Ekuacionet lineare janë një temë mjaft e padëmshme dhe e kuptueshme në matematikën shkollore. Por, çuditërisht, numri i gabimeve të papritura gjatë zgjidhjes së ekuacioneve lineare është vetëm pak më pak se në temat e tjera - ekuacionet kuadratike, logaritmet, trigonometria dhe të tjera. Shkaqet e shumicës së gabimeve janë transformimet identike banale të ekuacioneve. Para së gjithash, ky është konfuzion në shenja gjatë transferimit të termave nga një pjesë e ekuacionit në tjetrin, si dhe gabime kur punoni me fraksione dhe koeficientë thyesorë. Po, po! Thyesat shfaqen edhe në ekuacione lineare! Rreth e rrotull. Më poshtë do të analizojmë patjetër ekuacione të tilla të liga.)
Epo, le të mos e tërheqim macen nga bishti dhe të fillojmë ta kuptojmë, apo jo? Pastaj lexojmë dhe thellojmë në të.)
Çfarë është një ekuacion linear? Shembuj.
Zakonisht ekuacioni linear duket si ky:
sëpatë + b = 0,
Ku a dhe b janë çdo numër. Çdo lloj: numra të plotë, thyesa, negative, irracionale - të gjitha llojet e gjërave mund të ndodhin!
Për shembull:
7x + 1 = 0 (këtu a = 7, b = 1)
x – 3 = 0 (këtu a = 1, b = -3)
x/2 – 1,1 = 0 (këtu a = 1/2, b = -1,1)
Në përgjithësi, ju e kuptoni, shpresoj.) Gjithçka është e thjeshtë, si në një përrallë. Për momentin... Dhe nëse shikoni më nga afër shënimin e përgjithshëm ax+b=0 dhe mendoni pak? Në fund të fundit, a dhe b janë ndonjë numër! Dhe nëse kemi, të themi, a = 0 dhe b = 0 (mund të merret çdo numër!), atëherë çfarë do të marrim?
0 = 0
Por kjo nuk është e gjitha kënaqësia! Po sikur, të themi, a = 0, b = -10? Pastaj rezulton të jetë një lloj marrëzie:
0 = 10.
E cila është shumë, shumë e bezdisshme dhe minon besimin në matematikë që kemi fituar me djersë dhe gjak... Sidomos gjatë testeve dhe provimeve. Por nga këto barazi të pakuptueshme dhe të çuditshme, duhet të gjeni edhe X! E cila nuk ekziston fare! Dhe këtu, edhe nxënësit e përgatitur mirë ndonjëherë mund të bien në atë që quhet marrëzi... Por mos u shqetësoni! Në këtë mësim do të shohim gjithashtu të gjitha surprizat e tilla. Dhe ne gjithashtu do të gjejmë patjetër një X nga barazi të tilla.) Për më tepër, i njëjti X mund të gjendet shumë, shumë thjesht. Po, po! E habitshme por e vërtetë.)
Mirë, kjo është e kuptueshme. Por si mund të dalloni nga pamja e detyrës se ai është një ekuacion linear dhe jo ndonjë ekuacion tjetër? Fatkeqësisht, nuk është gjithmonë e mundur të njihet lloji i ekuacionit vetëm nga pamja. Çështja është se jo vetëm ekuacionet e formës ax+b=0 quhen lineare, por edhe çdo ekuacion tjetër që, me shndërrime identike, në një mënyrë ose në një tjetër reduktohet në këtë formë. Si e dini nëse shtohet apo jo? Derisa nuk mund ta zgjidhni shembullin - pothuajse aspak. Kjo është shqetësuese. Por për disa lloje ekuacionesh, mund të dalloni menjëherë me siguri nëse është lineare apo jo me një shikim të shpejtë.
Për ta bërë këtë, le të shohim edhe një herë strukturën e përgjithshme të çdo ekuacioni linear:
sëpatë + b = 0
Ju lutemi vini re: në ekuacionin linear Gjithmonë vetëm ndryshorja x është e pranishme në shkallën e parë dhe disa numra! Kjo është e gjitha! Asgjë më shumë. Në të njëjtën kohë, nuk ka X në katror, në kub, nën rrënjë, nën logaritëm dhe gjëra të tjera ekzotike. Dhe (më e rëndësishmja!) nuk ka fraksione me X në emërues! Por thyesat me numra në emërues ose pjesëtim për numër- lehtë!
Për shembull:
Ky është një ekuacion linear. Ekuacioni përmban vetëm X për fuqinë e parë dhe numrat. Dhe nuk ka X në fuqitë më të larta - në katror, në kubik, e kështu me radhë. Po, këtu ka thyesa, por në të njëjtën kohë emëruesit e thyesave përmbajnë vetëm numra. Gjegjësisht - dy dhe tre. Me fjalë të tjera, nuk ka pjesëtimi me x.
Dhe këtu është ekuacioni
Nuk mund të quhet më linear, megjithëse edhe këtu ka vetëm numra dhe X në fuqinë e parë. Sepse ndër të tjera ka edhe thyesa me X në emërues. Dhe pas thjeshtimeve dhe transformimeve, një ekuacion i tillë mund të bëhet çdo gjë: linear, kuadratik - çdo gjë.
Si të zgjidhim ekuacionet lineare? Shembuj.
Pra, si i zgjidhni ekuacionet lineare? Lexoni dhe habituni.) E gjithë zgjidhja e ekuacioneve lineare bazohet vetëm në dy gjëra kryesore. Le t'i rendisim ato.
1) Një grup veprimesh dhe rregullash elementare të matematikës.
Këto janë përdorimi i kllapave, hapja e kllapave, puna me thyesa, puna me numra negativë, tabelat e shumëzimit, etj. Këto njohuri dhe aftësi janë të nevojshme jo vetëm për zgjidhjen e ekuacioneve lineare, por për të gjithë matematikën në përgjithësi. Dhe, nëse keni probleme me këtë, mbani mend notat më të ulëta. Përndryshe do ta keni të vështirë...
2)
Janë vetëm dy prej tyre. Po, po! Për më tepër, këto transformime shumë themelore të identitetit qëndrojnë në themel të zgjidhjes jo vetëm të ekuacioneve lineare, por në përgjithësi të çdo ekuacioni matematikor! Me një fjalë, zgjidhja e çdo ekuacioni tjetër - kuadratik, logaritmik, trigonometrik, irracional, etj. – si rregull, ajo fillon me këto transformime shumë themelore. Por zgjidhja e ekuacioneve lineare, në fakt, përfundon me to (transformime). Përgjigje gati.) Pra, mos u bëni dembel dhe hidhini një sy lidhjes.) Për më tepër, ekuacionet lineare gjithashtu analizohen në detaje atje.
Epo, mendoj se është koha për të filluar të shikojmë shembuj.
Për të filluar, si një ngrohje, le të shohim disa gjëra themelore. Pa asnjë fraksion apo zile e bilbil. Për shembull, ky ekuacion:
x – 2 = 4 – 5x
Ky është një ekuacion klasik linear. Të gjitha X-të janë më së shumti në fuqinë e parë dhe nuk ka ndarje me X askund. Skema e zgjidhjes në ekuacione të tilla është gjithmonë e njëjtë dhe tmerrësisht e thjeshtë: të gjithë termat me X duhet të mblidhen në të majtë, dhe të gjithë termat pa X (d.m.th. numrat) duhet të mblidhen në të djathtë. Pra, le të fillojmë të mbledhim.
Për ta bërë këtë, ne nisim transformimin e parë të identitetit. Ne duhet të lëvizim -5x në të majtë dhe të lëvizim -2 në të djathtë. Me një ndryshim të shenjës, natyrisht.) Pra, ne transferojmë:
x + 5x = 4 + 2
Ja ku shkoni. Gjysma e betejës ka përfunduar: X-të janë mbledhur në një grumbull, dhe po ashtu edhe numrat. Tani ne paraqesim të ngjashme në të majtë, dhe i numërojmë ato në të djathtë. Ne marrim:
6x = 6
Çfarë na mungon tani për lumturinë e plotë? Po, në mënyrë që X i pastër të mbetet në të majtë! Dhe të gjashtët pengohen. Si të shpëtojmë prej tij? Tani kryejmë transformimin e dytë identik - ndajmë të dyja anët e ekuacionit me 6. Dhe - voila! Përgjigja është gati.)
x = 1
Sigurisht, shembulli është krejtësisht primitiv. Për të marrë një ide të përgjithshme. Epo, le të vendosim diçka më domethënëse. Për shembull, le të shohim këtë ekuacion:
Le ta shohim në detaje.) Ky është gjithashtu një ekuacion linear, megjithëse duket se këtu ka thyesa. Por në thyesa ka pjesëtim me dy dhe pjesëtim me tre, por nuk ka pjesëtim me një shprehje me një X! Pra, le të vendosim. Duke përdorur të njëjtat transformime identike, po.)
Çfarë duhet të bëjmë fillimisht? Me X - në të majtë, pa X - në të djathtë? Në parim, kjo është e mundur. Fluturoni për në Soçi nëpërmjet Vladivostok.) Ose mund të merrni rrugën më të shkurtër, duke përdorur menjëherë një metodë universale dhe të fuqishme. Nëse i dini transformimet e identitetit, sigurisht.)
Së pari, bëj një pyetje kyçe: çfarë ju bie më shumë në sy dhe çfarë nuk ju pëlqen më shumë në këtë ekuacion? 99 nga 100 njerëz do të thonë: thyesa! Dhe ata do të kenë të drejtë.) Pra, le t'i heqim qafe së pari. I sigurt për vetë ekuacionin.) Prandaj, le të fillojmë menjëherë me transformimi i dytë i identitetit- nga shumëzimi. Me çfarë duhet të shumëzojmë anën e majtë në mënyrë që emëruesi të zvogëlohet me sukses? Është e drejtë, dy. Po në anën e djathtë? Për tre! Por... Matematika është një zonjë kapriçioze. Ajo, e shihni, kërkon shumëfishimin vetëm të të dyja palëve për të njëjtin numër! Shumëzimi i çdo pjese me numrin e vet nuk funksionon... Çfarë do të bëjmë? Diçka... Kërkoni një kompromis. Për të kënaqur dëshirat tona (për të hequr qafe thyesat) dhe për të mos ofenduar matematikën.) Le t'i shumëzojmë të dyja pjesët me gjashtë!) Kjo është, me emëruesin e përbashkët të të gjitha thyesave të përfshira në ekuacion. Pastaj me një goditje do të zvogëlohen edhe dy edhe të tre!)
Pra, le të shumëzohemi. E gjithë ana e majtë dhe e gjithë ana e djathtë! Prandaj, ne përdorim kllapa. Kjo është se si duket vetë procedura:
Tani hapim të njëjtat kllapa:
Tani, duke përfaqësuar 6 si 6/1, le të shumëzojmë gjashtë me secilën nga thyesat majtas dhe djathtas. Ky është shumëzimi i zakonshëm i thyesave, por kështu qoftë, unë do ta përshkruaj atë në detaje:
Dhe këtu - vëmendje! E vendos numëruesin (x-3) në kllapa! E gjitha kjo sepse kur shumëzohen thyesat, numëruesi shumëzohet tërësisht, tërësisht! Dhe shprehja x-3 duhet të punohet si një strukturë integrale. Por nëse e shkruani numëruesin kështu:
6x - 3,
Por ne kemi gjithçka në rregull dhe duhet ta finalizojmë. Çfarë duhet bërë më pas? Të hapen kllapat në numëruesin në të majtë? Në asnjë mënyrë! Unë dhe ti i kemi shumëzuar të dyja anët me 6 për të hequr qafe thyesat dhe për të mos u shqetësuar për hapjen e kllapave. Në këtë fazë ne kemi nevojë zvogëloni thyesat tona. Me një ndjenjë kënaqësie të thellë, ne zvogëlojmë të gjithë emëruesit dhe marrim një ekuacion pa asnjë thyesë, në një rresht:
3 (x-3) + 6x = 30 - 4x
Dhe tani kllapat e mbetura mund të hapen:
3x – 9 + 6x = 30 – 4x
Ekuacioni vazhdon të bëhet gjithnjë e më i mirë! Tani le të kujtojmë përsëri për transformimin e parë identik. Me një fytyrë të drejtë, ne përsërisim magjinë nga klasat e vogla: me X - në të majtë, pa X - në të djathtë. Dhe aplikoni këtë transformim:
3x + 6x + 4x = 30 + 9
Ne paraqesim të ngjashme në të majtë dhe numërojmë në të djathtë:
13x = 39
Mbetet që të dy pjesët të ndahen me 13. Kjo do të thotë, aplikoni përsëri transformimin e dytë. Ne ndajmë dhe marrim përgjigjen:
x = 3
Puna është kryer. Siç mund ta shihni, në këtë ekuacion duhej të zbatonim transformimin e parë (transferimin e termave) një herë dhe të dytin dy herë: në fillim të zgjidhjes përdorëm shumëzimin (me 6) për të hequr qafe thyesat, dhe në fund të zgjidhjes kemi përdorur pjesëtimin (me 13), për të hequr qafe koeficientin përballë X. Dhe zgjidhja për çdo (po, çdo!) ekuacion linear përbëhet nga një kombinim i këtyre transformimeve të njëjta në një sekuencë ose në një tjetër. Ku saktësisht të filloni varet nga ekuacioni specifik. Në disa vende është më fitimprurëse të fillohet me transferim, dhe në të tjera (si në këtë shembull) me shumëzim (ose pjesëtim).
Ne punojmë nga e thjeshtë në komplekse. Le të shqyrtojmë tani mizorinë e plotë. Me një tufë thyesash dhe kllapash. Dhe unë do t'ju them se si të mos e teproni veten.)
Për shembull, këtu është ekuacioni:
Ne e shikojmë ekuacionin për një minutë, jemi të tmerruar, por gjithsesi tërhiqemi! Problemi kryesor është ku të fillohet? Mund të shtoni thyesa në anën e djathtë. Ju mund të zbrisni thyesat në kllapa. Ju mund t'i shumëzoni të dy pjesët me diçka. Ose ndani... Pra, çfarë është ende e mundur? Përgjigje: gjithçka është e mundur! Matematika nuk ndalon asnjë nga veprimet e listuara. Dhe pa marrë parasysh se çfarë sekuence veprimesh dhe transformimesh zgjidhni, përgjigja do të jetë gjithmonë e njëjtë - e sakta. Përveç nëse, sigurisht, në një hap ju shkelni identitetin e transformimeve tuaja dhe, në këtë mënyrë, krijoni gabime ...
Dhe, për të mos bërë gabime, në shembuj të tillë të sofistikuar si ky, është gjithmonë më e dobishme të vlerësoni pamjen e saj dhe të kuptoni në mendjen tuaj: çfarë mund të bëhet në shembull në mënyrë që maksimale thjeshtojeni atë me një hap?
Pra, le ta kuptojmë. Në të majtë janë gjashtë në emërues. Personalisht nuk më pëlqejnë dhe hiqen shumë lehtë. Më lejoni të shumëzoj të dyja anët e ekuacionit me 6! Atëherë gjashtëshes në të majtë do të reduktohen me sukses, fraksionet në kllapa nuk do të shkojnë askund ende. Epo, kjo është në rregull. Do t'i trajtojmë pak më vonë.) Por në të djathtë do t'i anulojmë emëruesit 2 dhe 3 Pikërisht me këtë veprim (duke shumëzuar me 6) arrijmë thjeshtimet maksimale në një hap!
Pas shumëzimit, i gjithë ekuacioni ynë i keq bëhet si ky:
Nëse nuk e kuptoni saktësisht se si erdhi ky ekuacion, atëherë nuk e keni kuptuar mirë analizën e shembullit të mëparshëm. Dhe unë u përpoqa, meqë ra fjala ...
Pra, le të zbulojmë:
Tani hapi më logjik do të ishte izolimi i fraksioneve në të majtë dhe dërgimi i 5x në anën e djathtë. Në të njëjtën kohë, ne do të paraqesim të ngjashme në anën e djathtë. Ne marrim:
Shumë më mirë tashmë. Tani ana e majtë është përgatitur për shumëzim. Me çfarë duhet të shumëzojmë anën e majtë në mënyrë që të dyja pesë dhe katër të zvogëlohen menjëherë? Më 20! Por kemi edhe disavantazhe në të dyja anët e ekuacionit. Prandaj, do të jetë më e përshtatshme të shumëzoni të dy anët e ekuacionit jo me 20, por me -20. Pastaj, me një goditje, të dyja minuset dhe fraksionet do të zhduken.
Pra, ne shumëzojmë:
Kushdo që ende nuk e kupton këtë hap do të thotë se problemi nuk është në ekuacione. Problemet janë në bazë! Le të kujtojmë përsëri rregullin e artë të hapjes së kllapave:
Nëse një numër shumëzohet me ndonjë shprehje në kllapa, atëherë ky numër duhet të shumëzohet në mënyrë sekuenciale me çdo term të kësaj shprehjeje. Për më tepër, nëse numri është pozitiv, atëherë shenjat e shprehjeve ruhen pas zgjerimit. Nëse është negative, ndryshoni në të kundërtën:
a(b+c) = ab+ac
-a(b+c) = -ab-ac
Të këqijat tona u zhdukën pasi shumëzuam të dyja anët me -20. Dhe tani ne i shumëzojmë kllapat me thyesat në të majtë me mjaft numër pozitiv 20. Prandaj, kur hapen këto kllapa, ruhen të gjitha shenjat që ishin brenda tyre. Por nga vijnë kllapat në numëruesit e thyesave, unë tashmë e shpjegova në detaje në shembullin e mëparshëm.
Tani mund të zvogëloni fraksionet:
4(3-5x)-5(3x-2) = 20
Hapni kllapat e mbetura. Përsëri, ne e zbulojmë atë saktë. Kllapat e para shumëzohen me numrin pozitiv 4 dhe, për rrjedhojë, të gjitha shenjat ruhen kur hapen. Por kllapat e dyta shumëzohen me negative numri është -5 dhe, për rrjedhojë, të gjitha shenjat janë të kundërta:
12 - 20x - 15x + 10 = 20
Kanë mbetur thjesht gjëra të vogla. Me X në të majtë, pa X në të djathtë:
-20x – 15x = 20 – 10 – 12
-35x = -2
Kjo është pothuajse e gjitha. Në të majtë keni nevojë për një X të pastër, por numri -35 është në rrugë. Pra i ndajmë të dyja anët me (-35). Më lejoni t'ju kujtoj se transformimi i dytë i identitetit na lejon të shumëzojmë dhe të ndajmë të dy anët me çfarëdo qoftë numri. Duke përfshirë ato negative.) Për sa kohë që nuk është zero! Mos ngurroni të ndani dhe të merrni përgjigjen:
X = 2/35
Këtë herë X doli të ishte i pjesshëm. Është në rregull. Një shembull i tillë.)
Siç mund ta shohim, parimi i zgjidhjes së ekuacioneve lineare (madje edhe atyre më të ndërlikuara) është mjaft i thjeshtë: marrim ekuacionin origjinal dhe, duke përdorur transformime identike, e thjeshtojmë në mënyrë të njëpasnjëshme derisa të marrim përgjigjen. Me bazat, sigurisht! Problemet kryesore këtu janë pikërisht mospërputhja me bazat (për shembull, ka një minus para kllapave, dhe ata harruan të ndryshojnë shenjat kur zgjerohen), si dhe në aritmetikën banale. Pra, mos neglizhoni bazat! Ato janë themeli i të gjitha matematikave të tjera!
Disa gjëra argëtuese për të bërë kur zgjidhni ekuacione lineare. Ose raste të veçanta.
Çdo gjë do të ishte mirë. Megjithatë... Midis ekuacioneve lineare ka edhe xhevahire të tilla qesharake që në procesin e zgjidhjes së tyre mund t'ju çojnë në një hutim të fortë. Edhe një student i shkëlqyer.)
Për shembull, këtu është një ekuacion i padëmshëm:
7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2
Duke gogëllyer gjerësisht dhe pak të mërzitur, mbledhim të gjitha X-të në të majtë dhe të gjithë numrat në të djathtë:
7x-4x-3x = 5-2-3
Ne paraqesim të ngjashme, numëroni dhe merrni:
0 = 0
Kjo është ajo! Unë dhashë një shembull të një mashtrimi! Kjo barazi në vetvete nuk ngre asnjë kundërshtim: zero në të vërtetë është e barabartë me zero. Por X mungon! Pa gjurmë! Dhe ne duhet të shkruajmë në përgjigje, me çfarë është x e barabartë. Përndryshe, vendimi nuk llogaritet, po.) Çfarë duhet bërë?
Mos u trembni! Në raste të tilla jo standarde, konceptet dhe parimet më të përgjithshme të matematikës vijnë në shpëtim. Çfarë është një ekuacion? Si të zgjidhen ekuacionet? Çfarë do të thotë të zgjidhësh një ekuacion?
Të zgjidhësh një ekuacion do të thotë të gjesh Të gjitha vlerat e ndryshores x, e cila, kur zëvendësohet në origjinale ekuacioni do të na japë barazinë (identitetin) e saktë!
Por ne kemi barazi të vërtetë tashmë ka ndodhur! 0=0, ose më mirë, askund!) Ne vetëm mund të hamendësojmë se në cilat X e marrim këtë barazi. Në çfarë lloj X mund të zëvendësohen origjinale ekuacion nëse, pas zëvendësimit, të gjitha a do të reduktohen akoma në zero? Nuk e keni kuptuar akoma?
Epo, sigurisht! X-të mund të zëvendësohen ndonjë!!! Absolutisht çdo. Paraqit çfarë të duash. Të paktën 1, të paktën -23, të paktën 2.7 - çfarëdo! Ato ende do të pakësohen dhe si rezultat, e vërteta e pastër do të mbetet. Provojeni, zëvendësojeni dhe shikoni vetë.)
Këtu është përgjigja juaj:
x – çdo numër.
Në shënimin shkencor kjo barazi shkruhet si më poshtë:
Kjo hyrje lexohet kështu: "X është çdo numër real."
Ose në një formë tjetër, në intervale:
Dizajnoni ashtu siç ju pëlqen më së miri. Kjo është një përgjigje e saktë dhe plotësisht e plotë!
Tani do të ndryshoj vetëm një numër në ekuacionin tonë origjinal. Tani le të zgjidhim këtë ekuacion:
7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2
Përsëri transferojmë kushtet, numërojmë dhe marrim:
7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2
0 = 1
Dhe çfarë mendoni për këtë shaka? Kishte një ekuacion të zakonshëm linear, por u bë një barazi e pakuptueshme
0 = 1…
Nga pikëpamja shkencore, arritëm barazi e rreme. Por në rusisht kjo nuk është e vërtetë. budallallëqe. E pakuptimta.) Sepse zero në asnjë mënyrë nuk është e barabartë me një!
Dhe tani le të kuptojmë përsëri se çfarë lloj X, kur zëvendësohet në ekuacionin origjinal, do të na japë barazi e vërtetë? Cilin? Por asnjë! Pavarësisht se çfarë X do të zëvendësoni, gjithçka do të shkurtohet dhe gjithçka do të mbetet kot.)
Këtu është përgjigja: asnjë zgjidhje.
Në shënimin matematikor, kjo përgjigje shkruhet si kjo:
Ai lexon: "X i përket grupit bosh".
Përgjigje të tilla ndodhin mjaft shpesh edhe në matematikë: jo gjithmonë ndonjë ekuacion ka rrënjë në parim. Disa ekuacione mund të mos kenë rrënjë fare. fare.
Këtu janë dy surpriza. Shpresoj që tani zhdukja e papritur e X-ve nga ekuacioni nuk do t'ju lërë të hutuar përgjithmonë. Kjo është mjaft e njohur.)
Dhe pastaj dëgjoj një pyetje logjike: a do të jenë në OGE apo në Provimin e Unifikuar të Shtetit? Për Provimin e Unifikuar të Shtetit në vetvete si detyrë - nr. Shumë e thjeshtë. Por në OGE ose në problemet e fjalëve - lehtë! Pra, tani le të stërvitemi dhe të vendosim:
Përgjigjet (në rrëmujë): -2; -1; çdo numër; 2; nuk ka zgjidhje; 7/13.
A funksionoi gjithçka? E shkëlqyeshme! Ju keni një shans të mirë në provim.
A nuk shtohet diçka? Hm... Trishtim, sigurisht. Kjo do të thotë se ka ende boshllëqe diku. Ose në bazat ose në transformime identike. Ose është thjesht një çështje e pavëmendjes së thjeshtë. Lexojeni përsëri mësimin. Sepse kjo nuk është një temë që mund të shpërndahet kaq lehtë në matematikë...
fat të mirë! Ajo patjetër do t'ju buzëqeshë, më besoni!)
Një sistem ekuacionesh lineare është një bashkim i n ekuacioneve lineare, secila prej të cilave përmban k variabla. Është shkruar kështu:
Shumë, kur takojnë algjebër më të lartë për herë të parë, gabimisht besojnë se numri i ekuacioneve duhet domosdoshmërisht të përkojë me numrin e ndryshoreve. Në algjebrën e shkollës kjo zakonisht ndodh, por për algjebrën e lartë kjo, në përgjithësi, nuk është e vërtetë.
Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh është një sekuencë numrash (k 1, k 2, ..., k n), që është zgjidhja e secilit ekuacion të sistemit, d.m.th. kur zëvendësohet në këtë ekuacion në vend të ndryshoreve x 1, x 2, ..., x n jep barazinë numerike të saktë.
Prandaj, zgjidhja e një sistemi ekuacionesh do të thotë të gjesh bashkësinë e të gjitha zgjidhjeve të tij ose të provosh se ky grup është bosh. Meqenëse numri i ekuacioneve dhe numri i të panjohurave mund të mos përkojnë, tre raste janë të mundshme:
- Sistemi është i paqëndrueshëm, d.m.th. grupi i të gjitha zgjidhjeve është bosh. Një rast mjaft i rrallë që zbulohet lehtësisht pavarësisht se çfarë metode përdoret për të zgjidhur sistemin.
- Sistemi është konsistent dhe i vendosur, d.m.th. ka saktësisht një zgjidhje. Versioni klasik, i njohur që nga shkolla.
- Sistemi është konsistent dhe i papërcaktuar, d.m.th. ka pafundësisht shumë zgjidhje. Ky është opsioni më i vështirë. Nuk mjafton të tregohet se "sistemi ka një grup të pafund zgjidhjesh" - është e nevojshme të përshkruhet se si është strukturuar ky grup.
Një ndryshore x i quhet e lejuar nëse përfshihet vetëm në një ekuacion të sistemit dhe me koeficient 1. Me fjalë të tjera, në ekuacionet e tjera koeficienti i ndryshores x i duhet të jetë i barabartë me zero.
Nëse zgjedhim një variabël të lejuar në çdo ekuacion, marrim një grup variablash të lejuar për të gjithë sistemin e ekuacioneve. Vetë sistemi, i shkruar në këtë formë, do të quhet gjithashtu i zgjidhur. Në përgjithësi, i njëjti sistem origjinal mund të reduktohet në të ndryshme të lejuara, por tani për tani ne nuk jemi të shqetësuar për këtë. Këtu janë shembuj të sistemeve të lejuara:
Të dy sistemet zgjidhen në lidhje me variablat x 1 , x 3 dhe x 4 . Megjithatë, me të njëjtin sukses mund të argumentohet se sistemi i dytë zgjidhet në lidhje me x 1, x 3 dhe x 5. Mjafton të rishkruhet ekuacioni i fundit në formën x 5 = x 4.
Tani le të shqyrtojmë një rast më të përgjithshëm. Le të kemi k variabla në total, nga të cilat r lejohen. Atëherë janë të mundshme dy raste:
- Numri i variablave të lejuar r është i barabartë me numrin total të variablave k: r = k. Ne marrim një sistem k ekuacionesh në të cilin r = k variabla të lejuara. Një sistem i tillë është i përbashkët dhe i përcaktuar, sepse x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
- Numri i variablave të lejuar r është më i vogël se numri i përgjithshëm i variablave k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.
Pra, në sistemet e mësipërme, variablat x 2, x 5, x 6 (për sistemin e parë) dhe x 2, x 5 (për të dytin) janë të lirë. Rasti kur ka variabla të lirë formulohet më mirë si teoremë:
Ju lutemi vini re: kjo është një pikë shumë e rëndësishme! Në varësi të mënyrës se si e shkruani sistemin që rezulton, e njëjta ndryshore mund të lejohet ose pa pagesë. Shumica e tutorëve më të lartë të matematikës rekomandojnë shkrimin e variablave sipas rendit leksikografik, d.m.th. indeksi në rritje. Megjithatë, ju nuk jeni të detyruar të ndiqni këtë këshillë.
Teorema. Nëse në një sistem prej n ekuacionesh variablat x 1, x 2, ..., x r janë të lejuara dhe x r + 1, x r + 2, ..., x k janë të lira, atëherë:
- Nëse vendosim vlerat e ndryshoreve të lira (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), dhe më pas gjejmë vlerat x 1, x 2, ..., x r, marrim një nga vendimet.
- Nëse në dy zgjidhje vlerat e ndryshoreve të lira përkojnë, atëherë edhe vlerat e variablave të lejuara përkojnë, d.m.th. zgjidhjet janë të barabarta.
Cili është kuptimi i kësaj teoreme? Për të marrë të gjitha zgjidhjet e një sistemi të zgjidhur ekuacionesh, mjafton të izolohen variablat e lirë. Më pas, duke i caktuar vlera të ndryshme variablave të lirë, do të marrim zgjidhje të gatshme. Kjo është e gjitha - në këtë mënyrë ju mund të merrni të gjitha zgjidhjet e sistemit. Nuk ka zgjidhje të tjera.
Përfundim: sistemi i zgjidhur i ekuacioneve është gjithmonë konsistent. Nëse numri i ekuacioneve në një sistem të zgjidhur është i barabartë me numrin e variablave, sistemi do të jetë i përcaktuar nëse është më i vogël, ai do të jetë i pacaktuar.
Dhe gjithçka do të ishte në rregull, por lind pyetja: si të merrni një zgjidhje nga sistemi origjinal i ekuacioneve? Për këtë ka
Një ekuacion linear me të panjohura x 1, x 2, ..., x n është një ekuacion i formës
A 1 x 1 + a 2 x 2 + …+ a n x n = b;
numrat a dhe a 2, a 2, ..., a n quhen koeficientë për të panjohurat, numri b është termi i lirë i ekuacionit.
Ekuacionet lineare me një të panjohur ishin në gjendje të zgjidheshin në Babiloninë e Lashtë dhe në Egjipt më shumë se 4 mijë vjet më parë. Le të citojmë, për shembull, një problem nga papirusi Rhind (i quajtur edhe papirusi Ahmes), i ruajtur në Muzeun Britanik dhe që daton në periudhën 2000–1700. para Krishtit e.: "Gjeni një numër nëse dihet se duke i shtuar 2/3 e tij dhe duke zbritur të tretën nga shuma që rezulton, fitohet numri 10." Zgjidhja e këtij problemi zbret në zgjidhjen e ekuacionit linear
x + (2/3)x − (1/3)(x + (2/3)x) = 10, prej nga x = 9.
Le të paraqesim edhe problemin e Metrodorit, për jetën e të cilit nuk dihet asgjë përveç se ai ishte autor i problemeve interesante të kompozuara në vargje.
Këtu është varrosur Diofanti dhe guri i varrit
Me numërim të shkathët do të na thotë
Sa e gjatë ishte jeta e tij.
Me urdhër të Zotit ai ishte djalë për një të gjashtën e jetës së tij;
Në pjesën e dymbëdhjetë kaloi më pas rinia e tij e ndritur.
Le të shtojmë pjesën e shtatë të jetës - para nesh është vatra e Himenit.
Kanë kaluar pesë vjet; dhe Hymen i dërgoi një djalë.
Por mjerë fëmija! Ai mezi jetoi gjysmën
Ato vite që vdiq babai, fatkeq.
Diofanti vuajti për katër vjet nga humbja e një varri të tillë
Dhe ai vdiq, pasi kishte jetuar për shkencën. me thuaj,
Sa vjeç ishte Diofanti kur vdiq?
Zgjidhja e një ekuacioni linear
(1/6)x + (1/12)x +(1/7)x + 5 + (1/2)x + 4 = x,
ne gjejmë se x = 84 - kjo është sa vjet jetoi Diofanti.
Vetë Diofanti i kushtoi shumë vëmendje ekuacioneve të pacaktuara (ky është emri i ekuacioneve algjebrike ose sistemeve të ekuacioneve të tilla me dy ose më shumë të panjohura me koeficientë të plotë, për të cilat kërkohen zgjidhje të plota ose racionale; numri i të panjohurave duhet të jetë më i madh se numri i ekuacioneve). Këto ekuacione quhen ekuacione diofantine. Vërtetë, Diofanti, i cili jetoi në kapërcyellin e shekujve 2-3, ishte i shqetësuar kryesisht me ekuacione të pacaktuara të shkallëve më të larta.
Sistemi i ekuacioneve algjebrike, secila prej të cilave ka formën (1), quhet sistem linear. Koeficientët e ekuacioneve të përfshira në sistem zakonisht numërohen me dy indekse, i pari prej të cilëve është numri i ekuacionit, dhe i dyti (si në (1)) është numri i të panjohurës. Për shembull, një sistem m ekuacionesh me n të panjohura shkruhet në formë
$\ mbetur. \filloj(rrenjosur) ((a)_(11))((x)_(1))+(a)_(12))(x)_(2))+\ldots+(a)_ (1n))((x)_(n))=((b)_(1)), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+(a)_ (22))((x)_(2))+\ldots+((a)_(2n))((x)_(n))=((b)_(2)), \\ ((a) )_(m1))((x)_(1))+(a)_(m2))(x)_(2))+\ldots+((a)_(mn))(x) _(n))=((b)_(m)). \\ \fund (radhitur) \djathtas\) (2)$
Konsideroni një sistem me dy ekuacione lineare me dy të panjohura:
$\ mbetur. \filloj(lidhur) ((a)_(11))((x)_(1))+(a)_(12))((x)_(2))=((b)_(1 )), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+(a)_(22))((x)_(2))=(b)_(2 )), \\ \fund (lidhur) \djathtas\) (3)$
Le të shumëzojmë ekuacionin e parë të sistemit (3) me një 22 dhe të zbresim nga ekuacioni që rezulton të dytin, shumëzuar me një 12; në mënyrë të ngjashme, ne shumëzojmë ekuacionin e dytë të sistemit (3) me një 11 dhe zbresim të parën, shumëzuar me një 21, nga ekuacioni që rezulton. Pas kësaj marrim sistemin:
$\ mbetur. \filloj(në linjë) (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 2 = a 11 b 2 -b 1 a 21 , (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 1 = b 1 a 22 - a 12 b 2 , \end(lidhur) \djathtas\)(4)$
$\ mbetur. \filloj(rrenjosur) (a_(11)a_(22)−a_(12)a_(21))x_2 = a_(11)b_2−b_1a_(21), \\ (a_(11)a_(22)−a_ (12)a_(21))x_1 = b_1a_(22)−a_(12)b_2, \\ \fund (në linjë) \djathtas\)(4)$
që është pasojë e sistemit (3). Sistemi (4) mund të shkruhet në formën
$\ mbetur. \fillim(i rreshtuar) Δ⋅x_1=Δ_1, \\ Δ⋅x_2=Δ_2, \\ \fund (linjëzuar) \djathtas\)(5)$
ku ∆ është përcaktor i një matrice të përbërë nga koeficientët e sistemit (shih Përcaktuesin), ∆ i janë përcaktuesit e matricave të marra nga zëvendësimi i mëparshëm i kolonës së i-të me një kolonë me terma të lirë, i = 1,2 . Më tej, nëse ∆ ≠ 0, atëherë sistemi (5) ka një zgjidhje unike:
x 1 = ∆ 1 /∆, x 2 = ∆ 2 /∆.
Zëvendësimi i drejtpërdrejtë verifikon që ky çift numrash është gjithashtu një zgjidhje për sistemin (3). Duke përdorur të njëjtin rregull, kërkohet një zgjidhje për një sistem prej n ekuacionesh lineare me n të panjohura: nëse përcaktorja e sistemit ∆ është jozero, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike dhe
x i = ∆ i /∆
ku ∆ i është përcaktor i matricës i përftuar nga një matricë e përbërë nga koeficientët e sistemit duke zëvendësuar kolonën i-të në të me një kolonë me terma të lirë. Rregulli i përshkruar për zgjidhjen e sistemeve lineare quhet rregulla e Cramer-it. (G. Cramer - matematikan zviceran, 1704–1752).
Nëse ∆ = 0, atëherë edhe ∆ 1 edhe ∆ 2 duhet të zhduken (përndryshe (5), dhe veçanërisht (3) nuk kanë zgjidhje). Nëse plotësohet kushti ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = 0, nëse koeficientët përkatës për të panjohurat dhe termat e lira të ekuacionit të sistemit (3) janë proporcionalë, atëherë sistemi do të ketë pafundësisht shumë zgjidhje; nëse të paktën një nga koeficientët për të panjohurat është i ndryshëm nga zero (për shembull, nëse një 12 ≠ 0), atëherë x 1 mund të merret si çdo, atëherë
x 2 = b 1 /a 12 − a 11 x 1 /a 12
Mbetet të analizohet rasti kur sistemi ka formën
$\ mbetur. \fillimi (i linjës) 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ \fund (në linjë) \djathtas\)$
për të cilat përgjigja është e qartë: nëse b 1 = b 2 = 0, atëherë zgjidhja është çdo çift numrash, përndryshe nuk ka zgjidhje.
Në rastin e përgjithshëm, për një sistem prej n ekuacionesh me n të panjohura për ∆ ≠ 0, sistemi ka një zgjidhje unike, e cila, siç u përmend tashmë, mund të gjendet duke përdorur rregullin e Cramer-it. Nëse ∆ = 0 dhe të paktën një nga përcaktorët ∆ i është i ndryshëm nga zero, sistemi është i paqëndrueshëm (d.m.th. nuk ka zgjidhje). Në rastin kur ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = ... = ∆ n = 0, sistemi mund të jetë ose jo konsistent ose të ketë pafundësisht shumë zgjidhje. Është mjaft e vështirë të përcaktohet se cili nga këto dy raste është realizuar duke përdorur përcaktorë dhe ne nuk do të merremi me këtë. Në praktikë, rregulli i Cramer zakonisht nuk përdoret për të zgjidhur sistemet lineare. Më shpesh, metoda Gaussian përdoret për këto qëllime (shiko përjashtim i panjohur).
Siç dihet, ekuacioni linear a 1 x 1 + a 2 x 2 = b përcakton një vijë të drejtë në plan (x 1 ; x 2) në rastin kur të paktën një nga koeficientët a 1 dhe a 2 është i ndryshëm nga zero. Nëse marrim dy drejtëza në një rrafsh, atëherë janë të mundshme rastet e mëposhtme (shih figurën): 1) drejtëzat janë paralele dhe nuk kanë pika të përbashkëta dhe atëherë sistemi nuk ka zgjidhje; 2) linjat kryqëzohen, dhe më pas sistemi ka një zgjidhje; 3) linjat përkojnë, dhe më pas sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje. Por dy linja të marra "rastësisht" do të kryqëzohen "si rregull", d.m.th., si rregull, një sistem prej dy ekuacionesh lineare me dy ndryshore do të ketë një zgjidhje. Çdo pikë në një vijë të caktuar në aeroplan korrespondon me zgjidhjen e një "sistemi" (i përbërë nga një ekuacion), d.m.th., si rregull, ndodh rasti 3 (rasti 2 është i pamundur, dhe rasti 1 realizohet nëse marrim ekuacionin 0 x 1 + 0 x 2 = b, ku b ≠ 0, që nuk përcakton një vijë në rrafsh). Nëse marrim 3 ose më shumë rreshta në një aeroplan, atëherë, në përgjithësi, ato mund të përkojnë ose kalojnë nëpër një pikë, por, si rregull, ndodh rasti i parë - linjat nuk kanë një pikë të përbashkët.
Së pari ju duhet të kuptoni se çfarë është.
Ekziston një përkufizim i thjeshtë ekuacioni linear, e cila jepet në një shkollë të rregullt: "një ekuacion në të cilin ndryshorja shfaqet vetëm në fuqinë e parë." Por nuk është plotësisht e saktë: ekuacioni nuk është linear, as nuk zvogëlohet në atë, ai reduktohet në kuadratik.
Një përkufizim më i saktë është: ekuacioni linearështë një ekuacion që, duke përdorur transformimet ekuivalente mund të reduktohet në formën , ku title="a,b në bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}
Në fakt, për të kuptuar nëse një ekuacion është linear apo jo, ai duhet së pari të thjeshtohet, domethënë të sillet në një formë ku klasifikimi i tij do të jetë i paqartë. Mbani mend, ju mund të bëni çfarë të doni me një ekuacion për sa kohë që ai nuk i ndryshon rrënjët e tij - kjo është ajo që është. konvertim ekuivalent. Transformimet më të thjeshta ekuivalente përfshijnë:
- hapjen e kllapave
- duke sjellë të ngjashme
- duke shumëzuar dhe/ose pjesëtuar të dyja anët e një ekuacioni me një numër jozero
- duke shtuar dhe/ose duke zbritur nga të dyja anët e të njëjtit numër ose shprehje*
*Një interpretim i veçantë i transformimit të fundit është “transferimi” i termave nga një pjesë në tjetrën me një ndryshim të shenjës.
Shembulli 1:
(le të hapim kllapat)
(shto në të dy pjesët dhe zbrit/transfero duke ndryshuar shenjën e numrit majtas dhe variablat në të djathtë)
(le të japim të ngjashme)
(pjestoni të dyja anët e ekuacionit me 3)
Pra, marrim një ekuacion që ka të njëjtat rrënjë me atë origjinal. Le t'i kujtojmë lexuesit se "zgjidh ekuacionin"- do të thotë të gjesh të gjitha rrënjët e saj dhe të provosh se nuk ka të tjerë, dhe "rrënja e ekuacionit"- ky është një numër që, kur zëvendësohet me të panjohurën, do ta kthejë ekuacionin në një barazi të vërtetë. Epo, në ekuacionin e fundit, gjetja e një numri që e kthen ekuacionin në një barazi të vërtetë është shumë e thjeshtë - ky është numri. Asnjë numër tjetër nuk do të bëjë një identitet nga ky ekuacion. Përgjigje:
Shembulli 2:
(shumëzojini të dyja anët e ekuacionit me 
, pasi të sigurohemi që nuk po shumëzojmë me : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(le të hapim kllapat)
(le të lëvizim kushtet)
(le të japim të ngjashme)
(I ndajmë të dyja pjesët me)
Kështu zgjidhen afërsisht të gjitha ekuacionet lineare. Për lexuesit më të rinj, ka shumë të ngjarë, ky shpjegim dukej i ndërlikuar, kështu që ne ofrojmë një version "ekuacionet lineare për klasën 5"
Përmbajtja e mësimitEkuacionet lineare në dy ndryshore
Një nxënës shkolle ka 200 rubla për të ngrënë drekë në shkollë. Një tortë kushton 25 rubla, dhe një filxhan kafe kushton 10 rubla. Sa ëmbëlsira dhe filxhanë kafe mund të blini për 200 rubla?
Le të shënojmë numrin e ëmbëlsirave me x, dhe numri i filxhanëve të kafesë përmes y. Pastaj kostoja e ëmbëlsirave do të shënohet me shprehjen 25 x, dhe kostoja e filxhanëve të kafesë në 10 y .
25x-çmimi xëmbëlsira
10y -çmimi y filxhanë kafeje
Shuma totale duhet të jetë 200 rubla. Pastaj marrim një ekuacion me dy ndryshore x Dhe y
25x+ 10y= 200
Sa rrënjë ka ky ekuacion?
E gjitha varet nga oreksi i studentit. Nëse ai blen 6 ëmbëlsira dhe 5 filxhanë kafe, atëherë rrënjët e ekuacionit do të jenë numrat 6 dhe 5.
Çifti i vlerave 6 dhe 5 thuhet se janë rrënjët e ekuacionit 25 x+ 10y= 200 . Shkruhet si (6; 5), ku numri i parë është vlera e ndryshores x, dhe e dyta - vlera e ndryshores y .
6 dhe 5 nuk janë të vetmet rrënjë që ndryshojnë ekuacionin 25 x+ 10y= 200 për identitetin. Nëse dëshironi, për të njëjtat 200 rubla një student mund të blejë 4 ëmbëlsira dhe 10 filxhanë kafe:
Në këtë rast, rrënjët e ekuacionit 25 x+ 10y= 200 është një palë vlerash (4; 10).
Për më tepër, një nxënës shkolle mund të mos blejë fare kafe, por të blejë ëmbëlsira për të gjitha 200 rubla. Pastaj rrënjët e ekuacionit 25 x+ 10y= 200 do të jenë vlerat 8 dhe 0
Ose anasjelltas, mos blini ëmbëlsira, por blini kafe për të gjitha 200 rubla. Pastaj rrënjët e ekuacionit 25 x+ 10y= 200 vlerat do të jenë 0 dhe 20
Le të përpiqemi të rendisim të gjitha rrënjët e mundshme të ekuacionit 25 x+ 10y= 200 . Le të biem dakord që vlerat x Dhe y i përkasin grupit të numrave të plotë. Dhe le të jenë këto vlera më të mëdha se ose të barabarta me zero:
x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0
Kjo do të jetë e përshtatshme për vetë studentin. Është më i përshtatshëm për të blerë ëmbëlsira të plota sesa, për shembull, disa ëmbëlsira të plota dhe gjysmë tortë. Është gjithashtu më i përshtatshëm për të marrë kafe në filxhanë të plotë sesa, për shembull, disa filxhanë të plotë dhe gjysmë filxhani.
Vini re se për të rastësishme xështë e pamundur të arrihet barazia në asnjë rrethanë y. Pastaj vlerat x numrat e mëposhtëm do të jenë 0, 2, 4, 6, 8. Dhe duke ditur x mund të përcaktohet lehtësisht y
Kështu, morëm çiftet e mëposhtme të vlerave (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Këto çifte janë zgjidhje ose rrënjë të ekuacionit 25 x+ 10y= 200. Ata e kthejnë këtë ekuacion në një identitet.
Ekuacioni i formës sëpatë + nga = c thirrur ekuacion linear me dy ndryshore. Zgjidhja ose rrënjët e këtij ekuacioni janë një palë vlerash ( x; y), që e kthen atë në identitet.
Vini re gjithashtu se nëse një ekuacion linear me dy ndryshore është shkruar në formë sëpatë + b y = c, pastaj thonë se është shkruar në kanonike formë (normale).
Disa ekuacione lineare në dy ndryshore mund të reduktohen në formë kanonike.
Për shembull, ekuacioni 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) mund të sillen në mendje sëpatë + nga = c. Le të hapim kllapat në të dy anët e këtij ekuacioni dhe të marrim 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Ne grupojmë termat që përmbajnë të panjohura në anën e majtë të ekuacionit, dhe termat pa të panjohura - në të djathtë. Pastaj marrim 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Ne paraqesim terma të ngjashëm në të dyja anët, marrim ekuacionin 16 x+ 8y= 32. Ky ekuacion reduktohet në formë sëpatë + nga = c dhe është kanonike.
Ekuacioni 25 i diskutuar më parë x+ 10y= 200 është gjithashtu një ekuacion linear me dy ndryshore në formë kanonike. Në këtë ekuacion parametrat a , b Dhe c janë të barabarta me vlerat përkatësisht 25, 10 dhe 200.
Në fakt ekuacioni sëpatë + nga = c ka zgjidhje të panumërta. Zgjidhja e ekuacionit 25x+ 10y= 200, ne i kërkuam rrënjët e tij vetëm në grupin e numrave të plotë. Si rezultat, ne morëm disa palë vlerash që e kthyen këtë ekuacion në një identitet. Por në grupin e numrave racionalë, ekuacioni 25 x+ 10y= 200 do të ketë pafundësisht shumë zgjidhje.
Për të marrë çifte të reja vlerash, duhet të merrni një vlerë arbitrare për x, pastaj shpreh y. Për shembull, le të marrim për ndryshoren x vlera 7. Pastaj marrim një ekuacion me një ndryshore 25×7 + 10y= 200 në të cilën mund të shprehet y
Le x= 15. Pastaj ekuacioni 25x+ 10y= 200 bëhet 25 × 15 + 10y= 200. Nga këtu e gjejmë atë y = −17,5
Le x= −3. Pastaj ekuacioni 25x+ 10y= 200 bëhet 25 × (−3) + 10y= 200. Nga këtu e gjejmë atë y = −27,5
Sistemi i dy ekuacioneve lineare me dy ndryshore
Për ekuacionin sëpatë + nga = c ju mund të merrni vlera arbitrare për sa herë të doni x dhe gjeni vlera për y. Marrë veçmas, një ekuacion i tillë do të ketë zgjidhje të panumërta.
Por ndodh edhe që variablat x Dhe y i lidhur jo me një, por me dy ekuacione. Në këtë rast ato formojnë të ashtuquajturat sistemi i ekuacioneve lineare në dy ndryshore. Një sistem i tillë ekuacionesh mund të ketë një palë vlerash (ose me fjalë të tjera: "një zgjidhje").
Mund të ndodhë gjithashtu që sistemi të mos ketë fare zgjidhje. Një sistem ekuacionesh lineare mund të ketë zgjidhje të panumërta në raste të rralla dhe të jashtëzakonshme.
Dy ekuacione lineare formojnë një sistem kur vlerat x Dhe y futni në secilin prej këtyre ekuacioneve.
Le të kthehemi te ekuacioni i parë 25 x+ 10y= 200 . Një nga çiftet e vlerave për këtë ekuacion ishte çifti (6; 5). Ky është një rast kur për 200 rubla mund të blini 6 ëmbëlsira dhe 5 filxhanë kafe.
Le ta formulojmë problemin në mënyrë që çifti (6; 5) të bëhet zgjidhja e vetme për ekuacionin 25 x+ 10y= 200 . Për ta bërë këtë, le të krijojmë një ekuacion tjetër që do të lidhte të njëjtën gjë xëmbëlsira dhe y filxhanë kafeje.
Le ta paraqesim tekstin e problemit si më poshtë:
“Studenti bleu disa ëmbëlsira dhe disa filxhanë kafe për 200 rubla. Një tortë kushton 25 rubla, dhe një filxhan kafe kushton 10 rubla. Sa ëmbëlsira dhe filxhanë kafe ka blerë nxënësi nëse dihet se numri i ëmbëlsirave është një njësi më i madh se numri i filxhanëve të kafesë?
Ne tashmë kemi ekuacionin e parë. Ky është ekuacioni 25 x+ 10y= 200 . Tani le të krijojmë një ekuacion për kushtin "Numri i ëmbëlsirave është një njësi më i madh se numri i filxhanëve të kafesë" .
Numri i ëmbëlsirave është x, dhe numri i filxhanëve të kafesë është y. Ju mund ta shkruani këtë frazë duke përdorur ekuacionin x−y= 1. Ky ekuacion do të thotë se ndryshimi midis ëmbëlsirave dhe kafesë është 1.
x = y+ 1 . Ky ekuacion do të thotë që numri i ëmbëlsirave është një më shumë se numri i filxhanëve të kafesë. Prandaj, për të fituar barazi, një i shtohet numrit të filxhanëve të kafesë. Kjo mund të kuptohet lehtësisht nëse përdorim modelin e shkallëve që kemi marrë parasysh kur studiojmë problemet më të thjeshta:
Ne morëm dy ekuacione: 25 x+ 10y= 200 dhe x = y+ 1. Që nga vlerat x Dhe y, përkatësisht 6 dhe 5 përfshihen në secilin prej këtyre ekuacioneve, pastaj së bashku formojnë një sistem. Le ta shkruajmë këtë sistem. Nëse ekuacionet formojnë një sistem, atëherë ato inkuadrohen nga shenja e sistemit. Simboli i sistemit është një mbajtës kaçurrelë:
Le ta zgjidhim këtë sistem. Kjo do të na lejojë të shohim se si arrijmë në vlerat 6 dhe 5. Ka shumë metoda për zgjidhjen e sistemeve të tilla. Le të shohim më të njohurit prej tyre.
Metoda e zëvendësimit
Emri i kësaj metode flet vetë. Thelbi i tij është të zëvendësojë një ekuacion në një tjetër, duke shprehur më parë një nga variablat.
Në sistemin tonë, asgjë nuk duhet të shprehet. Në ekuacionin e dytë x = y+ 1 ndryshore x tashmë të shprehura. Kjo ndryshore është e barabartë me shprehjen y+ 1 . Atëherë mund ta zëvendësoni këtë shprehje në ekuacionin e parë në vend të ndryshores x
Pas zëvendësimit të shprehjes y+ 1 në ekuacionin e parë në vend x, marrim ekuacionin 25(y+ 1) + 10y= 200 . Ky është një ekuacion linear me një ndryshore. Ky ekuacion është mjaft i lehtë për t'u zgjidhur:
Ne gjetëm vlerën e ndryshores y. Tani le ta zëvendësojmë këtë vlerë në një nga ekuacionet dhe të gjejmë vlerën x. Për këtë është e përshtatshme të përdoret ekuacioni i dytë x = y+ 1 . Le të zëvendësojmë vlerën në të y
Kjo do të thotë se çifti (6; 5) është një zgjidhje për sistemin e ekuacioneve, siç synuam. Ne kontrollojmë dhe sigurohemi që çifti (6; 5) plotëson sistemin:
Shembulli 2
Le të zëvendësojmë ekuacionin e parë x= 2 + y në ekuacionin e dytë 3 x− 2y= 9. Në ekuacionin e parë ndryshorja x e barabartë me shprehjen 2 + y. Le ta zëvendësojmë këtë shprehje në ekuacionin e dytë në vend të x
Tani le të gjejmë vlerën x. Për ta bërë këtë, le të zëvendësojmë vlerën y në ekuacionin e parë x= 2 + y
Kjo do të thotë se zgjidhja e sistemit është vlera e çiftit (5; 3)
Shembulli 3. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e zëvendësimit:
Këtu, ndryshe nga shembujt e mëparshëm, një nga variablat nuk shprehet në mënyrë eksplicite.
Për të zëvendësuar një ekuacion në një tjetër, së pari ju duhet .
Këshillohet që të shprehet ndryshorja që ka koeficientin një. Variabla ka një koeficient prej një x, e cila gjendet në ekuacionin e parë x+ 2y= 11. Le ta shprehim këtë variabël.
Pas shprehjes së ndryshueshme x, sistemi ynë do të marrë formën e mëposhtme:
Tani le të zëvendësojmë ekuacionin e parë me të dytin dhe të gjejmë vlerën y
Le të zëvendësojmë y x
Kjo do të thotë që zgjidhja e sistemit është një palë vlerash (3; 4)
Sigurisht, ju gjithashtu mund të shprehni një ndryshore y. Kjo nuk do të ndryshojë rrënjët. Por nëse shpreheni y, Rezultati nuk është një ekuacion shumë i thjeshtë, i cili do të marrë më shumë kohë për t'u zgjidhur. Do të duket kështu:
Shohim që në këtë shembull shprehemi x shumë më i përshtatshëm sesa të shprehesh y .
Shembulli 4. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e zëvendësimit:
Le të shprehemi në ekuacionin e parë x. Atëherë sistemi do të marrë formën:
y
Le të zëvendësojmë y në ekuacionin e parë dhe gjeni x. Ju mund të përdorni ekuacionin origjinal 7 x+ 9y= 8, ose përdorni ekuacionin në të cilin shprehet ndryshorja x. Ne do ta përdorim këtë ekuacion sepse është i përshtatshëm:
Kjo do të thotë që zgjidhja e sistemit është një palë vlerash (5; -3)
Metoda e shtimit
Metoda e mbledhjes konsiston në shtimin e ekuacioneve të përfshira në sistem term pas termi. Kjo shtesë rezulton në një ekuacion të ri me një ndryshore. Dhe zgjidhja e një ekuacioni të tillë është mjaft e thjeshtë.
Le të zgjidhim sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve:
Le të shtojmë anën e majtë të ekuacionit të parë me anën e majtë të ekuacionit të dytë. Dhe ana e djathtë e ekuacionit të parë me anën e djathtë të ekuacionit të dytë. Ne marrim barazinë e mëposhtme:
Le të shohim terma të ngjashëm:
Si rezultat, morëm ekuacionin më të thjeshtë 3 x= 27 rrënja e të cilit është 9. Njohja e vlerës x ju mund të gjeni vlerën y. Le të zëvendësojmë vlerën x në ekuacionin e dytë x−y= 3. Ne marrim 9 − y= 3. Nga këtu y= 6 .
Kjo do të thotë që zgjidhja e sistemit është një palë vlerash (9; 6)
Shembulli 2
Le të shtojmë anën e majtë të ekuacionit të parë me anën e majtë të ekuacionit të dytë. Dhe ana e djathtë e ekuacionit të parë me anën e djathtë të ekuacionit të dytë. Në barazinë që rezulton ne paraqesim terma të ngjashëm:
Si rezultat, morëm ekuacionin më të thjeshtë 5 x= 20, rrënja e së cilës është 4. Njohja e vlerës x ju mund të gjeni vlerën y. Le të zëvendësojmë vlerën x në ekuacionin e parë 2 x+y= 11. Le të marrim 8+ y= 11. Nga këtu y= 3 .
Kjo do të thotë që zgjidhja e sistemit është një palë vlerash (4;3)
Procesi i shtimit nuk përshkruhet në detaje. Duhet të bëhet mendërisht. Kur shtoni, të dy ekuacionet duhet të reduktohen në formën kanonike. Kjo do të thotë ac + nga = c .
Nga shembujt e shqyrtuar, është e qartë se qëllimi kryesor i shtimit të ekuacioneve është të heqësh qafe një nga variablat. Por nuk është gjithmonë e mundur të zgjidhet menjëherë një sistem ekuacionesh duke përdorur metodën e mbledhjes. Më shpesh, sistemi fillimisht sillet në një formë në të cilën mund të shtohen ekuacionet e përfshira në këtë sistem.
Për shembull, sistemi 
mund të zgjidhet menjëherë me shtim. Kur shtoni të dy ekuacionet, termat y Dhe −y do të zhduket sepse shuma e tyre është zero. Si rezultat, formohet ekuacioni më i thjeshtë 11 x= 22, rrënja e së cilës është 2. Më pas do të jetë e mundur të përcaktohet y e barabartë me 5.
Dhe sistemi i ekuacioneve 
Metoda e shtimit nuk mund të zgjidhet menjëherë, pasi kjo nuk do të çojë në zhdukjen e njërës prej variablave. Mbledhja do të rezultojë në ekuacionin 8 x+ y= 28, e cila ka një numër të pafund zgjidhjesh.
Nëse të dyja anët e ekuacionit shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër, jo të barabartë me zero, ju merrni një ekuacion të barabartë me atë të dhënë. Ky rregull është gjithashtu i vërtetë për një sistem ekuacionesh lineare me dy ndryshore. Një nga ekuacionet (ose të dyja ekuacionet) mund të shumëzohet me çdo numër. Rezultati do të jetë një sistem ekuivalent, rrënjët e të cilit do të përkojnë me atë të mëparshëm.
Le të kthehemi te sistemi i parë, i cili përshkruante sa ëmbëlsira dhe filxhanë kafe bleu një nxënës. Zgjidhja për këtë sistem ishte një palë vlerash (6; 5).
Le të shumëzojmë të dy ekuacionet e përfshira në këtë sistem me disa numra. Le të themi se e shumëzojmë ekuacionin e parë me 2 dhe të dytin me 3
Si rezultat, ne kemi një sistem 
Zgjidhja për këtë sistem është ende çifti i vlerave (6; 5)
Kjo do të thotë që ekuacionet e përfshira në sistem mund të reduktohen në një formë të përshtatshme për aplikimin e metodës së mbledhjes.
Le të kthehemi te sistemi , të cilën nuk mund ta zgjidhnim duke përdorur metodën e mbledhjes.
Ekuacioni i parë shumëzohet me 6 dhe i dyti me −2
Pastaj marrim sistemin e mëposhtëm:
Le të mbledhim ekuacionet e përfshira në këtë sistem. Shtimi i komponentëve 12 x dhe -12 x do të rezultojë në 0, shtesa 18 y dhe 4 y do të japë 22 y, dhe duke mbledhur 108 dhe −20 jepet 88. Pastaj marrim ekuacionin 22 y= 88, nga këtu y = 4 .
Nëse në fillim është e vështirë të shtoni ekuacione në kokën tuaj, atëherë mund të shkruani se si ana e majtë e ekuacionit të parë mblidhet me anën e majtë të ekuacionit të dytë dhe ana e djathtë e ekuacionit të parë me anën e djathtë të ekuacioni i dytë:
Duke ditur se vlera e ndryshores yështë e barabartë me 4, ju mund të gjeni vlerën x. Le të zëvendësojmë y në një nga ekuacionet, për shembull në ekuacionin e parë 2 x+ 3y= 18. Pastaj marrim një ekuacion me një ndryshore 2 x+ 12 = 18. Le të lëvizim 12 në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën, marrim 2 x= 6, nga këtu x = 3 .
Shembulli 4. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e mbledhjes:
Le të shumëzojmë ekuacionin e dytë me −1. Pastaj sistemi do të marrë formën e mëposhtme:
Le të shtojmë të dy ekuacionet. Shtimi i komponentëve x Dhe −x do të rezultojë në 0, shtesa 5 y dhe 3 y do të japë 8 y, dhe duke shtuar 7 dhe 1 jepet 8. Rezultati është ekuacioni 8 y= 8 rrënja e të cilit është 1. Duke ditur se vlera yështë e barabartë me 1, ju mund të gjeni vlerën x .
Le të zëvendësojmë y në ekuacionin e parë, marrim x+ 5 = 7, pra x= 2
Shembulli 5. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e mbledhjes:
Është e dëshirueshme që termat që përmbajnë të njëjtat variabla të vendosen njëri poshtë tjetrit. Prandaj, në ekuacionin e dytë termat 5 y dhe −2 x Le të shkëmbejmë vendet. Si rezultat, sistemi do të marrë formën:
Le të shumëzojmë ekuacionin e dytë me 3. Atëherë sistemi do të marrë formën:
Tani le të shtojmë të dy ekuacionet. Si rezultat i mbledhjes marrim ekuacionin 8 y= 16, rrënja e së cilës është 2.
Le të zëvendësojmë y në ekuacionin e parë, marrim 6 x− 14 = 40. Le ta zhvendosim termin −14 në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën dhe të marrim 6 x= 54 . Nga këtu x= 9.
Shembulli 6. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e mbledhjes:
Le të heqim qafe thyesat. Ekuacioni i parë shumëzohet me 36 dhe i dyti me 12
Në sistemin që rezulton 
ekuacioni i parë mund të shumëzohet me -5 dhe i dyti me 8
Le të mbledhim ekuacionet në sistemin që rezulton. Pastaj marrim ekuacionin më të thjeshtë −13 y= −156 . Nga këtu y= 12. Le të zëvendësojmë y në ekuacionin e parë dhe gjeni x
Shembulli 7. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e mbledhjes:
Le t'i sjellim të dy ekuacionet në formën normale. Këtu është e përshtatshme të zbatohet rregulli i proporcionit në të dy ekuacionet. Nëse në ekuacionin e parë ana e djathtë paraqitet si , dhe ana e djathtë e ekuacionit të dytë si , atëherë sistemi do të marrë formën:
Ne kemi një proporcion. Le të shumëzojmë termat e saj ekstremë dhe të mesëm. Atëherë sistemi do të marrë formën:
Le të shumëzojmë ekuacionin e parë me -3 dhe hapim kllapat në të dytin:
Tani le të shtojmë të dy ekuacionet. Si rezultat i shtimit të këtyre ekuacioneve, marrim një barazi me zero në të dyja anët:
Rezulton se sistemi ka zgjidhje të panumërta.
Por ne nuk mund të marrim vetëm vlera arbitrare nga qielli x Dhe y. Ne mund të specifikojmë njërën nga vlerat, dhe tjetra do të përcaktohet në varësi të vlerës që specifikojmë. Për shembull, le x= 2. Le ta zëvendësojmë këtë vlerë në sistem:
Si rezultat i zgjidhjes së njërit prej ekuacioneve, vlera për y, i cili do të plotësojë të dy ekuacionet:
Çifti i vlerave që rezulton (2; −2) do të kënaqë sistemin:
Le të gjejmë një çift tjetër vlerash. Le x= 4. Le ta zëvendësojmë këtë vlerë në sistem:
Ju mund ta dalloni me sy se vlera y barazohet me zero. Pastaj marrim një palë vlerash (4; 0) që kënaqin sistemin tonë:
Shembulli 8. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e mbledhjes:
Shumëzoni ekuacionin e parë me 6 dhe të dytin me 12
Le të rishkruajmë atë që ka mbetur:
Le të shumëzojmë ekuacionin e parë me −1. Atëherë sistemi do të marrë formën:
Tani le të shtojmë të dy ekuacionet. Si rezultat i mbledhjes, formohet ekuacioni 6 b= 48, rrënja e të cilit është 8. Zëvendëso b në ekuacionin e parë dhe gjeni a
Sistemi i ekuacioneve lineare me tre ndryshore
Një ekuacion linear me tre ndryshore përfshin tre variabla me koeficientë, si dhe një term ndërprerës. Në formë kanonike mund të shkruhet si më poshtë:
sëpatë + nga + cz = d
Ky ekuacion ka zgjidhje të panumërta. Duke u dhënë dy variablave vlera të ndryshme, mund të gjendet një vlerë e tretë. Zgjidhja në këtë rast është një trefish i vlerave ( x; y; z) që e kthen ekuacionin në një identitet.
Nëse variablat x, y, z janë të ndërlidhura nga tre ekuacione, atëherë formohet një sistem prej tre ekuacionesh lineare me tre ndryshore. Për të zgjidhur një sistem të tillë, mund të përdorni të njëjtat metoda që zbatohen për ekuacionet lineare me dy ndryshore: metodën e zëvendësimit dhe metodën e mbledhjes.
Shembulli 1. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e zëvendësimit:
Le të shprehemi në ekuacionin e tretë x. Atëherë sistemi do të marrë formën:
Tani le të bëjmë zëvendësimin. E ndryshueshme xështë e barabartë me shprehjen 3 − 2y − 2z . Le ta zëvendësojmë këtë shprehje në ekuacionin e parë dhe të dytë:
Le të hapim kllapat në të dy ekuacionet dhe të paraqesim terma të ngjashëm:
Kemi arritur në një sistem ekuacionesh lineare me dy ndryshore. Në këtë rast, është e përshtatshme të përdoret metoda e shtimit. Si rezultat, ndryshorja y do të zhduket dhe ne mund të gjejmë vlerën e ndryshores z
Tani le të gjejmë vlerën y. Për ta bërë këtë, është e përshtatshme të përdoret ekuacioni − y+ z= 4. Zëvendësoni vlerën në të z
Tani le të gjejmë vlerën x. Për ta bërë këtë, është e përshtatshme të përdorni ekuacionin x= 3 − 2y − 2z . Le të zëvendësojmë vlerat në të y Dhe z
Kështu, trefishi i vlerave (3; −2; 2) është një zgjidhje për sistemin tonë. Duke kontrolluar, sigurohemi që këto vlera të kënaqin sistemin:
Shembulli 2. Zgjidheni sistemin duke përdorur metodën e mbledhjes
Le të shtojmë ekuacionin e parë me të dytin, shumëzuar me −2.
Nëse ekuacioni i dytë shumëzohet me -2, ai merr formën −6x+ 6y − 4z = −4 . Tani le ta shtojmë atë në ekuacionin e parë:
Shohim se si rezultat i transformimeve elementare u përcaktua vlera e ndryshores x. Është e barabartë me një.
Le të kthehemi te sistemi kryesor. Le të shtojmë ekuacionin e dytë me të tretën, shumëzuar me −1. Nëse ekuacioni i tretë shumëzohet me -1, ai merr formën −4x + 5y − 2z = −1 . Tani le ta shtojmë atë në ekuacionin e dytë:
Ne morëm ekuacionin x− 2y= −1. Le të zëvendësojmë vlerën në të x të cilën e gjetëm më herët. Atëherë mund të përcaktojmë vlerën y
Tani ne i dimë kuptimet x Dhe y. Kjo ju lejon të përcaktoni vlerën z. Le të përdorim një nga ekuacionet e përfshira në sistem:
Kështu, trefishi i vlerave (1; 1; 1) është zgjidhja për sistemin tonë. Duke kontrolluar, sigurohemi që këto vlera të kënaqin sistemin:
Probleme mbi kompozimin e sistemeve të ekuacioneve lineare
Detyra e kompozimit të sistemeve të ekuacioneve zgjidhet duke futur disa variabla. Më pas, ekuacionet përpilohen bazuar në kushtet e problemit. Nga ekuacionet e përpiluara ata formojnë një sistem dhe e zgjidhin atë. Pasi të keni zgjidhur sistemin, është e nevojshme të kontrolloni nëse zgjidhja e tij i plotëson kushtet e problemit.
Problemi 1. Një makinë Volga u largua nga qyteti për në fermën kolektive. Ajo u kthye në një rrugë tjetër, e cila ishte 5 km më e shkurtër se e para. Në total, makina përshkoi 35 km vajtje-ardhje. Sa kilometra është gjatësia e secilës rrugë?
Zgjidhje
Le x- gjatësia e rrugës së parë, y- gjatësia e sekondës. Nëse makina ka udhëtuar 35 km vajtje-ardhje, atëherë ekuacioni i parë mund të shkruhet si x+ y= 35. Ky ekuacion përshkruan shumën e gjatësive të të dy rrugëve.
Thuhet se makina u kthye në një rrugë që ishte 5 km më e shkurtër se e para. Atëherë ekuacioni i dytë mund të shkruhet si x− y= 5. Ky ekuacion tregon se diferenca ndërmjet gjatësive të rrugës është 5 km.
Ose ekuacioni i dytë mund të shkruhet si x= y+ 5. Ne do të përdorim këtë ekuacion.
Sepse variablat x Dhe y në të dy ekuacionet shënojmë të njëjtin numër, atëherë mund të formojmë një sistem prej tyre:
Le ta zgjidhim këtë sistem duke përdorur disa nga metodat e studiuara më parë. Në këtë rast, është e përshtatshme të përdoret metoda e zëvendësimit, pasi në ekuacionin e dytë ndryshorja x tashmë të shprehura.
Zëvendësoni ekuacionin e dytë me të parën dhe gjeni y
Le të zëvendësojmë vlerën e gjetur y në ekuacionin e dytë x= y+ 5 dhe ne do të gjejmë x
Gjatësia e rrugës së parë u tregua përmes variablit x. Tani kemi gjetur kuptimin e saj. E ndryshueshme xështë e barabartë me 20. Kjo do të thotë se gjatësia e rrugës së parë është 20 km.
Dhe gjatësia e rrugës së dytë tregohej nga y. Vlera e kësaj variabël është 15. Kjo do të thotë se gjatësia e rrugës së dytë është 15 km.
Le të kontrollojmë. Së pari, le të sigurohemi që sistemi është zgjidhur saktë:
Tani le të kontrollojmë nëse zgjidhja (20; 15) i plotëson kushtet e problemit.
Thuhej se makina ka bërë gjithsej 35 km vajtje-ardhje. Shtojmë gjatësitë e të dy rrugëve dhe sigurohemi që zgjidhja (20; 15) të plotësojë këtë kusht: 20 km + 15 km = 35 km
Kushti i mëposhtëm: makina u kthye në një rrugë tjetër, e cila ishte 5 km më e shkurtër se e para . Ne shohim se zgjidhja (20; 15) gjithashtu e plotëson këtë kusht, pasi 15 km është më e shkurtër se 20 km me 5 km: 20 km − 15 km = 5 km
Kur hartoni një sistem, është e rëndësishme që variablat të përfaqësojnë të njëjtët numra në të gjitha ekuacionet e përfshira në këtë sistem.
Pra, sistemi ynë përmban dy ekuacione. Këto ekuacione nga ana e tyre përmbajnë variabla x Dhe y, të cilat përfaqësojnë të njëjtat numra në të dy ekuacionet, përkatësisht gjatësinë e rrugës prej 20 km dhe 15 km.
Problemi 2. Në platformë u ngarkuan traversa dushku dhe pishe, gjithsej 300 traversa. Dihet se të gjithë shtretërit e dushkut peshonin 1 ton më pak se të gjithë gjuajtësit e pishës. Përcaktoni se sa traversa dushku dhe pishe kishte veçmas, nëse secila shtrojë lisi peshonte 46 kg dhe secila shtrojë pishe 28 kg.
Zgjidhje
Le x lisi dhe y trarët e pishave u ngarkuan në platformë. Nëse gjithsej kishte 300 gjumë, atëherë ekuacioni i parë mund të shkruhet si x+y = 300 .
Të gjithë ata që flenë lisi peshonin 46 x kg, dhe ato me pisha peshonin 28 y kg. Meqenëse traversat e dushkut peshonin 1 ton më pak se trarët e pishës, ekuacioni i dytë mund të shkruhet si 28y − 46x= 1000 . Ky ekuacion tregon se diferenca në masë midis traversave të lisit dhe pishës është 1000 kg.
Tonelatat u shndërruan në kilogramë, pasi masa e trarëve të dushkut dhe pishës matej në kilogramë.
Si rezultat, marrim dy ekuacione që formojnë sistemin
Le ta zgjidhim këtë sistem. Le të shprehemi në ekuacionin e parë x. Atëherë sistemi do të marrë formën:
Zëvendësoni ekuacionin e parë me të dytin dhe gjeni y
Le të zëvendësojmë y në ekuacion x= 300 − y dhe zbuloni se çfarë është x
Kjo do të thotë se 100 traversa dushku dhe 200 pishe u ngarkuan në platformë.
Le të kontrollojmë nëse zgjidhja (100; 200) i plotëson kushtet e problemit. Së pari, le të sigurohemi që sistemi është zgjidhur saktë:
Thuhej se kishte gjithsej 300 fjetje. Ne mbledhim numrin e shtruesve të lisit dhe pishës dhe sigurohemi që zgjidhja (100; 200) të plotësojë këtë kusht: 100 + 200 = 300.
Kushti i mëposhtëm: të gjithë shtretërit e dushkut peshonin 1 ton më pak se të gjithë shtretërit e pishave . Ne shohim se zgjidhja (100; 200) gjithashtu e plotëson këtë kusht, pasi 46 × 100 kg traversa dushku është më e lehtë se 28 × 200 kg traversa pishe: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.
Problemi 3. Ne morëm tre pjesë aliazh bakri-nikel në raportet 2: 1, 3: 1 dhe 5: 1 sipas peshës. Një copë me peshë 12 kg u shkri prej tyre me një raport të përmbajtjes së bakrit dhe nikelit 4: 1. Gjeni masën e secilës pjesë origjinale nëse masa e së parës është dyfishi i masës së së dytës.
