D U višjih redov
Kot smo že povedali, lahko diferencialne enačbe vsebujejo odvode različnih vrst.
Take diferencialne enačbe imajo rešitve, ki vsebujejo toliko poljubnih integracijskih konstant → kakšen je vrstni red diferencialna enačba, tj. za diferencialno enačbo 2. reda bosta dve poljubni konstanti C1 in C2, za 3. red →C1, C2 in C3 itd.
Tako je splošna rešitev ( splošni integral) bo imela takšna diferencialna enačba funkcijo
.
Za pridobitev posamezne rešitve takšnih diferencialnih enačb je treba postaviti toliko začetnih pogojev, kolikor je vrstnega reda diferencialne enačbe oziroma koliko poljubnih konstant dobimo v splošni rešitvi.
D U noter polni diferenciali. Integracijski faktor
Diferencialna enačba oblike se imenuje diferencialna enačba v totalnih diferencialih, če je leva stran je popolna razlika nekaterih gladko delovanje, tj. če 
, 
. Potrebno in zadosten pogoj za obstoj takšne funkcije ima obliko: 
Če želite rešiti diferencialno enačbo v totalnih diferencialih, morate najti funkcijo. Potem lahko splošno rešitev diferencialne enačbe zapišemo v obliki za poljubno konstanto C.
Integracijski faktor za diferencialno enačbo
se imenuje taka funkcija, po množenju s katero se diferencialna enačba spremeni v enačbo v totalnih diferencialih. Če imata funkciji M in N v enačbi zvezne parcialne odvode in ne izničita hkrati, potem obstaja integrativni faktor. vendar splošna metoda ni ga mogoče najti.
Struktura splošna rešitev LNDU
Razmislite o linearni nehomogeni diferencialni enačbi
+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = f(x).
- karkoli že je izhodišče(x0, y0, ) , x0∈ , obstajajo vrednosti C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 takšne, da funkcija y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) zadošča začetnim pogojem y( x0) = y0 , y "(x0) ,..., (x0) = .
pošteno naslednja izjava(izrek o strukturi splošne rešitve linearne ne homogena enačba).
Če so vsi koeficienti enačbe linearne homogene diferencialne enačbe zvezni na intervalu in funkcije y1(x), y2(x),..., yn(x) tvorijo sistem rešitev ustrezne homogene enačbe , potem ima splošna rešitev nehomogene enačbe obliko
y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),
kjer so C1,...,Cn poljubne konstante, je y*(x) posebna rešitev nehomogene enačbe.
LNDU 2. reda
Linearne nehomogene diferencialne enačbe drugega reda.
Enačba oblike y" + py" + qy = f(x), kjer sta p in q - realna števila, f(x) - neprekinjena funkcija, imenujemo linearna nehomogena enačba drugega reda z stalni koeficienti.
Splošna rešitev enačbe je vsota posamezne rešitve nehomogene enačbe in splošne rešitve ustrezne homogene enačbe. Preučevali smo iskanje splošne rešitve homogene enačbe. Za iskanje določene rešitve uporabimo metodo negotovi koeficienti, ki ne vsebuje procesa integracije.
Razmislimo različne vrste desne strani enačbe y" + py" + qy = f(x).
1) Desna stran ima obliko F(x) = Pn(x), kjer je Pn(x) polinom stopnje n. Potem lahko določeno rešitev za y iščemo v obliki, kjer je Qn (x) polinom enake stopnje kot Pn (x), r pa je število korenin karakteristična enačba, enako nič.
Primer. Poiščite splošno rešitev enačbe y" – 2y" + y = x+1.
rešitev: Splošna rešitev ustrezne homogene enačbe ima obliko Y = ex (C1 + C2x). Ker nobeden od korenov karakteristične enačbe k2 – 2k + 1 = 0 enako nič(k1 = k2 = 1), potem iščemo partikularno rešitev v obliki, kjer sta A in B neznana koeficienta. Če dvakrat diferenciramo in v to enačbo nadomestimo " in ", dobimo –2A + Ax + B = x + 1.
Izenačenje koeficientov pri enake stopinje x na obeh straneh enačbe: A = 1, –2A + B = 1, – najdemo A = 1, B = 3. Torej določena rešitev podana enačba ima obliko = x + 3, njena splošna rešitev pa je y = ex (C1 + C2x) + x + Z.
2) Desna stran ima obliko f(x) = eax Pn(x), kjer je Рn (x) polinom stopnje n. Potem je treba določeno rešitev iskati v obliki, kjer je Qn(x) polinom enake stopnje kot Pn (x), r pa je število korenov karakteristične enačbe, ki je enako a. Če je a = 0, potem je f(x) = Pn (x), tj. nastopi primer 1.
LOD s konstantnimi koeficienti.
Razmislite o diferencialni enačbi
kje so prave konstante.
Da bi našli splošno rešitev enačbe (8), naredimo to. Za enačbo (8) sestavimo značilno enačbo: (9)
Naj so koreni enačbe (9) in med njimi so lahko večkratniki. Možni so naslednji primeri:
a) - resnično in drugačno. Splošna rešitev homogene enačbe bo ;
b) korenine karakteristične enačbe so realne, vendar so med njimi mnogokratniki, tj. , potem bo splošna rešitev
c) če so koreni karakteristične enačbe kompleksni (k=a±bi), ima splošna rešitev obliko .
Splošna struktura rešitve za LDE 2. reda
Razmislite o linearni homogeni diferencialni enačbi
+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = 0.
Splošna rešitev te enačbe na intervalu je funkcija y = Φ(x, C1,..., Cn), ki je odvisna od n poljubnih konstant C1,..., Cn in izpolnjuje naslednje pogoje:
− za katero koli sprejemljive vrednosti konstant C1,..., Cn je funkcija y = Φ(x, C1,..., Cn) rešitev enačbe na ;
− ne glede na začetno točko (x0, y0, ) , x0∈ , obstajajo vrednosti C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 takšne, da funkcija y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) izpolnjuje začetni pogoji y(x0) = y0, y "(x0) = y1,0 ,..., (x0) = .
Struktura splošne rešitve takšne enačbe je določena z naslednjim izrekom.
Izrek 1. Splošna rešitev nehomogene enačbe (1) je predstavljena kot vsota neke posebne rešitve te enačbe y h in splošno rešitev ustrezne homogene enačbe
Dokaz. Dokazati moramo, da je vsota (3)
Obstaja splošna rešitev enačbe (1).
Najprej dokažimo, da je funkcija (3) rešitev enačbe (1). Namesto tega zamenjava pri vsota v enačbi (1) bo:
Ker je – rešitev enačbe (2), je izraz v prvih oklepajih enačbe (4) identično enak nič. Ker y h je rešitev enačbe (1), potem je izraz v drugem oklepaju (4) enak f(x). Zato je enakost (4) identiteta. Tako je prvi del izreka dokazan.
Dokažimo zdaj, da je izraz (3) splošna rešitev enačbe (1), tj. Dokažimo, da lahko poljubne konstante, vključene vanj, izberemo tako, da začetni pogoji (5)
ne glede na številke x 0, y 0, in (če le območja, kjer deluje a 1, a 2 in f(x) neprekinjeno).
Opazimo, da ga lahko predstavljamo kot 
, Kje y 1, y 2 linearno neodvisne rešitve enačbe (2) in C 1 in C 2 so poljubne konstante, lahko enakost (3) prepišemo v obliki . Potem bomo na podlagi pogoja (5) imeli sistem
.
Iz tega sistema enačb je treba ugotoviti C 1 in C 2. Prepišimo sistem v obliki
(6)
Sistemska determinanta 
– za rešitve obstaja determinanta Wronskega ob 1 in ob 2 na točki. Ker so te funkcije pod pogojem linearno neodvisne, determinanta Wronskega ni enaka nič, zato ima sistem (6) edina rešitev C 1 in C 2, tj. obstajajo takšni pomeni C 1 in C 2 pri kateri formula (3) določa rešitev enačbe (1), ki izpolnjuje dane začetne pogoje.
Torej, če je znana splošna rešitev homogene enačbe (2), potem je glavna naloga pri integraciji nehomogene enačbe (1) najti katero koli posebno rešitev y h.
Linearne nehomogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti in desno stranjo posebna vrsta. Metoda nedoločenih koeficientov.
Včasih je mogoče najti enostavnejšo rešitev brez uporabe integracije. To poteka v posebni primeri ko funkcija f(x) ima poseben videz.
Naj imamo enačbo , (1)
kje str in q realna števila in f(x) ima poseben videz. Razmislimo o več takih možnostih za enačbo (1).
Naj desna stran enačba (1) je produkt eksponentna funkcija na polinom, tj. izgleda kot 
, (2)
kjer je polinom n-te stopnje. Potem so možni naslednji primeri:
a) številka - ni koren karakteristična enačba 
.
V tem primeru je treba določeno rešitev iskati v obliki (3)
tiste. tudi v obliki polinoma n-ta stopnja, kjer A 0, A 1,…, A n koeficientov, ki jih je treba določiti.
Da jih določimo, poiščemo izpeljanke in .
Nadomeščanje y h, in v enačbo (1) ter zmanjšanje obeh strani za faktor bomo imeli:
Tukaj je polinom n-te stopnje, – polinom (n-1)-te stopnje in – polinom (n-2)-te stopnje.
Tako so levo in desno od znaka enačaja polinomi n- stopnja. Enačenje koeficientov pri enakih stopinjah X(število neznanih koeficientov je enako ), dobimo sistem enačb za določanje koeficientov A 0, A 1, ..., A n.
če ima desna stran enačbe (1) obliko:
Za linearno nehomogeno diferencialno enačbo n- prvo naročilo
l(n) + a 1(x)l(n- 1) + ... + an- 1 (x) l" + an(x)l = f(x),
kje l = l(x) - Ne znana funkcija, a 1(x),a 2(x), ..., an- 1(x), an(x), f(x) - znano, neprekinjeno, pošteno:
1) če l 1(x) In l 2(x) sta dve rešitvi nehomogene enačbe, nato funkcija
l(x) = l 1(x) - l 2(x) - rešitev ustrezne homogene enačbe;
2) če l 1(x) rešitev nehomogene enačbe in l 2(x) je rešitev ustrezne homogene enačbe, nato funkcija
l(x) = l 1(x) + l 2(x) - rešitev nehomogene enačbe;
3) če l 1(x), l 2(x), ..., yn(x) - n linearni neodvisne odločitve homogena enačba in ych(x) - samovoljna odločitev nehomogena enačba,
potem za katero koli začetne vrednosti
x 0, l 0, l 0,1, ..., l 0,n- 1
Izraz
l(x)=c 1 l 1(x) + c 2 l 2(x) + ... + cn yn(x) +ych(x)
klical splošna odločitev linearna nehomogena diferencialna enačba n-th red.
Za iskanje parcialnih rešitev nehomogenih diferencialnih enačb s konstantnimi koeficienti z desnimi stranmi obrazca:
Pk(x)exp(a x)cos( bx) + Q m(x)exp(a x)greh( bx),
kje Pk(x), Q m(x) - polinomi stopnje k in m V skladu s tem obstaja preprost algoritem za izdelavo določene rešitve, imenovan način izbire.
Izbirna metoda oziroma metoda nedoločenih koeficientov je naslednja.
Zahtevana rešitev enačbe je zapisana kot:
(Pr(x)exp(a x)cos( bx) + Qr(x)exp(a x)greh( bx))xs,
kje Pr(x), Qr(x) - polinomi stopnje r= max( k, m) Z neznano koeficientov
pr , pr- 1, ..., str 1, str 0, qr, qr- 1, ..., q 1, q 0.
torej da bi našli splošno rešitev linearne nehomogene diferencialne enačbe s konstantnimi koeficienti, bi morali
poiščite splošno rešitev ustrezne homogene enačbe (napišite značilno enačbo, poiščite vse korene značilne enačbe l 1, l 2, ... , ln, zapiši temeljni sistem rešitve l 1(x), l 2(x), ..., yn(x));
najti katero koli posebno rešitev nehomogene enačbe ych(x);
zapišite izraz za splošno rešitev
l(x)=c 1 l 1(x) + c 2 l 2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x);
Linearne nehomogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti s posebno desno stranjo. Metoda nedoločenih koeficientov.
Diferencialna enačba oblike (1)
kjer je , f znana funkcija, imenovana linearna diferencialna enačba n-tega reda s konstantnimi koeficienti. Če , se enačba (1) imenuje homogena, sicer - nehomogena.
Za linearne nehomogene enačbe s konstantnimi koeficienti in z desno stranjo posebne oblike, sestavljeno iz vsot in zmnožkov funkcij, lahko iščemo partikularno rešitev z metodo nedoločenih koeficientov. Tip določene rešitve je odvisen od korenov karakteristične enačbe. Spodaj je tabela vrst parcialnih rešitev linearne nehomogene enačbe s posebno desno stranjo.
Kompleksno letalo. Modul in argument kompleksnega števila. Glavni pomen argumenta. Geometrijski pomen
Kompleksna števila zapišemo v obliki: a+ bi. Tu sta a in b realni števili, i pa je imaginarna enota, tj. i 2 = –1. Število a imenujemo abscisa, b pa ordinata kompleksnega števila a+ bi. Dve kompleksni števili a+ bi in a – bi imenujemo konjugirana kompleksna števila.
Geometrijska predstavitev kompleksna števila. Realne številke so predstavljene s točkami na številski premici:
Tukaj točka A pomeni številko –3, točka B pomeni številko 2 in O pomeni nič. V nasprotju s tem so kompleksna števila predstavljena s pikami koordinatna ravnina. V ta namen izberemo pravokotne (kartezične) koordinate z enakimi merili na obeh oseh. Potem kompleksno število a+ bi bo predstavljen s točko P z absciso a in ordinato b (glej sliko). Ta koordinatni sistem imenujemo kompleksna ravnina.
Modul kompleksnega števila je dolžina vektorja OP, ki predstavlja kompleksno število na koordinatni (kompleksni) ravnini. Modul kompleksnega števila a+ bi je označen z | a+ bi | ali črko r in je enako:
Konjugirana kompleksna števila imajo enak modul. __
Argument kompleksnega števila je kot med osjo OX in vektorjem OP, ki predstavlja to kompleksno število. Zato je tan = b/a.
