Ku zbatohet kriteri Hurwitz? Zgjidhja minimale

Që sistemi të jetë i qëndrueshëm, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të gjithë të miturit e përcaktorit Hurwitz të jenë pozitivë. Duke përdorur koeficientët e ekuacionit karakteristik, përpilohet përcaktorja Hurwitz.

Për ta bërë këtë, përgjatë diagonales kryesore të ndarësit, shkruhen të gjithë koeficientët e ekuacionit karakteristik, duke filluar nga e dyta (d.m.th. a 1, a 2, a 3, ..., a n), pastaj koeficientët me një rritje indeksi shkruhen lart, dhe poshtë - me një indeks në rënie.

Për shembull, për koeficientin e tretë në diagonalen kryesore, 3, 4, 5 shkruhen lart (indeksi rritet) dhe 2, 1 dhe 0 shkruhen poshtë. Hapësirat e mbetura janë të mbushura me zero.

D
Për të kontrolluar mbushjen e saktë të përcaktorit Hurwitz, është e nevojshme të merret parasysh që koeficientët me indekse tek dhe çift alternojnë përgjatë rreshtave. Pra, rreshti i parë është tek a 1 a 3 a 5 a 7 ..., rreshti i dytë është çift një 0 a 2 a 4 a 6, etj.

Le të tregojmë llogaritjen e të miturve në përcaktorin Hurwitz për një sistem të rendit të 6-të.

Përcaktori i fundit zakonisht nuk llogaritet. Në këtë rast
. Nëse plotësohet kushti i parë i nevojshëm i stabilitetit (të gjitha a>0), atëherë kur >0gjithmonë pozitive.

Le të jetë e nevojshme të përcaktohet qëndrueshmëria e një sistemi të rendit të pestë. Pastaj një 6 = 0 >0 pabarazitë marrin formën:

Nëse është e nevojshme të përcaktohet qëndrueshmëria e një sistemi të rendit të katërt, atëherë

pabarazitë marrin formën:

Për stabilitetin e një sistemi të rendit të tretë, mjafton

.

Për sistemet e rendit të shtatë, përcaktimi i qëndrueshmërisë së Hurwitz zakonisht nuk bëhet për shkak të natyrës së rëndë të llogaritjeve.

SHEMBULL 1. Përcaktoni qëndrueshmërinë e ACS sipas kriterit Hurwitz duke përdorur ekuacionin e mëposhtëm karakteristik:

Zgjidhje. 1. Të gjithë koeficientët e ekuacionit karakteristik janë pozitivë. Kjo do të thotë se plotësohet kushti i nevojshëm i stabilitetit.

2. Kompilohet përcaktorja Hurwitz

Përcaktoni vlerat e të miturve sipas pabarazive:

Përgjigju. Të gjitha minoret e përcaktorit Hurwitz janë pozitive, që do të thotë se pjesa reale e rrënjëve të ekuacionit karakteristik është negative dhe, sipas teoremës së Lyapunov, ACS është e qëndrueshme.

Kriteri i qëndrueshmërisë së rrugës

Që sistemet të jenë të qëndrueshme, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të gjithë koeficientët në kolonën e parë të tabelës Routh të jenë pozitivë.

Tabela Routh është përpiluar sipas rregullave:

a) në rreshtin e parë të tabelës Routh, koeficientët a 0, a 2 dhe 4 shkruhen në përputhje me rrethanat;

b) në rreshtin e dytë të tabelës Routh, koeficientët a 1, a 3, a 5 ... shkruhen në përputhje me rrethanat;

c) koeficientët e rreshtit të tretë të tabelës Routh llogariten duke përdorur formulat:

d) koeficientët e rreshtit të katërt të tabelës Routh përcaktohen nga formula:

e) koeficientët e rreshtit të n-të të tabelës Routh llogariten duke përdorur formulat

ku i është numri i kolonës; j – numri i rreshtit.

SHEMBULL 2. Përcaktoni qëndrueshmërinë e ACS duke përdorur kriterin Routh duke përdorur ekuacionin karakteristik të shembullit 1.

Zgjidhje. 1. Llogaritni rreshtin e tretë të tabelës Routh:

2. Përcaktoni rreshtin e katërt:

3. Llogaritni rreshtin e pestë:

4. Përcaktoni rreshtin e gjashtë:

Bazuar në rezultatet e llogaritjes, përpilohet një tabelë Routh.

Tabela 1

Tabela e rrumbullakët

Parimi i përzgjedhjes Hurwitz karakterizohet nga përdorimi i vlerave të ponderuara të parimit rezultat i garantuar(pesimizmi) dhe parimi optimizmi. Këtu, çdo strategji karakterizohet nga koeficienti i rëndësisë së strategjisë α,β = . Funksioni i përzgjedhjes që përshkruan parimin Hurwitz mund të shkruhet si:

u (y*)= α u 1 (y)+(1-α) u 2 (y),

ku u 1 (y) është strategjia e përzgjedhjes që karakterizon parimin e një rezultati të garantuar;

u 2 (y) është një strategji zgjedhjeje që karakterizon parimin e optimizmit.

Duke pasur parasysh atë

u 1 (y) = maksimumi min U i j

u 2 (y) = max max U i j

shprehjen e përgjithshme për parimin Hurwitz mund ta paraqesim në formë

u (y*)= α max min U i j + (1-α) · max max U i j (3)

u (y*)= max [α min U i j + (1-α)· max U i j ]. (4)

Prandaj, strategjia më e preferuar është Y*, për të cilën kushti (4) është i plotësuar. Për më tepër, në varësi të vlerës së koeficientit të peshimit α, mund të merrni strategji të ndryshme përzgjedhjeje kur e ndryshoni atë në intervalin 0≤ α ≤ 1:

nëse α = 1, atëherë marrim parimin rezultat i garantuar;

nëse α = 0, marrim parimin optimizmi.

Le të zgjidhim problemin origjinal (Tabela 9) duke përdorur këtë teknikë.

Zgjidhja e problemit duke përdorur parimin Hurwitz.

Vendosim koeficientin , i cili karakterizon orientimin drejt parimit të maksimumit ose parimit të optimizmit dhe     .

Le të jetë  = 0,6.

Ne e zgjidhim problemin duke përdorur formulën Y *  max i ( min U ij + (1 - ) max j U ij) në dy faza:

2.1. Për secilën alternativë gjejmë *min j U ij +(1-)* max j U ij , për të cilën përdorim vlerat e llogaritura tashmë për detyrat e mëparshme (vlerat Min U ij , Max U ij në Tabela 10). Llogaritja e këtyre vlerave formohet si më poshtë.

Të dhënat fillestare për përzgjedhjen duke përdorur metodën Hurwitz do të jenë të dhënat e marra nga strategjitë e mëposhtme:

Për strategjinë e optimizmit:

Parimi i Hurwitz Tabela 10

preferojnë sipas Hurwitz

Le të karakterizojmë koeficientin e peshimit shkallën e rëndësisë së strategjisë së parë përkatëse dhe të marrim vlerën e saj  = 0,6. Pastaj kalojmë në fazën e parë

Duke zëvendësuar vlerat përkatëse në sistem marrim:

Le t'i zëvendësojmë ato në kolonën "Vlera e preferencave sipas Hurwitz" në Tabelën 10.

2.2. Në fazën e dytë, ne bëjmë një zgjedhje në përputhje me rregullin:

Alternativa optimale (sipas parimit të kombinuar Hurwitz) do të jetë Y 3, vlera e funksionit të dobisë së të cilit është 4.2.

Për të vlerësuar ndikimin e koeficientit  në nivelin e preferencave sipas Hurwitz, ne do të analizojmë vlerat për koeficientë të ndryshëm (Tabela 11).

vlerat e mundshme të koeficientit të peshimit a

Bazuar në këto vlera, mund të themi se rregulli i përgjithshëm i përzgjedhjes për të gjitha vlerat e  do të jetë metrika me  = 0.1, ndërsa alternativa efektive është opsioni 1 (Y1) me funksion preferencial = 7.3. Zgjidhja e këtij problemi në një sistem të integruar Excel

përfshin një procedurë për llogaritjen e treguesve të dhënë në tabelat 10-11, sipas algoritmit dhe formulave të dhëna në tabelat 12 dhe tabelën 13. Forma e ekranit të këtyre tabelave është paraqitur në Fig. 10, 11.

Algoritmi për llogaritjen e treguesve sipas parimit Hurwitz, në formën e një forme ekrani, është paraqitur në figurën 12.

Fig. 10. Zgjidhja e problemit duke përdorur parimin Hurwitz

Fig. 11.

Analiza e zgjidhjes optimale (sipas Hurwitz) për vlera të ndryshme të koeficientit 

MAX(E5:E7)

MAX(G5:G7)

MAX(I20:I22)

Kriteri Hurwitz bazohet në dy supozimet e mëposhtme: "natyra" mund të jetë në gjendjen më të pafavorshme me probabilitet (1 - y) dhe në gjendjen më të favorshme me probabilitet y, ku y është koeficienti i besimit. Nëse rezultati h ji është fitimi, dobia, të ardhurat, etj., atëherë kriteri Hurwitz shkruhet si më poshtë:

W = max[y max+(1- y)min]

Kur funksioni objektiv përfaqëson kostot (humbjet), atëherë:

W = min[ y min+(1- y)maksimum]

Qëllimi i shërbimit. Duke përdorur një kalkulator në internet, strategjia optimale zgjidhet duke përdorur kriterin Hurwitz. Rezultatet e llogaritjes paraqiten në një raport në formatin Word (shih shembullin e formatimit).

Udhëzime Për të llogaritur dhe përgatitur një zgjidhje në format Word dhe Excel, duhet të zgjidhni

Kriteri Hurwitz vendos një ekuilibër midis rasteve të pesimizmit ekstrem dhe optimizmit ekstrem duke peshuar të dyja sjelljet me pesha të përshtatshme (1 - y) dhe y, ku 0Shembull. Të dhënat fillestare:

Zgjidhja minimale. Kriteri Hurwitz

Vendimet e marra në kushte pasigurie zënë një pjesë të konsiderueshme të të gjithë grupit të vendimeve të marra nga menaxherët. Por, si rregull, në praktikë vendimet e marra në kushte të pasigurisë së plotë nuk ndodhin. Për të marrë vendime, një ndërmarrje duhet të mbledhë sasinë e nevojshme shtesë të informacionit përkatës dhe të analizojë situatën, ose të marrë një vendim bazuar në gjykimin, intuitën dhe analizën e përvojës së akumuluar të menaxherit. Për të marrë vendime optimale, është e nevojshme të përdoret një qasje shkencore duke përdorur metoda të ndryshme.

Rregullat e vendimmarrjes që nuk marrin parasysh vlerën numerike të rezultateve të mundshme përfshijnë zgjidhjet maksimale dhe maksimale të diskutuara më parë, si dhe zgjidhjen minimale dhe kriterin Hurwitz.

Zgjidhja minimaleështë një zgjidhje që minimizon humbjet maksimale. Kjo është qasja më e kujdesshme ndaj vendimmarrjes dhe më e ndërgjegjshme për rrezikun.

Rregulla minimale ( rregulli minimal i humbjeve të mundshme) është të zgjedhësh humbjet maksimale të mundshme për çdo vendim. Pastaj zgjidhet zgjidhja që çon në vlerën minimale të humbjes maksimale.

Humbjet marrin parasysh jo vetëm humbjet reale, por edhe mundësitë e humbura. Kur përdorni këtë rregull, vëmendje i kushtohet humbjeve të mundshme dhe jo të ardhurave.

Bazuar në të dhënat nga shembulli i mëparshëm për shitjen e ëmbëlsirave, ne do të hartojmë një tabelë të humbjeve të mundshme, e cila jep një ide mbi fitimet e çdo rezultati të humbur si rezultat i marrjes së vendimit të gabuar (numri i njësi të blera).

Tabela e humbjeve të mundshme në ditë

Tabela plotësohet si më poshtë.

Nëse numri i ëmbëlsirave të blera është i barabartë me kërkesën për ditën, atëherë humbjet e mundshme janë zero.

Nëse është marrë një vendim për të blerë, për shembull, 1 tortë, dhe kërkesa atë ditë ishte 2 copë, atëherë fitimi i humbur do të jetë 1 * (60-50) = 10 rubla. Këto janë humbje të mundshme. Për 2 copë ëmbëlsira që mund të shiten, shuma e humbjeve të mundshme është 20 rubla, për 3 ëmbëlsira - 30 rubla.

Në rastet kur njësia e blerë nuk është shitur, sjell humbje 1* (50-30) = 20, janë edhe këto humbje të mundshme.

Për secilën zgjidhje, zgjidhet numri maksimal i humbjeve të mundshme. Këta numra janë 30, 20, 40, 60 dhe ne përcaktojmë minimumin 20 prej tyre. Kjo vlerë korrespondon me vendimin për blerjen e 2 copë. Prandaj, bazuar në rregullin minimalax, vlera minimale e humbjes maksimale ndodh si rezultat i blerjes së dy ëmbëlsirave në ditë.

Kriteri Hurwitz(Kriteri Hurwicz) është një mënyrë kompromisi për të marrë vendime.

Kur zgjidhni një zgjidhje nga dy ekstreme: një vlerësim pesimist sipas kriterit maksimal dhe një vlerësim optimist i maksimumit, është racionale t'i përmbahemi një pozicioni të ndërmjetëm, kufiri i të cilit rregullohet nga treguesi pesimizëm-optimizëm μ, i quajtur shkalla. e optimizmit në kriterin Hurwitz.

Sipas kësaj zgjidhje kompromisi do të ketë një kombinim linear të fitimit minimal dhe maksimal

ku 0< µ < 1,

gnm është shuma e të ardhurave të mundshme që korrespondon me vendimet për rezultate të dhëna.

Për më tepër, vlera e μ përcaktohet nga studiuesi ose vendimmarrësi, ndërsa vlera μ = 1 korrespondon me kriterin Hurwitz me rregullin maksimal (kriteri Wald), dhe vlera μ = 0 korrespondon me rregullin maksimal (kriteri Savage ).

Kriteri i Hurwitz-it është që rezultateve minimale dhe maksimale të çdo vendimi u caktohet një "peshë". Duke i shumëzuar rezultatet me peshat e duhura dhe duke i mbledhur ato, vendimmarrësi arrin në rezultatin e përgjithshëm. Më pas, zgjidhet zgjidhja me rezultatin më të lartë.

Le të kthehemi te shembulli i mëparshëm dhe të plotësojmë tabelën duke përdorur metodën Hurwitz.

Për katër zgjidhje të mundshme, më parë janë marrë zgjidhje maximax dhe maxmin. Le të jetë pesha e rezultatit minimal 0.4, prandaj, pesha e maksimumit është 0.6.

Tabela e zgjidhjeve të mundshme

Në këtë shembull, kriteri Hurwitz favorizon vendimin për të blerë një tortë, shuma maksimale ishte 10. Natyrisht, kur zgjidhni peshat e tjera, rezultati është i ndryshëm.

Prandaj, avantazhi dhe në të njëjtën kohë disavantazhi i kriterit Hurwitz është nevoja për të caktuar peshat për rezultatet e mundshme: kjo lejon që dikush të marrë parasysh specifikat e situatës, por gjithmonë ekziston një faktor subjektiv njerëzor - preferencat e analistit.

Problemi i gjetjes së një kriteri stabiliteti për sistemet e përshkruara nga ekuacionet diferenciale të çdo rendi u formulua nga Maxwell në 1868. Ky problem u zgjidh për herë të parë në formë algjebrike nga Routh në 1873 për ekuacionet e shkallës së katërt dhe të pestë dhe në 1877 - plotësisht.

Meqenëse kriteri Routh jepet në formën e një algoritmi që përcakton sekuencën e operacioneve matematikore të nevojshme për zgjidhjen e problemit, përdorimi i tij në praktikë është i papërshtatshëm. Prandaj, kriteri i qëndrueshmërisë algjebrike i formuluar në 1895 nga matematikani A. Hurwitz u bë më i përhapur. Ky kriter u gjet nga Hurwitz me kërkesë të profesorit sllovak Stodola, i cili po hulumtonte procesin e rregullimit të turbinave.

Më poshtë, kriteri Hurwitz jepet pa prova.

Për ekuacionin karakteristik (6.9), ne krijojmë një matricë katrore (tabela) koeficientësh që përmban n rreshta dhe n kolona:

Kjo tabelë është përpiluar si më poshtë.

Çdo rresht plotësohet me koeficientë

me rritjen e indekseve nga e majta në të djathtë në mënyrë që rreshtat me indekse tek dhe çift të alternohen. Nëse ky koeficient mungon, ose nëse indeksi i tij është më i vogël se zero ose më i madh se n, në vend të tij shkruhet zero.

duhet të ketë më shumë

të gjithë n përcaktorët Hurwitz të marra nga matrica katrore e koeficientëve janë zero.

Përcaktuesit Hurwitz përbëhen sipas rregullit të mëposhtëm (shih (6.11)):

Përcaktori i fundit përfshin të gjithë matricën. Por meqenëse në kolonën e fundit të matricës të gjithë elementët përveç atij të poshtëm janë të barabartë me zero, përcaktorja e fundit Hurwitz shprehet përmes së parafundit si më poshtë:

d.m.th., në pozitivitetin e termit të lirë të ekuacionit karakteristik.

Kushti i parë korrespondon me kufirin e stabilitetit të llojit të parë (kufiri i stabilitetit aperiodik) dhe i dyti - me kufirin e stabilitetit të llojit të dytë (kufiri i stabilitetit oshilues).

Duke zbuluar përcaktuesit që shfaqen në formulimin e përgjithshëm të kriterit të qëndrueshmërisë Hurwitz, është e mundur të merren në formën e rasteve të veçanta kriteret e stabilitetit për një sistem të rendit të parë, të dytë, të tretë, të katërt dhe më të lartë.

urdhëroj

Për këtë ekuacion jep kriteri Hurwitz

pra koeficientët e ekuacionit karakteristik duhet të jenë pozitiv.

urdhëroj

Për këtë ekuacion, kriteri Hurwitz kërkon

Pra, për një ekuacion të rendit të dytë, një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për stabilitet është pozitiviteti i të gjithë koeficientëve të ekuacionit karakteristik.

3. Ekuacioni i rendit të tretë

Për këtë ekuacion marrim kushtet

4. Ekuacioni i rendit të katërt

Bazuar në kriterin Hurwitz, mund të merret se për një ekuacion të rendit të katërt, përveç pozitivitetit të të gjithë koeficientëve, duhet të plotësohet edhe kushti i mëposhtëm:

rendi i pestë

Për një ekuacion të rendit të pestë, përveç pozitivitetit të të gjithë koeficientëve, duhet të plotësohen edhe dy kushte të tjera:

Siç shihet, edhe për një ekuacion të shkallës së pestë, kushtet e stabilitetit për kriterin Hurwitz janë mjaft të rënda. Prandaj, përdorimi i këtij kriteri është praktikisht i kufizuar në ekuacionet e rendit të katërt.

Një disavantazh i rëndësishëm i kriterit Hurwitz është gjithashtu se për ekuacionet e rendit të lartë, në rastin më të mirë, është e mundur të merret një përgjigje nëse sistemi i kontrollit automatik është i qëndrueshëm apo i paqëndrueshëm. Për më tepër, në rastin e paqëndrueshmërisë së sistemit, kriteri nuk përgjigjet se si duhet të ndryshohen parametrat e sistemit për ta bërë atë të qëndrueshëm. Kjo rrethanë çoi në kërkimin e kritereve të tjera që do të ishin më të përshtatshme në praktikën inxhinierike.

Për të ilustruar zbatimin e kriterit Hurwitz, merrni parasysh një shembull të përcaktimit të qëndrueshmërisë së një sistemi gjurmimi në distancë. Parimi dhe diagramet bllok janë paraqitur në Fig. 6.4. Dy sinkronizues (SD dhe SP) të lidhur nëpërmjet një qarku transformator janë përdorur si një element i ndjeshëm. Funksioni i transferimit të selsyns është i barabartë me koeficientin e transmetimit të qarkut:

Konstanta e kohës elektromekanike e motorit së bashku me fazën përfundimtare të amplifikatorit. Funksioni i transferimit të kutisë së marsheve (P) është i barabartë me koeficientin e tij të transmetimit, i përcaktuar nga raporti i ingranazhit:

Meqenëse qarku i kontrollit përbëhet nga lidhje të lidhura në seri, funksioni i transferimit të qarkut të hapur do të jetë i barabartë me produktin e funksioneve të transferimit të lidhjeve individuale:

Fitimi i përgjithshëm i qarkut të hapur.

Ekuacioni karakteristik:

marrim

Në këtë rast, ekuacioni karakteristik është i rendit të tretë. Është e lehtë të shihet se kushti që të gjithë koeficientët janë pozitivë plotësohet gjithmonë nëse plotësohet kushti K>O, gjë që do të ndodhë nëse drejtimi i rrotullimit të motorit përputhet saktë me shenjën e mospërputhjes.

e mbivendosur mbi koeficientët e ekuacionit karakteristik zvogëlohet duke zëvendësuar vlerat e koeficientëve

Drejt pabarazisë

që është kusht për qëndrueshmërinë e sistemit në shqyrtim.

Nga kjo pabarazi, në veçanti, mund të vërehet se një rritje në çdo konstante kohore ka një efekt negativ në stabilitetin e sistemit, që kur

Kjo zvogëlon vlerën kufizuese të fitimit total k, në të cilën sistemi ende mbetet i qëndrueshëm.

Ai matet nga një sensor këndi (notenciometrik, induksioni, etj.) i instaluar në një platformë të stabilizuar me xhiro. Funksioni i transferimit të sensorit

Për të formuar një algoritëm kontrolli, është instaluar gjithashtu një sensor i shpejtësisë këndore (ARS). Tensioni në daljen e tij është proporcional me derivatin e devijimit. Funksioni i transferimit të DUS në rastin ideal

përmblidhen:

Dhe derivati ​​i devijimit (shih § 2.2). Funksioni i transferimit të pajisjes përforcues-konvertues