Përkufizimi. Shtim numrat natyrorëështë një veprim algjebrik që ka këto veti: "1) (a Î N)a + 1 = a", 2) "(a, b Î N)a + b" =(a +b)". Numri a + b quhet shuma e numrave a dhe b, dhe vetë numrat a dhe b janë terma, siç dihet, shuma e çdo dy numrash natyrorë është gjithashtu një numër natyror, dhe për çdo numër natyror a dhe b shuma a +. b është unik Me fjalë të tjera, shuma e numrave natyrorë ekziston dhe është unike. E veçanta e përkufizimit është se nuk dihet paraprakisht nëse ekziston një veprim algjebrik që ka vetitë e specifikuara, dhe nëse ai ekziston. është unike? ndërtim aksiomatik vërtetojnë teoritë e numrave natyrorë deklaratën e mëposhtme: Mbledhja e numrave natyrorë ekziston dhe është unik. Kjo teoremë përbëhet nga dy pohime (dy teorema): ekziston mbledhja e numrave natyrorë; mbledhja e numrave natyrorë është unike. Ligjet e shtimit përdoren për të thjeshtuar llogaritjet. Për numrat natyrorë ekzistojnë dy ligje të mbledhjes: komutativ dhe asociativ. Rregulla: Ndryshimi i vendeve të termave nuk ndryshon shumën (ligji komutativ i mbledhjes). Për shembull: 37 + 42 = 42 + 37 = 79.V pamje e përgjithshme: a + b = b + a. Rregulli. Për të shtuar një term të tretë në shumën e dy termave, mund të shtoni shumën e termave të dytë dhe të tretë në termin e parë (ligji i kombinuar i mbledhjes). Për shembull: (37 + 42)+ 13 = 37 + (42 + 13). Në formën e përgjithshme: (a + b) + c = a + (b + c). Shpesh në shembuj, të dy ligjet e mbledhjes përdoren për llogaritjet përnjëherë.
Përkufizim aksiomatik shumëzimi i numrave natyrorë. Teorema mbi ekzistencën dhe veçantinë e saj me vërtetim. Tabela e shumëzimit.
Shumëzimi i numrave natyrorë është një veprim algjebrik i përcaktuar në shumësin N të numrave natyrorë, duke i caktuar çdo çifti (a, b) një numër a * b, duke plotësuar vetitë (aksiomat): 1. (∀a є N)a∙1 = a ; 2. (∀ a,b є N) a∙b" = a∙b + a. Numri a∙b quhet prodhim i numrave a dhe b dhe vetë numrat a dhe b janë faktorë. Teorema 1. Shumëzimi i numrave natyrorë ekziston, dhe ai është unik Duke përdorur përkufizimin e veprimit të shumëzimit, do të krijojmë një tabelë të shumëzimit të numrave njëshifrorë: a) 1×1=1; etj. 1) 1x2=1x1'=1x1+1= 2x2=2x1'= 2+1=3; +1=4, etj dhe b të zgjidhet në mënyrë arbitrare, dhe c të marrë të ndryshme vlerat natyrore. Le të shënojmë me M bashkësinë e të gjithë atyre dhe vetëm atyre numrave natyrorë c për të cilët barazia (a + b)c = a∙c + b∙c është e vërtetë. Le të tregojmë se për c=1 barazia (a + b)∙1 = a∙1 + b∙1 është e vërtetë, (a + b)∙1 =a+b=a∙1 + b∙1. Le të plotësohet ligji shpërndarës për një numër c të zgjedhur në mënyrë arbitrare, pra barazia (a+b)∙c = a∙c + b∙c është e vërtetë. Bazuar në supozimin, do të vërtetojmë vlefshmërinë e barazisë: (a + b)∙c" = a∙c" + b∙c" për numrin c". Le të shqyrtojmë anën e majtë barazinë dhe tregoni se është e barabartë me të drejtën: (a + b)∙c" = (a + b)∙c + (a + b)=(a∙c+b∙c)+ (a+b) = (a ∙c+a)+(b∙c+b)= a∙c'+b∙c' Kjo barazi (a + b)∙c = a∙c + b∙c është e vërtetë për çdo numër natyror. c, a meqenëse numrat a dhe b janë zgjedhur në mënyrë arbitrare, kjo barazi është e vlefshme për çdo a dhe b Ligji i majtë shpërndarës i shumëzimit vërtetohet në mënyrë të ngjashme: (∀а,b,с є N)а ∙(b. +с)= а∙b+а ∙с Teorema 3. (∀ a,b,с є N)(а∙b) ∙с= a∙(b ∙с).-Teorema 4. (∀a, b є N) a∙b = b∙a.- Veprimtaria e shumëzimit plotëson dy ligje: ab = bа (ligji komutativ i shumëzimit), а(bс) = (аb)с (ligji asociativ i shumëzimit). një ligj që lidh mbledhjen dhe shumëzimin: а(b + c) = ab + ac (ligji shpërndarës) Një tabelë shumëzimi është një tabelë ku rreshtat dhe kolonat janë etiketuar me faktorë, dhe qelizat e tabelës përmbajnë produktin e tyre përdoret për të mësuar shumëzimin.
Mbledhja e numrave natyrorëështë një operacion binar që plotëson dy aksiomat e mëposhtme:
C1: a + 1 = a /
C2: a + b / = (a + b) /
Shembull. Bazuar në përkufizimin, gjejmë shumën 2 + 2:
2 + 2 = 2 + 1 / = (2 + 1) / = (2 /) / = 3 / = 4.
Teorema 1(mbi ekzistencën dhe veçantinë e shtimit). Çdo çift numrash natyrorë a dhe b korrespondon me një shumë të përcaktuar në mënyrë unike a + b, që plotëson përkufizimin e mbledhjes (aksiomat C1 dhe C2).
Dëshmi. Unike. Le të supozojmë se së bashku me operacionin +, që plotëson kushtet C1 dhe C2, ekziston edhe një operacion tjetër , që plotëson kushtet C1 / dhe C2 /:
C1 / : a 1 = a /
C2 / : a b / = (a b) /
Atëherë për çdo numër natyror vlen barazia e mëposhtme: a + b = a b.
Vërtetimin do ta realizojmë duke përdorur metodën e induksionit matematik në ndryshoren b. Për b = 1, bazuar në C1 dhe C1 / marrim:
a + 1 = a / = a 1
Kështu, për b = 1 këtë pronë i drejtë.
Hipoteza e induksionit: a + k = a k
Le ta vërtetojmë këtë pohim për b = k / :
Bazuar në C2 a + k / = (a +k) /
Nga supozimi i induksionit bazuar në aksiomën A 2 nga përkufizimi i numrave natyrorë a + k = a k => (a + k) / = (a k) /, nga i cili, sipas kushteve C2 dhe C2 / kemi :
a + k / = (a +k) / = (a k) / = a k / ,
që është ajo që kërkohej.
Ekzistenca. Përkufizimi induktiv i prezantuar na lejon të gjejmë shumën për çdo term të dytë (elementi b). Le të zbulojmë nëse është e mundur të gjejmë shumën për çdo term të parë (elementi a). Për ta bërë këtë, ne vetë prezantojmë një operacion që plotëson kushtet (*) dhe (**)
(**) a / + b = (a + b) / .
Le të vërtetojmë se operacioni që kemi prezantuar është mbledhje, domethënë plotëson kushtet C1 dhe C2. Ne do ta kryejmë vërtetimin me induksion në a.
Le të fillojmë me provën C1. Baza e induksionit: Për a = 1
1 + 1 = 1 / (bazuar në kushtin (*)).
Hipoteza e induksionit: k + 1 = k /
Hapi i induksionit: Për a = k / kërkohet të vërtetohet se k / + 1 = (k /) / .
Bazuar në kushtin (**) k / + 1 = (k+1) / = (k /) / (me hipotezë induktive). Kështu, kushti C1 është i plotësuar për të gjithë a.
C2: Për a = 1 sipas kushtit (*) 1 + b / = (b /) / = (1 + b) / .
Hipoteza e induksionit (i.p.): k + b / = (k + b) / .
Për a = k / kërkohet të vërtetohet se k / + b / = (k / + b) / .
Këtu, mbi çdo barazi, tregohet një justifikim - pasuria në bazë të së cilës plotësohet kjo barazi. Kështu, kushti C2 plotësohet edhe për të gjithë a. Teorema është plotësisht e vërtetuar.
Teorema 2. Për çdo numër natyror a, b, c, ligji asociativ i shtimit(a.z.s.): (a + b) + c = a + (b +c)
Dëshmi(me induksion në c): Për c = 1 kemi:
Hipoteza e induksionit: (a+b)+k = a+(b+k).
Sipas parimit të induksionit, tani duhet ta vërtetojmë këtë
(a+b)+k / = a+(b+k /). Le ta vërtetojmë.
Kështu, për k / pohimi është i vërtetë, prandaj, sipas teoremës së induksionit, ligji shoqërues është i vlefshëm për çdo numër natyror.
Teorema 3. Për çdo numër natyror, ligji komutativ i mbledhjes (LLA) a + b = b + a është i plotësuar
Le t'i paraprijmë vërtetimit të teoremës me një lemë.
Lema 1. a + 1 = 1 + a (L1)
Le ta vërtetojmë me induksion në a. Baza e induksionit: 1 + 1 = 1 + 1 (e drejtë)
Hipoteza e induksionit: k + 1 = 1 + k.
Hapi i induksionit: Le të vërtetojmë se k / + 1 = 1 + k / .
Lema është e vërtetuar.
Tani e vërtetojmë vetë teoremën me induksion në b. Për b = 1, teorema është e vërtetë nga Lema 1.
Hipoteza e induksionit: a + k = k + a.
Hapi i induksionit:
Teorema 4. Shuma e dy numrave nuk është e barabartë me asnjë nga termat:
Dëshmi me induksion në b: Për b = 1, pohimi i teoremës është i vërtetë me aksiomën 1 nga përkufizimi i numrave natyrorë (a / 1).
Hipoteza e induksionit: a + k k.
Nga hipoteza e induksionit dhe teorema 1 e paragrafit 1.2 del se (a + k) / k / . Duke përdorur C2, marrim:
a + k / = (a + k) / k / .
Teorema 5. a = b => a + c = b + c.
Dëshmi(me induksion në c):
a = b => (nga A 2) a / = b / => (nga C1) a + 1 = b +1.
Hipoteza e induksionit: a = b => a + k = b+k.
Le të vërtetojmë se a = b përfshin a + k / = b + k / .
Kështu, për k / pohimi është i vërtetë, prandaj, sipas teoremës së induksionit, teorema është e vlefshme për çdo numër natyror.
Përfundimi 1. a + c b + c = > a b (vërtetimi kryhet me kontradiktë dhe i lihet lexuesit).
Teorema 6. a + c = b + c => a = b.
Dëshmi(me induksion në c):
a + 1 = b + 1 => a / = b / => a = b (sipas C1 dhe A 3).
Hipoteza e induksionit: a + k = b + k => a = b.
Le të vërtetojmë se a + k / = b + k / nënkupton a = b.
Prandaj, pohimi është gjithashtu i vërtetë për k /, i cili vërteton teoremën tonë.
Përfundimi 2. a b = > a + c b + c (vërtetimi me kontradiktë).
Zgjidhja e ekuacionit a + x = b (a, b janë numra natyrorë, x është një ndryshore) është një numër i tillë natyror c, kur e zëvendësojmë atë në vend të x në ekuacion, barazia numerike e saktë a + c = b është të marra
Teorema 7. Nëse ekuacioni a + x = b ka një zgjidhje, atëherë kjo zgjidhje është unike.
Dëshmi: Le të supozojmë se ka dy zgjidhje me 1 dhe me 2. Atëherë a + c 1 = b dhe a + c 2 = b, prej nga a + c 1 = a + c 2, dhe nga teorema 6 dhe ligji komutativ kjo do të thotë se c 1 = c 2 (d.m.th., zgjidhja është unike ).
Detyrat për zgjidhje të pavarur
nr 1.2. Shtoni në bazë të përkufizimit të mbledhjes së numrave natyrorë 5 + 3. Kryeni të njëjtin veprim në modelet e numrave natyrorë të paraqitur më poshtë
a) (3, 4, 5...); n / = n +1
b) (n –2, n Z); n / = n +1
c) numrat natyrorë tek, n / = n +2
d) Numrat e plotë 
nr 1.3. Provoni barazitë për çdo numër natyror n:
a) 1 + 2 + …+ n = 
;
b) 1 2 + 2 2 + … + n 2 = 
;
c) 1 3 + 2 3 + … + n 3 = 
;
d) 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = (n + 1) 2 ;
e) 1 2 + 3 2 + … + (2n – 1) 2 = 
;
e) 12 + 23 + … + (n – 1)n = 
;
dhe) 
;
h) 
.
Mbledhja e kolonave, ose siç thonë edhe ata, mbledhja e kolonave, është një metodë e përdorur gjerësisht për mbledhjen e numrave natyrorë shumëshifrorë. Thelbi i kësaj metode është se shtimi i dy ose më shumë numra shumëshifrorë zbret në disa operacione të thjeshta duke shtuar numrat njëshifrorë.
Artikulli përshkruan në detaje se si të kryhet shtimi i dy dhe më shumë numra natyrorë shumëshifrorë. Jepet rregulli për shtimin e numrave në një kolonë dhe shembuj zgjidhjesh me një analizë të të gjitha situatave më tipike që lindin kur shtohen numrat në një kolonë.
Shtimi i dy numrave në një kolonë: çfarë duhet të dini?
Përpara se të kalojmë drejtpërdrejt në funksionin e shtimit të kolonës, le të shohim disa pika të rëndësishme. Për zhvillim të shpejtë materiali i dëshirueshëm:
- Njihni dhe kuptoni mirë tabelën e mbledhjes. Pra, kur kryeni llogaritjet e ndërmjetme, nuk keni pse të humbni kohë dhe t'i referoheni vazhdimisht tabelës së shtesave.
- Mbani mend vetitë e mbledhjes së numrave natyrorë. Veçanërisht vetitë që lidhen me shtimin e zerave. Le t'i kujtojmë ato shkurtimisht. Nëse njëri nga dy termat është i barabartë me zero, atëherë shuma është e barabartë me termin tjetër. Shuma e dy zerove është zero.
- Njihni rregullat për krahasimin e numrave natyrorë.
- Mësoni sa është shifra e një numri natyror. Kujtoni se shifra është pozicioni dhe vlera e shifrës në shënimin e numrit. Shifra përcakton kuptimin e një shifre në një numër - njësi, dhjetëshe, qindra, mijëra, etj.
Le të përshkruajmë algoritmin për mbledhjen e numrave në një kolonë duke përdorur shembull konkret. Le të shtojmë numrat 724980032 dhe 30095. Së pari, duhet t'i shkruani këta numra sipas rregullave për të shkruar mbledhjen në një kolonë.
Numrat shkruhen njëri poshtë tjetrit, shifrat e secilës shifër janë të vendosura, përkatësisht, njëra nën tjetrën. Vendosim një shenjë plus në të majtë dhe vizatojmë një vijë horizontale nën numrat.
Tani ne e ndajmë mendërisht rekordin në kolona sipas shifrave.
Gjithçka që mbetet për të bërë është të palosni numra njëshifror në çdo kolonë.
Fillojmë me kolonën më të djathtë (shifra e njësive). Ne mbledhim numrat dhe shkruajmë vlerën e njësive nën rresht. Nëse, gjatë mbledhjes, vlera e dhjetësheve rezulton të jetë e ndryshme nga zero, mbani mend këtë numër.
Mblidhni numrat në kolonën e dytë. Rezultatit i shtojmë numrin e dhjetësheve që kujtuam në hapin e mëparshëm.
Ne e përsërisim të gjithë procesin me secilën kolonë, deri në të majtë.
Ky prezantim është një diagram i thjeshtuar i algoritmit për mbledhjen e numrave natyrorë në një kolonë. Tani që e kuptojmë thelbin e metodës, le të shohim në detaje secilin hap.
Së pari mbledhim njësitë, domethënë numrat në kolonën e djathtë. Nëse marrim një numër më të vogël se 10, shkruajmë atë në të njëjtën kolonë dhe kalojmë te tjetra. Nëse rezultati i mbledhjes është më i madh ose i barabartë me 10, atëherë nën rreshtin në kolonën e parë shkruajmë vlerën e vendit të njësive dhe mbajmë mend vlerën e vendit të dhjetësheve. Për shembull, numri doli të ishte 17. Pastaj shkruajmë numrin 7 - vlerën e njësive, dhe vlerën e dhjetësheve - 1 - mbajmë mend. Ata zakonisht thonë: "Ne shkruajmë shtatë, një në mendje".
Në shembullin tonë, kur mbledhim numrat në kolonën e parë, marrim numrin 7.
7 < 10 , поэтому записываем это число в разряд единиц результата, а запоминать нам ничего не нужно.
Më pas, i shtojmë numrat në kolonën tjetër, domethënë në vendin e dhjetësheve. Ne kryejmë të njëjtat veprime, vetëm duhet t'i shtojmë shumës numrin që kemi mbajtur parasysh. Nëse shuma është më e vogël se 10, thjesht shkruani numrin nën kolonën e dytë. Nëse rezultati është më i madh ose i barabartë me 10, ne shkruajmë vlerën e njësive të këtij numri në kolonën e dytë dhe mbajmë mend numrin nga vendi i dhjetësheve.
Në rastin tonë, ne shtojmë numrat 3 dhe 9, duke rezultuar në 3 + 9 = 12. Ne nuk kujtuam asgjë në hapin e mëparshëm, kështu që nuk kemi nevojë të shtojmë asgjë në këtë rezultat.
12 > 10, kështu që në kolonën e dytë shkruajmë numrin 2 nga vendi i njësheve dhe mbajmë parasysh numrin 1 nga vendi i dhjetësheve. Për lehtësi, mund ta shkruani këtë numër mbi kolonën tjetër me një ngjyrë të ndryshme.
Në kolonën e tretë, shuma e shifrave është zero (0 + 0 = 0). Kësaj shume i shtojmë numrin që kemi pasur parasysh më parë dhe marrim 0 + 1 = 1. shkruani:
Duke kaluar në kolonën tjetër, ne gjithashtu shtojmë 0 + 0 = 0 dhe shkruajmë rezultatin si 0, pasi nuk mbajmë mend asgjë në hapin e mëparshëm.
Hapi tjetër jep 8 + 3 = 11. Në kolonë shkruajmë numrin 1 nga shifra e njësive. Mbajmë numrin 1 nga dhjetëshja në mendje dhe kalojmë në kolonën tjetër.
Kjo kolonë përmban vetëm një numër 9. Nëse nuk do të kishim numrin 1 në memorie, thjesht do të rishkruanim numrin 9 nën vijën horizontale. Sidoqoftë, duke pasur parasysh që ne kujtuam numrin 1 në hapin e mëparshëm, duhet të shtojmë 9 + 1 dhe të shkruajmë rezultatin.
Prandaj, nën vijën horizontale shkruajmë 0, dhe përsëri kemi parasysh një.
Duke kaluar në kolonën tjetër, shtoni 4 dhe 1, shkruani rezultatin nën rresht.
Kolona tjetër përmban vetëm numrin 2. Pra, në hapin e mëparshëm nuk kujtuam asgjë, thjesht e rishkruam këtë numër nën rresht.
Ne bëjmë të njëjtën gjë me kolonën e fundit që përmban numrin 7.
Nuk ka më kolona, dhe gjithashtu nuk ka asgjë në memorie, kështu që mund të themi se operacioni i shtimit të kolonës ka përfunduar. Numri i shkruar poshtë rreshtit është rezultat i mbledhjes së dy numrave të sipërm.
Për të kuptuar të gjitha nuancat e mundshme, le të shohim disa shembuj të tjerë.
Shembull 1. Mbledhja e numrave natyrorë në një kolonë
Le të mbledhim dy numra natyrorë: 21 dhe 36.
Së pari, le t'i shkruajmë këta numra sipas rregullit të shkrimit të mbledhjes në një kolonë:
Duke u nisur nga kolona e djathtë, vazhdojmë me shtimin e numrave.
Që nga 7< 10 , записываем 7 под чертой.
Mblidhni numrat në kolonën e dytë.
Që nga 5< 10 , а в памяти с предыдущего шага ничего нет, записываем результат
Nuk ka më numra në memorie dhe në kolonën tjetër, mbledhja përfundon. 21 + 36 = 57
Shembulli 2. Mbledhja e numrave natyrorë në një kolonë
Sa është 47 + 38?
7 + 8 = 15, kështu që le të shkruajmë 5 në kolonën e parë nën rresht dhe të kemi parasysh 1.
Tani shtojmë vlerat nga vendi i dhjetësheve: 4 + 3 = 7. Mos harroni për një dhe shtoni atë në rezultat:
7 + 1 = 8. Ne shkruajmë numrin që rezulton poshtë rreshtit.
Ky është rezultat i shtimit.
Shembulli 3. Mbledhja e numrave natyrorë në një kolonë
Tani le të marrim dy numra treshifrorë dhe kryejnë shtimin e tyre.
3 + 9 = 12 ; 12 > 10
Shkruani 2 poshtë rreshtit, mbani parasysh 1.
8 + 5 = 13 ; 13 > 10
Shtojmë 13 dhe njësinë e memorizuar, marrim:
13 + 1 = 14 ; 14 > 10
Ne shkruajmë 4 poshtë rreshtit, mbani parasysh 1.
Mos harroni se në hapin e mëparshëm ne kujtuam 1.
Ne shkruajmë 0 poshtë rreshtit, mbani parasysh 1.
Në kolonën e fundit zhvendosim njësinë që kujtuam më parë nën rresht dhe marrim rezultatin përfundimtar të shtimit.
783 + 259 = 1042
Shembulli 4. Mbledhja e numrave natyrorë në një kolonë
Le të gjejmë shumën e numrave 56927 dhe 90.
Si gjithmonë, së pari shkruajmë kushtin:
7 + 0 = 7 ; 7 < 10
2 + 9 = 11 ; 11 > 10
Ne shkruajmë 1 poshtë rreshtit, mbajmë parasysh 1 dhe kalojmë në kolonën tjetër.
Ne shkruajmë 0 poshtë rreshtit, mbajmë parasysh 1 dhe kalojmë në kolonën tjetër.
Kolona përmban një numër 6. E shtojmë me njësinë e mbajtur mend.
6 + 1 = 7 ; 7 < 10
Ne shkruajmë 7 nën rresht dhe kalojmë në kolonën tjetër.
Kolona përmban një numër 5. E zhvendosim nën vijë dhe përfundojmë operacionin e shtimit.
56927 + 90 = 57017
Ne do të japim shembullin e mëposhtëm pa rezultate të ndërmjetme dhe shpjegime se si të shkruhet shtimi i kolonave në praktikë.
Le të kuptojmë se si ta përdorim për të mbledhur dhjetëshe me dhjetëshe, qindëshe me qindëshe, etj.
Le të mbledhim 8 dhjetëshe dhe 9 dhjetëshe. Nga tabela e mbledhjes gjejmë se 8+9=10+7. Prandaj, nëse mbledhim 8 dhjetëshe dhe 9 dhjetëshe, fitojmë shumën e 10 dhjetësheve dhe 7 dhjetësheve, domethënë shumën e 100 dhe 70. Kështu, 80+90=100+70. Shuma 100+70 paraqet shumën terma bit numrat 170. Është e përshtatshme të shkruhen të gjitha këto argumente në formën e një zinxhiri sekuencial barazish: 80+90=100+70=170. Shënime të tilla nënkuptojnë se vlerat e të gjitha shprehjeve që ndahen me shenja të barabarta janë të barabarta.
Për të konsoliduar materialin, merrni parasysh zgjidhjen e një shembulli tjetër. Le të bëjmë mbledhjen 4000+7000. Tabela e mbledhjes na jep barazinë 4+7=10+1. Kështu, të shtosh 4 mijë e 7 mijë është njësoj si të shtosh 10 mijë e 1 mijë. Prandaj, 4000+7000=10000+1000. Shuma e fundit është një zgjerim në shifra të numrit natyror 11,000. ne kemi 4 000+7 000=10 000+1 000=11 000 .
Mbledhja e numrave natyrorë arbitrar.
Para se të kaloni në shtimin e numrave natyrorë arbitrarë, ju rekomandojmë që të studioni plotësisht materialin në artikullin shumën e termave të shifrave, në mënyrë që të mundeni, pa hezitim, të zbërtheni çdo numër natyror në shifra, dhe gjithashtu, pa hezitim, duke përdorur një të njohur. dekompozimi, ju mund të shkruani menjëherë numrin natyror të zbërthyer. Kjo do të përcaktojë drejtpërdrejt se sa e lehtë do të jetë për ju të shtoni numra natyrorë arbitrarë.
Le të përshkruajmë sekuencën e veprimeve:
- ne zëvendësojmë termat me zgjerimet e tyre me shifra;
- riorganizoni termat në mënyrë që njëshet të jenë pranë njësheve, dhjetëshet të jenë pranë dhjetësheve, qindëshet të jenë pranë qindsheve etj;
- mbledhim njësitë me njësi, pastaj dhjetëshet me dhjetëshe, pastaj qindëshet me qindëshe etj.;
- të gjitha veprimet e mëparshme na çojnë në një shumë, e cila është një zgjerim në shifrat e një numri natyror;
- në fund, shkruajmë numrin e kërkuar me zgjerimin e tij.
Le të shohim mbledhjen e dy numrave natyrorë duke përdorur shembuj.
Shembull.
Kryeni shtesën 36+2.
Zgjidhje.
Zbërthimi i numrit 36 në shifra ka formën 30+6 dhe numri 2 ka formën 2. Pastaj 36+2=30+6+2.
Në këtë shembull, nuk kemi nevojë të riorganizojmë termat, pasi ato janë tashmë në rendin që na duhen.
Tani mbledhim njësitë: 6+2=8. Prandaj, 30+6+2=30+8.
Arritëm te shuma 30+8, e cila është e barabartë me 38.
Kështu, zgjidhja mund të shkruhet si më poshtë: 36+2=30+6+2=30+8=38.
Përgjigje:
36+2=38 .
Shembull.
Shtoni numrat 57 dhe 17.
Zgjidhje.
Sepse 57=50+7, dhe 17=10+7, pastaj 57+17=50+7+10+7.
Pas riorganizimit të kushteve, shuma do të marrë formën e mëposhtme: 50+10+7+7.
Tani i shtojmë njësitë (nëse nuk i mbani mend përmendsh, atëherë referojuni tabelës së mbledhjes): 7+7=10+4.
Kështu, 50+10+7+7=50+10+10+4.
Kalojmë në mbledhjen e dhjetësheve, domethënë në gjetjen e shumës së tre termave 50, 10 dhe 10. Le të shtojmë fillimisht 50 dhe 10, pas së cilës i shtojmë rezultatit numrin e mbetur 10. Le të shkojmë: 50+10=60, pasi 5+1=6, pastaj 50+10+10=60+10=70, pasi 6+1=7.
Kemi, 50+10+10+4=70+4. Shuma e fundit është zbërthimi i shifrave të numrit 74.
Pra, 57+17=50+7+10+7=50+10+7+7= 50+10+10+4=70+4=74 .
Përgjigje:
57+17=74 .
Shembull.
Llogaritni shumën e numrave 3007 dhe 200.
Zgjidhje.
Zbërthimi i numrit 3007 në shifra ka formën 3000+7 dhe numri 200 ka formën 200. Pastaj 3 007+200=3 000+7+200=3 000+200+7 . Ne kemi marrë zgjerimin e shifrave të numrit 3207. Kështu, 3,007+200=3,207.
Përgjigje:
3 007+200=3 207 .
Shembull.
Shtoni numrat 28,301 dhe 73,745.
Zgjidhje.
Le t'i zbërthejmë këta numra në shifra: 28,301=20,000+8,000+300+1 dhe 73,745=70,000+3,000+700+40+5.
Pastaj
28 301+73 745=
20 000+8 000+300+1+70 000+
3 000+700+40+5=
20 000+70 000+8 000+
3 000+300+700+40+1+5
.
(Kur barazimet zhvendosen në rreshtin tjetër, shenja "=" shkruhet përsëri).
Shtoni njësitë: 1+5=6. Pas kësaj kemi 20,000+70,000+8,000+ 3,000+300+700+40+1+5= 20,000+70,000+8,000+ 3,000+300+700+40+6.
Nuk ka nevojë të shtohen dhjetëra.
Shtojmë qindra: 300+700=1000, meqë 3+7=10. Në këtë fazë kemi 20,000+70,000+8,000+ 3,000+300+700+40+6= 20,000+70,000+8,000+ 3,000+1000+40+6.
Ne mbledhim mijëra. Meqenëse 8+3=10+1, atëherë 8,000+3,000+1,000= 10,000+1,000+1,000= 10,000+2,000. Në këtë fazë marrim
20 000+70 000+8 000+
3 000+1 000+40+6=
20 000+70 000+10 000+2 000+40+6
.
Mblidhni dhjetëra mijëra: 20,000+70,000+10,000= 90,000+10,000=100,000. Pastaj 20 000+70 000+10 000+2 000+40+6= 100 000+2 000+40+6 .
Shuma 100,000+2,000+40+6 është e barabartë me numrin 102,046.
Përgjigje:
28 301+73 745=102 046 .
Në përfundim të kësaj pike, vërejmë se është e përshtatshme të shtoni numra natyrorë shumëshifrorë në një kolonë, kështu që ju rekomandojmë të studioni materialin në artikull duke shtuar numra natyrorë në një kolonë.
Mbledhja e numrave natyrorë në një rreze koordinative.
Qëllimi i këtij paragrafi është të paraqesë interpretimi gjeometrik veprimet e mbledhjes së numrave natyrorë. Do të na ndihmojë të arrijmë këtë qëllim. Do të supozojmë se rreze koordinative është e vendosur horizontalisht dhe djathtas.
Aktiv rreze koordinative mbledhja e dy numrave natyrorë a dhe b është një sekuencë e veprimeve të mëposhtme. Së pari gjejmë pikën me koordinatën a. Nga kjo pikë, ne shtrojmë segmentet e njësisë b njëri pas tjetrit në mënyrë që të ndodhë distanca nga origjina. Kjo do të na çojë në një pikë të rrezes koordinative, koordinata e së cilës është një numër natyror, e barabartë me shumën a+b. Me fjalë të tjera, nga një pikë me koordinatë a lëvizim djathtas në një distancë b, dhe në të njëjtën kohë arrijmë në një pikë, koordinata e së cilës është e barabartë me shumën e numrave a dhe b.
Për qartësi, le të japim një shembull. Le të tregojmë se çfarë përfaqëson mbledhja e numrave natyrorë 2 dhe 4 në një rreze koordinative (shih figurën më poshtë). Nga pika me koordinatë 2 vizatojmë 4 segmente njësi. Pas kësaj arrijmë në pikën koordinata e së cilës është numri 6. Kështu, 2+4=6.
Kontrollimi i rezultatit të mbledhjes së numrave natyrorë me zbritje.
Kontrollimi i rezultatit të mbledhjes së numrave natyrorë duke përdorur zbritjen bazohet në një lidhje mjaft të dukshme midis mbledhjes dhe zbritjes. Është e lehtë të gjurmosh këtë lidhje duke iu referuar shembullit të mëposhtëm.
Le të kemi 7 mollë dhe 2 dardha. Le t'i mbledhim këto fruta së bashku, atëherë shuma 7+2=9, për shkak të kuptimit të mbledhjes së numrave natyrorë, përcakton sasinë totale fruta. Është e qartë se nëse nga frutat e bashkuara lihen mënjanë 7 mollë (gjithsej janë 9), atëherë në anën tjetër do të mbeten 2 dardha. Për shkak të kuptimit të zbritjes së numrave natyrorë, veprimi i përshkruar korrespondon me barazinë 9−7=2. Në mënyrë të ngjashme, nëse vendosni 2 dardha nga frutat e bashkuara në njërën anë, atëherë 7 mollë do të mbeten në anën tjetër. Ky veprim korrespondon me barazinë 9−2=7.
Shembulli i konsideruar na çon në një rregull, formulimi i të cilit është si më poshtë: Nëse zbritni një nga termat nga shuma e dy numrave natyrorë, rezultati do të jetë termi tjetër. Ky rregull shkruhet duke përdorur shkronjat si më poshtë: nëse a+b=c zbritja e numrave natyrorë.
Le të kontrollojmë rezultatin e shtimit. Për ta bërë këtë, zbritni termin 106 nga shuma që rezulton 163 dhe shikoni nëse marrim një numër të barabartë me termin e dytë 57. Kemi 163−106=57. Kështu, testi rezultoi i suksesshëm dhe mund të themi se shtimi u krye në mënyrë korrekte.
Përgjigje:
106+57=163 .
Referencat.
- Matematika. Çdo tekst shkollor për klasat 1, 2, 3, 4 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
- Matematika. Çdo tekst shkollor për klasën e 5-të të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
Në këtë mësim do të njiheni me mbledhjen e numrave natyrorë dhe ligjet që e rregullojnë atë. Zbuloni se duke përdorur këto ligje është shumë më i përshtatshëm për të shtuar numra. Dhe gjithashtu zgjidhni disa shembuj.
BAN + KA = BANKA
Por ndonjëherë ata e bëjnë atë anasjelltas: KA + BAN = DERR
Lena dhe Vanya derdhin ujë në një kovë. Lena ka një kavanoz me dy litra ujë, dhe Vanya ka një kavanoz me tre litra. A ka rëndësi se në çfarë rendi e derdhin ujin? Nr. Në çdo rast, do të ketë të njëjtën sasi uji (5 litra).
Në të dy shembujt u shtuan dy pjesë. Por në rastin e parë, rendi ishte i rëndësishëm dhe nëse i riorganizonim kushtet, rezultati ndryshoi. Në rastin e dytë, rendi nuk ishte i rëndësishëm;
Llogaritni: .
Llogaritni: .
Kjo është 
.
Të tre këto hyrje nënkuptojnë të njëjtën sasi.
Duke kujtuar shembujt me rrokje dhe ujë, arrijmë në supozimin se shtesa matematikore ngjashëm me shembullin e dytë me ujin, ku ishte e mundur të ndërroheshin termat.
Për të kuptuar se çfarë mund të bëni dhe çfarë nuk mund të bëni kur shtoni, duhet të zbuloni se çfarë është. Çfarë do të thotë të shtosh 5 dhe 3? Kjo do të thotë që ju duhet të shtoni 5 njësi dhe 3 njësi. Mund t'i imagjinoni si shkopinj (shih Fig. 1).
Oriz. 1. Paraqitja e shtesës
Fjala "palosje" do të thotë të vendosësh në një grumbull. Dhe pastaj numëroni sa ka në total. Ju merrni tetë (shih Fig. 2).
Numri i njësive ose shkopinjve në një grumbull të madh gjithmonë mund të numërohet. Kjo do të thotë, çdo dy grupe shkopinjsh mund të palosen në një të madh. Dhe do të ketë një numër specifik shkopinjsh.
Në gjuhën e matematikës, kjo mund të thuhet si vijon: mund të shtohen çdo dy numra natyrorë. Rezultati do të jetë një numër i ri natyror.
Numrat quhen terma. Një numër quhet shuma e numrave dhe . Vetë hyrja quhet gjithashtu shuma.
Kur shtoni dy grupe njësish në një të madhe, mund ta bëni në dy mënyra:
1) shtoni një të dytë në grupin e parë,
2) shtoni të parën tek e dyta.
Nuk ka rëndësi në çfarë rendi e bëni. Së pari merrni pesë njësi dhe shtoni tre në to ose anasjelltas. Kjo do të thotë, ne thjesht ndërruam disa elementë brenda një grumbulli të madh. Por kjo nuk do të ndryshojë numrin e tyre. Rezultati do të jetë gjithmonë i njëjtë. Do të ketë gjithmonë të njëjtin numër njësish dhe shkopinjsh në një grumbull të përbashkët. NË në këtë rast tetë.
Në gjuhën e matematikës, kjo mund të thuhet si vijon: rirregullimi i termave nuk e ndryshon shumën.
Pra 
, sepse të dyja shumat janë të barabarta me 8.
ME numra të mëdhenj ky ligj funksionon edhe: . Këto dy shuma janë të barabarta me njëra-tjetrën. Ju nuk keni nevojë të numëroni për ta kuptuar këtë. Ne e dimë se riorganizimi i termave nuk e ndryshon shumën.
Le të kemi tani tre numra (tre grupe njësish) dhe duhet t'i mbledhim ato. Kjo do të thotë, vendosini ato në një grumbull. Ka dy opsione:
1) shtoni të parës së pari të dytën, pastaj të tretën,
2) shtoni të parës të dytin dhe të tretën tashmë të palosur paraprakisht.
Nuk ka dallim. Ne gjithmonë do të marrim të njëjtin grup njësish, shkopinj. Të rejat nuk do të dalin nga askund dhe ato ekzistueset nuk do të humbasin.
Nëse e shkruajmë këtë duke përdorur numrat:
Nëse shtoni tre numra, mund të shtoni së pari dy numrat e parë, ose mund të filloni me dy të fundit. Sekuenca e veprimeve kur shtoni disa terma nuk është e rëndësishme.
Këto ligje mund të lehtësojnë shumë llogaritjet.
Mund të shtojmë në çdo mënyrë. Le të zgjedhim një sekuencë që është e përshtatshme. Le të shohim shifrat e fundit. Nëse ata shtojnë deri në 10, atëherë është më mirë të përpiqeni të filloni me ta, ato janë më të lehta për t'u mbledhur. Termi i dytë ka 6 në fund, dhe i treti ka 4, ata mblidhen deri në 10, kështu që le t'i mbledhim fillimisht dhe pastaj të mbledhim termin e parë.
Së pari dhe numri i fundit përfundoni në pesë, që do të thotë se shuma do të përfundojë në zero, kjo është e përshtatshme. Por ata nuk janë në një rresht. Le të shkëmbejmë 39 dhe 295.
Ideja është e thjeshtë: nëse na duhet të shtojmë disa numra në të njëjtën kohë, mund t'i riorganizojmë si të duam dhe t'i kryejmë veprimet në çdo rend.
Është i përshtatshëm për të shtuar numrin e parë me të fundit, dhe të dytin me të tretën.
Le të kemi disa vazo, secila me një numër të caktuar mollësh. Duhet të zbuloni sa mollë ka gjithsej. Nuk është e nevojshme t'i vendosni të gjitha mollët në një grumbull dhe t'i numëroni ato. Le të shkruajmë në letër sa mollë ka në çdo vazo dhe t'i mbledhim këta numra. Për shembull, 
.
Nëse ndonjë vazo rezulton e zbrazët, atëherë do të shkruajmë se ka zero mollë në të dhe numërimi i përgjithshëm do të duket kështu: 
.
Një vazo bosh nuk ndikon në numrin e përgjithshëm të mollëve. Domethënë, duke shtuar zero nuk ndryshon sasia origjinale: .
