16 shndërrime të shprehjeve trigonometrike. Mësimi "Thjeshtimi i shprehjeve trigonometrike"

Mesimi 1

Tema: Klasa e 11-të (përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit)

Thjeshtimi shprehjet trigonometrike.

Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike. (2 orë)

Qëllimet:

• Sistematizoni, përgjithësoni, zgjeroni njohuritë dhe aftësitë e nxënësve në lidhje me përdorimin e formulave të trigonometrisë dhe zgjidhjen e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike.

Pajisjet për mësimin:

Struktura e mësimit:

1. Momenti organizativ
2. Testimi në laptopë. Diskutimi i rezultateve.
3. Thjeshtimi i shprehjeve trigonometrike
4. Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike
5. Punë e pavarur.
6. Përmbledhja e mësimit. Shpjegimi i detyrës së shtëpisë.

1. Momenti organizativ. (2 minuta.)

Mësuesi përshëndet të pranishmit, shpall temën e mësimit, u kujton atyre se më parë iu dha detyra të përsërisnin formulat e trigonometrisë dhe përgatit nxënësit për testim.

2. Testimi. (15 min + 3 min diskutim)

Qëllimi është të testohen njohuritë e formulave trigonometrike dhe aftësia për t'i zbatuar ato. Çdo student ka një laptop në tavolinën e tij me një version të testit.

Mund të ketë çdo numër opsionesh, unë do të jap një shembull të njërës prej tyre:

Opsioni I.

Thjeshtoni shprehjet:

a) identitetet bazë trigonometrike

1. mëkat 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) formulat e mbledhjes

3. sin5x - sin3x;

c) shndërrimi i një produkti në një shumë

6. 2sin8y cos3y;

d) formulat me kënd të dyfishtë

7. 2sin5x cos5x;

e) formulat për gjysmëkëndësh

f) formulat e këndit të trefishtë

dhe) zëvendësim universal

h) ulje në shkallë

16. cos 2 (3x/7);

Nxënësit shohin përgjigjet e tyre në laptop pranë çdo formule.

Puna kontrollohet menjëherë nga kompjuteri. Rezultatet shfaqen në një ekran të madh për t'i parë të gjithë.

Gjithashtu, pas përfundimit të punës, përgjigjet e sakta shfaqen në laptopët e nxënësve. Secili nxënës sheh se ku është bërë gabimi dhe çfarë formulash duhet të përsërisë.

3. Thjeshtimi i shprehjeve trigonometrike. (25 min.)

Qëllimi është të përsërisni, praktikoni dhe përforconi aplikacionin. formulat bazë trigonometria. Zgjidhja e problemave B7 nga Provimi i Unifikuar i Shtetit.

Në këtë fazë, këshillohet që klasa të ndahet në grupe nxënësish të fortë (punë në mënyrë të pavarur me testimin pasues) dhe nxënës të dobët që punojnë me mësuesin.

Detyrë për nxënës të fortë (të përgatitur paraprakisht për baza e shtypur). Theksi kryesor është në formulat e reduktimit dhe kënd i dyfishtë, sipas Provimit të Unifikuar të Shtetit 2011.

Thjeshtoni shprehjet (për nxënësit e fortë):

Në të njëjtën kohë, mësuesi punon me nxënës të dobët, duke diskutuar dhe zgjidhur detyra në ekran nën diktimin e nxënësve.

Llogaritni:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Thjeshtoni:

Ishte koha për të diskutuar rezultatet e punës së grupit të fortë.

Përgjigjet shfaqen në ekran dhe gjithashtu duke përdorur një videokamerë shfaqet puna e 5 nxënësve të ndryshëm (një detyrë për secilin).

Grupi i dobët sheh gjendjen dhe metodën e zgjidhjes. Diskutimet dhe analizat janë duke u zhvilluar. Duke përdorur mjete teknike ndodh shpejt.

4. Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike. (30 min.)

Qëllimi është të përsëritet, të sistemohet dhe të përgjithësohet zgjidhja e ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike dhe të shënohen rrënjët e tyre. Zgjidhja e problemit B3.

Çdo ekuacion trigonometrik, pavarësisht se si e zgjidhim, të çon në më të thjeshtën.

Gjatë kryerjes së detyrës, nxënësit duhet t'i kushtojnë vëmendje shkrimit të rrënjëve të ekuacioneve të rasteve të veçanta dhe pamje e përgjithshme dhe mbi përzgjedhjen e rrënjëve në ekuacionin e fundit.

Zgjidh ekuacionet:

Shkruani rrënjën më të vogël pozitive si përgjigje.

5. Punë e pavarur (10 min.)

Qëllimi është të testohen aftësitë e fituara, të identifikohen problemet, gabimet dhe mënyrat për t'i eliminuar ato.

Puna me shumë nivele ofrohet sipas zgjedhjes së studentit.

Opsioni "3"

1) Gjeni vlerën e shprehjes

2) Thjeshtoni shprehjen 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Zgjidhe ekuacionin

Opsioni për "4"

1) Gjeni vlerën e shprehjes

2) Zgjidhe ekuacionin Shkruani rrënjën më të vogël pozitive në përgjigjen tuaj.

Opsioni për "5"

1) Gjeni tana nëse

2) Gjeni rrënjën e ekuacionit Shkruani rrënjën më të vogël pozitive si përgjigje.

6. Përmbledhje e mësimit (5 min.)

Mësuesi/ja përmbledh atë që u përsërit dhe u përforcua në mësim formulat trigonometrike, zgjidhjen e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike.

Detyrat e shtëpisë caktohen (të përgatitura në mënyrë të shtypur paraprakisht) me një kontroll të rastësishëm në mësimin e ardhshëm.

Zgjidh ekuacionet:

9)

10) Në përgjigjen tuaj, tregoni rrënjën më të vogël pozitive.

Mësimi 2

Tema: Klasa e 11-të (përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit)

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike. Zgjedhja e rrënjës. (2 orë)

Qëllimet:

• Përgjithësoni dhe sistematizoni njohuritë për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike të llojeve të ndryshme.
• Promovoni zhvillimin të menduarit matematik nxënësit, aftësia për të vëzhguar, krahasuar, përgjithësuar, klasifikuar.
• Inkurajoni nxënësit të kapërcejnë vështirësitë në procesin e aktivitetit mendor, të vetëkontrollohen dhe të përvetësojnë aktivitetet e tyre.

Pajisjet për mësimin: KRMu, laptopë për çdo student.

Struktura e mësimit:

1. Momenti organizativ
2. Diskutim i d/z dhe vetes. punë nga mësimi i fundit
3. Rishikimi i metodave për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.
4. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike
5. Zgjedhja e rrënjëve në ekuacionet trigonometrike.
6. Punë e pavarur.
7. Përmbledhja e mësimit. Detyre shtepie.

1. Momenti organizativ (2 min.)

Mësuesi përshëndet auditorin, shpall temën e mësimit dhe planin e punës.

2. a) Analiza detyre shtepie(5 minuta.)

Qëllimi është të kontrolloni ekzekutimin. Një punë shfaqet në ekran duke përdorur një videokamerë, pjesa tjetër mblidhet në mënyrë selektive për kontrollin e mësuesit.

b) Analiza punë e pavarur(3 min.)

Qëllimi është të analizohen gabimet dhe të tregohen mënyrat për t'i kapërcyer ato.

Përgjigjet dhe zgjidhjet janë në ekran. Analiza vazhdon shpejt.

3. Rishikim i metodave për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike (5 min.)

Qëllimi është të kujtojmë metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

Pyetini nxënësit se çfarë metodash për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike njohin. Theksoni se ekzistojnë të ashtuquajturat metoda themelore (të përdorura shpesh):

• zëvendësim i ndryshueshëm,
• faktorizimi,
• ekuacionet homogjene,

dhe ka metoda të aplikuara:

• duke përdorur formulat për shndërrimin e një shume në një produkt dhe një produkti në një shumë,
• sipas formulave ulje në shkallë,
• universale zëvendësimi trigonometrik
• Prezantimi kënd ndihmës,
• shumëzimi me disa funksioni trigonometrik.

Duhet gjithashtu të kujtojmë se një ekuacion mund të zgjidhet në mënyra të ndryshme.

4. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike (30 min.)

Qëllimi është përgjithësimi dhe konsolidimi i njohurive dhe aftësive për këtë temë, përgatitja për zgjidhjen C1 nga Provimi i Unifikuar i Shtetit.

E konsideroj të këshillueshme zgjidhjen e ekuacioneve për secilën metodë së bashku me studentët.

Nxënësi dikton zgjidhjen, mësuesi e shkruan në tabletë dhe i gjithë procesi shfaqet në ekran. Kjo do t'ju lejojë të kujtoni shpejt dhe në mënyrë efektive materialet e mbuluara më parë në kujtesën tuaj.

Zgjidh ekuacionet:

1) duke zëvendësuar variablin 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizimi 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) ekuacionet homogjene sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) konvertimi i shumës në një produkt cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) konvertimi i produktit në shumën 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) zvogëlimi i shkallës sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0.5

7) zëvendësimi universal trigonometrik sinx + 5cosx + 5 = 0.

Gjatë zgjidhjes së këtij ekuacioni duhet theksuar se duke përdorur këtë metodëçon në një ngushtim të diapazonit të përkufizimit, pasi sinusi dhe kosinusi zëvendësohen me tg(x/2). Prandaj, përpara se të shkruani përgjigjen, duhet të kontrolloni nëse numrat nga bashkësia π + 2πn, n Z janë kuaj të këtij ekuacioni.

8) futja e një këndi ndihmës √3sinx + cosx - √2 = 0

9) shumëzimi me ndonjë funksion trigonometrik cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Zgjedhja e rrënjëve të ekuacioneve trigonometrike (20 min.)

Duke qenë se në kushtet e konkurrencës së ashpër gjatë hyrjes në universitete nuk mjafton vetëm zgjidhja e pjesës së parë të provimit, shumica e studentëve duhet t'u kushtojnë vëmendje detyrave të pjesës së dytë (C1, C2, C3).

Prandaj, qëllimi i kësaj faze të mësimit është të kujtojmë materialin e studiuar më parë dhe të përgatitemi për të zgjidhur problemin C1 nga Provimi i Unifikuar i Shtetit 2011.

ekzistojnë ekuacionet trigonometrike, në të cilën është e nevojshme të zgjidhni rrënjët kur shkruani përgjigjen. Kjo është për shkak të disa kufizimeve, për shembull: emëruesi i thyesës nuk është e barabartë me zero, shprehja nën rrënjën çift është jo negative, shprehja nën shenjën e logaritmit është pozitive etj.

Ekuacione të tilla konsiderohen ekuacione kompleksiteti i shtuar dhe ne versioni i Provimit të Unifikuar të Shtetit janë në pjesën e dytë, përkatësisht C1.

Zgjidhe ekuacionin:

Një thyesë është e barabartë me zero nëse atëherë duke përdorur rrethi njësi le të zgjedhim rrënjët (shih Figurën 1)

Foto 1.

marrim x = π + 2πn, n Z

Përgjigje: π + 2πn, n Z

Në ekran, zgjedhja e rrënjëve shfaqet në një rreth në një imazh me ngjyra.

Produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero, dhe harku nuk e humb kuptimin e tij. Pastaj

Duke përdorur rrethin e njësisë, ne zgjedhim rrënjët (shih Figurën 2)

Mësimi me video "Thjeshtimi i shprehjeve trigonometrike" synon të zhvillojë aftësitë e nxënësve në zgjidhjen e problemet trigonometrike duke përdorur identitetet bazë trigonometrike. Gjatë video-mësimit diskutohen llojet e identiteteve trigonometrike dhe shembuj të zgjidhjes së problemave duke përdorur ato. Duke aplikuar material vizual, mësuesi e ka më të lehtë të arrijë objektivat e mësimit. Prezantimi i gjallë i materialit nxit memorizimin pika të rëndësishme. Përdorimi i efekteve të animacionit dhe zërit ju lejon të zëvendësoni plotësisht mësuesin në fazën e shpjegimit të materialit. Kështu, duke përdorur këtë mjet pamor në mësimet e matematikës, mësuesi mund të rrisë efektivitetin e mësimdhënies.

Në fillim të mësimit video, shpallet tema e tij. Më pas kujtojmë identitetet trigonometrike të studiuara më parë. Ekrani shfaq barazitë sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, ku t≠π/2+πk për kϵZ, ctg t=cos t/sin t, e saktë për t≠πk, ku kϵZ, tg t· ctg t=1, për t≠πk/2, ku kϵZ, quhen identitetet bazë trigonometrike. Vihet re se këto identitete përdoren shpesh në zgjidhjen e problemeve kur është e nevojshme të vërtetohet barazia ose të thjeshtohet një shprehje.

Më poshtë do të shqyrtojmë shembuj të aplikimit të këtyre identiteteve në zgjidhjen e problemeve. Së pari, propozohet të merret në konsideratë zgjidhja e problemeve të thjeshtimit të shprehjeve. Në shembullin 1, është e nevojshme të thjeshtohet shprehja cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t. Për të zgjidhur shembullin, së pari vendoseni atë jashtë kllapave shumëzues i përbashkët cos 2 t. Si rezultat i këtij transformimi në kllapa, fitohet shprehja 1- cos 2 t, vlera e së cilës nga identiteti kryesor i trigonometrisë është e barabartë me sin 2 t. Pas transformimit të shprehjes, është e qartë se një faktor tjetër i zakonshëm sin 2 t mund të hiqet nga kllapat, pas së cilës shprehja bëhet shikoni mëkatin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Nga i njëjti identitet bazë nxjerrim vlerën e shprehjes në kllapa të barabartë me 1. Si rezultat i thjeshtimit, fitojmë cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

Në shembullin 2, shprehja kosto/(1- sint)+ kosto/(1+ sint) duhet të thjeshtohet. Meqenëse numëruesit e të dy thyesave përmbajnë shprehjen kosto, ajo mund të hiqet nga kllapat si një faktor i përbashkët. Thyesat në kllapa reduktohen më pas në emërues i përbashkët duke shumëzuar (1- sint)(1+ sint). Pas sjelljes terma të ngjashëm numëruesi mbetet 2, dhe emëruesi 1 - sin 2 t. Në anën e djathtë të ekranit, kujtohet identiteti bazë trigonometrik sin 2 t+cos 2 t=1. Duke e përdorur atë, gjejmë emëruesin e thyesës cos 2 t. Pas zvogëlimit të thyesës, marrim një formë të thjeshtuar të shprehjes kosto/(1- sint)+ kosto/(1+ sint)=2/kosto.

Më pas, shqyrtojmë shembuj të provave të identiteteve që përdorin njohuritë e marra për identitetet bazë të trigonometrisë. Në shembullin 3, është e nevojshme të vërtetohet identiteti (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Ana e djathtë e ekranit shfaq tre identitete që do të nevojiten për vërtetimin - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t dhe tg t=sin t/cos t me kufizime. Për të vërtetuar identitetin, fillimisht hapen kllapat, pas së cilës formohet një produkt që pasqyron shprehjen e identitetit kryesor trigonometrik tg t·ctg t=1. Më pas, sipas identitetit nga përkufizimi i kotangjentes, transformohet ctg 2 t. Si rezultat i shndërrimeve fitohet shprehja 1-cos 2 t. Duke përdorur identitetin kryesor, gjejmë kuptimin e shprehjes. Kështu, është vërtetuar se (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

Në shembullin 4, duhet të gjeni vlerën e shprehjes tg 2 t+ctg 2 t nëse tg t+ctg t=6. Për të llogaritur shprehjen, fillimisht katrore anët e djathta dhe të majta të barazisë (tg t+ctg t) 2 =6 2. Formula e shkurtuar e shumëzimit kujtohet në anën e djathtë të ekranit. Pas hapjes së kllapave në anën e majtë të shprehjes, formohet shuma tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, për të transformuar të cilën mund të aplikoni një nga identitetet trigonometrike tg t·ctg t=1. , forma e së cilës kujtohet në anën e djathtë të ekranit. Pas transformimit fitohet barazia tg 2 t+ctg 2 t=34. Ana e majtë e barazisë përkon me kushtin e problemit, kështu që përgjigja është 34. Problemi është zgjidhur.

Mësimi video "Thjeshtimi i shprehjeve trigonometrike" rekomandohet për përdorim në tradicionale mësimi i shkollës matematikë. Materiali do të jetë i dobishëm edhe për mësuesin që zbaton të mësuarit në distancë. Për të zhvilluar aftësitë në zgjidhjen e problemeve trigonometrike.

DEKODIMI I TEKSTIT:

“Thjeshtimi i shprehjeve trigonometrike”.

Barazitë

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sine katror te plus kosinus katror te barazohet me një)

2)tgt =, për t ≠ + πk, kϵZ (tangjentja te është e barabartë me raportin e sinus te ndaj kosinusit te me te jo e barabartë me pi me dy plus pi ka, ka i takon zet)

3)ctgt = , për t ≠ πk, kϵZ (kotangjentja te është e barabartë me raportin e kosinusit te ndaj sine te me te jo i barabartë me pi ka, ka i takon zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 për t ≠ , kϵZ (produkti i tangjentes te nga kotangjentja te është i barabartë me një kur te nuk është i barabartë me majën ka, pjesëtuar me dy, ka i takon zet)

quhen identitete bazë trigonometrike.

Ato përdoren shpesh në thjeshtimin dhe vërtetimin e shprehjeve trigonometrike.

Le të shohim shembuj të përdorimit të këtyre formulave për të thjeshtuar shprehjet trigonometrike.

SHEMBULL 1. Thjeshtoni shprehjen: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (shprehja e një kosinusi në katror te minus kosinusi i shkallës së katërt te plus sinusi i shkallës së katërt te).

Zgjidhje. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = mëkat 2 t 1= mëkat 2 t

(Nxjerrim faktorin e përbashkët kosinus katror te, në kllapa marrim ndryshimin midis njësisë dhe kosinusit në katror te, i cili është i barabartë me sinusin në katror te sipas identitetit të parë. Marrim shumën e fuqisë së katërt sine te të produkt kosinus katror te dhe sinus katror te Nxjerrim faktorin e përbashkët sine katror te jashtë kllapave, në kllapa marrim shumën e katrorëve të kosinusit dhe sinusit, që në thelb është. identiteti trigonometrik barazohet me një. Si rezultat, marrim katrorin e sinusit te).

SHEMBULL 2. Thjeshtoni shprehjen: + .

(shprehja be është shuma e dy thyesave në numëruesin e kosinusit të parë te në emëruesin një minus sine te, në numëruesin e kosinusit të dytë te në emëruesin e të dytit plus sine te).

(Le të nxjerrim faktorin e përbashkët kosinus te nga kllapat dhe në kllapa e sjellim atë në një emërues të përbashkët, i cili është prodhimi i një minus sine te me një plus sine te.

Në numërues marrim: një plus sine te plus një minus sine te, japim të ngjashëm, numëruesi është i barabartë me dy pasi sjellim të ngjashëm.

Në emërues, mund të aplikoni formulën e shkurtuar të shumëzimit (diferenca e katrorëve) dhe të merrni diferencën midis unitetit dhe katrorit të sinusit te, i cili, sipas identitetit bazë trigonometrik

e barabartë me katrorin e kosinusit te. Pas reduktimit me kosinus te marrim përgjigjen përfundimtare: dy pjesëtohen me kosinus te).

Le të shohim shembuj të përdorimit të këtyre formulave gjatë vërtetimit të shprehjeve trigonometrike.

SHEMBULL 3. Vërtetoni identitetin (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (produkti i ndryshimit midis katrorëve të tangjentes te dhe sine te me katrorin e kotangjentes te është i barabartë me katrorin e sine te).

Dëshmi.

Le të transformohemi ana e majte barazi:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - mëkat 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = mëkat 2 t

(Të hapim kllapat; nga relacioni i fituar më parë dihet se prodhimi i katrorëve të tangjentes te me kotangjente te është i barabartë me një. Kujtojmë se kotangjentja te e barabartë me raportin kosinusi te me sine te, që do të thotë katrori i kotangjentes është raporti i katrorit të kosinusit te me katrorin e sinusit te.

Pas reduktimit me sinus katror te fitojmë diferencën ndërmjet njësisë dhe kosinusit katror te, i cili është i barabartë me sinus katror te). Q.E.D.

SHEMBULL 4. Gjeni vlerën e shprehjes tg 2 t + ctg 2 t nëse tgt + ctgt = 6.

(shuma e katrorëve të tangjentes te dhe kotangjentes te, nëse shuma e tangjentes dhe kotangjentes është gjashtë).

Zgjidhje. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Le të vendosim në katror të dy anët e barazisë origjinale:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (katrori i shumës së tangjentes te dhe kotangjentes te është i barabartë me gjashtë në katror). Le të kujtojmë formulën e shumëzimit të shkurtuar: Katrori i shumës së dy sasive e barabartë me katrorin i pari plus dyfishi i produktit të të parit dhe i dyti plus katrori i të dytit. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Marrim tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (tangjentja në katror te plus dyfishi i produktit të tangjentes te me kotangjenten te plus kotangjenten në katror te është e barabartë tridhjetë e gjashtë) .

Meqenëse prodhimi i tangjentës te dhe kotangjentes te është i barabartë me një, atëherë tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (shuma e katrorëve të tangjentes te dhe kotangjentes te dhe dy është e barabartë me tridhjetë e gjashtë),