Një lloj tjetër i regresionit me një faktor është përafrimi nga polinomet e fuqisë së formës:

Është e natyrshme të dëshirojmë të marrim varësinë më të thjeshtë të mundshme, duke u kufizuar në polinomet e fuqisë së shkallës së dytë, d.m.th. varësia parabolike:
(5.5.2)

Le të llogarisim derivatet e pjesshme në lidhje me koeficientët b 0 , b 1 Dhe b 2 :

(5.5.3)

Duke barazuar derivatet me zero, marrim një sistem normal ekuacionesh:

(5.5.4)

Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve normale (5.5.2) për një rast të caktuar vlerash x i * , y i * ;
marrim vlerat optimale b 0 , b 1 Dhe b 2 . Për përafrimin sipas varësisë (5.5.2) dhe veçanërisht (5.5.1), formula të thjeshta për llogaritjen e koeficientëve nuk janë marrë dhe, si rregull, ato llogariten duke përdorur procedura standarde në formën e matricës:

(5.5.5)

Figura 5.5.1 tregon një shembull tipik të përafrimit nga një varësi parabolike:

9 (5;9)

(1;1)

1

1 2 3 4 5 x

Fig.5.5.1. Koordinatat e pikave eksperimentale dhe të përafërta

varësia e tyre parabolike

Shembulli 5.1. Përafroni rezultatet eksperimentale të dhëna në tabelën 5.1.1 me një ekuacion të regresionit linear
.

Tabela 5.1.1

Le të ndërtojmë pika eksperimentale sipas koordinatave të treguara në tabelën 5.1.1 në grafikun e paraqitur në figurën 5.1.1.

në

9

4

1 2 3 4 5 x

Sipas figurës 5.1.1, në të cilën do të vizatojmë një vijë të drejtë për një vlerësim paraprak, do të konkludojmë se ekziston një jolinearitet i shprehur qartë në vendndodhjen e pikave eksperimentale, por nuk është shumë domethënës dhe për këtë arsye ka kuptim. për t'i përafruar ato me një varësi lineare. Vini re se për të marrë një përfundim të saktë matematikor, është e nevojshme të ndërtohet një vijë e drejtë duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël.

Para se të kryeni analizën e regresionit, këshillohet të llogaritni

koeficienti linear i korrelacionit ndërmjet variablave X Dhe në:

Rëndësia e marrëdhënies së korrelacionit përcaktohet nga vlera kritike e koeficientit të korrelacionit linear, e llogaritur duke përdorur formulën:

Vlera kritike e testit të Studentit t Kreta gjetur sipas tabelave statistikore për nivelin e rekomanduar të rëndësisë α=0,05 dhe për n-2 shkallët e lirisë. Nëse vlera e llogaritur r xy jo më pak se vlera kritike r Kreta, pastaj korrelacioni ndërmjet variablave x Dhe y konsiderohet thelbësore. Le të bëjmë llogaritjet:

Për faktin se
arrijmë në përfundimin se korrelacioni ndërmjet variablave X Dhe nëështë domethënëse dhe mund të jetë lineare.

Le të llogarisim koeficientët e ekuacionit të regresionit:

Kështu, kemi marrë një ekuacion të regresionit linear:

Duke përdorur ekuacionin e regresionit, ne vizatojmë një vijë të drejtë në Fig. 5.1.2.

y (5;9.8)

9

4

(0;-0.2) 1 2 3 4 5 x

Fig.5.1.2. Koordinatat e pikave eksperimentale dhe të përafërta

varësia e tyre lineare

Duke përdorur ekuacionin e regresionit, ne llogarisim vlerat e funksionit bazuar në pikat eksperimentale të tabelës 5.1.1 dhe diferencën midis vlerave eksperimentale dhe të llogaritura të funksionit, të cilat i paraqesim në tabelën 5.1.2.

Tabela 5.1.2

Le të llogarisim gabimin mesatar katror dhe raportin e tij me vlerën mesatare:

Për sa i përket raportit të gabimit standard me vlerën mesatare, është arritur një rezultat jo i kënaqshëm, pasi është tejkaluar vlera e rekomanduar prej 0.05.

Le të vlerësojmë nivelin e rëndësisë së koeficientëve të ekuacionit të regresionit duke përdorur T-testin Student:

Nga tabela statistikore për 3 shkallë lirie, le të shkruajmë rreshtat me nivelin e rëndësisë - dhe vlera e kriterit të Studentit – t në tabelën 5.1.3.

Tabela 5.1.3

Niveli i rëndësisë së koeficientëve të ekuacionit të regresionit:

Vini re se sipas nivelit të rëndësisë për koeficientin është marrë një rezultat i kënaqshëm dhe për koeficientin e pakënaqshme.

Le të vlerësojmë cilësinë e ekuacionit të regresionit që rezulton duke përdorur tregues të llogaritur në bazë të analizës së variancës:

Ekzaminimi:

Rezultati i kontrollit është pozitiv, gjë që tregon korrektësinë e llogaritjeve të kryera.

Le të llogarisim kriterin Fisher:

me dy shkallë lirie:

Duke përdorur tabelat statistikore, gjejmë vlerat kritike të kriterit Fisher për dy shkallëzime të rekomanduara të nivelit të rëndësisë:

Meqenëse vlera e llogaritur e testit Fisher tejkalon vlerën kritike për nivelin e rëndësisë prej 0.01, do të supozojmë se niveli i rëndësisë sipas testit Fisher është më i vogël se 0.01, i cili do të konsiderohet i kënaqshëm.

Le të llogarisim koeficientin e përcaktimit të shumëfishtë:

për dy shkallë lirie

Duke përdorur tabelën statistikore për nivelin e rekomanduar të rëndësisë prej 0.05 dhe dy shkallë lirie të gjetura, gjejmë vlerën kritike të koeficientit të përcaktimit të shumëfishtë:

Meqenëse vlera e llogaritur e koeficientit të përcaktimit të shumëfishtë tejkalon vlerën kritike për nivelin e rëndësisë
, pastaj niveli i rëndësisë sipas koeficientit të përcaktimit të shumëfishtë
dhe rezultati i marrë për treguesin e paraqitur do të konsiderohet i kënaqshëm.

Kështu, parametrat e përllogaritur të përftuar për sa i përket raportit të gabimit standard me vlerën mesatare dhe nivelit të rëndësisë sipas testit të Studentit janë të pakënaqshëm, prandaj këshillohet të zgjidhet një varësi tjetër e përafërt për përafrim.

Shembulli 5.2. Përafrimi i shpërndarjes eksperimentale të numrave të rastit nga një varësi matematikore

Shpërndarja eksperimentale e numrave të rastësishëm të dhëna në tabelën 5.1.1, kur përafrohet nga një varësi lineare, nuk çoi në një rezultat të kënaqshëm, përfshirë. për shkak të parëndësisë së koeficientit të ekuacionit të regresionit me një term të lirë, prandaj, për të përmirësuar cilësinë e përafrimit, ne do të përpiqemi ta kryejmë atë duke përdorur një varësi lineare pa një term të lirë:

Le të llogarisim vlerën e koeficientit të ekuacionit të regresionit:

Kështu, kemi marrë ekuacionin e regresionit:

Duke përdorur ekuacionin e marrë të regresionit, ne llogarisim vlerat e funksionit dhe diferencën midis vlerave eksperimentale dhe të llogaritura të funksionit, të cilat i paraqesim në formën e tabelës 5.2.1.

Tabela 5.2.1

Sipas ekuacionit të regresionit
në figurën 5.2.1 do të vizatojmë një vijë të drejtë.

y (5; 9.73 )

(0;0) 1 2 3 4 5 x

Fig.5.2.1. Koordinatat e pikave eksperimentale dhe të përafërta

varësia e tyre lineare

Për të vlerësuar cilësinë e përafrimit, ne do të kryejmë llogaritjet e treguesve të cilësisë të ngjashme me llogaritjet e dhëna në shembullin 5.1.

(mbetet i vjetër);

me 4 shkallë lirie;

Për

Bazuar në rezultatet e përafrimit, vërejmë se për sa i përket nivelit të rëndësisë së koeficientit të ekuacionit të regresionit, është marrë një rezultat i kënaqshëm; Raporti i gabimit standard ndaj mesatares është përmirësuar, por ende mbetet mbi vlerën e rekomanduar prej 0.05, prandaj rekomandohet të përsëritet përafrimi me një marrëdhënie matematikore më komplekse.

Shembulli 5.3. Për të përmirësuar cilësinë e përafrimit të shembujve 5.1 dhe 5.2, ne do të kryejmë një përafrim jolinear nga varësia
. Për ta bërë këtë, fillimisht do të bëjmë llogaritjet e ndërmjetme dhe do t'i vendosim rezultatet e tyre në tabelën 5.3.1.

Vlerat

Le të llogarisim shtesë:

Le të përafrojmë varësinë
. Duke përdorur formulat (5.3.7), (5.3.8) llogarisim koeficientët b 0 Dhe b 1 :

Duke përdorur formulat (5.3.11) llogarisim koeficientët A 0 Dhe A 1 :

Për llogaritjen e gabimit standard, janë kryer llogaritjet e ndërmjetme, të paraqitura në tabelën 5.3.2.

Tabela 5.3.2

Shuma: 7.5968

Gabimi standard i përafrimit doli të ishte shumë më i madh se në dy shembujt e mëparshëm, kështu që ne i konsiderojmë rezultatet e përafrimit të papërdorshme.

Shembulli 5.4. Le të përpiqemi të përafrojmë me një varësi tjetër jolineare
. Duke përdorur formulat (5.3.9), (5.3.10) sipas tabelës 5.3.1, ne llogarisim koeficientët b 0 Dhe b 1 :

Ne kemi një varësi të ndërmjetme:

Duke përdorur formulat (5.3.13) llogarisim koeficientët C 0 Dhe C 1 :

Ne morëm varësinë përfundimtare:

Për të llogaritur gabimin standard, ne do të kryejmë llogaritjet e ndërmjetme dhe do t'i vendosim në tabelën 5.4.1.

Tabela 5.4.1

Shuma: 21.83152

Le të llogarisim gabimin standard:

Gabimi standard i përafrimit doli të ishte shumë më i madh se në shembullin e mëparshëm, kështu që ne i konsiderojmë rezultatet e përafrimit të papërdorshme.

Shembulli 5.5. Përafrimi i shpërndarjes eksperimentale të numrave të rastit nga një varësi matematikore y = b · lnx

Të dhënat fillestare, si në shembujt e mëparshëm, janë paraqitur në Tabelën 5.4.1 dhe Fig. 5.4.1.

Tabela 5.4.1

Bazuar në analizën e Fig. 5.4.1 dhe tabelës 5.4.1, vërejmë se me vlera më të vogla të argumentit (në fillim të tabelës), funksioni ndryshon më shumë sesa me vlera më të mëdha (në fund të tabelës), prandaj duket e këshillueshme që të ndryshohet shkalla e argumentit dhe të futet një funksion logaritmik në ekuacionin e regresionit prej tij dhe të përafrohet me varësinë matematikore të mëposhtme:

. Duke përdorur formulën (5.4.3) llogarisim koeficientin b:

Për të vlerësuar cilësinë e përafrimit, ne do të kryejmë llogaritjet e ndërmjetme të paraqitura në tabelën 5.4.2, nga të cilat do të llogarisim madhësinë e gabimit dhe raportin e gabimit standard me vlerën mesatare.

Tabela 5.4.2

Meqenëse raporti i gabimit standard me vlerën mesatare tejkalon vlerën e rekomanduar prej 0.05, rezultati do të konsiderohet i pakënaqshëm. Në veçanti, vërejmë se devijimi më i madh jepet nga vlera x=1, pasi me këtë vlerë lnx=0. Prandaj, ne do të përafrojmë varësinë y = b 0 +b 1 lnx

Llogaritjet ndihmëse i paraqesim në formën e tabelës 5.4.3.

Tabela 5.4.3

Duke përdorur formulat (5.4.6) dhe (5.4.7) llogarisim koeficientët b 0 dhe b 1 :

9 (5;9.12)

4

1 (1;0.93)

1 2 3 4 5 x

Për të vlerësuar cilësinë e përafrimit, ne do të kryejmë llogaritjet ndihmëse dhe do të përcaktojmë nivelin e rëndësisë së koeficientëve të gjetur dhe raportin e gabimit standard me vlerën mesatare.

Niveli i rëndësisë pak mbi vlerën e rekomanduar prej 0.05 (
).

Për shkak të faktit se sipas treguesit kryesor - raporti i gabimit standard me vlerën mesatare - u mor një tepricë pothuajse e dyfishtë e nivelit të rekomanduar prej 0.05, ne do t'i konsiderojmë rezultatet të pranueshme. Vini re se vlera e llogaritur e testit të Studentit t b 0 =2,922 të ndryshme nga kritike
me një sasi relativisht të vogël.

Shembulli 5.6. Le të përafrojmë të dhënat eksperimentale të Shembullit 5.1 me varësinë hiperbolike
. Për të llogaritur koeficientët b 0 dhe b 1 Le të bëjmë llogaritjet paraprake të dhëna në tabelën 5.6.1.

Tabela 5.6.1

Bazuar në rezultatet e Tabelës 5.6.1 duke përdorur formulat (5.4.8) dhe (5.4.9), ne llogarisim koeficientët b 0 dhe b 1 :

Kështu, fitohet një ekuacion i regresionit hiperbolik

.

Rezultatet e llogaritjeve ndihmëse për vlerësimin e cilësisë së përafrimit janë dhënë në tabelën 5.6.2.

Tabela 5.6.2

Bazuar në rezultatet e tabelës 5.6.2, ne llogarisim gabimin standard dhe raportin e gabimit standard me vlerën mesatare:

Për shkak të faktit se raporti i gabimit standard me vlerën mesatare e kalon vlerën e rekomanduar prej 0.05, konkludojmë se rezultatet e përafrimit janë të papërshtatshme.

Shembulli 5.7.

Për të llogaritur vlerat specifike të të ardhurave nga funksionimi i vinçave me fije në varësi të kohës së punës së mirëmbajtjes, është e nevojshme të merret një varësi parabolike.

Le të llogarisim koeficientët e kësaj varësie b 0 , b 1 , b 11 në formë matrice sipas formulës:

Ekuacionet jolineare të regresionit që lidhin treguesin efektiv me vlerat optimale për kryerjen e mirëmbajtjes parandaluese të vinçave të kullës janë marrë duke përdorur procedurën e regresionit të shumëfishtë të paketës së aplikimit Statistica 6.0. Më pas, rezultatet e analizës së regresionit për treguesin efektiv të performancës i paraqesim në tabelën 5.7.1.

Tabela 5.7.1

Tabela 5.7.2 tregon rezultatet e regresionit jolinear për treguesin efektiv të performancës dhe Tabela 5.7.3 tregon rezultatet e analizës së mbetjeve.

Tabela 5.7.2

Tabela 5.7.3

Oriz. 3.7.36. Analiza e mbetjeve.

Kështu, kemi marrë një ekuacion të regresionit të shumëfishtë për variablin
:

Raporti i gabimit standard me kuptimin:

14780/1017890=0,0145 < 0,05.

Meqenëse raporti i gabimit standard me vlerën mesatare nuk e kalon vlerën e rekomanduar prej 0.05, rezultatet e përafrimit mund të konsiderohen të pranueshme. Si pengesë sipas tabelës 5.7.2, duhet theksuar se të gjithë koeficientët e llogaritur tejkalojnë nivelin e rekomanduar të rëndësisë prej 0.05.

Puna laboratorike

Parashikimi i proceseve ekonomike
duke përdorur procesorin Excel.

Kërkesat për përmbajtjen, dizajnin dhe urdhërin e ekzekutimit

Për të kryer punë laboratorike, duhet të krijoni një libër të ri pune në Excel me emrin “Emri juaj, Puna laboratorike nr. 1, Opsioni nr._” (për shembull: “Punë laboratorike I.P. Ivanov nr. 1” Opsioni nr. 4).

Para se të kryeni punë laboratorike, studioni pjesën teorike dhe metodat e përfundimit të detyrave.

Detyrat duhet të plotësohen dhe plotësohen sipas opsionit tuaj . Fletët e punës në librin e punës duhet të emërtohen Task1, Task2. Futni rezultatet e detyrave në një skedar raporti.

Opsionet për punë laboratorike shpërndahen sipas numrit nr. në listën e grupeve, shih tabelën

Pas përfundimit të laboratorit, përgjigjuni pyetjeve të kuizit. Vendosni përgjigjet e pyetjeve të sigurisë në dosjen e raportit. Së bashku me dosjen e raportit mësuesit duhet t'ia dorëzoni në një disketë, duke e nënshkruar atë “Raport mbi punën laboratorike nr. 2 të studentit I.P. Ivanov, gr. 170404".

Pjesa teorike

parashikimiështë një metodë e kërkimit shkencor që synon të ofrojë opsione të mundshme për ato procese dhe dukuri që zgjidhen si objekt analize.

Detyrat parashikimi ekonomik janë: parashikimi i shpërndarjes së mundshme të burimeve në fusha të ndryshme; përcaktimi i kufijve të poshtëm dhe të sipërm të rezultateve të marra; vlerësimi i sasisë maksimale të mundshme të burimeve të nevojshme për zgjidhjen e problemeve ekonomike, shkencore dhe teknike, etj.

Në varësi të periudhës kohore për të cilën është bërë parashikimi (periudha kryesore), parashikimet mund të jenë:

· afatshkurtër;

· afatmesme;

· afatgjatë;

· afatgjatë.

Klasifikimi kohor i parashikimeve është relativ dhe varet nga natyra dhe qëllimi i parashikimit.

Për të kryer parashikimi afatshkurtër Metoda më e përdorur është ekstrapolimi.

Metoda e ekstrapolimit konsiston në gjetjen e vlerave që ndodhen jashtë kufijve të një serie të caktuar statistikore: bazuar në vlerat e njohura të serisë statistikore, gjenden vlera të tjera që ndodhen jashtë kësaj serie.

Gjatë ekstrapolimit, përfundimet e nxjerra nga studimi i tendencave në zhvillimin e një fenomeni në të kaluarën dhe të tashmen transferohen në të ardhmen, d.m.th. Ekstrapolimi bazohet në supozimin e një stabiliteti të caktuar të karakteristikave të faktorëve që ndikojnë në zhvillimin e këtij fenomeni.

Fig.1. Emërtimet bazë të metodës së ekstrapolimit.

Gjatë ekstrapolimit (shih Fig. 1.), përdoret terminologjia e mëposhtme:

t 1 - thellësia e retrospeksionit;

t 2 – momenti i parashikimit;

t 3 – horizonti i parashikimit;

t 2 – t 1 – intervali i vëzhgimit (periudha kohore në bazë të së cilës studiohet historia e zhvillimit të objektit të parashikimit);

t 3 – t 2 – intervali i prirjes (periudha kohore për të cilën është zhvilluar parashikimi).

Sa më të qëndrueshme të jenë proceset dhe tendencat e parashikuara, aq më tej mund të shtyhet prapa horizonti i parashikimit. Siç tregon praktika, intervali i vëzhgimit duhet të jetë tre ose më shumë herë më i gjatë se intervali i prirjes. Si rregull, kjo periudhë është mjaft e shkurtër. Metoda e ekstrapolimit nuk funksionon për proceset e ndërprera.

Metoda e ekstrapolimit zbatohet lehtësisht në një kompjuter personal. Përdorimi i përpunuesve modernë të fletëllogarive si MS Excel ju lejon të parashikoni shpejt proceset ekonomike duke përdorur metodën e ekstrapolimit.

Për të rritur saktësinë e parashikimit, është e nevojshme të merret parasysh varësia e vlerës së parashikuar Y nga faktorët e jashtëm X. Grupi i vlerave që studiohen, si rregull, i nënshtrohet ndikimit të faktorëve të rastësishëm. Në këtë drejtim, varësia e vlerës së parashikuar Y nga faktorët e jashtëm X është më së shpeshti statistikore, ose korrelative.

Statistikore quhet varësia e ndryshoreve të rastësishme në të cilat secila vlerë e njërës prej tyre korrespondon me ligjin e shpërndarjes së tjetrës, domethënë një ndryshim në njërën prej variablave sjell një ndryshim në shpërndarjen e tjetrit.

Korrelacioni quhet një varësi statistikore e variablave të rastësishëm, në të cilat një ndryshim në njërën nga sasitë sjell një ndryshim në vlerën mesatare të tjetrës.

Një masë e varësisë së korrelacionit të dy ndryshoreve të rastësishme X dhe Y është koeficienti i korrelacionit r, i cili është një sasi pa dimension, dhe për këtë arsye nuk varet nga zgjedhja e njësive matëse të madhësive të studiuara.

Vetitë e koeficientit të korrelacionit:

1) Nëse dy ndryshore të rastësishme X dhe Y janë të pavarura, atëherë koeficienti i korrelacionit të tyre është zero, d.m.th. r=0.

2) Moduli i koeficientit të korrelacionit nuk e kalon unitetin, d.m.th. |r|£1, që është ekuivalente me pabarazinë e dyfishtë: -1£r£1.

3) Barazia e koeficientit -1 ose +1 tregon praninë e një lidhjeje funksionale (direkte). Shenja "+" tregon një lidhje të drejtpërdrejtë (një rritje ose ulje në një atribut shoqërohet me një ndryshim të ngjashëm në një atribut tjetër), shenja "-" tregon një marrëdhënie të kundërt (një rritje ose ulje në një atribut shoqërohet me një ndryshim në atributin tjetër në drejtim të kundërt).

Pas përcaktimit të karakteristikave më të rëndësishme të faktorëve që ndikojnë në vlerën e parashikuar, është po aq e rëndësishme të përcaktohet përshkrimi (ekuacioni) i tyre matematik, i cili bën të mundur vlerësimin numerik të treguesit efektiv përmes karakteristikave të faktorëve.

Quhet një ekuacion që shpreh ndryshimin në vlerën mesatare të një treguesi të performancës në varësi të vlerave të karakteristikave të faktorëve ekuacioni i regresionit.

Vijat në planin koordinativ që i përgjigjen ekuacioneve të regresionit quhen linjat e regresionit .

Varësitë e korrelacionit mund të shprehen me ekuacione regresioni të llojeve të ndryshme: lineare, parabolike, hiperbolike, eksponenciale, etj.

Regresioni linear

Ekuacioni i regresionit linear(selektive) Y në X quhet varësia nga vlerat e vëzhguara të sasisë X, e shprehur me një funksion linear:

ku eshte vlera r thirrur koeficienti i regresionit linear Y në X, b- konstante.

Përafrimi linear përshkruan mirë ndryshimin në sasi që ndodh me një shpejtësi konstante.

Nëse koeficienti i korrelacionit të dy madhësive X Dhe Y barazohet r=±1, atëherë këto madhësi lidhen me një marrëdhënie lineare. Koeficienti i korrelacionit shërben si masë e forcës (afërsisë) e varësisë lineare të madhësive të matura. Në praktikë, nëse koeficienti i korrelacionit të dy sasive X Dhe Y |r|>0.5, atëherë ata besojnë se ka arsye për të supozuar praninë e një marrëdhënie lineare midis këtyre sasive. Sidoqoftë, është më mirë të lundroni kur zgjidhni llojin e linjës së regresionit (lineare ose jolineare) sipas llojit të varësisë empirike të sasive. X Dhe Y.

Regresioni parabolik dhe polinomial.

Parabolike varësia e vlerës Y nga madhësia X quhet një varësi e shprehur nga një funksion kuadratik (parabola e rendit të dytë):

. (2)

Ky ekuacion quhet ekuacioni i regresionit parabolik Y në X. Opsionet A, b, Me quhen koeficientët e regresionit parabolik. Llogaritja e koeficientëve të regresionit parabolik është gjithmonë e rëndë, kështu që rekomandohet përdorimi i një kompjuteri për llogaritjet.

Ekuacioni (2) i regresionit parabolik është një rast i veçantë i një regresioni më të përgjithshëm të quajtur regresion polinomial. Polinom varësia e vlerës Y nga madhësia X quhet varësi e shprehur me një polinom n- urdhri:

ku janë numrat dhe i (i=0,1,…, n) quhen koeficientët e regresionit polinom.

Përafrimi i polinomit përdoret për të përshkruar sasitë që rriten dhe zvogëlohen në mënyrë alternative. Është i dobishëm, për shembull, për të analizuar një grup të madh të dhënash për një sasi të paqëndrueshme.

Regresioni i fuqisë.

Fuqia varësia e vlerës Y nga madhësia X quhet varësi e formës:

Ky ekuacion quhet ekuacioni i regresionit të fuqisë Y në X. Opsionet A Dhe b quhen koeficientët e regresionit të fuqisë.

Përafrimi me ligjin fuqi është i dobishëm për përshkrimin e një sasie monotonike në rritje ose ulje monotonike, siç është distanca e përshkuar nga një makinë përshpejtuese. Përafrimi i ligjit të fuqisë nuk mund të përdoret nëse të dhënat përmbajnë vlera zero ose negative.

Regresioni eksponencial.

Indikative(ose eksponenciale) varësia e vlerës Y nga madhësia X quhet varësi e formës:

Ky ekuacion quhet ekuacioni eksponencial(ose eksponenciale) regresioni Y në X. Opsionet A(ose k) Dhe b quhen koeficientët eksponencialë(ose eksponenciale) regresioni.

Përafrimi eksponencial është i dobishëm kur shkalla e ndryshimit të të dhënave është vazhdimisht në rritje. Megjithatë, për të dhënat që përmbajnë vlera zero ose negative, ky lloj përafrimi nuk është i zbatueshëm.

Regresioni logaritmik.

Logaritmike varësia e vlerës Y nga madhësia X quhet varësi e formës:

(6)

Ky ekuacion quhet ekuacioni i regresionit logaritmik Y në X. Opsionet A Dhe b quhen koeficientët e regresionit logaritmik.

Përafrimi logaritmik është i dobishëm për të përshkruar një sasi që fillimisht rritet ose zvogëlohet me shpejtësi dhe më pas stabilizohet gradualisht. Përafrimi logaritmik përdor si madhësi negative ashtu edhe pozitive.

Regresioni hiperbolik.

Hiperbolike varësia e vlerës Y nga madhësia X quhet varësi e formës:

Ky ekuacion quhet ekuacioni i regresionit hiperbolik Y në X. Opsionet A Dhe b quhen koeficientët e regresionit hiperbolik.

Cilësia e ndërtimit të ekuacioneve të regresionit karakterizohet nga gabimi mesatar i përafrimit ose gabimi relativ i parashikimit:

(8)

ku Y e është vlera empirike e treguesit të parashikuar; Y – vlera e llogaritur e treguesit të parashikuar.

Kryerja e analizës së regresionit mund të ndahet në tre faza: zgjedhja e formës së marrëdhënies (lloji i ekuacionit) bazuar në të dhënat statistikore, llogaritja e koeficientëve të ekuacionit të përzgjedhur, vlerësimi i besueshmërisë së ekuacionit të përzgjedhur.

Përdorimi i një procesori spreadsheet e bën të lehtë kryerjen e të gjitha fazave të analizës së regresionit.

Regresioni linear

Një ekuacion i regresionit linear është një ekuacion i një vije të drejtë që përafron (përafërsisht përshkruan) marrëdhënien midis ndryshoreve të rastësishme X dhe Y.

Konsideroni një ndryshore të rastësishme dydimensionale (X, Y), ku janë variabla të rastësishme të varura. Le të imagjinojmë njërën nga sasitë në funksion të tjetrës. Le të kufizohemi në një paraqitje të përafërt të sasisë në formën e një funksioni linear të sasisë X:

ku janë parametrat që do të përcaktohen. Kjo mund të bëhet në mënyra të ndryshme: më e zakonshme prej tyre është metoda e katrorëve më të vegjël. Funksioni g(x) quhet regresioni mesatar katror i Y në X. Funksioni g(x) quhet regresioni mesatar katror i Y në X.

ku F është devijimi total katror.

Le të zgjedhim a dhe b në mënyrë që shuma e devijimeve në katror të jetë minimale. Për të gjetur koeficientët a dhe b në të cilët F arrin vlerën e tij minimale, ne barazojmë derivatet e pjesshme me zero:

Gjeni a dhe b. Pasi kemi kryer transformime elementare, marrim një sistem me dy ekuacione lineare për a dhe b:

ku është madhësia e kampionit.

Në rastin tonë, A = 3888; B =549; C = 8224; D = 1182; N = 100.

Le të gjejmë a dhe b nga kjo vijë lineare. Marrim një pikë të palëvizshme për ku 1,9884; 0,8981.

Prandaj, ekuacioni do të marrë formën:

y = 1,9884x + 0,8981

Oriz. 10

Regresioni parabolik

Duke përdorur të dhënat vëzhguese, le të gjejmë një ekuacion mostër për vijën e lakuar të regresionit rrënjë-mesatar-katror (parabolik në rastin tonë). Le të përdorim metodën e katrorëve më të vegjël për të përcaktuar p, q, r.

Le të kufizohemi në paraqitjen e vlerës Y në formën e një funksioni parabolik të vlerës X:

ku p, q dhe r janë parametra që duhen përcaktuar. Kjo mund të bëhet duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël.

Le të zgjedhim parametrat p, q dhe r në mënyrë që shuma e devijimeve në katror të jetë minimale. Meqenëse çdo devijim varet nga parametrat që kërkohen, shuma e katrorëve të devijimeve është një funksion F i këtyre parametrave:

Për të gjetur minimumin, ne barazojmë derivatet e pjesshëm përkatës me zero:

Gjeni p, q dhe r. Pasi kemi kryer transformime elementare, marrim një sistem prej tre ekuacionesh lineare për p, q dhe r:

Duke zgjidhur këtë sistem duke përdorur metodën e matricës së kundërt, fitojmë: p = -0,0085; q = 2,0761;

Prandaj, ekuacioni i regresionit parabolik do të marrë formën:

y = -0,0085x 2 + 2,0761x + 0,7462

Le të ndërtojmë një grafik regresioni parabolik. Për lehtësi vëzhgimi, grafiku i regresionit do të jetë në sfondin e grafikut të shpërndarjes (shih Figurën 13).

Oriz. 13

Tani le të vizatojmë linjat e regresionit linear dhe të regresionit parabolik në një diagram për një krahasim vizual (shih Figurën 14).

Oriz. 14

Regresioni linear tregohet me të kuqe, dhe regresioni parabolik tregohet me blu. Diagrami tregon se ndryshimi në këtë rast është më i madh se kur krahasohen dy linja të regresionit linear. Kërkohen kërkime të mëtejshme se cili regresion shpreh më mirë marrëdhënien midis x dhe y, pra çfarë lloj marrëdhënieje midis x dhe y.

Në disa raste, të dhënat empirike nga një popullatë statistikore, të përshkruara vizualisht duke përdorur një diagram koordinativ, tregojnë se një rritje e një faktori shoqërohet me një rritje më të shpejtë të rezultatit. Për të përshkruar teorikisht këtë lloj korrelacioni midis karakteristikave, mund të marrim ekuacionin e regresionit parabolik të rendit të dytë:

ku , është një parametër që tregon vlerën mesatare të karakteristikës që rezulton në kushtet e izolimit të plotë të ndikimit të faktorit (x=0); - koeficienti i proporcionalitetit të ndryshimit të rezultatit, që i nënshtrohet një rritjeje absolute të karakteristikës së faktorit për secilën nga njësitë e tij; c është koeficienti i nxitimit (ngadalësimit) të rritjes së karakteristikës efektive për çdo njësi të faktorit.

Duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël si bazë për llogaritjen e parametrave , , c dhe duke marrë kushtimisht vlerën e mesme të serisë së renditur si vlerë fillestare, do të kemi Σх = 0, Σх 3 =0. Në këtë rast, sistemi i ekuacioneve në një formë të thjeshtuar do të jetë:

Nga këto ekuacione mund të gjejmë parametrat , , с, të cilët në formë të përgjithshme mund të shkruhen si më poshtë:

(11.20)

(11.22)

Kjo tregon se për të përcaktuar parametrat , , c është e nevojshme të llogariten vlerat e mëposhtme: Σ y, Σ xy, Σ x 2, Σ x 2 y, Σ x 4. Për këtë qëllim, mund të përdorni paraqitjen e tabelës. 11.9.

Le të themi se ka të dhëna për peshën e kulturave të patates në strukturën e të gjitha sipërfaqeve të mbjella dhe rendimentin (të korrat bruto) të kulturave në 30 organizata bujqësore. Është e nevojshme të krijohet dhe zgjidhet një ekuacion për korrelacionin midis këtyre treguesve.

Tabela 11.9. Llogaritja e treguesve ndihmës për ekuacionin

Regresioni parabolik

Një paraqitje grafike e fushës së korrelacionit tregoi se treguesit e studiuar janë të lidhur empirikisht me njëri-tjetrin nga një vijë që i afrohet një parabole të rendit të dytë. Prandaj, ne do të llogarisim parametrat e nevojshëm, , s si pjesë e ekuacionit të dëshiruar të regresionit parabolik duke përdorur paraqitjen e tabelës. 11.10.

Tabela 11.10. Llogaritja e të dhënave ndihmëse për ekuacionin

Regresioni parabolik

Le të zëvendësojmë vlerat specifike Σ y = 495, Σ xy = 600, Σ x 2 = 750, Σ x 2 y = 12375, Σ x 4 = 18750, të disponueshme në tabelë. 11.10, në formula (11.20), (11.21), (11.22). marrim

Kështu, ekuacioni i regresionit parabolik që shpreh ndikimin e pjesës së kulturave të patates në strukturën e sipërfaqeve të mbjella në rendimentin (rendimentin bruto) të kulturës në organizatat bujqësore ka formën e mëposhtme:

(11.23)

Ekuacioni 11.23 tregon se, në kushtet e një popullate të caktuar mostre, rendimenti mesatar (rendimenti bruto) i patateve (10 mijë c) mund të merret pa ndikimin e faktorit që studiohet - duke rritur përqindjen e kulturave në strukturën e mbjelljes. zonat, d.m.th. në këtë kusht, kur luhatjet në peshën specifike të kulturave nuk do të ndikojnë në madhësinë e kulturës së patates (x = 0). Parametri (koeficienti i proporcionalitetit) b = 0,8 tregon se çdo rritje për qind në proporcionin e të korrave siguron një rritje të rendimentit me një mesatare prej 0,8 mijë tonë, dhe parametri c = 0,1 tregon se me një për qind (në katror ) rritja e rendimentit është përshpejtuar mesatarisht me 0.1 mijë tonë patate.

Marrëdhënia midis variablave X dhe Y mund të përshkruhet në mënyra të ndryshme. Në veçanti, çdo formë e lidhjes mund të shprehet me një ekuacion të përgjithshëm y= f(x), ku y konsiderohet si një ndryshore e varur, ose një funksion i një ndryshoreje tjetër - të pavarur x, e quajtur argument. Korrespondenca midis një argumenti dhe një funksioni mund të specifikohet nga një tabelë, formulë, grafik etj. Një ndryshim në një funksion në varësi të ndryshimeve në një ose më shumë argumente quhet regresioni.

Afati "regresion"(nga latinishtja regressio - lëvizje prapa) u prezantua nga F. Galton, i cili studioi trashëgiminë e tipareve sasiore. Ai zbuloi. që pasardhësit e prindërve të gjatë dhe të shkurtër kthehen (regresohen) 1/3 drejt nivelit mesatar të këtij tipari në një popullatë të caktuar. Me zhvillimin e mëtejshëm të shkencës, ky term humbi kuptimin e tij të mirëfilltë dhe filloi të përdoret për të përcaktuar korrelacionin midis variablave Y dhe X.

Ka shumë forma dhe lloje të ndryshme të korrelacioneve. Detyra e studiuesit zbret në identifikimin në çdo rast specifik të formës së lidhjes dhe shprehjen e saj me ekuacionin e duhur të korrelacionit, i cili lejon që dikush të parashikojë ndryshimet e mundshme në një karakteristikë Y bazuar në ndryshimet e njohura në një tjetër X, e cila është e ndërlidhur me të parën. .

Ekuacioni i një parabole të llojit të dytë

Ndonjëherë lidhjet ndërmjet variablave Y dhe X mund të shprehen përmes formulës së parabolës

Ku a,b,c janë koeficientë të panjohur që duhen gjetur, duke pasur parasysh matjet e njohura të Y dhe X

Ju mund të zgjidhni duke përdorur metodën e matricës, por tashmë ka formula të llogaritura që do t'i përdorim

N - numri i termave të serisë së regresionit

Y - vlerat e ndryshores Y

X - vlerat e ndryshores X

Nëse e përdorni këtë bot përmes një klienti XMPP, atëherë sintaksa është si më poshtë

regresi rreshti X; rreshti Y;2

Ku 2 - tregon se regresioni llogaritet si jolinear në formën e një parabole të rendit të dytë

Epo, është koha për të kontrolluar llogaritjet tona.

Pra, ka një tryezë