Žara vsebuje 10 belih, 5 rdečih in 5 zelenih kroglic. Poiščite verjetnost, da bo naključno izžrebana kroglica obarvana (ne bela).
rešitev:
Število izidov, ki so ugodni za dogodek A, enaka vsoti rdečih in zelenih kroglic: t = 10. Skupno število enako možnih nezdružljivih izidov je enako skupno število kroglice v žari: n = 20. Potem:
Pri določanju verjetnosti dogodka morajo biti po njegovi klasični definiciji izpolnjeni nekateri pogoji. Ti pogoji so enakovrednost in nezdružljivost dogodkov, vključenih v polna skupina dogodkov, katerih verjetnost je treba določiti. V praksi ni vedno mogoče vsega določiti možne možnosti rezultatov, še bolj pa za utemeljitev njihove enake možnosti. Če torej ni mogoče izpolniti zahtev klasične definicije verjetnosti, uporabite statistična ocena verjetnost dogodka. To predstavlja koncept relativna frekvenca pojav dogodka A, enako razmerju , Kje T- število poskusov, v katerih se je dogodek zgodil A; P - skupno število poskusov.
J. Bernoulli je to dokazal z neomejenim povečanjem števila testov relativna frekvenca dogodkov A se bo poljubno malo razlikovala od verjetnosti dogodka A: .
Ta enakost velja, če ostanejo pogoji, pod katerimi se izvaja poskus, nespremenjeni.
Veljavnost Bernoullijevega izreka je bila dokazana tudi v številnih poskusih primerjave verjetnosti, izračunanih s klasičnimi in statistične metode. Tako je v Pearsonovih poskusih za določitev verjetnosti, da "grb" izpade pri izvedbi 12.000 metov, statistična verjetnost je bila enaka 0,5016, pri 24.000 metih pa 0,5005, kar kaže približevanje vrednosti verjetnosti 0,5, ko se število poskusov poveča. Določena je bližina vrednosti verjetnosti različne poti, kažejo na objektivnost možnosti, da se ta dogodek zgodi.
4. Izrek seštevanja verjetnosti
Če poznate verjetnosti nekaterih dogodkov, lahko izračunate verjetnosti drugih, če so povezani. Izrek o dodajanju verjetnosti vam omogoča, da določite verjetnost pojava enega od več naključnih dogodkov.
Izrek.Verjetnost vsote dveh nezdružljivi dogodki A in B je enak vsoti verjetnosti teh dogodkov:
P(A+B) = P(A) + P(B).(2)
Dokaz. Pustiti p- skupno število enako možnih nezdružljivih osnovni izidi; m 1 -število izidov, ki so ugodni za dogodek A; t 2 -število izidov, ki so ugodni za dogodek IN. Ker A in IN nezdružljivi dogodki, nato dogodek A+B bo ugodno m 1 + m 2 rezultati. Potem, po klasični definiciji verjetnosti:
Razširitev tega dokaza na p dogodkov, lahko dokažemo naslednji izrek.
Izrek.Verjetnost zneska končno število parno nekompatibilnih dogodkov A 1, A 2,..., A n je enak vsoti verjetnosti teh dogodkov, tj.
P(A 1 + A 2 +…+A p) = P(A 1) + P(A 2) +…+P(A p) (3)
Iz tega izreka je mogoče razbrati dve posledici:
Posledica 1.Če dogodki A 1, A 2,..., A n tvorijo popolno skupino, potem je vsota njihovih verjetnosti enaka ena, tj. = P(A 1) + P(A 2) +…+P(A p) = 1.(4)
Posledica 2.Vsota verjetnosti nasprotnih dogodkov je enaka ena, tj.
Dokaz. Nasprotni dogodki so nekompatibilni in tvorijo popolno skupino, vsota verjetnosti takih dogodkov pa je enaka 1.
Primer 3.
Poiščite verjetnost, da dobite 2 ali 3, ko vržete kocko.
rešitev:
Dogodek A - vrže se številka 2, verjetnost tega dogodka P(A)= . Dogodek IN- vrženo je število 3, verjetnost tega dogodka P(B) = . Dogodka sta torej nezdružljiva
Primer 4.
Prejeta je bila serija 40 oblačil. Od tega 20 kompletov moška oblačila, 6 - ženskih in 14 - otroških. Poiščite verjetnost, da naključno izbrana oblačila ne bodo ženska.
rešitev:
Dogodek A- moška oblačila, verjetnost 
Dogodek IN- Ženska oblačila, 
Verjetnost dogodek imenujemo razmerje števila elementarnih ugodnih izidov ta dogodek, na število vseh enako možnih izidov izkušnje, v kateri se ta dogodek lahko pojavi. Verjetnost dogodka A je označena s P(A) (tu je P prva črka francoska beseda probabilite – verjetnost). Po definiciji
(1.2.1)
kjer je število osnovnih izidov, ugodnih za dogodek A; - število vseh enako možnih elementarnih rezultatov eksperimenta, ki tvorijo popolno skupino dogodkov.
Ta definicija verjetnosti se imenuje klasična. Nastalo je na začetni fazi razvoj teorije verjetnosti.
Verjetnost dogodka ima naslednje lastnosti:
1. Verjetnost zanesljiv dogodek enako ena. Zanesljiv dogodek označimo s črko . Za določen dogodek torej
(1.2.2)
2. Verjetnost nemogočega dogodka je enaka nič. Nemogoč dogodek označimo s črko . Za nemogoč dogodek torej
(1.2.3)
3. Verjetnost naključni dogodek je izražena pozitivno število, manj kot ena. Ker so za naključni dogodek izpolnjene neenakosti , ali , torej
(1.2.4)
4. Verjetnost katerega koli dogodka zadošča neenakosti
(1.2.5)
To izhaja iz razmerij (1.2.2) - (1.2.4).
Primer 1.Žara vsebuje 10 kroglic enake velikosti in teže, od tega 4 rdeče in 6 modrih. Iz žare se izvleče ena krogla. Kolikšna je verjetnost, da bo izvlečena kroglica modra?
rešitev. Dogodek »izvlečena krogla se je izkazala za modro« označimo s črko A. Ta test ima 10 enako možnih elementarnih izidov, od katerih jih 6 daje prednost dogodku A. V skladu s formulo (1.2.1) dobimo 
Primer 2. Vsa naravna števila od 1 do 30 so zapisana na enake kartončke in postavljena v žaro. Po temeljitem mešanju kart se ena karta odstrani iz žare. Kakšna je verjetnost, da je številka na vzeti karti večkratnik 5?
rešitev. Označimo z A dogodek "število na vzeti karti je večkratnik števila 5." V tem testu je 30 enako možnih osnovnih izidov, od katerih je dogodku A naklonjeno 6 izidov (števila 5, 10, 15, 20, 25, 30). torej 
Primer 3. Dve kocki se vržeta in izračuna se skupno število točk. zgornji obrazi. Poiščite verjetnost dogodka B, tako da imajo zgornje strani kocke skupno 9 točk.
rešitev. V tem testu je le 6 2 = 36 enako možnih osnovnih izidov. Dogodku B dajejo prednost štirje izidi: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), torej 
Primer 4. Izbrano naključno naravno število, ki ne presega 10. Kakšna je verjetnost, da je to število praštevilo?
rešitev. Dogodek »izbrano število je pra« označimo s črko C. IN v tem primeru n = 10, m = 4 ( praštevila 2, 3, 5, 7). Zato zahtevana verjetnost 
Primer 5. Vržeta se dva simetrična kovanca. Kakšna je verjetnost, da so na obeh zgornjih straneh kovancev številke?
rešitev. Označimo s črko D dogodek »na zgornji strani vsakega kovanca je številka«. V tem testu so 4 enako možni osnovni izidi: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Oznaka (G, C) pomeni, da ima prvi kovanec grb, drugi številko). Dogodku D daje prednost en osnovni izid (C, C). Ker je m = 1, n = 4, potem 
Primer 6. Kolikšna je verjetnost, da ima naključno izbrano dvomestno število enaki števki?
rešitev. Dvomestna števila so števila od 10 do 99; Skupaj je 90 takih števil, ki imajo enake števke (to so števila 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Ker je v tem primeru m = 9, n = 90, potem 
,
kjer je A dogodek "število z enakimi števkami".
Primer 7. Iz črk slov diferencial Ena črka je izbrana naključno. Kolikšna je verjetnost, da bo ta črka: a) samoglasnik, b) soglasnik, c) črka h?
rešitev. Beseda razlika ima 12 črk, od tega je 5 samoglasnikov in 7 soglasnikov. Pisma h v tej besedi ni. Označimo dogodke: A - "samoglasnik", B - "soglasnik", C - "črka h". Število ugodnih elementarnih izidov: - za dogodek A, - za dogodek B, - za dogodek C. Ker je n = 12, potem
, In .
Primer 8. Dve kocki se vržeta in zabeleži se število točk na vrhu vsake kocke. Poiščite verjetnost, da obe kocki vržeta enako število točke.
rešitev. Označimo ta dogodek s črko A. Dogodku A daje prednost 6 osnovnih izidov: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Skupno število enako možnih elementarnih izidov, ki tvorijo popolno skupino dogodkov, v tem primeru n=6 2 =36. To pomeni, da zahtevana verjetnost 
Primer 9. Knjiga ima 300 strani. Kakšna je verjetnost, da bo imela naključno odprta stran serijska številka, večkratnik 5?
rešitev. Iz pogojev problema izhaja, da bo vseh enako možnih elementarnih izidov, ki tvorijo popolno skupino dogodkov, n = 300. Od teh je m = 60 v prid pojavu določenega dogodka. Dejansko ima število, ki je večkratnik 5, obliko 5k, kjer je k naravno število in , od koder 
. torej 
, kjer ima A – dogodek »stran« zaporedno številko, ki je večkratnik 5".
Primer 10. Dve kocki se vržeta in izračuna se vsota točk na zgornjih straneh. Kaj je bolj verjetno - dobiti skupno 7 ali 8?
rešitev. Označimo dogodke: A - "7 točk je vrženih", B - "8 točk je vrženih". Dogodku A daje prednost 6 osnovnih izidov: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) in dogodek B ima prednost s 5 izidi: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Vsi enako možni osnovni izidi so n = 6 2 = 36. Zato in .
Torej je P(A)>P(B), kar pomeni, da je skupno zbrati 7 točk bolj verjeten dogodek kot zbrati skupno 8 točk.
Naloge
1. Naključno izberemo naravno število, ki ne presega 30. Kolikšna je verjetnost, da je to število večkratnik 3?
2. V žari a rdeče in b modre kroglice, enake velikosti in teže. Kakšna je verjetnost, da bo krogla, naključno izvlečena iz te žare, modra?
3. Naključno izberemo število, ki ne presega 30? Kolikšna je verjetnost, da je to število delitelj 30?
4. V žari A modra in b rdeče kroglice, enake velikosti in teže. Ena krogla se vzame iz te žare in se postavi na stran. Ta žoga se je izkazala za rdečo. Po tem se iz žare izvleče še ena krogla. Poiščite verjetnost, da je tudi druga krogla rdeča.
5. Nacionalno število, ki ne presega 50, je izbrano naključno. Kakšna je verjetnost, da je to število praštevilo?
6. Tri kocke se vržejo in izračuna seštevek točk na zgornjih ploskvah. Kaj je bolj verjetno - dobiti skupno 9 ali 10 točk?
7. Vržejo se tri kocke in izračuna se vsota vrženih točk. Kaj je bolj verjetno - dobiti skupno 11 (dogodek A) ali 12 točk (dogodek B)?
odgovori
1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - verjetnost, da dobite skupno 9 točk; p 2 = 27/216 - verjetnost, da dobite skupno 10 točk; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Vprašanja
1. Kako se imenuje verjetnost dogodka?
2. Kakšna je verjetnost zanesljivega dogodka?
3. Kakšna je verjetnost nemogočega dogodka?
4. Kakšne so meje verjetnosti naključnega dogodka?
5. Kakšne so meje verjetnosti katerega koli dogodka?
6. Kakšna definicija verjetnosti se imenuje klasična?
Računanje verjetnosti kompleksnih dogodkov
Naj bo žara z desetimi kroglicami, od katerih je 6 belih in 4 črne. Potem so možni naslednji dogodki:
A – vzemi ven bela žoga iz žare
B – odstranite črno kroglo iz žare
Dogodek A je sestavljen iz dogodkov A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6. Dogodek B je sestavljen iz dogodkov B 1, B 2, B 3, B 4. Nato se odstotek belih kroglic v žari določi kot razmerje , odstotek črnih kroglic pa je .
definicija: Verjetnost dogodka A imenujemo. številka, enako razmerjuštevilo izidov m, ki so ugodni za pojav dogodka A na skupno število vseh osnovnih izidov n.
- formula klasičen način računanje verjetnosti
Verjetnost naključnega dogodka je število med nič in ena
definicija: Permutacije so kombinacije, sestavljene iz vsega p elementov dane množice in se razlikujejo le po vrstnem redu njihove razporeditve. Število vseh možnih permutacij
R p = p!
definicija: Umestitve – kombinacije T p različne elemente, ki se razlikujejo po sestavi elementov ali njihovem vrstnem redu. Število vseh možne postavitve
definicija: Kombinacije so neurejeni nizi T elementi niza, ki vsebuje p različne elemente (torej množice, ki se razlikujejo le po sestavi elementov). Število kombinacij
Primer 1. Kvalifikacijskih tekmovanj se udeleži 10 ljudi, od katerih se trije uvrstijo v finale. Koliko različnih treh finalistov je lahko?
rešitev. Za razliko od prejšnjega primera tukaj vrstni red finalistov ni pomemben, zato iščemo število kombinacij od 10 do 3:
Primer 2. V žari je 10 kroglic: 6 belih in 4 črne. Iz njega se vzameta dve žogi. Kolikšna je verjetnost, da: a) 2 bela; b) 2 črni; c) 1 bela, 1 črna
rešitev:
A) naj A – izžrebani 2 beli krogli. Poiščimo skupno število vseh elementarnih rezultatov n.
b) naj B – izžrebani sta 2 črni krogli
V) naj C – izžrebani sta 1 bela in 1 črna kroglica
-> Teorija verjetnosti. Naključni dogodek, njegova pogostost in verjetnost
Naključni dogodek, njegova pogostost in verjetnost
