Për të zgjidhur me sukses ekuacionet trigonometrike i përshtatshëm për t'u përdorur metoda e reduktimit ndaj problemeve të zgjidhura më parë. Le të kuptojmë se cili është thelbi i kësaj metode?
Në çdo problem të propozuar, ju duhet të shihni një problem të zgjidhur më parë, dhe më pas, duke përdorur të njëpasnjëshme transformimet ekuivalente përpiquni ta reduktoni detyrën që ju është dhënë në një më të thjeshtë.
Pra, kur vendosni ekuacionet trigonometrike zakonisht arrijnë në disa sekuencë e fundme ekuacionet ekuivalente, lidhja e fundit e të cilave është një ekuacion me zgjidhje të dukshme. Është e rëndësishme vetëm të mbani mend se nëse nuk formohen aftësitë për zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike, atëherë zgjidhja është më shumë ekuacionet komplekse do të jetë e vështirë dhe joefektive.
Përveç kësaj, kur zgjidhni ekuacionet trigonometrike, nuk duhet të harroni kurrë se ekzistojnë disa metoda të mundshme zgjidhjeje.
Shembulli 1. Gjeni numrin e rrënjëve ekuacionet cos x = -1/2 në intervalin .
Zgjidhja:
Metoda I Le të vizatojmë funksionet y = cos x dhe y = -1/2 dhe të gjejmë numrin e pikave të tyre të përbashkëta në interval (Fig. 1).
Meqenëse grafikët e funksionit kanë dy pikat e përbashkëta në intervalin , atëherë ekuacioni përmban dy rrënjë në këtë interval.
Metoda II. Duke përdorur një rreth trigonometrik (Fig. 2) gjejmë numrin e pikave që i përkasin intervalit, në të cilën cos x = -1/2. Figura tregon se ekuacioni ka dy rrënjë. 
Metoda III. Duke përdorur formulën për rrënjët e ekuacionit trigonometrik, zgjidhim ekuacionin cos x = -1/2.
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – numër i plotë (k € Z);
x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – numër i plotë (k € Z);
x = ± (π – π/3) + 2πk, k – numër i plotë (k € Z);
x = ± 2π/3 + 2πk, k – numër i plotë (k € Z).
Intervali përmban rrënjët 2π/3 dhe -2π/3 + 2π, k është një numër i plotë. Kështu, ekuacioni ka dy rrënjë në një interval të caktuar.
Përgjigje: 2.
Në të ardhmen, ekuacionet trigonometrike do të zgjidhen duke përdorur një nga metodat e propozuara, e cila në shumë raste nuk përjashton përdorimin e metodave të tjera.
Shembulli 2. Gjeni numrin e zgjidhjeve të ekuacionit tg (x + π/4) = 1 në intervalin [-2π; 2π].
Zgjidhja:
Duke përdorur formulën për rrënjët e një ekuacioni trigonometrik, marrim:
x + π/4 = arctan 1 + πk, k – numër i plotë (k € Z);
x + π/4 = π/4 + πk, k – numër i plotë (k € Z);
x = πk, k – numër i plotë (k € Z);
Intervali [-2π; 2π] i përkasin numrave -2π; -π; 0; π; 2π. Pra, ekuacioni ka pesë rrënjë në një interval të caktuar.
Përgjigje: 5.
Shembulli 3. Gjeni numrin e rrënjëve të ekuacionit cos 2 x + sin x · cos x = 1 në intervalin [-π; π].
Zgjidhja:
Meqenëse 1 = mëkat 2 x + cos 2 x (bazë identiteti trigonometrik), atëherë ekuacioni origjinal merr formën:
cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;
sin 2 x – sin x cos x = 0;
sin x(sin x – cos x) = 0. Produkti është i barabartë me zero, që do të thotë se të paktën një nga faktorët duhet të jetë e barabartë me zero, Kjo është arsyeja pse:
sin x = 0 ose sin x – cos x = 0.
Meqenëse vlerat e ndryshores në të cilën cos x = 0 nuk janë rrënjët e ekuacionit të dytë (sinusi dhe kosinusi i të njëjtit numër nuk mund të jenë të barabartë me zero në të njëjtën kohë), ne ndajmë të dy anët e ekuacionit të dytë nga cos x:
sin x = 0 ose sin x / cos x - 1 = 0.
Në ekuacionin e dytë përdorim faktin që tg x = sin x / cos x, atëherë:
sin x = 0 ose tan x = 1. Duke përdorur formulat kemi:
x = πk ose x = π/4 + πk, k – numër i plotë (k € Z).
Nga seria e parë e rrënjëve në intervalin [-π; π] i përkasin numrave -π; 0; π. Nga seria e dytë: (π/4 – π) dhe π/4.
Pra, ka pesë rrënjë ekuacioni origjinal i përkasin intervalit [-π; π].
Përgjigje: 5.
Shembulli 4. Gjeni shumën e rrënjëve të ekuacionit tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 në intervalin [-π; 1.1π].
Zgjidhja:
Le ta rishkruajmë ekuacionin si më poshtë:
tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 dhe bëni një zëvendësim.
Le të tg x + сtgx = a. Le të vendosim në katror të dy anët e ekuacionit:
(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Le të zgjerojmë kllapat:
tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2.
Meqenëse tg x · сtgx = 1, atëherë tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2, që do të thotë
tg 2 x + сtg 2 x = a 2 – 2.
Tani ekuacioni origjinal duket si ky:
a 2 – 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. Duke përdorur teoremën e Vietës, gjejmë se a = -1 ose a = -2.
Le të bëjmë zëvendësimin e kundërt, kemi:
tg x + сtgx = -1 ose tg x + сtgx = -2. Le të zgjidhim ekuacionet që rezultojnë.
tg x + 1/tgx = -1 ose tg x + 1/tgx = -2.
Sipas pasurisë së të dyve, ato janë të ndërsjella numrat reciprokë përcaktojmë se ekuacioni i parë nuk ka rrënjë dhe nga ekuacioni i dytë kemi:
tg x = -1, d.m.th. x = -π/4 + πk, k – numër i plotë (k € Z).
Intervali [-π; 1,1π] i përkasin rrënjëve: -π/4; -π/4 + π. Shuma e tyre:
-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.
Përgjigje: π/2.
Shembulli 5. Gjeni mesataren rrënjët aritmetike ekuacionet e mëkatit 3x + sin x = mëkat 2x në intervalin [-π; 0,5π].
Zgjidhja:
Le të përfitojmë formula mëkatα + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2), atëherë
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x dhe ekuacioni bëhet
2sin 2x cos x = mëkat 2x;
2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Le të nxjerrim shumëzues i përbashkët mëkat 2 herë jashtë kllapave
sin 2x(2cos x – 1) = 0. Zgjidhe ekuacionin që rezulton:
sin 2x = 0 ose 2cos x – 1 = 0; 
sin 2x = 0 ose cos x = 1/2;
2x = πk ose x = ±π/3 + 2πk, k – numër i plotë (k € Z).
Kështu ne kemi rrënjë
x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – numër i plotë (k € Z).
Intervali [-π; 0,5π] i përkasin rrënjëve -π; -π/2; 0; π/2 (nga seria e parë e rrënjëve); π/3 (nga seria e dytë); -π/3 (nga seria e tretë). Mesatarja aritmetike e tyre është:
(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.
Përgjigje: -π/6.
Shembulli 6. Gjeni numrin e rrënjëve të ekuacionit sin x + cos x = 0 në intervalin [-1,25π; 2π].
Zgjidhja:
Ky ekuacion është një ekuacion homogjen i shkallës së parë. Le t'i ndajmë të dyja pjesët e saj me cosx (vlera e ndryshores në të cilën cos x = 0 nuk janë rrënjë ekuacioni i dhënë, pasi sinusi dhe kosinusi i të njëjtit numër nuk mund të jenë të barabartë me zero në të njëjtën kohë). Ekuacioni origjinal është:
x = -π/4 + πk, k – numër i plotë (k € Z).
Intervali [-1,25π; 2π] i përkasin rrënjëve -π/4; (-π/4 + π); dhe (-π/4 + 2π).
Kështu, intervali i dhënë përmban tre rrënjë të ekuacionit.
Përgjigje: 3.
Mësoni të bëni gjënë më të rëndësishme - imagjinoni qartë një plan për zgjidhjen e një problemi dhe më pas çdo ekuacion trigonometrik do të jetë në dorën tuaj.
Ende keni pyetje? Nuk dini si të zgjidhni ekuacionet trigonometrike?
Për të marrë ndihmë nga një mësues, regjistrohu.
faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.
Ju mund të porositni zgjidhje e detajuar detyra juaj!!!
Barazi që përmban të panjohurën nën shenjën funksioni trigonometrik(`sin x, cos x, tan x` ose `ctg x`) quhet ekuacion trigonometrik, dhe janë formulat e tyre që do të shqyrtojmë më tej.
Ekuacionet më të thjeshta janë `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, ku `x` është këndi që duhet gjetur, `a` është çdo numër. Le të shkruajmë formulat rrënjësore për secilën prej tyre.
1. Ekuacioni `sin x=a`.
Për `|a|>1` nuk ka zgjidhje.
Kur `|a| \leq 1` ka numër i pafund vendimet.
Formula e rrënjës: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Ekuacioni `cos x=a`
Për `|a|>1` - si në rastin e sinusit, zgjidhjet ndërmjet numra realë nuk ka.
Kur `|a| \leq 1` ka grup i pafund vendimet.
Formula e rrënjës: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Raste të veçanta për sinusin dhe kosinusin në grafikë. 
3. Ekuacioni `tg x=a`
Ka një numër të pafund zgjidhjesh për çdo vlerë të `a`.
Formula e rrënjës: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Ekuacioni `ctg x=a`
Gjithashtu ka një numër të pafund zgjidhjesh për çdo vlerë të `a`.
Formula e rrënjës: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Formulat për rrënjët e ekuacioneve trigonometrike në tabelë
Për sinusin: 
Për kosinusin: 
Për tangjenten dhe kotangjenten: 
Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve që përmbajnë funksione trigonometrike të anasjellta:
Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike
Zgjidhja e çdo ekuacioni trigonometrik përbëhet nga dy faza:
- me ndihmën e shndërrimit të tij në më të thjeshtën;
- zgjidhni ekuacionin më të thjeshtë të marrë duke përdorur formulat rrënjësore dhe tabelat e shkruara më sipër.
Le të shohim metodat kryesore të zgjidhjes duke përdorur shembuj.
Metoda algjebrike.
Kjo metodë përfshin zëvendësimin e një ndryshoreje dhe zëvendësimin e saj në një barazi.
Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
bëni një zëvendësim: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, pastaj `2y^2-3y+1=0`,
gjejmë rrënjët: `y_1=1, y_2=1/2`, nga të cilat pasojnë dy raste:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Përgjigje: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorizimi.
Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `sin x+cos x=1`.
Zgjidhje. Le t'i zhvendosim majtas të gjitha termat e barazisë: `sin x+cos x-1=0`. Duke përdorur , ne transformojmë dhe faktorizojmë anën e majtë:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Përgjigje: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Reduktimi në një ekuacion homogjen
Së pari, ju duhet ta zvogëloni këtë ekuacion trigonometrik në një nga dy format:
"a mëkat x+b cos x=0" ( ekuacioni homogjen shkalla e parë) ose `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ekuacion homogjen i shkallës së dytë).
Më pas ndani të dyja pjesët me `cos x \ne 0` - për rastin e parë, dhe me `cos^2 x \ne 0` - për të dytën. Ne marrim ekuacione për `tg x`: `a tg x+b=0` dhe `a tg^2 x + b tg x +c =0`, të cilat duhet të zgjidhen duke përdorur metoda të njohura.
Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Zgjidhje. Le ta shkruajmë anën e djathtë si `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Ky është një ekuacion homogjen trigonometrik i shkallës së dytë, e ndajmë anën e majtë dhe të djathtë me 'cos^2 x \ne 0', marrim:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Le të prezantojmë zëvendësimin `tg x=t`, duke rezultuar në `t^2 + t - 2=0`. Rrënjët e këtij ekuacioni janë `t_1=-2` dhe `t_2=1`. Pastaj:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \në Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \në Z`.
Përgjigju. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \në Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \në Z`.
Shkoni në gjysmë qoshe
Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Zgjidhje. Le të zbatojmë formulat kënd i dyfishtë, që rezulton në: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Duke zbatuar sa më sipër metodë algjebrike, marrim:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \në Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \në Z`.
Përgjigju. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \në Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \në Z`.
Futja e këndit ndihmës
Në ekuacionin trigonometrik `a sin x + b cos x =c`, ku a,b,c janë koeficientë dhe x është një variabël, ndani të dyja anët me `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.
Koeficientët në anën e majtë kanë vetitë e sinusit dhe kosinusit, domethënë shuma e katrorëve të tyre është e barabartë me 1 dhe modulet e tyre nuk janë më të mëdha se 1. Le t'i shënojmë si më poshtë: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, atëherë:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Le të hedhim një vështrim më të afërt në shembullin e mëposhtëm:
Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `3 sin x+4 cos x=2`.
Zgjidhje. Ndani të dyja anët e barazisë me `sqrt (3^2+4^2)`, marrim:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Le të shënojmë `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Meqenëse `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, pastaj si kënd ndihmës le të marrim `\varphi=arcsin 4/5`. Pastaj shkruajmë barazinë tonë në formën:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Duke zbatuar formulën për shumën e këndeve për sinusin, ne shkruajmë barazinë tonë në formën e mëposhtme:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n hark 2/5+ \pi n`, `n \në Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Përgjigju. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Ekuacionet racionale trigonometrike thyesore
Këto janë barazime me thyesa, numëruesit dhe emëruesit e të cilave përmbajnë funksione trigonometrike.
Shembull. Zgjidhe ekuacionin. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Zgjidhje. Shumëzoni dhe pjesëtoni anën e djathtë të barazisë me `(1+cos x)`. Si rezultat marrim:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Duke marrë parasysh që emëruesi nuk mund të jetë i barabartë me zero, marrim `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, `x \ne \pi+2\pi n, n \në Z`.
Le të barazojmë numëruesin e thyesës me zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Pastaj `sin x=0` ose `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \në Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \në Z`.
Duke pasur parasysh se `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, zgjidhjet janë `x=2\pi n, n \në Z` dhe `x=\pi /2+2\pi n` , `n \në Z`.
Përgjigju. `x=2\pi n`, `n \në Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \në Z`.
Trigonometria, dhe ekuacionet trigonometrike në veçanti, përdoren pothuajse në të gjitha fushat e gjeometrisë, fizikës dhe inxhinierisë. Mësimi fillon në klasën e 10-të, ka gjithmonë detyra për Provimin e Unifikuar të Shtetit, kështu që përpiquni të mbani mend të gjitha formulat e ekuacioneve trigonometrike - ato patjetër do t'ju jenë të dobishme!
Sidoqoftë, as nuk keni nevojë t'i mësoni përmendësh, gjëja kryesore është të kuptoni thelbin dhe të jeni në gjendje ta nxirrni atë. Nuk është aq e vështirë sa duket. Shihni vetë duke parë videon.
Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike.
Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike të çdo niveli kompleksiteti përfundimisht zbret në zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike. Dhe në këtë ndihmësi më i mirë përsëri rezulton të jetë një rreth trigonometrik.
Le të kujtojmë përkufizimet e kosinusit dhe sinusit.
Kosinusi i një këndi është abshisa (d.m.th., koordinata përgjatë boshtit) të një pike në rrethi njësi, që korrespondon me rrotullimin nëpër një kënd të caktuar.
Sinusi i një këndi është ordinata (d.m.th., koordinata përgjatë boshtit) e një pike në rrethin e njësisë që korrespondon me një rrotullim përmes një këndi të caktuar.
Drejtimi pozitiv i lëvizjes përgjatë rrethi trigonometrik Lëvizja në drejtim të kundërt të akrepave të orës konsiderohet. Një rrotullim prej 0 gradë (ose 0 radian) korrespondon me një pikë me koordinata (1;0)
Ne i përdorim këto përkufizime për të zgjidhur ekuacione të thjeshta trigonometrike.
1. Zgjidheni ekuacionin
Ky ekuacion plotësohet nga të gjitha vlerat e këndit të rrotullimit që korrespondojnë me pikat në rreth, ordinata e të cilit është e barabartë me .
Le të shënojmë një pikë me ordinatë në boshtin e ordinatës:
Le të kryejmë vije horizontale paralel me boshtin x derisa të kryqëzohet me rrethin. Ne marrim dy pika të shtrira në rreth dhe duke pasur një ordinatë. Këto pika korrespondojnë me këndet e rrotullimit në dhe radian:
Nëse ne, duke lënë pikën që korrespondon me këndin e rrotullimit me radian, shkojmë përreth rrethi i plotë, atëherë do të arrijmë në një pikë që i përgjigjet këndit të rrotullimit për radian dhe që ka të njëjtën ordinatë. Kjo do të thotë, ky kënd i rrotullimit plotëson gjithashtu ekuacionin tonë. Ne mund të bëjmë sa më shumë rrotullime "boshe" sa të duam, duke u kthyer në të njëjtën pikë dhe të gjitha këto vlera të këndit do të kënaqin ekuacionin tonë. Numri i rrotullimeve "boshe" do të shënohet me shkronjën (ose). Meqenëse ne mund t'i bëjmë këto revolucione si në pozitive ashtu edhe në negative drejtim negativ, (ose ) mund të marrë çdo vlerë të plotë.
Kjo do të thotë, seria e parë e zgjidhjeve për ekuacionin origjinal ka formën:
, , - grup i numrave të plotë (1)
Në mënyrë të ngjashme, seria e dytë e zgjidhjeve ka formën:
, Ku , . (2)
Siç mund ta keni marrë me mend, kjo seri zgjidhjesh bazohet në pikën në rreth që korrespondon me këndin e rrotullimit me .
Këto dy seri zgjidhjesh mund të kombinohen në një hyrje:
Nëse marrim (d.m.th., çift) në këtë hyrje, atëherë do të marrim serinë e parë të zgjidhjeve.
Nëse marrim (d.m.th., tek) në këtë hyrje, atëherë marrim serinë e dytë të zgjidhjeve.
2. Tani le të zgjidhim ekuacionin
Meqenëse kjo është abshisa e një pike në rrethin e njësisë që fitohet duke rrotulluar një kënd, ne shënojmë pikën me abshisën në bosht:
Le të kryejmë vijë vertikale paralel me boshtin derisa të kryqëzohet me rrethin. Do të marrim dy pikë duke u shtrirë në rreth dhe duke pasur një abshisë. Këto pika korrespondojnë me këndet e rrotullimit në dhe radian. Kujtojmë se kur lëvizim në drejtim të akrepave të orës marrim kënd negativ rrotullimi:
Le të shkruajmë dy seri zgjidhjesh:
,
,
(Ne arrijmë në pikën e dëshiruar duke shkuar nga rrethi kryesor i plotë, d.m.th.
Le t'i kombinojmë këto dy seri në një hyrje:
3. Zgjidhe ekuacionin
Drejtëza tangjente kalon nëpër pikën me koordinata (1,0) të rrethit njësi paralel me boshtin OY
Le të shënojmë një pikë në të me një ordinatë të barabartë me 1 (ne kërkojmë tangjentën e të cilave kënde është e barabartë me 1):
Le ta lidhim këtë pikë me origjinën e koordinatave me një vijë të drejtë dhe të shënojmë pikat e kryqëzimit të drejtëzës me rrethin njësi. Pikat e kryqëzimit të vijës së drejtë dhe rrethit korrespondojnë me këndet e rrotullimit në dhe:
Meqenëse pikat që korrespondojnë me këndet e rrotullimit që plotësojnë ekuacionin tonë qëndrojnë në një distancë prej radianësh nga njëra-tjetra, ne mund ta shkruajmë zgjidhjen në këtë mënyrë:
4. Zgjidheni ekuacionin
Vija e kotangjentave kalon nëpër pikën me koordinatat e rrethit të njësisë paralele me boshtin.
Le të shënojmë një pikë me abshisë -1 në vijën e kotangjenteve:
Le ta lidhim këtë pikë me origjinën e drejtëzës dhe ta vazhdojmë derisa të kryqëzohet me rrethin. Kjo vijë e drejtë do të presë rrethin në pikat që korrespondojnë me këndet e rrotullimit në dhe radian:
Meqenëse këto pika janë të ndara nga njëra-tjetra me një distancë të barabartë me , atëherë vendim të përbashkët Këtë ekuacion mund ta shkruajmë kështu:
Në shembujt e dhënë që ilustrojnë zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike, janë përdorur vlerat tabelare të funksioneve trigonometrike.
Megjithatë, nëse në anën e djathtë të ekuacionit nuk ka vlera e tabelës, atëherë ne e zëvendësojmë vlerën në zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit:
ZGJIDHJE TË VEÇANTA:
Le të shënojmë pikat në rreth, ordinata e të cilit është 0:
Le të shënojmë një pikë të vetme në rreth, ordinata e të cilit është 1:
Le të shënojmë një pikë të vetme në rreth, ordinata e të cilit është e barabartë me -1:
Meqenëse është zakon të tregojmë vlerat më afër zeros, ne shkruajmë zgjidhjen si më poshtë:
Le të shënojmë pikat në rreth, abshisa e të cilit është e barabartë me 0:
5.
Le të shënojmë një pikë të vetme në rreth, abshisa e të cilit është e barabartë me 1:
Le të shënojmë një pikë të vetme në rreth, abshisa e të cilit është e barabartë me -1:
Dhe shembuj pak më kompleks:
1.
Sinus e barabartë me një, nëse argumenti është i barabartë
Argumenti i sinusit tonë është i barabartë, kështu që marrim:
Le të ndajmë të dyja anët e barazisë me 3:
Përgjigje:
2.
Kosinusi është zero nëse argumenti i kosinusit është
Argumenti i kosinusit tonë është i barabartë me , kështu që marrim:
Le të shprehemi, për ta bërë këtë, së pari lëvizim djathtas me shenjën e kundërt:
Le të thjeshtojmë anën e djathtë:
Ndani të dyja anët me -2:
Vini re se shenja përpara termit nuk ndryshon, pasi k mund të marrë çdo vlerë të plotë.
Përgjigje:
Dhe së fundi, shikoni video-tutorialin “Zgjedhja e rrënjëve në një ekuacion trigonometrik duke përdorur rrethi trigonometrik"
Kjo përfundon bisedën tonë për zgjidhjen e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike. Herën tjetër do të flasim se si të vendosim.
Ekuacionet trigonometrike. Si pjesë e provimit të matematikës në pjesën e parë ka një detyrë që lidhet me zgjidhjen e një ekuacioni - kjo ekuacione të thjeshta, të cilat zgjidhen në minuta, shumë lloje mund të zgjidhen me gojë. Përfshin: ekuacione lineare, kuadratike, racionale, irracionale, eksponenciale, logaritmike dhe trigonometrike.
Në këtë artikull do të shikojmë ekuacionet trigonometrike. Zgjidhja e tyre ndryshon si për nga vëllimi i llogaritjeve ashtu edhe për nga kompleksiteti nga problemet e tjera në këtë pjesë. Mos u shqetësoni, fjala "vështirësi" i referohet vështirësisë së tyre relative në krahasim me detyrat e tjera.
Përveç gjetjes së vetë rrënjëve të ekuacionit, është e nevojshme të përcaktohet negativi më i madh ose më i vogli rrënjë pozitive. Mundësia që ju të merrni një ekuacion trigonometrik në provim është, natyrisht, i vogël.
Në këtë pjesë të Provimit të Unifikuar të Shtetit janë më pak se 7% e tyre. Por kjo nuk do të thotë se ato duhet të injorohen. Në Pjesën C, ju gjithashtu duhet të zgjidhni një ekuacion trigonometrik, kështu që një kuptim i mirë i teknikës së zgjidhjes dhe kuptimi i teorisë është thjesht i nevojshëm.
Kuptimi i seksionit të trigonometrisë së matematikës do të përcaktojë shumë suksesin tuaj në zgjidhjen e shumë problemeve. Ju kujtoj se përgjigja është një numër i plotë ose një numër i kufizuar dhjetore. Pasi të keni marrë rrënjët e ekuacionit, sigurohuni që të kontrolloni. Nuk do të marrë shumë kohë dhe do t'ju shpëtojë nga gabimet.
Ne do të shikojmë edhe ekuacione të tjera në të ardhmen, mos e humbisni! Le të kujtojmë formulat për rrënjët e ekuacioneve trigonometrike, ju duhet t'i dini ato:
Njohja e këtyre vlerave është e nevojshme; E shkëlqyeshme, nëse kujtesa juaj është e mirë, i keni mësuar dhe kujtuar lehtësisht këto vlera. Çfarë duhet të bëni nëse nuk mund ta bëni këtë, ka konfuzion në kokën tuaj, por thjesht u hutuat kur merrni provimin. Do të ishte turp të humbisni një pikë sepse keni shkruar vlerën e gabuar në llogaritjet tuaja.
Këto vlera janë të thjeshta, jepet edhe në teorinë që keni marrë në letrën e dytë pas abonimit në buletin. Nëse nuk jeni abonuar ende, bëjeni këtë! Në të ardhmen do të shikojmë gjithashtu se si mund të përcaktohen këto vlera nga një rreth trigonometrik. Nuk është më kot që quhet "Zemra e Artë e Trigonometrisë".
Më lejoni të shpjegoj menjëherë, për të shmangur konfuzionin, se në ekuacionet e shqyrtuara më poshtë, jepen përkufizimet e arksinës, arkkosinës, arktangjentit duke përdorur këndin. X për ekuacionet përkatëse: cosx=a, sinx=a, tgx=a, ku X mund të jetë edhe shprehje. Në shembujt e mëposhtëm, argumenti ynë jepet pikërisht nga një shprehje.
Pra, le të shqyrtojmë detyrat e mëposhtme:
Gjeni rrënjën e ekuacionit:
Shkruani rrënjën më të madhe negative në përgjigjen tuaj.
Zgjidhja e ekuacionit cos x = a është dy rrënjë:
Përkufizim: Le të mos kalojë numri a në modul një. Kosinusi i harkut të një numri është këndi x që shtrihet në intervalin nga 0 në Pi, kosinusi i të cilit është i barabartë me a.
Do të thotë
Le të shprehemi x:
Le të gjejmë rrënjën më të madhe negative. Si ta bëjmë atë? Le të zëvendësojmë kuptime të ndryshme n në rrënjët që rezultojnë, llogaritni dhe zgjidhni negativin më të madh.
Ne llogarisim:
Me n = – 2 x 1 = 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 x 2 = 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5
Kur n = – 1 x 1 = 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 x 2 = 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5
Me n = 0 x 1 = 3∙0 – 4,5 = – 4,5 x 2 = 3∙0 – 5,5 = – 5,5
Me n = 1 x 1 = 3∙1 – 4,5 = – 1,5 x 2 = 3∙1 – 5,5 = – 2,5
Me n = 2 x 1 = 3∙2 - 4,5 = 1,5 x 2 = 3∙2 - 5,5 = 0,5
Ne zbuluam se rrënja negative më e madhe është –1.5
Përgjigje: -1.5
Vendosni vetë:
Zgjidhe ekuacionin:
Zgjidhja e ekuacionit sin x = a është dy rrënjë:
Ose (ai kombinon të dyja sa më sipër):
Përkufizimi: Le të mos kalojë numri a në modul një. Harku i një numri është një kënd x që shtrihet në intervalin nga – 90° deri në 90°, sinusi i të cilit është i barabartë me a.
Do të thotë
Shprehni x (shumezoni të dyja anët e ekuacionit me 4 dhe pjesëtoni me Pi):
Le të gjejmë rrënjën më të vogël pozitive. Këtu është menjëherë e qartë se kur zëvendësohet vlerat negative n do marrim rrënjë negative. Prandaj, ne do të zëvendësojmë n = 0,1,2...
Kur n = 0 x = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4
Kur n = 1 x = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6
Me n = 2 x = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12
Le të kontrollojmë me n = –1 x = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2
Pra, rrënja pozitive më e vogël është 4.
Përgjigje: 4
Vendosni vetë:
Zgjidhe ekuacionin:
Shkruani rrënjën më të vogël pozitive në përgjigjen tuaj.
