Pyetjet më të shpeshta
A është e mundur të bëhet një vulë në një dokument sipas mostrës së dhënë? Përgjigju Po, është e mundur. Dërgoni një kopje ose foto të skanuar në adresën tonë të emailit cilësi të mirë, dhe ne do të bëjmë dublikatën e nevojshme.
Çfarë lloje pagese pranoni?
Përgjigju Ju mund të paguani për dokumentin pas marrjes nga korrieri, pasi të kontrolloni korrektësinë e përfundimit dhe cilësinë e ekzekutimit të diplomës. Kjo mund të bëhet edhe në zyrat e kompanive postare që ofrojnë shërbime me para në dorë.
Të gjitha kushtet e dorëzimit dhe pagesës për dokumentet përshkruhen në seksionin "Pagesa dhe Dorëzimi". Ne jemi gjithashtu të gatshëm të dëgjojmë sugjerimet tuaja në lidhje me kushtet e dorëzimit dhe pagesës për dokumentin.
A mund të jem i sigurt që pas vendosjes së një porosie nuk do të zhdukesh me paratë e mia? Përgjigju Ne kemi një përvojë mjaft të gjatë në fushën e prodhimit të diplomave. Ne kemi disa faqe interneti që përditësohen vazhdimisht. Specialistët tanë punojnë në kënde të ndryshme vende, duke prodhuar mbi 10 dokumente në ditë. Gjatë viteve, dokumentet tona kanë ndihmuar shumë njerëz të zgjidhin problemet e punësimit ose të kalojnë në punë me paga më të larta. Ne kemi fituar besimin dhe njohjen midis klientëve, kështu që nuk ka absolutisht asnjë arsye që ne ta bëjmë këtë. Për më tepër, kjo është thjesht e pamundur të bëhet fizikisht: ju paguani për porosinë tuaj kur e merrni në duart tuaja, nuk ka parapagim.
A mund të porosis një diplomë nga ndonjë universitet? Përgjigju Në përgjithësi, po. Ne kemi punuar në këtë fushë për gati 12 vjet. Gjatë kësaj kohe u formua një bazë pothuajse e plotë e dokumenteve të lëshuara nga pothuajse të gjitha universitetet në vend dhe më gjerë. vite të ndryshme lëshimi. Gjithçka që ju nevojitet është të zgjidhni një universitet, specialitet, dokument dhe të plotësoni formularin e porosisë.
Çfarë duhet të bëni nëse gjeni gabime shtypi dhe gabime në një dokument?
Përgjigju Kur merrni një dokument nga korrieri ose kompania jonë postare, ju rekomandojmë që të kontrolloni me kujdes të gjitha detajet. Nëse zbulohet një gabim shtypi, gabim ose pasaktësi, ju keni të drejtë të mos e merrni diplomën dhe duhet t'i tregoni personalisht korrierit defektet e zbuluara ose me shkrim duke dërguar një letër tek email.
NË sa më shpejt të jetë e mundur Do ta korrigjojmë dokumentin dhe do ta ridërgojmë në adresën e specifikuar. Natyrisht, transporti do të paguhet nga kompania jonë.
Për të shmangur keqkuptime të tilla, përpara se të plotësoni formularin origjinal, ne i dërgojmë klientit një model të dokumentit të ardhshëm me email për kontroll dhe miratim të versionit përfundimtar. Përpara dërgimit të dokumentit me korrier ose postë, ne bëjmë gjithashtu foto dhe video shtesë (përfshirë dritën ultravjollcë) në mënyrë që të keni një ide të qartë se çfarë do të merrni në fund.
Çfarë duhet të bëj për të porositur një diplomë nga kompania juaj?
Përgjigju Për të porositur një dokument (certifikatë, diplomë, certifikatë akademike etj.) duhet të plotësoni formularin e porosisë online në faqen tonë të internetit ose të jepni emailin tuaj në mënyrë që ne t'ju dërgojmë një formular pyetësor, të cilin duhet ta plotësoni dhe ta dërgoni përsëri tek ne.
Nëse nuk dini çfarë të tregoni në ndonjë fushë të formularit/pyetësorit të porosisë, lini ato bosh. Prandaj, ne do t'i sqarojmë të gjitha informacionet që mungojnë përmes telefonit.
Vlerësimet e fundit
Alexey:
Më duhej të merrja një diplomë për të gjetur një punë si menaxher. Dhe më e rëndësishmja është se kam përvojë dhe aftësi, por nuk mund të gjej punë pa dokument. Sapo takova faqen tuaj, më në fund vendosa të blej një diplomë. Diploma u perfundua per 2 dite!! Tani kam një punë që nuk e kam ëndërruar më parë!! faleminderit!
Identitete trigonometrike- këto janë barazi që vendosin një lidhje midis sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi, i cili ju lejon të gjeni ndonjë nga këto funksione, me kusht që të dihet ndonjë tjetër.
tg \alfa = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alfa = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alfa \cdot ctg \alfa = 1
Ky identitet thotë se shuma e katrorit të sinusit të një këndi dhe katrorit të kosinusit të një këndi është e barabartë me një, gjë që në praktikë bën të mundur llogaritjen e sinusit të një këndi kur dihet kosinusi i tij dhe anasjelltas. .
Gjatë konvertimit shprehjet trigonometrike Ky identitet përdoret shumë shpesh, i cili lejon që dikush të zëvendësojë shumën e katrorëve të kosinusit dhe sinusit të një këndi me një dhe gjithashtu të kryejë operacionin e zëvendësimit në rend të kundërt.
Gjetja e tangjentes dhe kotangjentes duke përdorur sinusin dhe kosinusin
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Këto identitete formohen nga përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentit dhe kotangjentit. Në fund të fundit, nëse e shikoni, atëherë me përkufizim ordinata y është një sinus, dhe abshisa x është një kosinus. Atëherë tangjenta do të jetë e barabartë me raportin \frac(y)(x)=\frac(\sin \alfa)(\cos \alfa), dhe raporti \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- do të jetë një kotangjent.
Le të shtojmë se vetëm për kënde të tilla \alfa në të cilat funksionet trigonometrike të përfshira në to kanë kuptim, identitetet do të qëndrojnë, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Për shembull: tg \alfa = \frac(\sin \alfa)(\cos \alfa)është e vlefshme për këndet \alfa që janë të ndryshme nga \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- për një kënd \alfa të ndryshëm nga \pi z, z është një numër i plotë.
Marrëdhënia midis tangjentes dhe kotangjentes
tg \alpha \cdot ctg \alfa=1
Ky identitet është i vlefshëm vetëm për këndet \alfa që janë të ndryshme nga \frac(\pi)(2) z. Përndryshe, as kotangjentja ose tangjenta nuk do të përcaktohet.
Bazuar në pikat e mësipërme, marrim se tg \alfa = \frac(y)(x), A ctg \alfa=\frac(x)(y). Nga kjo rrjedh se tg \alfa \cdot ctg \alfa = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Kështu, tangjentja dhe kotangjentja e të njëjtit kënd në të cilin kanë kuptim janë numra reciprokisht të anasjelltë.
Marrëdhëniet midis tangjentës dhe kosinusit, kotangjentit dhe sinusit
tg^(2) \alfa + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alfa)- shuma e katrorit të tangjentes së këndit \alfa dhe 1 është e barabartë me katrorin e anasjelltë të kosinusit të këtij këndi. Ky identitet është i vlefshëm për të gjithë \alfat përveç \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alfa=\frac(1)(\sin^(2)\alfa)- shuma e 1 dhe katrorit të kotangjentes së këndit \alfa është e barabartë me katrorin e anasjelltë të sinusit këndi i dhënë. Ky identitet është i vlefshëm për çdo \alfa të ndryshme nga \pi z.
Shembuj me zgjidhje të problemeve duke përdorur identitete trigonometrike
Shembulli 1
Gjeni \sin \alpha dhe tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 Dhe \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Trego zgjidhje
Zgjidhje
Funksionet \sin \alpha dhe \cos \alpha lidhen me formulën \sin^(2)\alfa + \cos^(2) \alfa = 1. Zëvendësimi në këtë formulë \cos \alfa = -\frac12, marrim:
\sin^(2)\alfa + \majtas (-\frac12 \djathtas)^2 = 1
Ky ekuacion ka 2 zgjidhje:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Sipas kushteve \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Në tremujorin e dytë sinusi është pozitiv, pra \sin \alfa = \frac(\sqrt 3)(2).
Për të gjetur tan \alpha, ne përdorim formulën tg \alfa = \frac(\sin \alfa)(\cos \alfa)
tg \alfa = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Shembulli 2
Gjeni \cos \alpha dhe ctg \alpha nëse dhe \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Trego zgjidhje
Zgjidhje
Zëvendësimi në formulë \sin^(2)\alfa + \cos^(2) \alfa = 1 numri i dhënë \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), marrim \majtas (\frac(\sqrt3)(2)\djathtas)^(2) + \cos^(2) \alfa = 1. Ky ekuacion ka dy zgjidhje \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Sipas kushteve \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Në tremujorin e dytë kosinusi është negativ, pra \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Për të gjetur ctg \alpha, ne përdorim formulën ctg \alfa = \frac(\cos \alfa)(\sin \alpha). Ne i dimë vlerat përkatëse.
ctg \alfa = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Ne do të fillojmë studimin tonë të trigonometrisë me trekëndëshin kënddrejtë. Le të përcaktojmë se çfarë janë sinusi dhe kosinusi, si dhe tangjenti dhe kotangjenti kënd akut. Këto janë bazat e trigonometrisë.
Le t'ju kujtojmë se kënd i drejtëështë një kënd i barabartë me 90 gradë. Me fjalë të tjera, gjysmë këndi i kthyer.
Këndi akut- më pak se 90 gradë.
Këndi i mpirë- më shumë se 90 gradë. Në lidhje me një kënd të tillë, "i trashë" nuk është një fyerje, por një term matematikor :-)
Le të vizatojmë një trekëndësh kënddrejtë. Një kënd i drejtë zakonisht shënohet me . Ju lutemi vini re se ana përballë këndit tregohet me të njëjtën shkronjë, vetëm e vogël. Kështu, caktohet ana përballë këndit A.
Këndi tregohet nga përkatësi Letra greke.
Hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë është brinja përballë këndit të drejtë.
Këmbët- faqet e shtrira përballë këndeve akute.
Këmba e shtrirë përballë këndit quhet përballë(në lidhje me këndin). Këmba tjetër, e cila shtrihet në njërën nga anët e këndit, quhet ngjitur.
Sinus Këndi i mprehtë në një trekëndësh kënddrejtë është raporti anën e kundërt te hipotenuza:
Kosinusi këndi akut në një trekëndësh të drejtë - raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën:
Tangjente këndi akut në një trekëndësh të drejtë - raporti i anës së kundërt me fqinjin:
Një përkufizim tjetër (ekuivalent): tangjentja e një këndi akut është raporti i sinusit të këndit me kosinusin e tij:
Kotangjente këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë - raporti i anës ngjitur me të kundërtën (ose, që është i njëjtë, raporti i kosinusit me sinusin):
Vini re marrëdhëniet bazë për sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjentën më poshtë. Ata do të jenë të dobishëm për ne kur zgjidhim problemet.
Le të vërtetojmë disa prej tyre.
Mirë, ne kemi dhënë përkufizime dhe kemi shkruar formula. Por pse kemi ende nevojë për sinus, kosinus, tangjentë dhe kotangjent?
Ne e dimë atë shuma e këndeve të çdo trekëndëshi është e barabartë me.
Ne e dimë marrëdhënien ndërmjet partive trekëndësh kënddrejtë. Kjo është teorema e Pitagorës: .
Rezulton se duke ditur dy kënde në një trekëndësh, mund të gjesh të tretin. Duke ditur dy anët e një trekëndëshi kënddrejtë, mund të gjeni të tretën. Kjo do të thotë që këndet kanë raportin e tyre, dhe anët kanë të tyren. Por çfarë duhet të bëni nëse në një trekëndësh kënddrejtë njihni një kënd (përveç këndit të drejtë) dhe njërën anë, por duhet të gjeni anët e tjera?
Kjo është ajo që njerëzit në të kaluarën hasnin kur bënin harta të zonës dhe qiellit me yje. Në fund të fundit, nuk është gjithmonë e mundur të maten drejtpërdrejt të gjitha anët e një trekëndëshi.
Sinus, kosinus dhe tangjent - quhen gjithashtu funksionet e këndit trigonometrik- japin marrëdhënie ndërmjet partive Dhe qoshet trekëndëshi. Duke ditur këndin, mund të gjeni të gjitha funksionet e tij trigonometrike duke përdorur tabela të veçanta. Dhe duke ditur sinuset, kosinuset dhe tangjentet e këndeve të një trekëndëshi dhe njërës prej brinjëve të tij, mund të gjeni pjesën tjetër.
Ne gjithashtu do të vizatojmë një tabelë të vlerave të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës për kënde "të mira" nga në.
Ju lutemi vini re dy vijat e kuqe në tabelë. Në vlerat e duhura të këndit, tangjentja dhe kotangjentja nuk ekzistojnë.
Le të shohim disa probleme trigonometrike nga Banka e Detyrave FIPI.
1. Në një trekëndësh, këndi është , . Gjeni.
Problemi zgjidhet në katër sekonda.
Që nga , .
2. Në një trekëndësh, këndi është , , . Gjeni.
Le ta gjejmë duke përdorur teoremën e Pitagorës.
Problemi është zgjidhur.
Shpesh në problema ka trekëndësha me kënde dhe ose me kënde dhe. Mos harroni raportet bazë për ta përmendësh!
Për një trekëndësh me kënde dhe këmbën përballë këndit në është e barabartë me gjysma e hipotenuzës.
Një trekëndësh me kënde dhe është dykëndësh. Në të, hipotenuza është herë më e madhe se këmba.
Ne shikuam problemet për të zgjidhur trekëndëshat kënddrejtë- domethënë të gjejë brinjë ose kënde të panjohura. Por kjo nuk është e gjitha! NË Opsionet e Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë ka shumë probleme ku shfaqet sinusi, kosinusi, tangjentja ose kotangjentja e këndit të jashtëm të një trekëndëshi. Më shumë për këtë në artikullin vijues.
Kosinusi i shumës dhe ndryshimit të dy këndeve
Në këtë seksion do të vërtetohen dy formulat e mëposhtme:
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)
Kosinusi i shumës (diferencës) së dy këndeve e barabartë me produktin kosinuset e këtyre këndeve minus (plus) prodhimin e sinuseve të këtyre këndeve.
Do të jetë më e përshtatshme për ne që të fillojmë me vërtetimin e formulës (2). Për thjeshtësi të paraqitjes, fillimisht le të supozojmë se këndet α Dhe β kënaq kushtet e mëposhtme:
1) secili prej këtyre këndeve është jonegativ dhe më i vogël 2π:
0 < α <2π, 0< β < 2π;
2) α > β .
Le të jetë pjesa pozitive e boshtit 0x ana e përbashkët e fillimit të këndeve α Dhe β .
Anët fundore të këtyre këndeve i shënojmë përkatësisht me 0A dhe 0B. Është e qartë se këndi α - β mund të konsiderohet si këndi me të cilin rrezja 0B duhet të rrotullohet rreth pikës 0 në të kundërt të akrepave të orës në mënyrë që drejtimi i tij të përputhet me drejtimin e rrezes 0A.
Në rrezet 0A dhe 0B shënojmë pikat M dhe N, të vendosura në një distancë prej 1 nga origjina e koordinatave 0, në mënyrë që 0M = 0N = 1.
Në sistemin e koordinatave x0y, pika M ka koordinata ( cos α, sin α), dhe pika N është koordinatat ( cos β, sin β). Prandaj, katrori i distancës ndërmjet tyre është:
d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +
+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .
Në llogaritjet tona kemi përdorur identitetin
sin 2 φ + cos 2 φ = 1.
Tani merrni parasysh një sistem tjetër koordinativ B0C, i cili përftohet duke rrotulluar boshtet 0x dhe 0y rreth pikës 0 në drejtim të kundërt të akrepave të orës me një kënd β .
Në këtë sistem koordinativ, pika M ka koordinata (cos ( α - β ), mëkat ( α - β )), dhe pika N është koordinata (1,0). Prandaj, katrori i distancës ndërmjet tyre është:
d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +
+ sin 2 (α - β) = 2 .
Por distanca ndërmjet pikave M dhe N nuk varet nga cili sistem koordinativ po i shqyrtojmë këto pika në lidhje. Kjo është arsyeja pse
d 1 2 = d 2 2
2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .
Këtu vijon formula (2).
Tani duhet të kujtojmë ato dy kufizime që vendosëm për thjeshtësinë e paraqitjes në kënde α Dhe β .
Kërkesa që secili nga qoshet α Dhe β ishte jo negative, jo vërtet domethënëse. Në fund të fundit, në cilindo nga këto kënde mund të shtoni një kënd që është shumëfish i 2, i cili nuk do të ndikojë në vlefshmërinë e formulës (2). Në të njëjtën mënyrë, nga secili prej këtyre këndeve mund të zbrisni një kënd që është shumëfish i 2π. Prandaj mund të supozojmë se 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.
Gjendja gjithashtu rezulton të jetë e parëndësishme α > β . Në të vërtetë, nëse α < β , Kjo β >α ; prandaj, duke pasur parasysh paritetin e funksionit cos X , marrim:
cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,
e cila në thelb përkon me formulën (2). Pra formula
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
e vërtetë për të gjitha këndet α Dhe β . Në veçanti, duke zëvendësuar në të β në - β dhe duke pasur parasysh se funksioni cosX është i barabartë, dhe funksioni mëkatX e çuditshme, marrim:
cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =
= cos α cos β - sin α sin β,
që vërteton formulën (1).
Pra, formulat (1) dhe (2) janë vërtetuar.
Shembuj.
1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =
2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
Ushtrime
1 . Llogaritni pa përdorur tabelat trigonometrike:
a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;
b) mëkat 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;
c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;
d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;
e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;
e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .
2.Thjeshtoni shprehjet:
a). si( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .
b). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + mëkat (36° + α ) mëkat ( α - 24°).
V). mëkat (π/4 - α ) mëkat (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )
d) co 2 α + tg α mëkat 2 α .
3 . Llogaritni :
a) cos(α - β), Nëse
cos α = - 2 / 5 , sin β = - 5 / 13 ;
90°< α < 180°, 180° < β < 270°;
b) cos ( α + π / 6), nëse cos α = 0,6;
3π/2< α < 2π.
4 . Gjeni cos(α + β) dhe cos (α - β) ,nëse dihet se mëkati α = 7/25, koz β = - 5/13 dhe të dy këndet ( α Dhe β ) përfundojnë në të njëjtin tremujor.
5 .Llogaritni:
A). cos [arcsin 1/3 + arccos 2/3]
b). cos [arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .
V). cos [ arctan 1 / 2 + arccos (- 2) ]
Formulat për shumën dhe ndryshimin e sinuseve dhe kosinuseve për dy kënde α dhe β na lejojnë të lëvizim nga shuma e këtyre këndeve në produktin e këndeve α + β 2 dhe α - β 2. Le të vërejmë menjëherë se nuk duhet të ngatërroni formulat për shumën dhe ndryshimin e sinuseve dhe kosinuseve me formulat për sinuset dhe kosinuset e shumës dhe diferencës. Më poshtë rendisim këto formula, japim derivimet e tyre dhe tregojmë shembuj të aplikimit për detyra specifike.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Formulat për shumën dhe ndryshimin e sinuseve dhe kosinuseve
Le të shkruajmë se si duken formulat e shumës dhe ndryshimit për sinuset dhe kosinuset
Formulat e shumës dhe diferencës për sinuset
mëkat α + mëkat β = 2 mëkat α + β 2 cos α - β 2 mëkat α - mëkat β = 2 mëkat α - β 2 cos α + β 2
Formulat e shumës dhe diferencës për kosinusët
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2
Këto formula janë të vlefshme për çdo kënd α dhe β. Këndet α + β 2 dhe α - β 2 quhen respektivisht gjysma e shumës dhe gjysmëdiferenca e këndeve alfa dhe beta. Le të japim formulimin për secilën formulë.
Përkufizime të formulave për shumat dhe dallimet e sinuseve dhe kosinuseve
Shuma e sinuseve të dy këndeveështë e barabartë me dyfishin e prodhimit të sinusit të gjysmës së shumës së këtyre këndeve dhe kosinusit të gjysmëdiferencës.
Dallimi i sinuseve të dy këndeveështë e barabartë me dyfishin e prodhimit të sinusit të gjysmëdiferencës së këtyre këndeve dhe kosinusit të gjysmës së shumës.
Shuma e kosinuseve të dy këndeveështë e barabartë me dyfishin e prodhimit të kosinusit të gjysmës së shumës dhe kosinusit të gjysmëdiferencës së këtyre këndeve.
Dallimi i kosinuseve të dy këndeveështë e barabartë me dyfishin e prodhimit të sinusit të gjysmës së shumës dhe kosinusit të gjysmëdiferencës së këtyre këndeve, marrë me shenjë negative.
Nxjerrja e formulave për shumën dhe ndryshimin e sinuseve dhe kosinuseve
Për të nxjerrë formulat për shumën dhe ndryshimin e sinusit dhe kosinusit të dy këndeve, përdoren formulat e mbledhjes. Le t'i rendisim më poshtë
sin (α + β) = mëkat α · cos β + cos α · mëkat β sin (α - β) = mëkat α · cos β - cos α · mëkat β cos (α + β) = cos α · cos β - mëkat α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Le të imagjinojmë edhe vetë këndet si një shumë gjysmëshumash dhe gjysmë-diferencash.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Ne vazhdojmë drejtpërdrejt në nxjerrjen e formulave të shumës dhe ndryshimit për sin dhe cos.
Nxjerrja e formulës për shumën e sinuseve
Në shumën sin α + sin β, ne zëvendësojmë α dhe β me shprehjet për këto kënde të dhëna më sipër. marrim
mëkat α + mëkat β = mëkat α + β 2 + α - β 2 + mëkat α + β 2 - α - β 2
Tani ne aplikojmë formulën e shtimit në shprehjen e parë, dhe në të dytën - formulën për sinusin e dallimeve të këndit (shih formulat më lart)
sin α + β 2 + α - β 2 = mëkat α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 mëkat α - β 2 mëkat α + β 2 - α - β 2 = mëkat α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = mëkat α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Hapni kllapat dhe jepni terma të ngjashëm dhe marrim formulën e kërkuar
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 mëkat α - β 2 = = 2 mëkat α + β 2 cos α - β 2
Hapat për të nxjerrë formulat e mbetura janë të ngjashme.
Nxjerrja e formulës për diferencën e sinuseve
mëkat α - mëkat β = mëkat α + β 2 + α - β 2 - mëkat α + β 2 - α - β 2 mëkat α + β 2 + α - β 2 - mëkat α + β 2 - α - β 2 = mëkat α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - mëkat α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 mëkat α - β 2 = = 2 mëkat α - β 2 cos α + β 2
Nxjerrja e formulës për shumën e kosinuseve
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2
Nxjerrja e formulës për diferencën e kosinuseve
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 mëkat α - β 2 = = - 2 mëkat α + β 2 sin α - β 2
Shembuj të zgjidhjes së problemeve praktike
Për të filluar, le të kontrollojmë një nga formulat duke zëvendësuar vlera specifike qoshet Le të a = π 2, β = π 6. Le të llogarisim vlerën e shumës së sinuseve të këtyre këndeve. Së pari, le të përdorim tabelën e vlerave bazë funksionet trigonometrike, dhe më pas aplikoni formulën për shumën e sinuseve.
Shembulli 1. Kontrollimi i formulës për shumën e sinuseve të dy këndeve
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 mëkat π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Le të shqyrtojmë tani rastin kur vlerat e këndit ndryshojnë nga vlerat bazë të paraqitura në tabelë. Le të a = 165°, β = 75°. Le të llogarisim ndryshimin midis sinuseve të këtyre këndeve.
Shembulli 2. Zbatimi i formulës së ndryshimit të sinuseve
α = 165 °, β = 75 ° mëkat α - mëkat β = mëkat 165 ° - mëkat 75 ° mëkat 165 - mëkat 75 = 2 mëkat 165 ° - mëkat 75 ° 2 cos 165 ° + mëkat 75 ° 2 = = 2 mëkat 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Duke përdorur formulat për shumën dhe ndryshimin e sinuseve dhe kosinuseve, mund të kaloni nga shuma ose diferenca në produktin e funksioneve trigonometrike. Shpesh këto formula quhen formula për kalimin nga një shumë në një produkt. Formulat për shumën dhe ndryshimin e sinuseve dhe kosinuseve përdoren gjerësisht në zgjidhje ekuacionet trigonometrike dhe gjatë konvertimit të shprehjeve trigonometrike.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
