Ekstrem i kushtëzuar.

Ekstrema e një funksioni të disa ndryshoreve

Metoda e katrorëve më të vegjël.

Ekstremi lokal i FNP

Le të jepet funksioni Dhe= f(P), РÎDÌR n dhe leni pikën P 0 ( A 1 , A 2 , ..., një fq) –e brendshme pika e grupit D.

Përkufizimi 9.4.

1) Pika P 0 quhet pikë maksimale funksionet Dhe= f(P), nëse ka një fqinjësi të kësaj pike U(P 0) M D të tillë që për çdo pikë P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , kushti është i kënaqur f(P)£ f(P 0) . Kuptimi f Funksioni (P 0) në pikën maksimale quhet maksimumi i funksionit dhe është caktuar f(P0) = maksimumi f(P) .

2) Pika P 0 quhet pikë minimale funksionet Dhe= f(P), nëse ka një fqinjësi të kësaj pike U(P 0)Ì D të tillë që për çdo pikë P( X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , kushti është i kënaqur f(P)³ f(P 0) . Kuptimi f Funksioni (P 0) në pikën minimale quhet funksioni minimal dhe është caktuar f(P 0) = min f(P).

Pikat minimale dhe maksimale të një funksioni thirren pika ekstreme, quhen vlerat e funksionit në pikat ekstreme ekstreme të funksionit.

Siç del nga përkufizimi, pabarazitë f(P)£ f(P 0) , f(P)³ f(P 0) duhet të plotësohet vetëm në një lagje të caktuar të pikës P 0, dhe jo në të gjithë domenin e përkufizimit të funksionit, që do të thotë se funksioni mund të ketë disa ekstreme të të njëjtit lloj (disa minima, disa maksimum) . Prandaj, ekstremet e përcaktuara më sipër quhen lokale ekstreme (lokale).

Teorema 9.1 (kusht i domosdoshëm për ekstremin e FNP)

Nëse funksioni Dhe= f(X 1 , X 2 , ..., x n) ka një ekstrem në pikën P 0 , atëherë derivatet e tij të pjesshme të rendit të parë në këtë pikë ose janë të barabartë me zero ose nuk ekzistojnë.

Dëshmi. Lere ne piken P 0 ( A 1 , A 2 , ..., një fq) funksion Dhe= f(P) ka një ekstrem, për shembull, një maksimum. Le të rregullojmë argumentet X 2 , ..., x n, duke vënë X 2 =A 2 ,..., x n = një fq. Pastaj Dhe= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., një fq) është një funksion i një ndryshoreje X 1. Meqenëse ky funksion ka X 1 = A 1 ekstrem (maksimumi), pastaj f 1 ¢=0 ose nuk ekziston kur X 1 =A 1 (kusht i domosdoshëm për ekzistencën e një ekstremi të një funksioni të një ndryshoreje). Por, kjo do të thotë ose nuk ekziston në pikën P 0 - pika ekstreme. Në mënyrë të ngjashme, ne mund të konsiderojmë derivate të pjesshëm në lidhje me variablat e tjerë. CTD.

Pikat në fushën e një funksioni në të cilat derivatet e pjesshme të rendit të parë janë të barabarta me zero ose nuk ekzistojnë quhen pikat kritike këtë funksion.

Siç vijon nga teorema 9.1, pikat ekstreme të FNP duhet të kërkohen midis pikave kritike të funksionit. Por, sa i përket funksionit të një ndryshoreje, jo çdo pikë kritike është një pikë ekstreme.

Teorema 9.2 (kusht i mjaftueshëm për ekstremin e FNP)

Le të jetë P 0 pika kritike e funksionit Dhe= f(P) dhe është diferenciali i rendit të dytë të këtij funksioni. Pastaj

a) nëse d 2 u(P 0) > 0 në , atëherë P 0 është një pikë minimale funksionet Dhe= f(P);

b) nëse d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimale funksionet Dhe= f(P);

c) nëse d 2 u(P 0) nuk përcaktohet me shenjë, atëherë P 0 nuk është një pikë ekstreme;

Ne do ta konsiderojmë këtë teoremë pa prova.

Vini re se teorema nuk merr parasysh rastin kur d 2 u(P 0) = 0 ose nuk ekziston. Kjo do të thotë që çështja e pranisë së një ekstremi në pikën P 0 në kushte të tilla mbetet e hapur - nevojiten kërkime shtesë, për shembull, një studim i rritjes së funksionit në këtë pikë.

Në lëndët më të detajuara të matematikës vërtetohet se, në veçanti për funksionin z = f(x,y) të dy ndryshoreve, diferenciali i rendit të dytë i të cilave është një shumë e formës

mund të thjeshtohet studimi i pranisë së një ekstremi në pikën kritike P 0.

Le të shënojmë , , . Le të hartojmë një përcaktor

.

Rezulton:

d 2 z> 0 në pikën P 0, d.m.th. P 0 – pikë minimale, nëse A(P 0) > 0 dhe D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

nëse D(P 0)< 0, то d 2 z në afërsi të pikës P 0 ndryshon shenjë dhe nuk ka ekstrem në pikën P 0;

nëse D(Р 0) = 0, atëherë kërkohen edhe studime shtesë të funksionit në afërsi të pikës kritike Р 0.

Kështu, për funksionin z = f(x,y) nga dy ndryshore kemi algoritmin e mëposhtëm (le ta quajmë "algoritmi D") për gjetjen e një ekstremi:

1) Gjeni domenin e përkufizimit D( f) funksionet.

2) Gjeni pikat kritike, d.m.th. pikë nga D( f), për të cilat dhe janë të barabarta me zero ose nuk ekzistojnë.

3) Në çdo pikë kritike P 0, kontrolloni kushtet e mjaftueshme për ekstremin. Për ta bërë këtë, gjeni , ku , , dhe llogaritni D(P 0) dhe A(P 0). Pastaj:

nëse D(P 0) >0, atëherë në pikën P 0 ka një ekstrem, dhe nëse A(P 0) > 0 - atëherë ky është minimumi, dhe nëse A(P 0)< 0 – максимум;

nëse D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Nëse D(P 0) = 0, atëherë nevojiten kërkime shtesë.

4) Në pikat ekstreme të gjetura, llogaritni vlerën e funksionit.

Shembulli 1.

Gjeni ekstremin e funksionit z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Zgjidhje. Fusha e përcaktimit të këtij funksioni është i gjithë plani koordinativ. Le të gjejmë pikat kritike.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Le të kontrollojmë nëse plotësohen kushtet e mjaftueshme për ekstremin. Ne do të gjejmë

6X, = -3, = 48në Dhe = 288xy – 9.

Atëherë D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(P 1) = 36-9>0 - në pikën P 1 ka një ekstrem, dhe meqë A(P 1) = 3 >0, atëherë ky ekstrem është një minimum. Pra min z=z(P 1) = .

Shembulli 2.

Gjeni ekstremin e funksionit .

Zgjidhja: D( f) =R 2. Pikat kritike: ; nuk ekziston kur në= 0, që do të thotë P 0 (0,0) është pika kritike e këtij funksioni.

2, = 0, = , = , por D(P 0) nuk është i përcaktuar, kështu që studimi i shenjës së tij është i pamundur.

Për të njëjtën arsye, është e pamundur të zbatohet direkt teorema 9.2 - d 2 z nuk ekziston në këtë pikë.

Le të shqyrtojmë rritjen e funksionit f(x, y) në pikën P 0. Nëse D f =f(P) - f(P 0)> 0 "P, atëherë P 0 është pika minimale, por nëse D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Në rastin tonë kemi

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

Në D x= 0.1 dhe D y= -0,008 marrim D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 dhe D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, d.m.th. në afërsi të pikës P 0 nuk plotësohet as kushti D f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) dhe prandaj P 0 nuk është një pikë maksimale), as kushti D f>0 (d.m.th. f(x, y) > f(0, 0) dhe pastaj P 0 nuk është një pikë minimale). Kjo do të thotë, sipas përkufizimit të një ekstremi, ky funksion nuk ka ekstreme.

Ekstrem i kushtëzuar.

Ekstremumi i konsideruar i funksionit quhet pa kushte, pasi nuk vendosen kufizime (kushte) në argumentet e funksionit.

Përkufizimi 9.2. Ekstremi i funksionit Dhe = f(X 1 , X 2 , ... , x n), gjendet me kusht që argumentet e saj X 1 , X 2 , ... , x n plotësoni ekuacionet j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, ku P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), thirri ekstremi i kushtëzuar .

Ekuacionet j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, quhen ekuacionet e lidhjes.

Le të shohim funksionet z = f(x,y) dy variabla. Nëse ekuacioni i lidhjes është një, d.m.th. , atëherë gjetja e një ekstremi të kushtëzuar do të thotë që ekstremi nuk kërkohet në të gjithë domenin e përkufizimit të funksionit, por në një kurbë që shtrihet në D( f) (d.m.th., nuk janë pikat më të larta ose më të ulëta të sipërfaqes që kërkohen z = f(x,y), dhe pikat më të larta ose më të ulëta midis pikave të kryqëzimit të kësaj sipërfaqeje me cilindrin, Fig. 5).

Ekstremumi i kushtëzuar i një funksioni z = f(x,y) e dy variablave mund të gjenden në mënyrën e mëposhtme ( metoda e eliminimit). Nga ekuacioni, shprehni një nga variablat në funksion të një tjetri (për shembull, shkruani ) dhe, duke zëvendësuar këtë vlerë të ndryshores në funksion, shkruani këtë të fundit si funksion të një ndryshoreje (në rastin e konsideruar ). Gjeni ekstremin e funksionit rezultues të një ndryshoreje.

Shembull

Gjeni ekstremin e funksionit me kusht që X Dhe në lidhen me relacionin: .
Gjeometrikisht, problemi nënkupton si më poshtë: në një elips
.

aeroplan
Ky problem mund të zgjidhet në këtë mënyrë: nga ekuacioni
X:

gjejmë
me kusht që
.

, reduktuar në problemin e gjetjes së ekstremit të një funksioni të një ndryshoreje në interval Gjeometrikisht, problemi nënkupton si më poshtë: në një elips
Gjeometrikisht, problemi nënkupton si më poshtë: në një elips
, e përftuar duke kryqëzuar cilindrin , ju duhet të gjeni vlerën maksimale ose minimale të aplikacionit
Ky problem mund të zgjidhet në këtë mënyrë: nga ekuacioni
(Fig.9). Ky problem mund të zgjidhet në këtë mënyrë: nga ekuacioni X:

. Duke zëvendësuar vlerën e gjetur të y në ekuacionin e rrafshit, marrim një funksion të një ndryshoreje
gjejmë
Kështu, problemi i gjetjes së ekstremit të funksionit

, reduktuar në problemin e gjetjes së ekstremit të një funksioni të një ndryshoreje në një interval. Pra,– ky është problemi i gjetjes së ekstremit të funksionit objektiv
, me kusht që variablat X Dhe në subjekt kufizimi
, thirri ekuacioni i lidhjes.

Le të themi se pika
, duke përmbushur ekuacionin e bashkimit, është pika e maksimumit të kushtëzuar lokal (minimumi), nëse ka një lagje
të tillë që për çdo pikë
, koordinatat e të cilit plotësojnë ekuacionin e lidhjes, pabarazia plotësohet.

Nëse nga ekuacioni i bashkimit mund të gjendet një shprehje për në, më pas, duke e zëvendësuar këtë shprehje në funksionin origjinal, ne e kthejmë këtë të fundit në një funksion kompleks të një ndryshoreje. X.

Metoda e përgjithshme për zgjidhjen e problemit të ekstremit të kushtëzuar është Metoda e shumëzuesit të Lagranzhit. Le të krijojmë një funksion ndihmës, ku ─ një numër. Ky funksion quhet Funksioni i Lagranzhit, A ─ shumëzues Lagrange. Kështu, detyra për të gjetur një ekstrem të kushtëzuar është reduktuar në gjetjen e pikave ekstreme lokale për funksionin Lagranzh. Për të gjetur pikat e mundshme ekstreme, duhet të zgjidhni një sistem prej 3 ekuacionesh me tre të panjohura x, y Dhe.

Atëherë duhet të përdorni kushtin e mëposhtëm të mjaftueshëm për një ekstrem.

TEOREMA. Le të jetë pika një pikë e mundshme ekstreme për funksionin Lagranzh. Le të supozojmë se në afërsi të pikës
ekzistojnë derivate të vazhdueshme të pjesshme të rendit të dytë të funksioneve Dhe . Le të shënojmë

Atëherë nëse
, Kjo
─ pika ekstreme e kushtëzuar e funksionit
me ekuacionin e bashkimit
në këtë rast, nëse
, Kjo
─ pikë minimale e kushtëzuar, nëse
, Kjo
─ pikë maksimale e kushtëzuar.

§8. Derivati ​​i gradientit dhe i drejtimit

Lëreni funksionin
të përcaktuara në ndonjë rajon (të hapur). Merrni parasysh çdo pikë
kjo zonë dhe çdo vijë e drejtë (bosht) e drejtuar , duke kaluar nga kjo pikë (Fig. 1). Le
- një pikë tjetër në këtë aks,
– gjatësia e segmentit ndërmjet
Dhe
, marrë me një shenjë plus, nëse drejtimi
përkon me drejtimin e boshtit , dhe me shenjën minus nëse drejtimet e tyre janë të kundërta.

Le
afrohet në mënyrë të pacaktuar
. Kufiri

thirrur derivat i një funksioni
në drejtim (ose përgjatë boshtit ) dhe shënohet si më poshtë:

.

Ky derivat karakterizon "shkallën e ndryshimit" të funksionit në pikë
në drejtim . Në veçanti, derivatet e zakonshme të pjesshme ,mund të mendohen edhe si derivate "në lidhje me drejtimin".

Le të supozojmë tani se funksioni
ka derivate të pjesshme të vazhdueshme në rajonin në shqyrtim. Lëreni boshtin formon kënde me boshtet koordinative
Dhe . Sipas supozimeve të bëra, derivati ​​i drejtimit ekziston dhe shprehet me formulën

.

Nëse vektori
dhënë nga koordinatat e saj
, pastaj derivati ​​i funksionit
në drejtim të vektorit
mund të llogaritet duke përdorur formulën:

.

Vektor me koordinata
thirrur vektor gradient funksionet
në pikën
. Vektori i gradientit tregon drejtimin e rritjes më të shpejtë të funksionit në një pikë të caktuar.

Shembull

Jepet një funksion, pika A(1, 1) dhe vektori
. Gjeni: 1)grad z në pikën A; 2) derivati ​​në pikën A në drejtim të vektorit .

Derivatet e pjesshëm të një funksioni të caktuar në një pikë
:

;
.

Atëherë vektori i gradientit të funksionit në këtë pikë është:
. Vektori i gradientit mund të shkruhet gjithashtu duke përdorur zbërthimin e vektorit Dhe :

. Derivat i një funksioni në drejtim të vektorit :

Pra,
,
.◄

Kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për ekstremumin e funksioneve të dy variablave. Një pikë quhet pikë minimale (maksimale) e një funksioni nëse në një fqinjësi të caktuar të pikës funksioni është përcaktuar dhe plotëson pabarazinë (përkatësisht, pikat maksimale dhe minimale quhen pika ekstreme të funksionit).

Një kusht i domosdoshëm për një ekstrem. Nëse në një pikë ekstreme një funksion ka fillimisht derivate të pjesshëm, atëherë ato zhduken në këtë pikë. Nga kjo rrjedh se për të gjetur pikat ekstreme të një funksioni të tillë, duhet zgjidhur një sistem ekuacionesh, koordinatat e të cilave plotësojnë këtë sistem quhen pika kritike të funksionit. Midis tyre mund të ketë pikë maksimale, pikë minimale, si dhe pikë që nuk janë pikë ekstreme.

Kushtet e mjaftueshme ekstreme përdoren për të identifikuar pikat ekstreme nga një grup pikash kritike dhe janë renditur më poshtë.

Le të ketë funksioni derivate të dytë të pjesshëm të vazhdueshëm në pikën kritike. Nëse në këtë pikë është e vërtetë

kusht atëherë ajo është një pikë minimale në dhe një pikë maksimale në Nëse në një pikë kritike atëherë ajo nuk është një pikë ekstreme. Në këtë rast, kërkohet një studim më delikat i natyrës së pikës kritike, e cila në këtë rast mund të jetë ose jo një pikë ekstreme.

Ekstrema e funksioneve të tre variablave. Në rastin e një funksioni prej tre variablash, përkufizimet e pikave ekstreme përsërisin fjalë për fjalë përkufizimet përkatëse për një funksion të dy ndryshoreve. Ne kufizohemi në paraqitjen e procedurës për studimin e një funksioni për një ekstrem. Kur zgjidhet një sistem ekuacionesh, duhet të gjenden pikat kritike të funksionit dhe më pas në secilën prej pikave kritike të llogariten vlerat.

Nëse të tria sasitë janë pozitive, atëherë pika kritike në fjalë është pika minimale; nëse atëherë kjo pikë kritike është një pikë maksimale.

Ekstremumi i kushtëzuar i një funksioni të dy ndryshoreve. Një pikë quhet një pikë minimale (maksimale) e kushtëzuar e një funksioni me kusht që të ketë një fqinjësi të pikës në të cilën është përcaktuar funksioni dhe në të cilën (përkatësisht) për të gjitha pikat, koordinatat e të cilave plotësojnë ekuacionin

Për të gjetur pikat ekstreme të kushtëzuara, përdorni funksionin Lagranzh

ku numri quhet shumëzues Lagranzhi. Zgjidhja e një sistemi me tre ekuacione

gjeni pikat kritike të funksionit të Lagranzhit (si dhe vlerën e faktorit ndihmës A). Në këto pika kritike mund të ketë një ekstrem të kushtëzuar. Sistemi i mësipërm siguron vetëm kushtet e nevojshme për një ekstrem, por jo të mjaftueshme: ai mund të plotësohet nga koordinatat e pikave që nuk janë pika të një ekstremi të kushtëzuar. Megjithatë, bazuar në thelbin e problemit, shpesh është e mundur të përcaktohet natyra e pikës kritike.

Ekstrem i kushtëzuar i një funksioni të disa ndryshoreve. Le të shqyrtojmë një funksion të ndryshoreve me kusht që ato të lidhen me ekuacionet

Përkufizimi 1: Një funksion thuhet se ka një maksimum lokal në një pikë nëse ka një fqinjësi të pikës e tillë që për çdo pikë M me koordinata (x, y) pabarazia vlen: . Në këtë rast, d.m.th., rritja e funksionit< 0.

Përkufizimi 2: Një funksion thuhet se ka një minimum lokal në një pikë nëse ka një fqinjësi të pikës e tillë që për çdo pikë M me koordinata (x, y) pabarazia vlen: . Në këtë rast, d.m.th., rritja e funksionit > 0.

Përkufizimi 3: Quhen pikat e minimumit dhe maksimumit lokal pika ekstreme.

Ekstremet e kushtëzuara

Gjatë gjetjes së ekstremeve të një funksioni të shumë variablave, shpesh lindin probleme që lidhen me të ashtuquajturat ekstremi i kushtëzuar. Ky koncept mund të shpjegohet duke përdorur shembullin e një funksioni të dy variablave.

Le të jepet një funksion dhe një vijë L në aeroplan 0xy. Detyra është të futesh në linjë L gjeni një pikë të tillë P (x, y), në të cilën vlera e një funksioni është më e madhja ose më e vogla në krahasim me vlerat e këtij funksioni në pikat e vijës L, ndodhet pranë pikës P. Pika të tilla P quhen pikat ekstreme të kushtëzuara funksionon në linjë L. Në ndryshim nga pika e zakonshme ekstreme, vlera e funksionit në pikën ekstreme të kushtëzuar krahasohet me vlerat e funksionit jo në të gjitha pikat në afërsi të tij, por vetëm në ato që shtrihen në vijë. L.

Është absolutisht e qartë se pika e ekstremit të zakonshëm (thonë gjithashtu ekstrem i pakushtëzuar) është gjithashtu një pikë ekstreme e kushtëzuar për çdo vijë që kalon nga kjo pikë. E kundërta, natyrisht, nuk është e vërtetë: pika ekstreme e kushtëzuar mund të mos jetë pika e zakonshme ekstreme. Më lejoni të shpjegoj atë që thashë me një shembull të thjeshtë. Grafiku i funksionit është hemisfera e sipërme (Shtojca 3 (Fig. 3)).

Ky funksion ka një maksimum në origjinë; kulmi i përgjigjet asaj M hemisferat. Nëse linja L ka një vijë që kalon nëpër pika A Dhe NË(ekuacioni i saj x+y-1=0), atëherë gjeometrikisht është e qartë se për pikat e kësaj drejtëze vlera më e madhe e funksionit arrihet në pikën që shtrihet në mes midis pikave. A Dhe NË. Kjo është pika e ekstremit të kushtëzuar (maksimumit) të funksionit në këtë linjë; korrespondon me pikën M 1 në hemisferë dhe nga figura është e qartë se këtu nuk mund të flitet për ndonjë ekstrem të zakonshëm.

Vini re se në pjesën e fundit të problemit të gjetjes së vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një rajon të mbyllur, duhet të gjejmë vlerat ekstreme të funksionit në kufirin e këtij rajoni, d.m.th. në një linjë, dhe në këtë mënyrë zgjidh problemin e ekstremit të kushtëzuar.

Le të vazhdojmë tani me kërkimin praktik për pikat ekstreme të kushtëzuara të funksionit Z= f(x, y) me kusht që ndryshoret x dhe y të lidhen me ekuacionin (x, y) = 0. Ne do ta quajmë këtë relacion ekuacioni i lidhjes. Nëse nga ekuacioni i bashkimit y mund të shprehet në mënyrë eksplicite në terma x: y=(x), marrim një funksion të një ndryshoreje Z= f(x, (x)) = Ф(x).

Pasi kemi gjetur vlerën x në të cilën ky funksion arrin një ekstrem, dhe më pas kemi përcaktuar nga ekuacioni i lidhjes vlerat përkatëse y, marrim pikat e dëshiruara të ekstremit të kushtëzuar.

Pra, në shembullin e mësipërm, nga ekuacioni i relacionit x+y-1=0 kemi y=1-x. Nga këtu

Është e lehtë të kontrollohet nëse z arrin maksimumin e tij në x = 0.5; por më pas nga ekuacioni i lidhjes y = 0.5, dhe marrim saktësisht pikën P, të gjetur nga konsideratat gjeometrike.

Problemi i një ekstremi të kushtëzuar mund të zgjidhet shumë thjeshtë kur ekuacioni i lidhjes mund të përfaqësohet nga ekuacionet parametrike x=x(t), y=y(t). Duke zëvendësuar shprehjet për x dhe y në këtë funksion, ne përsëri vijmë te problemi i gjetjes së ekstremumit të një funksioni të një ndryshoreje.

Nëse ekuacioni i bashkimit ka një formë më komplekse dhe ne nuk jemi në gjendje ose të shprehim në mënyrë eksplicite një variabël në terma të një tjetri ose ta zëvendësojmë atë me ekuacione parametrike, atëherë detyra për të gjetur një ekstrem të kushtëzuar bëhet më e vështirë. Do të vazhdojmë të supozojmë se në shprehjen e funksionit z= f(x, y) ndryshorja (x, y) = 0. Derivati ​​total i funksionit z= f(x, y) është i barabartë me:

Ku derivati ​​y` gjendet duke përdorur rregullën e diferencimit të funksionit të nënkuptuar. Në pikat e ekstremit të kushtëzuar, derivati ​​total i gjetur duhet të jetë i barabartë me zero; kjo jep një ekuacion që lidh x dhe y. Meqenëse ato duhet të plotësojnë gjithashtu ekuacionin e bashkimit, marrim një sistem prej dy ekuacionesh me dy të panjohura

Le ta transformojmë këtë sistem në një sistem shumë më të përshtatshëm duke shkruar ekuacionin e parë në formën e një proporcioni dhe duke futur një të panjohur të re ndihmëse:

(shenja minus përpara është për lehtësi). Nga këto barazi është e lehtë të kalosh në sistemin e mëposhtëm:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

i cili së bashku me ekuacionin e lidhjes (x, y) = 0, formon një sistem prej tre ekuacionesh me të panjohura x, y dhe.

Këto ekuacione (*) janë më të lehta për t'u mbajtur mend duke përdorur rregullin e mëposhtëm: për të gjetur pikat që mund të jenë pika të ekstremit të kushtëzuar të funksionit

Z= f(x, y) me ekuacionin e lidhjes (x, y) = 0, ju duhet të formoni një funksion ndihmës

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Ku është një konstante dhe krijoni ekuacione për të gjetur pikat ekstreme të këtij funksioni.

Sistemi i treguar i ekuacioneve siguron, si rregull, vetëm kushtet e nevojshme, d.m.th. jo çdo çift vlerash x dhe y që plotëson këtë sistem është domosdoshmërisht një pikë ekstreme e kushtëzuar. Nuk do të jap kushte të mjaftueshme për pikat e ekstremit të kushtëzuar; shumë shpesh vetë përmbajtja specifike e problemit sugjeron se cila është pika e gjetur. Teknika e përshkruar për zgjidhjen e problemeve në një ekstrem të kushtëzuar quhet metoda e shumëzuesit të Lagranzhit.

Kusht i mjaftueshëm për ekstremin e një funksioni të dy ndryshoreve

1. Le të jetë funksioni vazhdimisht i diferencueshëm në ndonjë lagje të pikës dhe të ketë derivate të pjesshëm të vazhdueshëm të rendit të dytë (të pastër dhe të përzier).

2. Le të shënojmë me përcaktorin e rendit të dytë

funksioni i ligjëratës variabël ekstrem

Teorema

Nëse pika me koordinata është një pikë e palëvizshme për funksionin, atëherë:

A) në të është një pikë e ekstremumit lokal dhe, në një maksimum lokal, është një minimum lokal;

C) në pikë nuk është një pikë ekstreme lokale;

C) nëse, ndoshta të dyja.

Dëshmi

Le të shkruajmë formulën Taylor për funksionin, duke u kufizuar në dy terma:

Meqenëse, sipas kushteve të teoremës, pika është e palëvizshme, derivatet e pjesshme të rendit të dytë janë të barabartë me zero, d.m.th. Dhe. Pastaj

Le të shënojmë

Pastaj rritja e funksionit do të marrë formën:

Për shkak të vazhdimësisë së derivateve të pjesshme të rendit të dytë (të pastër dhe të përzier), sipas kushteve të teoremës në një pikë, mund të shkruajmë:

Ku ose; ,

1. Le dhe, d.m.th. ose.

2. Shumëzoni rritjen e funksionit dhe pjesëtoni me, marrim:

3. Le të shtojmë shprehjen në kllapa kaçurrelë në katrorin e plotë të shumës:

4. Shprehja në mbajtëset kaçurrela është jo negative, pasi

5. Prandaj, nëse një mjet dhe, atëherë dhe, prandaj, sipas përkufizimit, pika është një pikë e minimumit lokal.

6. Nëse një mjet dhe, atëherë, sipas përkufizimit, pika me koordinata është një pikë e maksimumit lokal.

2. Konsideroni trinomin kuadratik, diskriminuesin e tij, .

3. Nëse, atëherë ka pika të tilla që polinomi

4. Rritjen totale të funksionit e shkruajmë në një pikë në përputhje me shprehjen e marrë në I si:

5. Për shkak të vazhdimësisë së derivateve të pjesshme të rendit të dytë, sipas kushteve të teoremës në një pikë, mund të shkruajmë se

Prandaj, ekziston një fqinjësi e një pike e tillë që, për çdo pikë, trinomi kuadratik është më i madh se zero:

6. Konsideroni fqinjësinë e një pike.

Le të zgjedhim çdo vlerë, pra pikë. Duke supozuar se në formulën për rritjen e funksionit

Çfarë marrim:

7. Që atëherë.

8. Duke argumentuar në mënyrë të ngjashme për rrënjën, gjejmë se në çdo - fqinjësi të një pike ka një pikë për të cilën, pra, në fqinjësi të pikës nuk ruan shenjë, prandaj nuk ka ekstrem në pikë.

Ekstremumi i kushtëzuar i një funksioni të dy ndryshoreve

Gjatë gjetjes së ekstremeve të një funksioni të dy variablave, shpesh lindin probleme që lidhen me të ashtuquajturin ekstrem të kushtëzuar. Ky koncept mund të shpjegohet duke përdorur shembullin e një funksioni të dy variablave.

Le të jepet një funksion dhe një drejtëz L në rrafshin 0xy. Detyra është të gjesh një pikë P (x, y) në vijën L në të cilën vlera e funksionit është më e madhja ose më e vogla në krahasim me vlerat e këtij funksioni në pikat në vijën L të vendosura afër pikës P. Pika të tilla P quhen funksione të pikave ekstreme të kushtëzuara në linjën L. Ndryshe nga pika e zakonshme ekstreme, vlera e funksionit në pikën ekstreme të kushtëzuar krahasohet me vlerat e funksionit jo në të gjitha pikat e fqinjësisë së tij, por vetëm në ato që shtrihen. në linjën L.

Është absolutisht e qartë se pika e ekstremit të zakonshëm (thonë edhe ekstremum i pakushtëzuar) është gjithashtu pika e ekstremit të kushtëzuar për çdo vijë që kalon nga kjo pikë. E kundërta, natyrisht, nuk është e vërtetë: pika ekstreme e kushtëzuar mund të mos jetë pika e zakonshme ekstreme. Le ta ilustrojmë këtë me një shembull.

Shembulli nr. 1. Grafiku i funksionit është hemisfera e sipërme (Fig. 2).

Oriz. 2.

Ky funksion ka një maksimum në origjinë; i përgjigjet kulmit M të hemisferës. Nëse drejtëza L është një drejtëz që kalon nëpër pikat A dhe B (ekuacioni i saj), atëherë gjeometrikisht është e qartë se për pikat e kësaj drejtëze vlera më e madhe e funksionit arrihet në pikën që ndodhet në mes midis pikave A dhe B. Kjo është pika e funksioneve ekstreme (maksimale) të kushtëzuara në këtë linjë; korrespondon me pikën M 1 në hemisferë dhe nga figura është e qartë se këtu nuk mund të flitet për ndonjë ekstrem të zakonshëm.

Vini re se në pjesën e fundit të problemit të gjetjes së vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një rajon të mbyllur, duhet të gjejmë vlerat ekstreme të funksionit në kufirin e këtij rajoni, d.m.th. në një linjë, dhe në këtë mënyrë zgjidh problemin e ekstremit të kushtëzuar.

Përkufizimi 1. Ata thonë se ku ka në një pikë që plotëson ekuacionin një maksimum të kushtëzuar ose relativ (minimum): nëse për ndonjë pikë që plotëson ekuacionin pabarazia

Përkufizimi 2. Një ekuacion i formës quhet ekuacion kufizues.

Teorema

Nëse funksionet dhe janë vazhdimisht të diferencueshëm në afërsi të një pike, dhe derivatit të pjesshëm, dhe pika është një pikë ekstreme e kushtëzuar e funksionit në lidhje me ekuacionin e kufizimit, atëherë përcaktori i rendit të dytë është i barabartë me zero:

Dëshmi

1. Meqenëse, sipas kushteve të teoremës, derivatit të pjesshëm dhe vlerës së funksionit, atëherë në një drejtkëndësh të caktuar.

funksioni i nënkuptuar i përcaktuar

Një funksion kompleks i dy ndryshoreve në një pikë do të ketë një ekstrem lokal, pra, ose.

2. Në të vërtetë, sipas vetive të pandryshueshmërisë së formulës diferenciale të rendit të parë

3. Ekuacioni i lidhjes mund të paraqitet në këtë formë, që do të thotë

4. Shumëzoni ekuacionin (2) me, dhe (3) me dhe shtoni ato

Prandaj, kur

arbitrare. etj.

Pasoja

Kërkimi i pikave ekstreme të kushtëzuara të një funksioni të dy ndryshoreve në praktikë kryhet duke zgjidhur një sistem ekuacionesh

Pra, në shembullin e mësipërm nr. 1 nga ekuacioni i lidhjes që kemi. Nga këtu është e lehtë të kontrollosh se çfarë arrin maksimumin në. Por pastaj nga ekuacioni i komunikimit. Marrim pikën P, të gjetur gjeometrikisht.

Shembulli nr. 2. Gjeni pikat ekstreme të kushtëzuara të funksionit në lidhje me ekuacionin e bashkimit.

Le të gjejmë derivatet e pjesshme të funksionit të dhënë dhe ekuacionin e bashkimit:

Le të krijojmë një përcaktues të rendit të dytë:

Le të shkruajmë një sistem ekuacionesh për të gjetur pikat ekstreme të kushtëzuara:

Kjo do të thotë se janë katër pika të ekstremit të kushtëzuar të funksionit me koordinata: .

Shembulli nr. 3. Gjeni pikat ekstreme të funksionit.

Duke barazuar derivatet e pjesshme me zero: , gjejmë një pikë të palëvizshme - origjinën. Këtu,. Rrjedhimisht, pika (0, 0) nuk është një pikë ekstreme. Ekuacioni është ekuacioni i një paraboloidi hiperbolik (Fig. 3) nga figura mund të shihet se pika (0, 0) nuk është një pikë ekstreme.

Oriz. 3.

Vlera më e madhe dhe më e vogël e një funksioni në një rajon të mbyllur

1. Le të jetë funksioni i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në një fushë të mbyllur të kufizuar D.

2. Le të ketë funksioni derivate të pjesshme të fundme në këtë rajon, me përjashtim të pikave individuale të rajonit.

3. Në përputhje me teoremën e Weierstrass, në këtë rajon ekziston një pikë në të cilën funksioni merr vlerat më të mëdha dhe më të vogla.

4. Nëse këto pika janë pika të brendshme të rajonit D, atëherë padyshim që ato do të kenë një maksimum ose një minimum.

5. Në këtë rast, pikat me interes për ne janë ndër pikat e dyshimta në ekstrem.

6. Megjithatë, funksioni mund të marrë gjithashtu vlerën më të madhe ose më të vogël në kufirin e rajonit D.

7. Për të gjetur vlerën më të madhe (më të vogël) të një funksioni në rajonin D, duhet të gjeni të gjitha pikat e brendshme të dyshimta për një ekstrem, të llogarisni vlerën e funksionit në to dhe më pas të krahasoni me vlerën e funksionit në pikat kufitare të rajonit, dhe më e madhja nga të gjitha vlerat e gjetura do të jetë më e madhja në rajonin e mbyllur D.

8. Metoda e gjetjes së një maksimumi ose minimumi lokal u diskutua më herët në seksionin 1.2. dhe 1.3.

9. Mbetet të shqyrtojmë metodën e gjetjes së vlerave më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në kufirin e rajonit.

10. Në rastin e një funksioni të dy ndryshoreve, zona zakonisht kufizohet nga një kurbë ose disa kthesa.

11. Përgjatë një kurbë të tillë (ose disa kurbave), variablat ose varen nga njëri-tjetri, ose të dyja varen nga një parametër.

12. Kështu, në kufi funksioni rezulton të varet nga një ndryshore.

13. Metoda e gjetjes së vlerës më të madhe të një funksioni të një ndryshoreje u diskutua më herët.

14. Kufiri i rajonit D le të jepet me ekuacione parametrike:

Atëherë në këtë kurbë funksioni i dy variablave do të jetë funksion kompleks i parametrit: . Për një funksion të tillë, vlerat më të mëdha dhe më të vogla përcaktohen duke përdorur metodën për përcaktimin e vlerave më të mëdha dhe më të vogla për një funksion të një ndryshoreje.