• 29.05.2016

  Një qark oscilues është një qark elektrik që përmban një induktor, një kondensator dhe një burim të energjisë elektrike. Kur elementët e qarkut lidhen në seri, qarku oscilues quhet serial, dhe kur lidhet paralelisht quhet paralel. Një qark oscilues është sistemi më i thjeshtë në të cilin mund të ndodhin lëkundje elektromagnetike të lira. Frekuenca rezonante e qarkut përcaktohet nga e ashtuquajtura formulë Thomson: ƒ = 1/(2π√(LC)) Për ...

• 20.09.2014

  Marrësi është projektuar për të marrë sinjale në intervalin DV (150 kHz…300 kHz). Karakteristika kryesore e marrësit është antena, e cila ka një induktivitet më të lartë se një antenë magnetike konvencionale. Kjo bën të mundur përdorimin e kapacitetit të kondensatorit akordues në rangun prej 4...20 pF, dhe gjithashtu një marrës i tillë ka ndjeshmëri të pranueshme dhe një fitim të lehtë në rrugën RF. Marrësi punon për kufje (kufje), ka energji elektrike...

• 24.09.2014

  Kjo pajisje është projektuar për të monitoruar nivelin e lëngut në rezervuarë, sapo lëngu të rritet në një nivel të caktuar, pajisja do të fillojë të lëshojë një sinjal të vazhdueshëm zanor kur niveli i lëngut të arrijë një nivel kritik; sinjal i ndërprerë. Treguesi përbëhet nga 2 gjeneratorë, ata kontrollohen nga elementi sensor E. Vendoset në rezervuar në një nivel deri në ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 është një kohëmatës dixhital me shumë programe i krijuar për të punuar me treguesin ILC3-5\7. Ai siguron numërimin dhe shfaqjen e kohës aktuale në orë dhe minuta, ditën e javës dhe numrin e kanalit të kontrollit (9 alarme). Qarku i orës së alarmit është paraqitur në figurë. Mikroqarku është i akorduar. rezonatori Q1 në 32768Hz. ushqimi është negativ, plusi total shkon në...

Piramida. Piramida e cunguar

Piramidaështë një poliedron, njëra nga fytyrat e të cilit është një shumëkëndësh ( bazë ), dhe të gjitha fytyrat e tjera janë trekëndësha me një kulm të përbashkët ( fytyrat anësore ) (Fig. 15). Piramida quhet korrekte , nëse baza e saj është një shumëkëndësh i rregullt dhe maja e piramidës është projektuar në qendër të bazës (Fig. 16). Quhet një piramidë trekëndore me të gjitha skajet e barabarta katërkëndësh .

Brinjë anësore e një piramide është ana e faqes anësore që nuk i përket bazës Lartësia piramida është distanca nga maja e saj në rrafshin e bazës. Të gjitha skajet anësore të një piramide të rregullt janë të barabarta me njëra-tjetrën, të gjitha faqet anësore janë trekëndësha të barabartë izoscelorë. Lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt të nxjerrë nga kulmi quhet apotemë . Seksion diagonal quhet një seksion i një piramide nga një rrafsh që kalon nëpër dy skaje anësore që nuk i përkasin të njëjtës faqe.

Sipërfaqja anësore piramida është shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore. Sipërfaqja totale quhet shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore dhe bazës.

Teorema

1. Nëse në një piramidë të gjitha skajet anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të rrethit të rrethuar pranë bazës.

2. Nëse të gjitha skajet anësore të një piramide kanë gjatësi të barabarta, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të një rrethi të rrethuar pranë bazës.

3. Nëse të gjitha faqet e një piramide janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të një rrethi të gdhendur në bazë.

Për të llogaritur vëllimin e një piramide arbitrare, formula e saktë është:

Ku V- vëllimi;

Baza S- zona e bazës;

H- lartësia e piramidës.

Për një piramidë të rregullt, formulat e mëposhtme janë të sakta:

Ku fq– perimetri i bazës;

h a– apotemë;

H- lartësia;

S plot

Ana S

Baza S- zona e bazës;

V– vëllimi i një piramide të rregullt.

Piramida e cunguar quhet pjesa e piramidës e mbyllur midis bazës dhe një rrafshi prerës paralel me bazën e piramidës (Fig. 17). Piramida e rregullt e cunguar quhet pjesa e një piramide të rregullt e mbyllur midis bazës dhe një rrafshi prerës paralel me bazën e piramidës.

Arsyet piramida e cunguar - shumëkëndësha të ngjashëm. Fytyrat anësore – trapezoide. Lartësia e një piramide të cunguar është distanca midis bazave të saj. Diagonale një piramidë e cunguar është një segment që lidh kulmet e saj që nuk shtrihen në të njëjtën faqe. Seksion diagonal është një seksion i një piramide të cunguar nga një rrafsh që kalon nëpër dy skaje anësore që nuk i përkasin të njëjtës faqe.

Për një piramidë të cunguar janë të vlefshme formulat e mëposhtme:

(4)

Ku S 1 , S 2 – zonat e bazave të sipërme dhe të poshtme;

S plot- sipërfaqja totale;

Ana S- sipërfaqja anësore;

H- lartësia;

V– vëllimi i një piramide të cunguar.

Për një piramidë të rregullt të cunguar, formula është e saktë:

Ku fq 1 , fq 2 – perimetrat e bazave;

h a– apotema e një piramide të rregullt të cunguar.

Shembulli 1. Në një piramidë të rregullt trekëndore, këndi dihedral në bazë është 60º. Gjeni tangjenten e këndit të prirjes së buzës anësore me rrafshin e bazës.

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 18).

Piramida është e rregullt, që do të thotë se në bazë ka një trekëndësh barabrinjës dhe të gjitha faqet anësore janë trekëndësha të barabartë dykëndësh. Këndi dihedral në bazë është këndi i prirjes së faqes anësore të piramidës në rrafshin e bazës. Këndi linear është këndi a ndërmjet dy pingulave: etj. Maja e piramidës është projektuar në qendër të trekëndëshit (qendra e rrethit dhe rrethi i brendashkruar i trekëndëshit ABC). Këndi i prirjes së skajit anësor (për shembull S.B.) është këndi midis vetë skajit dhe projeksionit të tij në rrafshin e bazës. Për brinjën S.B. ky kënd do të jetë këndi SBD. Për të gjetur tangjentën duhet të njihni këmbët SO Dhe O.B.. Lëreni gjatësinë e segmentit BDështë e barabartë me 3 A. Pika RRETH segment BD ndahet në pjesë: dhe Nga gjejmë SO: Nga gjejmë:

Përgjigje:

Shembulli 2. Gjeni vëllimin e një piramide të rregullt katërkëndëshe të cunguar nëse diagonalet e bazave të saj janë të barabarta me cm dhe cm, dhe lartësia e saj është 4 cm.

Zgjidhje. Për të gjetur vëllimin e një piramide të cunguar, ne përdorim formulën (4). Për të gjetur sipërfaqen e bazave, duhet të gjeni anët e shesheve bazë, duke ditur diagonalet e tyre. Anët e bazave janë përkatësisht të barabarta me 2 cm dhe 8 cm, kjo do të thotë se zonat e bazave dhe duke zëvendësuar të gjitha të dhënat në formulë, ne llogarisim vëllimin e piramidës së cunguar.

Përgjigje: 112 cm 3.

Shembulli 3. Gjeni sipërfaqen e faqes anësore të një piramide të rregullt trekëndore të cunguar, anët e bazave të së cilës janë 10 cm dhe 4 cm, dhe lartësia e piramidës është 2 cm.

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 19).

Faqja anësore e kësaj piramide është një trapezoid izoscelular. Për të llogaritur sipërfaqen e një trapezi, duhet të dini bazën dhe lartësinë. Bazat jepen sipas kushtit, nuk dihet vetem lartesia. Ne do ta gjejmë atë nga A 1 E pingul nga një pikë A 1 në rrafshin e bazës së poshtme, A 1 D– pingul nga A 1 për AC. A 1 E= 2 cm, pasi kjo është lartësia e piramidës. Për të gjetur DE Le të bëjmë një vizatim shtesë që tregon pamjen e sipërme (Fig. 20). Pika RRETH– projeksioni i qendrave të bazave të sipërme dhe të poshtme. pasi (shih Fig. 20) dhe Nga ana tjetër OK– rrezja e gdhendur në rreth dhe OM- rrezja e gdhendur në një rreth:

MK = DE.

Sipas teoremës së Pitagorës nga

Zona anësore e fytyrës:

Përgjigje:

Shembulli 4. Në bazën e piramidës shtrihet një trapezoid izoscelular, bazat e të cilit A Dhe b (a> b). Çdo faqe anësore formon një kënd të barabartë me rrafshin e bazës së piramidës j. Gjeni sipërfaqen totale të piramidës.

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 21). Sipërfaqja totale e piramidës SABCD e barabartë me shumën e sipërfaqeve dhe sipërfaqes së trapezit ABCD.

Le të përdorim pohimin se nëse të gjitha faqet e piramidës janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë kulmi projektohet në qendër të rrethit të gdhendur në bazë. Pika RRETH– projeksioni i kulmit S në bazën e piramidës. Trekëndëshi SODështë projeksioni ortogonal i trekëndëshit CSD në rrafshin e bazës. Duke përdorur teoremën mbi sipërfaqen e projeksionit ortogonal të një figure të rrafshët, marrim:

Po kështu do të thotë Kështu, problemi u reduktua në gjetjen e zonës së trapezit ABCD. Le të vizatojmë një trapezoid ABCD veçmas (Fig. 22). Pika RRETH– qendra e një rrethi të gdhendur në një trapez.

Meqenëse një rreth mund të futet në një trapez, atëherë ose nga teorema e Pitagorës kemi

është një poliedron që formohet nga baza e piramidës dhe një seksion paralel me të. Mund të themi se një piramidë e cunguar është një piramidë me pjesën e sipërme të prerë. Kjo shifër ka shumë veti unike:

• Faqet anësore të piramidës janë trapezoide;
• Skajet anësore të një piramide të rregullt të cunguar janë me të njëjtën gjatësi dhe të prirur nga baza në të njëjtin kënd;
• Bazat janë shumëkëndësha të ngjashëm;
• Në një piramidë të rregullt të cunguar, fytyrat janë trapezoide identike izoscele, sipërfaqja e së cilës është e barabartë. Ata janë gjithashtu të prirur drejt bazës në një kënd.

Formula për sipërfaqen anësore të një piramide të cunguar është shuma e sipërfaqeve të anëve të saj:

Meqenëse anët e një piramide të cunguar janë trapezoide, për të llogaritur parametrat do të duhet të përdorni formulën zona trapezoide. Për një piramidë të rregullt të cunguar, mund të aplikoni një formulë të ndryshme për llogaritjen e zonës. Meqenëse të gjitha anët, faqet dhe këndet e saj në bazë janë të barabarta, është e mundur të zbatohen perimetrat e bazës dhe të apotemës, si dhe të nxirret zona përmes këndit në bazë.

Nëse, sipas kushteve në një piramidë të prerë të rregullt, jepet apotema (lartësia e anës) dhe gjatësitë e brinjëve të bazës, atëherë sipërfaqja mund të llogaritet përmes gjysmëproduktit të shumës së perimetrave të bazat dhe apotema:

Le të shohim një shembull të llogaritjes së sipërfaqes anësore të një piramide të cunguar.
Jepet një piramidë e rregullt pesëkëndore. Apotemë l= 5 cm, gjatësia e skajit në bazën e madhe është a= 6 cm, dhe buza është në bazën më të vogël b= 4 cm Llogaritni sipërfaqen e piramidës së cunguar.

Së pari, le të gjejmë perimetrat e bazave. Meqenëse na është dhënë një piramidë pesëkëndëshe, kuptojmë se bazat janë pesëkëndëshe. Kjo do të thotë se bazat përmbajnë një figurë me pesë anët identike. Le të gjejmë perimetrin e bazës më të madhe:

Në të njëjtën mënyrë gjejmë perimetrin e bazës më të vogël:

Tani mund të llogarisim sipërfaqen e një piramide të rregullt të cunguar. Zëvendësoni të dhënat në formulën:

Kështu, ne llogaritëm sipërfaqen e një piramide të rregullt të cunguar përmes perimetrit dhe apotemës.

Një mënyrë tjetër për të llogaritur sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt është formula përmes këndeve në bazë dhe zonës së këtyre bazave.

Le të shohim një shembull të llogaritjes. Kujtojmë se kjo formulë vlen vetëm për një piramidë të rregullt të cunguar.

Le të jepet një piramidë e rregullt katërkëndore. Buza e bazës së poshtme është a = 6 cm, dhe buza e bazës së sipërme është b = 4 cm. Këndi dihedral në bazë është β = 60°. Gjeni sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt të cunguar.

Së pari, le të llogarisim sipërfaqen e bazave. Meqenëse piramida është e rregullt, të gjitha skajet e bazave janë të barabarta me njëra-tjetrën. Duke marrë parasysh që baza është një katërkëndësh, kuptojmë se do të jetë e nevojshme të llogaritet zona e sheshit. Është prodhimi i gjerësisë dhe gjatësisë, por në katror këto vlera janë të njëjta. Le të gjejmë sipërfaqen e bazës më të madhe:


Tani ne përdorim vlerat e gjetura për të llogaritur sipërfaqen anësore.

Duke ditur disa formula të thjeshta, ne llogaritëm lehtësisht sipërfaqen e trapezoidit anësor të një piramide të cunguar duke përdorur vlera të ndryshme.

Një shumëfaqësh në të cilin njëra nga faqet e tij është një shumëkëndësh dhe të gjitha faqet e tjera janë trekëndësha me një kulm të përbashkët, quhet piramidë.

Këta trekëndësha që përbëjnë piramidën quhen fytyrat anësore, dhe shumëkëndëshi i mbetur është bazë piramidat.

Në bazën e piramidës shtrihet një figurë gjeometrike - një n-gon. Në këtë rast quhet edhe piramida n-karbon.

Quhet një piramidë trekëndore, skajet e së cilës janë të gjitha të barabarta katërkëndësh.

Skajet e piramidës që nuk i përkasin bazës quhen anësore, dhe pika e përbashkët e tyre është kulm piramidat. Skajet e tjera të piramidës zakonisht quhen palët në bazë.

Piramida quhet korrekte, nëse ka një shumëkëndësh të rregullt në bazën e tij dhe të gjitha skajet anësore janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Distanca nga maja e piramidës deri në rrafshin e bazës quhet lartësia piramidat. Mund të themi se lartësia e piramidës është një segment pingul me bazën, skajet e të cilit janë në majë të piramidës dhe në rrafshin e bazës.

Për çdo piramidë zbatohen formulat e mëposhtme:

1) S e plotë = ana S + S kryesore, Ku

S total - sipërfaqja e sipërfaqes totale të piramidës;

Ana S - zona e sipërfaqes anësore, d.m.th. shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore të piramidës;

S kryesore - zona e bazës së piramidës.

2) V = 1/3 S baza N, Ku

V është vëllimi i piramidës;

H - lartësia e piramidës.

Për piramida e rregullt zhvillohet:

Ana S = 1/2 P h kryesore, Ku

P kryesore – perimetri i bazës së piramidës;

h është gjatësia e apotemës, domethënë gjatësia e lartësisë së faqes anësore të ulur nga maja e piramidës.

Pjesa e piramidës e mbyllur midis dy rrafsheve - rrafshi i bazës dhe rrafshi i prerjes paralel me bazën quhet piramidë e cunguar.

Baza e piramidës dhe seksioni i piramidës me një rrafsh paralel quhen arsyet piramidë e cunguar. Fytyrat e mbetura quhen anësore. Distanca ndërmjet rrafsheve të bazave quhet lartësia piramidë e cunguar. Skajet që nuk i përkasin bazave quhen anësore.

Përveç kësaj, baza e piramidës së cunguar n-gone të ngjashme. Nëse bazat e një piramide të cunguar janë shumëkëndësha të rregullt dhe të gjitha skajet anësore janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë një piramidë e tillë e cunguar quhet korrekte.

Për piramidë e cunguar arbitrare zbatohen formulat e mëposhtme:

1) S e plotë = ana S + S 1 + S 2, Ku

S total – sipërfaqja totale;

Ana S - zona e sipërfaqes anësore, d.m.th. shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore të një piramide të cunguar, të cilat janë trapezoide;

S 1, S 2 - zonat bazë;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H, Ku

V është vëllimi i piramidës së cunguar;

H – lartësia e piramidës së cunguar.

Për piramida e rregullt e cunguar kemi gjithashtu:

Ana S = 1/2 (P 1 + P 2) h, Ku

P 1, P 2 – perimetrat e bazave;

h – apotemë (lartësia e faqes anësore, që është trapez).

Le të shqyrtojmë disa probleme që përfshijnë një piramidë të cunguar.

Detyra 1.

Në një piramidë të cunguar trekëndore me lartësi të barabartë me 10, anët e njërës prej bazave janë 27, 29 dhe 52. Përcaktoni vëllimin e piramidës së cunguar nëse perimetri i bazës tjetër është 72.

Zgjidhje.

Konsideroni piramidën e cunguar ABCA 1 B 1 C 1 të paraqitur në Figura 1.

1. Vëllimi i një piramide të cunguar mund të gjendet duke përdorur formulën

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), ku S 1 është sipërfaqja e njërës prej bazave, mund të gjendet duke përdorur formulën e Heronit

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

sepse Problemi jep gjatësitë e tre brinjëve të një trekëndëshi.

Kemi: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.

2. Piramida është e cunguar, që do të thotë se poligone të ngjashëm shtrihen në baza. Në rastin tonë, trekëndëshi ABC është i ngjashëm me trekëndëshin A 1 B 1 C 1. Përveç kësaj, koeficienti i ngjashmërisë mund të gjendet si raport i perimetrave të trekëndëshave në shqyrtim, dhe raporti i sipërfaqeve të tyre do të jetë i barabartë me katrorin e koeficientit të ngjashmërisë. Kështu kemi:

S 1 /S 2 = (P 1) 2 /(P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Prandaj S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.

Pra, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Përgjigje: 1900.

Detyra 2.

Në një piramidë të cunguar trekëndore, një rrafsh tërhiqet përmes anës së bazës së sipërme paralele me skajin e kundërt. Në çfarë raporti ndahet vëllimi i një piramide të cunguar nëse anët përkatëse të bazave janë në raportin 1:2?

Zgjidhje.

Konsideroni ABCA 1 B 1 C 1 - një piramidë e cunguar e paraqitur në oriz. 2.

Meqenëse brinjët në bazat janë në raportin 1:2, sipërfaqet e bazave janë në raportin 1:4 (trekëndëshi ABC është i ngjashëm me trekëndëshin A 1 B 1 C 1).

Atëherë vëllimi i piramidës së cunguar është i barabartë me:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, ku S 2 - zona e bazës së sipërme, h - lartësia.

Por vëllimi i prizmit ADEA 1 B 1 C 1 është V 1 = S 2 h dhe, për rrjedhojë,

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.

Pra, V 2: V 1 = 3: 4.

Përgjigje: 3:4.

Detyra 3.

Anët e bazave të një piramide të rregullt katërkëndore të cunguar janë të barabarta me 2 dhe 1, dhe lartësia është 3. Një rrafsh vizatohet përmes pikës së kryqëzimit të diagonaleve të piramidës, paralel me bazat e piramidës, duke e ndarë piramidën. në dy pjesë. Gjeni vëllimin e secilit prej tyre.

Zgjidhje.

Konsideroni piramidën e cunguar ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 të paraqitur në oriz. 3.

Le të shënojmë O 1 O 2 = x, pastaj OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Konsideroni trekëndëshin B 1 O 2 D 1 dhe trekëndëshin BO 2 D:

këndi B 1 O 2 D 1 është i barabartë me këndin BO 2 D si vertikal;

këndi BDO 2 është i barabartë me këndin D 1 B 1 O 2 dhe këndi O 2 ВD është i barabartë me këndin B 1 D 1 O 2 i shtrirë në mënyrë tërthore në B 1 D 1 || BD dhe sekantet B1D dhe BD1, respektivisht.

Prandaj, trekëndëshi B 1 O 2 D 1 është i ngjashëm me trekëndëshin BO 2 D dhe raporti anësor është:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 ose 1/2 = x/(x – 3), prej nga x = 1.

Konsideroni trekëndëshin B 1 D 1 B dhe trekëndëshin LO 2 B: këndi B është i përbashkët, dhe ka gjithashtu një çift këndesh të njëanshme në B 1 D 1 || LM, që do të thotë se trekëndëshi B 1 D 1 B është i ngjashëm me trekëndëshin LO 2 B, nga i cili B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, d.m.th.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Atëherë S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Pra, V 1 = 1/3 · 2 (4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Përgjigje: 152/27; 37/27.

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.