давтамжтайгаар явдаг 2 минут. Зорчигч бүр бусдаас үл хамааран санамсаргүй байдлаар тавцан дээр ирдэг. Энэ галт тэргэнд суусан 75 зорчигчид. Тэдний нийт хүлээх хугацаа нэгээс хоёр цаг хагасын хооронд байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл.Хүлээх хугацааг тэмдэглэе би th зорчигч дамжуулан X би. Зорчигч галт тэрэгний хооронд хүссэн цагтаа ирэх боломжтой гэж үзэх нь зүйн хэрэг. Албан ёсоор энэ нь тийм гэсэн үг X бимагадлалын нягтын функцтэй жигд тархалтын хуультай

е(x) =

Дараа нь
Тэгээд

Нийт хүлээх хугацаа Ю=∑ X биХязгаарлагдмал дисперстэй, илүү олон тооны бие даасан ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэрийг илэрхийлнэ. Төвийн хязгаарын теоремын тусламжтайгаар үүнийг хэлж болно Юхэвийн хэмжээнд ойр тархалтын хуультай. Ердийн тархалтын хууль нь математикийн хүлээлт ба тархалтаар тодорхойлогддог. Тэднийг тоолъё.

Н(75,25) . Асуудал нь тооцоолохыг шаарддаг

Даалгавар 6.Буудагч магадлалаараа эхний аравт багтана 0,4 , ес хүртэл - магадлалаар 0,3 , найм хүртэл - магадлалаар 0,2 , долоод - магадлалаар 0,1 . Хэзээ болох магадлал хэд вэ 25 буудсанаас буудсан 250 -аас оноо хасна 220 өмнө 240 нүдний шил?

Шийдэл.зөвшөөрөх би-th shot shooter dials X бионоо. Тоо хэмжээ X бибие даасан, ижил тархалттай

Онооны нийлбэр Ю= Хязгаарлагдмал хэлбэлзэлтэй олон тооны бие даасан ижил тархсан нэр томъёоны нийлбэр байх нь хэвийн хэмжээнд ойр тархалтын хуультай, параметрүүд нь

Н(225,25) Тэгээд П(220 2 ). Нэг хэмжилт хийхэд алдаа гарах магадлал хэд вэ 1 MK? Хэмжилтийн нарийвчлалыг сайжруулахын тулд бид хийсэн 25 хэмжилтийн үед ажиглагдсан утгуудын арифметик дундажийг хэмжсэн утга болгон авна. Энэ тохиолдолд алдаа гарах магадлал хэд вэ 1 MK? (Заавар: хэвийн тархалтын хуулийн тогтвортой байдлын баримтыг ашиглана.) Хэмжилтийн алдааны тархалтын хууль тодорхойгүй, зөвхөн түүний дисперс нь мэдэгдэж байгаа бол хамгийн сүүлчийн магадлалыг тодорхойл. 4 mk 2.

Шийдэл.Болъё X- хэмжилтийн алдаа. Дараа нь

Хэрэв хэмжилтийн алдааны тархалтын хууль тодорхойгүй бол Чебышевын тэгш бус байдлаас:

P(|  0 | 1 , тэгвэл Мойвр-Лапласын теорем хоёулаа хүчинтэй байна.

a) Мойвр-Лапласын орон нутгийн теоремоор

b) Санамсаргүй хувьсагч X дахь амжилтын харьцангуй давтамжийг ойлгодог nтуршилтууд болон Д

Пирсоны туршилтанд амжилтын харьцангуй давтамжийн нэг туршилтын амжилтын магадлалаас хазайх нь тэнцүү байсан тул
Дараа нь Мойвр-Лапласын интеграл теоремын дагуу

Даалгавар 1.Тодорхой бүс нутгийн хөдөлмөрийн чадвартай хүн амын дунджаар 10% нь ажилгүй байна. Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглан судалгаанд хамрагдсан хөдөлмөрийн насны 10,000 хотын оршин суугчдын дунд ажилгүйдлийн түвшин 9-11% (хамааруулсан) байх магадлалыг тооцоол.

Даалгавар 2.Даатгалын компанийн туршлагаас харахад ойролцоогоор тав дахь гэрээ тутамд даатгалын тохиолдол гардаг. Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглан, 0.9-ийн магадлалаар даатгалын тохиолдлын эзлэх хувь 0.1-ээс 0.01-ээс ихгүй (үнэмлэхүй утгаар) хазайх болно гэж хэлэхийн тулд шаардлагатай тооны гэрээний тоог тооцоол.

Даалгавар 3.Банкуудын дүрмийн санг судалж үзэхэд банкуудын тавны нэг нь 100 сая гаруй рублийн дүрмийн сантай болохыг тогтоожээ. 1800 банкны дүрмийн сан нь 100 сая рубльээс дээш байх магадлалыг ол: a) дор хаяж 300; б) 300-аас 400 хүртэл.

Даалгавар 4.Үнэт цаас худалдах дилерийн худалдах магадлал 0.7 байна. Тэдгээрийн дунд зарагдсан үнэт цаасны эзлэх хувь 0.7-оос 0.04-ээс ихгүй (үнэмлэхүй үнэ цэнээр) хазайхыг 0.996 магадлалаар хэлэхийн тулд хэдэн үнэт цаас байх ёстой вэ?

Даалгавар 5.Даатгалын компани 10 мянган үйлчлүүлэгчтэй. Тэд тус бүр нь ослоос даатгуулж, 500 рубль төлдөг. Ослын магадлал нь 0.0055, хохирогчдод төлсөн даатгалын хэмжээ нь 50,000 рубль юм. Үүнд: а) даатгалын компани хохирол амсах магадлал хэд вэ; б) үйлчлүүлэгчдээс хүлээн авсан нийт хөрөнгийн талаас илүү хувь нь даатгалын төлбөрийг төлөхөд зарцуулагдах уу?

Энэ нь сонирхолтой юм:

• L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан функцийн хязгаарыг олох L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан функцийн хязгаарыг олох, 0/0 ба ∞/∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг илрүүлэх. Доорх тооцоолуур нь L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан функцийн хязгаарыг олдог (деривативаар […]
• Математикийн портал Nav харах хайлт Navigation Та энд байна: Нүүр хуудас Математик анализ L'Hopital-ийн дүрэм L'Hopital-ийн дүрэм. Теорем ($\frac$ эсвэл $\frac$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг илчлэх L'Hopital дүрэм). Функцуудыг […]
• "Хоёр дахь саяыг нээх!" Урамшууллын дүрэм. >> Алхам 1. Сурталчилгааны код авах Та оролцогчийн сурталчилгааны кодыг kia.ru вэбсайтаас эсвэл албан ёсны KIA дилерүүдээс авах боломжтой: kia.ru вэбсайтаас сурталчилгааны код хүлээн авахын тулд та [...]
• Далайн хөлөг онгоцны хүсэлт Далайн хөлөгт нэр олгох журам ОХУ-ын Тээврийн яамны 2009 оны 8-р сарын 20-ны өдрийн 141 тоот тушаалаар БАТЛАВ Далайн хөлөгт нэр өгөх журмын тухай ЖУРАМ I. Ерөнхий заалт 1. Журамд заасан журам. […]

Хэрэв нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нөгөө санамсаргүй хэмжигдэхүүн ямар утгыг авахаас хамаарч өөрчлөгдөхгүй бол $X$ ба $Y$ хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бие даасан гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, дурын $x$ ба $y$-ийн хувьд $X=x$ болон $Y=y$ үйл явдлууд бие даасан байна. $X=x$ ба $Y=y$ үйл явдлууд бие даасан тул бие даасан үйл явдлуудын магадлалын үржвэрийн теоремоор $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\) баруун)\баруун)=P \left(X=x\right)P\left(Y=y\баруун)$.

Жишээ 1 . Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь "Оросын Лотто" сугалааны нэг сугалааны тасалбараас авсан мөнгөн хожлыг, $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь өөр "Алтан түлхүүр" сугалааны тасалбараас авсан мөнгөн хожлыг илэрхийлнэ. Нэг сугалааны тасалбарын хонжвор нь өөр нэг сугалааны тасалбараас хожлын хуваарилалтын хуулиас хамаарахгүй тул санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X,\Y$ нь бие даасан байх нь ойлгомжтой. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X,\Y$ нь ижил сугалааны хожлыг илэрхийлэх юм бол эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай байх нь ойлгомжтой.

Жишээ 2 . Хоёр ажилчин өөр өөр цехэд ажиллаж, үйлдвэрлэлийн технологи, ашигласан түүхий эдээр бие биенээсээ хамааралгүй төрөл бүрийн бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг. Нэг ээлжинд эхний ажилчны үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоог хуваарилах хууль дараахь хэлбэртэй байна.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
\ гэмтэлтэй \ бүтээгдэхүүний тоо \ x & 0 & 1 \\
\hline
Магадлал & 0.8 & 0.2 \\
\hline
\end(массив)$

Хоёр дахь ажилтны нэг ээлжинд үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо нь дараахь хуваарилалтын хуулийг дагаж мөрддөг.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
\ гэмтэлтэй \ бүтээгдэхүүний тоо \ y & 0 & 1 \\
\hline
Магадлал & 0.7 & 0.3 \\
\hline
\end(массив)$

Нэг ээлжиндээ хоёр ажилчин үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоог хуваарилах хуулийг олъё.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь нэг ээлжинд эхний ажилтны үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо, $Y$ нь нэг ээлжинд хоёр дахь ажилтны үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо байх болно. Нөхцөлөөр $X,\Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байна.

Нэг ээлжинд хоёр ажилчин үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X+Y$ байна. Түүний боломжит утгууд нь $0,\1$, $2$ байна. $X+Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн өөрийн утгыг авах магадлалыг олцгооё.

$P\left(X+Y=0\баруун)=P\зүүн(X=0,\Y=0\баруун)=P\зүүн(X=0\баруун)P\зүүн(Y=0\баруун) =0.8\cdot 0.7=0.56.$

$P\зүүн(X+Y=1\баруун)=P\зүүн(X=0,\ Y=1\ эсвэл\ X=1,\ Y=0\баруун)=P\зүүн(X=0\баруун) )P\left(Y=1\баруун)+P\зүүн(X=1\баруун)P\зүүн(Y=0\баруун)=0.8\cdot 0.3+0.2\cdot 0.7 =0.38.$

$P\зүүн(X+Y=2\баруун)=P\зүүн(X=1,\Y=1\баруун)=P\зүүн(X=1\баруун)P\зүүн(Y=1\баруун) =0.2\cdot 0.3=0.06.$

Дараа нь нэг ээлжинд хоёр ажилчин үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоог хуваарилах хууль:

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
\ гэмтэлтэй \ бүтээгдэхүүний тоо & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Магадлал & 0.56 & 0.38 & 0.06\\
\hline
\end(массив)$

Өмнөх жишээн дээр бид $X,\Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд дээр үйлдэл хийж, тэдгээрийн $X+Y$ нийлбэрийг олсон. Одоо санамсаргүй хэмжигдэхүүн дээрх үйлдлүүдийн (нэмэх, ялгах, үржүүлэх) илүү нарийн тодорхойлолтыг өгч, шийдлийн жишээг өгье.

Тодорхойлолт 1. Тогтмол хэмжигдэхүүнтэй $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний $kX$ үржвэр нь $kx_i$-г ижил магадлалтай $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\) авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. \цэгүүд ,\ n\ баруун)$.

Тодорхойлолт 2. $X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр (ялгаа эсвэл бүтээгдэхүүн) нь $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ эсвэл $x_i\cdot y_i$) хэлбэрийн бүх боломжит утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. , $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x_i$ утгыг, $Y$ нь $y_j$ утгыг авах $p_(ij)$ магадлалтай:

$$p_(ij)=P\зүүн[\зүүн(X=x_i\баруун)\зүүн(Y=y_j\баруун)\баруун].$$

$X,\Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан байдаг тул бие даасан үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теоремын дагуу: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ баруун) = p_i \ cdot p_j $.

Жишээ 3 . $X,\Y$ бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь магадлалын тархалтын хуулиар тодорхойлогддог.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\end(массив)$

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\end(массив)$

$Z=2X+Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг томьёолъё. $X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр, өөрөөр хэлбэл $X+Y$ нь $x_i+y_j$ хэлбэрийн бүх боломжит утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд $i=1,\2 ,\dots ,\ n$ , $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x_i$ утгыг, $Y$ $y_j$ утгыг авах $p_(ij)$ магадлалтай: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. $X,\Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан байдаг тул бие даасан үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теоремын дагуу: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ баруун) = p_i \ cdot p_j $.

Тиймээс $2X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын хуультай.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\end(массив)$

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\end(массив)$

$Z=2X+Y$ нийлбэрийн бүх утгууд ба тэдгээрийн магадлалыг олоход хялбар байх үүднээс бид туслах хүснэгтийг зохиож, нүд бүрт нь $ нийлбэрийн утгыг зүүн буланд байрлуулна. Z=2X+Y$, баруун буланд - $2X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний харгалзах утгуудын магадлалыг үржүүлсний үр дүнд олж авсан эдгээр утгуудын магадлал.

Үүний үр дүнд бид $Z=2X+Y$ хуваарилалтыг олж авна.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0.12 & 0.28 & 0.03 & 0.07 & 0.15 & 0.35 \\
\hline
\end(массив)$

Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн бага (максимум)-ын тархалтын хууль. Захиалгын статистикийн хуваарилалтын хууль

Энэ хэсэгт бид юуны түрүүнд ийм функциональ хувиргалтыг авч үзэх болно c. в., энэ нь хоёр утгаас хамгийн их (хамгийн бага) сонгохоос бүрддэг.

Бодлого 1. Хамгийн бага хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль. Тасралтгүй систем өгөгдсөн. В. (X ба X 2) p.r./(*!, x 2). r.v-ийн тархалтын функцийг ол. Ү:

Шийдэл. Эхлээд P-г олъё ( Y> y) = P (Ши > y; X 2 > у). Бүс нутаг Д(y), хаана X> y ба X 2 > yЗурагт үзүүлэв. 9.6.1. Нэг цэгт хүрэх магадлал (X[, X 2)бүс нутаг руу Д(y) тэнцүү байна

Хаана F (x b x 2) -системийн хуваарилалтын функц c. В. (Хь Х 2), F x(jq), Ф 2 (x 2) - түгээлтийн функцууд c. В. XТэгээд X 2 тус тус. Тиймээс,

Тодорхойлохын тулд p.r. g (y)та баруун талын деривативыг олох хэрэгтэй (9.6.1):

Хэрэв хамт бол. В. Х х, Х 2 бие даасан бөгөөд p.r-тэй ижилхэн тархсан. Фи(X) =/ 2 (x) =f(x),Тэр

Жишээ 1. Бид Bi ба B 2 гэсэн хоёр блокоос бүрдэх төхөөрөмжийн ажиллагааг авч үздэг бөгөөд тэдгээрийн хамтарсан ажиллагаа нь төхөөрөмжийн үйл ажиллагаанд зайлшгүй шаардлагатай байдаг. В блокийн ажиллах хугацаа! ба B 2 нь бие даасан s-ийг илэрхийлнэ. В. XТэгээд X 2,параметртэй экспоненциал хуулийн дагуу хуваарилагдана XТэгээд X 2.Хуваарилалтын хуулийг олох шаардлагатай c. В. U-техникийн нэгжийн ажиллах хугацаа.

Шийдэл. Энэ нь ойлгомжтой

(9.6.4) томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

өөрөөр хэлбэл дор хаяж хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн, X x ба X 2 параметртэй экспоненциал хуулийн дагуу тархсан, мөн X x параметртэй экспоненциал хуулийн дагуу тархсан. + X 2. ?

Бодлого 2. Хамгийн бага тархалтын хууль Пбие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд. Системийг өгсөн Пбие даасан тосгонууд В. (X x, X 2, ..., X p) p.r-тай .f (x x), f 2 (x 2), ...,f n (x n). f. олох. Р. ба нягтрал c. В. Y=мин (X X,.... X p).

Шийдэл. А - тэргүүн байр

Жишээ 2. Бид автоматжуулсан системийн (AS) үйл ажиллагааг авч үзэх, бүрдэнэ Пдэд системүүд Илтгэгч ажиллахын тулд хүн бүр ажиллах хэрэгтэй Пдэд системүүд; /-р дэд системийн ажиллах хугацаа 7} (/ = 1, 2,) параметртэй экспоненциал хуулийн дагуу тархсан. P)бусад дэд системүүдийн ажиллах хугацаанаас хамаарахгүй. АС-ийн доголдолгүй ажиллах хугацааны хуваарилалтын хуулийг тодорхойл D i).

Шийдэл. Энэ нь ойлгомжтой

(9.6.6) томъёог ашиглан бид r.v тархалтын функцийг олно. D л)

Ийнхүү хуваарилалтын хууль c. В. - хамгийн бага Пбие даасан тосгонууд в., экспоненциал хуулийн дагуу тархсан нь мөн экспоненциал; түүний параметр байхад i)S n))нь эдгээр экспоненциал тархалтын параметрүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Үүнийг дагадаг

Хуваарилалтын хууль гэдгийг харуулж болно c. В. D i) хангалттай том бол П s байсан ч экспоненциал хуульд нийлнэ. В. 7) (/= 1, 2, ..., P)экспоненциал хуулийн дагуу хуваарилагдаагүй. Үүнийг жигд тархсан s-ийн жишээн дээр үзүүлье. В.:

Энэ тохиолдолд

мөн энэ бол f. Р. жагсаалын хууль.

Тиймээс бид инженерийн хэрэглээнд өргөн хэрэглэгддэг дүгнэлтийг гаргаж болно. хэрэв ямар нэгэн төхөөрөмж хангалттай олон тооны n элементээс бүрдэх бөгөөд тэдгээрийн ажиллагаа нь тухайн төхөөрөмжийг ажиллуулахад зайлшгүй шаардлагатай., тэгвэл төхөөрөмжийн доголдолгүй ажиллах цагийн хуваарилалтын хууль F p) параметртэй экспоненциалтай ойролцоо байна, томъёогоор тодорхойлно

хаана M [ Tj- i-р элементийн гэмтэлгүй ажиллах дундаж хугацаа.

Ийм төхөөрөмжийн эвдрэлийн урсгал нь параметртэй Пуассонтой ойролцоо байх болно )Sn ?

Бодлого 3. Хамгийн ихдээ хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль. Тасралтгүй систем өгөгдсөн. В. (Хь X 2)нягтралтай/(фунт) x 2).Энэ нь r.v хуваарилалтын хуулийг олох шаардлагатай.

Шийдэл. А - тэргүүн байр,

Хаана F(x x, x 2) - системийн түгээлтийн функц (X ба X 2).

Энэ илэрхийллийг өмнөх шигээ ялгаж үзвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X ба X2 тэгвэл тэгш хуваарилагдана

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X 2 бие даасан, тэгвэл

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X 2 бие даасан, тэгш хуваарилагдсан, тэгвэл

Жишээ 3. Би ба В2 гэсэн хоёр блокыг угсарч дуустал техникийн төхөөрөмжийн ажиллагааг эхлүүлэх боломжгүй. Bi ба B 2 блокуудыг угсрах хугацаа нь бие даасан s систем юм. В. X xТэгээд X 2,параметртэй экспоненциал хуулийн дагуу хуваарилагдана X xТэгээд X 2. Y-техникийн тодорхойлолтын блокуудыг угсарч дуусах хугацаа.

Шийдэл. Энэ нь ойлгомжтой Y=хамгийн их (X ъ X 2).Тархалтын нягт c. В. ^ томьёогоор тодорхойлно (9.6.12)

Энэ хууль заалт биш. ?

Бодлого 4. Хамгийн их -ийн тархалтын хууль Пбие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд. Тасралтгүй систем өгөгдсөн. В. (X x, X 2 , ..., X p)нягтралтай f(x x, x 2,

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг ол

Шийдэл. А - тэргүүн байр

Хаана F(x 1, X 2 ,..., x p) -системийн түгээлтийн функц (X x, X 2, ..., X p).Ялгах замаар бид тархалтын нягтыг олно:

Хаана Фж (Xj) - f. Р. -тай. В. Xjfj(xj) - түүний нягтрал.

Хэрэв хамт бол. В. х б ..., X хбие даасан, тэгш хуваарилагдсан (Fi(y) = F(y);f (y) =f(y).) (/"= 1,П)), тэр

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X ба ..., X хбие даасан, тэгвэл

Жишээ 4. Техникийн тоног төхөөрөмжийн ажил бүгд угсрахаас өмнө эхлэх боломжгүй Птүүний блокууд: B b Bg, ..., B„. B b..., B l блокуудын угсралтын хугацаа нь системийг илэрхийлнэ Пбие даасан тосгонууд В. (Өө..., X p),А.1,..., А, х параметр бүхий экспоненциал хуулийн дагуу тархсан.

Бид нягтралыг олох хэрэгтэй c. В. U-бүх угсралтын ажил дуусах хугацаа П TU блокууд.

Шийдэл. Мэдээжийн хэрэг y = max (X,..., X p).(9.6.16) томъёоны дагуу бид байна

Бодлого 5. Захиалгын статистикийн тархалтын хууль. Ижил тархсан, бие даасан s-ийн тасралтгүй системийг авч үзье. В. (X v X 2, ..., X p)хамт f. Р. F(x)ба p.r./(x). Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тооцсон утгуудыг цэгцэлье X v X 2, ..., X p,өсөх дарааллаар тэмдэглээд:

X (1) нь хамгийн бага утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм: (X (1) = мин (X v X 2, ..., X p));

X(2) -санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоёр дахь хамгийн том хүлээн зөвшөөрөгдсөн утга X v X 2, ..., X p;

X(T) - бисанамсаргүй хэмжигдэхүүнээс хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хэмжээгээр X x, X 2, ..., X p;

X(P) -хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын дагуу хамгийн том санамсаргүй хэмжигдэхүүн X, X 2, x„ (X (n) =Шах (X ба X 2, ..., X p)).

Мэдээжийн хэрэг,

Санамсаргүй хувьсагч X(i), X@),..., X(")гэж нэрлэдэг дараалсан статистик.

Томъёо (9.6.8) ба (9.6.17) нь туйлын нэр томъёоны тархалтын хуулийг өгдөг. X(i),Тэгээд X(")системүүд (*).

Түгээлтийн функцийг олцгооё Ф^м)(x)s. В. X^t yҮйл явдал (X^x) бол тэр Т-тай. В. системээс П-тай. В. (X ( , X 2 ,..., X n) x ба-аас бага байх болно (p - t)-тай. В. x-ээс их байх болно. оноос хойш с. В. Xt (/" = 1, 2,..., P)бие даасан бөгөөд адилхан тархсан бол П (X t x) = F(x)Р (Xj > x) = 1 - F(x).Бид ийм магадлалыг олох хэрэгтэй Пбие даасан туршилтын үйл явдал (Xj x) яг гарч ирнэ Тнэг удаа. Хоёр гишүүний тархалтыг ашигласнаар бид олж авна