Koeficienti i regresionit karakterizon. Çfarë është regresioni? Shembull: Analiza e thjeshtë e regresionit

Bazat e analizës së të dhënave.

Një problem tipik që lind në praktikë është identifikimi i varësive ose marrëdhënieve ndërmjet variablave. Në jetën reale, variablat janë të lidhur me njëri-tjetrin. Për shembull, në marketing, shuma e parave të shpenzuara për reklama ndikon në shitje; në kërkimet mjekësore, doza e një ilaçi ndikon në efektin; në prodhimin e tekstilit, cilësia e ngjyrosjes së rrobave varet nga temperatura, lagështia dhe parametra të tjerë; në metalurgji, cilësia e çelikut varet nga aditivë të veçantë etj. Gjetja e varësive në të dhëna dhe përdorimi i tyre për qëllimet tuaja është detyrë e analizës së të dhënave.

Le të themi se ju vëzhgoni vlerat e një çifti të ndryshoreve X dhe Y dhe dëshironi të gjeni marrëdhënien midis tyre. Për shembull:

X - numri i vizitorëve në dyqanin online, Y - vëllimi i shitjeve;

X - paneli plazma diagonale, Y - çmimi;

X është çmimi i blerjes së aksionit, Y është çmimi i shitjes;

X është kostoja e aluminit në bursën e Londrës, Y është vëllimi i shitjeve;

X - numri i përparimeve në tubacionet e naftës, Y - sasia e humbjeve;

X është "mosha" e avionit, Y është kostoja e riparimit të tij;

X - zona e shitjes, Y - qarkullimi i dyqanit;

X është e ardhura, Y është konsumi, etj.

Variabli X zakonisht quhet variabël i pavarur, ndryshorja Y quhet ndryshore e varur. Ndonjëherë ndryshorja X quhet parashikues, ndryshorja Y quhet përgjigje.

Ne duam të përcaktojmë saktësisht varësinë nga X ose të parashikojmë se cilat do të jenë vlerat e Y për vlerat e dhëna të X. Në këtë rast, ne vëzhgojmë vlerat X dhe vlerat përkatëse Y. Detyra është të ndërtohet një model që lejon dikë të përcaktojë Y nga vlerat e X të ndryshme nga ato të vëzhguara. Në statistika, probleme të tilla zgjidhen brenda kornizës analiza e regresionit.

Ekzistojnë modele të ndryshme regresioni, e përcaktuar nga zgjedhja e funksionit f(x 1, x 2,…, x m):

1) Regresioni i thjeshtë linear

2) Regresion i shumëfishtë

3) Regresioni polinomial

Shanset quhen parametra regresioni.

Tipari kryesor i analizës së regresionit: me ndihmën e tij, ju mund të merrni informacion specifik se çfarë forme dhe natyrë ka marrëdhënia midis variablave në studim.

Sekuenca e fazave të analizës së regresionit

1. Formulimi i problemit. Në këtë fazë formohen hipoteza paraprake për varësinë e dukurive në studim.

2. Përkufizimi i variablave të varur dhe të pavarur (shpjegues).

3. Mbledhja e të dhënave statistikore. Të dhënat duhet të mblidhen për secilin nga variablat e përfshirë në modelin e regresionit.

4. Formulimi i një hipoteze për formën e lidhjes (e thjeshtë ose e shumëfishtë, lineare ose jolineare).

5. Përcaktimi i funksionit të regresionit (konsiston në llogaritjen e vlerave numerike të parametrave të ekuacionit të regresionit)

6. Vlerësimi i saktësisë së analizës së regresionit.

7. Interpretimi i rezultateve të marra. Rezultatet e marra nga analiza e regresionit krahasohen me hipotezat paraprake. Vlerësohet korrektësia dhe besueshmëria e rezultateve të marra.

8. Parashikimi i vlerave të panjohura të ndryshores së varur.

Duke përdorur analizën e regresionit, është e mundur të zgjidhet problemi i parashikimit dhe klasifikimit. Vlerat e parashikuara llogariten duke zëvendësuar vlerat e variablave shpjegues në ekuacionin e regresionit. Problemi i klasifikimit zgjidhet në këtë mënyrë: vija e regresionit e ndan të gjithë grupin e objekteve në dy klasa, dhe ajo pjesë e grupit ku vlera e funksionit është më e madhe se zero i përket një klase dhe pjesa ku është më e vogël se zero. i përket një klase tjetër.

Detyrat kryesore të analizës së regresionit: vendosja e formës së varësisë, përcaktimi i funksionit të regresionit, vlerësimi i vlerave të panjohura të ndryshores së varur.

Regresioni linear

Regresioni linear reduktohet në gjetjen e një ekuacioni të formës

Ose . (1.1)

x- quhet variabël ose parashikues i pavarur.

Y– variabli i varur ose i përgjigjes. Kjo është vlera që ne presim y(mesatarisht) nëse e dimë vlerën x, d.m.th. është "vlera e parashikuar" y»

· a– afati i lirë (kryqëzimi) i vijës së vlerësimit; ky është kuptimi Y, Kur x=0(Fig.1).

· b– pjerrësia ose pjerrësia e vijës së vlerësuar; paraqet shumën me të cilën Y rritet mesatarisht nëse rritemi x për një njësi.

· a Dhe b quhen koeficientë regresioni të vijës së vlerësuar, megjithëse ky term shpesh përdoret vetëm për b.

· e- variabla të rastësishme të pavëzhgueshme me mesatare 0, ose quhen edhe gabime vëzhgimi, supozohet se gabimet nuk janë të ndërlidhura me njëra-tjetrën.

Fig.1. Vija e regresionit linear që tregon ndërprerjen a dhe pjerrësinë b (sasia Y rritet kur x rritet me një njësi)

Një ekuacion i formës lejon, për vlerat e dhëna të faktorit X kanë vlera teorike të karakteristikës rezultante, duke zëvendësuar vlerat aktuale të faktorit në të X. Në grafik, vlerat teorike përfaqësojnë vijën e regresionit.

Në shumicën e rasteve (nëse jo gjithmonë) ka një shpërndarje të caktuar vëzhgimesh në lidhje me vijën e regresionit.

Linja e regresionit teorikështë vija rreth së cilës grupohen pikat e fushës së korrelacionit dhe që tregon drejtimin kryesor, prirjen kryesore të lidhjes.

Një fazë e rëndësishme e analizës së regresionit është përcaktimi i llojit të funksionit me të cilin karakterizohet varësia midis karakteristikave. Baza kryesore për zgjedhjen e llojit të ekuacionit duhet të jetë një analizë kuptimplotë e natyrës së varësisë që studiohet dhe mekanizmit të saj.

Për të gjetur parametrat A Dhe b përdorim ekuacionet e regresionit Metoda e katrorëve më të vegjël (LSM). Kur aplikoni OLS për të gjetur funksionin që i përshtatet më mirë të dhënave empirike, besohet se shuma e devijimeve në katror (mbetja) e pikave empirike nga vija e regresionit teorik duhet të jetë një vlerë minimale.

Përshtatja vlerësohet duke parë mbetjet (distanca vertikale e secilës pikë nga vija, p.sh. mbetje = vëzhguar y– parashikoi y, Oriz. 2).

Linja e përshtatjes më të mirë zgjidhet në mënyrë që shuma e katrorëve të mbetjeve të jetë minimale.

Oriz. 2. Vija e regresionit linear me mbetje të paraqitura (vija vertikale me pika) për secilën pikë.

Pas transformimeve të thjeshta marrim një sistem ekuacionesh normale duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël për të përcaktuar vlerat e parametrave a Dhe b ekuacionet e korrelacionit linear të bazuara në të dhëna empirike:

. (1.2)

Zgjidhja e këtij sistemi ekuacionesh për b, marrim formulën e mëposhtme për të përcaktuar këtë parametër:

(1.3)

Ku dhe janë vlerat mesatare të y, x.

Vlera e parametrit A fitojmë duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit të parë në këtë sistem me n:

Parametri b në ekuacion quhet koeficienti i regresionit. Në prani të një korrelacioni të drejtpërdrejtë, koeficienti i regresionit është pozitiv, dhe në rastin e një korrelacioni të anasjelltë, koeficienti i regresionit është negativ.

Nëse shenja e koeficientit të regresionit është pozitive, marrëdhënia ndërmjet ndryshores së varur dhe variablit të pavarur do të jetë pozitive.

Nëse shenja e koeficientit të regresionit është negative, lidhja ndërmjet ndryshores së varur dhe variablit të pavarur është negative (inversi).

Koeficienti i regresionit tregon se sa ndryshon mesatarisht vlera e karakteristikës që rezulton y kur ndryshon një karakteristikë e faktorit X për njësi, koeficienti i regresionit gjeometrik është pjerrësia e vijës së drejtë që përshkruan ekuacionin e korrelacionit në lidhje me boshtin X(për ekuacionin).

Për shkak të marrëdhënies lineare, dhe ne presim që ajo të ndryshojë si , dhe ne e quajmë këtë ndryshim që shkaktohet ose shpjegohet me regresion. Variacioni i mbetur duhet të jetë sa më i vogël që të jetë e mundur.

Nëse kjo është e vërtetë, atëherë shumica e variacionit do të shpjegohet me regresion, dhe pikat do të qëndrojnë afër vijës së regresionit, d.m.th. rreshti i përshtatet mirë të dhënave.

Një karakteristikë sasiore e shkallës së varësisë lineare midis variablave të rastësishëm X dhe Y është koeficienti i korrelacionit r( Një tregues i afërsisë së marrëdhënies midis dy karakteristikave ) .

Koeficienti i korrelacionit:

ku x është vlera e karakteristikës së faktorit;

y - vlera e atributit që rezulton;

n - numri i çifteve të të dhënave.

Fig. 3 - Opsione për vendndodhjen e “resë” së pikave

Nëse koeficienti i korrelacionit r=1, pastaj ndërmjet X Dhe Y ekziston një marrëdhënie lineare funksionale, të gjitha pikat (x i, y i) do të shtrihet në një vijë të drejtë.

Nëse koeficienti i korrelacionit r=0 (r~0), atëherë ata thonë atë X Dhe Y të pakorreluara, d.m.th. mes tyre nuk ka lidhje lineare.

Marrëdhënia midis shenjave (në shkallën Chaddock) mund të jetë e fortë, e mesme dhe e dobët . Afërsia e lidhjes përcaktohet nga vlera e koeficientit të korrelacionit, i cili mund të marrë vlera nga -1 në +1 përfshirëse. Kriteret për vlerësimin e ngushtësisë së lidhjes janë paraqitur në Fig. 1.

Oriz. 4. Kriteret sasiore për vlerësimin e afërsisë së komunikimit

Çdo marrëdhënie midis variablave ka dy veti të rëndësishme: madhësinë dhe besueshmërinë. Sa më e fortë të jetë marrëdhënia midis dy variablave, aq më e madhe është madhësia e marrëdhënies dhe aq më e lehtë është të parashikohet vlera e njërës ndryshore nga vlera e variablit tjetër. Madhësia e varësisë është më e lehtë për t'u matur sesa besueshmëria.

Besueshmëria e varësisë nuk është më pak e rëndësishme sesa madhësia e saj. Kjo veti lidhet me përfaqësimin e kampionit në studim. Besueshmëria e një marrëdhënieje karakterizon sa gjasa ka që kjo marrëdhënie të gjendet përsëri në të dhëna të tjera.

Ndërsa madhësia e varësisë së variablave rritet, besueshmëria e saj zakonisht rritet.

Proporcioni i variancës totale që shpjegohet me regresion quhet koeficienti i përcaktimit, zakonisht shprehet si përqindje dhe shënohet R 2(në regresionin linear të çiftuar kjo është sasia r 2, katrori i koeficientit të korrelacionit), ju lejon të vlerësoni subjektivisht cilësinë e ekuacionit të regresionit.

Koeficienti i përcaktimit mat pjesën e variancës rreth mesatares që "shpjegohet" nga regresioni i ndërtuar. Koeficienti i përcaktimit varion nga 0 në 1. Sa më afër të jetë koeficienti i përcaktimit, aq më mirë regresioni “shpjegon” varësinë në të dhëna, një vlerë afër zeros nënkupton cilësinë e dobët të modelit të ndërtuar. Koeficienti i përcaktimit mund të jetë sa më afër 1 nëse të gjithë parashikuesit janë të ndryshëm.

Diferenca paraqet përqindjen e variancës që nuk mund të shpjegohet me regresion.

Regresion i shumëfishtë

Regresioni i shumëfishtë përdoret në situata ku, nga shumë faktorë që ndikojnë në atributin efektiv, është e pamundur të veçohet një faktor dominues dhe është e nevojshme të merret parasysh ndikimi i disa faktorëve. Për shembull, vëllimi i prodhimit përcaktohet nga madhësia e kapitalit fiks dhe qarkullues, numri i personelit, niveli i menaxhimit, etj., Niveli i kërkesës varet jo vetëm nga çmimi, por edhe nga fondet në dispozicion të popullsia.

Qëllimi kryesor i regresionit të shumëfishtë është ndërtimi i një modeli me disa faktorë dhe përcaktimi i ndikimit të secilit faktor veç e veç, si dhe ndikimi i tyre i përbashkët në treguesin që studiohet.

Regresioni i shumëfishtë është një ekuacion i marrëdhënieve me disa ndryshore të pavarura:

Me një lloj lidhjeje lineare midis dy karakteristikave që studiohen, krahas llogaritjes së korrelacioneve, përdoret edhe llogaritja e koeficientit të regresionit.

Në rastin e një korrelacioni linear, çdo ndryshim në një karakteristikë korrespondon me një ndryshim shumë të caktuar në një karakteristikë tjetër. Sidoqoftë, koeficienti i korrelacionit e tregon këtë marrëdhënie vetëm në sasi relative - në fraksione të unitetit. Me ndihmën e analizës së regresionit, kjo vlerë e marrëdhënies fitohet në njësi të emërtuara. Sasia me të cilën karakteristika e parë ndryshon mesatarisht kur e dyta ndryshon me një njësi matjeje quhet koeficient regresioni.

Ndryshe nga analiza e regresionit të korrelacionit, ajo ofron informacion më të gjerë, pasi duke llogaritur dy koeficientë regresioni Rx/y Dhe Rу/хËshtë e mundur të përcaktohet varësia e shenjës së parë nga e dyta, dhe e dyta nga e para. Shprehja e një marrëdhënieje regresioni duke përdorur një ekuacion lejon që dikush të përcaktojë vlerën e një karakteristike tjetër bazuar në një vlerë të caktuar të një karakteristike.

Koeficienti i regresionit R është prodhimi i koeficientit të korrelacionit dhe raportit të devijimeve katrore të llogaritur për secilën karakteristikë. Ajo llogaritet sipas formulës

ku, R - koeficienti i regresionit; SH është devijimi standard i karakteristikës së parë, i cili ndryshon për shkak të një ndryshimi në të dytën; SУ - devijimi standard i karakteristikës së dytë në lidhje me ndryshimin e së cilës ndryshon karakteristika e parë; r është koeficienti i korrelacionit ndërmjet këtyre karakteristikave; x - funksioni; y -argument.

Kjo formulë përcakton vlerën e x kur y ndryshon me një njësi matëse. Nëse është e nevojshme llogaritja e kundërt, mund të gjeni vlerën e y kur x ndryshon sipas njësisë së matjes duke përdorur formulën:

Në këtë rast, roli aktiv në ndryshimin e një karakteristike në raport me një tjetër ndryshon në krahasim me formulën e mëparshme, argumenti bëhet funksion dhe anasjelltas. Vlerat e SX dhe SY merren në një shprehje të emërtuar.

Ekziston një marrëdhënie e qartë midis vlerave të r dhe R, e cila shprehet në faktin se produkti i regresionit të x në y nga regresioni i y në x është i barabartë me katrorin e koeficientit të korrelacionit, d.m.th.

Rx/y * Ry/x = r2

Kjo tregon se koeficienti i korrelacionit përfaqëson mesataren gjeometrike të të dy vlerave të koeficientëve të regresionit të një kampioni të caktuar. Kjo formulë mund të përdoret për të kontrolluar saktësinë e llogaritjeve.

Gjatë përpunimit të materialit dixhital në makinat llogaritëse, mund të përdoren formula të detajuara të koeficientit të regresionit:

R ose

Për një koeficient regresioni, gabimi i përfaqësimit të tij mund të llogaritet. Gabimi i koeficientit të regresionit është i barabartë me gabimin e koeficientit të korrelacionit të shumëzuar me raportin e raporteve kuadratike:

Kriteri i besueshmërisë së koeficientit të regresionit llogaritet duke përdorur formulën e zakonshme:

si rezultat, është e barabartë me kriterin e besueshmërisë së koeficientit të korrelacionit:

Besueshmëria e vlerës tR përcaktohet duke përdorur tabelën e Studentit në  = n - 2, ku n është numri i çifteve të vëzhgimeve.

Regresioni curvilinear.

REGRESIONI, KURVILINEAR. Çdo regresion jolinear në të cilin ekuacioni i regresionit për ndryshimet në një ndryshore (y) si funksion i t ndryshon në një tjetër (x) është një ekuacion kuadratik, kub ose i rendit më të lartë. Edhe pse është gjithmonë matematikisht e mundur të merret një ekuacion regresioni që do të përshtatet me çdo gërvishtje të kurbës, shumica e këtyre shqetësimeve rezultojnë nga gabimet e kampionimit ose matjes, dhe një përshtatje e tillë "perfekte" nuk arrin asgjë. Nuk është gjithmonë e lehtë të përcaktohet nëse një regresion lakor i përshtatet një grupi të dhënash, megjithëse ka teste statistikore për të përcaktuar nëse çdo fuqi më e lartë e ekuacionit rrit ndjeshëm shkallën e përshtatjes së atij grupi të dhënash.

Montimi i kurbës kryhet në të njëjtën mënyrë me katrorët më të vegjël si montimi me vijë të drejtë. Vija e regresionit duhet të plotësojë kushtin e shumës minimale të distancave në katror për secilën pikë të fushës së korrelacionit. Në këtë rast, në ekuacionin (1), y përfaqëson vlerën e llogaritur të funksionit, të përcaktuar duke përdorur ekuacionin e marrëdhënies së zgjedhur kurvilineare bazuar në vlerat aktuale të x j. Për shembull, nëse zgjidhet një parabolë e rendit të dytë për të përafruar lidhjen, atëherë y = a + b x + cx2, (14) Dhe ndryshimi midis një pike të shtrirë në kurbë dhe një pike të caktuar në fushën e korrelacionit me një të përshtatshme argumenti mund të shkruhet në mënyrë të ngjashme me ekuacionin (3) në formën yj = yj (a + bx + cx2) (15) Në këtë rast, shuma e distancave në katror nga çdo pikë e fushës së korrelacionit në vijën e re të regresionit në rastin e një parabole të rendit të dytë do të ketë formën: S 2 = yj 2 = 2 (16) Bazuar në kushtin minimal të kësaj shume, derivatet e pjesshme të S 2 në lidhje me a, b dhe c janë të barabarta me zero. Pasi kemi kryer transformimet e nevojshme, marrim një sistem prej tre ekuacionesh me tre të panjohura për të përcaktuar a, b dhe c. , y = m a + b x + c x 2 yx = a x + b x 2 + c x 2. yx2 = a x 2 + b x 3 + c x4. (17). Duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve për a, b dhe c, gjejmë vlerat numerike të koeficientëve të regresionit. Vlerat e y, x, x2, yx, yx2, x3, x4 gjenden direkt nga të dhënat e matjes së prodhimit. Një vlerësim i afërsisë së lidhjes për një varësi kurvilineare është raporti teorik i korrelacionit xy, i cili është rrënja katrore e raportit të dy dispersioneve: katrori mesatar p2 i devijimeve të vlerave të llogaritura y" j të funksionit. sipas ekuacionit të regresionit të gjetur nga vlera mesatare aritmetike Y e vlerës y në devijimet mesatare katrore y2 të vlerave aktuale të funksionit y j nga vlera mesatare aritmetike e tij: xу = ( р2 / y2 ) 1/2 = ( (y" j - Y)2 / (y j - Y)2 ) 1/2 (18) Katrori i raportit të korrelacionit xy2 tregon pjesën e ndryshueshmërisë totale të ndryshores së varur y, për shkak të ndryshueshmërisë së argumentit x . Ky tregues quhet koeficienti i përcaktimit. Në ndryshim nga koeficienti i korrelacionit, vlera e raportit të korrelacionit mund të marrë vetëm vlera pozitive nga 0 në 1. Në mungesë të plotë të një lidhjeje, raporti i korrelacionit është i barabartë me zero, në prani të një lidhje funksionale është e barabartë me një, dhe në prani të një lidhjeje regresioni me afërsi të ndryshme, raporti i korrelacionit merr vlera midis zeros dhe një. Zgjedhja e llojit të kurbës ka një rëndësi të madhe në analizën e regresionit, pasi saktësia e përafrimit dhe vlerësimet statistikore të afërsisë së marrëdhënies varen nga lloji i marrëdhënies së zgjedhur. Metoda më e thjeshtë për zgjedhjen e llojit të kurbës është ndërtimi i fushave korrelacioni dhe përzgjedhja e llojeve të përshtatshme të ekuacioneve të regresionit bazuar në vendndodhjen e pikave në këto fusha. Metodat e analizës së regresionit bëjnë të mundur gjetjen e vlerave numerike të koeficientëve të regresionit për llojet komplekse të marrëdhënieve midis parametrave, të përshkruara, për shembull, nga polinome të shkallëve të larta. Shpesh forma e kurbës mund të përcaktohet bazuar në natyrën fizike të procesit ose fenomenit në shqyrtim. Ka kuptim të përdoren polinome të shkallëve të larta për të përshkruar procese që ndryshojnë me shpejtësi nëse kufijtë e luhatjes së parametrave të këtyre proceseve janë të rëndësishëm. Në lidhje me studimet e procesit metalurgjik, mjafton të përdoren kthesa të rendit më të ulët, për shembull, një parabolë e rendit të dytë. Kjo kurbë mund të ketë një ekstrem, i cili, siç ka treguar praktika, është mjaft i mjaftueshëm për të përshkruar karakteristika të ndryshme të procesit metalurgjik. Rezultatet e llogaritjeve të parametrave të marrëdhënies së korrelacionit të çiftëzuar do të ishin të besueshme dhe do të kishin vlerë praktike nëse informacioni i përdorur do të merrej për kushtet e kufijve të gjerë të luhatjeve të argumentit me të gjithë parametrat e tjerë të procesit konstant. Rrjedhimisht, metodat për studimin e korrelacionit në çift të parametrave mund të përdoren për të zgjidhur problemet praktike vetëm kur ekziston besimi në mungesën e ndikimeve të tjera serioze në funksion, përveç argumentit të analizuar. Në kushtet e prodhimit, është e pamundur të kryhet procesi në këtë mënyrë për një kohë të gjatë. Sidoqoftë, nëse kemi informacion për parametrat kryesorë të procesit që ndikojnë në rezultatet e tij, atëherë matematikisht mund të eliminojmë ndikimin e këtyre parametrave dhe të izolojmë në "formë të pastër" marrëdhënien midis funksionit dhe argumentit që na intereson. Një lidhje e tillë quhet private, ose individuale. Për ta përcaktuar atë, përdoret metoda e regresionit të shumëfishtë.

Marrëdhënie korrelacioni.

Raporti i korrelacionit dhe indeksi i korrelacionit janë karakteristika numerike që janë të lidhura ngushtë me konceptin e një ndryshoreje të rastësishme, ose më mirë me një sistem variablash të rastësishëm. Prandaj, për të prezantuar dhe përcaktuar kuptimin dhe rolin e tyre, është e nevojshme të shpjegohet koncepti i një sistemi variablash të rastësishëm dhe disa vetive të qenësishme në to.

Dy ose më shumë ndryshore të rastësishme që përshkruajnë një fenomen të caktuar quhen sistem ose kompleks variablash të rastësishëm.

Një sistem i disa variablave të rastësishëm X, Y, Z, …, W zakonisht shënohet me (X, Y, Z, …, W).

Për shembull, një pikë në një aeroplan përshkruhet jo nga një koordinatë, por nga dy, dhe në hapësirë - madje edhe nga tre.

Vetitë e një sistemi të disa ndryshoreve të rastit nuk janë të kufizuara në vetitë e variablave individuale të rastësishme të përfshira në sistem, por përfshijnë gjithashtu lidhje (varësi) të ndërsjella midis variablave të rastit. Prandaj, kur studiohet një sistem variablash të rastësishëm, duhet t'i kushtohet vëmendje natyrës dhe shkallës së varësisë. Kjo varësi mund të jetë pak a shumë e theksuar, pak a shumë e afërt. Dhe në raste të tjera, variablat e rastësishëm rezultojnë të jenë praktikisht të pavarur.

Një ndryshore e rastësishme Y thuhet se është e pavarur nga një ndryshore e rastësishme X nëse ligji i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme Y nuk varet nga vlera që merr X.

Duhet të theksohet se varësia dhe pavarësia e variablave të rastit është gjithmonë një fenomen i ndërsjellë: nëse Y nuk varet nga X, atëherë vlera X nuk varet nga Y. Duke marrë parasysh këtë, mund të japim përkufizimin e mëposhtëm të pavarësisë të ndryshoreve të rastësishme.

Variablat e rastësishëm X dhe Y quhen të pavarur nëse ligji i shpërndarjes së secilës prej tyre nuk varet nga vlera që merr tjetri. Përndryshe, madhësitë X dhe Y quhen të varura.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme është çdo marrëdhënie që vendos një lidhje midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve të tyre përkatëse.

Koncepti i "varësisë" së variablave të rastësishëm, i cili përdoret në teorinë e probabilitetit, është disi i ndryshëm nga koncepti i zakonshëm i "varësisë" së variablave, i cili përdoret në matematikë. Kështu, një matematikan me "varësi" nënkupton vetëm një lloj varësie - varësi të plotë, të ngurtë, të ashtuquajtur funksionale. Dy sasi X dhe Y quhen të varura funksionalisht nëse, duke ditur vlerën e njërës prej tyre, mund të përcaktoni me saktësi vlerën e tjetrës.

Në teorinë e probabilitetit, ne hasim një lloj varësie paksa të ndryshme - një varësi probabiliste. Nëse vlera Y lidhet me vlerën X nga një varësi probabiliste, atëherë, duke ditur vlerën e X, është e pamundur të tregohet me saktësi vlera e Y, por mund të tregoni ligjin e shpërndarjes së tij, në varësi të asaj vlere që ka vlera X marrë.

Marrëdhënia probabiliste mund të jetë pak a shumë e ngushtë; Me rritjen e afërsisë së varësisë probabilistike, ajo bëhet gjithnjë e më afër asaj funksionale. Kështu, varësia funksionale mund të konsiderohet si një rast ekstrem, kufizues i varësisë më të afërt probabilistike. Një rast tjetër ekstrem është pavarësia e plotë e variablave të rastësishëm. Midis këtyre dy rasteve ekstreme qëndrojnë të gjitha shkallët e varësisë probabiliste - nga më e forta tek më e dobëta.

Varësia probabiliste ndërmjet variablave të rastësishëm haset shpesh në praktikë. Nëse variablat e rastësishëm X dhe Y janë në një marrëdhënie probabilistike, kjo nuk do të thotë se me një ndryshim në vlerën e X, vlera e Y ndryshon në një mënyrë plotësisht të përcaktuar; kjo do të thotë vetëm se ndërsa vlera e X ndryshon, vlera e Y tenton gjithashtu të ndryshojë (rritet ose ulet ndërsa X rritet). Ky trend vërehet vetëm në terma të përgjithshëm, dhe në çdo rast individual devijime nga ai janë të mundshme.

Gjatë studimeve, studentët shumë shpesh ndeshen me një sërë ekuacionesh. Njëri prej tyre - ekuacioni i regresionit - diskutohet në këtë artikull. Ky lloj ekuacioni përdoret posaçërisht për të përshkruar karakteristikat e marrëdhënies midis parametrave matematikorë. Ky lloj barazie përdoret në statistikë dhe ekonometri.

Përkufizimi i regresionit

Në matematikë, regresioni nënkupton një sasi të caktuar që përshkruan varësinë e vlerës mesatare të një grupi të dhënash nga vlerat e një sasie tjetër. Ekuacioni i regresionit tregon, në funksion të një karakteristike të veçantë, vlerën mesatare të një karakteristike tjetër. Funksioni i regresionit ka formën e një ekuacioni të thjeshtë y = x, në të cilin y vepron si një ndryshore e varur dhe x si një ndryshore e pavarur (faktor-tipar). Në fakt, regresioni shprehet si y = f (x).

Cilat janë llojet e marrëdhënieve ndërmjet variablave?

Në përgjithësi, ekzistojnë dy lloje të kundërta të marrëdhënieve: korrelacioni dhe regresioni.

E para karakterizohet nga barazia e variablave të kushtëzuar. Në këtë rast, nuk dihet me besueshmëri se cila variabël varet nga tjetra.

Nëse nuk ka barazi midis variablave dhe kushtet thonë se cila variabël është shpjeguese dhe cila është e varur, atëherë mund të flasim për praninë e një lidhjeje të llojit të dytë. Për të ndërtuar një ekuacion të regresionit linear, do të jetë e nevojshme të zbulohet se çfarë lloj marrëdhënieje vërehet.

Llojet e regresioneve

Sot, ekzistojnë 7 lloje të ndryshme të regresionit: hiperbolik, linear, shumëfish, jolinear, çift, invers, logaritmikisht linear.

Hiperbolike, lineare dhe logaritmike

Ekuacioni i regresionit linear përdoret në statistika për të shpjeguar qartë parametrat e ekuacionit. Duket si y = c+t*x+E. Një ekuacion hiperbolik ka formën e një hiperbole të rregullt y = c + m / x + E. Një ekuacion logaritmik linear shpreh marrëdhënien duke përdorur një funksion logaritmik: Në y = Në c + m * Në x + Në E.

Të shumëfishta dhe jolineare

Dy llojet më komplekse të regresionit janë të shumëfishta dhe jolineare. Ekuacioni i regresionit të shumëfishtë shprehet me funksionin y = f(x 1, x 2 ... x c) + E. Në këtë situatë, y vepron si një ndryshore e varur dhe x vepron si një ndryshore shpjeguese. Ndryshorja E është stokastike, ajo përfshin ndikimin e faktorëve të tjerë në ekuacion. Ekuacioni i regresionit jolinear është pak i diskutueshëm. Nga njëra anë, në raport me treguesit e marrë në konsideratë, nuk është linear, por nga ana tjetër, në rolin e vlerësimit të treguesve, është linear.

Llojet e kundërta dhe të çiftëzuara të regresioneve

Një invers është një lloj funksioni që duhet të konvertohet në një formë lineare. Në programet më tradicionale të aplikimit, ai merr formën e funksionit y = 1/c + m*x+E. Një ekuacion i regresionit në çift tregon marrëdhënien midis të dhënave si funksion i y = f (x) + E. Ashtu si në ekuacionet e tjera, y varet nga x dhe E është një parametër stokastik.

Koncepti i korrelacionit

Ky është një tregues që tregon ekzistencën e një marrëdhënieje midis dy fenomeneve ose proceseve. Forca e marrëdhënies shprehet si një koeficient korrelacioni. Vlera e tij luhatet brenda intervalit [-1;+1]. Një tregues negativ tregon praninë e reagimeve, një tregues pozitiv tregon reagime të drejtpërdrejta. Nëse koeficienti merr një vlerë të barabartë me 0, atëherë nuk ka asnjë lidhje. Sa më afër të jetë vlera me 1, aq më e fortë është marrëdhënia midis parametrave, aq më afër 0, aq më e dobët është.

Metodat

Metodat parametrike të korrelacionit mund të vlerësojnë fuqinë e marrëdhënies. Ato përdoren në bazë të vlerësimit të shpërndarjes për të studiuar parametrat që i binden ligjit të shpërndarjes normale.

Parametrat e ekuacionit të regresionit linear janë të nevojshëm për të identifikuar llojin e varësisë, funksionin e ekuacionit të regresionit dhe për të vlerësuar treguesit e formulës së zgjedhur të marrëdhënies. Fusha e korrelacionit përdoret si metodë e identifikimit të lidhjes. Për ta bërë këtë, të gjitha të dhënat ekzistuese duhet të përshkruhen grafikisht. Të gjitha të dhënat e njohura duhet të vizatohen në një sistem koordinativ dy-dimensional drejtkëndor. Kështu formohet një fushë korrelacioni. Vlerat e faktorit përshkrues shënohen përgjatë boshtit të abshisës, ndërsa vlerat e faktorit të varur shënohen përgjatë boshtit të ordinatave. Nëse ekziston një marrëdhënie funksionale midis parametrave, ato rreshtohen në formën e një rreshti.

Nëse koeficienti i korrelacionit të të dhënave të tilla është më pak se 30%, mund të flasim për një mungesë pothuajse të plotë të lidhjes. Nëse është midis 30% dhe 70%, atëherë kjo tregon praninë e lidhjeve të mesme të ngushta. Një tregues 100% është dëshmi e një lidhjeje funksionale.

Një ekuacion jolinear i regresionit, ashtu si ai linear, duhet të plotësohet me një indeks korrelacioni (R).

Korrelacioni për regresion të shumëfishtë

Koeficienti i përcaktimit është një tregues i katrorit të korrelacionit të shumëfishtë. Ai flet për marrëdhënien e ngushtë të grupit të treguesve të paraqitur me karakteristikën që studiohet. Mund të flasë gjithashtu për natyrën e ndikimit të parametrave në rezultat. Ekuacioni i regresionit të shumëfishtë vlerësohet duke përdorur këtë tregues.

Për të llogaritur treguesin e korrelacionit të shumëfishtë, është e nevojshme të llogaritet indeksi i tij.

Metoda e katrorëve më të vegjël

Kjo metodë është një mënyrë për të vlerësuar faktorët e regresionit. Thelbi i tij është të minimizojë shumën e devijimeve në katror të marra si rezultat i varësisë së faktorit nga funksioni.

Një ekuacion i regresionit linear në çift mund të vlerësohet duke përdorur një metodë të tillë. Ky lloj ekuacionesh përdoret kur zbulohet një marrëdhënie lineare e çiftuar midis treguesve.

Parametrat e ekuacionit

Çdo parametër i funksionit të regresionit linear ka një kuptim specifik. Ekuacioni i regresionit linear të çiftuar përmban dy parametra: c dhe m Parametri m demonstron ndryshimin mesatar në treguesin përfundimtar të funksionit y, me kusht që ndryshorja x të zvogëlohet (rritet) me një njësi konvencionale. Nëse ndryshorja x është zero, atëherë funksioni është i barabartë me parametrin c. Nëse ndryshorja x nuk është zero, atëherë faktori c nuk ka kuptim ekonomik. Ndikimi i vetëm në funksion është shenja përpara faktorit c. Nëse ka një minus, atëherë mund të themi se ndryshimi në rezultat është i ngadaltë në krahasim me faktorin. Nëse ka një plus, atëherë kjo tregon një ndryshim të përshpejtuar në rezultat.

Çdo parametër që ndryshon vlerën e ekuacionit të regresionit mund të shprehet përmes një ekuacioni. Për shembull, faktori c ka formën c = y - mx.

Të dhëna të grupuara

Ekzistojnë kushte të detyrës në të cilat të gjitha informacionet grupohen sipas atributit x, por për një grup të caktuar tregohen vlerat mesatare përkatëse të treguesit të varur. Në këtë rast, vlerat mesatare karakterizojnë se si ndryshon treguesi në varësi të x. Kështu, informacioni i grupuar ndihmon për të gjetur ekuacionin e regresionit. Përdoret si analizë e marrëdhënieve. Megjithatë, kjo metodë ka të metat e saj. Për fat të keq, treguesit mesatarë janë shpesh subjekt i luhatjeve të jashtme. Këto luhatje nuk pasqyrojnë modelin e marrëdhënies, ato thjesht maskojnë "zhurmën" e saj. Mesataret tregojnë modele marrëdhëniesh shumë më të këqija se një ekuacion i regresionit linear. Megjithatë, ato mund të përdoren si bazë për gjetjen e një ekuacioni. Duke shumëzuar numrin e një popullsie individuale me mesataren përkatëse, mund të merret shuma y brenda grupit. Tjetra, duhet të shtoni të gjitha shumat e marra dhe të gjeni treguesin përfundimtar y. Është pak më e vështirë të bësh llogaritjet me treguesin e shumës xy. Nëse intervalet janë të vogla, mund të marrim me kusht treguesin x për të gjitha njësitë (brenda grupit) të jetë i njëjtë. Ju duhet ta shumëzoni atë me shumën e y për të gjetur shumën e prodhimeve të x dhe y. Më pas, të gjitha shumat mblidhen së bashku dhe fitohet shuma totale xy.

Ekuacioni i regresionit të shumëfishtë në çift: vlerësimi i rëndësisë së një marrëdhënieje

Siç u diskutua më herët, regresioni i shumëfishtë ka një funksion të formës y = f (x 1,x 2,…,x m)+E. Më shpesh, një ekuacion i tillë përdoret për të zgjidhur problemin e ofertës dhe kërkesës për një produkt, të ardhurat nga interesi për aksionet e riblera dhe për të studiuar shkaqet dhe llojin e funksionit të kostos së prodhimit. Përdoret gjithashtu në mënyrë aktive në një shumëllojshmëri të gjerë studimesh dhe llogaritjesh makroekonomike, por në nivelin mikroekonomik ky ekuacion përdoret pak më rrallë.

Detyra kryesore e regresionit të shumëfishtë është të ndërtojë një model të dhënash që përmban një sasi të madhe informacioni në mënyrë që të përcaktohet më tej se çfarë ndikimi ka secili prej faktorëve individualisht dhe në tërësinë e tyre në treguesin që duhet të modelohet dhe koeficientët e tij. Ekuacioni i regresionit mund të marrë një shumëllojshmëri të gjerë vlerash. Në këtë rast, për të vlerësuar marrëdhënien, zakonisht përdoren dy lloje funksionesh: lineare dhe jolineare.

Funksioni linear përshkruhet në formën e marrëdhënies së mëposhtme: y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2,+ ... + a m x m. Në këtë rast, a2, a m konsiderohen koeficientë të regresionit "të pastër". Ato janë të nevojshme për të karakterizuar ndryshimin mesatar në parametrin y me një ndryshim (ulje ose rritje) në secilin parametër korrespondues x me një njësi, me kushtin e vlerave të qëndrueshme të treguesve të tjerë.

Ekuacionet jolineare kanë, për shembull, formën e një funksioni fuqie y=ax 1 b1 x 2 b2 ...x m bm. Në këtë rast, treguesit b 1, b 2 ..... b m quhen koeficientë elasticiteti, ata demonstrojnë se si rezultati do të ndryshojë (me sa%) me një rritje (ulje) në treguesin përkatës x me 1% dhe me një tregues të qëndrueshëm të faktorëve të tjerë.

Cilët faktorë duhet të merren parasysh gjatë ndërtimit të regresionit të shumëfishtë

Për të ndërtuar saktë regresionin e shumëfishtë, është e nevojshme të zbuloni se cilët faktorë duhet t'i kushtohet vëmendje e veçantë.

Është e nevojshme të kemi njëfarë kuptimi të natyrës së marrëdhënieve ndërmjet faktorëve ekonomikë dhe asaj që modelohet. Faktorët që duhet të përfshihen duhet të plotësojnë kriteret e mëposhtme:

Duhet t'i nënshtrohet matjes sasiore. Për të përdorur një faktor që përshkruan cilësinë e një objekti, në çdo rast duhet t'i jepet një formë sasiore.
Nuk duhet të ketë ndërlidhje faktorësh, apo marrëdhënie funksionale. Veprime të tilla më së shpeshti çojnë në pasoja të pakthyeshme - sistemi i ekuacioneve të zakonshme bëhet i pakushtëzuar, dhe kjo përfshin jobesueshmërinë dhe vlerësimet e tij të paqarta.
Në rastin e një treguesi të madh korrelacioni, nuk ka asnjë mënyrë për të zbuluar ndikimin e izoluar të faktorëve në rezultatin përfundimtar të treguesit, prandaj, koeficientët bëhen të pakuptueshëm.

Metodat e ndërtimit

Ka një numër të madh metodash dhe metodash që shpjegojnë se si mund të zgjidhni faktorët për një ekuacion. Sidoqoftë, të gjitha këto metoda bazohen në zgjedhjen e koeficientëve duke përdorur një tregues korrelacioni. Ndër to janë:

Metoda e eliminimit.
Metoda e ndërrimit.
Analiza e regresionit hap pas hapi.

Metoda e parë përfshin filtrimin e të gjithë koeficientëve nga grupi total. Metoda e dytë përfshin futjen e shumë faktorëve shtesë. Epo, e treta është eliminimi i faktorëve që janë përdorur më parë për ekuacionin. Secila prej këtyre metodave ka të drejtë të ekzistojë. Ata kanë të mirat dhe të këqijat e tyre, por të gjithë mund ta zgjidhin çështjen e eliminimit të treguesve të panevojshëm në mënyrën e tyre. Si rregull, rezultatet e marra nga secila metodë individuale janë mjaft të afërta.

Metodat e analizës me shumë variacione

Metoda të tilla për përcaktimin e faktorëve bazohen në marrjen në konsideratë të kombinimeve individuale të karakteristikave të ndërlidhura. Këto përfshijnë analizën diskriminuese, njohjen e formës, analizën e komponentit kryesor dhe analizën e grupimeve. Përveç kësaj, ekziston edhe analiza e faktorëve, por ajo u shfaq për shkak të zhvillimit të metodës së komponentëve. Të gjitha ato zbatohen në rrethana të caktuara, në varësi të kushteve dhe faktorëve të caktuar.

Në postimet e mëparshme, analiza shpesh fokusohej në një ndryshore të vetme numerike, të tilla si kthimet e fondeve të përbashkëta, kohët e ngarkimit të faqeve në internet ose konsumi i pijeve joalkoolike. Në këtë dhe shënimet pasuese, ne do të shikojmë metodat për parashikimin e vlerave të një ndryshoreje numerike në varësi të vlerave të një ose më shumë ndryshoreve të tjera numerike.

Materiali do të ilustrohet me një shembull tërthor. Parashikimi i vëllimit të shitjeve në një dyqan veshjesh. Zinxhiri i dyqaneve të veshjeve me zbritje Sunflowers është zgjeruar vazhdimisht për 25 vjet. Megjithatë, kompania aktualisht nuk ka një qasje sistematike për zgjedhjen e pikave të reja. Vendndodhja në të cilën një kompani synon të hapë një dyqan të ri përcaktohet bazuar në konsiderata subjektive. Kriteret e përzgjedhjes janë kushtet e favorshme të qirasë ose ideja e menaxherit për vendndodhjen ideale të dyqanit. Imagjinoni që jeni drejtuesi i departamentit të projekteve speciale dhe planifikimit. Ju keni marrë për detyrë të zhvilloni një plan strategjik për hapjen e dyqaneve të reja. Ky plan duhet të përfshijë një parashikim të shitjeve vjetore për dyqanet e sapohapura. Ju besoni se hapësira e shitjes me pakicë lidhet drejtpërdrejt me të ardhurat dhe dëshironi ta faktorizoni këtë në procesin tuaj të vendimmarrjes. Si të zhvilloni një model statistikor për të parashikuar shitjet vjetore bazuar në madhësinë e një dyqani të ri?

Në mënyrë tipike, analiza e regresionit përdoret për të parashikuar vlerat e një ndryshoreje. Qëllimi i tij është të zhvillojë një model statistikor që mund të parashikojë vlerat e një ndryshoreje të varur, ose përgjigje, nga vlerat e të paktën një ndryshoreje të pavarur, ose shpjeguese. Në këtë shënim, ne do të shikojmë regresionin e thjeshtë linear - një metodë statistikore që ju lejon të parashikoni vlerat e një variabli të varur Y nga vlerat e ndryshoreve të pavarura X. Shënimet pasuese do të përshkruajnë një model regresioni të shumëfishtë i krijuar për të parashikuar vlerat e një ndryshoreje të pavarur Y bazuar në vlerat e disa variablave të varur ( X 1, X 2, …, X k).

Shkarkoni shënimin në ose format, shembuj në format

Llojet e modeleve të regresionit

Ku ρ 1 – koeficienti i autokorrelacionit; Nëse ρ 1 = 0 (pa autokorrelacion), D≈ 2; Nëse ρ 1 ≈ 1 (autokorrelacion pozitiv), D≈ 0; Nëse ρ 1 = -1 (autokorrelacion negativ), D ≈ 4.

Në praktikë, zbatimi i kriterit Durbin-Watson bazohet në krahasimin e vlerës D me vlera teorike kritike d L Dhe d U për një numër të caktuar vëzhgimesh n, numri i variablave të pavarur të modelit k(për regresion të thjeshtë linear k= 1) dhe niveli i rëndësisë α. Nëse D< d L , hipoteza për pavarësinë e devijimeve të rastësishme refuzohet (prandaj, ekziston një autokorrelacion pozitiv); Nëse D>dU, hipoteza nuk hidhet poshtë (d.m.th. nuk ka autokorrelacion); Nëse d L< D < d U , nuk ka arsye të mjaftueshme për të marrë një vendim. Kur vlera e llogaritur D kalon 2, pastaj me d L Dhe d U Nuk është vetë koeficienti që krahasohet D, dhe shprehja (4 - D).

Për të llogaritur statistikat Durbin-Watson në Excel, le të kthehemi në tabelën e poshtme në Fig. 14 Tërheqja e bilancit. Numëruesi në shprehjen (10) llogaritet duke përdorur funksionin =SUMMAR(array1;array2), dhe emëruesin =SUMMAR(array) (Fig. 16).

Oriz. 16. Formulat për llogaritjen e statistikave Durbin-Watson

Në shembullin tonë D= 0,883. Pyetja kryesore është: cila vlerë e statistikës Durbin-Watson duhet të konsiderohet mjaft e vogël për të arritur në përfundimin se ekziston një autokorrelacion pozitiv? Është e nevojshme të lidhet vlera e D me vlerat kritike ( d L Dhe d U), në varësi të numrit të vëzhgimeve n dhe niveli i rëndësisë α (Fig. 17).

Oriz. 17. Vlerat kritike të statistikave Durbin-Watson (fragment tabele)

Kështu, në problemin e vëllimit të shitjeve në një dyqan që dërgon mallra në shtëpi, ekziston një variabël i pavarur ( k= 1), 15 vëzhgime ( n= 15) dhe niveli i rëndësisë α = 0,05. Prandaj, d L= 1,08 dhe dU= 1,36. Sepse D = 0,883 < d L= 1.08, ekziston një autokorrelacion pozitiv midis mbetjeve, metoda e katrorëve më të vegjël nuk mund të përdoret.

Testimi i hipotezave rreth pjerrësisë dhe koeficientit të korrelacionit

Më sipër, regresioni u përdor vetëm për parashikim. Për të përcaktuar koeficientët e regresionit dhe për të parashikuar vlerën e një ndryshoreje Y për një vlerë të dhënë variabël XËshtë përdorur metoda e katrorëve më të vegjël. Përveç kësaj, ne shqyrtuam gabimin mesatar katror të vlerësimit dhe koeficientin e përzier të korrelacionit. Nëse analiza e mbetjeve konfirmon se kushtet e zbatueshmërisë së metodës së katrorëve më të vegjël nuk janë shkelur dhe modeli i thjeshtë i regresionit linear është adekuat, bazuar në të dhënat e mostrës, mund të argumentohet se ekziston një marrëdhënie lineare midis variablave në popullsia.

Aplikimit -kriteret për pjerrësinë. Duke testuar nëse pjerrësia e popullsisë β 1 është e barabartë me zero, mund të përcaktohet nëse ekziston një lidhje statistikisht e rëndësishme midis variablave X Dhe Y. Nëse kjo hipotezë refuzohet, mund të argumentohet se midis variablave X Dhe Y ka një marrëdhënie lineare. Hipotezat zero dhe alternative janë formuluar si më poshtë: H 0: β 1 = 0 (nuk ka varësi lineare), H1: β 1 ≠ 0 (ka një varësi lineare). Sipas definicionit t-statistika është e barabartë me diferencën midis pjerrësisë së mostrës dhe vlerës hipotetike të pjerrësisë së popullatës, e ndarë me rrënjën e gabimit mesatar katror të vlerësimit të pjerrësisë:

(11) t = (b 1 – β 1 ) / Sb 1

Ku b 1 – pjerrësia e regresionit të drejtpërdrejtë në të dhënat e mostrës, β1 – pjerrësia hipotetike e popullsisë direkte, , dhe statistikat e testimit t ka t-shpërndarja me n – 2 shkallët e lirisë.

Le të kontrollojmë nëse ka një lidhje statistikisht domethënëse midis madhësisë së dyqanit dhe shitjeve vjetore në α = 0.05. t-kriteri shfaqet së bashku me parametrat e tjerë kur përdoret Paketa e analizës(opsion Regresioni). Rezultatet e plota të Paketës së Analizës janë paraqitur në Fig. 4, fragment i lidhur me statistikat t - në Fig. 18.

Oriz. 18. Rezultatet e aplikimit t

Që nga numri i dyqaneve n= 14 (shih Fig. 3), vlera kritike t-statistikat në një nivel të rëndësisë prej α = 0,05 mund të gjenden duke përdorur formulën: t L=STUDENT.ARV(0.025,12) = –2.1788, ku 0.025 është gjysma e nivelit të rëndësisë dhe 12 = n – 2; tU=STUDENT.OBR(0.975,12) = +2.1788.

Sepse t-statistika = 10,64 > tU= 2,1788 (Fig. 19), hipotezë zero H 0 refuzuar. Në anën tjetër, r-vlera për X= 10,6411, e llogaritur me formulën =1-STUDENT.DIST(D3,12,TRUE), është afërsisht e barabartë me zero, kështu që hipoteza H 0 sërish refuzuar. Fakti që r-Vlera pothuajse zero do të thotë që nëse nuk do të kishte një lidhje të vërtetë lineare midis madhësisë së dyqanit dhe shitjeve vjetore, do të ishte praktikisht e pamundur të zbulohej duke përdorur regresionin linear. Prandaj, ekziston një lidhje lineare statistikisht e rëndësishme midis shitjeve mesatare vjetore të dyqaneve dhe madhësisë së dyqanit.

Oriz. 19. Testimi i hipotezës për pjerrësinë e popullsisë në një nivel rëndësie prej 0,05 dhe 12 gradë lirie

AplikimiF -kriteret për pjerrësinë. Një qasje alternative për testimin e hipotezave në lidhje me pjerrësinë e regresionit të thjeshtë linear është të përdoret F- kriteret. Le t'ju kujtojmë se F-testi përdoret për të testuar lidhjen midis dy variancave (për më shumë detaje, shih). Gjatë testimit të hipotezës së pjerrësisë, masa e gabimeve të rastësishme është varianca e gabimit (shuma e gabimeve në katror të pjesëtuar me numrin e shkallëve të lirisë), pra F-kriteri përdor raportin e variancës së shpjeguar nga regresioni (d.m.th. vlera SSR, pjesëtuar me numrin e variablave të pavarur k), te varianca e gabimit ( MSE = S YX 2 ).

Sipas definicionit F-statistika është e barabartë me katrorin mesatar të regresionit (MSR) pjesëtuar me variancën e gabimit (MSE): F = MSR/ NVM, Ku MSR=SSR / k, MSE =SSE/(n– k – 1), k– numri i variablave të pavarur në modelin e regresionit. Statistikat e testimit F ka F-shpërndarja me k Dhe n– k – 1 shkallët e lirisë.

Për një nivel të caktuar të rëndësisë α, rregulli i vendimit formulohet si më poshtë: nëse F>FU, hipoteza zero hidhet poshtë; përndryshe nuk refuzohet. Rezultatet, të paraqitura në formën e një tabele përmbledhëse të analizës së variancës, janë paraqitur në Fig. 20.

Oriz. 20. Tabela e analizës së variancës për testimin e hipotezës për rëndësinë statistikore të koeficientit të regresionit

Po kështu t-kriter F-kriteri shfaqet në tabelë kur përdoret Paketa e analizës(opsion Regresioni). Rezultatet e plota të punës Paketa e analizës janë paraqitur në Fig. 4, fragment që lidhet me F-statistikat - në Fig. 21.

Oriz. 21. Rezultatet e aplikimit F-kriteret e marra duke përdorur Paketën e Analizës Excel

Statistika F është 113.23, dhe r-vlera afër zeros (qeliza RëndësiaF). Nëse niveli i rëndësisë α është 0,05, përcaktoni vlerën kritike F-Shpërndarjet me një dhe 12 shkallë lirie mund të merren duke përdorur formulën F U=F.OBR(1-0.05;1;12) = 4.7472 (Fig. 22). Sepse F = 113,23 > F U= 4,7472, dhe r-vlera afër 0< 0,05, нулевая гипотеза H 0 refuzohet, d.m.th. Madhësia e një dyqani është e lidhur ngushtë me shitjet e tij vjetore.

Oriz. 22. Testimi i hipotezës së pjerrësisë së popullsisë në një nivel të rëndësisë 0.05 me një dhe 12 shkallë lirie

Intervali i besimit që përmban pjerrësinë β 1 . Për të testuar hipotezën se ekziston një marrëdhënie lineare midis variablave, mund të ndërtoni një interval besimi që përmban pjerrësinë β 1 dhe të verifikoni që vlera hipotetike β 1 = 0 i përket këtij intervali. Qendra e intervalit të besimit që përmban pjerrësinë β 1 është pjerrësia e mostrës b 1 , dhe kufijtë e saj janë sasitë b 1 ±tn –2 Sb 1

Siç tregohet në Fig. 18, b 1 = +1,670, n = 14, Sb 1 = 0,157. t 12 =STUDENT.ARV(0.975,12) = 2.1788. Prandaj, b 1 ±tn –2 Sb 1 = +1,670 ± 2,1788 * 0,157 = +1,670 ± 0,342, ose + 1,328 ≤ β 1 ≤ +2,012. Kështu, ekziston një probabilitet prej 0,95 që pjerrësia e popullsisë të jetë midis +1,328 dhe +2,012 (d.m.th., 1,328,000 deri në 2,012,000 dollarë). Meqenëse këto vlera janë më të mëdha se zero, ekziston një lidhje lineare statistikisht e rëndësishme midis shitjeve vjetore dhe zonës së dyqanit. Nëse intervali i besimit përmban zero, nuk do të kishte asnjë lidhje midis variablave. Përveç kësaj, intervali i besimit do të thotë që çdo rritje e sipërfaqes së dyqanit me 1000 sq. ft rezulton në një rritje të vëllimit mesatar të shitjeve prej 1,328,000 dollarë në 2,012,000 dollarë.

Përdorimit -kriteret për koeficientin e korrelacionit. u prezantua koeficienti i korrelacionit r, e cila është një masë e marrëdhënies midis dy ndryshoreve numerike. Mund të përdoret për të përcaktuar nëse ka një lidhje statistikisht domethënëse midis dy variablave. Le të shënojmë koeficientin e korrelacionit midis popullatave të të dy variablave me simbolin ρ. Hipotezat zero dhe alternative janë formuluar si më poshtë: H 0: ρ = 0 (pa korrelacion), H 1: ρ ≠ 0 (ka një korrelacion). Kontrollimi i ekzistencës së një korrelacioni:

Ku r = + , Nëse b 1 > 0, r = – , Nëse b 1 < 0. Тестовая статистика t ka t-shpërndarja me n – 2 shkallët e lirisë.

Në problemin për zinxhirin e dyqaneve Sunflowers r 2= 0,904, a b 1- +1,670 (shih Fig. 4). Sepse b 1> 0, koeficienti i korrelacionit midis shitjeve vjetore dhe madhësisë së dyqanit është r= +√0,904 = +0,951. Le të testojmë hipotezën zero se nuk ka korrelacion midis këtyre variablave duke përdorur t- statistikat:

Në një nivel të rëndësisë prej α = 0.05, hipoteza zero duhet të refuzohet sepse t= 10,64 > 2,1788. Kështu, mund të argumentohet se ekziston një lidhje statistikisht e rëndësishme midis shitjeve vjetore dhe madhësisë së dyqanit.

Kur diskutohen konkluzionet në lidhje me pjerrësinë e popullsisë, intervalet e besimit dhe testet e hipotezave përdoren në mënyrë të ndërsjellë. Megjithatë, llogaritja e intervalit të besimit që përmban koeficientin e korrelacionit rezulton të jetë më e vështirë, pasi lloji i shpërndarjes së kampionit të statistikës r varet nga koeficienti i korrelacionit të vërtetë.

Vlerësimi i pritjes matematikore dhe parashikimi i vlerave individuale

Ky seksion diskuton metodat për vlerësimin e pritshmërisë matematikore të një përgjigjeje Y dhe parashikimet e vlerave individuale Y për vlerat e dhëna të ndryshores X.

Ndërtimi i një intervali besimi. Në shembullin 2 (shih seksionin më lart Metoda e katrorëve më të vegjël) ekuacioni i regresionit bëri të mundur parashikimin e vlerës së ndryshores Y X. Në problemin e zgjedhjes së një lokacioni për një dyqan me pakicë, vëllimi mesatar vjetor i shitjeve në një dyqan me një sipërfaqe prej 4000 sq. këmbët ishte e barabartë me 7,644 milionë dollarë, megjithatë, ky vlerësim i pritshmërisë matematikore të popullsisë së përgjithshme është pikë-pikërisht. Për të vlerësuar pritshmërinë matematikore të popullsisë, u propozua koncepti i një intervali besimi. Në mënyrë të ngjashme, ne mund të prezantojmë konceptin intervali i besimit për pritshmërinë matematikore të përgjigjes për një vlerë të dhënë variabël X:

Ku , = b 0 + b 1 X i– vlera e parashikuar është e ndryshueshme Y në X = X i, S YX- rrënja e gabimit mesatar katror, n- madhësia e mostrës, Xi- vlera e specifikuar e ndryshores X, µ Y|X = Xi– pritshmëria matematikore e ndryshores Y në X = Xi, SSX =

Analiza e formulës (13) tregon se gjerësia e intervalit të besimit varet nga disa faktorë. Në një nivel të caktuar rëndësie, një rritje në amplituda e luhatjeve rreth vijës së regresionit, e matur duke përdorur gabimin mesatar katror të rrënjës, çon në një rritje në gjerësinë e intervalit. Nga ana tjetër, siç mund të pritej, një rritje në madhësinë e kampionit shoqërohet me një ngushtim të intervalit. Përveç kësaj, gjerësia e intervalit ndryshon në varësi të vlerave Xi. Nëse vlera e ndryshores Y parashikuar për sasitë X, afër vlerës mesatare , intervali i besimit rezulton të jetë më i ngushtë se kur parashikohet përgjigja për vlera larg mesatares.

Le të themi se kur zgjedhim vendndodhjen e dyqanit, duam të ndërtojmë një interval besimi prej 95% për shitjet mesatare vjetore të të gjitha dyqaneve sipërfaqja e të cilave është 4000 metra katrorë. këmbët:

Prandaj, vëllimi mesatar vjetor i shitjeve në të gjitha dyqanet me një sipërfaqe prej 4,000 sq. këmbë, me 95% probabilitet shtrihet në rangun nga 6,971 deri në 8,317 milionë dollarë.

Llogaritni intervalin e besimit për vlerën e parashikuar. Përveç intervalit të besimit për pritshmërinë matematikore të përgjigjes për një vlerë të caktuar të ndryshores X, shpesh është e nevojshme të dihet intervali i besimit për vlerën e parashikuar. Megjithëse formula për llogaritjen e një intervali të tillë besimi është shumë e ngjashme me formulën (13), ky interval përmban vlerën e parashikuar dhe jo vlerësimin e parametrave. Intervali për përgjigjen e parashikuar YX = Xi për një vlerë të ndryshueshme specifike Xi përcaktohet nga formula:

Supozoni se, kur zgjedhim një vendndodhje për një dyqan me pakicë, duam të ndërtojmë një interval besimi 95% për vëllimin e parashikuar vjetor të shitjeve për një dyqan, sipërfaqja e të cilit është 4000 metra katrorë. këmbët:

Prandaj, vëllimi i parashikuar vjetor i shitjeve për një dyqan me një sipërfaqe prej 4000 sq. këmbët, me një probabilitet 95% shtrihet në rangun nga 5,433 deri në 9,854 milionë dollarë. Kjo për shkak se ndryshueshmëria në parashikimin e vlerave individuale është shumë më e madhe sesa në vlerësimin e pritshmërisë matematikore.

Grackat dhe çështjet etike që lidhen me përdorimin e regresionit

Vështirësitë që lidhen me analizën e regresionit:

Injorimi i kushteve të zbatueshmërisë së metodës së katrorëve më të vegjël.
Vlerësimi i gabuar i kushteve për zbatueshmërinë e metodës së katrorëve më të vegjël.
Zgjedhja e gabuar e metodave alternative kur shkelen kushtet e zbatueshmërisë së metodës së katrorëve më të vegjël.
Zbatimi i analizës së regresionit pa njohuri të thella të lëndës së hulumtimit.
Ekstrapolimi i një regresioni përtej intervalit të variablit shpjegues.
Konfuzioni midis marrëdhënieve statistikore dhe shkakore.

Përdorimi i gjerë i tabelave dhe softuerit statistikor ka eliminuar problemet llogaritëse që kishin penguar përdorimin e analizës së regresionit. Megjithatë, kjo çoi në faktin se analiza e regresionit u përdor nga përdorues që nuk kishin kualifikime dhe njohuri të mjaftueshme. Si mund të dinë përdoruesit për metodat alternative nëse shumë prej tyre nuk kanë fare ide për kushtet e zbatueshmërisë së metodës së katrorëve më të vegjël dhe nuk dinë të kontrollojnë zbatimin e tyre?

Studiuesi nuk duhet të rrëmbehet nga numrat rrënqethës - duke llogaritur zhvendosjen, pjerrësinë dhe koeficientin e korrelacionit të përzier. Ai ka nevojë për njohuri më të thella. Le ta ilustrojmë këtë me një shembull klasik të marrë nga tekstet shkollore. Anscombe tregoi se të katër grupet e të dhënave të paraqitura në Fig. 23, kanë të njëjtat parametra regresioni (Fig. 24).

Oriz. 23. Katër grupe të dhënash artificiale

Oriz. 24. Analiza e regresionit të katër grupeve të të dhënave artificiale; bërë me Paketa e analizës(kliko mbi foto për ta zmadhuar imazhin)

Pra, nga pikëpamja e analizës së regresionit, të gjitha këto grupe të dhënash janë plotësisht identike. Nëse analiza do të përfundonte aty, do të humbnim shumë informacione të dobishme. Kjo dëshmohet nga parcelat e shpërndarjes (Figura 25) dhe ngastrat e mbetura (Figura 26) të ndërtuara për këto grupe të dhënash.

Oriz. 25. Diplomat shpërndahen për katër grupe të dhënash

Grafikët e shpërndarjes dhe parcelat e mbetura tregojnë se këto të dhëna ndryshojnë nga njëra-tjetra. I vetmi grup i shpërndarë përgjatë një vije të drejtë është vendosur A. Grafiku i mbetjeve të llogaritura nga grupi A nuk ka asnjë model. Kjo nuk mund të thuhet për grupet B, C dhe D. Grafiku i shpërndarjes i paraqitur për grupin B tregon një model të theksuar kuadratik. Ky përfundim konfirmohet nga parcela e mbetur, e cila ka një formë parabolike. Grafiku i shpërndarjes dhe grafiku i mbetur tregojnë se grupi i të dhënave B përmban një vlerë të jashtme. Në këtë situatë, është e nevojshme të përjashtohet vlera e jashtme nga grupi i të dhënave dhe të përsëritet analiza. Një metodë për zbulimin dhe eliminimin e pikave të jashtme në vëzhgime quhet analiza e ndikimit. Pas eliminimit të periferisë, rezultati i rivlerësimit të modelit mund të jetë krejtësisht i ndryshëm. Skaterploti i grafikuar nga të dhënat nga grupi G ilustron një situatë të pazakontë në të cilën modeli empirik varet ndjeshëm nga një përgjigje individuale ( X 8 = 19, Y 8 = 12.5). Modele të tilla regresioni duhet të llogariten veçanërisht me kujdes. Pra, parcelat e shpërndarjes dhe ato të mbetura janë një mjet thelbësor për analizën e regresionit dhe duhet të jenë pjesë përbërëse e tij. Pa to, analiza e regresionit nuk është e besueshme.

Oriz. 26. Ngastra të mbetura për katër grupe të dhënash

Si të shmangni grackat në analizën e regresionit:

Analiza e marrëdhënieve të mundshme ndërmjet variablave X Dhe Y gjithmonë filloni duke vizatuar një grafik shpërndarjeje.
Para se të interpretoni rezultatet e analizës së regresionit, kontrolloni kushtet për zbatueshmërinë e tij.
Paraqitni mbetjet kundrejt ndryshores së pavarur. Kjo do të bëjë të mundur përcaktimin se sa mirë përputhet modeli empirik me rezultatet e vëzhgimit dhe zbulimin e një shkeljeje të qëndrueshmërisë së variancës.
Përdorni histogramet, grafikët e kërcellit dhe gjetheve, parcelat e kutive dhe grafikët e shpërndarjes normale për të testuar supozimin e një shpërndarjeje normale të gabimit.
Nëse kushtet për zbatueshmërinë e metodës së katrorëve më të vegjël nuk plotësohen, përdorni metoda alternative (për shembull, modelet e regresionit kuadratik ose të shumëfishtë).
Nëse plotësohen kushtet për zbatueshmërinë e metodës së katrorëve më të vegjël, është e nevojshme të testohet hipoteza për rëndësinë statistikore të koeficientëve të regresionit dhe të ndërtohen intervale besimi që përmbajnë pritshmërinë matematikore dhe vlerën e parashikuar të përgjigjes.
Shmangni parashikimin e vlerave të ndryshores së varur jashtë gamës së ndryshores së pavarur.
Mbani në mend se marrëdhëniet statistikore nuk janë gjithmonë shkak-pasojë. Mos harroni se korrelacioni midis variablave nuk do të thotë se ka një marrëdhënie shkak-pasojë midis tyre.

Rezyme. Siç tregohet në bllok diagramin (Figura 27), shënimi përshkruan modelin e thjeshtë të regresionit linear, kushtet për zbatueshmërinë e tij dhe mënyrën e testimit të këtyre kushteve. Konsiderohet t-kriteri për testimin e rëndësisë statistikore të pjerrësisë së regresionit. Një model regresioni është përdorur për të parashikuar vlerat e ndryshores së varur. Një shembull konsiderohet i lidhur me zgjedhjen e vendndodhjes për një pikë shitjeje me pakicë, në të cilën shqyrtohet varësia e vëllimit vjetor të shitjeve nga zona e dyqanit. Informacioni i marrë ju lejon të zgjidhni më saktë një vendndodhje për një dyqan dhe të parashikoni vëllimin e tij vjetor të shitjeve. Shënimet e mëposhtme do të vazhdojnë diskutimin e analizës së regresionit dhe gjithashtu do të shikojnë modelet e shumëfishta të regresionit.

Oriz. 27. Shënim diagramin e strukturës

Përdoren materiale nga libri Levin et al. – M.: Williams, 2004. – f. 792–872

Nëse ndryshorja e varur është kategorike, duhet të përdoret regresioni logjistik.

Koeficienti i regresionit është vlera absolute me të cilën, mesatarisht, vlera e një karakteristike ndryshon kur një karakteristikë tjetër e lidhur ndryshon nga një njësi e caktuar matjeje. Përkufizimi i regresionit. Marrëdhënia midis y dhe x përcakton shenjën e koeficientit të regresionit b (nëse > 0 - marrëdhënie direkte, përndryshe - inverse). Modeli i regresionit linear është më i përdoruri dhe më i studiuari në ekonometri.

1.4. Gabimi i përafrimit Le të vlerësojmë cilësinë e ekuacionit të regresionit duke përdorur gabimin absolut të përafrimit. Vlerat e parashikimit të faktorëve zëvendësohen në model dhe merren vlerësimet e parashikimit pikësor të treguesit të studiuar. Kështu, koeficientët e regresionit karakterizojnë shkallën e rëndësisë së faktorëve individualë për rritjen e nivelit të treguesit të performancës.

Koeficienti i regresionit

Le të shqyrtojmë tani problemin 1 të detyrave të analizës së regresionit të dhëna në f. 300-301. Një nga rezultatet matematikore të teorisë së regresionit linear thotë se vlerësuesi, N, është vlerësuesi i paanshëm me variancën minimale në klasën e të gjithë vlerësuesve linearë të paanshëm. Për shembull, ju mund të llogarisni numrin e ftohjeve mesatarisht në vlera të caktuara të temperaturës mesatare mujore të ajrit në periudhën vjeshtë-dimër.

Vija e regresionit dhe ekuacioni i regresionit

Sigma e regresionit përdoret për të ndërtuar një shkallë regresioni, e cila pasqyron devijimin e vlerave të karakteristikës që rezulton nga vlera mesatare e saj e paraqitur në vijën e regresionit. 1, x2, x3 dhe vlerat mesatare përkatëse y1, y2 y3, si dhe vlerat më të vogla (y - σrу/х) dhe më të mëdha (y + σrу/х) (y) për të ndërtuar një shkallë regresioni. konkluzioni. Kështu, shkalla e regresionit brenda kufijve të vlerave të llogaritura të peshës trupore bën të mundur përcaktimin e saj në çdo vlerë tjetër të lartësisë ose vlerësimin e zhvillimit individual të fëmijës.

Në formën e matricës, ekuacioni i regresionit (RE) shkruhet si: Y=BX+U(\displaystyle Y=BX+U), ku U(\displaystyle U) është matrica e gabimit. Përdorimi statistikor i fjalës regresion vjen nga fenomeni i njohur si regresion në mesatare, që i atribuohet Sir Francis Galton (1889).

Regresioni linear në çift mund të zgjerohet për të përfshirë më shumë se një ndryshore të pavarur; në këtë rast njihet si regresion i shumëfishtë. Për të dyja, vëzhgimet (pikat) e jashtme dhe "ndikuese" përdoren modele, si me përfshirjen e tyre ashtu edhe pa ato, dhe vëmendje i kushtohet ndryshimeve në vlerësime (koeficientët e regresionit).

Për shkak të marrëdhënies lineare, dhe ne presim se çfarë ndryshon ndërsa ndryshon, dhe ne e quajmë këtë ndryshim që shkaktohet ose shpjegohet me regresion. Nëse kjo është e vërtetë, atëherë shumica e variacionit do të shpjegohet me regresion, dhe pikat do të qëndrojnë afër vijës së regresionit, d.m.th. rreshti i përshtatet mirë të dhënave. Diferenca paraqet përqindjen e variancës që nuk mund të shpjegohet me regresion.

Kjo metodë përdoret për të përshkruar vizualisht formën e lidhjes midis treguesve ekonomikë të studiuar. Bazuar në fushën e korrelacionit, mund të hipotezojmë (për popullatën) se marrëdhënia midis të gjitha vlerave të mundshme të X dhe Y është lineare.

Arsyet për ekzistencën e një gabimi të rastësishëm: 1. Mospërfshirja e variablave të rëndësishëm shpjegues në modelin e regresionit; 2. Grumbullimi i variablave. Sistemi i ekuacioneve normale. Në shembullin tonë, lidhja është e drejtpërdrejtë. Për të parashikuar variablin e varur të atributit rezultant, është e nevojshme të njihen vlerat e parashikuara të të gjithë faktorëve të përfshirë në model.

Krahasimi i koeficientëve të korrelacionit dhe regresionit

Me një probabilitet prej 95% është e mundur të garantohet që vlera Y për një numër të pakufizuar vëzhgimesh nuk do të bjerë jashtë kufijve të intervaleve të gjetura. Nëse vlera e llogaritur me lang=EN-SH>n-m-1) shkallë lirie është më e madhe se vlera e tabelës në një nivel të caktuar rëndësie, atëherë modeli konsiderohet i rëndësishëm. Kjo siguron që të mos ketë korrelacion midis ndonjë devijimi dhe, në veçanti, midis devijimeve ngjitur.

Koeficientët e regresionit dhe interpretimi i tyre

Në shumicën e rasteve, autokorrelacioni pozitiv shkaktohet nga ndikimi konstant i drejtimit të disa faktorëve që nuk merren parasysh në model. Autokorrelacioni negativ në thelb do të thotë që një devijim pozitiv pasohet nga një negativ dhe anasjelltas.

Çfarë është regresioni?

2. Inercia. Shumë tregues ekonomikë (inflacioni, papunësia, GNP, etj.) kanë një natyrë të caktuar ciklike të shoqëruar me valëzimin e aktivitetit të biznesit. Në shumë fusha të prodhimit dhe të tjera, treguesit ekonomikë i përgjigjen ndryshimeve të kushteve ekonomike me vonesë (vonesë kohore).

Nëse kryhet standardizimi paraprak i treguesve të faktorëve, atëherë b0 është e barabartë me vlerën mesatare të treguesit efektiv në agregat. Vlerat specifike të koeficientëve të regresionit përcaktohen nga të dhënat empirike sipas metodës së katrorëve më të vegjël (si rezultat i zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve normale).

Ekuacioni i regresionit linear ka formën y = bx + a + ε Këtu ε është një gabim i rastësishëm (devijim, shqetësim). Meqenëse gabimi është më shumë se 15%, nuk këshillohet përdorimi i këtij ekuacioni si regresion. Duke zëvendësuar vlerat e duhura x në ekuacionin e regresionit, ne mund të përcaktojmë vlerat e rreshtuara (të parashikuara) të treguesit të performancës y(x) për çdo vëzhgim.