Dijaki vedno sprašujejo: »Zakaj ne morem uporabiti kalkulatorja pri izpitu iz matematike? Kako izluščiti kvadratni koren števila brez kalkulatorja? Poskusimo odgovoriti na to vprašanje.
Kako izluščiti kvadratni koren števila brez pomoči kalkulatorja?
Akcija kvadratni koren inverzno dejanju kvadriranja.
√81= 9 9 2 =81
Če vzamete kvadratni koren pozitivnega števila in rezultat kvadrirate, dobite isto število.
Majhnih števil, ki so popolni kvadrati naravna števila, na primer 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 kvadratnih korenov lahko izvlečete ustno. Ponavadi v šoli učijo tabelo kvadratov naravnih števil do dvajset. Če poznate to tabelo, je enostavno izvleči kvadratne korene iz števil 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Iz števil, večjih od 400, jih lahko izvlečete z metodo izbire z nekaj nasveti. Poskusimo pogledati to metodo s primerom.
primer: Izluščite koren števila 676.
Opazimo, da je 20 2 = 400 in 30 2 = 900, kar pomeni 20< √676 < 900.
Natančni kvadrati naravnih števil se končajo z 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Število 6 je podano s 4 2 in 6 2.
To pomeni, da če je koren vzet iz 676, potem je 24 ali 26.
Ostaja še preveriti: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
odgovor: √676 = 26 .
več primer: √6889 .
Ker je 80 2 = 6400 in 90 2 = 8100, potem je 80< √6889 < 90.
Število 9 je podano s 3 2 in 7 2, potem je √6889 enako 83 ali 87.
Preverimo: 83 2 = 6889.
odgovor: √6889 = 83 .
Če vam je težko rešiti z izbirno metodo, lahko faktorizirate radikalni izraz.
na primer najdi √893025.
Razložimo število 893025, spomnite se, to ste delali v šestem razredu.
Dobimo: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
več primer: √20736. Razložimo število 20736 na faktorje:
Dobimo √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Seveda faktorizacija zahteva poznavanje znakov deljivosti in veščine faktorizacije.
In končno obstaja pravilo za pridobivanje kvadratnih korenov. Spoznajmo to pravilo s primeri.
Izračunajte √279841.
Če želimo izluščiti koren večmestnega celega števila, ga razdelimo od desne proti levi na ploskve, ki vsebujejo 2 števki (skrajni levi rob lahko vsebuje eno števko). Zapišemo ga takole: 27’98’41
Da dobimo prvo številko korena (5), vzamemo kvadratni koren največjega popolnega kvadrata, ki ga vsebuje prva ploskev na levi (27).
Nato se kvadrat prve števke korena (25) odšteje od prve ploskve, naslednja ploskev (98) pa se doda razliki (odšteje).
Levo od dobljenega števila 298 zapišite dvomestno korenino (10), z njo delite število vseh deset prej dobljenega števila (29/2 ≈ 2), preizkusite količnik (102 ∙2 = 204 ne sme biti več kot 298) in napišite (2) za prvo števko korena.
Nato se dobljeni količnik 204 odšteje od 298 in naslednji rob (41) se doda razliki (94).
Levo od dobljenega števila 9441 zapišite dvojni zmnožek števk korena (52 ∙2 = 104), število vseh desetic števila 9441 (944/104 ≈ 9) delite s tem zmnožkom, preizkusite količnik (1049 ∙9 = 9441) naj bo 9441 in ga zapišite (9) za drugo števko korena.
Prejeli smo odgovor √279841 = 529.
Ekstrahirajte podobno koreni decimalnih ulomkov. Samo radikalno število na robovih ga je treba prelomiti, tako da je vejica med robovi.
Primer. Poiščite vrednost √0,00956484.
Samo spomniti se morate, da če decimalno ima liho število decimalnih mest, kvadratnega korena ni mogoče natančno izluščiti.
Zdaj ste videli tri načine za pridobivanje korenine. Izberite tisto, ki vam najbolj ustreza in vadite. Če se želite naučiti reševati probleme, jih morate rešiti. In če imate kakršna koli vprašanja, se prijavite na moje lekcije.
spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.
kvadrat kvadratna parcela zemljišče je 81 dm². Najdi njegovo stran. Recimo, da je stranska dolžina kvadrata X decimetrov. Potem je površina parcele X² kvadratnih decimetrov. Ker je po pogoju ta površina enaka 81 dm², potem X² = 81. Dolžina stranice kvadrata je pozitivno število. Pozitivno število, katerega kvadrat je 81, je število 9. Pri reševanju naloge je bilo treba najti število x, katerega kvadrat je 81, torej rešiti enačbo X² = 81. Ta enačba ima dva korena: x 1 = 9 in x 2 = - 9, ker je 9² = 81 in (- 9)² = 81. Obe števili 9 in - 9 se imenujeta kvadratni koren iz 81.
Upoštevajte, da je eden od kvadratni koren X= 9 je pozitivno število. Imenuje se aritmetični kvadratni koren iz 81 in je označen z √81, torej √81 = 9.
Aritmetični kvadratni koren števila A je nenegativno število, katerega kvadrat je enak A.
Na primer, števili 6 in - 6 sta kvadratni koren iz števila 36. Vendar pa je število 6 aritmetični kvadratni koren iz 36, saj je 6 nenegativno število in 6² = 36. Število - 6 ni aritmetični koren.
Aritmetični kvadratni koren števila A označeno kot sledi: √ A.
Znak se imenuje znak aritmetičnega kvadratnega korena; A- imenovan radikalni izraz. Izraz √ A prebrati takole: aritmetični kvadratni koren števila A. Na primer, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. V primerih, ko je jasno, da govorimo o o aritmetičnem korenu na kratko rečejo: »kvadratni koren iz A«.
Dejanje iskanja kvadratnega korena števila se imenuje kvadratno korenenje. To dejanje je obratno od kvadriranja.
Poljubno število lahko kvadrirate, vendar ne morete izluščiti kvadratnih korenov iz nobenega števila. Na primer, nemogoče je izvleči kvadratni koren števila - 4. Če je tak koren obstajal, potem ga označite s črko X, bi dobili napačno enakost x² = - 4, saj je na levi nenegativno število, na desni pa negativno število.
Izraz √ A smiselno le takrat, ko a ≥ 0. Definicijo kvadratnega korena lahko na kratko zapišemo kot: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Enakost (√ A)² = A velja za a ≥ 0. Tako zagotovimo, da je kvadratni koren nenegativnega števila A enako b, tj. v tem, da je √ A =b, morate preveriti, ali sta izpolnjena naslednja dva pogoja: b ≥ 0, b² = A.
Kvadratni koren ulomka
Izračunajmo. Upoštevajte, da je √25 = 5, √36 = 6, in preverimo, ali enakost drži.
Ker 
in , potem enakost velja. Torej, 
.
Izrek:če A≥ 0 in b> 0, to je koren ulomka enak korenu od števca deljeno s korenom imenovalca. Dokazati je treba, da: in 
.
Od √ A≥0 in √ b> 0, potem .
O lastnosti dviga ulomka na potenco in definiciji kvadratnega korena 
izrek je dokazan. Poglejmo si nekaj primerov.
Izračunajte z uporabo dokazanega izreka 
.
Drugi primer: Dokaži to 
, Če A ≤ 0, b < 0. 
.
Drug primer: Izračunaj.
.
Pretvorba kvadratnega korena
Odstranitev množitelja izpod znaka korena. Naj bo izraz podan. če A≥ 0 in b≥ 0, potem lahko z uporabo izreka o korenu produkta zapišemo:
Ta transformacija se imenuje odstranitev faktorja iz predznaka korena. Poglejmo primer;
Izračunajte pri X= 2. Neposredna zamenjava X= 2 v radikalnem izrazu vodi do zapleteni izračuni. Te izračune lahko poenostavite, če najprej odstranite faktorje izpod znaka korena: . Če zdaj zamenjamo x = 2, dobimo:.
Torej, ko odstranite faktor izpod znaka korena, predstavite radikalni izraz v obliki produkta, v katerem je eden ali več faktorjev kvadratov nenegativna števila. Nato uporabite izrek o korenu produkta in vzemite koren vsakega faktorja. Oglejmo si primer: Poenostavimo izraz A = √8 + √18 - 4√2 tako, da faktorje v prvih dveh členih vzamemo izpod znaka korena, dobimo:. To enakost poudarjamo 
velja samo takrat, ko A≥ 0 in b≥ 0. če A < 0, то .
Dvig števila na potenco je skrajšana oblika zapisa operacije večkratnega množenja, pri kateri so vsi faktorji enaki prvotnemu številu. In pridobivanje korenine pomeni obratno delovanje- določitev množitelja, ki mora biti vključen v operacijo večkratnega množenja, tako da je rezultat radikalno število. Tako eksponent kot korenski eksponent kažeta isto stvar - koliko faktorjev mora biti v taki operaciji množenja.
Potrebovali boste
- dostop do interneta.
Navodila
- Če morate na število ali izraz uporabiti tako operacijo pridobivanja korena kot potenco, zmanjšajte obe operaciji v eno – povišanje na potenco z ulomkom. Števec ulomka mora vsebovati eksponent, imenovalec pa koren. Na primer, če morate kvadrirati kubik korenina, potem bosta ti dve operaciji enakovredni dvigu števila na ⅔ potenco.
- Če pogoji zahtevajo kvadraturo korenina s eksponentom, ki je enak dve, to ni računska naloga, ampak preizkus vašega znanja. Uporabite metodo iz prvega koraka in dobili boste ulomek 2/2, tj. 1. To pomeni, da bo rezultat kvadriranja kvadratnega korena poljubnega števila to število samo.
- Po potrebi kvadrat korenina pri sodem eksponentu vedno obstaja možnost poenostavitve operacije. Od dveh (števec) frakcijski indikator stopnja) in vsako sodo število (imenovalec) je skupni delilnik, potem bo po poenostavitvi ulomka v števcu ostal ena, kar pomeni, da pri izračunih ni treba dvigovati na potenco, dovolj je izluščiti korenina s polovico eksponenta. Na primer, kvadriranje šestega korena iz osem se lahko zmanjša na ekstrahiranje kockasti koren, ker 2/6=1/3.
- Če želite izračunati rezultat za kateri koli eksponent korena, uporabite na primer vgrajeni kalkulator iskalnik Google. To je morda največ enostaven način izračune, če imate dostop do interneta iz računalnika. Splošno sprejet nadomestek za znak operacije potenciranja je ta »pokrov«: ^. Uporabite ga pri vnosu iskalne poizvedbe v Google. Na primer, če želite kvadrat korenina peta potenca števila 750, formulirajte poizvedbo na naslednji način: 750^(2/5). Po vnosu bo iskalnik tudi brez pritiska na gumb za pošiljanje na strežnik prikazal rezultat izračuna na sedem decimalnih mest natančno: 750^(2 / 5) = 14,1261725.
Korenske formule. Lastnosti kvadratnih korenov.
Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")
V prejšnji lekciji smo ugotovili, kaj je kvadratni koren. Čas je, da ugotovimo, kateri obstajajo formule za korenine kaj so lastnosti korenin, in kaj se da narediti z vsem tem.
Formule korenin, lastnosti korenin in pravila za delo s koreninami- to je v bistvu ista stvar. Obstaja presenetljivo malo formul za kvadratne korene. Kar me zagotovo veseli! Oziroma lahko napišete veliko različnih formul, a za praktično in samozavestno delo s koreninami so dovolj le tri. Vse ostalo izhaja iz teh treh. Čeprav se mnogi zmedejo v formulah treh korenin, ja...
Začnimo z najpreprostejšim. Tukaj je:
Če vam je všeč ta stran ...
Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)
Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.
