Научитесь брать производные от функций. Производная характеризует скорость изменения функции в определенной точке, лежащей на графике этой функции. В данном случае графиком может быть как прямая, так и кривая линия. То есть производная характеризует скорость изменения функции в конкретный момент времени. Вспомните общие правила, по которым берутся производные, и только потом переходите к следующему шагу.
- Прочитайте статью .
- Как брать простейшие производные, например, производную показательного уравнения, описано . Вычисления, представленные в следующих шагах, будут основаны на описанных в ней методах.
Научитесь различать задачи, в которых угловой коэффициент требуется вычислить через производную функции. В задачах не всегда предлагается найти угловой коэффициент или производную функции. Например, вас могут попросить найти скорость изменения функции в точке А(х,у). Также вас могут попросить найти угловой коэффициент касательной в точке А(х,у). В обоих случаях необходимо брать производную функции.
Возьмите производную данной вам функции. Здесь строить график не нужно – вам понадобится только уравнение функции. В нашем примере возьмите производную функции . Берите производную согласно методам, изложенным в упомянутой выше статье:
- Производная:
В найденную производную подставьте координаты данной вам точки, чтобы вычислить угловой коэффициент. Производная функции равна угловому коэффициенту в определенной точке. Другими словами, f"(х) – это угловой коэффициент функции в любой точке (x,f(x)). В нашем примере:
- Найдите угловой коэффициент функции f (x) = 2 x 2 + 6 x {\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x} в точке А(4,2).
- Производная функции:
- f ′ (x) = 4 x + 6 {\displaystyle f"(x)=4x+6}
- Подставьте значение координаты «х» данной точки:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 {\displaystyle f"(x)=4(4)+6}
- Найдите угловой коэффициент:
- Угловой коэффициент функции f (x) = 2 x 2 + 6 x {\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x} в точке А(4,2) равен 22.
Если возможно, проверьте полученный ответ на графике. Помните, что угловой коэффициент можно вычислить не в каждой точке. Дифференциальное исчисление рассматривает сложные функции и сложные графики, где угловой коэффициент можно вычислить не в каждой точке, а в некоторых случаях точки вообще не лежат на графиках. Если возможно, используйте графический калькулятор, чтобы проверить правильность вычисления углового коэффициента данной вам функции. В противном случае проведите касательную к графику в данной вам точке и подумайте, соответствует ли найденное вами значение углового коэффициента тому, что вы видите на графике.
- Касательная будет иметь тот же угловой коэффициент, что и график функции в определенной точке. Для того, чтобы провести касательную в данной точке, двигайтесь вправо/влево по оси Х (в нашем примере на 22 значения вправо), а затем вверх на единицу по оси Y. Отметьте точку, а затем соедините ее с данной вам точкой. В нашем примере соедините точки с координатами (4,2) и (26,3).
Прямая y=f(x) будет касательной к изображенному на рисунке графику в точке х0 в том случае, если она проходит через точку с координатами (х0; f(x0)) и обладает угловым коэффициентом f"(x0). Найти такой коэффициент, зная особенности касательной, несложно.
Вам понадобится
- - математический справочник;
- - простой карандаш;
- - тетрадь;
- - транспортир;
- - циркуль;
- - ручка.
Инструкция
Если значения f‘(x0) не существует, то либо касательной нет, либо она проходит вертикально. Ввиду этого, наличие производной функции в точке х0 обусловлено существованием невертикальной касательной, соприкасающейся с графиком функции в точке (х0, f(х0)). В этом случае угловой коэффициент касательной равен будет f"(х0). Таким образом, становится ясен геометрический смысл производной – расчет углового коэффициента касательной.
Изобразите на дополнительные касательные, которые бы соприкасались с графиком функции в точках x1, х2 и х3, а также отметьте углы, образуемые этими касательными с осью абсцисс (такой угол отсчитывают в положительном направлении от оси до касательной прямой). К примеру, угол, то есть, α1, будет острым, второй (α2) – тупой, а третий (α3) равен нулю, поскольку касательная прямая параллельна оси ОХ. В таком случае тангенс тупого угла – отрицательное , тангенс острого угла – положительное, а при tg0 результат равен нулю.
Обратите внимание
Правильно определите угол, образуемый касательной. Для этого используйте транспортир.
Две наклонные прямые будут параллельными в том случае, если их угловые коэффициенты равны между собой; перпендикулярными, если произведение угловых коэффициентов этих касательных равно -1.
Источники:
- Касательная к графику функции
Косинус, как и синус, относят к «прямым» тригонометрическим функциям. Тангенс (вместе с котангенсом) причисляют к другой паре, называемой «производными». Существует несколько определений этих функций, которые делают возможным нахождение тангенса заданного по известному значению косинуса от этой же величины.
Инструкция
Вычтите частное от единицы на возведенное в значение косинуса заданного угла, а из результата извлеките квадратный корень - это и будет значение тангенса от угла, выраженное его косинус: tg(α)=√(1-1/(cos(α))²). При этом обратите внимание на то, что в формуле косинус стоит в знаменателе дроби. Невозможность деления на ноль исключает использование этого выражения для углов, равных 90°, а также отличающихся от этой величины на числа, кратные 180° (270°, 450°, -90° и т.д.).
Существует и альтернативный способ вычисления тангенса по известному значению косинуса. Его можно применять, если не установлено ограничение на использование других . Для реализации этого способа сначала определите величину угла по известному значению косинуса - это можно сделать с помощью функции арккосинус. Затем просто рассчитайте тангенс для угла полученной величины. В общем виде этот алгоритм можно записать так: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).
Есть и еще экзотический вариант с использованием определения косинуса и тангенса через острые углы прямоугольного треугольника. Косинусу в таком определении соответствует отношение длины прилежащего к рассматриваемому углу катета к длине гипотенузы. Зная значение косинуса можно подобрать соответствующие ему длины этих двух сторон. Например, если cos(α)=0,5, то прилежащий можно принять равным 10см, а гипотенузу - 20см. Конкретные числа здесь значения не имеют - одинаковое и правильное вы получите с любыми значениями, имеющими же . Затем по теореме Пифагора определите длину недостающей стороны - противолежащего катета. Она будет равна квадратному корню из разницы между длинами возведенных в квадрат гипотенузы и известного катета: √(20²-10²)=√300. Тангенсу по определению соответствует отношение длин противолежащего и прилежащего катетов (√300/10) - рассчитайте его и получите значение тангенса, найденное с использованием классического определения косинуса.
Источники:
- косинус через тангенс формула
Одна из тригонометрических функций, чаще всего обозначаемая буквами tg, хотя встречаются и обозначения tan. Проще всего представить тангенс как отношение синуса угла к его косинусу. Это нечетная периодическая и не непрерывная функция, каждый цикл которой равен числу Пи, а точка разрыва соответствует отметке в половину этого числа.
В математике одним из параметров, описывающих положение прямой на декартовой плоскости координат, является угловой коэффициент этой прямой. Этот параметр характеризует наклон прямой к оси абцисс. Чтобы понять, как найти угловой коэффициент, сначала вспомним общий вид уравнения прямой в системе координат XY.
В общем виде любую прямую можно представить выражением ax+by=c, где a, b и c - произвольные действительные числа, но обязательно a 2 + b 2 ≠ 0.
Подобное уравнение с помощью несложных преобразований можно довести до вида y=kx+d, в котором k и d - действительные числа. Число k является угловым коэффициентом, а само уравнение прямой подобного вида называется уравнением с угловым коэффициентом. Получается, что для нахождения углового коэффициента, необходимо просто привести исходное уравнение к указанному выше виду. Для более полного понимания рассмотрим конкретный пример:
Задача: Найти угловой коэффициент линии, заданной уравнением 36x - 18y = 108
Решение: Преобразуем исходное уравнение.
Ответ: Искомый угловой коэффициент данной прямой равен 2.
В случае, если в ходе преобразований уравнения мы получили выражение типа x = const и не можем в результате представить y в виде функции x, то мы имеем дело с прямой, параллельной оси Х. Угловой коэффициент подобной прямой равен бесконечности.
Для прямых, которых выражены уравнением типа y = const, угловой коэффициент равняется нулю. Это характерно для прямых, параллельных оси абцисс. Например:
Задача: Найти угловой коэффициент линии, заданной уравнением 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4
Решение: Приведем исходное уравнение к общему виду
24x + 12y - 12y + 28 = 4
Из полученного выражения выразить y невозможно, следовательно угловой коэффициент данной прямой равен бесконечности, а сама прямая будет параллельна оси Y.
Геометрический смысл
Для лучшего понимания обратимся к картинке:
На рисунке мы видим график функции типа y = kx. Для упрощения примем коэффициент с = 0. В треугольнике ОАВ отношение стороны ВА к АО будет равно угловому коэффициенту k. Вместе с тем отношение ВА/АО - это тангенс острого угла α в прямоугольном треугольнике ОАВ. Получается, что угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла, который составляет эта прямая с осью абцисс координатной сетки.
Решая задачу, как найти угловой коэффициент прямой, мы находим тангенс угла между ней и осью Х сетки координат. Граничные случаи, когда рассматриваемая прямая параллельна осям координат, подтверждают вышенаписанное. Действительно для прямой, описанной уравнением y=const, угол между ней и осью абцисс равен нулю. Тангенс нулевого угла также равен нулю и угловой коэффициент тоже равен нулю.
Для прямых, перпендикулярных оси абцисс и описываемых уравнением х=const, угол между ними и осью Х равен 90 градусов. Тангенс прямого угла равен бесконечности, так же и угловой коэффициент подобных прямых равен бесконечности, что подтверждает написанное выше.
Угловой коэффициент касательной
Распространенной, часто встречающейся на практике, задачей является также нахождение углового коэффициента касательной к графику функции в некоторой точке. Касательная - это прямая, следовательно к ней также применимо понятие углового коэффициента.
Чтобы разобраться, как найти угловой коэффициент касательной, нам будет необходимо вспомнить понятие производной. Производная от любой функции в некоторой точке - это константа, численно равная тангенсу угла, который образуется между касательной в указанной точке к графику этой функции и осью абцисс. Получается, что для определения углового коэффициента касательной в точке x 0 , нам необходимо рассчитать значение производной исходной функции в этой точке k = f"(x 0). Рассмотрим на примере:
Задача: Найти угловой коэффициент линии, касательной к функции y = 12x 2 + 2xe x при х = 0,1.
Решение: Найдем производную от исходной функции в общем виде
y"(0,1) = 24 . 0,1 + 2 . 0,1 . e 0,1 + 2 . e 0,1
Ответ: Искомый угловой коэффициент в точке х = 0,1 равен 4,831
Производная функции - одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.
В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное - понять смысл.
Запомним определение:
Производная - это скорость изменения функции.
На рисунке - графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?
Ответ очевиден - третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.
Вот другой пример.
Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:
На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , - разная. Что касается Матвея - у его дохода производная вообще отрицательна.
Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?
На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами - насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной - то есть может меняться быстрее или медленнее.
Производная функции обозначается .
Покажем, как найти с помощью графика.
Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого - тангенс угла наклона касательной .
Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.
Обратите внимание - в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .
Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.
Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :
Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .
Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением
Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .
.
Мы получаем, что
Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.
Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.
Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других - убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.
В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол ; с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.
В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол ; с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.
Вот что получается:
Если функция возрастает, ее производная положительна.
Если убывает, ее производная отрицательна.
А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.
Точка - точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».
В точке - точке минимума - производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».
Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.
Если производная положительна, то функция возрастает.
Если производная отрицательная, то функция убывает.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
Запишем эти выводы в виде таблицы:
| возрастает | точка максимума | убывает | точка минимума | возрастает | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задачи . Другое - на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.
Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :
В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала - и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется - она как была положительной, так и осталась.
Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.
А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется
В предыдущей главе было показано, что, выбрав определенную систему координат на плоскости, мы можем геометрическое свойства, характеризующее точки рассматриваемой линии, выразить аналитически уравнением между текущими координатами. Таким образом, мы получим уравнение линии. В этой главе будут рассматриваться уравнения прямых линий.
Чтобы составить уравнение прямой в декартовых координатах, нужно каким-то образом задать условия, определяющие положение ее относительно координатных осей.
Предварительно мы введем понятие об угловом коэффициенте прямой, который является одной из величин, характеризующих положение прямой на плоскости.
Назовем углом наклона прямой к оси Ох тот угол, на который нужно повернуть ось Ох, чтобы она совпала с данной прямой (или оказалась параллельной ей). Как обычно, угол будем рассматривать с учетом знака (знак определяется направлением поворота: против или по часовой стрелке). Так как добавочный поворот оси Ох на угол в 180° снова совместит ее с прямой, то угол наклона прямой к оси может быть выбран не однозначно (с точностью до слагаемого, кратного ).
Тангенс этого угла определяется однозначно (так как изменение угла на не меняет его тангенса).
Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой.
Угловой коэффициент характеризует направление прямой (мы здесь не различаем двух взаимно противоположных направлений прямой). Если угловой коэффициент прямой равен нулю, то прямая параллельна оси абсцисс. При положительном угловом коэффициенте угол наклона прямой к оси Ох будет острым (мы рассматриваем здесь наименьшее положительное значение угла наклона) (рис. 39); при этом чем больше угловой коэффициент, тем больше угол ее наклона к оси Ох. Если угловой коэффициент отрицателен, то угол наклона прямой к оси Ох будет тупым (рис. 40). Заметим, что прямая, перпендикулярная к оси Ох, не имеет углового коэффициента (тангенс угла не существует).
