Arsyet e shfaqjes së rrënjëve të jashtme gjatë zgjidhjes së ekuacioneve. Mësimi “Ekuivalenca e ekuacioneve Kontrollimi i rrënjëve

Mund të çojë në shfaqjen e të ashtuquajturave rrënjë të jashtme. Në këtë artikull, së pari do të analizojmë në detaje se çfarë është rrënjët e jashtme. Së dyti, le të flasim për arsyet e shfaqjes së tyre. Dhe së treti, duke përdorur shembuj, ne do të shqyrtojmë metodat kryesore të filtrimit të rrënjëve të jashtme, domethënë kontrollimin e rrënjëve për praninë e të huajve midis tyre, në mënyrë që t'i përjashtojmë ato nga përgjigja.

Rrënjët e jashtme të ekuacionit, përkufizimi, shembuj

Tekstet shkollore të algjebrës nuk ofrojnë një përkufizim të një rrënjë të huaj. Atje, ideja e një rrënjeje të jashtme formohet duke përshkruar situatën e mëposhtme: me ndihmën e disa transformimeve të ekuacionit, bëhet një kalim nga ekuacioni origjinal në ekuacionin rrjedhës, gjenden rrënjët e ekuacionit rrjedhës që rezulton. , dhe rrënjët e gjetura kontrollohen duke zëvendësuar në ekuacionin origjinal, gjë që tregon se disa nga rrënjët e gjetura nuk janë rrënjë të ekuacionit origjinal, këto rrënjë quhen rrënjë të jashtme për ekuacionin origjinal.

Duke u nisur nga kjo bazë, ju mund të pranoni vetë përkufizimin e mëposhtëm të një rrënjë të jashtme:

Përkufizimi

Rrënjët e jashtme- këto janë rrënjët e ekuacionit rrjedhës të marrë si rezultat i shndërrimeve, të cilat nuk janë rrënjët e ekuacionit origjinal.

Le të japim një shembull. Le të shqyrtojmë ekuacionin dhe pasojën e këtij ekuacioni x·(x−1)=0, të përftuar duke zëvendësuar shprehjen me shprehjen identike të barabartë x·(x−1) . Ekuacioni origjinal ka një rrënjë të vetme 1. Ekuacioni i marrë si rezultat i transformimit ka dy rrënjë 0 dhe 1. Kjo do të thotë se 0 është një rrënjë e jashtme për ekuacionin origjinal.

Arsyet e shfaqjes së mundshme të rrënjëve të huaja

Nëse për të marrë ekuacionin pasardhës nuk përdorni ndonjë transformim "ekzotik", por përdorni vetëm transformime bazë të ekuacioneve, atëherë rrënjët e jashtme mund të lindin vetëm për dy arsye:

• për shkak të zgjerimit të ODZ dhe
• për shkak të ngritjes së të dy anëve të ekuacionit në të njëjtën fuqi çift.

Vlen të kujtojmë këtu se zgjerimi i ODZ si rezultat i transformimit të ekuacionit ndodh kryesisht

• Kur zvogëloni fraksionet;
• Kur zëvendësoni një produkt me një ose më shumë faktorë zero me zero;
• Kur një thyesë zëvendësohet me një numërues zero me zero;
• Kur përdoren disa veti të fuqive, rrënjëve, logaritmeve;
• Kur përdoren disa formula trigonometrike;
• Kur të dyja anët e një ekuacioni shumëzohen me të njëjtën shprehje, ajo zhduket me ODZ për atë ekuacion;
• Kur lirohet nga shenjat logaritmike në procesin e zgjidhjes.

Shembulli nga paragrafi i mëparshëm i artikullit ilustron shfaqjen e një rrënjeje të jashtme për shkak të zgjerimit të ODZ, i cili ndodh kur kalohet nga ekuacioni në ekuacionin pasardhës x·(x−1)=0. ODZ për ekuacionin origjinal është bashkësia e të gjithë numrave realë, me përjashtim të zeros, ODZ për ekuacionin që rezulton është bashkësia R, domethënë, ODZ zgjerohet me numrin zero. Ky numër përfundimisht rezulton të jetë një rrënjë e jashtme.

Do të japim gjithashtu një shembull të shfaqjes së një rrënjë të jashtme për shkak të ngritjes së të dy anëve të ekuacionit në të njëjtën fuqi çift. Ekuacioni irracional ka një rrënjë të vetme 4, dhe pasoja e këtij ekuacioni, e marrë prej saj duke katrorizuar të dyja anët e ekuacionit, pra ekuacionin , ka dy rrënjë 1 dhe 4. Nga kjo është e qartë se kuadrimi i të dy anëve të ekuacionit çoi në shfaqjen e një rrënjë të jashtme për ekuacionin origjinal.

Vini re se zgjerimi i ODZ dhe ngritja e të dy anëve të ekuacionit në të njëjtën fuqi çift nuk çon gjithmonë në shfaqjen e rrënjëve të jashtme. Për shembull, kur lëvizim nga ekuacioni në ekuacionin pasardhës x=2, ODZ zgjerohet nga bashkësia e të gjithë numrave jonegativë në bashkësinë e të gjithë numrave realë, por nuk shfaqen rrënjë të jashtme. 2 është rrënja e vetme e ekuacionit të parë dhe të dytë. Gjithashtu, asnjë rrënjë e jashtme nuk shfaqet kur lëviz nga një ekuacion në një ekuacion pasues. Rrënja e vetme e barazimit të parë dhe të dytë është x=16. Kjo është arsyeja pse ne nuk po flasim për arsyet e shfaqjes së rrënjëve të jashtme, por për arsyet e shfaqjes së mundshme të rrënjëve të jashtme.

Çfarë është skanimi i rrënjëve të jashtme?

Termi "shoshitje e rrënjëve të jashtme" mund të quhet vetëm me një shtrirje, ai nuk gjendet në të gjitha tekstet shkollore të algjebrës, por është intuitiv, prandaj përdoret zakonisht. Çfarë nënkuptohet me shoshitjen e rrënjëve të jashtme bëhet e qartë nga fraza e mëposhtme: "... verifikimi është një hap i detyrueshëm në zgjidhjen e një ekuacioni, i cili do të ndihmojë në zbulimin e rrënjëve të jashtme, nëse ka, dhe t'i hidhni ato (zakonisht ata thonë "zhduk" )”

Kështu,

Përkufizimi

Ekzaminimi i rrënjëve të jashtme- ky është zbulimi dhe hedhja e rrënjëve të jashtme.

Tani mund të kaloni në metodat e shqyrtimit të rrënjëve të jashtme.

Metodat për skanimin e rrënjëve të jashtme

Kontrolli i zëvendësimit

Mënyra kryesore për të filtruar rrënjët e jashtme është një test zëvendësimi. Kjo ju lejon të hiqni rrënjët e jashtme që mund të lindin si për shkak të zgjerimit të ODZ ashtu edhe për shkak të ngritjes së të dy anëve të ekuacionit në të njëjtën fuqi të barabartë.

Testi i zëvendësimit është si më poshtë: rrënjët e gjetura të ekuacionit konkluzion zëvendësohen nga ana e tyre në ekuacionin origjinal ose në ndonjë ekuacion ekuivalent me të, ato që japin barazinë numerike të saktë janë rrënjët e ekuacionit origjinal dhe ato që japin barazia ose shprehja e gabuar numerike janë rrënjët e ekuacionit origjinal të pakuptimta, janë rrënjë të jashtme për ekuacionin origjinal.

Le të tregojmë me një shembull se si të filtrohen rrënjët e jashtme përmes zëvendësimit në ekuacionin origjinal.

Në disa raste, është më e përshtatshme të filtroni rrënjët e jashtme duke përdorur metoda të tjera. Kjo vlen kryesisht për ato raste kur kontrolli me zëvendësim shoqërohet me vështirësi të konsiderueshme llogaritëse ose kur metoda standarde e zgjidhjes së ekuacioneve të një lloji të caktuar kërkon një kontroll tjetër (për shembull, shqyrtimi i rrënjëve të jashtme kur zgjidhja e ekuacioneve racionale të pjesshme kryhet sipas kusht që emëruesi i thyesës të mos jetë i barabartë me zero). Le të shohim mënyra alternative për të hequr rrënjët e jashtme.

Sipas DL

Ndryshe nga testimi me zëvendësim, filtrimi i rrënjëve të jashtme duke përdorur ODZ nuk është gjithmonë i përshtatshëm. Fakti është se kjo metodë ju lejon të filtroni vetëm rrënjët e jashtme që lindin për shkak të zgjerimit të ODZ, dhe nuk garanton shoshitjen e rrënjëve të jashtme që mund të lindin për arsye të tjera, për shembull, për shkak të ngritjes së të dy palëve. të ekuacionit për të njëjtën fuqi çift . Për më tepër, nuk është gjithmonë e lehtë të gjesh OD për ekuacionin që zgjidhet. Sidoqoftë, metoda e shoshitjes së rrënjëve të jashtme duke përdorur ODZ ia vlen të mbahet në shërbim, pasi përdorimi i saj shpesh kërkon më pak punë llogaritëse sesa përdorimi i metodave të tjera.

Ekzaminimi i rrënjëve të jashtme duke përdorur ODZ kryhet si më poshtë: të gjitha rrënjët e gjetura të ekuacionit përfundues kontrollohen për të parë nëse ato i përkasin diapazonit të vlerave të lejuara të ndryshores për ekuacionin origjinal ose ndonjë ekuacion të barabartë me të që i përkasin ODZ-së janë rrënjët e ekuacionit origjinal, dhe ato që i përkasin ODZ-së janë rrënjë të ekuacionit origjinal, dhe ato që nuk i përkasin ODZ-së janë rrënjë të jashtme për ekuacionin origjinal.

Analiza e informacionit të dhënë çon në përfundimin se është e këshillueshme që të analizohen rrënjët e jashtme duke përdorur ODZ nëse në të njëjtën kohë:

• është e lehtë të gjesh ODZ për ekuacionin origjinal,
• rrënjët e jashtme mund të lindin vetëm për shkak të zgjerimit të ODZ,
• Testimi i zëvendësimit shoqërohet me vështirësi të konsiderueshme llogaritëse.

Ne do të tregojmë se si kryhet në praktikë heqja e rrënjëve të jashtme.

Sipas kushteve të DL

Siç thamë në paragrafin e mëparshëm, nëse rrënjët e jashtme mund të lindin vetëm për shkak të zgjerimit të ODZ, atëherë ato mund të eliminohen duke përdorur ODZ për ekuacionin origjinal. Por nuk është gjithmonë e lehtë të gjesh ODZ në formën e një grupi numerik. Në raste të tilla, është e mundur të ekzaminohen rrënjët e jashtme jo sipas ODZ, por sipas kushteve që përcaktojnë ODZ. Le të shpjegojmë se si kryhet heqja e rrënjëve të jashtme në kushtet e ODZ.

Rrënjët e gjetura zëvendësohen nga ana e tyre në kushtet që përcaktojnë ODZ për ekuacionin origjinal ose ndonjë ekuacion të barazvlefshëm me të. Ato që plotësojnë të gjitha kushtet janë rrënjët e ekuacionit. Dhe ato prej tyre që nuk plotësojnë të paktën një kusht ose japin një shprehje që nuk ka kuptim janë rrënjë të jashtme për ekuacionin origjinal.

Le të japim një shembull të skanimit të rrënjëve të jashtme sipas kushteve të ODZ.

Filtrimi i rrënjëve të jashtme që dalin nga ngritja e të dyja anëve të ekuacionit në një fuqi të barabartë

Është e qartë se heqja e rrënjëve të jashtme që dalin nga ngritja e të dyja anëve të ekuacionit në të njëjtën fuqi çift mund të bëhet duke e zëvendësuar atë në ekuacionin origjinal ose në ndonjë ekuacion të barabartë me të. Por një kontroll i tillë mund të përfshijë vështirësi të konsiderueshme llogaritëse. Në këtë rast, ia vlen të dini një metodë alternative për të shoshitur rrënjët e jashtme, për të cilën do të flasim tani.

Ekzaminimi i rrënjëve të jashtme që mund të lindin kur të dyja anët e ekuacioneve irracionale të formës ngrihen në të njëjtën fuqi të barabartë , ku n është një numër çift, mund të kryhet sipas kushtit g(x)≥0. Kjo rrjedh nga përkufizimi i rrënjës së një shkalle çift: një rrënjë e një shkalle çift n është një numër jo negativ, fuqia n e të cilit është e barabartë me numrin radikal, prej nga . Kështu, qasja e shprehur është një lloj simbiozë e metodës së ngritjes së të dy anëve të ekuacionit në të njëjtën fuqi dhe metodës së zgjidhjes së ekuacioneve irracionale duke përcaktuar rrënjën. Kjo është, ekuacioni , ku n është një numër çift, zgjidhet duke ngritur të dyja anët e ekuacionit në të njëjtën fuqi çift, dhe eliminimi i rrënjëve të jashtme kryhet sipas kushtit g(x)≥0, marrë nga metoda e zgjidhjes së ekuacioneve irracionale me përcaktimi i rrënjës.

Metodat themelore për zgjidhjen e ekuacioneve

Cila është zgjidhja e një ekuacioni?

Transformim identik. bazë

llojet e transformimeve të identitetit.

Rrënjë e huaj. Humbja e rrënjës.

Zgjidhja e ekuacionit është një proces që konsiston kryesisht në zëvendësimin e një ekuacioni të dhënë me një ekuacion tjetër që është ekuivalent me të . Ky zëvendësim quhettransformim identik . Transformimet kryesore të identitetit janë si më poshtë:

1.

Zëvendësimi i një shprehjeje me një tjetër që është identikisht e barabartë me të. Për shembull, ekuacioni (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 mund të zëvendësohet me ekuivalentin e mëposhtëm:9 x 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

2.

Transferimi i termave të një ekuacioni nga njëra anë në tjetrën me shenja të kundërta. Pra, në ekuacionin e mëparshëm mund t'i transferojmë të gjithë termat e tij nga ana e djathtë në anën e majtë me shenjën "-": 9 x 2 + 12 x+ 4 – 15 x - 10 = 0, pas së cilës marrim:9 x 2 – 3 x - 6 = 0 .

3.

Shumëzimi ose pjesëtimi i të dy anëve të një ekuacioni me të njëjtën shprehje (numër) përveç zeros. Kjo është shumë e rëndësishme sepseekuacioni i ri mund të mos jetë i barabartë me atë të mëparshëm nëse shprehja me të cilën po shumëzojmë ose pjesëtojmë mund të jetë e barabartë me zero.

SHEMBULL Ekuacionix - 1 = 0 ka një rrënjë të vetmex = 1.

Duke shumëzuar të dyja anët mex - 3 , marrim ekuacionin

( x - 1)( x - 3) = 0, e cila ka dy rrënjë:x = 1 dhex = 3.

Vlera e fundit nuk është rrënja e ekuacionit të dhënë

x - 1 = 0. Ky është i ashtuquajturirrënjë e jashtme .

Në të kundërt, ndarja mund të çojë nëhumbja e rrënjës . Pra

në rastin tonë, nëse (x - 1 )( x - 3 ) = 0 është origjinali

ekuacioni, pastaj rrënjax = 3 do të humbasë në ndarje

të dyja anët e ekuacionit nëx - 3 .

Në ekuacionin e fundit (pika 2), ne mund t'i ndajmë të gjithë termat e tij me 3 (jo zero!) dhe në fund të marrim:

3 x 2 – x – 2 = 0 .

Ky ekuacion është i barabartë me atë origjinal:

(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .

4.

Mundngrini të dyja anët e ekuacionit në një fuqi tek osenxirrni rrënjën tek nga të dyja anët e ekuacionit . Duhet mbajtur mend se:

a) ndërtimi nëmadje shkallë mund të çojëpër marrjen e rrënjëve të huaja ;

b)gabim nxjerrjesedhe rrënjë mund të çojë nëhumbja e rrënjëve .

SHEMBUJ. Ekuacioni 7x = 35 ka një rrënjë të vetmex = 5 .

Duke kuadruar të dyja anët e këtij ekuacioni, marrim

ekuacioni:

49 x 2 = 1225 .

me dy rrënjë:x = 5 Dhex = – 5. Vlera e fundit

është një rrënjë e jashtme.

E pasaktë duke marrë rrënjën katrore të të dyjave

pjesët e ekuacionit 49x 2 = 1225 rezulton në 7x = 35,

dhe ne po humbasim rrënjët tonax = – 5.

E sakte marrja e rrënjës katrore rezulton në

ekuacioni: | 7x | = 35, A pra në dy raste:

1) 7 x = 35, Pastajx = 5 ; 2) – 7 x = 35, Pastajx = – 5 .

Prandaj, kurkorrekte nxjerrje katror

rrënjët nuk i humbim rrënjët e ekuacionit.

çfarë do të thotëE drejta nxjerr rrënjën? Këtu takohemi

me një koncept shumë të rëndësishëmrrënjë aritmetike

(cm. ).

Tema e ekuacioneve trigonometrike fillon me një leksion shkollor, i cili është strukturuar në formën e një bashkëbisedimi heuristik. Leksioni diskuton materialin teorik dhe shembuj të zgjidhjes së të gjitha problemeve tipike sipas planit:

• Ekuacionet më të thjeshta trigonometrike.
• Metodat themelore për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.
• Ekuacionet homogjene.

Në mësimet në vijim fillon zhvillimi i pavarur i aftësive, bazuar në zbatimin e parimit të veprimtarisë së përbashkët mes mësuesit dhe nxënësit. Së pari, për studentët vendosen synimet, d.m.th. përcaktohet se kush nuk dëshiron të dijë më shumë se çfarë kërkohet nga standardi shtetëror dhe kush është i gatshëm të bëjë më shumë.

Diagnoza përfundimtare krijohet duke marrë parasysh diferencimin e nivelit, i cili u lejon studentëve të përcaktojnë me vetëdije njohuritë minimale që janë të nevojshme për të marrë notën "3". Bazuar në këtë, zgjidhen materiale shumë nivele për të diagnostikuar njohuritë e studentëve. Një punë e tillë lejon një qasje individuale ndaj studentëve, duke përfshirë të gjithë në aktivitetet e të mësuarit të ndërgjegjshëm, zhvillimin e aftësive të vetëorganizimit dhe vetë-mësimit dhe sigurimin e një kalimi në të menduarit aktiv dhe të pavarur.

Seminari zhvillohet pas ushtrimit të aftësive bazë të zgjidhjes së ekuacioneve trigonometrike. Disa orë para seminarit, studentëve u jepen pyetje që do të diskutohen gjatë seminarit.

Seminari përbëhet nga tre pjesë.

1. Pjesa hyrëse mbulon të gjithë materialin teorik, duke përfshirë një hyrje në problemet që do të dalin gjatë zgjidhjes së ekuacioneve komplekse.

2. Pjesa e dytë diskuton zgjidhjen e ekuacioneve të formës:

• dhe cosx + bsinx = c.
• a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• ekuacione të zgjidhshme duke ulur shkallën.

Këto ekuacione përdorin zëvendësimin universal, formulat e reduktimit të shkallës dhe metodën e argumentit ndihmës.

3. Pjesa e tretë trajton problemet e humbjes së rrënjëve dhe përvetësimin e rrënjëve të jashtme. Tregon se si të zgjidhni rrënjët.

Nxënësit punojnë në grupe. Për të zgjidhur shembujt, thirren djem të trajnuar mirë, të cilët mund të tregojnë dhe shpjegojnë materialin.

Seminari është projektuar për një student të përgatitur mirë, sepse... ai trajton çështje disi përtej qëllimit të materialit programor. Ai përfshin ekuacione të një forme më komplekse dhe trajton veçanërisht problemet që hasen në zgjidhjen e ekuacioneve komplekse trigonometrike.

Seminari u mbajt për nxënësit e klasave 10-11. Secili nxënës pati mundësinë të zgjeronte dhe thellonte njohuritë e tij mbi këtë temë, të krahasonte nivelin e njohurive të tij jo vetëm me kërkesat për një maturant, por edhe me kërkesat për ata që hyjnë në V.U.Z.

SEMINAR

Tema:"Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike"

Qëllimet:

• Përgjithësoni njohuritë për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike të të gjitha llojeve.
• Fokusimi në problemet: humbja e rrënjëve;

rrënjët e jashtme; përzgjedhja e rrënjës.

PËRPARIMI I ORËS MËSIMORE.

I. Pjesa hyrëse

• 1. Metodat bazë për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike
• Faktorizimi.
• Prezantimi i një ndryshoreje të re.

Metoda grafike funksionale.

• 2. Disa lloje ekuacionesh trigonometrike.

Ekuacione që reduktohen në ekuacione kuadratike në lidhje me cos x = t, sin x = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

• Ato zgjidhen duke futur një ndryshore të re.

Ekuacione homogjene të shkallës së parë dhe të dytë Ekuacioni i shkallës së parë:

Asinx + Bcosx = 0 pjesëtojeni me cos x, marrim Atg x + B = 0 Ekuacioni i shkallës së dytë:

Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 pjesëtojeni me cos 2 x, marrim Atg 2 x + Btgx + C = 0

Ato zgjidhen me faktorizim dhe duke futur një ndryshore të re.

• Të gjitha metodat zbatohen.

Ulje:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Zgjidhet me metodën e faktorizimit.

• 2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C. Ekuacioni i formës:

A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Reduktuar në katror në lidhje me t = sinx + cosx;

sin2x = t 2 – 1.

• 3. Formulat.
• x + 2n; Kërkohet kontroll!

Shkalla në rënie: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2

Metoda e argumentit ndihmës.

Zëvendësoni Acosx + Bsinx me Csin (x + ), ku sin = a/C; cos=v/c;

• – argument ndihmës.
• 4. Rregullat.
• Nëse shihni një katror, ​​uleni shkallën.

Nëse shihni një copë, bëni një shumë.

• Humbja e rrënjëve: pjesëto me g(x); formula të rrezikshme (zëvendësimi universal). Me këto operacione ne ngushtojmë fushën e përkufizimit.

• Rrënjët e tepërta: të ngritura në një fuqi të barabartë; shumëzohet me g(x) (liro emëruesin).

Me këto operacione ne zgjerojmë fushën e përkufizimit.

II. Shembuj të ekuacioneve trigonometrike

1) 1. Ekuacionet e formës Asinx + Bcosx = C

Zëvendësimi universal.O.D.Z. x – çdo.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = arktan (–1/3) + k, k Z. Ekzaminimi:

3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. Është rrënja e ekuacionit. Përgjigje:

2) x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

Metoda funksionale-grafike. O.D.Z. x – çdo.
Sinx – cosx = 1

Sinx = cosx + 1.

x = /2 + n, n e Z. Është rrënja e ekuacionit. Le të vizatojmë funksionet: y = sinx, y = cosx + 1.

3) x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

Paraqitja e një argumenti ndihmës. O.D.Z.: x – ndonjë.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, sepse (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, atëherë ekziston e tillë që mëkati = 8/17,

x = /2 + n, n e Z. Është rrënja e ekuacionit. cos = 15/17, që do të thotë mëkat cosx + sinx cos = 1; = harku 8/17.

x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – hark 8/17, n Z.

2. Reduktimi i rendit: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). mëkat 2 3x + mëkat 2 4x + mëkat 2 6x + mëkat 2 7x = 2. O.D.Z.: x – ndonjë.
1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0

x = /2 + n, n e Z. Është rrënja e ekuacionit. cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

seritë janë të njëjta.

3. Reduktimi në homogjenitet. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.
1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – çdo.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) nuk mund të pjesëtohet me cos 2 x, pasi humbasim rrënjët.
cos 2 x = 0 plotëson ekuacionin.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.

x = /2 + n, n e Z. Është rrënja e ekuacionit. x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Ekuacioni i formës: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.
1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – çdo.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1. < 2
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t |
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = mëkat (x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;

x = /2 + n, n e Z. Është rrënja e ekuacionit. x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

x = (–1) k hark (1/22) – /4 + k, k Z.

5. Faktorizimi.
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, pa rrënjë.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

x = /2 + n, n e Z. Është rrënja e ekuacionit. x = arctan(1/2) + n, n Z.

III. Problemet që dalin gjatë zgjidhjes së ekuacioneve trigonometrike

1. Humbja e rrënjëve: pjesëto me g(x); Ne përdorim formula të rrezikshme.

1) Gjeni gabimin.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – formula cosx = 2sin 2 x/2.
2 mëkat 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 pjesëto me 2 mëkat 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
Rrënjët e humbura sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Zgjidhja e duhur: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

2. Rrënjët e huaja: heqim qafe emëruesin; ngrihet në një fuqi të barabartë.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3 / 2.

2cos3x sinx – cos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1) (2sinx – 1) = 0

x = /2 + n, n e Z. Është rrënja e ekuacionit. x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

§ 1. RRENJET E HUMBURA DHE TE SHKARTUARA KUR ZGJIDHEN EKUACIONET (ME SHEMBUJ)

MATERIALI REFERENT

1. Dy teorema në § 3 të Kapitullit VII folën për veprimet në ekuacione që nuk cenojnë ekuivalencën e tyre.

2. Le të shqyrtojmë tani operacione të tilla mbi ekuacionet që mund të çojnë në një ekuacion të ri që është i pabarabartë me ekuacionin origjinal. Në vend të konsideratave të përgjithshme, ne do të kufizohemi në shqyrtimin e vetëm shembujve specifikë.

3. Shembulli 1. Le të hapim kllapat në këtë ekuacion, të zhvendosim të gjithë termat në anën e majtë dhe të zgjidhim ekuacionin kuadratik. Rrënjët e saj janë

Nëse zvogëloni të dyja anët e ekuacionit me një faktor të përbashkët, ju merrni një ekuacion që është i pabarabartë me atë origjinal, pasi ka vetëm një rrënjë

Kështu, zvogëlimi i të dy anëve të ekuacionit me një faktor që përmban të panjohurën mund të rezultojë në humbjen e rrënjëve të ekuacionit.

4. Shembulli 2. Duke pasur parasysh një ekuacion, ky ekuacion ka një rrënjë të vetme, dhe ne gjejmë dy rrënjë.

Ne shohim se ekuacioni i ri nuk është i barabartë me ekuacionin origjinal

5. Rrënjët e jashtme mund të shfaqen gjithashtu kur të dyja anët e ekuacionit shumëzohen me një faktor që përmban një të panjohur, nëse ky faktor zhduket për vlerat reale të x.

Shembulli 3. Nëse i shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me atëhere marrim një ekuacion të ri i cili, pas transferimit të termit nga ana e djathtë në të majtë dhe faktorizimit të tij, jep një ekuacion nga njëra

Rrënja nuk plotëson një ekuacion që ka vetëm një rrënjë

Nga këtu arrijmë në përfundimin: kur kuadroni të dy anët e ekuacionit (në përgjithësi në një fuqi të barabartë), si dhe kur shumëzoni me një faktor që përmban një të panjohur dhe që zhduket në vlera reale të së panjohurës, mund të shfaqen rrënjë të jashtme.

Të gjitha konsideratat e shprehura këtu për çështjen e humbjes dhe shfaqjes së rrënjëve të jashtme të një ekuacioni zbatohen në mënyrë të barabartë për çdo ekuacion (algjebrik, trigonometrik, etj.).

6. Ekuacioni quhet algjebrik nëse mbi të panjohurën kryhen vetëm veprime algjebrike - mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim, fuqizim dhe nxjerrje rrënjë me një eksponent natyror (dhe numri i veprimeve të tilla është i fundëm).

Kështu, për shembull, ekuacionet

janë algjebrike, dhe ekuacionet

Transformimet e mëposhtme përdoren më shpesh gjatë zgjidhjes së ekuacioneve:

Transformime të tjera

Në listën e paraqitur në paragrafin e mëparshëm, qëllimisht nuk kemi përfshirë transformime të tilla si ngritja e të dy anëve të ekuacionit në të njëjtën fuqi natyrore, logaritmi, fuqizimi i të dy anëve të ekuacionit, nxjerrja e rrënjës së një shkalle nga të dyja anët e ekuacionit. , duke u çliruar nga një funksion i jashtëm dhe të tjera. Fakti është se këto transformime nuk janë aq të përgjithshme: transformimet nga lista e mësipërme përdoren për të zgjidhur ekuacionet e të gjitha llojeve, dhe transformimet e sapo përmendura përdoren për të zgjidhur disa lloje ekuacionesh (iracionale, eksponenciale, logaritmike, etj.). Ato diskutohen në detaje në kuadër të metodave përkatëse për zgjidhjen e llojeve përkatëse të ekuacioneve. Këtu janë lidhjet me përshkrimet e tyre të hollësishme:

• Ngritja e të dy anëve të një ekuacioni në të njëjtën fuqi natyrore.
• Marrja e logaritmeve të të dy anëve të ekuacionit.
• Potencimi i të dy anëve të ekuacionit.
• Nxjerrja e rrënjës së së njëjtës fuqi nga të dyja anët e një ekuacioni.
• Zëvendësimi i një shprehjeje që korrespondon me një nga pjesët e ekuacionit origjinal me një shprehje nga një pjesë tjetër e ekuacionit origjinal.

Lidhjet e dhëna përmbajnë informacion të plotë mbi transformimet e listuara. Prandaj, ne nuk do të ndalemi më në to në këtë artikull. I gjithë informacioni i mëpasshëm zbatohet për transformimet nga lista e transformimeve bazë.

Cili është rezultati i transformimit të ekuacionit?

Kryerja e të gjitha transformimeve të mësipërme mund të japë ose një ekuacion që ka të njëjtat rrënjë si ekuacioni origjinal, ose një ekuacion, rrënjët e të cilit përmbajnë të gjitha rrënjët e ekuacionit origjinal, por që mund të ketë edhe rrënjë të tjera, ose një ekuacion, rrënjët e të cilit nuk do të përfshijnë të gjitha rrënjët e ekuacionit të transformuar. Në paragrafët e mëposhtëm do të analizojmë se cili prej këtyre transformimeve, në cilat kushte, çon në cilat ekuacione. Kjo është jashtëzakonisht e rëndësishme të dihet për zgjidhjen me sukses të ekuacioneve.

Shndërrimet ekuivalente të ekuacioneve

Me interes të veçantë janë transformimet e ekuacioneve që rezultojnë në ekuacione ekuivalente, domethënë ekuacione që kanë të njëjtin grup rrënjësh si ekuacioni origjinal. Shndërrime të tilla quhen transformimet ekuivalente. Në tekstet shkollore, përkufizimi përkatës nuk është dhënë në mënyrë eksplicite, por është e lehtë të lexohet nga konteksti:

Përkufizimi

Shndërrimet ekuivalente të ekuacioneve janë shndërrime që japin ekuacione ekuivalente.

Pra, pse transformimet ekuivalente janë interesante? Fakti është se nëse me ndihmën e tyre është e mundur të vijmë nga ekuacioni që zgjidhet në një ekuacion ekuivalent mjaft të thjeshtë, atëherë zgjidhja e këtij ekuacioni do t'i japë zgjidhjen e dëshiruar ekuacionit origjinal.

Nga transformimet e renditura në paragrafin e mëparshëm, jo ​​të gjitha janë gjithmonë ekuivalente. Disa transformime janë ekuivalente vetëm në kushte të caktuara. Le të bëjmë një listë pohimesh që përcaktojnë se cilat transformime dhe në cilat kushte janë transformime ekuivalente të ekuacionit. Për ta bërë këtë, do të marrim për bazë listën e mësipërme dhe transformimeve që nuk janë gjithmonë ekuivalente, do t'u shtojmë kushte që u japin atyre ekuivalencë. Këtu është lista:

• Zëvendësimi i një shprehjeje në anën e majtë ose të djathtë të një ekuacioni me një shprehje që nuk ndryshon variablat për ekuacionin është një transformim ekuivalent i ekuacionit.

Le të shpjegojmë pse është kështu. Për ta bërë këtë, marrim një ekuacion me një ndryshore (arsyetim i ngjashëm mund të kryhet për ekuacione me disa ndryshore) të formës A(x)=B(x), shprehjet në anën e majtë dhe të djathtë të saj i shënuam si A( x) dhe B(x), respektivisht. Le të jetë shprehja C(x) identike e barabartë me shprehjen A(x), dhe ODZ e ndryshores x të ekuacionit C(x)=B(x) përkon me ODZ të ndryshores x për ekuacionin origjinal. Le të vërtetojmë se shndërrimi i ekuacionit A(x)=B(x) në ekuacionin C(x)=B(x) është një transformim ekuivalent, pra do të vërtetojmë se ekuacionet A(x)=B (x) dhe C(x) =B(x) janë ekuivalente.

Për ta bërë këtë, mjafton të tregohet se çdo rrënjë e ekuacionit origjinal është një rrënjë e ekuacionit C(x)=B(x), dhe çdo rrënjë e ekuacionit C(x)=B(x) është një rrënjë të ekuacionit origjinal.

Le të fillojmë me pjesën e parë. Le të jetë q rrënja e ekuacionit A(x)=B(x), atëherë kur ta zëvendësojmë me x do të marrim barazinë numerike të saktë A(q)=B(q) . Meqenëse shprehjet A(x) dhe C(x) janë identike të barabarta dhe shprehja C(q) ka kuptim (kjo rrjedh nga kushti që OD për ekuacionin C(x)=B(x) përkon me OD për ekuacioni origjinal) , atëherë barazia numerike A(q)=C(q) është e vërtetë. Më pas përdorim vetitë e barazive numerike. Për shkak të vetive të simetrisë, barazia A(q)=C(q) mund të rishkruhet si C(q)=A(q) . Më pas, për shkak të vetive kalimtare, barazitë C(q)=A(q) dhe A(q)=B(q) nënkuptojnë barazinë C(q)=B(q). Kjo vërteton se q është rrënja e ekuacionit C(x)=B(x) .

Pjesa e dytë, dhe bashkë me të e gjithë deklarata në tërësi, vërtetohet në mënyrë absolutisht analoge.

Thelbi i transformimit ekuivalent të analizuar është si vijon: ju lejon të punoni veçmas me shprehjet në anën e majtë dhe të djathtë të ekuacioneve, duke i zëvendësuar ato me shprehje identike të barabarta në ODZ origjinale të variablave.

Shembulli më i parëndësishëm: mund të zëvendësojmë shumën e numrave në anën e djathtë të ekuacionit x=2+1 me vlerën e tij, e cila do të rezultojë në një ekuacion ekuivalent të formës x=3. Në të vërtetë, ne zëvendësuam shprehjen 2+1 me shprehjen identike të barabartë 3, dhe ODZ e ekuacionit nuk ndryshoi. Një shembull tjetër: në anën e majtë të ekuacionit 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 mundemi, dhe në të djathtë – , që do të na çojë në ekuacionin ekuivalent 3·x+ 6=5·x+ 3. Ekuacioni që rezulton është me të vërtetë ekuivalent, pasi ne i zëvendësuam shprehjet me shprehje identike të barabarta dhe në të njëjtën kohë morëm një ekuacion që ka një OD që përkon me OD për ekuacionin origjinal.

• Shtimi i të njëjtit numër në të dy anët e një ekuacioni ose zbritja e të njëjtit numër nga të dy anët e një ekuacioni është një transformim ekuivalent i ekuacionit.

Le të vërtetojmë se duke shtuar të njëjtin numër c në të dy anët e ekuacionit A(x)=B(x) jepet ekuacioni ekuivalent A(x)+c=B(x)+c dhe se duke zbritur nga të dyja anët e ekuacionit A(x) =B(x) i të njëjtit numër c jep ekuacionin ekuivalent A(x)−c=B(x)−c.

Le të jetë q rrënja e ekuacionit A(x)=B(x), atëherë barazia A(q)=B(q) është e vërtetë. Vetitë e barazive numerike na lejojnë të shtojmë në të dy anët e një barazie të vërtetë numerike ose të zbresim të njëjtin numër nga pjesët e tij. Le ta shënojmë këtë numër si c, atëherë barazitë A(q)+c=B(q)+c dhe A(q)−c=B(q)−c janë të vlefshme. Nga këto barazime del se q është rrënja e ekuacionit A(x)+c=B(x)+c dhe ekuacioni A(x)−c=B(x)−c.

Tani kthehu. Le të jetë q rrënja e ekuacionit A(x)+c=B(x)+c dhe ekuacioni A(x)−c=B(x)−c, pastaj A(q)+c=B(q) +c dhe A (q)−c=B(q)−c. Ne e dimë se zbritja e të njëjtit numër nga të dy anët e një barazie të vërtetë numerike prodhon një barazi të vërtetë numerike. Ne gjithashtu e dimë se shtimi i barazisë së saktë numerike në të dyja anët jep barazinë numerike të saktë. Le të zbresim numrin c nga të dy anët e barazisë së saktë numerike A(q)+c=B(q)+c dhe të shtojmë numrin c në të dy anët e barazisë A(x)−c=B(x) −c. Kjo do të na japë barazitë numerike të sakta A(q)+c−c=B(q)+c−c dhe A(q)−c+c=B(q)+c−c, nga të cilat arrijmë në përfundimin se A (q) =B(q) . Nga barazimi i fundit del se q është rrënja e ekuacionit A(x)=B(x) .

Kjo vërteton deklaratën origjinale në tërësi.

Le të japim një shembull të një transformimi të tillë të ekuacioneve. Marrim ekuacionin x−3=1 dhe e transformojmë duke shtuar numrin 3 në të dyja anët, pas së cilës marrim ekuacionin x−3+3=1+3, i cili është i barabartë me atë origjinal. Është e qartë se në ekuacionin që rezulton mund të kryeni veprime me numra, siç e diskutuam në paragrafin e mëparshëm të listës, si rezultat kemi ekuacionin x=4. Pra, duke kryer transformime ekuivalente, zgjidhëm rastësisht ekuacionin x−3=1, rrënja e tij është numri 4. Transformimi i konsideruar ekuivalent përdoret shumë shpesh për të hequr qafe termat numerikë identikë të vendosur në pjesë të ndryshme të ekuacionit. Për shembull, në të dyja anët e majta dhe të djathta të ekuacionit x 2 +1=x+1 ekziston i njëjti term 1, duke zbritur numrin 1 nga të dy anët e ekuacionit na lejon të kalojmë në ekuacionin ekuivalent x 2 + 1−1=x+1−1 dhe më tej në ekuacionin ekuivalent x 2 =x, dhe në këtë mënyrë hiqni qafe këto terma identikë.

• Shtimi në të dy anët e ekuacionit ose zbritja nga të dyja anët e ekuacionit të një shprehjeje për të cilën ODZ nuk është më e ngushtë se ODZ për ekuacionin origjinal është një transformim ekuivalent.

Le ta vërtetojmë këtë deklaratë. Domethënë, vërtetojmë se ekuacionet A(x)=B(x) dhe A(x)+C(x)=B(x)+C(x) janë ekuivalente, me kusht që ODZ për shprehjen C(x ) nuk është tashmë , se ODZ për ekuacionin A(x)=B(x) .

Së pari vërtetojmë një pikë ndihmëse. Le të vërtetojmë se në kushtet e specifikuara ekuacionet ODZ para dhe pas transformimit janë të njëjta. Në të vërtetë, ODZ për ekuacionin A(x)+C(x)=B(x)+C(x) mund të konsiderohet si kryqëzimi i ODZ për ekuacionin A(x)=B(x) dhe ODZ për shprehjen C(x). Nga kjo dhe nga fakti se ODZ për shprehjen C(x) nuk është më e ngushtë nga kushti se ODZ për ekuacionin A(x)=B(x), rrjedh se ODZ për ekuacionet A(x)= B(x) dhe A (x)+C(x)=B(x)+C(x) janë të njëjta.

Tani do të vërtetojmë ekuivalencën e ekuacioneve A(x)=B(x) dhe A(x)+C(x)=B(x)+C(x), me kusht që vargjet e vlerave të pranueshme për këto ekuacionet janë të njëjta. Ne nuk do të japim një provë të ekuivalencës së ekuacioneve A(x)=B(x) dhe A(x)−C(x)=B(x)−C(x) në kushtin e specifikuar, pasi është i ngjashëm .

Le të jetë q rrënja e ekuacionit A(x)=B(x), atëherë barazia numerike A(q)=B(q) është e vërtetë. Meqenëse ODZ e ekuacioneve A(x)=B(x) dhe A(x)+C(x)=B(x)+C(x) janë të njëjta, atëherë shprehja C(x) ka kuptim në x =q, që do të thotë C(q) është një numër. Nëse shtojmë C(q) në të dy anët e barazisë numerike të saktë A(q)=B(q), kjo do të japë pabarazinë numerike të saktë A(q)+C(q)=B(q)+C(q ) , nga ku del se q është rrënja e ekuacionit A(x)+C(x)=B(x)+C(x) .

Mbrapa. Le të jetë q rrënja e ekuacionit A(x)+C(x)=B(x)+C(x), atëherë A(q)+C(q)=B(q)+C(q) është një barazi e vërtetë numerike. Ne e dimë se zbritja e të njëjtit numër nga të dy anët e një barazie të vërtetë numerike prodhon një barazi të vërtetë numerike. Zbrit C(q) nga të dy anët e barazisë A(q)+C(q)=B(q)+C(q), kjo jep A(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q) dhe më tej A(q)=B(q) . Prandaj, q është rrënja e ekuacionit A(x)=B(x) .

Kështu, pohimi në fjalë vërtetohet plotësisht.

Le të japim një shembull të këtij transformimi. Le të marrim ekuacionin 2 x+1=5 x+2. Mund t'i shtojmë të dyja anët, për shembull, shprehjen −x−1. Shtimi i kësaj shprehjeje nuk do të ndryshojë ODZ, që do të thotë se një transformim i tillë është ekuivalent. Si rezultat i kësaj, marrim ekuacionin ekuivalent 2 x+1+(−x−1)=5 x+2+(−x−1). Ky ekuacion mund të transformohet më tej: hapni kllapat dhe zvogëloni termat e ngjashëm në anën e majtë dhe të djathtë të tij (shih artikullin e parë në listë). Pas kryerjes së këtyre veprimeve fitojmë barazimin ekuivalent x=4·x+1. Transformimi i ekuacioneve të konsideruara shpesh përdoret për të hequr qafe termat identikë që janë njëkohësisht në anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit.

• Nëse zhvendosni një term në një ekuacion nga një pjesë në tjetrën, duke ndryshuar shenjën e këtij termi në të kundërtën, do të merrni një ekuacion të barabartë me atë të dhënë.

Kjo deklaratë është pasojë e atyre të mëparshme.

Le të tregojmë se si kryhet ky transformim ekuivalent i ekuacionit. Le të marrim ekuacionin 3·x−1=2·x+3. Le ta zhvendosim termin, për shembull, 2 x nga ana e djathtë në të majtë, duke ndryshuar shenjën e tij. Në këtë rast, marrim ekuacionin ekuivalent 3·x−1−2·x=3. Ju gjithashtu mund të lëvizni minus një nga ana e majtë e ekuacionit në të djathtë, duke ndryshuar shenjën në plus: 3 x−2 x=3+1. Së fundi, sjellja e termave të ngjashëm na çon në ekuacionin ekuivalent x=4.

• Shumëzimi ose pjesëtimi i të dy anëve të një ekuacioni me të njëjtin numër jozero është një transformim ekuivalent.

Le të japim një provë.

Le të jetë A(x)=B(x) një ekuacion dhe c një numër i ndryshëm nga zero. Le të vërtetojmë se shumëzimi ose pjesëtimi i të dyja anëve të ekuacionit A(x)=B(x) me numrin c është një transformim ekuivalent i ekuacionit. Për ta bërë këtë, vërtetojmë se ekuacionet A(x)=B(x) dhe A(x) c=B(x) c, si dhe ekuacionet A(x)=B(x) dhe A(x) :c= B(x):c - ekuivalent. Kjo mund të bëhet në këtë mënyrë: vërtetoni se çdo rrënjë e ekuacionit A(x)=B(x) është një rrënjë e ekuacionit A(x) c=B(x) c dhe një rrënjë e ekuacionit A(x) :c=B(x) :c, dhe më pas vërtetoni se çdo rrënjë e ekuacionit A(x) c=B(x) c, si çdo rrënjë e ekuacionit A(x):c=B(x):c është një rrënjë e ekuacionit A(x) =B(x) . Le ta bëjmë këtë.

Le të jetë q rrënja e ekuacionit A(x)=B(x) . Atëherë barazia numerike A(q)=B(q) është e vërtetë. Pasi kemi studiuar vetitë e barazive numerike, mësuam se shumëzimi ose pjesëtimi i të dy anëve të një barazie të vërtetë numerike me të njëjtin numër të ndryshëm nga zero çon në një barazi të vërtetë numerike. Duke shumëzuar të dyja anët e barazisë A(q)=B(q) me c, fitojmë barazinë numerike të saktë A(q) c=B(q) c, nga e cila rezulton se q është rrënja e ekuacionit A( x) c= B(x)·c . Dhe duke pjesëtuar të dyja anët e barazisë A(q)=B(q) me c, marrim barazinë numerike të saktë A(q):c=B(q):c, nga e cila rezulton se q është rrënja e ekuacioni A(x):c =B(x):c .

Tani në drejtimin tjetër. Le të jetë q rrënja e ekuacionit A(x)·c=B(x)·c. Atëherë A(q)·c=B(q)·c është një barazi e vërtetë numerike. Duke i pjesëtuar të dyja pjesët e tij me një numër c jozero, fitojmë barazinë numerike të saktë A(q)·c:c=B(q)·c:c dhe më tej A(q)=B(q) . Nga kjo rrjedh se q është rrënja e ekuacionit A(x)=B(x) . Nëse q është rrënja e ekuacionit A(x):c=B(x):c . Atëherë A(q):c=B(q):c është një barazi e vërtetë numerike. Duke i shumëzuar të dyja pjesët e tij me një numër c jozero, fitojmë barazinë numerike të saktë A(q):c·c=B(q):c·c dhe më tej A(q)=B(q) . Nga kjo rrjedh se q është rrënja e ekuacionit A(x)=B(x) .

Deklarata është vërtetuar.

Le të japim një shembull të këtij transformimi. Me ndihmën e tij, për shembull, mund të shpëtoni nga fraksionet në ekuacion. Për ta bërë këtë, ju mund të shumëzoni të dy anët e ekuacionit me 12. Rezultati është një ekuacion ekuivalent i formës , i cili më pas mund të shndërrohet në ekuacionin ekuivalent 7 x−3=10, i cili nuk përmban thyesa në shënimin e tij.

• Shumëzimi ose pjesëtimi i të dy anëve të një ekuacioni me të njëjtën shprehje, OD për të cilën nuk është më e ngushtë se OD për ekuacionin origjinal dhe nuk zhduket me OD për ekuacionin origjinal, është një transformim ekuivalent.

Le ta vërtetojmë këtë deklaratë. Për ta bërë këtë, vërtetojmë se nëse ODZ për shprehjen C(x) nuk është më e ngushtë se ODZ për ekuacionin A(x)=B(x), dhe C(x) nuk zhduket në ODZ për ekuacionin A(x)=B( x) , pastaj ekuacionet A(x)=B(x) dhe A(x) C(x)=B(x) C(x), si dhe ekuacionet A(x) =B(x) dhe A( x):C(x)=B(x):C(x) - ekuivalent.

Le të jetë q rrënja e ekuacionit A(x)=B(x) . Atëherë A(q)=B(q) është një barazi e vërtetë numerike. Nga fakti që ODZ për shprehjen C(x) nuk është i njëjti ODZ për ekuacionin A(x)=B(x), rrjedh se shprehja C(x) ka kuptim kur x=q. Kjo do të thotë se C(q) është një numër. Për më tepër, C(q) është jozero, gjë që rrjedh nga kushti që shprehja C(x) të mos zhduket. Nëse i shumëzojmë të dyja anët e barazisë A(q)=B(q) me një numër jozero C(q), kjo do të japë barazinë numerike të saktë A(q) C(q)=B(q) C( q), nga ku del se q është rrënja e ekuacionit A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Nëse i ndajmë të dyja anët e barazisë A(q)=B(q) me një numër jozero C(q), kjo do të japë barazinë numerike të saktë A(q):C(q)=B(q): C(q) , nga ku del se q është rrënja e ekuacionit A(x):C(x)=B(x):C(x) .

Mbrapa. Le të jetë q rrënja e ekuacionit A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Atëherë A(q)·C(q)=B(q)·C(q) është një barazi e vërtetë numerike. Vini re se ODZ për ekuacionin A(x) C(x)=B(x) C(x) është i njëjtë me ODZ për ekuacionin A(x)=B(x) (e kemi justifikuar këtë në një nga lista aktuale e paragrafëve të mëparshëm). Meqenëse C(x) sipas kushtit nuk zhduket në ODZ për ekuacionin A(x)=B(x), atëherë C(q) është një numër jozero. Duke pjesëtuar të dyja anët e barazisë A(q)·C(q)=B(q)·C(q) me një numër jozero C(q), marrim barazinë numerike të saktë. A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q) dhe më tej A(q)=B(q) . Nga kjo rrjedh se q është rrënja e ekuacionit A(x)=B(x) . Nëse q është rrënja e ekuacionit A(x):C(x)=B(x):C(x) . Atëherë A(q):C(q)=B(q):C(q) është një barazi e vërtetë numerike. Duke shumëzuar të dyja anët e barazisë A(q):C(q)=B(q):C(q) me një numër jozero C(q) marrim barazinë numerike të saktë A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q) dhe më tej A(q)=B(q) . Nga kjo rrjedh se q është rrënja e ekuacionit A(x)=B(x) .

Deklarata është vërtetuar.

Për qartësi, ne japim një shembull të kryerjes së një transformimi të çmontuar. Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) me shprehjen x 2 +1. Ky transformim është ekuivalent, pasi shprehja x 2 +1 nuk zhduket në OD për ekuacionin origjinal dhe OD e kësaj shprehjeje nuk është më e ngushtë se OD për ekuacionin origjinal. Si rezultat i këtij transformimi, marrim ekuacionin ekuivalent x 3 ·(x 2 +1):(x 2 +1)=8·(x 2 +1):(x 2 +1), i cili mund të transformohet më tej në ekuacionin ekuivalent x 3 =8.

Transformimet që çojnë në ekuacione përfunduese

Në paragrafin e mëparshëm, ne shqyrtuam se cilat transformime nga lista e transformimeve bazë dhe në cilat kushte janë ekuivalente. Tani le të shohim se cili prej këtyre transformimeve dhe në çfarë kushtesh çon në ekuacione rrjedhëse, domethënë në ekuacione që përmbajnë të gjitha rrënjët e ekuacionit të transformuar, por përveç tyre mund të kenë edhe rrënjë të tjera - rrënjë të jashtme për ekuacionin origjinal.

Transformimet që çojnë në ekuacione rrjedhëse janë të kërkuara jo më pak se transformimet ekuivalente. Nëse me ndihmën e tyre është e mundur të merret një ekuacion mjaft i thjeshtë për sa i përket zgjidhjes, atëherë zgjidhja e tij dhe eliminimi i mëvonshëm i rrënjëve të jashtme do t'i japë një zgjidhje ekuacionit origjinal.

Vini re se të gjitha transformimet ekuivalente mund të konsiderohen raste të veçanta të transformimeve që çojnë në ekuacione rrjedhëse. Kjo është e kuptueshme, sepse një ekuacion ekuivalent është një rast i veçantë i një ekuacioni rrjedhës. Por nga pikëpamja praktike, është më e dobishme të dihet se transformimi në shqyrtim është saktësisht ekuivalent dhe nuk çon në një ekuacion përfundues. Le të shpjegojmë pse është kështu. Nëse e dimë se transformimi është ekuivalent, atëherë ekuacioni që rezulton nuk do të ketë rrënjë të jashtme të ekuacionit origjinal. Dhe transformimi që çon në ekuacionin pasardhës mund të jetë shkaku i shfaqjes së rrënjëve të jashtme, gjë që na detyron në të ardhmen të kryejmë një veprim shtesë - duke shoshitur rrënjët e jashtme. Prandaj, në këtë pjesë të artikullit do të përqendrohemi në transformimet, si rezultat i të cilave mund të shfaqen rrënjë të jashtme për ekuacionin origjinal. Dhe është vërtet e rëndësishme të jesh në gjendje të dallosh transformime të tilla nga transformimet ekuivalente në mënyrë që të kuptojmë qartë kur është e nevojshme të filtrohen rrënjët e jashtme dhe kur kjo nuk është e nevojshme.

Le të analizojmë të gjithë listën e transformimeve bazë të ekuacioneve të dhëna në paragrafin e dytë të këtij artikulli për të kërkuar transformime, si rezultat i të cilave mund të shfaqen rrënjë të jashtme.

• Zëvendësimi i shprehjeve në anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit me shprehje identike të barabarta.

Ne kemi vërtetuar se ky transformim është ekuivalent nëse zbatimi i tij nuk ndryshon ODZ-në. Dhe nëse DL ndryshon, çfarë do të ndodhë? Ngushtimi i ODZ mund të çojë në humbjen e rrënjëve, kjo do të diskutohet më në detaje në paragrafin tjetër. Dhe me zgjerimin e ODZ, mund të shfaqen rrënjë të jashtme. Nuk është e vështirë ta justifikosh këtë. Le të paraqesim arsyetimin përkatës.

Le të jetë shprehja C(x) e tillë që të jetë identike e barabartë me shprehjen A(x) dhe OD për ekuacionin C(x)=B(x) është më e gjerë se OD për ekuacionin A(x)=B (x). Le të vërtetojmë se ekuacioni C(x)=B(x) është pasojë e ekuacionit A(x)=B(x), dhe se midis rrënjëve të ekuacionit C(x)=B(x) mund të ketë të jenë rrënjë që janë të huaja për ekuacionin A( x)=B(x) .

Le të jetë q rrënja e ekuacionit A(x)=B(x) . Atëherë A(q)=B(q) është një barazi e vërtetë numerike. Meqenëse ODZ për ekuacionin C(x)=B(x) është më i gjerë se ODZ për ekuacionin A(x)=B(x), atëherë shprehja C(x) përcaktohet në x=q. Pastaj, duke marrë parasysh barazinë identike të shprehjeve C(x) dhe A(x) , arrijmë në përfundimin se C(q)=A(q) . Nga barazimet C(q)=A(q) dhe A(q)=B(q), për shkak të vetive kalimtare, vijon barazia C(q)=B(q). Nga kjo barazi del se q është rrënja e ekuacionit C(x)=B(x) . Kjo dëshmon se në kushtet e specifikuara ekuacioni C(x)=B(x) është pasojë e ekuacionit A(x)=B(x) .

Mbetet të vërtetohet se ekuacioni C(x)=B(x) mund të ketë rrënjë të ndryshme nga rrënjët e ekuacionit A(x)=B(x). Le të vërtetojmë se çdo rrënjë e ekuacionit C(x)=B(x) nga ODZ për ekuacionin A(x)=B(x) është një rrënjë e ekuacionit A(x)=B(x). Shtegu p është rrënja e ekuacionit C(x)=B(x), që i përket ODZ për ekuacionin A(x)=B(x). Atëherë C(p)=B(p) është një barazi e vërtetë numerike. Meqenëse p i përket ODZ-së për ekuacionin A(x)=B(x), atëherë shprehja A(x) përcaktohet për x=p. Nga kjo dhe nga barazia identike e shprehjeve A(x) dhe C(x) del se A(p)=C(p) . Nga barazitë A(p)=C(p) dhe C(p)=B(p), për shkak të vetive kalimtare, del se A(p)=B(p), që do të thotë p është rrënja e ekuacioni A(x)= B(x) . Kjo vërteton se çdo rrënjë e ekuacionit C(x)=B(x) nga ODZ për ekuacionin A(x)=B(x) është një rrënjë e ekuacionit A(x)=B(x). Me fjalë të tjera, në ODZ për ekuacionin A(x)=B(x) nuk mund të ketë rrënjë të ekuacionit C(x)=B(x), të cilat janë rrënjë të jashtme për ekuacionin A(x)=B( x). Por sipas kushtit, ODZ për ekuacionin C(x)=B(x) është më i gjerë se ODZ për ekuacionin A(x)=B(x). Dhe kjo lejon ekzistencën e një numri r që i përket ODZ për ekuacionin C(x)=B(x) dhe nuk i përket ODZ për ekuacionin A(x)=B(x), që është rrënja të ekuacionit C(x)=B(x). Domethënë, ekuacioni C(x)=B(x) mund të ketë rrënjë që janë të huaja për ekuacionin A(x)=B(x), dhe të gjitha ato do t'i përkasin grupit të cilit ODZ për ekuacionin A. (x)=B zgjatet (x) kur shprehja A(x) në të zëvendësohet me shprehjen identike të barabartë C(x).

Pra, zëvendësimi i shprehjeve në anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit me shprehje identike të barabarta, si rezultat i të cilave ODZ zgjerohet, në rastin e përgjithshëm çon në një ekuacion përfundues (d.m.th., mund të çojë në shfaqjen e të huajve rrënjët) dhe vetëm në një rast të caktuar çon në ekuacion ekuivalent (në rast se ekuacioni që rezulton nuk ka rrënjë të huaja me ekuacionin origjinal).

Le të japim një shembull të kryerjes së një transformimi të analizuar. Zëvendësimi i shprehjes në anën e majtë të ekuacionit identikisht e barabartë me të me shprehjen x·(x−1) çon në ekuacionin x·(x−1)=0, në këtë rast ndodh zgjerimi i ODZ - i shtohet numri 0. Ekuacioni që rezulton ka dy rrënjë 0 dhe 1, dhe zëvendësimi i këtyre rrënjëve në ekuacionin origjinal tregon se 0 është një rrënjë e jashtme për ekuacionin origjinal dhe 1 është rrënja e ekuacionit origjinal. Në të vërtetë, zëvendësimi i zeros në ekuacionin origjinal jep shprehjen e pakuptimtë , pasi përmban pjesëtimin me zero, dhe zëvendësimi i një jep barazinë e saktë numerike , e cila është e njëjtë me 0=0 .

Vini re se një transformim i ngjashëm i një ekuacioni të ngjashëm në ekuacionin (x−1)·(x−2)=0, si rezultat i të cilit zgjerohet edhe ODZ, nuk çon në shfaqjen e rrënjëve të jashtme. Në të vërtetë, të dyja rrënjët e ekuacionit që rezulton (x−1)·(x−2)=0 - numrat 1 dhe 2, janë rrënjë të ekuacionit origjinal, i cili është i lehtë për t'u verifikuar duke kontrolluar me zëvendësim. Me këta shembuj, ne kemi dashur edhe një herë të theksojmë se zëvendësimi i një shprehjeje në anën e majtë ose të djathtë të një ekuacioni me një shprehje identike të barabartë, e cila zgjeron ODZ, nuk çon domosdoshmërisht në shfaqjen e rrënjëve të jashtme. Por kjo mund të çojë edhe në pamjen e tyre. Pra, nëse një transformim i tillë ka ndodhur në procesin e zgjidhjes së ekuacionit, atëherë është e nevojshme të kryhet një kontroll për të identifikuar dhe filtruar rrënjët e jashtme.

Më shpesh, ODZ e një ekuacioni mund të zgjerohet dhe rrënjët e jashtme mund të shfaqen për shkak të zëvendësimit me zero të diferencës së shprehjeve identike ose shumës së shprehjeve me shenja të kundërta, për shkak të zëvendësimit me zero të produkteve me një ose më shumë faktorë zero. , për shkak të reduktimit të thyesave dhe për shkak të përdorimit të vetive rrënjë, fuqi, logaritme etj.

• Shtimi i të njëjtit numër në të dy anët e një ekuacioni ose zbritja e të njëjtit numër nga të dy anët e një ekuacioni.

Më sipër treguam se ky transformim është gjithmonë ekuivalent, domethënë, çon në një ekuacion ekuivalent. Le të vazhdojmë.

• Shtimi i të njëjtës shprehje në të dy anët e një ekuacioni ose zbritja e të njëjtës shprehje nga të dy anët e një ekuacioni.

Në paragrafin e mëparshëm, shtuam një kusht që ODZ për shprehjen që shtohet ose zbritet nuk duhet të jetë më i ngushtë se ODZ për ekuacionin që transformohet. Ky kusht e bëri të barabartë transformimin në fjalë. Këtu ka argumente të ngjashme me ato të dhëna në fillim të këtij paragrafi të artikullit në lidhje me faktin se një ekuacion ekuivalent është një rast i veçantë i një ekuacioni rrjedhës dhe se njohuria për ekuivalencën e një transformimi është praktikisht më e dobishme sesa njohuria për të njëjtin transformim, por nga pikëpamja e faktit se ai çon në ekuacion përfundues.

A është e mundur, si rezultat i shtimit të së njëjtës shprehje ose zbritjes së të njëjtës shprehje nga të dyja anët e një ekuacioni, të përftohet një ekuacion që, përveç të gjitha rrënjëve të ekuacionit origjinal, do të ketë edhe disa rrënjë të tjera? Jo, nuk mundet. Nëse ODZ për shprehjen që shtohet ose zbritet nuk është më e ngushtë se ODZ për ekuacionin origjinal, atëherë si rezultat i mbledhjes ose zbritjes do të merret një ekuacion ekuivalent. Nëse ODZ për shprehjen që shtohet ose zbritet është më e ngushtë se ODZ për ekuacionin origjinal, atëherë kjo mund të çojë në humbjen e rrënjëve dhe jo në shfaqjen e rrënjëve të jashtme. Ne do të flasim më shumë për këtë në paragrafin tjetër.

• Transferimi i një termi nga një pjesë e ekuacionit në tjetrin me shenjën e ndryshuar në të kundërtën.

Ky transformim i ekuacionit është gjithmonë ekuivalent. Prandaj, nuk ka kuptim ta konsiderojmë atë si një transformim që çon në një ekuacion-pasojë, për arsyet e përmendura më sipër.

• Shumëzimi ose pjesëtimi i të dy anëve të një ekuacioni me të njëjtin numër.

Në paragrafin e mëparshëm, ne vërtetuam se nëse shumëzimi ose pjesëtimi i të dy anëve të ekuacionit kryhet me një numër jo zero, atëherë ky është një transformim ekuivalent i ekuacionit. Prandaj, përsëri, nuk ka kuptim të flasim për të si një transformim që çon në një ekuacion përfundues.

Por këtu ia vlen t'i kushtohet vëmendje mohimit për ndryshimin nga zero të numrit me të cilin shumëzohen ose ndahen të dy anët e ekuacionit. Për ndarje, kjo rezervë është e kuptueshme - që nga shkolla fillore e kemi kuptuar këtë Ju nuk mund të pjesëtoni me zero. Pse kjo klauzolë për shumëzim? Le të mendojmë se çfarë rezulton duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit me zero. Për qartësi, le të marrim një ekuacion specifik, për shembull, 2 x+1=x+5. Ky është një ekuacion linear që ka një rrënjë të vetme, që është numri 4. Le të shkruajmë ekuacionin që do të fitohet duke shumëzuar të dyja anët e këtij ekuacioni me zero: (2 x+1) 0=(x+5) 0. Natyrisht, rrënja e këtij ekuacioni është çdo numër, sepse kur zëvendësoni ndonjë numër në këtë ekuacion në vend të ndryshores x, merrni barazinë numerike të saktë 0=0. Kjo do të thotë, në shembullin tonë, shumëzimi i të dy anëve të ekuacionit me zero çoi në një ekuacion përfundues, i cili shkaktoi shfaqjen e një numri të pafund rrënjësh të jashtme për ekuacionin origjinal. Për më tepër, vlen të përmendet se në këtë rast metodat e zakonshme të shqyrtimit të rrënjëve të jashtme nuk përballen me detyrën e tyre. Kjo do të thotë se transformimi i kryer është i padobishëm për zgjidhjen e ekuacionit origjinal. Dhe kjo është një situatë tipike për transformimin në shqyrtim. Kjo është arsyeja pse një transformim i tillë si shumëzimi i të dyja anëve të një ekuacioni me zero nuk përdoret për zgjidhjen e ekuacioneve. Ne ende duhet të shikojmë këtë transformim dhe transformime të tjera që nuk duhet të përdoren për të zgjidhur ekuacionet në paragrafin e fundit.

• Shumëzimi ose pjesëtimi i të dy anëve të një ekuacioni me të njëjtën shprehje.

Në paragrafin e mëparshëm vërtetuam se ky transformim është ekuivalent nëse plotësohen dy kushte. Le t'i kujtojmë ata. Kushti i parë: OD për këtë shprehje nuk duhet të jetë më e ngushtë se OD për ekuacionin origjinal. Kushti i dytë: shprehja me të cilën kryhet shumëzimi ose pjesëtimi nuk duhet të zhduket në ODZ për ekuacionin origjinal.

Le të ndryshojmë kushtin e parë, domethënë, do të supozojmë se OD për shprehjen me të cilën planifikojmë të shumëzojmë ose pjesëtojmë të dyja pjesët e ekuacionit është më e ngushtë se OD për ekuacionin origjinal. Si rezultat i një transformimi të tillë, do të merret një ekuacion për të cilin ODZ do të jetë më i ngushtë se ODZ për ekuacionin origjinal. Transformime të tilla mund të çojnë në humbjen e rrënjëve, ne do të flasim për to në paragrafin tjetër.

Çfarë do të ndodhë nëse heqim kushtin e dytë për vlerat jozero të shprehjes me të cilën të dyja anët e ekuacionit shumëzohen ose pjesëtohen me ODZ për ekuacionin origjinal?

Pjestimi i të dy anëve të ekuacionit me të njëjtën shprehje, e cila zhduket me OD për ekuacionin origjinal, do të rezultojë në një ekuacion, OD e të cilit është më e ngushtë se OD për ekuacionin origjinal. Në të vërtetë, numrat do të bien prej saj, duke e kthyer shprehjen me të cilën është kryer ndarja në zero. Kjo mund të çojë në humbjen e rrënjëve.

Po në lidhje me shumëzimin e të dy anëve të ekuacionit me të njëjtën shprehje, e cila zhduket në ODZ për ekuacionin origjinal? Mund të tregohet se kur të dyja anët e ekuacionit A(x)=B(x) shumëzohen me shprehjen C(x) , ODZ për të cilën nuk është më e ngushtë se ODZ për ekuacionin origjinal dhe që zhduket me ODZ për ekuacionin origjinal, ekuacioni është fituar është pasojë që, përveç të gjitha rrënjëve të ekuacionit A(x)=B(x), mund të ketë edhe rrënjë të tjera. Le ta bëjmë këtë, veçanërisht pasi ky paragraf i artikullit i kushtohet saktësisht transformimeve që çojnë në ekuacione rrjedhëse.

Le të jetë shprehja C(x) e tillë që ODZ për të nuk është më e ngushtë se ODZ për ekuacionin A(x)=B(x) , dhe ajo zhduket në ODZ për ekuacionin A(x)=B(x ) . Le të vërtetojmë se në këtë rast ekuacioni A(x)·C(x)=B(x)·C(x) është pasojë e ekuacionit A(x)=B(x) .

Le të jetë q rrënja e ekuacionit A(x)=B(x) . Atëherë A(q)=B(q) është një barazi e vërtetë numerike. Meqenëse ODZ për shprehjen C(x) nuk është më e ngushtë se ODZ për ekuacionin A(x)=B(x), atëherë shprehja C(x) përcaktohet në x=q, që do të thotë se C(q) është një numër i caktuar. Shumëzimi i të dy anëve të një barazie numerike të vërtetë me çdo numër jep një barazi të vërtetë numerike, prandaj, A(q)·C(q)=B(q)·C(q) është një barazi e vërtetë numerike. Kjo do të thotë q është rrënja e ekuacionit A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Kjo vërteton se çdo rrënjë e ekuacionit A(x)=B(x) është rrënjë e ekuacionit A(x) C(x)=B(x) C(x), që do të thotë se ekuacioni A(x) C (x)=B(x)·C(x) është pasojë e ekuacionit A(x)=B(x) .

Vini re se në kushtet e specifikuara, ekuacioni A(x)·C(x)=B(x)·C(x) mund të ketë rrënjë që janë të huaja për ekuacionin origjinal A(x)=B(x). Janë të gjithë ata numra nga ODZ për ekuacionin origjinal që e kthejnë shprehjen C(x) në zero (të gjithë numrat që e kthejnë shprehjen C(x) në zero janë rrënjët e ekuacionit A(x) C(x)= B(x) C(x) , pasi zëvendësimi i tyre në ekuacionin e treguar jep barazinë numerike të saktë 0=0 ), por që nuk janë rrënjë të ekuacionit A(x)=B(x) . Ekuacionet A(x)=B(x) dhe A(x)·C(x)=B(x)·C(x) në kushtet e specifikuara do të jenë ekuivalente kur të gjithë numrat nga ODZ për ekuacionin A(x )=B (x) , të cilat e bëjnë të zhduket shprehja C(x), janë rrënjët e ekuacionit A(x)=B(x) .

Pra, duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit me të njëjtën shprehje, ODZ për të cilën nuk është më e ngushtë se ODZ për ekuacionin origjinal dhe që zhduket me ODZ për ekuacionin origjinal, në rastin e përgjithshëm çon në një ekuacion përfundues, që është, mund të çojë në shfaqjen e rrënjëve të huaja.

Le të japim një shembull për ta ilustruar. Le të marrim ekuacionin x+3=4. Rrënja e tij e vetme është numri 1. Le të shumëzojmë të dyja anët e këtij ekuacioni me të njëjtën shprehje, e cila zhduket nga ODZ për ekuacionin origjinal, për shembull, me x·(x−1) . Kjo shprehje zhduket në x=0 dhe x=1. Shumëzimi i të dy anëve të ekuacionit me këtë shprehje na jep ekuacionin (x+3) x (x−1)=4 x (x−1). Ekuacioni që rezulton ka dy rrënjë: 1 dhe 0. Numri 0 është një rrënjë e jashtme për ekuacionin origjinal që u shfaq si rezultat i transformimit.

Transformime që mund të çojnë në humbjen e rrënjëve

Disa shndërrime nga kushte të caktuara mund të çojnë në humbjen e rrënjëve. Për shembull, kur pjesëtohen të dyja anët e ekuacionit x·(x−2)=x−2 me të njëjtën shprehje x−2, rrënja humbet. Në të vërtetë, si rezultat i një transformimi të tillë, ekuacioni x=1 fitohet me një rrënjë të vetme, që është numri 1, dhe ekuacioni origjinal ka dy rrënjë 1 dhe 2.

Është e nevojshme të kuptohet qartë kur rrënjët humbasin si rezultat i transformimeve, në mënyrë që të mos humbasin rrënjët gjatë zgjidhjes së ekuacioneve. Le ta kuptojmë këtë.

Si rezultat i këtyre transformimeve, humbja e rrënjëve mund të ndodhë nëse dhe vetëm nëse ODZ për ekuacionin e transformuar rezulton të jetë më i ngushtë se ODZ për ekuacionin origjinal.

Për të vërtetuar këtë pohim, duhen vërtetuar dy pika. Së pari, është e nevojshme të vërtetohet se nëse, si rezultat i transformimeve të treguara të ekuacionit, ODZ ngushtohet, atëherë mund të ndodhë një humbje e rrënjëve. Dhe, së dyti, është e nevojshme të justifikohet se nëse, si rezultat i këtyre transformimeve, ndodh një humbje e rrënjëve, atëherë ODZ për ekuacionin që rezulton është më i ngushtë se ODZ për ekuacionin origjinal.

Nëse ODZ për ekuacionin e marrë si rezultat i transformimit është më i ngushtë se ODZ për ekuacionin origjinal, atëherë, natyrisht, asnjë rrënjë e vetme e ekuacionit origjinal të vendosur jashtë ODZ për ekuacionin rezultues nuk mund të jetë rrënja e ekuacionit. të marra si rezultat i transformimit. Kjo do të thotë që të gjitha këto rrënjë do të humbasin gjatë kalimit nga ekuacioni origjinal në një ekuacion për të cilin ODZ është më i ngushtë se ODZ për ekuacionin origjinal.

Tani kthehu. Le të vërtetojmë se nëse, si rezultat i këtyre transformimeve, rrënjët humbasin, atëherë ODZ për ekuacionin që rezulton është më i ngushtë se ODZ për ekuacionin origjinal. Kjo mund të bëhet me metodën e kundërt. Supozimi se si rezultat i këtyre transformimeve, rrënjët humbasin, por ODZ nuk ngushtohet, bie ndesh me pohimet e provuara në paragrafët e mëparshëm. Në të vërtetë, nga këto deklarata rrjedh se nëse, gjatë kryerjes së transformimeve të treguara, ODZ nuk ngushtohet, atëherë merren ose ekuacione ekuivalente ose ekuacione rrjedhëse, që do të thotë se humbja e rrënjëve nuk mund të ndodhë.

Pra, arsyeja e humbjes së mundshme të rrënjëve gjatë kryerjes së transformimeve bazë të ekuacioneve është ngushtimi i ODZ. Është e qartë se kur zgjidhim ekuacione, nuk duhet të humbasim rrënjët. Këtu, natyrshëm, lind pyetja: "Çfarë duhet bërë për të mos humbur rrënjët gjatë transformimit të ekuacioneve"? Ne do t'i përgjigjemi në paragrafin tjetër. Tani le të kalojmë nëpër listën e transformimeve bazë të ekuacioneve për të parë më në detaje se cilat transformime mund të çojnë në humbjen e rrënjëve.

• Zëvendësimi i shprehjeve në anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit me shprehje identike të barabarta.

Nëse zëvendësoni shprehjen në anën e majtë ose të djathtë të ekuacionit me një shprehje identike të barabartë, ODZ për të cilën është më e ngushtë se ODZ për ekuacionin origjinal, kjo do të çojë në një ngushtim të ODZ, dhe për shkak të kësaj, rrënjët mund të humbet. Më shpesh, zëvendësimi i shprehjeve në anën e majtë ose të djathtë të ekuacioneve me shprehje identike të barabarta, i kryer në bazë të disa vetive të rrënjëve, fuqive, logaritmeve dhe disa formulave trigonometrike, çon në një ngushtim të ODZ-së dhe si pasojë. , deri në humbjen e mundshme të rrënjëve. Për shembull, zëvendësimi i shprehjes në anën e majtë të ekuacionit me një shprehje identike të barabartë ngushton ODZ dhe çon në humbjen e rrënjës -16. Në mënyrë të ngjashme, zëvendësimi i shprehjes në anën e majtë të ekuacionit me një shprehje identike të barabartë çon në ekuacionin, ODZ për të cilin është më i ngushtë se ODZ për ekuacionin origjinal, që sjell humbjen e rrënjës -3.

• Shtimi i të njëjtit numër në të dy anët e një ekuacioni ose zbritja e të njëjtit numër nga të dy anët e një ekuacioni.

Ky transformim është ekuivalent, prandaj, rrënjët nuk mund të humbasin gjatë zbatimit të tij.

• Shtimi i të njëjtës shprehje në të dy anët e një ekuacioni ose zbritja e të njëjtës shprehje nga të dy anët e një ekuacioni.

Nëse shtoni ose zbrisni një shprehje ODZ e së cilës është më e ngushtë se ODZ për ekuacionin origjinal, kjo do të çojë në një ngushtim të ODZ dhe, si pasojë, në një humbje të mundshme të rrënjëve. Ja vlen ta keni parasysh këtë. Por këtu vlen të përmendet se në praktikë zakonisht është e nevojshme të përdoret shtimi ose zbritja e shprehjeve që janë të pranishme në regjistrimin e ekuacionit origjinal, gjë që nuk çon në një ndryshim në ODZ dhe nuk sjell humbjen e rrënjëve.

• Transferimi i një termi nga një pjesë e ekuacionit në tjetrin me shenjën e ndryshuar në të kundërtën.

Ky transformim i ekuacionit është ekuivalent, prandaj, si rezultat i zbatimit të tij, rrënjët nuk humbasin.

• Shumëzimi ose pjesëtimi i të dy anëve të një ekuacioni me të njëjtin numër të ndryshëm nga zero.

Ky transformim është gjithashtu ekuivalent, dhe për shkak të tij, humbja e rrënjëve nuk ndodh.

• Shumëzimi ose pjesëtimi i të dy anëve të një ekuacioni me të njëjtën shprehje.

Ky transformim mund të çojë në një ngushtim të OD në dy raste: kur OD për shprehjen me të cilën kryhet shumëzimi ose pjesëtimi është më i ngushtë se OD për ekuacionin origjinal, dhe kur pjesëtimi kryhet nga një shprehje që bëhet zero në OD për ekuacionin origjinal. Vini re se në praktikë zakonisht nuk është e nevojshme të përdoret shumëzimi dhe pjesëtimi i të dy anëve të ekuacionit me një shprehje me një VA më të ngushtë. Por ju duhet të merreni me pjesëtimin me një shprehje që kthehet në zero për ekuacionin origjinal. Ekziston një metodë që ju lejon të përballoni humbjen e rrënjëve gjatë një ndarjeje të tillë, ne do të flasim për të në paragrafin tjetër të këtij artikulli.

Si të shmangni humbjen e rrënjës?

Nëse përdorni vetëm transformime nga ekuacionet transformuese dhe në të njëjtën kohë nuk lejoni ngushtimin e ODZ, atëherë humbja e rrënjëve nuk do të ndodhë.

A do të thotë kjo se nuk mund të bëhen transformime të tjera të ekuacioneve? Jo, kjo nuk do të thotë. Nëse arrini me ndonjë transformim tjetër të ekuacionit dhe e përshkruani plotësisht atë, domethënë, tregoni kur ai çon në ekuacione ekuivalente, kur në ekuacione rrjedhëse dhe kur mund të çojë në humbjen e rrënjëve, atëherë mund të miratohet fare mirë.

A duhet të braktisim plotësisht reformat që do të ngushtonin DPD-në? Ju nuk duhet ta bëni këtë. Nuk do të dëmtonte të ruani në arsenalin tuaj transformime në të cilat një numër i kufizuar numrash dalin nga ODZ për ekuacionin origjinal. Pse nuk duhet të braktisen transformime të tilla? Sepse ekziston një metodë për të shmangur humbjen e rrënjëve në raste të tilla. Ai konsiston në një kontroll të veçantë të numrave që bien nga ODZ për të parë nëse ka rrënjë të ekuacionit origjinal midis tyre. Ju mund ta kontrolloni këtë duke zëvendësuar këta numra në ekuacionin origjinal. Ato prej tyre që, kur zëvendësohen, japin barazinë numerike të saktë, janë rrënjët e ekuacionit origjinal. Ata duhet të përfshihen në përgjigje. Pas një kontrolli të tillë, ju mund të kryeni me siguri transformimin e planifikuar pa frikë se do të humbni rrënjët tuaja.

Një transformim tipik në të cilin ODZ për një ekuacion është ngushtuar në disa numra është pjesëtimi i të dy anëve të ekuacionit me të njëjtën shprehje, e cila bëhet zero në disa pika nga ODZ për ekuacionin origjinal. Ky transformim është baza e metodës së zgjidhjes ekuacionet reciproke. Por përdoret gjithashtu për të zgjidhur lloje të tjera ekuacionesh. Le të japim një shembull.

Ekuacioni mund të zgjidhet duke futur një ndryshore të re. Për të futur një ndryshore të re, duhet të ndani të dyja anët e ekuacionit me 1+x. Por me një ndarje të tillë, mund të ndodhë një humbje e rrënjës, pasi megjithëse ODZ për shprehjen 1+x nuk është më e ngushtë se ODZ për ekuacionin origjinal, shprehja 1+x bëhet zero në x=−1, dhe ky numër i përket ODZ për ekuacionin origjinal. Kjo do të thotë se rrënja -1 mund të humbasë. Për të eliminuar humbjen e një rrënjë, duhet të kontrolloni veçmas nëse -1 është një rrënjë e ekuacionit origjinal. Për ta bërë këtë, ju mund të zëvendësoni −1 në ekuacionin origjinal dhe të shihni se çfarë barazie merrni. Në rastin tonë, zëvendësimi jep barazinë, e cila është e njëjtë me 4=0. Kjo barazi është e rreme, që do të thotë −1 nuk është rrënja e ekuacionit origjinal. Pas një kontrolli të tillë, mund të kryeni ndarjen e synuar të të dy anëve të ekuacionit me 1 + x, pa frikë se mund të ndodhë humbja e rrënjëve.

Për të përfunduar këtë paragraf, le t'i kthehemi edhe një herë ekuacioneve nga paragrafi i mëparshëm dhe. Transformimi i këtyre ekuacioneve në bazë të identiteteve dhe çon në një ngushtim të ODZ, dhe kjo sjell humbjen e rrënjëve. Në këtë pikë thamë se për të mos humbur rrënjët duhet të braktisim reformat që ngushtojnë DZ-në. Kjo do të thotë se këto transformime duhet të braktisen. Por çfarë duhet të bëjmë? Është e mundur të kryhen transformime jo të bazuara në identitete dhe , për shkak të të cilit ODZ është ngushtuar, dhe në bazë të identiteteve dhe . Si rezultat i kalimit nga ekuacionet origjinale dhe në ekuacionet dhe nuk ka ngushtim të ODZ, që do të thotë se rrënjët nuk do të humbasin.

Këtu theksojmë veçanërisht se kur zëvendësoni shprehjet me shprehje identike të barabarta, duhet të siguroheni me kujdes që shprehjet janë saktësisht identike të barabarta. Për shembull, në barazimin. është e pamundur të zëvendësohet shprehja x+3 me një shprehje për të thjeshtuar pamjen e anës së majtë , pasi shprehjet x+3 dhe nuk janë identike të barabarta, sepse vlerat e tyre nuk përkojnë në x+3<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

Transformimet e ekuacioneve që nuk duhen përdorur

Transformimet e përmendura në këtë artikull zakonisht janë të mjaftueshme për nevoja praktike. Kjo do të thotë, nuk duhet të shqetësoheni shumë për të ardhur me ndonjë transformim tjetër, është më mirë të përqendroheni në përdorimin e duhur të atyre tashmë të provuara.

Letërsia

1. Mordkovich A.G. Algjebra dhe fillimet e analizës matematikore. klasa e 11-të. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm (niveli i profilit) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Botimi i 2-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 f.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
2. Algjebër dhe fillimi i analizës matematikore. Klasa e 10-të: tekst shkollor. për arsimin e përgjithshëm institucionet: bazë dhe profili. nivelet / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; redaktuar nga A. B. Zhizhchenko. - botimi i 3-të. - M.: Arsimi, 2010.- 368 f.: ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.