Тархалтын нөхцөлт хуулиуд. Регресс.

Тодорхойлолт. Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний нэг хэмжээст бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн (X, Y) нөхцөлт тархалтын хууль нь түүний тархалтын хууль бөгөөд нөгөө бүрэлдэхүүн хэсэг нь тодорхой утгыг авсан (эсвэл зарим интервалд унасан) нөхцөлд тооцдог. Өмнөх лекцээр бид дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нөхцөлт тархалтыг олох талаар авч үзсэн. Нөхцөлт магадлалын томъёог мөн энд өгөв.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд j y (x) ба j X (y) нөхцөлт тархалтын магадлалын нягтыг тодорхойлох шаардлагатай. Энэ зорилгоор өгөгдсөн томъёонд бид үйл явдлын магадлалыг тэдгээрийн "магадлалын элементүүд"-ээр орлуулдаг!

dx ба dy-ээр бууруулсны дараа бид дараахь зүйлийг авна.

тэдгээр. хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний нэг хэмжээст бүрэлдэхүүн хэсгийн нөхцөлт магадлалын нягт нь түүний холбоосын нягтыг нөгөө бүрэлдэхүүн хэсгийн магадлалын нягттай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна. Эдгээр харилцааг хэлбэрээр бичсэн болно

тархалтын нягтыг үржүүлэх теорем (дүрэм) гэж нэрлэдэг.

Нөхцөлт нягтрал j y (x) ба j X (y). "болзолгүй" нягтын бүх шинж чанаруудтай.

Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг судлахдаа нэг хэмжээст X ба Y бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоон шинж чанарыг харгалзан үздэг - математикийн хүлээлт ба хэлбэлзэл. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд (X, Y) тэдгээрийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Тэдгээрийн хамт нөхцөлт тархалтын тоон шинж чанарыг харгалзан үзнэ: нөхцөлт математикийн хүлээлт M x (Y) ба M y (X) ба нөхцөлт дисперс D x (Y) ба D Y (X). Эдгээр шинж чанаруудыг математикийн хүлээлт ба дисперсийн ердийн томьёо ашиглан олдог бөгөөд үүнд үйл явдлын магадлал эсвэл магадлалын нягтын оронд нөхцөлт магадлал эсвэл нөхцөлт магадлалын нягтыг ашигладаг.

X = x үед санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y-ийн нөхцөлт математикийн хүлээлт, i.e. M x (Y) нь х-ийн функцийг регрессийн функц гэж нэрлэдэг эсвэл X дээрх Y-ийн регресс юм. Үүний нэгэн адил, M Y (X) нь регрессийн функц эсвэл Y дээр X-ийн регресс гэж нэрлэгддэг. Эдгээр функцүүдийн графикууд нь дараах байдалтай байна. регрессийн шугам (эсвэл регрессийн муруй) Y-ийг X-ээр эсвэл X-ээр Y-ээр тус тус нэрлэдэг.

Хамааралтай ба бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд.

Тодорхойлолт. X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хамтарсан тархалтын функц F(x,y) нь эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний F 1 (x) ба F 2 (y) хуваарилалтын функцүүдийн үржвэрээр илэрхийлэгдсэн бол тэдгээрийг бие даасан гэж нэрлэдэг.

Үгүй бол X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хамааралтай гэж нэрлэдэг.

x ба y аргументуудын хувьд тэгш байдлыг хоёр удаа ялгаж, бид олж авна

тэдгээр. X ба Ү бие даасан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд тэдгээрийн хамтарсан нягт j(x,y) нь эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн j 1 (x) ба j 2 (y) магадлалын нягтын үржвэртэй тэнцүү байна.

Өнөөг хүртэл бид нэг хувьсагчийн x утга нь нөгөө хувьсагчийн хатуу тодорхойлсон утгатай тохирч байх үед X ба Y хувьсагчдын хоорондох функциональ хамаарлын тухай ойлголттой тулгарсаар ирсэн. Жишээлбэл, санамсаргүй хоёр хэмжигдэхүүн хоорондын хамаарал - тодорхой хугацааны туршид бүтэлгүйтсэн тоног төхөөрөмжийн тоо, тэдгээрийн өртөг - функциональ байдаг.

Ерөнхийдөө тэд функциональ байдлаас арай бага хамааралтай өөр төрлийн хараат байдалтай тулгардаг.

Тодорхойлолт.Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоорондын хамаарлыг тэдгээрийн аль нэгнийх нь утга тус бүр нь нөгөөгийн тодорхой (нөхцөлт) тархалттай тохирч байвал магадлалын (стохастик эсвэл статистик) гэж нэрлэдэг.

Магадлалын (стохастик) хамаарлын хувьд тэдгээрийн аль нэгнийх нь үнэ цэнийг мэдэхийн тулд нөгөөгийнх нь утгыг нарийн тодорхойлох боломжгүй, гэхдээ та зөвхөн нөгөө хэмжигдэхүүний тархалтыг зааж өгч болно. Жишээлбэл, тоног төхөөрөмжийн эвдрэлийн тоо, урьдчилан сэргийлэх засварын зардал, хүний ​​жин, өндөр, сургуулийн сурагчийн телевизийн нэвтрүүлэг үзэх, ном уншихад зарцуулсан цаг хугацаа гэх мэт. магадлал (стохастик).

Зураг дээр. Зураг 5.10-д X ба Ү хамааралтай ба бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээг үзүүлэв.

үүнээс бид m1, m2 нь хоёр хэмжээст хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний (X, Y) X, Y бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн математик хүлээлт, σ1, σ2 нь тэдгээрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн стандарт хазайлт гэж дүгнэж байна.

Сансар огторгуй дахь хоёр хэмжээст хэвийн нягтын график нь бүхэл xOy хавтгайн дээр байрлах толгод хэлбэртэй гадаргуу бөгөөд хязгааргүйд хүрэх үед түүнд асимптотоор ойртож, төвөөр дамжин өнгөрөх босоо тэнхлэгт (м1, м2) тэгш хэмтэй, тэгш хэмтэй байдаг. Энэ цэгийн орой. Ердийн нягтын графикийн гадаргуугийн xOy-тэй перпендикуляр хавтгайгаар хийсэн аливаа зүсэлт нь Гауссын муруй юм.

6.5 Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамаарал ба бие даасан байдал

Тодорхойлолт. X үйл явдал бие даасан байвал X, Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бие даасан гэж нэрлэдэг< x и Y < y для любых вещественных x, y. В противном случае случайные величины (X, Y) называются зависимыми.

Теорем. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний бие даасан байдлын ерөнхий шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл:

FXY (x, y) = FX (x) FY (y)

ямар ч бодит х ба у-ийн хувьд.

Энэ нөхцөл нь A = (X) үйл явдлын хувьд P (AB) = P (A)P (B) гэсэн хоёр үйл явдлын бие даасан байдлын өөр өөр бичигдсэн шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл юм.< x), B = (Y < y).

Теорем. Хоёр тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний бие даасан байдлын зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл:

fXY (x, y) = fX (x) fY (y), x, y.

Теорем. Хоёр дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний бие даасан байдлын зайлшгүй ба хангалттай нөхцөл:

p ik= p i · p k

ямар ч i = 1, 2, . . . , м; k = 1, 2, . . . , n.

Сэтгэгдэл. Корреляцийн коэффициент ρ-ийн тэгтэй тэнцүү байх нь хоёр хэмжээст хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн (X, Y) -ийн X, Y бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн бие даасан байдлын зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл юм.

6.6 Тархалтын нөхцөлт хуулиуд. Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн хоорондын хамаарал

6.6.1 Тархалтын нөхцөлт хуулиуд

Тодорхойлолт. Нөхцөлт хуваарилалтын хууль Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний (X, Y) нэг хэмжээст бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн аль нэгийг нөгөө бүрэлдэхүүн хэсэг нь тодорхой утгыг авсан (эсвэл унасан) нөхцлөөр тооцсон тархалтын хууль гэж нэрлэдэг.зарим интервал).

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд нөхцөлт магадлалыг олох томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд эдгээр томъёо нь хэлбэрийг авна

тэдгээр. хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний нэг хэмжээст бүрэлдэхүүн хэсгийн нөхцөлт магадлалын нягт нь түүний холбоосын нягтыг бусад бүрэлдэхүүн хэсгийн магадлалын нягттай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.

Эдгээр харьцаа, хэлбэрээр бичигдсэн

fXY (x, y) = fX (x)fX (y) = fX (y)fY (x),

тархалтын нягтыг үржүүлэх теорем (дүрэм) гэж нэрлэдэг.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нэг хэмжээст бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг олж авах томъёог ашиглан бид нөхцөлт бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн томъёог бичдэг.

6.6.2 Тоон шинж чанар

Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний (X, Y) X, Y бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн функц болох ϕ(X, Y) санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье. Дараах ерөнхий томъёонууд хүчинтэй байна.

салангид тохиолдолд.

Энд fXY (x, y) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний (X, Y) магадлалын нягтрал бөгөөд pik = P (X = xi, Y = yk) (i = 1, . . . , m; k = 1, . , n) - дискрет хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль

Эдгээр томьёог ашиглан та салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний нэг хэмжээст бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн математик хүлээлт ба тархалтын томъёог бичиж болно.

Математикийн хүлээлтийг олох томьёо нь:

M(Y) = yfXY (x, y)dxdy

тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд;

M(X) = xi pik ;

M(Y) = yk pik

салангид тохиолдолд.

Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний нэг хэмжээст бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн дисперсийг тооцоолох томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

D(Y) = M[(Y − M(Y))2 ] = (yk − M(Y))pik

салангид тохиолдолд.

6.6.3 Корреляцийн момент ба корреляцийн коэффициент

Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамаарлын функциональ шинж чанарыг дээр томъёолсон. Одоо санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоорондын хамаарлын тоон шинж чанарыг авч үзье.

Тодорхойлолт. Корреляцийн момент K XY, өөрөөр хэлбэл - ковариац , X, Y хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн математик хүлээлтээс хазайлтын үржвэрийн математик хүлээлт гэж нэрлэдэг.

KXY = M[(X − mX )(Y − mY )].

Мэдээжийн хэрэг, KXY = KY X.

KXY-ийг тооцоолох томъёо нь:

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн аль нэгнийх нь тархалтын хууль нь нөгөө санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгаас хамаарахгүй бол тэдгээрийг бие даасан хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг. Магадлалын онолд санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамаарлын тухай ойлголт маш чухал. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нөхцөлт тархалт нь тэдний болзолгүй тархалттай тэнцүү байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн бие даасан байдлын шаардлагатай ба хангалттай нөхцлийг тодорхойлъё.

Теорем. X ба Ү санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байхын тулд системийн тархалтын функц (X, Y) нь бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тархалтын функцүүдийн үржвэртэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм.

Тархалтын нягтын хувьд ижил төстэй теоремыг томъёолж болно.

Теорем. X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байхын тулд системийн хамтарсан тархалтын нягт (X, Y) нь бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тархалтын нягтын үржвэртэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм.

X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний mxy корреляцийн момент нь эдгээр утгуудын хазайлтын үржвэрийн математик хүлээлт юм.

Дараахь томъёог практикт ашигладаг.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд:

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд:

Корреляцийн момент нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг тодорхойлоход үйлчилдэг. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байвал тэдгээрийн корреляцийн момент тэгтэй тэнцүү байна.

Корреляцийн момент нь X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжигдэхүүнүүдийн үржвэртэй тэнцүү хэмжээтэй байна. Энэ баримт нь энэхүү тоон шинж чанарын сул тал юм, учир нь Хэмжилтийн янз бүрийн нэгжээр янз бүрийн корреляцийн моментуудыг олж авдаг бөгөөд энэ нь янз бүрийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний корреляцийн моментуудыг харьцуулахад хэцүү болгодог.

Энэ сул талыг арилгахын тулд өөр нэг шинж чанарыг ашигладаг - корреляцийн коэффициент.

X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн корреляцийн коэффициент rxy нь корреляцийн моментийг эдгээр утгуудын стандарт хазайлтын үржвэрт харьцуулсан харьцаа юм.

Корреляцийн коэффициент нь хэмжээсгүй хэмжигдэхүүн юм. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний корреляцийн коэффициент нь тэг байна.

Өмч чанар: X ба Ү хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний корреляцийн моментийн абсолют утга нь тэдгээрийн дисперсийн геометрийн дунджаас хэтрэхгүй байна.

Үл хөдлөх хөрөнгө: Корреляцийн коэффициентийн үнэмлэхүй утга нэгээс хэтрэхгүй.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг корреляцын момент нь тэгээс өөр бол корреляцтай, корреляцийн момент нь тэгтэй тэнцүү бол хамааралгүй гэж нэрлэдэг.

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хамааралгүй бол тэдгээр нь хамааралгүй боловч хамааралгүй байдлаас хамааралгүй гэж дүгнэж болохгүй.

Хэрэв хоёр хэмжигдэхүүн хамааралтай бол тэдгээр нь харилцан хамааралтай эсвэл хамааралгүй байж болно.

Ихэнхдээ санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн өгөгдсөн тархалтын нягтаас эдгээр хувьсагчдын хамаарал эсвэл бие даасан байдлыг тодорхойлж болно.

Корреляцийн коэффициентийн зэрэгцээ санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамаарлын зэргийг өөр хэмжигдэхүүнээр тодорхойлж болох бөгөөд үүнийг ковариацын коэффициент гэж нэрлэдэг. Ковариацын коэффициентийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Жишээ. X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын нягтыг өгөв.

X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан эсэхийг олж мэд.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид түгээлтийн нягтралыг хувиргана.

Тиймээс тархалтын нягтыг хоёр функцийн үржвэрээр дүрсэлж болох бөгөөд тэдгээрийн нэг нь зөвхөн x-ээс, нөгөө нь зөвхөн y-ээс хамаарна. Тэдгээр. X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байна. Мэдээжийн хэрэг, тэд бас хамааралгүй байх болно.

Хэрэв нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нөгөө санамсаргүй хэмжигдэхүүн ямар утгыг авахаас хамаарч өөрчлөгдөхгүй бол $X$ ба $Y$ хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бие даасан гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, дурын $x$ ба $y$-ын хувьд $X=x$ ба $Y=y$ үйл явдлууд бие даасан байна. $X=x$ ба $Y=y$ үйл явдлууд бие даасан тул бие даасан үйл явдлуудын магадлалын үржвэрийн теоремоор $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\) баруун)\баруун)=P \left(X=x\right)P\left(Y=y\баруун)$.

Жишээ 1 . Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь "Оросын Лотто" сугалааны нэг сугалааны тасалбараас авсан мөнгөн хожлыг, $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь өөр "Алтан түлхүүр" сугалааны тасалбараас авсан мөнгөн хожлыг илэрхийлнэ. Нэг сугалааны тасалбарын хонжвор нь өөр нэг сугалааны тасалбараас хожлын хуваарилалтын хуулиас хамаарахгүй тул санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X,\Y$ нь бие даасан байх нь ойлгомжтой. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X,\Y$ нь ижил сугалааны хожлыг илэрхийлэх юм бол эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай байх нь ойлгомжтой.

Жишээ 2 . Хоёр ажилчин өөр өөр цехэд ажиллаж, үйлдвэрлэлийн технологи, ашигласан түүхий эдээр бие биенээсээ хамааралгүй төрөл бүрийн бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг. Нэг ээлжинд эхний ажилчны үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоог хуваарилах хууль дараахь хэлбэртэй байна.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
\ гэмтэлтэй \ бүтээгдэхүүний тоо \ x & 0 & 1 \\
\hline
Магадлал & 0.8 & 0.2 \\
\hline
\end(массив)$

Хоёр дахь ажилтны нэг ээлжинд үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо нь дараахь хуваарилалтын хуулийг дагаж мөрддөг.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
\ гэмтэлтэй \ бүтээгдэхүүний тоо \ y & 0 & 1 \\
\hline
Магадлал & 0.7 & 0.3 \\
\hline
\end(массив)$

Нэг ээлжиндээ хоёр ажилчин үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоог хуваарилах хуулийг олъё.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь нэг ээлжинд эхний ажилтны үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо, $Y$ нь нэг ээлжинд хоёр дахь ажилтны үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо байх болно. Нөхцөлөөр $X,\Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байна.

Нэг ээлжинд хоёр ажилчны үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X+Y$ байна. Түүний боломжит утгууд нь $0,\1$, $2$ байна. $X+Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн өөрийн утгыг авах магадлалыг олцгооё.

$P\left(X+Y=0\баруун)=P\зүүн(X=0,\Y=0\баруун)=P\зүүн(X=0\баруун)P\зүүн(Y=0\баруун) =0.8\cdot 0.7=0.56.$

$P\зүүн(X+Y=1\баруун)=P\зүүн(X=0,\ Y=1\ эсвэл\ X=1,\ Y=0\баруун)=P\зүүн(X=0\баруун) )P\left(Y=1\баруун)+P\зүүн(X=1\баруун)P\зүүн(Y=0\баруун)=0.8\cdot 0.3+0.2\cdot 0.7 =0.38.$

$P\зүүн(X+Y=2\баруун)=P\зүүн(X=1,\Y=1\баруун)=P\зүүн(X=1\баруун)P\зүүн(Y=1\баруун) =0.2\cdot 0.3=0.06.$

Дараа нь нэг ээлжинд хоёр ажилчин үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоог хуваарилах хууль:

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
\ гэмтэлтэй \ бүтээгдэхүүний тоо & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Магадлал & 0.56 & 0.38 & 0.06\\
\hline
\end(массив)$

Өмнөх жишээн дээр бид $X,\Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд дээр үйлдэл хийж, тэдгээрийн $X+Y$ нийлбэрийг олсон. Одоо санамсаргүй хэмжигдэхүүн дээрх үйлдлүүдийн (нэмэх, ялгах, үржүүлэх) илүү нарийн тодорхойлолтыг өгч, шийдлийн жишээг өгье.

Тодорхойлолт 1. Тогтмол хэмжигдэхүүнтэй $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний $kX$ үржвэр нь $kx_i$-г ижил магадлалтай $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\) авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. \цэгүүд ,\ n\ баруун)$.

Тодорхойлолт 2. $X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр (ялгаа эсвэл бүтээгдэхүүн) нь $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ эсвэл $x_i\cdot y_i$) хэлбэрийн бүх боломжит утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. , $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x_i$ утгыг, $Y$ нь $y_j$ утгыг авах $p_(ij)$ магадлалтай:

$$p_(ij)=P\зүүн[\зүүн(X=x_i\баруун)\зүүн(Y=y_j\баруун)\баруун].$$

$X,\Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан байдаг тул бие даасан үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теоремын дагуу: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ баруун) = p_i \ cdot p_j $.

Жишээ 3 . $X,\Y$ бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь магадлалын тархалтын хуулиар тодорхойлогддог.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\end(массив)$

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\end(массив)$

$Z=2X+Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг томьёолъё. $X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр, өөрөөр хэлбэл $X+Y$ нь $x_i+y_j$ хэлбэрийн бүх боломжит утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд $i=1,\2 ,\dots ,\ n$ , $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x_i$ утгыг, $Y$ $y_j$ утгыг авах $p_(ij)$ магадлалтай: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. $X,\Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан байдаг тул бие даасан үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теоремын дагуу: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ баруун) = p_i \ cdot p_j $.

Тиймээс $2X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын хуультай.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\end(массив)$

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\end(массив)$

$Z=2X+Y$ нийлбэрийн бүх утгууд ба тэдгээрийн магадлалыг олоход хялбар байх үүднээс бид туслах хүснэгтийг зохиож, нүд бүрт нь $ нийлбэрийн утгыг зүүн буланд байрлуулна. Z=2X+Y$, баруун буланд - $2X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний харгалзах утгуудын магадлалыг үржүүлсний үр дүнд олж авсан эдгээр утгуудын магадлал.

Үүний үр дүнд бид $Z=2X+Y$ хуваарилалтыг олж авна:

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0.12 & 0.28 & 0.03 & 0.07 & 0.15 & 0.35 \\
\hline
\end(массив)$

Санамсаргүй үйл явдлын хамаарал ба бие даасан байдлын тухай ойлголт. Нөхцөлт магадлал. Хамааралтай болон бие даасан санамсаргүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх, үржүүлэх томъёо. Нийт магадлалын томъёо ба Бэйсийн томъёо.

Магадлалын нэмэх теоремууд

А ба В үйл явдлуудын нийлбэрийн магадлалыг олцгооё (тэдгээрийн нийцтэй эсвэл үл нийцэх гэж үзвэл).

Теорем 2.1.

Хязгаарлагдмал тооны үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь тэдгээрийн магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

P\(A+B+\ldots+N\)=P\(A\)+P\(B\)+\ldots+P\(N\).Жишээ 1.

Дэлгүүрт 44 размерын эрэгтэй гутал зарах магадлал 0.12; 45 - 0.04; 46 ба түүнээс дээш - 0.01. Хамгийн багадаа 44 размерын эрэгтэй гутал зарагдах магадлалыг ол.Шийдэл.

44 (А үйл явдал) эсвэл 45 (B үйл явдал) эсвэл дор хаяж 46 (үйл явдал C) хэмжээтэй хос гутал зарагдсан тохиолдолд шаардлагатай D үйл явдал тохиолдох болно, өөрөөр хэлбэл D үйл явдал нь A, B,C үйл явдлын нийлбэр юм. A, B, C үйл явдлууд хоорондоо нийцэхгүй байна. Тиймээс магадлалын теоремын нийлбэрийн дагуу бид олж авна =0,\!17.

P\(D\)=P\(A+B+C\)=P\(A\)+P\(B\)+P\(C\)=0,\!12+0,\!04 +0,\!01Жишээ 2.

Дэлгүүрт 44 размерын эрэгтэй гутал зарах магадлал 0.12; 45 - 0.04; 46 ба түүнээс дээш - 0.01. Хамгийн багадаа 44 размерын эрэгтэй гутал зарагдах магадлалыг ол.“Дараагийн 44 размераас бага гутал зарна”, “44 размераас багагүй гутал зарна” гэсэн арга хэмжээнүүд эсрэгээрээ. Тиймээс (1.2) томъёоны дагуу хүссэн үйл явдал тохиолдох магадлал

P\(\overline(D)\)=1-P\(D\)=1-0,\!17=0,\!83.

жишээ 1-ээс олдсон P\(D\)=0,\!17 тул.

Магадлалыг нэмэх теорем 2.1 нь зөвхөн үл нийцэх үйл явдлуудад хүчинтэй. Хамтарсан үйл явдлын магадлалыг олохын тулд үүнийг ашиглах нь буруу, заримдаа утгагүй дүгнэлтэд хүргэж болзошгүй нь дараах жишээнээс тодорхой харагдаж байна. "Электра" ХХК-ийн захиалгыг хугацаанд нь гүйцэтгэхийг 0.7 магадлалаар үнэлнэ. Компани гурван захиалгын дор хаяж нэгийг хугацаанд нь гүйцэтгэх магадлал хэд вэ? Компани нь эхний, хоёр, гурав дахь захиалгыг хугацаанд нь гүйцэтгэх үйл явдлыг бид A, B, C гэж тэмдэглэдэг. Хэрэв бид хүссэн магадлалыг олохын тулд магадлалыг нэмэх теорем 2.1-ийг ашиглавал бид олж авна. P\(A+B+C\)=0,\!7+0,\!7+0,\!7=2,\!1. Үйл явдлын магадлал нэгээс их байсан нь боломжгүй юм. Үүнийг A, B, C үйл явдлууд хамтарсан гэж тайлбарладаг. Үнэхээр эхний даалгавраа хугацаанд нь биелүүлэх нь нөгөө хоёрыг нь хугацаанд нь биелүүлэхийг үгүйсгэхгүй.

Хоёр хамтарсан үйл явдлын хувьд магадлалыг нэмэх теоремыг томъёолъё (тэдгээрийн хамтарсан тохиолдлын магадлалыг харгалзан үзнэ).

Теорем 2.2.

Хоёр хамтарсан үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээр хоёр үйл явдлын магадлалын нийлбэр, тэдгээрийн хамтарсан тохиолдох магадлалгүйгээр тэнцүү байна.

P\(A+B\)=P\(A\)+P\(B\)-P\(AB\).

Хамааралтай, бие даасан үйл явдлууд. Нөхцөлт магадлал

Хараат болон бие даасан үйл явдлууд байдаг. Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдсон нь нөгөө нь тохиолдох магадлалыг өөрчлөхгүй бол хоёр үйл явдлыг бие даасан гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, цехэд хоёр автомат шугам ажиллаж байгаа боловч үйлдвэрлэлийн нөхцлийн дагуу тэдгээр нь хоорондоо холбогдоогүй бол эдгээр шугамын зогсолт нь бие даасан үйл явдал юм.Жишээ 3.

Зоосыг хоёр удаа шиддэг. Эхний шүүх хуралд (А үйл явдал) "сүлд" гарч ирэх магадлал нь хоёр дахь шүүх хуралдаанд (Б үйл явдал) "сүлд" харагдах, харагдахгүй байхаас хамаарахгүй. Эргээд хоёр дахь шүүх хуралд “сүлд” гарч ирэх магадлал нь эхний шатны шүүх хурлын үр дүнгээс хамаарахгүй. Тиймээс А ба В үйл явдлууд бие даасан байна. Хэд хэдэн арга хэмжээ гэж нэрлэдэгхамтын бие даасан

, хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь бусад үйл явдлууд болон бусад үйл явдлуудын хослолоос хамаарахгүй бол. Үйл явдал гэж нэрлэдэг, хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь нөгөөгийн магадлалд нөлөөлж байвал. Тухайлбал, хоёр үйлдвэрлэлийн үйлдвэр технологийн нэг циклээр холбогдсон. Дараа нь тэдгээрийн аль нэг нь бүтэлгүйтэх магадлал нь нөгөөгийн төлөв байдлаас хамаарна. Өөр А үйл явдал тохиолдох гэсэн таамаглалаар тооцсон нэг В үйл явдлын магадлалыг гэнэ. нөхцөлт магадлал B үйл явдлыг P\(B|A\) гэж тэмдэглэнэ.

В үйл явдлын А үйл явдлаас хамааралгүй байх нөхцөлийг P\(B|A\)=P\(B\) хэлбэрээр, түүний хамаарлын нөхцөлийг - хэлбэрээр бичнэ. P\(B|A\)\ne(P\(B\)). Үйл явдлын нөхцөлт магадлалыг тооцоолох жишээг авч үзье.

Жишээ 4.Хайрцаг нь 5 таслагчтай: хоёр нь хуучирсан, гурав нь шинэ. Шүдний шүдийг хоёр дараалан гаргаж авдаг. Эхний удаа салгасан зүсэгчийг хайрцгандаа буцааж аваагүй тохиолдолд хоёр дахь олборлолтын явцад элэгдсэн зүсэгч гарч ирэх нөхцөлт магадлалыг тодорхойлно.

Дэлгүүрт 44 размерын эрэгтэй гутал зарах магадлал 0.12; 45 - 0.04; 46 ба түүнээс дээш - 0.01. Хамгийн багадаа 44 размерын эрэгтэй гутал зарагдах магадлалыг ол.Эхний тохиолдолд хуучирсан таслагчийн олборлолтыг А гэж, шинийг гаргаж авахыг \overline(A) гэж тэмдэглэе. Дараа нь P\(A\)=\frac(2)(5),~P\(\overline(A)\)=1-\frac(2)(5)=\frac(3)(5). Устгасан зүсэгчийг хайрцагт буцааж өгөхгүй тул элэгдэж, шинэ зүсэгчийн харьцаа өөрчлөгдөнө. Тиймээс хоёр дахь тохиолдолд элэгдэж буй зүсэгчийг арилгах магадлал нь өмнө нь ямар үйл явдал болсоноос хамаарна.

Хоёр дахь тохиолдолд хуучирсан зүсэгчийг арилгах гэсэн үйл явдлыг B-ээр тэмдэглэе. Энэ үйл явдлын магадлал нь:

P\(B|A\)=\frac(1)(4),~~~P\(B|\overline(A)\)=\frac(2)(4)=\frac(1)(2) ).

Тиймээс В үйл явдлын магадлал нь А үйл явдал болох эсэхээс хамаарна.

Магадлалыг үржүүлэх томъёо

А ба В үйл явдлууд бие даасан байг, эдгээр үйл явдлын магадлал нь мэдэгдэж байна. А ба В үйл явдлуудыг нэгтгэх магадлалыг олъё.

Теорем 2.3.

Хоёр бие даасан үйл явдлын хамтдаа тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

P\(AB\)=P\(A\)\cdot P\(B\).

Дүгнэлт 2.1.

Нийтдээ бие даасан хэд хэдэн үйл явдлын хамтдаа тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна. P\(A_1A_2\ldots(A_n)\)=P\(A_1\)P\(A_2\)\ldots(P\(A_n\)).

Дэлгүүрт 44 размерын эрэгтэй гутал зарах магадлал 0.12; 45 - 0.04; 46 ба түүнээс дээш - 0.01. Хамгийн багадаа 44 размерын эрэгтэй гутал зарагдах магадлалыг ол.Жишээ 5. Гурван хайрцаг нь 10 хэсгээс бүрдэнэ. Эхний хайрцагт 8 стандарт хэсэг, хоёр дахь нь 7, гурав дахь нь 9. Хайрцаг бүрээс нэг хэсгийг санамсаргүй байдлаар гаргаж авдаг. Гаргасан гурван хэсэг бүгд стандарт байх магадлалыг ол.. Хоёрдахь хайрцагнаас стандарт хэсгийг авах магадлал (B үйл явдал), P\(B\)=\frac(7)(10). Гурав дахь хайрцагнаас стандарт хэсгийг авах магадлал (С үйл явдал), P\(C\)=\frac(9)(10). А, В, С үйл явдлууд нийлбэрт бие даасан байдаг тул хүссэн магадлал (үржүүлэх теоремоор)

P\(ABC\)=P\(A\)P\(B\)P\(C\)=\frac(4)(5)\frac(7)(10)\frac(9)(10) =0,\!504.

А ба В үйл явдлууд нь хамааралтай байх ба P\(A\) ба P\(B|A\) магадлалууд мэдэгдэнэ. Эдгээр үйл явдлуудын үржвэрийн магадлалыг, өөрөөр хэлбэл А үйл явдал болон В үйл явдал хоёулаа гарах магадлалыг олцгооё.

Теорем 2.4.

Хоёр хамааралтай үйл явдлын хамтдаа тохиолдох магадлал нь эхний үйл явдал аль хэдийн болсон гэсэн таамаглалаар тооцоолсон тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлалын нөгөөгийн нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

P\(AB\)=P\(A\)\cdot P\(B|A\);\qquad P\(AB\)=P\(B\)\cdot P\(A|B\)

Дүгнэлт 2.2.Хэд хэдэн хамааралтай үйл явдлууд хамтдаа тохиолдох магадлал нь тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлал ба бусад бүх үйл явдлын нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү бөгөөд дараагийн үйл явдал бүрийн магадлалыг өмнөх бүх үйл явдал аль хэдийн болсон гэсэн таамаглалаар тооцдог. .

Дэлгүүрт 44 размерын эрэгтэй гутал зарах магадлал 0.12; 45 - 0.04; 46 ба түүнээс дээш - 0.01. Хамгийн багадаа 44 размерын эрэгтэй гутал зарагдах магадлалыг ол.Жишээ 6. Цүнхэнд 4 хар, 3 хөх 5 цагаан бөмбөлөг байдаг. Туршилт бүр нь нэг бөмбөгийг саванд буцааж өгөхгүйгээр санамсаргүй байдлаар зурахаас бүрдэнэ. Эхний туршилтад цагаан бөмбөг (А үйл явдал), хоёр дахь (В үйл явдал) дээр хар бөмбөг, гурав дахь (С үйл явдал) дээр цэнхэр бөмбөг гарч ирэх магадлалыг ол.Эхний шүүх хурал дээр цагаан бөмбөг гарч ирэх магадлал P\(A\)=\frac(5)(12). Хоёрдахь туршилт дээр хар бөмбөг гарч ирэх магадлалыг эхний туршилт дээр цагаан бөмбөг гарч ирсэн гэсэн таамаглалаар тооцоолсон, өөрөөр хэлбэл нөхцөлт магадлал. P\(B|A\)=\frac(4)(11). Эхний туршилт дээр цагаан бөмбөг, хоёр дахь удаагаа хар бөмбөг гарч ирсэн гэсэн таамаглалаар тооцоолсон цэнхэр бөмбөг гурав дахь удаагаа гарч ирэх магадлал,

P\(C|AB\)=\frac(3)(10)

. Шаардлагатай магадлал

P\(ABC\)=P\(A\)P\(B|A\)P\(C|AB\)=\frac(5)(12)\frac(4)(11)\frac(3) )(10). Нийт магадлалын томъёоТеорем 2.5. Нийт магадлалын томъёо:

Хэрэв А үйл явдал зөвхөн үл нийцэх үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг үйл явдлуудын аль нэг нь тохиолдвол А үйл явдлын магадлал нь үйл явдал тус бүрийн магадлалын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

B_1,B_2,\ldots(B_n)

үйл явдлын харгалзах нөхцөлт магадлалдУгсрах шугам нь гурван машинаас эд анги хүлээн авдаг. Машинуудын бүтээмж ижил биш байна. Эхний машин нь бүх эд ангиудын 50%, хоёр дахь нь 30%, гурав дахь нь 20% -ийг үйлдвэрлэдэг. Нэг, хоёр, гурав дахь машин дээр үйлдвэрлэсэн эд ангиудыг ашиглах үед өндөр чанартай угсралтын магадлал 0.98, 0.95 ба 0.8 байна, угсрах шугамаас гарч буй угсралт өндөр чанартай байх магадлалыг тодорхойл.

Дэлгүүрт 44 размерын эрэгтэй гутал зарах магадлал 0.12; 45 - 0.04; 46 ба түүнээс дээш - 0.01. Хамгийн багадаа 44 размерын эрэгтэй гутал зарагдах магадлалыг ол.Угсарсан зангилааны хүчинтэй байдлыг харуулсан үйл явдлыг А-аар тэмдэглэе;

B_1, B_2 ба B_3 - эд ангиудыг эхний, хоёр, гурав дахь машин дээр хийсэн гэсэн үг юм. Дараа нь
P\(B_1\)=0,\!5;~~~~~P\(B_2\)=0,\!3;~~~~~P\(B_3\)=0,\!2;

P\(A|B_1\)=0,\!98;~~~P\(A|B_2\)=0,\!95;~~~P\(A|B_3\)=0,\!8 .

Шаардлагатай магадлал

Бэйсийн томъёо Нийт магадлалын томъёоЭнэ томъёог А үйл явдал аль нэг үйл явдалтай хамт гарч ирэх үед практик асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг Нийт магадлалын томъёо, үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлж, тохиолдсон бөгөөд таамаглалын магадлалын тоон үнэлгээг хийх шаардлагатай байна. . Приори (туршлагын өмнөх) магадлал P\(B_1\),P\(B_2\),\ldots(P\(B_n\)) мэдэгдэж байна. Арын (туршилтын дараа) магадлалыг тооцоолох шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл үндсэндээ нөхцөлт магадлалыг олох хэрэгтэй. P\(B_1|A\),P\(B_2|A\),\ldots(P\(B_n|A\))

. B_j таамаглалын хувьд Байесийн томъёо дараах байдалтай байна.

P\(B_j|A\)=\frac(P\(B_j\) P\(A|B_j\))(P\(A\)).

Нийт магадлалын томьёо (2.1) ашиглан энэ тэгшитгэлд P\(A\)-ыг өргөжүүлбэл бид олж авна

P\(B_j|A\)=\dfrac(P\(B_j\)P\(A|B_j\))(\нийлбэр\хязгаар_(i=1)^(n)P\(B_i\)P\( A|B_i\)).Жишээ 8.