Ka disa kufij të shquar, por më të famshmit janë kufijtë e parë dhe të dytë të shquar. Gjëja kryesore për këto kufij është se ato përdoren gjerësisht dhe me ndihmën e tyre mund të gjeni kufij të tjerë që gjenden në probleme të shumta. Kjo është ajo që do të bëjmë në pjesën praktike të këtij mësimi. Për të zgjidhur problemet duke i reduktuar ato në kufirin e parë ose të dytë të shquar, nuk ka nevojë të zbulohen pasiguritë që përmbajnë ato, pasi vlerat e këtyre kufijve janë nxjerrë prej kohësh nga matematikanë të mëdhenj.
Kufiri i parë i shquar quhet kufiri i raportit të sinusit të një harku pafundësisht të vogël me të njëjtin hark, i shprehur në masë radian:
Le të kalojmë në zgjidhjen e problemeve në kufirin e parë të jashtëzakonshëm. Shënim: nëse ka një funksion trigonometrik nën shenjën e kufirit, kjo është një shenjë pothuajse e sigurt që kjo shprehje mund të reduktohet në kufirin e parë të dukshëm.
Shembulli 1. Gjeni kufirin.
Zgjidhje. Në vend të kësaj, zëvendësimi x zero çon në pasiguri:
.
Emëruesi është sinus, prandaj, shprehja mund të sillet në kufirin e parë të shquar. Le të fillojmë transformimin:
.
Emëruesi është sinusi i tre X, por numëruesi ka vetëm një X, që do të thotë se duhet të merrni tre X në numërues. Për çfarë? Për të prezantuar 3 x = a dhe merrni shprehjen.
Dhe arrijmë te një variacion i kufirit të parë të jashtëzakonshëm:
sepse nuk ka rëndësi se cila shkronjë (ndryshore) në këtë formulë qëndron në vend të X.
Ne e shumëzojmë X me tre dhe ndajmë menjëherë:
.
Në përputhje me kufirin e parë të shquar të vërejtur, ne zëvendësojmë shprehjen thyesore:
Tani më në fund mund ta zgjidhim këtë kufi:
.
Shembulli 2. Gjeni kufirin.
Zgjidhje. Zëvendësimi i drejtpërdrejtë përsëri çon në pasigurinë "zero pjesëtuar me zero":
.
Për të marrë kufirin e parë të shquar, është e nevojshme që x nën shenjën sinus në numërues dhe vetëm x në emërues të kenë të njëjtin koeficient. Le të jetë ky koeficient i barabartë me 2. Për ta bërë këtë, imagjinoni koeficientin aktual për x si më poshtë, duke kryer veprime me fraksione, marrim:
.
Shembulli 3. Gjeni kufirin.
Zgjidhje. Kur zëvendësojmë, ne përsëri marrim pasigurinë "zero pjesëtuar me zero":
.
Ju ndoshta tashmë e kuptoni se nga shprehja origjinale mund të merrni kufirin e parë të mrekullueshëm të shumëzuar me kufirin e parë të mrekullueshëm. Për ta bërë këtë, ne zbërthejmë katrorët e x në numërues dhe sinusin në emërues në faktorë identikë, dhe për të marrë të njëjtat koeficientë për x dhe sinus, ne e ndajmë x në numërues me 3 dhe shumëzojmë menjëherë. nga 3. Ne marrim:
.
Shembulli 4. Gjeni kufirin.
Zgjidhje. Edhe një herë marrim pasigurinë "zero pjesëtuar me zero":
.
Ne mund të marrim raportin e dy kufijve të parë të shquar. Ndajmë edhe numëruesin edhe emëruesin me x. Pastaj, në mënyrë që koeficientët për sinuset dhe xes të përkojnë, ne shumëzojmë x-në e sipërme me 2 dhe pjesëtojmë menjëherë me 2, dhe x-in e poshtëm shumëzojmë me 3 dhe pjesëtojmë menjëherë me 3. Marrim:
Shembulli 5. Gjeni kufirin.
Zgjidhje. Dhe përsëri pasiguria e "zeros pjesëtuar me zero":
Kujtojmë nga trigonometria se tangjentja është raporti i sinusit me kosinusin dhe kosinusi zero është i barabartë me një. Ne kryejmë transformimet dhe marrim:
.
Shembulli 6. Gjeni kufirin.
Zgjidhje. Funksioni trigonometrik nën shenjën e një kufiri sugjeron përsëri përdorimin e kufirit të parë të shquar. Ne e paraqesim atë si raport i sinusit me kosinusin.
Formula për kufirin e dytë të shquar është lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Një formë tjetër e shkrimit duket kështu: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
Kur flasim për kufirin e dytë të shquar, duhet të merremi me pasigurinë e formës 1 ∞, d.m.th. unitet në një shkallë të pafundme.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Le të shqyrtojmë problemet në të cilat aftësia për të llogaritur kufirin e dytë të shquar do të jetë e dobishme.
Shembulli 1
Gjeni kufirin lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Zgjidhje
Le të zëvendësojmë formulën e kërkuar dhe të kryejmë llogaritjet.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Përgjigja jonë doli të ishte një për fuqinë e pafundësisë. Për të përcaktuar metodën e zgjidhjes, ne përdorim tabelën e pasigurisë. Le të zgjedhim kufirin e dytë të shquar dhe të bëjmë një ndryshim të variablave.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Nëse x → ∞, atëherë t → - ∞.
Le të shohim se çfarë kemi marrë pas zëvendësimit:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Përgjigje: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Shembulli 2
Llogaritni kufirin lim x → ∞ x - 1 x + 1 x.
Zgjidhje
Le të zëvendësojmë pafundësinë dhe të marrim sa vijon.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
Në përgjigje, ne përsëri morëm të njëjtën gjë si në problemin e mëparshëm, prandaj, mund të përdorim përsëri kufirin e dytë të shquar. Më pas, duhet të zgjedhim të gjithë pjesën në bazën e funksionit të fuqisë:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Pas kësaj, kufiri merr formën e mëposhtme:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Zëvendësoni variablat. Le të supozojmë se t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; nëse x → ∞, atëherë t → ∞.
Pas kësaj, ne shkruajmë atë që kemi marrë në kufirin origjinal:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Për të kryer këtë transformim, ne përdorëm vetitë themelore të kufijve dhe fuqive.
Përgjigje: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Shembulli 3
Llogaritni kufirin lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Zgjidhje
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Pas kësaj, ne duhet të transformojmë funksionin për të aplikuar kufirin e dytë të madh. Ne morëm sa vijon:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Meqenëse tani kemi të njëjtët eksponentë në numëruesin dhe emëruesin e thyesës (e barabartë me gjashtë), kufiri i thyesës në pafundësi do të jetë i barabartë me raportin e këtyre koeficientëve në fuqi më të larta.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
Duke zëvendësuar t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 ne marrim një kufi të dytë të shquar. Kjo do të thotë se:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Përgjigje: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
konkluzione
Pasiguria 1 ∞, d.m.th. uniteti ndaj një fuqie të pafundme është një pasiguri fuqi-ligj, prandaj mund të zbulohet duke përdorur rregullat për gjetjen e kufijve të funksioneve të fuqisë eksponenciale.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Nga artikulli i mësipërm mund të zbuloni se cili është kufiri dhe me çfarë hahet - kjo është shumë e rëndësishme. Pse? Ju mund të mos kuptoni se çfarë janë përcaktuesit dhe t'i zgjidhni ato me sukses, mund të mos kuptoni fare se çfarë është një derivat dhe t'i gjeni ato me një "A". Por nëse nuk e kuptoni se çfarë është një kufi, atëherë zgjidhja e detyrave praktike do të jetë e vështirë. Do të ishte gjithashtu një ide e mirë të njiheni me zgjidhjet e mostrës dhe rekomandimet e mia të projektimit. Të gjitha informacionet paraqiten në një formë të thjeshtë dhe të arritshme.
Dhe për qëllimet e këtij mësimi do të na duhen materialet e mëposhtme mësimore: Kufij të mrekullueshëm Dhe Formulat trigonometrike. Ato mund të gjenden në faqe. Është më mirë të printoni manualet - është shumë më i përshtatshëm, dhe përveç kësaj, shpesh do t'ju duhet t'i referoheni atyre jashtë linje.
Çfarë është kaq e veçantë për kufijtë e jashtëzakonshëm? Gjëja e jashtëzakonshme në lidhje me këto kufij është se ato u vërtetuan nga mendjet më të mëdha të matematikanëve të famshëm dhe pasardhësit mirënjohës nuk duhet të vuajnë nga kufijtë e tmerrshëm me një grumbull funksionesh trigonometrike, logaritme, fuqi. Kjo do të thotë, kur të gjejmë kufijtë, ne do të përdorim rezultate të gatshme që janë vërtetuar teorikisht.
Ka disa kufij të mrekullueshëm, por në praktikë, në 95% të rasteve, studentët me kohë të pjesshme kanë dy kufij të mrekullueshëm: Kufiri i parë i mrekullueshëm, Kufiri i dytë i mrekullueshëm. Duhet të theksohet se këta janë emra të vendosur historikisht dhe kur, për shembull, flasin për "kufirin e parë të shquar", nënkuptojnë me këtë një gjë shumë specifike dhe jo ndonjë kufi të rastësishëm të marrë nga tavani.
Kufiri i parë i mrekullueshëm
Merrni parasysh kufirin e mëposhtëm: (në vend të shkronjës amtare "ai" do të përdor shkronjën greke "alfa", kjo është më e përshtatshme nga pikëpamja e paraqitjes së materialit).
Sipas rregullit tonë për gjetjen e kufijve (shih artikullin Limitet. Shembuj zgjidhjesh) ne përpiqemi të zëvendësojmë zeron në funksion: në numërues marrim zero (sinusi i zeros është zero), dhe në emërues, padyshim, ka edhe zero. Kështu, jemi përballur me një pasiguri të formës, e cila, për fat të mirë, nuk ka nevojë të zbulohet. Gjatë analizës matematikore vërtetohet se:
Ky fakt matematik quhet Kufiri i parë i mrekullueshëm. Unë nuk do të jap një provë analitike të kufirit, por do të shikojmë kuptimin e tij gjeometrik në mësimin rreth funksionet infiniteminale.
Shpesh në detyrat praktike funksionet mund të organizohen ndryshe, kjo nuk ndryshon asgjë:
- i njëjti kufi i parë i mrekullueshëm.
Por ju nuk mund të riorganizoni numëruesin dhe emëruesin vetë! Nëse një kufi jepet në formën , atëherë ai duhet të zgjidhet në të njëjtën formë, pa riorganizuar asgjë.
Në praktikë, jo vetëm një ndryshore, por edhe një funksion elementar ose një funksion kompleks mund të veprojë si një parametër. E vetmja gjë e rëndësishme është se ajo tenton në zero.
Shembuj:
, , 
, 
Këtu , , , 
, dhe gjithçka është mirë - kufiri i parë i mrekullueshëm është i zbatueshëm.
Por hyrja e mëposhtme është herezi:
Pse? Për shkak se polinomi nuk priret në zero, ai tenton në pesë.
Nga rruga, një pyetje e shpejtë: cili është kufiri? 
? Përgjigja mund të gjendet në fund të mësimit.
Në praktikë, jo gjithçka është aq e qetë, pothuajse kurrë një studenti nuk i ofrohet të zgjidhë një kufi falas dhe të marrë një kalim të lehtë. Hmmm... Po shkruaj këto rreshta dhe më erdhi në mendje një mendim shumë i rëndësishëm - në fund të fundit, është më mirë të mbani mend përkufizimet dhe formulat matematikore "falas" përmendësh, kjo mund të japë një ndihmë të paçmuar në test, kur pyetja do të të vendoset midis "dy" dhe "tre", dhe mësuesi vendos t'i bëjë nxënësit një pyetje të thjeshtë ose t'i ofrojë për të zgjidhur një shembull të thjeshtë ("ndoshta ai/ajo e di ende çfarë?!").
Le të vazhdojmë të shqyrtojmë shembuj praktikë:
Shembulli 1
Gjeni kufirin
Nëse vërejmë një sinus në kufi, atëherë kjo duhet të na shtyjë menjëherë të mendojmë për mundësinë e aplikimit të kufirit të parë të shquar.
Së pari, ne përpiqemi të zëvendësojmë 0 në shprehjen nën shenjën e kufirit (e bëjmë këtë mendërisht ose në një draft):
Pra kemi një pasiguri të formës sigurohuni që të tregoni në marrjen e një vendimi. Shprehja nën shenjën e kufirit është e ngjashme me kufirin e parë të mrekullueshëm, por nuk është pikërisht ai, është nën sinus, por në emërues.
Në raste të tilla, ne duhet të organizojmë vetë kufirin e parë të shquar, duke përdorur një teknikë artificiale. Linja e arsyetimit mund të jetë si më poshtë: "nën sinusin që kemi , që do të thotë se duhet të marrim edhe emëruesin."
Dhe kjo bëhet shumë thjesht:
Kjo do të thotë, emëruesi shumëzohet artificialisht në këtë rast me 7 dhe pjesëtohet me të njëjtën shtatë. Tani regjistrimi ynë ka marrë një formë të njohur.
Kur detyra është hartuar me dorë, këshillohet të shënoni kufirin e parë të shquar me një laps të thjeshtë:
Çfarë ndodhi? Në fakt, shprehja jonë e rrethuar u shndërrua në njësi dhe u zhduk në vepër: 
Tani gjithçka që mbetet është të heqim qafe fraksionin trekatësh: 
Kush e ka harruar thjeshtimin e thyesave me shumë nivele, ju lutemi rifreskoni materialin në librin e referencës Formula të nxehta për kursin e matematikës në shkollë .
Gati. Përgjigja përfundimtare:
Nëse nuk dëshironi të përdorni shenja lapsash, atëherë zgjidhja mund të shkruhet kështu:
“
Le të përdorim kufirin e parë të mrekullueshëm 
“
Shembulli 2
Gjeni kufirin
Përsëri shohim një fraksion dhe një sinus në kufi. Le të përpiqemi të zëvendësojmë zeron në numërues dhe emërues:
Në të vërtetë, ne kemi pasiguri dhe, për këtë arsye, duhet të përpiqemi të organizojmë kufirin e parë të mrekullueshëm. Në klasë Limitet. Shembuj zgjidhjesh kemi konsideruar rregullin që kur kemi pasiguri, duhet të faktorizojmë numëruesin dhe emëruesin. Këtu është e njëjta gjë, ne do t'i paraqesim shkallët si një produkt (shumëzues):
Ngjashëm me shembullin e mëparshëm, ne vizatojmë një laps rreth kufijve të jashtëzakonshëm (këtu ka dy prej tyre) dhe tregojmë se ato priren drejt unitetit:
Në fakt, përgjigja është gati:
Në shembujt e mëposhtëm, unë nuk do të bëj art në Paint, mendoj se si të hartoj saktë një zgjidhje në një fletore - tashmë e kuptoni.
Shembulli 3
Gjeni kufirin
Ne e zëvendësojmë zeron në shprehjen nën shenjën kufi:
Është krijuar një pasiguri që duhet të zbulohet. Nëse ka një tangjente në kufi, atëherë ajo pothuajse gjithmonë shndërrohet në sinus dhe kosinus duke përdorur formulën e mirënjohur trigonometrike (nga rruga, ata bëjnë përafërsisht të njëjtën gjë me kotangjentën, shih materialin metodologjik Formulat e nxehta trigonometrike në faqe Formulat matematikore, tabelat dhe materialet referuese).
Në këtë rast:
Kosinusi zero është i barabartë me një, dhe është e lehtë ta heqësh qafe atë (mos harroni të shënoni se priret në një):
Kështu, nëse në kufi kosinusi është SHUMËZUES, atëherë, përafërsisht, ai duhet të kthehet në një njësi, e cila zhduket në produkt.
Këtu gjithçka doli më e thjeshtë, pa asnjë shumëzim dhe ndarje. Kufiri i parë i shquar gjithashtu shndërrohet në një dhe zhduket në produkt:
Si rezultat, fitohet pafundësia dhe kjo ndodh.
Shembulli 4
Gjeni kufirin
Le të përpiqemi të zëvendësojmë zeron në numërues dhe emërues:
Përftohet pasiguria (kosinusi i zeros, siç kujtojmë, është i barabartë me një)
Ne përdorim formulën trigonometrike. Merrni parasysh! Për disa arsye, kufizimet duke përdorur këtë formulë janë shumë të zakonshme.
Le të lëvizim faktorët konstant përtej ikonës së kufirit:
Le të organizojmë kufirin e parë të mrekullueshëm:
Këtu kemi vetëm një kufi të jashtëzakonshëm, i cili shndërrohet në një dhe zhduket në produkt:
Le të heqim qafe strukturën trekatëshe:
Kufiri është zgjidhur në të vërtetë, ne tregojmë se sinusi i mbetur tenton në zero:
Shembulli 5
Gjeni kufirin 
Ky shembull është më i ndërlikuar, përpiquni ta kuptoni vetë:
Disa kufij mund të reduktohen në kufirin e parë të shquar duke ndryshuar një ndryshore, mund të lexoni për këtë pak më vonë në artikull Metodat për zgjidhjen e kufijve.
Kufiri i dytë i mrekullueshëm
Në teorinë e analizës matematikore është vërtetuar se:
Ky fakt quhet kufiri i dytë i mrekullueshëm.
Referenca: 
është një numër irracional.
Parametri mund të jetë jo vetëm një variabël, por edhe një funksion kompleks. E vetmja gjë e rëndësishme është se ai përpiqet për pafundësi.
Shembulli 6
Gjeni kufirin
Kur shprehja nën shenjën e kufirit është në një shkallë, kjo është shenja e parë që duhet të përpiqeni të zbatoni kufirin e dytë të mrekullueshëm.
Por së pari, si gjithmonë, ne përpiqemi të zëvendësojmë një numër pafundësisht të madh në shprehje, parimi me të cilin bëhet kjo diskutohet në mësim Limitet. Shembuj zgjidhjesh.
Është e lehtë të vërehet se kur baza e shkallës është , dhe eksponenti është , domethënë ka pasiguri të formës:
Kjo pasiguri zbulohet pikërisht me ndihmën e kufirit të dytë të shquar. Por, siç ndodh shpesh, kufiri i dytë i mrekullueshëm nuk qëndron në një pjatë argjendi dhe duhet të organizohet artificialisht. Mund të arsyetoni si më poshtë: në këtë shembull parametri është , që do të thotë se duhet të organizohemi edhe në tregues. Për ta bërë këtë, ne e ngremë bazën në fuqi, dhe në mënyrë që shprehja të mos ndryshojë, ne e ngremë atë në fuqi:
Kur detyra të përfundojë me dorë, shënojmë me laps:
Pothuajse gjithçka është gati, shkalla e tmerrshme është kthyer në një letër të bukur:
Në këtë rast, ne e zhvendosim vetë ikonën e kufirit në tregues:
Shembulli 7
Gjeni kufirin
Kujdes! Ky lloj kufiri ndodh shumë shpesh, ju lutemi studioni këtë shembull me shumë kujdes.
Le të përpiqemi të zëvendësojmë një numër pafundësisht të madh në shprehjen nën shenjën e kufirit:
Rezultati është pasiguria. Por kufiri i dytë i shquar vlen për pasigurinë e formës. Çfarë duhet bërë? Duhet të konvertojmë bazën e shkallës. Ne arsyetojmë kështu: në emërues kemi , që do të thotë se në numërues duhet të organizojmë edhe .
Dëshmi:
Le të vërtetojmë së pari teoremën për rastin e sekuencës 
Sipas formulës binomiale të Njutonit:
Duke supozuar se marrim
Nga kjo barazi (1) rezulton se me rritjen e n, rritet numri i termave pozitivë në anën e djathtë. Përveç kësaj, me rritjen e n, numri zvogëlohet, kështu që vlerat 
janë në rritje. Prandaj sekuenca 
në rritje, dhe (2)*Ne tregojmë se është i kufizuar. Zëvendësoni çdo kllapa në anën e djathtë të barazisë me një, ana e djathtë do të rritet dhe marrim pabarazinë
Le të forcojmë pabarazinë që rezulton, të zëvendësojmë 3,4,5, ..., duke qëndruar në emëruesit e thyesave, me numrin 2: E gjejmë shumën në kllapa duke përdorur formulën për shumën e termave të një progresion gjeometrik: Prandaj 
(3)*
Pra, sekuenca është e kufizuar nga lart, dhe pabarazitë (2) dhe (3) janë të kënaqur: 
Prandaj, bazuar në teoremën e Weierstrass (kriteri për konvergjencën e një sekuence), sekuenca 
monotonikisht rritet dhe kufizohet, që do të thotë se ka një kufi, të shënuar me shkronjën e. Ato. 
Duke ditur që kufiri i dytë i shquar është i vërtetë për vlerat natyrore të x, ne do të vërtetojmë kufirin e dytë të shquar për x real, domethënë do të vërtetojmë se 
. Le të shqyrtojmë dy raste:
1. Le të jetë e mbyllur secila vlerë e x midis dy numrave të plotë pozitivë: , ku është pjesa e plotë e x. => =>
Nëse , atëherë Prandaj, sipas kufirit 
ne kemi
Bazuar në kriterin (rreth kufirit të një funksioni të ndërmjetëm) të ekzistencës së kufijve 
2. Le të . Le të bëjmë zëvendësimin − x = t, atëherë
Nga këto dy raste rezulton se 
për x real.
Pasojat:
9 .) Krahasimi i infinitezimaleve. Teorema mbi zëvendësimin e infinitezimaleve me ato ekuivalente në kufi dhe teorema mbi pjesën kryesore të infinitezimaleve.
Lërini funksionet a ( x) dhe b( x) – b.m. në x ® x 0 .
PËRKUFIZIMET.
1)a( x) thirrur rend pafundësisht i vogël se b (x) Nëse
Shkruani: a( x) = o(b( x)) .
2) a ( x) Dhe b( x)quhen infinitezimale të të njëjtit rend, Nëse
ku CÎℝ dhe C¹ 0 .
Shkruani: a( x) = O(b( x)) .
3) a ( x) Dhe b( x) quhen ekuivalente , Nëse
Shkruani: a( x) ~ b( x).
4) a ( x) i quajtur infinitemale e rendit k relative
absolutisht pafundësisht i vogël b( x),
nëse pafundësisht i vogël a( x)Dhe(b( x)) k kanë të njëjtin rend, d.m.th. Nëse
ku CÎℝ dhe C¹ 0 .
TEOREMA 6 (mbi zëvendësimin e infinitezimaleve me ato ekuivalente).
Le a( x), b( x), a 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. në x ® x 0 . Nëse a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),
Se 
Vërtetim: Le të a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), Pastaj
TEOREMA 7 (rreth pjesës kryesore të infinitevozmës).
Le a( x)Dhe b( x)– b.m. në x ® x 0 , dhe b( x)– b.m. rendit më të lartë se a( x).
= , a pasi b( x) – renditje më e lartë se a( x), pastaj, d.m.th. 
nga është e qartë se një ( x) + b( x) ~ a ( x)
10) Vazhdimësia e një funksioni në një pikë (në gjuhën e epsilon-deltës, kufijtë gjeometrikë) Vazhdimësi e njëanshme. Vazhdimësia në një interval, në një segment. Vetitë e funksioneve të vazhdueshme.
1. Përkufizimet bazë
Le f(x) përcaktohet në ndonjë lagje të pikës x 0 .
PËRKUFIZIM 1. Funksioni f(x) thirrur e vazhdueshme në një pikë x 0 nëse barazia është e vërtetë
Shënime.
1) Në bazë të teoremës 5 §3, barazia (1) mund të shkruhet në formën
Kushti (2) - përcaktimi i vazhdimësisë së një funksioni në një pikë në gjuhën e kufijve të njëanshëm.
2) Barazia (1) mund të shkruhet edhe si:
Ata thonë: “nëse një funksion është i vazhdueshëm në një pikë x 0, atëherë shenja e kufirit dhe funksioni mund të ndërrohen."
PËRKUFIZIM 2 (në gjuhën e-d).
Funksioni f(x) thirrur e vazhdueshme në një pikë x 0 Nëse"e>0 $d>0 të tilla, Çfarë
nëse x OU( x 0 , d) (d.m.th. | x – x 0 | < d),
pastaj f(x)ÎU( f(x 0), e) (d.m.th. | f(x) – f(x 0) | < e).
Le x, x 0 Î D(f) (x 0 - fikse, x - arbitrare)
Le të shënojmë: D x= x – x 0 – rritje argumenti
D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – rritja e funksionit në pikënx 0
PËRKUFIZIM 3 (gjeometrik).
Funksioni f(x) në thirrur e vazhdueshme në një pikë
x 0
nëse në këtë pikë një rritje infinitimale në argument korrespondon me një rritje infinite vogël në funksion, d.m.th.
Lëreni funksionin f(x) përcaktohet në intervalin [ x 0 ; x 0 + d) (në intervalin ( x 0 – d; x 0 ]).
PËRKUFIZIM. Funksioni f(x) thirrur e vazhdueshme në një pikë
x 0 drejtë
(majtas
), nëse barazia është e vërtetë
Është e qartë se f(x) është e vazhdueshme në pikë x 0 Û f(x) është e vazhdueshme në pikë x 0 djathtas dhe majtas.
PËRKUFIZIM. Funksioni f(x) thirrur të vazhdueshme për një interval e ( a; b) nëse është i vazhdueshëm në çdo pikë të këtij intervali.
Funksioni f(x) quhet i vazhdueshëm në segment [a; b] nëse është i vazhdueshëm në interval (a; b) dhe ka vazhdimësi njëkahëshe në pikat kufitare(d.m.th. i vazhdueshëm në pikë a në të djathtë, në pikën b- majtas).
11) Pikat e thyerjes, klasifikimi i tyre
PËRKUFIZIM. Nëse funksioni f(x) të përcaktuara në ndonjë fqinjësi të pikës x 0 , por nuk është i vazhdueshëm në këtë pikë, atëherë f(x) quhet i ndërprerë në pikën x 0 , dhe vetë pika x 0 quhet pika e thyerjes funksionet f(x) .
Shënime.
1) f(x) mund të përkufizohet në një lagje jo të plotë të pikës x 0 .
Më pas merrni parasysh vazhdimësinë e njëanshme përkatëse të funksionit.
2) Nga përkufizimi i pikës Þ x 0 është pika e thyerjes së funksionit f(x) në dy raste:
a) U( x 0 , d)О D(f), por për f(x) barazia nuk vlen
b) U * ( x 0 , d)О D(f) .
Për funksionet elementare, vetëm rasti b) është i mundur.
Le x 0 - pika e ndërprerjes së funksionit f(x) .
PËRKUFIZIM. Pika x 0 thirrur pikë pushimi I lloj nëse funksioni f(x)ka kufij të fundëm majtas dhe djathtas në këtë pikë.
Nëse këto kufij janë të barabartë, atëherë pika x 0 thirrur pikë pushimi e lëvizshme , ndryshe - pikë kërcimi .
PËRKUFIZIM. Pika x 0 thirrur pikë pushimi II lloj nëse të paktën një nga kufijtë e njëanshëm të funksionit f(x)në këtë pikë është e barabartë¥ ose nuk ekziston.
12) Vetitë e funksioneve të vazhdueshme në një interval (teorema e Weierstrass (pa provë) dhe Cauchy
Teorema e Weierstrass
Le të jetë funksioni f(x) i vazhdueshëm në interval, atëherë
1)f(x) është i kufizuar në
2) f(x) merr vlerën e saj më të vogël dhe më të madhe në interval
Përkufizimi: Vlera e funksionit m=f quhet më e vogla nëse m≤f(x) për çdo x€ D(f).
Vlera e funksionit m=f thuhet se është më e madhe nëse m≥f(x) për çdo x € D(f).
Funksioni mund të marrë vlerën më të vogël/më të madhe në disa pika të segmentit.
f(x 3)=f(x 4)=maks
Teorema e Cauchy-t.
Le të jetë funksioni f(x) i vazhdueshëm në segment dhe x numri që gjendet ndërmjet f(a) dhe f(b), atëherë ka të paktën një pikë x 0 € e tillë që f(x 0)= g
Tani, me një shpirt të qetë, le të vazhdojmë të shqyrtojmë kufij të mrekullueshëm.
duket si.
Në vend të ndryshores x, mund të jenë të pranishëm funksione të ndryshme, gjëja kryesore është se ato priren në 0.
Është e nevojshme të llogaritet kufiri
Siç mund ta shihni, ky kufi është shumë i ngjashëm me atë të parë të shquar, por kjo nuk është plotësisht e vërtetë. Në përgjithësi, nëse vëreni mëkat në kufi, atëherë duhet të mendoni menjëherë nëse është e mundur të përdorni kufirin e parë të shquar.
Sipas rregullit tonë nr. 1, ne zëvendësojmë zeron në vend të x:
Kemi pasiguri.
Tani le të përpiqemi të organizojmë vetë kufirin e parë të mrekullueshëm. Për ta bërë këtë, le të bëjmë një kombinim të thjeshtë:
Pra, ne organizojmë numëruesin dhe emëruesin për të theksuar 7x. Tani kufiri i njohur i shquar tashmë është shfaqur. Këshillohet që ta theksoni kur vendosni:
Le të zëvendësojmë zgjidhjen me shembullin e parë të shquar dhe të marrim:
Thjeshtimi i thyesës:
Përgjigje: 7/3.
Siç mund ta shihni, gjithçka është shumë e thjeshtë.
Duket si 
, ku e = 2.718281828... është një numër irracional.
Funksione të ndryshme mund të jenë të pranishëm në vend të ndryshores x, gjëja kryesore është se ato priren të .
Është e nevojshme të llogaritet kufiri
Këtu shohim praninë e një shkalle nën shenjën e një kufiri, që do të thotë se është e mundur të përdoret një kufi i dytë i shquar.
Si gjithmonë, ne do të përdorim rregullin nr. 1 - zëvendësojmë x në vend të:
Mund të shihet se në x baza e shkallës është , dhe eksponenti është 4x > , d.m.th. marrim një pasiguri të formës:
Le të përdorim kufirin e dytë të mrekullueshëm për të zbuluar pasigurinë tonë, por së pari duhet ta organizojmë atë. Siç mund ta shihni, duhet të arrijmë praninë në tregues, për të cilin e ngremë bazën në fuqinë 3x, dhe në të njëjtën kohë në fuqinë 1/3x, në mënyrë që shprehja të mos ndryshojë:
Mos harroni të nënvizoni kufirin tonë të mrekullueshëm:
Kështu janë ata në të vërtetë kufij të mrekullueshëm!
Nëse keni ende ndonjë pyetje rreth kufijtë e parë dhe të dytë të mrekullueshëm, atëherë mos ngurroni t'i pyesni ata në komente.
Ne do t'u përgjigjemi të gjithëve sa më shumë që të jetë e mundur.
Ju gjithashtu mund të punoni me një mësues për këtë temë.
Kemi kënaqësinë t'ju ofrojmë shërbimet e zgjedhjes së një tutori të kualifikuar në qytetin tuaj. Partnerët tanë do të zgjedhin shpejt një mësues të mirë për ju me kushte të favorshme.
Nuk ka informacion të mjaftueshëm? - Mundesh!
Ju mund të shkruani llogaritjet matematikore në fletore. Është shumë më e këndshme të shkruash individualisht në fletore me një logo (http://www.blocnot.ru).
