Опыт отто фон герике с поршнем 1654. Великие немецкие изобретатели

Дифференциальное уравнение - это уравнение, в которое входят функция и одна или несколько ее производных. В большинстве практических задач функции представляют собой физические величины, производные соответствуют скоростям изменения этих величин, а уравнение определяет связь между ними.

В данной статье рассмотрены методы решения некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых могут быть записаны в виде элементарных функций , то есть полиномиальных, экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических, а также обратных им функций. Многие из этих уравнений встречаются в реальной жизни, хотя большинство других дифференциальных уравнений нельзя решить данными методами, и для них ответ записывается в виде специальных функций или степенных рядов, либо находится численными методами.

Для понимания данной статьи необходимо владеть дифференциальным и интегральным исчислением, а также иметь некоторое представление о частных производных. Рекомендуется также знать основы линейной алгебры в применении к дифференциальным уравнениям, особенно к дифференциальным уравнениям второго порядка, хотя для их решения достаточно знания дифференциального и интегрального исчисления.

Предварительные сведения

• Дифференциальные уравнения имеют обширную классификацию. В настоящей статье рассказывается об обыкновенных дифференциальных уравнениях , то есть об уравнениях, в которые входит функция одной переменной и ее производные. Обыкновенные дифференциальные уравнения намного легче понять и решить, чем дифференциальные уравнения в частных производных , в которые входят функции нескольких переменных. В данной статье не рассматриваются дифференциальные уравнения в частных производных, поскольку методы решения этих уравнений обычно определяются их конкретным видом.
  • Ниже приведены несколько примеров обыкновенных дифференциальных уравнений.
    • d y d x = k y {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=ky}
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+kx=0}
  • Ниже приведены несколько примеров дифференциальных уравнений в частных производных.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=0}
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}
• Порядок дифференциального уравнения определяется по порядку старшей производной, входящей в данное уравнение. Первое из приведенных выше обыкновенных дифференциальных уравнений имеет первый порядок, в то время как второе относится к уравнениям второго порядка. Степенью дифференциального уравнения называется наивысшая степень, в которую возводится один из членов этого уравнения.
  • Например, приведенное ниже уравнение имеет третий порядок и вторую степень.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 {\displaystyle \left({\frac {{\mathrm {d} }^{3}y}{{\mathrm {d} }x^{3}}}\right)^{2}+{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=0}
• Дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением в том случае, если функция и все ее производные стоят в первой степени. В противном случае уравнение является нелинейным дифференциальным уравнением . Линейные дифференциальные уравнения примечательны тем, что из их решений можно составить линейные комбинации, которые также будут решениями данного уравнения.
  • Ниже приведены несколько примеров линейных дифференциальных уравнений.
  • Ниже приведены несколько примеров нелинейных дифференциальных уравнений. Первое уравнение является нелинейным из-за слагаемого с синусом.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}\theta }{{\mathrm {d} }t^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0}
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+\left({\frac {{\mathrm {d} }x}{{\mathrm {d} }t}}\right)^{2}+tx^{2}=0}
• Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения не является единственным, оно включает в себя произвольные постоянные интегрирования . В большинстве случаев число произвольных постоянных равно порядку уравнения. На практике значения этих констант определяются по заданным начальным условиям , то есть по значениям функции и ее производных при x = 0. {\displaystyle x=0.} Число начальных условий, которые необходимы для нахождения частного решения дифференциального уравнения, в большинстве случаев также равно порядку данного уравнения.
  • Например, в данной статье будет рассмотрено решение приведенного ниже уравнения. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение содержит две произвольные постоянные. Для нахождения этих постоянных необходимо знать начальные условия при x (0) {\displaystyle x(0)} и x ′ (0) . {\displaystyle x"(0).} Обычно начальные условия задаются в точке x = 0 , {\displaystyle x=0,} , хотя это и не обязательно. В данной статье будет рассмотрено также, как найти частные решения при заданных начальных условиях.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+k^{2}x=0}
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x {\displaystyle x(t)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx}

Шаги

Часть 1

При использовании этого сервиса некоторая информация может быть передана YouTube.

1. Линейные уравнения первого порядка. В данном разделе рассмотрены методы решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка в общих и специальных случаях, когда некоторые члены равны нулю. Предположим, что y = y (x) , {\displaystyle y=y(x),} p (x) {\displaystyle p(x)} и q (x) {\displaystyle q(x)} являются функциями x . {\displaystyle x.}

   D y d x + p (x) y = q (x) {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+p(x)y=q(x)}
   

   P (x) = 0. {\displaystyle p(x)=0.} Согласно одной из основных теорем математического анализа, интеграл от производной функции также является функцией. Таким образом, достаточно просто проинтегрировать уравнение, чтобы найти его решение. При этом следует учесть, что при вычислении неопределенного интеграла появляется произвольная постоянная.

   • y (x) = ∫ q (x) d x {\displaystyle y(x)=\int q(x){\mathrm {d} }x}

   Q (x) = 0. {\displaystyle q(x)=0.} Используем метод разделения переменных . При этом различные переменные переносятся в разные стороны уравнения. Например, можно перенести все члены с y {\displaystyle y} в одну, а все члены с x {\displaystyle x} в другую сторону уравнения. Можно переносить также члены d x {\displaystyle {\mathrm {d} }x} и d y {\displaystyle {\mathrm {d} }y} , которые входят в выражения производных, однако следует помнить, что это всего лишь условное обозначение, которое удобно при дифференцировании сложной функции. Обсуждение этих членов, которые называются дифференциалами , выходит за рамки данной статьи.

   • Во-первых, необходимо перенести переменные по разные стороны знака равенства.
     • 1 y d y = − p (x) d x {\displaystyle {\frac {1}{y}}{\mathrm {d} }y=-p(x){\mathrm {d} }x}
   • Проинтегрируем обе стороны уравнения. После интегрирования с обеих сторон появятся произвольные постоянные, которые можно перенести в правую часть уравнения.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x {\displaystyle \ln y=\int -p(x){\mathrm {d} }x}
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x {\displaystyle y(x)=e^{-\int p(x){\mathrm {d} }x}}
   • Пример 1.1. На последнем шаге мы использовали правило e a + b = e a e b {\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}} и заменили e C {\displaystyle e^{C}} на C {\displaystyle C} , поскольку это также произвольная постоянная интегрирования.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}-2y\sin x=0}
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2y}}{\mathrm {d} }y&=\sin x{\mathrm {d} }x\\{\frac {1}{2}}\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^{-2\cos x}\end{aligned}}}

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. {\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.} Для нахождения общего решения мы ввели интегрирующий множитель в виде функции от x {\displaystyle x} , чтобы свести левую часть к общей производной и таким образом решить уравнение.

   • Умножим обе стороны на μ (x) {\displaystyle \mu (x)}
     • μ d y d x + μ p y = μ q {\displaystyle \mu {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+\mu py=\mu q}
   • Чтобы свести левую часть к общей производной, необходимо сделать следующие преобразования:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}(\mu y)={\frac {{\mathrm {d} }\mu }{{\mathrm {d} }x}}y+\mu {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=\mu {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+\mu py}
   • Последнее равенство означает, что d μ d x = μ p {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }\mu }{{\mathrm {d} }x}}=\mu p} . Это интегрирующий множитель, которого достаточно для решения любого линейного уравнения первого порядка. Теперь можно вывести формулу решения данного уравнения относительно μ , {\displaystyle \mu ,} хотя для тренировки полезно проделать все промежуточные вычисления.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x {\displaystyle \mu (x)=e^{\int p(x){\mathrm {d} }x}}
   • Пример 1.2. В данном примере рассмотрено, как найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 {\displaystyle t{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }t}}+2y=t^{2},\quad y(2)=3}
     • d y d t + 2 t y = t {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }t}}+{\frac {2}{t}}y=t}
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 {\displaystyle \mu (x)=e^{\int p(t){\mathrm {d} }t}=e^{2\ln t}=t^{2}}
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }t}}(t^{2}y)&=t^{3}\\t^{2}y&={\frac {1}{4}}t^{4}+C\\y(t)&={\frac {1}{4}}t^{2}+{\frac {C}{t^{2}}}\end{aligned}}}
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 {\displaystyle 3=y(2)=1+{\frac {C}{4}},\quad C=8}
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 {\displaystyle y(t)={\frac {1}{4}}t^{2}+{\frac {8}{t^{2}}}}
   
   Решение линейных уравнений первого порядка (запись Интуита – национального открытого университета).

2. Нелинейные уравнения первого порядка . В данном разделе рассмотрены методы решения некоторых нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Хотя и не существует общего метода решения таких уравнений, некоторые из них можно решить с помощью приведенных ниже методов.

   D y d x = f (x , y) {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=f(x,y)}
   d y d x = h (x) g (y) . {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=h(x)g(y).} Если функцию f (x , y) = h (x) g (y) {\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)} можно разделить на функции одной переменной, такое уравнение называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными . В этом случае можно воспользоваться приведенным выше методом:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x {\displaystyle \int {\frac {{\mathrm {d} }y}{h(y)}}=\int g(x){\mathrm {d} }x}
   • Пример 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}={\frac {x^{3}}{y(1+x^{4})}}}
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int y{\mathrm {d} }y&=\int {\frac {x^{3}}{1+x^{4}}}{\mathrm {d} }x\\{\frac {1}{2}}y^{2}&={\frac {1}{4}}\ln(1+x^{4})+C\\y(x)&={\frac {1}{2}}\ln(1+x^{4})+C\end{aligned}}}

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}={\frac {g(x,y)}{h(x,y)}}.} Предположим, что g (x , y) {\displaystyle g(x,y)} и h (x , y) {\displaystyle h(x,y)} являются функциями x {\displaystyle x} и y . {\displaystyle y.} Тогда однородным дифференциальным уравнением называется такое уравнение, в котором g {\displaystyle g} и h {\displaystyle h} являются однородными функциями одинаковой степени. То есть функции должны удовлетворять условию g (α x , α y) = α k g (x , y) , {\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^{k}g(x,y),} где k {\displaystyle k} называется степенью однородности. Любое однородное дифференциальное уравнение можно путем подходящей замены переменных ( v = y / x {\displaystyle v=y/x} или v = x / y {\displaystyle v=x/y} ) преобразовать в уравнение с разделяющимися переменными.

   • Пример 1.4. Приведенное выше описание однородности может показаться неясным. Рассмотрим это понятие на примере.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}={\frac {y^{3}-x^{3}}{y^{2}x}}}
     • Для начала следует отметить, что это уравнение нелинейно относительно y . {\displaystyle y.} Также мы видим, что в данном случае нельзя разделить переменные. Вместе с тем это дифференциальное уравнение является однородным, поскольку и числитель, и знаменатель однородны со степенью 3. Следовательно, мы можем произвести замену переменных v = y / x . {\displaystyle v=y/x.}
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}={\frac {y}{x}}-{\frac {x^{2}}{y^{2}}}=v-{\frac {1}{v^{2}}}}
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v {\displaystyle y=vx,\quad {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}={\frac {{\mathrm {d} }v}{{\mathrm {d} }x}}x+v}
     • d v d x x = − 1 v 2 . {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }v}{{\mathrm {d} }x}}x=-{\frac {1}{v^{2}}}.} В результате мы имеем уравнение для v {\displaystyle v} с разделяющимися переменными.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 {\displaystyle v(x)={\sqrt[{3}]{-3\ln x+C}}}
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 {\displaystyle y(x)=x{\sqrt[{3}]{-3\ln x+C}}}

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=p(x)y+q(x)y^{n}.} Это дифференциальное уравнение Бернулли - особый вид нелинейного уравнения первой степени, решение которого может быть записано с помощью элементарных функций.

   • Умножим обе стороны уравнения на (1 − n) y − n {\displaystyle (1-n)y^{-n}} :
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) {\displaystyle (1-n)y^{-n}{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=p(x)(1-n)y^{1-n}+(1-n)q(x)}
   • Используем с левой стороны правило дифференцирования сложной функции и преобразуем уравнение в линейное уравнение относительно y 1 − n , {\displaystyle y^{1-n},} которое можно решить приведенными выше методами.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y^{1-n}}{{\mathrm {d} }x}}=p(x)(1-n)y^{1-n}+(1-n)q(x)}

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. {\displaystyle M(x,y)+N(x,y){\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=0.} Это уравнение в полных дифференциалах . Необходимо найти так называемую потенциальную функцию φ (x , y) , {\displaystyle \varphi (x,y),} , которая удовлетворяет условию d φ d x = 0. {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }\varphi }{{\mathrm {d} }x}}=0.}

   • Для выполнения данного условия необходимо наличие полной производной . Полная производная учитывает зависимость от других переменных. Чтобы вычислить полную производную φ {\displaystyle \varphi } по x , {\displaystyle x,} мы предполагаем, что y {\displaystyle y} может также зависеть от x . {\displaystyle x.}
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }\varphi }{{\mathrm {d} }x}}={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}}
   • Сравнение слагаемых дает нам M (x , y) = ∂ φ ∂ x {\displaystyle M(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}} и N (x , y) = ∂ φ ∂ y . {\displaystyle N(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}.} Это типичный результат для уравнений с несколькими переменными, при котором смешанные производные гладких функций равны друг другу. Иногда такой случай называют теоремой Клеро . В этом случае дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется следующее условие:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}}
   • Метод решения уравнений в полных дифференциалах аналогичен нахождению потенциальных функций при наличии нескольких производных, на чем мы кратко остановимся. Сначала проинтегрируем M {\displaystyle M} по x . {\displaystyle x.} Поскольку M {\displaystyle M} является функцией и x {\displaystyle x} , и y , {\displaystyle y,} при интегрировании мы получим неполную функцию φ , {\displaystyle \varphi ,} обозначенную как φ ~ {\displaystyle {\tilde {\varphi }}} . В результат входит также зависящая от y {\displaystyle y} постоянная интегрирования.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) {\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y){\mathrm {d} }x={\tilde {\varphi }}(x,y)+c(y)}
   • После этого для получения c (y) {\displaystyle c(y)} можно взять частную производную полученной функции по y , {\displaystyle y,} приравнять результат N (x , y) {\displaystyle N(x,y)} и проинтегрировать. Можно также сначала проинтегрировать N {\displaystyle N} , а затем взять частную производную по x {\displaystyle x} , что позволит найти произвольную функцию d (x) . {\displaystyle d(x).} Подходят оба метода, и обычно для интегрирования выбирается более простая функция.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y {\displaystyle N(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}={\frac {\partial {\tilde {\varphi }}}{\partial y}}+{\frac {{\mathrm {d} }c}{{\mathrm {d} }y}}}
   • Пример 1.5. Можно взять частные производные и убедиться в том, что приведенное ниже уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 {\displaystyle 3x^{2}+y^{2}+2xy{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=0}
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\int (3x^{2}+y^{2}){\mathrm {d} }x=x^{3}+xy^{2}+c(y)\\{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}&=N(x,y)=2xy+{\frac {{\mathrm {d} }c}{{\mathrm {d} }y}}\end{aligned}}}
     • d c d y = 0 , c (y) = C {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }c}{{\mathrm {d} }y}}=0,\quad c(y)=C}
     • x 3 + x y 2 = C {\displaystyle x^{3}+xy^{2}=C}
   • Если дифференциальное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, в некоторых случаях можно найти интегрирующий множитель, который позволит преобразовать его в уравнение в полных дифференциалах. Однако подобные уравнения редко применяются на практике, и хотя интегрирующий множитель существует , найти его бывает непросто , поэтому эти уравнения не рассматриваются в данной статье.

Часть 2

1. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Эти уравнения широко используются на практике, поэтому их решение имеет первоочередное значение. В данном случае речь идет не об однородных функциях, а о том, что в правой части уравнения стоит 0. В следующем разделе будет показано, как решаются соответствующие неоднородные дифференциальные уравнения. Ниже a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} являются константами.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+a{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+by=0}
   

   Характеристическое уравнение . Данное дифференциальное уравнение примечательно тем, что его можно очень легко решить, если обратить внимание на то, какими свойствами должны обладать его решения. Из уравнения видно, что y {\displaystyle y} и его производные пропорциональны друг другу. Из предыдущих примеров, которые были рассмотрены в разделе об уравнениях первого порядка, мы знаем, что таким свойством обладает лишь экспоненциальная функция. Следовательно, можно выдвинуть анзац (обоснованное предположение) о том, каким будет решение данного уравнения.

   • Решение будет иметь вид экспоненциальной функции e r x , {\displaystyle e^{rx},} где r {\displaystyle r} - постоянная, значение которой следует найти. Подставим эту функцию в уравнение и получим следующее выражение
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 {\displaystyle e^{rx}(r^{2}+ar+b)=0}
   • Это уравнение свидетельствует о том, что произведение экспоненциальной функции и полинома должно равняться нулю. Известно, что экспонента не может равняться нулю ни при каких значениях степени. Отсюда заключаем, что нулю равен полином. Таким образом, мы свели задачу решения дифференциального уравнения к намного более простой задаче решения алгебраического уравнения, которое называется характеристическим уравнением для данного дифференциального уравнения.
     • r 2 + a r + b = 0 {\displaystyle r^{2}+ar+b=0}
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 {\displaystyle r_{\pm }={\frac {-a\pm {\sqrt {a^{2}-4b}}}{2}}}
   • Мы получили два корня. Поскольку данное дифференциальное уравнение является линейным, его общее решение представляет собой линейную комбинацию частных решений. Так как это уравнение второго порядка, мы знаем, что это действительно общее решение, и других не существует. Более строгое обоснование этого заключается в теоремах о существовании и единственности решения, которые можно найти в учебниках.
   • Полезный способ проверить, являются ли два решения линейно независимыми, заключается в вычислении вронскиана . Вронскиан W {\displaystyle W} - это определитель матрицы, в колонках которой стоят функции и их последовательные производные. Теорема линейной алгебры гласит, что входящие в вронскиан функции линейно зависимы, если вронскиан равен нулю. В данном разделе мы можем проверить, являются ли два решения линейно независимыми - для этого необходимо убедиться, что вронскиан не равен нулю. Вронскиан важен при решении неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом вариации параметров.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | {\displaystyle W={\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\y_{1}"&y_{2}"\end{vmatrix}}}
   • В терминах линейной алгебры множество всех решений данного дифференциального уравнения образует векторное пространство, размерность которого равна порядку дифференциального уравнения. В этом пространстве можно выбрать базис из линейно независимых друг от друга решений. Это возможно благодаря тому, что на функцию y (x) {\displaystyle y(x)} действует линейный оператор . Производная является линейным оператором, поскольку она преобразует пространство дифференцируемых функций в пространство всех функций. Уравнения называются однородными в тех случаях, когда для какого-либо линейного оператора L {\displaystyle L} требуется найти решение уравнения L [ y ] = 0. {\displaystyle L[y]=0.}

   Перейдем теперь к рассмотрению нескольких конкретных примеров. Случай кратных корней характеристического уравнения рассмотрим чуть позже, в разделе о понижении порядка.

   Если корни r ± {\displaystyle r_{\pm }} являются различными действительными числами, дифференциальное уравнение имеет следующее решение

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x {\displaystyle y(x)=c_{1}e^{r_{+}x}+c_{2}e^{r_{-}x}}

   Два комплексных корня. Из основной теоремы алгебры следует, что решения решения полиномиальных уравнений с действительными коэффициентами имеют корни, которые вещественны или образуют сопряженные пары. Следовательно, если комплексное число r = α + i β {\displaystyle r=\alpha +i\beta } является корнем характеристического уравнения, тогда r ∗ = α − i β {\displaystyle r^{*}=\alpha -i\beta } также является корнем этого уравнения. Таким образом, можно записать решение в виде c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , {\displaystyle c_{1}e^{(\alpha +i\beta)x}+c_{2}e^{(\alpha -i\beta)x},} однако это комплексное число, и оно нежелательно при решении практических задач.

   • Вместо этого можно использовать формулу Эйлера e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} , которая позволяет записать решение в виде тригонометрических функций:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) {\displaystyle e^{\alpha x}(c_{1}\cos \beta x+ic_{1}\sin \beta x+c_{2}\cos \beta x-ic_{2}\sin \beta x)}
   • Теперь можно вместо постоянной c 1 + c 2 {\displaystyle c_{1}+c_{2}} записать c 1 {\displaystyle c_{1}} , а выражение i (c 1 − c 2) {\displaystyle i(c_{1}-c_{2})} заменить на c 2 . {\displaystyle c_{2}.} После этого получаем следующее решение:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) {\displaystyle y(x)=e^{\alpha x}(c_{1}\cos \beta x+c_{2}\sin \beta x)}
   • Есть и другой способ записать решение в виде амплитуды и фазы, который лучше подходит для физических задач.
   • Пример 2.1. Найдем решение приведенного ниже дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. Для этого необходимо взять полученное решение, а также его производную , и подставить их в начальные условия, что позволит определить произвольные постоянные.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+3{\frac {{\mathrm {d} }x}{{\mathrm {d} }t}}+10x=0,\quad x(0)=1,\ x"(0)=-1}
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i {\displaystyle r^{2}+3r+10=0,\quad r_{\pm }={\frac {-3\pm {\sqrt {9-40}}}{2}}=-{\frac {3}{2}}\pm {\frac {\sqrt {31}}{2}}i}
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) {\displaystyle x(t)=e^{-3t/2}\left(c_{1}\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+c_{2}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)}
     • x (0) = 1 = c 1 {\displaystyle x(0)=1=c_{1}}
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) {\displaystyle {\begin{aligned}x"(t)&=-{\frac {3}{2}}e^{-3t/2}\left(c_{1}\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+c_{2}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)\\&+e^{-3t/2}\left(-{\frac {\sqrt {31}}{2}}c_{1}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+{\frac {\sqrt {31}}{2}}c_{2}\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)\end{aligned}}}
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 {\displaystyle x"(0)=-1=-{\frac {3}{2}}c_{1}+{\frac {\sqrt {31}}{2}}c_{2},\quad c_{2}={\frac {1}{\sqrt {31}}}}
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) {\displaystyle x(t)=e^{-3t/2}\left(\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+{\frac {1}{\sqrt {31}}}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)}
   
   Решение дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами (запись Интуита – национального открытого университета).

2. Понижение порядка. Понижение порядка представляет собой метод решения дифференциальных уравнений в случае, когда известно одно линейно независимое решение. Данный метод заключается в понижении порядка уравнения на один, что позволяет решить уравнение методами, которые описаны в предыдущем разделе. Пусть известно решение . Основная идея понижения порядка заключается в поиске решения в представленном ниже виде, где необходимо определить функцию v (x) {\displaystyle v(x)} , подстановке его в дифференциальное уравнение и нахождении v (x) . {\displaystyle v(x).} Рассмотрим, как можно использовать понижение порядка для решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и кратными корнями.

   
   

   Кратные корни однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Вспомним о том, что уравнение второго порядка должно иметь два линейно независимых решения. Если характеристическое уравнение имеет кратные корни, множество решений не образует пространство, поскольку эти решения линейно зависимы. В этом случае необходимо использовать понижение порядка, чтобы найти второе линейно независимое решение.

   • Пусть характеристическое уравнение имеет кратные корни r {\displaystyle r} . Предположим, что второе решение можно записать в виде y (x) = e r x v (x) {\displaystyle y(x)=e^{rx}v(x)} , и подставим его в дифференциальное уравнение. При этом большинство членов, за исключением слагаемого со второй производной функции v , {\displaystyle v,} сократятся.
     • v ″ (x) e r x = 0 {\displaystyle v""(x)e^{rx}=0}
   • Пример 2.2. Пусть дано приведенное ниже уравнение, которое имеет кратные корни r = − 4. {\displaystyle r=-4.} При подстановке сокращается большинство членов.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+8{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+16y=0}
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x {\displaystyle {\begin{aligned}y&=v(x)e^{-4x}\\y"&=v"(x)e^{-4x}-4v(x)e^{-4x}\\y""&=v""(x)e^{-4x}-8v"(x)e^{-4x}+16v(x)e^{-4x}\end{aligned}}}
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}v""e^{-4x}&-{\cancel {8v"e^{-4x}}}+{\cancel {16ve^{-4x}}}\\&+{\cancel {8v"e^{-4x}}}-{\cancel {32ve^{-4x}}}+{\cancel {16ve^{-4x}}}=0\end{aligned}}}
   • Подобно нашему анзацу для дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в данном случае нулю может быть равна лишь вторая производная. Интегрируем два раза и получаем искомое выражение для v {\displaystyle v} :
     • v (x) = c 1 + c 2 x {\displaystyle v(x)=c_{1}+c_{2}x}
   • Тогда общее решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в том случае, если характеристическое уравнение имеет кратные корни, может быть записано в следующем виде. Для удобства можно запомнить, что для получения линейной независимости достаточно просто умножить второе слагаемое на x {\displaystyle x} . Этот набор решений является линейно независимым, и таким образом мы нашли все решения данного уравнения.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x {\displaystyle y(x)=(c_{1}+c_{2}x)e^{rx}}

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+p(x){\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+q(x)y=0.} Понижение порядка применимо в том случае, если известно решение y 1 (x) {\displaystyle y_{1}(x)} , которое может быть найдено или дано в условии задачи.

   • Мы ищем решение в виде y (x) = v (x) y 1 (x) {\displaystyle y(x)=v(x)y_{1}(x)} и подставляем его в данное уравнение:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 {\displaystyle v""y_{1}+2v"y_{1}"+p(x)v"y_{1}+v(y_{1}""+p(x)y_{1}"+q(x))=0}
   • Поскольку y 1 {\displaystyle y_{1}} является решением дифференциального уравнения, все члены с v {\displaystyle v} сокращаются. В итоге остается линейное уравнение первого порядка . Чтобы яснее увидеть это, произведем замену переменных w (x) = v ′ (x) {\displaystyle w(x)=v"(x)} :
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 {\displaystyle y_{1}w"+(2y_{1}"+p(x)y_{1})w=0}
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) {\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left({\frac {2y_{1}"(x)}{y_{1}(x)}}+p(x)\right){\mathrm {d} }x\right)}
     • v (x) = ∫ w (x) d x {\displaystyle v(x)=\int w(x){\mathrm {d} }x}
   • Если интегралы могут быть вычислены, мы получаем общее решение в виде комбинации элементарных функций. В противном случае решение можно оставить в интегральном виде.

3. Уравнение Коши-Эйлера. Уравнение Коши-Эйлера является примером дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, которое имеет точные решения. Это уравнение применяется на практике, например для решения уравнения Лапласа в сферических координатах.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+ax{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+by=0}
   

   Характеристическое уравнение. Как видно, в данном дифференциальном уравнении каждый член содержит степенной множитель, степень которого равна порядку соответствующей производной.

   • Таким образом, можно попробовать искать решение в виде y (x) = x n , {\displaystyle y(x)=x^{n},} где необходимо определить n {\displaystyle n} , подобно тому, как мы искали решение в виде экспоненциальной функции для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. После дифференцирования и подстановки получаем
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 {\displaystyle x^{n}(n^{2}+(a-1)n+b)=0}
   • Чтобы воспользоваться характеристическим уравнением, следует предположить, что x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} . Точка x = 0 {\displaystyle x=0} называется регулярной особой точкой дифференциального уравнения. Такие точки важны при решении дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Данное уравнение имеет два корня, которые могут быть различными и действительными, кратными или комплексно сопряженными.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 {\displaystyle n_{\pm }={\frac {1-a\pm {\sqrt {(a-1)^{2}-4b}}}{2}}}

   Два различных действительных корня. Если корни n ± {\displaystyle n_{\pm }} действительны и различны, тогда решение дифференциального уравнения имеет следующий вид:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − {\displaystyle y(x)=c_{1}x^{n_{+}}+c_{2}x^{n_{-}}}

   Два комплексных корня. Если характеристическое уравнение имеет корни n ± = α ± β i {\displaystyle n_{\pm }=\alpha \pm \beta i} , решением является комплексная функция.

   • Чтобы преобразовать решение в действительную функцию, произведем замену переменных x = e t , {\displaystyle x=e^{t},} то есть t = ln ⁡ x , {\displaystyle t=\ln x,} и используем формулу Эйлера. Подобные действия выполнялись ранее при определении произвольных постоянных.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) {\displaystyle y(t)=e^{\alpha t}(c_{1}e^{\beta it}+c_{2}e^{-\beta it})}
   • Тогда общее решение можно записать в виде
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) {\displaystyle y(x)=x^{\alpha }(c_{1}\cos(\beta \ln x)+c_{2}\sin(\beta \ln x))}

   Кратные корни. Чтобы получить второе линейно независимое решение, необходимо вновь провести понижение порядка.

   • Требуется довольно много вычислений, но принцип остается тем же: мы подставляем y = v (x) y 1 {\displaystyle y=v(x)y_{1}} в уравнение, первым решением которого является y 1 {\displaystyle y_{1}} . После сокращений получается следующее уравнение:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 {\displaystyle v""+{\frac {1}{x}}v"=0}
   • Это линейное уравнение первого порядка относительно v ′ (x) . {\displaystyle v"(x).} Его решением является v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . {\displaystyle v(x)=c_{1}+c_{2}\ln x.} Таким образом, решение можно записать в следующем виде. Это довольно просто запомнить - для получения второго линейно независимого решения просто требуется дополнительный член с ln ⁡ x {\displaystyle \ln x} .
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) {\displaystyle y(x)=x^{n}(c_{1}+c_{2}\ln x)}

4. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородные уравнения имеют вид L [ y (x) ] = f (x) , {\displaystyle L=f(x),} где f (x) {\displaystyle f(x)} - так называемый свободный член . Согласно теории дифференциальных уравнений, общее решение данного уравнения представляет собой суперпозицию частного решения y p (x) {\displaystyle y_{p}(x)} и дополнительного решения y c (x) . {\displaystyle y_{c}(x).} Однако в данном случае частное решение означает не решение, заданное начальными условиями, а скорее такое решение, которое обусловлено наличием неоднородности (свободным членом). Дополнительное решение - это решение соответствующего однородного уравнения, в котором f (x) = 0. {\displaystyle f(x)=0.} Общее решение представляет собой суперпозицию этих двух решений, поскольку L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) {\displaystyle L=L+L=f(x)} , а так как L [ y c ] = 0 , {\displaystyle L=0,} такая суперпозиция действительно является общим решением.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+a{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+by=f(x)}
   

   Метод неопределенных коэффициентов. Метод неопределенных коэффициентов применяется в тех случаях, когда свободный член представляет собой комбинацию экспоненциальных, тригонометрических, гиперболических или степенных функций. Лишь эти функции гарантированно имеют конечное число линейно независимых производных. В данном разделе мы найдем частное решение уравнения.

   • Сравним члены в f (x) {\displaystyle f(x)} с членами в не обращая внимание на постоянные множители. Возможны три случая.
     • Нет одинаковых членов. В этом случае частное решение y p {\displaystyle y_{p}} будет представлять собой линейную комбинацию членов из y p {\displaystyle y_{p}}
     • f (x) {\displaystyle f(x)} содержит член x n {\displaystyle x^{n}} и члена из y c , {\displaystyle y_{c},} где n {\displaystyle n} является нулем или положительным целым числом, причем этот член соответствует отдельному корню характеристического уравнения. В этом случае y p {\displaystyle y_{p}} будет состоять из комбинации функции x n + 1 h (x) , {\displaystyle x^{n+1}h(x),} ее линейно независимых производных, а также других членов f (x) {\displaystyle f(x)} и их линейно независимых производных.
     • f (x) {\displaystyle f(x)} содержит член h (x) , {\displaystyle h(x),} который представляет собой произведение x n {\displaystyle x^{n}} и члена из y c , {\displaystyle y_{c},} где n {\displaystyle n} равно 0 или положительному целому числу, причем этот член соответствует кратному корню характеристического уравнения. В этом случае y p {\displaystyle y_{p}} представляет собой линейную комбинацию функции x n + s h (x) {\displaystyle x^{n+s}h(x)} (где s {\displaystyle s} - кратность корня) и ее линейно независимых производных, а также других членов функции f (x) {\displaystyle f(x)} и ее линейно независимых производных.
   • Запишем y p {\displaystyle y_{p}} в виде линейной комбинации перечисленных выше членов. Благодаря этим коэффициентам в линейной комбинации данный метод получил название "метода неопределенных коэффициентов". При появлении содержащихся в y c {\displaystyle y_{c}} членов их можно отбросить ввиду наличия произвольных постоянных в y c . {\displaystyle y_{c}.} После этого подставляем y p {\displaystyle y_{p}} в уравнение и приравниваем схожие члены.
   • Определяем коэффициенты. На данном этапе получается система алгебраических уравнений, которую обычно можно решить без особых проблем. Решение этой системы позволяет получить y p {\displaystyle y_{p}} и тем самым решить уравнение.
   • Пример 2.3. Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение, свободный член которого содержит конечное число линейно независимых производных. Частное решение такого уравнения можно найти методом неопределенных коэффициентов.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+6y=2e^{3t}-\cos 5t}
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t {\displaystyle y_{c}(t)=c_{1}\cos {\sqrt {6}}t+c_{2}\sin {\sqrt {6}}t}
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t {\displaystyle y_{p}(t)=Ae^{3t}+B\cos 5t+C\sin 5t}
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t {\displaystyle {\begin{aligned}9Ae^{3t}-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^{3t}\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^{3t}-\cos 5t\end{aligned}}}
     • { 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 {\displaystyle {\begin{cases}9A+6A=2,&A={\dfrac {2}{15}}\\-25B+6B=-1,&B={\dfrac {1}{19}}\\-25C+6C=0,&C=0\end{cases}}}
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t {\displaystyle y(t)=c_{1}\cos {\sqrt {6}}t+c_{2}\sin {\sqrt {6}}t+{\frac {2}{15}}e^{3t}+{\frac {1}{19}}\cos 5t}

   Метод Лагранжа. Метод Лагранжа, или метод вариации произвольных постоянных, представляет собой более общий метод решения неоднородных дифференциальных уравнений, особенно в тех случаях, когда свободный член не содержит конечное число линейно независимых производных. Например, при свободных членах tan ⁡ x {\displaystyle \tan x} или x − n {\displaystyle x^{-n}} для нахождения частного решения необходимо использовать метод Лагранжа. Метод Лагранжа можно даже использовать для решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, хотя в этом случае, за исключением уравнения Коши-Эйлера, он применяется реже, поскольку дополнительное решение обычно не выражается через элементарные функции.

   • Предположим, что решение имеет следующий вид. Его производная приведена во второй строке.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) {\displaystyle y(x)=v_{1}(x)y_{1}(x)+v_{2}(x)y_{2}(x)}
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ {\displaystyle y"=v_{1}"y_{1}+v_{1}y_{1}"+v_{2}"y_{2}+v_{2}y_{2}"}
   • Поскольку предполагаемое решение содержит две неизвестных величины, необходимо наложить дополнительное условие. Выберем это дополнительное условие в следующем виде:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 {\displaystyle v_{1}"y_{1}+v_{2}"y_{2}=0}
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ {\displaystyle y"=v_{1}y_{1}"+v_{2}y_{2}"}
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ {\displaystyle y""=v_{1}"y_{1}"+v_{1}y_{1}""+v_{2}"y_{2}"+v_{2}y_{2}""}
   • Теперь мы можем получить второе уравнение. После подстановки и перераспределения членов можно сгруппировать вместе члены с v 1 {\displaystyle v_{1}} и члены с v 2 {\displaystyle v_{2}} . Эти члены сокращаются, поскольку y 1 {\displaystyle y_{1}} и y 2 {\displaystyle y_{2}} являются решениями соответствующего однородного уравнения. В результате получаем следующую систему уравнений
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) {\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}"y_{1}+v_{2}"y_{2}&=0\\v_{1}"y_{1}"+v_{2}"y_{2}"&=f(x)\\\end{aligned}}}
   • Эту систему можно преобразовать в матричное уравнение вида A x = b , {\displaystyle A{\mathbf {x} }={\mathbf {b} },} решением которого является x = A − 1 b . {\displaystyle {\mathbf {x} }=A^{-1}{\mathbf {b} }.} Для матрицы 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} обратная матрица находится путем деления на определитель, перестановки диагональных элементов и изменением знака недиагональных элементов. Фактически, определитель данной матрицы является вронскианом.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) {\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}"\\v_{2}"\end{pmatrix}}={\frac {1}{W}}{\begin{pmatrix}y_{2}"&-y_{2}\\-y_{1}"&y_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\f(x)\end{pmatrix}}}
   • Выражения для v 1 {\displaystyle v_{1}} и v 2 {\displaystyle v_{2}} приведены ниже. Как и в методе понижения порядка, в данном случае при интегрировании появляется произвольная постоянная, которая включает дополнительное решение в общее решение дифференциального уравнения.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x {\displaystyle v_{1}(x)=-\int {\frac {1}{W}}f(x)y_{2}(x){\mathrm {d} }x}
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x {\displaystyle v_{2}(x)=\int {\frac {1}{W}}f(x)y_{1}(x){\mathrm {d} }x}
   
   Лекция национального открытого университета Интуит под названием "Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами".

Практическое применение

Дифференциальные уравнения устанавливают связь между функцией и одной или несколькими ее производными. Поскольку подобные связи чрезвычайно распространены, дифференциальные уравнения нашли широкое применение в самых разных сферах, а так как мы живем в четырех измерениях, эти уравнения часто представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных. В данном разделе рассмотрены некоторые из наиболее важных уравнений этого типа.

• Экспоненциальный рост и распад. Радиоактивный распад. Составные проценты. Скорость химических реакций. Концентрация лекарств в крови. Неограниченный рост популяции. Закон Ньютона-Рихмана. В реальном мире существует множество систем, в которых скорость роста или распада в любой момент времени пропорциональна количеству в данный момент времени или может быть хорошо аппроксимирована моделью. Это объясняется тем, что решение данного дифференциального уравнения, экспоненциальная функция, является одной из наиболее важных функций в математике и других науках. В более общем случае при контролируемом росте популяции система может включать дополнительные члены, которые ограничивают рост. В приведенном ниже уравнении постоянная k {\displaystyle k} может быть как больше, так и меньше нуля.
  • d y d x = k x {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=kx}
• Гармонические колебания. И в классической, и в квантовой механике гармонический осциллятор является одной из наиболее важных физических систем благодаря своей простоте и широкому применению для аппроксимации более сложных систем, таких как простой маятник. В классической механике гармонические колебания описываются уравнением, которое связывает положение материальной точки с ее ускорением посредством закона Гука. При этом можно учитывать также демпфирующие и движущие силы. В приведенном ниже выражении x ˙ {\displaystyle {\dot {x}}} - производная по времени от x , {\displaystyle x,} β {\displaystyle \beta } - параметр, который описывает демпфирующую силу, ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} - угловая частота системы, F (t) {\displaystyle F(t)} - зависящая от времени движущая сила. Гармонический осциллятор присутствует также в электромагнитных колебательных контурах, где его можно реализовать с большей точностью, чем в механических системах.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) {\displaystyle {\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=F(t)}
• Уравнение Бесселя. Дифференциальное уравнение Бесселя используется во многих областях физики, в том числе для решения волнового уравнения, уравнения Лапласа и уравнения Шредингера, особенно при наличии цилиндрической или сферической симметрии. Это дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами не является уравнением Коши-Эйлера, поэтому его решения не могут быть записаны в виде элементарных функций. Решениями уравнения Бесселя являются функции Бесселя, которые хорошо изучены благодаря тому, что применяются во многих областях. В выражении ниже α {\displaystyle \alpha } - константа, которая соответствует порядку функции Бесселя.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+x{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0}
• Уравнения Максвелла. Наряду с силой Лоренца уравнения Максвелла составляют основу классической электродинамики. Это четыре дифференциальных уравнения в частных производных для электрического E (r , t) {\displaystyle {\mathbf {E} }({\mathbf {r} },t)} и магнитного B (r , t) {\displaystyle {\mathbf {B} }({\mathbf {r} },t)} поля. В приведенных ниже выражениях ρ = ρ (r , t) {\displaystyle \rho =\rho ({\mathbf {r} },t)} - плотность заряда, J = J (r , t) {\displaystyle {\mathbf {J} }={\mathbf {J} }({\mathbf {r} },t)} - плотность тока, а ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} и μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} - соответственно электрическая и магнитная постоянные.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\mathbf {E} }&={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\\nabla \cdot {\mathbf {B} }&=0\\\nabla \times {\mathbf {E} }&=-{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}\\\nabla \times {\mathbf {B} }&=\mu _{0}{\mathbf {J} }+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial t}}\end{aligned}}}
• Уравнение Шредингера. В квантовой механике уравнение Шредингера является основным уравнением движения, которое описывает перемещение частиц в соответствии с изменением волновой функции Ψ = Ψ (r , t) {\displaystyle \Psi =\Psi ({\mathbf {r} },t)} со временем. Уравнение движения описывается поведением гамильтониана H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} - оператора , который описывает энергию системы. Одним из широко известных примеров уравнения Шредингера в физике является уравнение для одной нерелятивистской частицы, на которую действует потенциал V (r , t) {\displaystyle V({\mathbf {r} },t)} . Многие системы описываются зависящим от времени уравнением Шредингера, при этом в левой части уравнения стоит E Ψ , {\displaystyle E\Psi ,} где E {\displaystyle E} - энергия частицы. В выражениях ниже ℏ {\displaystyle \hbar } - приведенная постоянная Планка.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi }
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\mathbf {r} },t)\right)\Psi }
• Волновое уравнение. Без волн нельзя представить физику и технику, они присутствуют во всех типах систем. В общем случае волны описываются приведенным ниже уравнением, в котором u = u (r , t) {\displaystyle u=u({\mathbf {r} },t)} является искомой функцией, а c {\displaystyle c} - экспериментально определяемая постоянная. Даламбер был первым, кто обнаружил, что для одномерного случая решением волнового уравнения является любая функция с аргументом x − c t {\displaystyle x-ct} , которая описывает волну произвольной формы, распространяющуюся вправо. Общее решение для одномерного случая представляет собой линейную комбинацию этой функции со второй функцией с аргументом x + c t {\displaystyle x+ct} , которая описывает волну, распространяющуюся влево. Это решение представлено во второй строке.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}u}
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) {\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)}
• Уравнения Навье-Стокса. Уравнения Навье-Стокса описывают движение жидкостей. Поскольку жидкости присутствуют практически в каждой области науки и техники, эти уравнения чрезвычайно важны для предсказания погоды, конструирования самолетов, изучения океанских течений и решения множества других прикладных задач. Уравнения Навье-Стокса являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, и в большинстве случаев решить их очень сложно, поскольку нелинейность приводит к турбулентности, и для получения устойчивого решения численными методами необходимо разбиение на очень мелкие ячейки, что требует значительных вычислительных мощностей. Для практических целей в гидродинамике для моделирования турбулентных потоков используют такие методы, как усреднение по времени. Сложными задачами являются даже более основные вопросы, такие как существование и единственность решений для нелинейных уравнений в частных производных, а доказательство существования и единственности решения для уравнений Навье-Стокса в трех измерениях входит в число математических задач тысячелетия. Ниже приведены уравнение потока несжимаемой жидкости и уравнение непрерывности.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathbf {u} }}{\partial t}}+({\mathbf {u} }\cdot \nabla){\mathbf {u} }-\nu \nabla ^{2}{\mathbf {u} }=-\nabla h,\quad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\mathbf {u} })=0}

• Многие дифференциальные уравнения просто невозможно решить приведенными выше методами, особенно упомянутые в последнем разделе. Это касается тех случаев, когда уравнение содержит переменные коэффициенты и не является уравнением Коши-Эйлера, или когда уравнение является нелинейным, за исключением нескольких очень редких случаев. Тем не менее, приведенные выше методы позволяют решить многие важные дифференциальные уравнения, которые часто встречаются в различных областях науки.
• В отличие от дифференцирования, которое позволяет найти производную любой функции, интеграл многих выражений нельзя выразить в элементарных функциях. Поэтому не тратьте время в попытках вычислить интеграл там, где это невозможно. Загляните в таблицу интегралов. Если решение дифференциального уравнения нельзя выразить через элементарные функции, иногда его можно представить в интегральной форме, и в данном случае неважно, можно ли вычислить данный интеграл аналитически.

Предупреждения

• Внешний вид дифференциального уравнения может оказаться обманчивым. Например, ниже приведены два дифференциальных уравнения первого порядка. Первое уравнение легко решается с помощью описанных в данной статье методов. На первый взгляд незначительная замена y {\displaystyle y} на y 2 {\displaystyle y^{2}} во втором уравнении делает его нелинейным, и его становится очень сложно решить.
  • d y d x = x 2 + y {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=x^{2}+y}
  • d y d x = x 2 + y 2 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=x^{2}+y^{2}}

опыты с вакуумом

В 1657 году изобрел водяной барометр, с помощью которого в 1660 году предсказал надвигающуюся бурю за 2 часа до ее появления , таким образом, войдя в историю как один из первых метеорологов .

Воздушный насос

Герике, как известно, сначала не считал возможным выкачивать воздух непосредственно и хотел образовать пустое пространство в герметически закрытой бочке посредством удаления наполнявшей ее воды. С этой целью он ко дну бочки приделал насос, думая, что только при таком расположении прибора вода будет следовать за поршнем насоса вследствие своей тяжести. Отсюда видим, что вначале у Герике не было еще определенного понятия об атмосферном давлении и вообще об упругости воздуха. Когда эта первая попытка не удалась, так как в образующуюся пустоту сквозь щели и поры бочки проникал с шипением наружный воздух, Герике попробовал поместить свою бочку в другую, тоже наполненную водою, предполагая этим способом предохранить пустоту от устремляющегося в нее воздуха снаружи. Но и на этот раз опыт оказался неудачным, ибо вода из наружной бочки под влиянием атмосферного давления протекала сквозь поры во внутреннюю и наполняла пустоту. Тогда, наконец, Герике решился приложить насос к непосредственному выкачиванию воздуха из медного шарообразного сосуда, все еще придерживаясь своего ложного предположения, что и воздух, подобно воде, может следовать за поршнем насоса только благодаря своей тяжести, поэтому и теперь насос был привинчен внизу сосуда и расположен вертикально. Результат выкачивания был совсем неожиданным и напугал всех присутствующих: медный шар не выдержал внешнего давления и с треском был скомкан и сплюснут. Это заставило Герике приготовлять для следующих опытов резервуары более прочные и более правильной формы. Неудобное расположение насоса вскоре принудило Герике устроить специальный для всего прибора треножник и приделать к поршню рычаг; таким образом был устроен первый воздушный насос, названный автором Antlia pneumatica . Конечно, прибор был еще очень далек от совершенства и требовал не менее трех человек для манипуляций с поршнем и кранами, погруженными в воду, для лучшей изоляции образующейся пустоты от наружного воздуха.

Изучение действия теплоты на воздух

Герике занимался также изучением действия теплоты на воздух, и хотя в устройство своего воздушного термометра он не внес никаких существенных усовершенствований сравнительно с известными тогда приборами (носившими в его время в Италии название caloris mensor ), тем не менее мы можем смело сказать, что он был первым по времени метеорологом. Не касаясь спорного и в сущности маловажного вопроса об изобретении термометра , которое чаще всего приписывается Галилею , но также и Дреббелю и врачу Санкториусу , отметим только, что первоначальная форма его была крайне несовершенна: во-первых, от того, что на показания прибора влияла не только температура, но и атмосферное давление, а во-вторых, вследствие отсутствия определенной единицы (градуса) для сравнения тепловых эффектов.

Термометр Герике. Иллюстрация из книги Otto von Guericke’s Experimenta Nova Magdeburgica.

Термометр (воздушный) того времени состоял из резервуара с трубкой, погруженной открытым концом в сосуд с водою; уровень приподнятой в трубке воды изменялся, очевидно, в зависимости от температуры воздуха в резервуаре и от внешнего атмосферного давления. Странно, что и Герике, которому это последнее влияние должно было быть хорошо известным, не обращал на него внимания, по крайней мере в его термометре это влияние не устранено. Сам прибор, предназначенный исключительно для наблюдений изменения температуры наружного воздуха и потому подобно барометру помещенный на наружной стене дома, состоял из Сифонной (металлической) трубки, наполненной приблизительно до половины спиртом; один конец трубки сообщался с большим шаром, содержащим воздух, другой был открыт и заключал поплавок, от которого шла нить через блок; на конце нити свободно качалась в воздухе деревянная фигурка, указывающая рукою на шкалу с 7-ю делениями. Все подробности прибора, кроме шара, на котором красовалась надпись Perpetuum mobile , фигурки и шкалы, были тоже закрыты досками. Крайние точки на шкале были отмечены словами: magnus frigus и magnus calor . Средняя черта имела особое значение, так сказать, климатическое: она должна была соответствовать той температуре воздуха, при которой в Магдебурге появляются первые осенние ночные морозы.

Отсюда можем заключить, что хотя первые попытки отметить 0° на шкале термометра принадлежал знаменитой в истории опытной физики Флорентийской академии (Del Cimento ) , но и Герике понимал, как важно и необходимо иметь на термометрической шкале хотя бы одну постоянную точку, и, как мы видим, пытался сделать в этом направлении новый шаг вперед, избрав для регулирования своего термометра произвольную черту, соответствующую первым осенним морозам.

Изучение электричества

Гравюра 1750 года, демонстрирующая устройство для получение статического электричества.

Переходим теперь к другой области физики, в которой имя Герике пользуется тоже вполне заслуженной известностью. Мы говорим об электричестве, которое в то время, призванное, так сказать, к жизни опытными исследованиями Гильберта , представляло в виде нескольких отрывочных фактов лишь ничтожный и никого не интересующий зародыш той грандиозной силы, которой суждено было завоевать внимание всего цивилизованного мира и опутать земной шар сетью своих проводников.

Отто фон Герике называют иногда только остроумным изобретателем физических приборов, стремящимся прославиться среди современников своими грандиозными опытами и мало заботящимся о прогрессе науки. Но Фердинанд Розенбергер (1845-1899) в своей «Истории физики» совершенно справедливо замечает, что такой упрек лишен всякого основания, ибо Герике вовсе не имел исключительной цели удивлять публику. Он всегда руководился чисто научными интересами и выводил из своих опытов не фантастические идеи, а настоящие научные заключения. Лучшим доказательством этому служат его экспериментальные исследования явлений статического электричества , которыми в это время - повторяем - еще мало кто интересовался .

Желая повторить и проверить опыты Гильберта , Герике изобрел прибор для получения электрического состояния, который если и не может быть назван электрической машиной в настоящем значении этого слова, потому что в нем недоставало конденсатора для собирания электричества, развиваемого трением , то все же послужил прототипом для всех поздних устраиваемых электрических открытий. Сюда прежде всего следует отнести открытие электрического отталкивания, которое было неизвестно Гильберту.

Для развития электрического состояния Герике приготовил довольно большой шар из серы, который при посредстве продетой насквозь оси приводился во вращение и натирался попросту сухой рукой. Наэлектризовав этот шар, Герике заметил, что притягиваемые шаром тела после прикосновения отталкиваются; затем он подметил еще, что свободно носящаяся в воздухе пушинка, притянутая и вслед затем оттолкнутая от шара, притягивается другими телами. Герике доказал также, что электрическое состояние передается по нитке (льняной); но при этом, не зная еще ничего об изоляторах, длину нитки он брал только в один локоть и мог придавать ей лишь вертикальное расположение. Он первый наблюдал на своем серном шаре электрическое свечение в темноте, но искры не получил ; он слышал также «в серном шаре» слабый треск, когда подносил его близко к уху, но не знал, чему это приписать.

Изучение магнетизма

В области магнетизма Герике сделано тоже несколько новых наблюдений. Он нашел, что железные вертикальные прутья в оконных решетках намагничиваются сами собою, представляя вверху северные, а внизу южные полюсы, и показал, что можно слегка намагнитить железную полосу, расположив ее в направлении меридиана и ударяя по ней молотком.

Изыски в области астрономии

Строение Вселенной по Отто фон Герике

Также занимался астрономией. Был сторонником гелиоцентрической системы . Разработал свою космологическую систему, отличавшуюся от системы Коперника предположением о наличии бесконечного пространства, в котором распределены неподвижные звёзды. Полагал, что космическое пространство является пустым, но между небесным телами действуют дальнодействующие силы, регулирующие их движение.

Закроем стеклянную банку с отшлифованным краем тонкой стеклянной пластинкой и начнем откачивать воздух из банки (рис. 276). Стеклянная пластинка плотно прижмется внешним давлением к банке и, если продолжать откачу, будет раздавлена разностью давлений снаружи и изнутри банки.

Рис. 276. Избыток наружного давления над внутренним продавливает стеклянную пластинку

Одним из первых экспериментов, произведенных для доказательства существования давления воздуха, был знаменитый опыт с «магдебургскими полушариями», выполненный немецким физиком Отто фон Герике в 1654 г. (в г. Магдебурге). Он откачал воздух из двух сложенных вместе медных полушарий, и давление наружного воздуха прижало полушария друг к другу настолько сильно, что их не могли разорвать две упряжки лошадей (рис. 277). Конечно, роль второй упряжки мог бы играть прочный столб, к которому было бы прикреплено одно из полушарий. На рис. 278 представлено видоизменение опыта Герике с подвешенным грузом.

Рис. 277. Гравюра из книги Герике «Новые магдебургские опыты». Разрывание полушарий лошадиными упряжками

Рис. 278. Гравюра из книги Герике «Новые магдебургские опыты». Разрывание полушарий подвешенным грузом

В медицине иногда употребляют пневматические банки, состоящие из стаканчика с резиновым баллоном (рис. 279). Сжав рукой баллон, вытесним из него воздух, и приложим стаканчик к коже. Если теперь отпустить баллон, то вследствие своей упругости он снова примет шарообразную форму, внутренний объем банки увеличится и давление оставшегося в банке воздуха уменьшится. Банка плотно прижмется к коже давлением наружного воздуха. Кожа под банкой сильно краснеет; на ней остается синяк. Кровь, имеющая в теле атмосферное давление, притекает к месту с меньшим давлением. В этом местном притоке крови и состоит назначение банки. При этом воздух, растворенный в крови, расширяясь при уменьшении давления, разрывает мелкие кровеносные сосуды, образуя кровоподтек. Если надавить кожу у края банки и дать доступ наружному воздуху, то давление изнутри и снаружи сравняется и банка сама отпадет.

Немецкий физик, инженер и философ Отто фон Герике родился в Магдебурге 20 ноября 1602 года. По окончании городского училища он продолжил обучение в университетах Лейпцига, Хельмштадта, Йены и Лейдена.

Будучи далеко не кабинетным ученым, Герике на протяжении всей жизни интересовался естественными науками. Для проверки постулата Аристотеля - природа не терпит пустот - он изобрел воздушный насос, с помощью которого в 1654 году осуществил свой знаменитый опыт с магдебургскими полушариями. Для выполнения опыта было изготовлено два медных полушария диаметром 14 дюймов (35,6 см), одно из которых было снабжено трубкой для откачивания воздуха. Эти полушария сложили вместе, а между ними поместили кожаное кольцо, пропитанное расплавленным воском. Затем с помощью насоса откачали воздух из полости, образовавшейся между полушариями. На каждом из полушарий имелись железные кольца, в которые были впряжены две упряжки лошадей. В 1654 году, в Регенсбурге, фон Герике продемонстрировал эксперимент Рейхстагу в присутствии императора Фердинанда III. После выкачивания из сферы воздуха, 16 лошадей, по 8 с каждой стороны, не смогли разорвать полушария, однако когда внутрь полушарий впустили воздух, они распались без усилия. Неизвестно, использовались ли лошади с обеих сторон для большей зрелищности или по незнанию самого физика, ведь можно было заменить половину лошадей неподвижным креплением, без потери силы воздействия на полушария. В 1656 Герике повторял эксперимент в Магдебурге, а 1663 в Берлине с 24 лошадьми. В соответствии с более поздними расчётами, для преодоления усилия необходимо было впрячь 13 сильных ломовых лошадей с каждой стороны.

Рисунок Гаспара Шотта «Магдебургские полушария».

Опыт с магдебургскими полушариями доказал наличие атмосферного давления и до сих пор излагается в курсах общей физики по всему миру. Оригинальные полушария и насос хранятся в Немецком музее в Мюнхене. Развивая эту тему, в 1660 году Герике построил первый водяной барометр и использовал его для метеорологических наблюдений, изобрел гигрометр, сконструировал воздушный термометр, манометр.

Круг интересов Герике, однако, не ограничился данным разделом физики. В 1660 году он создал одну из первых электростатических машин - шар из серы размером с мяч средней величины, насаженный на железную ось. Вращая шар и натирая его ладонями, Герике получал электричество. С помощью этого прибора он изучал электрические явления: обнаружил электростатическое отталкивание, электрическое свечение (наэлектризованный серный шар светился в темноте).

Многочисленные физические опыты еще при жизни принесли ученому признание и уважительное прозвище немецкого Галилея. Занимаясь астрономией, он высказал мнение о том, что кометы могут возвращаться. Герике установил также упругость и весомость воздуха, его способность поддерживать горение и дыхание, проводить звук. Доказал наличие в воздухе паров воды. В 1666 году первым среди ученых он был удостоен дворянского звания и стал именоваться Отто фон Герике. Умер учёный в Гамбурге 11 мая 1686 года.

Опыт с магдебургскими полушариями так впечатлил современников, что герцоги Брауншвейг-Вольфенбюттельские использовали его изображение на памятных талерах 1702 года в качестве аллегории. Правившие с 1685 года совместно, два брата-герцога поссорились. Антон Ульрих приревновал свою жену Елизавету Юлиану Гольштейн-Норбургскую к Рудольфу Августу, что привело к их разрыву. В марте 1702 года Антон Ульрих был отрешён от власти и бежал в Саксен-Гота. По этому поводу был выпущен так называемый «люфтпумпенталер», - талер с воздушным насосом. На его аверсе изображены две лошади, тщетно разрывающие магдебургские полушария. Сцепившиеся полусферы - символ неразрывного союза двух брауншвейгских правителей. На реверсе - без всяких усилий два полушария разваливаются, потому что женская рука открыла на них вентиль, и внутрь попал воздух. Дворцовую склоку гравёр иллюстрировал при помощи физических приборов. После смерти Рудольфа Августа в 1704 году, Антон Ульрих вернулся к правлению.

Брауншвейг-Вольфенбюттель. Рудольф Август и Антон Ульрих, 1685-1704. Люфтпумпенталер, 1702, Гослар. В честь братского единства. 29,36 г. Аверс: две лошади тщетно разрывают магдебургские полушария с аббревиатурой RAV, позади них символ целомудрия единорог и орел с молниями в лапах, надпись QVOD VI NON POTVIT (что не могли заставить). Реверс: на пьедестале два раскрытых полушария и женская рука, открывающая вентиль, выше лента с текстом DISIECTVM EST ARTE MINISTRA (рассеяно искусственно).

Брауншвейг-Вольфенбюттель. Рудольф Август и Антон Ульрих, 1685-1704. Люфтпумпенталер, 1702, Гослар. В честь братского единства. Аверс: две лошади тщетно разрывают магдебургские полушария с аббревиатурой RAV, позади них единорог и молнии, бьющие из облака, надпись NON VI (не насилием). Реверс: на пьедестале два раскрытых полушария и женская рука, открывающая вентиль, выше лента с текстом SED ARTE (но искусством).

К 375-летию рождения Отто фон Герике в ГДР была отчеканена памятная монета номиналом 10 марок.

ГДР. 10 марок, 1977. 375-летие рождения Отто фон Герике. Ag 500; 31 мм; 17 г. Тираж: 49 434 штук.

ГДР. 10 марок, 1977. 375-летие рождения Отто фон Герике. С надписью «Проба». Ag 500; 31 мм; 17 г. Тираж: 6 000 штук.

К 250-й годовщине смерти Отто фон Герике в Третьем Рейхе была отчеканена памятная медаль и выпущена почтовая марка.

Бронзовая медаль, 1936. 250-я годовщина смерти Отто фон Герике. 97 мм. Гравёр: Рудольф Босселт (1874-1938). Аверс: бюст Герике; реверс: герб Магдебурга и надпись «Ehrengabe der Stadt Magdeburg» (Почетный дар города Магдебурга).

Третий Рейх. Почтовая марка, 1936. 250-я годовщина смерти Отто фон Герике.

В ГДР и ФРГ также выпускались почтовые марки, посвященные Отто фон Герике и его изобретению.

ГДР. Почтовая марка, 1969. Опыт с магдебургскими полушариями.

ГДР. Почтовая марка, 1977. 375-летие рождения Отто фон Герике.

Германия. Почтовая марка, 2002. 400-летие рождения Отто фон Герике.

Отто фон Ге́рике (нем. Otto von Guericke) - немецкий физик, инженер, философ, дипломат и бургомистр Магдебурга. Стремясь доказать существование вакуума, Герике изобрёл воздушный насос (1650). В ряде опытов он доказал существование давления воздуха.

Герике установил также упругость и весомость воздуха, его способность поддерживать горение и дыхание, проводить звук. Доказал наличие в воздухе паров воды. В 1660 г. Герике построил первый в мире водяной барометр и использовал его для предсказания погоды. Занимаясь астрономией, он высказал мнение о том, что кометы могут возвращаться.

В 1663 г. Герике создал одну из первых электрических машин – вращающийся шар из серы, натираемый руками, и обнаружил явление электростатического отталкивания однополярно заряженных предметов.. В 1672 г. он обнаружил, что заряженный шар потрескивает и светится в темноте (электролюминесценция).

Таким образом Отто фон Герике стал одним из родоначальников науки об электричестве. Это был неординарный человек с широчайшим кругозором, добившийся успеха во многих областях человеческой жизнедеятельности.

Отто фон Герике родился в Магдебурге в 1602 году. По окончании городского училища он продолжил обучение в университетах Лейпцига, Хельмштадта, Йены и Лейдена. Особенно его интересовали физика, прикладная математика, механика и фортификация.

Юность Герике пришлась на начало жестокой Тридцатилетней войны , в которой помимо немцев, на разных этапах приняли участие чехи, австрийцы, датчане, шведы и французы.

Как стратегически важный центр восточной Германии, Магдебург неоднократно переходил из рук в руки, а в 1631 году был полностью разрушен. Когда шведы заняли Магдебург, Герике возвратился в город и принял деятельное участие в восстановлении разрушенных зданий и укреплений, руководил строительством моста через Эльбу.

В 1635 г. город снова был захвачен объединенными австро-саксонскими войсками, содержание которых легло тяжким бременем на горожан. Началась дипломатическая деятельность Герике, который после многих хлопот и поездок к курфюрсту саксонскому добился замены чужеземного гарнизона местным.

Город в знак признательности избрал в 1646 г. Отто Герике одним из своих четырех бургомистров. В городском совете он успешно исполнял дипломатические поручения до 1659 года.

В качестве эммисара он вел успешные переговоры с воюющими сторонами в Оснабрюкке, Нюрнберге, Вене, Праге, Регенсбурге.

Успешная дипломатическая деятельность бургомистра Отто Герике способствовала получению Магдебургом ряда привилегий, в частности статуса ганзейского города .

Герике представлял Магдебург на мирной конференции и в дальнейшем в имперском рейхстаге в Регенсбурге. Но мировую славу ему принесли опыты с магдебургскими полушариями.

Отто Герике был женат, имел троих сыновей, но двое из них умерли. Любой досуг буршомистр посвящал своим физическим опытам.

Результаты опытов он обобщил в сочинении "Новые (так называемые) "магдебургские опыты с пустым пространством". В нем он описал и другие свои опыты, в том числе с "мировыми силами", к числу которых относил электрические явления.

B 1666 году Герике был удостоен дворянского звания и стал Отто фон Герике. Курфюрст Бранденбургский назначил его своим советником.

Герике по призванию не был кабинетным ученым, но на протяжении всей жизни интересовался естественными науками. Особенно его интриговал постулат Аристотеля о том, что природа не терпит пустоты. Для проверки этого утверждения он изобрел воздушный насос, с помощью которого в 1654 г.осуществил свой знаменитый опыт с магдебургскими полушариями.

Для выполнения опыта было изготовлено два медных полушария диаметром около 35,5 см, одно из которых было снабжено трубкой для откачивания воздуха. Эти полушария сложили вместе, а между ними поместили кожаное кольцо, пропитанное расплавленным воском.

Неудобное расположение насоса заставило Герике устроить специальный треножник для всего прибора и присоединить к поршню рычаг. Таким образом был создан первый в мире воздушный насос, названный автором Антила Пневматика (лат.Antlia pneumatica).

Затем с помощью насоса откачали воздух из полости, образовавшейся между полушариями. На каждом из полушарий имелись железные кольца, в которые были впряжены две упряжки по восемь лошадей.

Лошади, погоняемые кучерами изо всех сил старались хотя бы сдвинуться с места. Но все попытки разъединить полушария не увенчались успехом, однако когда внутрь полушарий впустили воздух, они распались без усилия.

Опыт с магдебургскими полушариями доказал наличие атмосферного давления и до сих пор излагается в курсах общей физики по всему миру.

В 1654 г. в Регенсбурге Герике продемонстрировал эксперимент рейхстагу в присутствии императора Фердинанда III.

Какая же сила сжимала полушария, противодействуя силе шестнадцати лошадей? Этой силой было действие атмосферного воздуха. Чем больше воздуха выкачивали из полости между полушариями, тем сильнее они сжимались снаружи атмосферным давлением.

Тогда же Отто фон Герике придумал Опыт с плотно завязанным бычьим пузырем, который разбухает и разрывается под колоколом пневматической машины

В 1657 г. Герике изобрел свой грандиозный водяной барометр, устройство которого было тесно связано с его прежними пневматическими опытами.

Барометр состоял из длинной медной трубки, прикрепленной к наружной стенке трехэтажного дома Герике. Нижний конец трубки был погружен в сосуд с водою, а верхний, дополненный стеклянной трубкой, был снабжен краном и мог быть соединён с воздушным насосом.

Вскоре при помощи этого прибора Герике определил, что атмосферное давление постоянно изменяется, поэтому он и назвал свой барометр Семпер вивум (лат.Semper vivum). Потом он заметил соотношение между высотой воды в трубке и состоянием погоды. И изобрел прибор для предсказания погоды.

В приборе для большего эффекта при демонтрации опыта на поверхности воды в стеклянной трубке был установлен поплавок, имевший вид человеческой фигурки с протянутой рукой, которая указывала на таблицу с надписями, соответствующими различным состояниям погоды. Вся остальная часть прибора была замаскирована деревянной обшивкой.

Для изучения электрического состояния и отталкивания Герике приготовил большой шар из серы, который при через продетую через отверстие ось, мог вращаться и его мжно было натереть сухой рукой. Наэлектризовав этот шар, Герике заметил, что тела притягиваются шаром, а после прикосновения отталкиваются.

Общительный бургомистр с удовольствием демонстрировал своим гостям забавный фокус с небольшой сферой, при равномерном вращении создающей вокруг себя световые перья, которые а конечном счете оказывались на носу гостя. Когда сферу раскручивали, то от трения она начинала светиться, испускать искры.

Отто фон Герике про вел множество опытов в вакууме. Ему принадлежат широко известные демонстрации под колоколом воздушного насоса. Прежде всего это замирание звука звонка - опыт, впервые показавший, что звук распространяется только в веществе. В то же время Герике показал, что свет распространяется в вакууме так же, как в воздухе.

Отто фон Герике начал тяготиться обязанностями бургомистра и постепенно стал отходил от политической деятельности, но добился отставки только в 1678 г. На основе пережитого он описал историю осады и разрушения Магдебурга. В 1681 г., когда в Магдебурге разразилась эпидемия чумы, Отто фон Герике переехал в Гамбург к своему единственному сыну, где и умер в 1686 году.

Гений Отто Герике был признан еще при жизни ученого, и подтверждением этому стало присвоение ему дворянского звания, первому из мирового сообщества физиков того времени.

Университет в Магдебурге носит имя Отто фон Герике - своего известного гражданина и бургомистра, замечательного изобретателя, знаменитого ученого, тонкого дипломата и прекрасного человека. Да будет благославенна память о нем!