§ 11. Segmente proporcionale në rreth.
1. Afati i urës kufizohet nga një hark rrethi (Fig. 38); lartësia e kafazit MK= h= 3 m; rrezja e harkut të hapësirës AMB R = 8,5 m Llogaritni gjatësinë e hapësirës AB të urës.
2. Në një bodrum të harkuar në formë gjysmë cilindri, duhet të vendosen dy shtylla, secila në të njëjtën distancë nga muri më i afërt. Përcaktoni lartësinë e rafteve nëse gjerësia e bodrumit në fund është 4 m dhe distanca midis rafteve është 2 m.
3. 1) Një pingul me diametrin është tërhequr nga një pikë e rrethit. Përcaktoni gjatësinë e tij me këto gjatësi të segmenteve të diametrit: 1) 12 cm dhe 3 cm; 2) 16 cm dhe 9 cm, 3) 2 m dhe 5 dm.
2) Një pingul është tërhequr nga pika e diametrit në kryqëzimin me rrethin. Përcaktoni gjatësinë e kësaj pingule nëse diametri është 40 cm, dhe pingulja e tërhequr është 8 cm nga një nga skajet e diametrit.
4. Diametri ndahet në segmente: AC = 8 dm dhe CB = 5 m, dhe nga pika C tërhiqet një CD pingul me këtë gjatësi. Tregoni pozicionin e pikës D në raport me rrethin kur CD është e barabartë me: 1) 15 dm; 2) 2 m; 3) 23 dm.
5. DIA-gjysmërreth; CD është pingul me diametrin AB. Kërkohet:
1) përcaktoni DB nëse AD = 25 dhe CD = 10;
2) përcaktoni AB nëse AD: DB = 4: 9 dhe CD = 30;
3) përcaktoni AD nëse CD=3AD dhe rrezja është r;
4) përcaktoni AD nëse AB = 50 dhe CD = 15.
6. 1) Një pingul i ulur nga një pikë e një rrethi me një rreze të barabartë me 34 cm e ndan atë në një raport 8:9 (duke filluar nga qendra). Përcaktoni gjatësinë e pingules.
2) Korda BDC është pingul me rrezen ODA. Përcaktoni BC nëse OA = 25 cm dhe AD = 10 cm.
3) Gjerësia e unazës së formuar nga dy rrathë koncentrikë është 8 dm; korda e rrethit më të madh tangjent me atë më të vogël është 4 m Përcaktoni rrezet e rrathëve.
7. Duke përdorur një krahasim të segmenteve, vërtetoni se mesatarja aritmetike e dy numrave të pabarabartë është më e madhe se mesatarja gjeometrike e tyre.
8. Ndërtoni një segment që është mesatarisht proporcional ndërmjet segmenteve 3 cm dhe 5 cm.
9. Ndërtoni një segment të barabartë me: √15 ; √10 ; √6 ; √3.
10.Diametri ADB; akord AC; CD është pingul me diametrin. Përcaktoni kordën AC: 1) nëse AB = 2 m dhe AD = 0,5 m; 2) nëse AD = 4 cm dhe DB = 5 cm; 3) nëse AB=20 m dhe DB= 15 m.
11. Diametri AB; akord AC; AD është projeksioni i tij mbi diametrin AB. Kërkohet:
1) përcaktoni AD nëse AB = 18 cm dhe AC = 12 cm;
2) përcaktoni rrezen nëse AC=12 m dhe AD=4 m;
3) përcaktoni DB nëse AC = 24 cm dhe DB = 7 / 9 AD.
12. Diametri AB; akord AC; AD është projeksioni i tij mbi diametrin AB. Kërkohet:
1) përcaktoni AC nëse AB = 35 cm dhe AC = 5AD;
2) përcaktoni AC nëse rrezja është r dhe AC=DB.
13. Dy korda kryqëzohen brenda një rrethi. Segmentet e një korde janë 24 cm dhe 14 cm; njëri nga segmentet e kordës tjetër është i barabartë me 28 cm Përcaktoni segmentin e dytë të tij.
14. Afati i urës kufizohet nga një hark rrethi (Fig. 38); gjatësia e urës AB = 6 m, lartësia A = 1,2 m Përcaktoni rrezen e harkut (OM = R).
15. Dy segmente AB dhe CD kryqëzohen në pikën M në mënyrë që MA = 7 cm, MB = 21 cm,
MC = 3 cm dhe MD = 16 cm A shtrihen pikat A, B, C dhe D në të njëjtin rreth?
16. Gjatësia e lavjerrësit MA = l= 1 m (Fig. 39), lartësia e tij e ngritjes, kur devijohet nga këndi α, CA = h= 10 cm Gjeni distancën BC të pikës B nga MA (BC = X).
17. Për të transferuar një gjerësi hekurudhore b= 1.524 m në vendin AB (Fig. 40) është bërë një rrumbullakim; doli që; që BC= A= 42,4 m Përcaktoni rrezen e lakimit OA = R.
18. Korda AMB rrotullohet rreth pikës M në mënyrë që segmenti MA të rritet me 2 1/2 herë. Si ka ndryshuar segmenti MB?
19. 1) Nga dy korda të kryqëzuara, njëra ndahej në pjesë 48 cm dhe 3 cm dhe tjetra ndahej në gjysmë. Përcaktoni gjatësinë e kordës së dytë.
2) Nga dy kordat e kryqëzuara, njëra u nda në pjesë 12 m dhe 18 m, dhe tjetra në një raport 3:8. Përcaktoni gjatësinë e kordës së dytë.
20. Nga dy korda të kryqëzuara, e para është 32 cm dhe segmentet e kordës tjetër janë të barabarta.
12 cm dhe 16 cm Përcaktoni segmentet e kordës së parë.
21. Sekanti ABC rrotullohet rreth pikës së jashtme A në mënyrë që segmenti i tij i jashtëm AB të zvogëlohet tre herë. Si ndryshoi gjatësia e sekantit?
22. Le të jenë ADB dhe AEC dy drejtëza që kryqëzojnë një rreth: e para në pikat D dhe B, e dyta në pikat E dhe C. Kërkohet:
1) përcaktoni AE nëse AD = 5 cm, DB = 15 cm dhe AC = 25 cm;
2) përcaktoni BD nëse AB = 24 m, AC = 16 m dhe EC = 10 m;
3) përcaktoni AB dhe AC, nëse AB+AC = 50 m, dhe AD: AE = 3:7.
23. Rrezja e një rrethi është 7 cm Nga një pikë 9 cm larg qendrës, tërhiqet një sekant në mënyrë që e ndan rrethin në gjysmë. Përcaktoni gjatësinë e këtij sekanti.
24. MAB dhe MCD janë dy sekante në të njëjtin rreth. Kërkohet:
1) përcaktoni CD nëse MV = 1 m, MD = 15 dm dhe CD = MA;
2) përcaktoni MD nëse MA = 18 cm, AB = 12 cm dhe MC: CD = 5:7;
3) përcaktoni AB nëse AB = MS, MA = 20 dhe CD = 11.
25. Dy korda zgjaten derisa të kryqëzohen me njëra-tjetrën. Përcaktoni gjatësinë e zgjatimeve që rezultojnë nëse kordat janë të barabarta A Dhe b, dhe vazhdimet e tyre lidhen si t:p.
26. Një sekant dhe një tangjente tërhiqen në një rreth nga një pikë. Përcaktoni gjatësinë e tangjentes nëse segmenti i jashtëm dhe i brendshëm i sekantit shprehen përkatësisht me numrat e mëposhtëm: 1) 4 dhe 5; 2) 2,25 dhe 1,75; 3) 1 dhe 2.
27. Tangjentja është 20 cm, dhe sekanti më i gjatë i tërhequr nga e njëjta pikë është 50 cm.
28. Një sekant është 2 1/4 herë më i madh se segmenti i tij i jashtëm. Sa herë është më e madhe se tangjentja e tërhequr nga e njëjta pikë?
29. Korda e përbashkët e dy rrathëve të kryqëzuar zgjatet dhe tangjentet u tërhiqen nga një pikë e marrë në vazhdim. Vërtetoni se janë të barabartë.
30. Në njërën anë të këndit A shtrihen njëra pas tjetrës këto segmente: AB = 6 cm dhe BC = 8 cm; dhe në anën tjetër ka një segment AD = 10 cm Një rreth është tërhequr nëpër pikat B, C dhe D. Zbuloni nëse drejtëza AD prek këtë rreth, dhe nëse jo, atëherë nëse pika D do të jetë pika e parë (duke numëruar nga A) apo pika e dytë e kryqëzimit.
31. Le të ketë: AB-tangjente dhe ACD-sekant të të njëjtit rreth. Kërkohet:
1) përcaktoni CD nëse AB = 2 cm dhe AD = 4 cm;
2) përcaktoni AD nëse AC:CD = 4:5 dhe AB = 12 cm;
3) përcaktoni AB nëse AB = CD dhe AC = A.
32. 1) Sa larg mund të shihni nga një balonë (Fig. 41), që ngrihet në një lartësi prej 4 km mbi tokë (rrezja e tokës është = 6370 km)?
2) Mali Elbrus (në Kaukaz) ngrihet 5600 m mbi nivelin e detit Sa larg mund të shihni nga maja e këtij mali?
3) M - pikë vëzhgimi me lartësi A metra mbi tokë (Fig. 42); rrezja e tokës R, MT= dështë distanca më e madhe e dukshme. Vërtetoni këtë d= √2R h+ h 2
Komentoni. Sepse h 2 për shkak të vogëlsisë së tij në krahasim me 2R h nuk ka pothuajse asnjë efekt në rezultat, atëherë mund të përdorni formulën e përafërt d≈ √2R h .
33. 1) Vijat tangjente dhe sekante që vijnë nga një pikë janë përkatësisht të barabarta me 20 cm dhe 40 cm; sekanti është 8 cm larg qendrës.
2) Përcaktoni distancën nga qendra deri në pikën nga e cila dalin tangjenta dhe sekanti, nëse ato janë përkatësisht të barabarta me 4 cm dhe 8 cm, dhe sekanti hiqet nga qendra me
12 cm.
34. 1) Një tangjente dhe një sekant vizatohen nga një pikë e përbashkët në një rreth. Përcaktoni gjatësinë e tangjentes nëse është 5 cm më e madhe se segmenti i jashtëm i sekantit dhe po aq më i vogël se segmenti i brendshëm.
2) Një sekant dhe një tangjente vizatohen nga një pikë në një rreth. Sekanti është i barabartë me A, dhe segmenti i tij i brendshëm është më i madh se segmenti i jashtëm për nga gjatësia e tangjentes. Përcaktoni tangjenten.
36. Një tangjente dhe një sekant vizatohen nga një pikë në një rreth. Tangjentja është më e madhe se segmenti i brendshëm dhe i jashtëm i sekantit përkatësisht 2 cm dhe 4 cm Përcaktoni gjatësinë e sekantit.
36. Një tangjente dhe një sekant vizatohen nga një pikë në një rreth. Përcaktoni gjatësinë e tyre nëse tangjentja është 20 cm më e vogël se segmenti i brendshëm i sekantit dhe 8 cm më shumë se segmenti i jashtëm.
37. 1) Një sekant dhe një tangjente tërhiqen në një rreth nga një pikë. Shuma e tyre është 30 cm, dhe segmenti i brendshëm i sekantit është 2 cm më i vogël se tangjentja. Përcaktoni sekantën dhe tangjenten.
2) Një sekant dhe një tangjente vizatohen nga një pikë në një rreth. Shuma e tyre është 15 cm, dhe segmenti i jashtëm i sekantit është 2 cm më i vogël se tangjentja. Përcaktoni sekantën dhe tangjenten.
38. Segmenti AB shtrihet në distancën BC. Rrethet janë ndërtuar në AB dhe AC, si në diametra. Një BD pingul tërhiqet me segmentin AC në pikën B derisa të kryqëzohet me rrethin më të madh. Nga pika C, një tangjente CK tërhiqet në rrethin më të vogël. Vërtetoni se CD = SC.
39. Dy tangjente paralele dhe një tangjente e tretë që i pret ato vizatohen në një rreth të caktuar. Rrezja është proporcionaliteti mesatar midis segmenteve të tangjentes së tretë. Provojë.
40. Janë dhënë dy drejtëza paralele në një distancë prej 15 dm nga njëra-tjetra; ndërmjet tyre është dhënë një pikë M në një distancë prej 3 dm nga njëra prej tyre. Një rreth vizatohet përmes pikës M, tangjente ndaj të dy paraleleve. Përcaktoni distancën midis projeksioneve të qendrës dhe pikës M në njërën nga këto paralele.
41. Në një rreth me rreze r brendashkrohet një trekëndësh dykëndësh, shuma e lartësisë dhe bazës së të cilit është e barabartë me diametrin e rrethit. Përcaktoni lartësinë.
42. Përcaktoni rrezen e rrethit të rrethuar rreth një trekëndëshi dykëndësh: 1) nëse baza është 16 cm dhe lartësia është 4 cm; 2) nëse ana është 12 dm dhe lartësia është 9 dm; 3) nëse ana është 15 m dhe baza është 18 m.
43. Në një trekëndësh dykëndësh, baza është 48 dm dhe brinja është 30 dm. Përcaktoni rrezet e rrathëve, të rrethuar dhe të brendashkruar, dhe distancën midis qendrave të tyre.
44. Rrezja është r, korda e këtij harku është e barabartë me A. Përcaktoni kordën e harkut të dyfishtë.
45. Rrezja e rrethit është 8 dm; akordi AB është 12 dm. Në pikën A tërhiqet një tangjente dhe nga pika B ka një kordë BC paralele me tangjenten. Përcaktoni distancën midis tangjentës dhe kordës së avionit.
46. Pika A hiqet nga rreshti MN me një distancë Me. Rrezja e dhënë r një rreth përshkruhet në mënyrë që të kalojë nëpër pikën A dhe të prekë drejtëzën MN. Përcaktoni distancën midis pikës së përftuar të tangencës dhe pikës së dhënë A.
Teorema 111. 1) Një pingul i tërhequr nga çdo pikë në një rreth në një diametër është mesatarisht proporcionale midis pjesëve të diametrit. Kjo pingul nganjëherë quhet ordinate.
2) Korda që lidh fundin e diametrit me një pikë në rreth është mesatarisht proporcionale midis diametrit dhe segmentit ngjitur me kordën.
E dhënë. Le ta ulim CD-në pingul nga një pikë C e rrethit në diametrin AB (Fig. 169).
Duhet të vërtetoni se 1) AD/CD = CD/DB, dhe gjithashtu 2) AD/AC = AC/AB.
Dëshmi. Le të lidhim pikën C me skajet e diametrit AB, pastaj në pikën C formohet një kënd i drejtë ACB, në të cilin segmenti CD është pingul i rënë nga kulmi i këndit të drejtë në hipotenuzë.
Bazuar në Teoremën 100, vlen proporcioni i mëposhtëm:
bazuar në proporcionin e Teoremës 101:
AD/AC = AC/AB, DB/CB = CB/AB (1)
Pasoja. Sheshet e kordave trajtohen si segmente me diametër përkatës.
Dëshmi. Nga proporcioni (1) vijojnë barazitë:
AC 2 = AB AD, CB 2 = AB BD
nga ku sipas pjesëtimit gjejmë:
AC 2 /CB 2 = AD/DB.
Teorema 112. Pjesët e kordave të kryqëzuara janë në përpjesëtim të zhdrejtë me njëra-tjetrën.
Jepen dy korda të kryqëzuara AB dhe CD (Fig. 170).
Kërkohet të vërtetohet se
d.m.th. pjesa më e madhe e akordit të parë është në pjesën më të madhe të të dytës, pasi pjesa më e vogël e akordit të dytë është në pjesën më të vogël të së parës.
Dëshmi. Le të lidhim pikën A me C dhe B me D, atëherë formohen dy trekëndësha të ngjashëm ACE dhe DBE, sepse këndet në pikën E janë të barabarta si vertikale, ∠CAB = ∠CDB që mbështeten në skajet e harkut CB, ∠ACD = ∠ABD pasi mbështetet në skajet e harkut A.D.
Nga ngjashmëria e trekëndëshave ACE dhe DBE, proporcioni vijon:
BE/DE = CE/AE (a)
Nga proporcioni (a) barazia vijon:
BE · AE = DE · CE
duke treguar se prodhimi i segmenteve të një korde është i barabartë me prodhimin e segmenteve të një kordeje tjetër.
Teorema 113. Dy sekante të tërhequra nga e njëjta pikë jashtë rrethit janë në përpjesëtim të zhdrejtë me pjesët e tyre të jashtme.
Jepen dy sekante AB dhe AC të nxjerra nga pika A (Figura 171).
Kërkohet të vërtetohet se
domethënë sekanti i parë lidhet me të dytin, ashtu siç lidhet pjesa e jashtme e të dytit me pjesën e jashtme të sekantit të parë.
Dëshmi. Le të lidhim pikat D me C, dhe B me E.
Dy trekëndësha ∠ABE dhe ∠ADC janë të ngjashëm, sepse këndi A është i përbashkët, B = C siç mbështetet nga skajet e të njëjtit hark DE, prandaj ∠ADC = ∠AEB.
Nga ngjashmëria e trekëndëshave ADC dhe ABE, proporcioni vijon:
AC/AB = AD/AE (CHD).
Nga kjo proporcion i njëjtë rrjedh barazia
AC · AE = AB · AD
duke treguar se prodhimi i një sekanti dhe segmenti i tij i jashtëm është i barabartë me prodhimin e një sekanti tjetër dhe segmentit të tij(nëse sekantët lënë të njëjtën pikë).
Teorema 114. Tangjentja është mesatarisht proporcionale ndërmjet të gjithë sekantit dhe pjesës së jashtme të tij.
Janë dhënë një tangjente AB dhe një sekante BC (Fig. 172).
Kërkohet të vërtetohet se
Dëshmi. Le të lidhim pikën A me pikat C dhe D.
Trekëndëshat ABC dhe ABD janë të ngjashëm, sepse këndi B është i përbashkët, ∠BAD = ∠ACD, prandaj ∠CAB = ∠ADB.
BC/AB = AB/BD (CHD).
Nga ky proporcion del barazia:
AB 2 = BC BD
duke treguar se katrori i tangjentes është i barabartë me prodhimin e sekantit dhe pjesës së jashtme të tij.
Vetia e brinjëve të katërkëndëshit ciklik
Teorema 115. Në çdo katërkëndësh të gdhendur në një rreth, prodhimi i diagonaleve është i barabartë me shumën e produkteve të anëve të kundërta.
Ky supozim, i njohur si teorema e Ptolemeut, shfaqet për herë të parë në veprën e Ptolemeut "Alageste" në shekullin II pas Krishtit.
Jepet një katërkëndësh ciklik ABCD (Fig. 173) dhe diagonalet e vizatuara AC dhe BD.
Duhet të vërtetojmë se AC · BD = AB · CD + BC · AD.
Dëshmi. Le të vizatojmë drejtëzën BE në mënyrë që këndi EBC të jetë i barabartë me këndin ABD. Dy trekëndësha ABD dhe BEC janë të ngjashëm, sepse ∠ABD = ∠CBE nga ndërtimi, ∠ADB = ∠BCE që mbështeten në të njëjtin hark AB, prandaj,
Nga ngjashmëria e këtyre trekëndëshave proporcioni vijon:
BC/BD = EC/AD (a)
Trekëndëshat ABE dhe BCD janë të ngjashëm, sepse ∠ABE = ∠DBC nga ndërtimi, ∠BAE = ∠BDC siç mbështetet nga harku BC, prandaj,
∠BEA = ∠BCD.
Nga ngjashmëria e këtyre trekëndëshave proporcioni vijon:
AB/BD = AE/CD (b)
Nga proporcionet (a) dhe (b) vijojnë barazitë:
BC AD = BD EC
AB · CD = BD · AE
Duke shtuar këto barazi, kemi:
B.C. AD + AB CD = BD EC + BD AE = BD (EC + AE)
Meqenëse EC + AE = AC, atëherë
BD · AC = BC · AD + AB · CD (CHT).
Teorema 116. Në çdo katërkëndësh ciklik, diagonalet janë shuma e produkteve të brinjëve bazuar në skajet e diagonaleve.
Jepet një katërkëndësh ciklik ABCD (Fig. 174) dhe vizatohen diagonalet AC dhe BD.
Kërkohet të vërtetohet se
BD/AC = (AD DC + AB BC) / (BC CD + AD AB)
Dëshmi. a) Nga pika B vizatojmë një hark BE të barabartë me DC dhe lidhim pikën E me pikat A, B, D.
Për katërkëndëshin ciklik ABED barazia vlen:
AE · BD = AD · BE + AB · DE.
Meqenëse BE = CD nga ndërtimi, DE = BC, pasi ◡DE = ◡DC + ◡CE dhe ◡BC = ◡BE + ◡CE.
Duke zëvendësuar BE dhe DE me vlerat e tyre, kemi barazinë:
AE · BD = AD · CD + AB · BC (a)
b) Duke vonuar nga pika A harkun AF të barabartë me harkun BC dhe pikën lidhëse F me pikat A, D, C, kemi barazinë për katërkëndëshin AFCD:
AC · DF = AF · CD + AD · CF
Në këtë barazi, AF = BC sipas ndërtimit, CF = AB (për ◡CF = ◡BC + ◡BF dhe ◡AB = ◡AF + ◡BF = ◡BC + ◡BF)
Duke zëvendësuar vlerat e AF dhe CF me vlerat e tyre, gjejmë barazinë:
AC DF = BC CD + AD AB (b)
Në barazitë (a) dhe (b), segmentet AE dhe DF janë të barabarta, sepse
◡ADE = AD + DE = ◡AD + ◡BC = ◡AD + ◡AF = ◡DAF
Duke ndarë barazitë (a) dhe (b), gjejmë:
BC/AD = (AD C D + AB · BC) / (BC · CD + AD · AB)(CHTD).
Trekëndëshi ABC është drejtkëndor (Fig. 11), C = 90°, CD është pingul me AB, BD dhe DA janë projeksionet e këmbëve BC dhe AC mbi hipotenuzën AB. Teorema: 1) lartësia e tërhequr nga kulmi i një këndi të drejtë në hipotenuzë është vlera mesatare proporcionale midis projeksioneve të këmbëve mbi hipotenuzë, d.m.th. ; 2) çdo këmbë është vlera mesatare proporcionale midis hipotenuzës dhe projeksionit të kësaj këmbë në hipotenuzë, d.m.th.
Teorema e Pitagorës. Katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve.
|
|
Teorema. Nëse përmes një pike të marrë brenda
vizatohen rrethi, diametri dhe një kordë arbitrare,
atëherë prodhimi i gjatësive të segmenteve të diametrit është i barabartë me
por te prodhimi i gjatësive të segmenteve të kordës, d.m.th. (Fig. 12).
|
Pasoja. Prodhimet e gjatësive të segmenteve të kordave të kryqëzuara janë të barabarta, d.m.th.
Teorema. Nëse një tangjente dhe një sekante vizatohen nga një pikë jashtë rrethit, atëherë prodhimi i të gjithë sekantës dhe pjesës së jashtme të tij është i barabartë me katrorin e tangjentes, d.m.th. (Fig. 13).
|
Përkufizimet. Sinusi i një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i këmbës përballë këtij këndi me hipotenuzën, kosinusi është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën, tangjentja është raporti i këmbës së kundërt me fqinjin, kotangjentja është raporti i këmbës ngjitur me të kundërtën.
Një tangjente dhe një sekant vizatohen nga pika A jashtë rrethit. Distanca nga A në pikën e tangjences është 16 cm, dhe nga A në një nga pikat e prerjes së sekantit me rrethin është 32 cm. Gjeni rrezen e rrethit nëse sekanti është 5 cm larg qendrës së tij.
|
Në Fig. 14 AB – tangjente me një rreth me qendër O, AD – sekant. OK është pingul me DC, AB = 16 cm, AD = 32 cm, OK = 5 cm Nga teorema rreth tangjentëve dhe sekanteve ose, AC = 8 cm shih nga teorema për kordat që ndërpriten brenda një rrethi , pra pasi EP është diametri pingul me kordën DC. Do ta marrim. Në këtë barazi zëvendësojmë EK me , KR me , DK me 12, marrim: OE = 13 cm – rrezja e kërkuar.
104. Brinjët e drejtkëndëshit janë 30 dhe 40 cm
nga kulmi i drejtkëndëshit në diagonalen që nuk kalon nëpër këtë kulm.
105. Perimetri i rombit është 1 m. Njëra diagonale është më e gjatë se tjetra
1 dm. Njehsoni diagonalet e rombit.
Në një rreth, akorde paralele me gjatësi 36 dhe 48 mm janë tërhequr në anët e kundërta të qendrës, distanca midis tyre është 42 mm. Llogaritni rrezen e rrethit.
Këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë janë në raport 5:6, hipotenuza është 122 cm Gjeni segmentet e hipotenuzës të prera nga lartësia.
Një tangjente dhe një sekant i tërhequr nga një pikë në një rreth janë reciproke pingul. Tangjentja është 12, pjesa e brendshme e sekantit është 10. Gjeni rrezen e rrethit.
Dy tangjente janë tërhequr në një rreth me rreze 7 cm nga një pikë 25 cm larg qendrës.
Gjerësia e unazës së formuar nga dy rrathë koncentrikë është 8 dm, korda e rrethit më të madh tangjent me më të voglin është 4 m.
Rrezja e rrethit është 7 cm nga një pikë e largët nga qendra
9 cm, vizatohet një sekant në mënyrë që të ndahet nga rrethi në pjesë të barabarta. Gjeni gjatësinë e këtij sekanti.
Tangjenti me rrethin është 20 cm, dhe sekanti më i gjatë i tërhequr nga e njëjta pikë është 50 cm.
Një tangjente dhe një sekante tërhiqen nga një pikë në një rreth, gjatësia e të cilit është a, dhe segmenti i brendshëm i tij është më i madh se segmenti i jashtëm për gjatësinë e tangjentes. Gjeni gjatësinë e tangjentes.
Një trekëndësh dykëndësh është i gdhendur në një rreth me rreze R, shuma e lartësisë dhe bazës së tij është e barabartë me diametrin e rrethit. Gjeni lartësinë e trekëndëshit.
Në një trekëndësh dykëndësh, baza dhe brinja janë përkatësisht 48 dhe 30 inç. Llogaritni rrezet e rrathëve, të rrethuar dhe të brendashkruar, dhe distancën midis qendrave të tyre.
Le të shqyrtojmë fillimisht AC-në sekante të tërhequr nga pika A, jashtë rrethit të dhënë (Fig. 288). Nga e njëjta pikë vizatojmë një tangjente AT. Segmentin ndërmjet pikës A dhe pikës së kryqëzimit më afër saj me pjesën e jashtme të rrethit do ta quajmë sekant (segmenti AB në figurën 288), ndërsa segmenti AC në më të largëtin nga dy pikat e kryqëzimit është thjesht një sekant. Segmenti tangjent nga A në pikën tangjente quhet shkurtimisht edhe tangjente. Atëherë është e drejtë
Teorema. Prodhimi i një sekante dhe pjesës së jashtme të tij është i barabartë me katrorin e tangjentes.
Dëshmi. Le të lidhim pikat. Trekëndëshat ACT dhe BT A janë të ngjashëm, pasi këndi në kulmin A është i përbashkët, dhe këndet ACT janë të barabartë, pasi që të dy maten me gjysmën e të njëjtit hark TV. Prandaj, nga këtu marrim rezultatin e kërkuar:
Tangjentja është e barabartë me mesataren gjeometrike midis një sekanti të tërhequr nga e njëjta pikë dhe pjesës së jashtme të tij.
Pasoja. Për çdo sekant të tërhequr nëpër një pikë të caktuar A, prodhimi i gjatësisë së tij dhe pjesës së jashtme është konstant:
Le të shqyrtojmë tani akordet që kryqëzohen në një pikë të brendshme. Deklarata është e vërtetë:
Nëse dy korda kryqëzohen, atëherë prodhimi i segmenteve të një korde është i barabartë me produktin e segmenteve të tjetrës (nënkupton segmentet në të cilat ndahet korda me pikën e kryqëzimit).
Pra, në Fig. 289 korda AB dhe CD kryqëzohen në pikën M, dhe kemi Me fjalë të tjera,
Për një pikë të caktuar M, prodhimi i segmenteve në të cilat ajo ndan çdo kordë që kalon nëpër të është konstante.
Për ta vërtetuar këtë, vërejmë se trekëndëshat MBC dhe MAD janë të ngjashëm: këndet CMV dhe DMA janë vertikale, këndet MAD dhe MCB qëndrojnë në të njëjtin hark. Nga këtu gjejmë
Q.E.D.
Nëse një pikë e dhënë M shtrihet në një distancë l nga qendra, atëherë, duke tërhequr një diametër përmes saj dhe duke e konsideruar atë si një nga kordat, gjejmë se prodhimi i segmenteve të diametrit, dhe rrjedhimisht i çdo korde tjetër, është i barabartë. në katrorin e gjysmëkordonit minimal ( pingul me diametrin e specifikuar) që kalon nëpër M.
Teorema mbi qëndrueshmërinë e prodhimit të segmenteve të një korde dhe teorema mbi qëndrueshmërinë e prodhimit të një sekanti dhe pjesës së jashtme të tij janë dy raste të të njëjtit pohim, ndryshimi i vetëm është nëse sekantet janë tërhequr nëpërmjet të jashtmes ose pika e brendshme e rrethit. Tani mund të specifikojmë një veçori tjetër që dallon katërkëndëshat ciklikë:
Në çdo katërkëndësh ciklik, produktet e prera në të cilat ndahen diagonalet me pikën e kryqëzimit të tyre janë të barabarta.
Domosdoshmëria e kushtit është e qartë, pasi diagonalet do të jenë korda të rrethit. Mund të tregohet se edhe ky kusht është i mjaftueshëm.
Prona 1 . Nëse kordat AB dhe CD të rrethit kryqëzohen në pikën S, atëherë AS BS = CS DS, domethënë DS/BS = AS/CS.
Dëshmi. Le të provojmë fillimisht se trekëndëshat ASD dhe CSB janë të ngjashëm.
Këndet e brendashkruara DCB dhe DAB janë të barabarta, sikur të nënshtrohen nga i njëjti hark.
Këndet ASD dhe BSC janë të barabarta si vertikale.
Nga barazia e këndeve të treguara rrjedh se trekëndëshat ASD dhe CSB janë të ngjashëm. Nga ngjashmëria e trekëndëshave rrjedh proporcioni
DS/BS = AS/CS, ose AS BS = CS DS,
Q.E.D.
Vetia 2. Nëse dy sekante janë tërhequr nga pika P në një rreth, duke e prerë rrethin përkatësisht në pikat A, B dhe C, D, atëherë AP/CP = DP/BP.
Dëshmi. Le të jenë A dhe C pikat e kryqëzimit të sekanteve me rrethin më afër pikës P. Trekëndëshat PAD dhe PCB janë të ngjashëm. Ata kanë një kënd të përbashkët në kulmin P, dhe këndet B dhe D janë të barabartë me ato të brendashkruara, duke u mbështetur në të njëjtin hark. Nga ngjashmëria e trekëndëshave rrjedh proporcioni AP/CP = DP/BP, që është ajo që duhej vërtetuar.
Vetia përgjysmuese e këndit të një trekëndëshi
Përgjysmuesi i këndit të një trekëndëshi e ndan anën e kundërt në segmente proporcionale me dy brinjët e tjera.
Dëshmi. Le të jetë CD përgjysmues i trekëndëshit ABC. Nëse trekëndëshi ABC është dykëndësh me bazën AB, atëherë vetia e treguar e përgjysmuesit është e dukshme, pasi në këtë rast përgjysmuesja është edhe mediana. Le të shqyrtojmë rastin e përgjithshëm kur AC nuk është i barabartë me BC. Le të hedhim pingulet AF dhe BE nga kulmet A dhe B në vijën CD. Trekëndëshat kënddrejtë ACF dhe VSE janë të ngjashëm, pasi kanë kënde akute të barabarta në kulmin C.
Nga ngjashmëria e trekëndëshave rrjedh proporcionaliteti i brinjëve: AC/BC = AF/BE. Trekëndëshat kënddrejtë ADF dhe BDE janë gjithashtu të ngjashëm. Këndet e tyre në kulmin D janë të barabartë me këndet vertikale. Nga ngjashmëria rrjedh: AF/BE = AD/BD. Duke e krahasuar këtë barazi me atë të mëparshme, marrim: AC/BC = AD/BD ose AC/AD = BC/BD, domethënë AD dhe BD janë proporcionale me brinjët AC dhe BC.
