Дифференциальные и интегральные исчисления. Дифференциальные исчисления функции одной и нескольких переменных

В полной мере новое исчисление как систему создал Ньютон , который, однако, долгое время не публиковал свои открытия.

Официальной датой рождения дифференциального исчисления можно считать май , когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…» . Эта статья в сжатой и малодоступной форме излагала принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением.

Лейбниц и его ученики

Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис. бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать [при упрощении выражений?] безразлично одну вместо другой.

Отсюда получается x + d x = x , далее

d x y = (x + d x )(y + d y ) − x y = x d y + y d x + d x d y = (x + d x )d y + y d x = x d y + y d x

Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой. Исследуя касательную, проходящую через точку M = (x ,y ) , Лопиталь придает большое значение величине

достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же d y к d x не придается никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума . Если при непрерывном увеличении диаметра x ордината y сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал d y сначала положителен по сравнению с d x , а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности.

Вероятно, эта формулировка не безупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, y = x 2 , тогда в силу первого требования

в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что d y можно преобразовать в соотетствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума d y = 0 . . В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что d y равен нулю в точке максимума, будучи разделен на d x .

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя , хотя и в не совем обычной форме. Пусть величина ординаты y кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при x = a . Тогда точка кривой с x = a имеет ординату y , равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при x = a .

По замыслу Лопиталя написанное им составляло первую часть Анализа, вторая же должна была содержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных по известной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернулли в его Математических лекциях о методе интеграла . Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.

Эйлер

Перемены, произошедшие за последующие полвека, отражены в обширном трактате Эйлера . Изложение анализа открывает двухтомное «Введение», где собраны изыскания о различных представлениях элементарных функций. Термин «функция» впервые появляется лишь в у Лейбница , однако на первые роли его выдвинул именно Эйлер. Изначальная трактовка понятия функции состояла в том, что функция - это выражение для счета (нем. Rechnungsausdrϋck ) или аналитическое выражение .

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этой переменного количества и чисел или постоянных количеств.

Подчеркивая, что «основное различие функций лежит в способе составления их из переменного и постоянных», Эйлер перечисляет действия, «посредством которых количества могут друг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней; сюда же следует отнести также решение [алгебраических] уравнений. Кроме этих действий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных, как-то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением». Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и не требовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение для счета определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда для рассматриваемой задачи это не нужно.

Операции в выражении допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощи бесконечно большого числа . В выражениях это число используется наряду с натуральными числами. Напр., считается допустимым такое выражение для экспоненты

в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счета так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.

В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентые функции и в особенности два наиболее изученные их классы - показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и двух операций - взятия логарифма и экспоненты .

Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:

Полагая и z = n x , он получает

отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу

Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение (см. также Спор о струне). В XIX веке с подачи Казорати это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно еще переписать предельный переход при помощи символа .

Изложение дифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует философское разъяснение о том, что «бесконечно малое количество есть точно нуль», более всего не устроившее современников Эйлера. Затем из конечных разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы, а из интерполяционной формулу Ньютона -формула Тейлора . Этот метод в существенном восходит к работам Тейлора (1715 г.). При этом у Эйлера появляется устойчивое отношение , которое, однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние главы посвящены приближенному вычислению при помощи рядов.

В трехтомном интегральном исчислении Эйлер трактует вводит понятие интеграла так:

Та функция, дифференциал которой = X d x , называется его интегралом и обозначается знаком S , поставленным спереди.

В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., Γ -функции, эллиптические функции и т. д. Строгое доказательство их неэлементарности было дано в 1830-х годах Якоби для эллиптических функций и Лиувиллем (см. элементарные функции).

Лагранж

Следующим крупным произведением, сыгравшим значительную роль в развитии концепции анализа, явилась Теория аналитических функций Лагранжа и обширный пересказ работ Лагранжа, выполненный Лакруа в несколько эклектической манере.

Желая избавиться от бесконечно малого вовсе, Лагранж обратил связь между производными и рядом Тейлора. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию, исследуемую методами анализа. Саму функцию он обозначил как f (x ) , дав графический способ записи зависимости - ранее же Эйлер обходился одними переменными. Для применения методов анализа по мнению Лагранжа необходимо, чтобы функция разлагалась в ряд

коэффициенты которого будут новыми функциями x . Остается назвать p производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить его как f "(x ) . Таким образом, понятие производной вводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остается заметить, что

поэтому коэффициент q является удвоенной производной производной f (x ) , то есть

Такой подход к трактовке понятия производной используется в современной алгебре и послужил основой для создания теории аналитических функций Вейерштрасса .

Лагранж оперировал такими рядами как формальными и получил ряд замечательных теорем. В частности, впервые и вполне строго доказал разрешимость начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в формальных степенных рядах.

Вопрос об оценке точности приближений, доставляемых частными суммами ряда Тейлора, впервые был поставлен именно Лагранжем: в конце Теории аналитических функций он вывел то, что теперь называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Однако, в противоположность современным авторам, Лагранж не видел нужды в употреблении этого результата для обоснования сходимости ряда Тейлора.

Вопрос о том, действительно ли функции, употребимые в анализе, могут быть разложены в степенной ряд, в последствие стал предметом дискуссии. Конечно, Лагранжу было известно, что в некоторых точках элементарные функции могут не разлагаться в степенной ряд, однако в этих точка они и недифференцируемы ни в каком смысле. Коши в своём Алгебраическом анализе привел в качестве контрпримера функцию

доопределённую нулем в нуле. Эта функция всюду гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой ряд Маклорена, который, следовательно, не сходится к значению f (x ) . Против этого примера Пуассон возразил, что Лагранж определял функцию как единое аналитическое выражение, в примере Коши же функция задана по разному в нуле, и при . Лишь в конце XIX века Прингсхейм доказал, что существует бесконечно дифференцируемая функция, заданная единым выражением, ряд Маклорена для которой расходится. Пример такой функцией доставляет выражение

Дальнейшее развитие

Библиография

Учебная литература

Стандартные учебники

На протяжении многих лет в России популярны следующие учебники:

• Кудрявцев, Л.Д. , Курс математического анализа (в трех томах).

Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Т. 2. Ряды. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Т. 3. Гармонический анализ. Элементы функционального анализа. Особое внимание в учебнике обращено на изложение качественных и аналитических методов, в нем нашли отражение и некоторые геометрические приложения анализа. Предназначается студентам университетов и физико-математических, и инженерно-физических специальностей втузов, а также студентам других специальностей для углубленной математической подготовки.

• Курант, Р. , (в двух томах). Главная методическая находка курса: сначала попросту излагаются основные идеи, а затем им даются строгие доказательства. Написан Курантом в его бытность профессором Геттингенского университета в 1920-х под влиянием идей Клейна , затем в 1930-х перенесен на американскую почву. Русский перевод 1934 г. и его переиздания дает текст по немецкому изданию, перевод 1960-х годов (т. н. 4-ое издание) представляет собой компиляцию из немецкой и американской версии учебника и в связи с этим весьма многословен.
• Фихтенгольц, Григорий Михайлович . Курс дифференциального и интегрального исчисления (в трёх томах) // Мат. анализ на EqWorld - очень хороший, но немного старомодный учебник.

и задачник

• Демидович, Б. П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу // Мат. анализ на EqWorld

Имеется несколько изданий, претендующих на роль АнтиДемидовича:

• Ляшко И. И. и др. Справочное пособие по высшей математики . т. 1-5

Большинство ВУЗов имеют собственные руководства по анализу:

• МГУ , мехмат:

• Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по мат. анализу.
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. М.: Наука, 1981. 544 с.
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть II. М.: Наука, 1984. 640 с.

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ (в двух частях)

• МГУ, физфак:

• Ильин В. А. , Позняк Э. Г. Основы математического анализа (в двух частях) // http://lib.homelinux.org .
• Бутузов В. Ф. и др. Мат. анализ в вопросах и задачах // http://lib.homelinux.org .

• МГТУ им Н. Э. Баумана:

• Математика в техническом университете Сборник учебных пособий в 21 томе.

• НГУ , мехмат:

• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть I. Книга 1. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 454 с ISBN 5-86134-066-8.
• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть I. Книга 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 512 с ISBN 5-86134-067-6.
• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть II. Книга 1. Основы гладкого анализа в многомерных пространствах. Теория рядов. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. 440 с ISBN 5-86134-086-2.
• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть II. Книга 2. Интегральное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление на многообразиях. Внешние дифференциальные формы. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001. 444 с ISBN 5-86134-089-7.
• Шведов И. А. Компактный курс математического анализа, : Часть 1. Функции одной переменной , Часть 2. Дифференциальное исчисление функций многих переменных .

• Физтех , Москва

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в трёх томах)

Учебники повышенной сложности

Учебники:

• Рудин У. Основы математического анализа. М., 1976 - небольшая книга, написана очень чётко и сжато.

Задачники повышенной сложности:

• Г.Полиа, Г.Сеге, Задачи и теоремы из анализа. Часть 1 , Часть 2 , 1978. (Большая часть материала относится к ТФКП)
• Pascal, E. (Napoli). Esercizii, 1895; 2 ed., 1909 // Internet Archiv

Справочники

Классические произведения

• Лопиталь. Анализ бесконечно малых // Мат. анализ на EqWorld
• Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914.
• Эйлер. Введение в анализ, Дифференицальное исчисление, Интегральное исчисление //Мат. анализ на EqWorld (Второй том Введения в анализ сохранен с ошибкой)
• Коши. Краткое изложение уроков по дифференциальному и интегральному исчислению //Мат. анализ на EqWorld
• Штурм. Курс анализа. Т.1,2 - Классический курс парижской политехнической школы 1830-х годов.
• Гурса Э. Курс мат. анализа. T. 1.1, 1.2 // Мат. анализ на EqWorld

Исторические книги

• Кестнер, Авраам Готтгельф . Geschichte der Mathematik . 4 тома, Геттинген, 1796-1800
• Кантор, Мориц . Vorlesungen über geschichte der mathematik Leipzig: B. G. Teubner, - . Bd. 1 , Bd. 2 , Bd. 3 , Bd. 4
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича (в трёх томах):

• Маркушевич А. И. Очерки по истории теории аналитических функций. 1951
• Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. 1960
• Первый российский учебник по мат. анализу: М.Е. Ващенко-Захарченко, Алгебраический Анализ или Высшая Алгебра. 1887

Примечания

1. Ср., напр.,курс Cornell Un
2. Ньютон И. Математические работы . M, 1937.
3. Leibniz //Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., т. V, c. 220-226. Рус. пер.: Успехи Мат. Наук, т. 3, в. 1 (23), с. 166-173.
4. Лопиталь. Анализ бесконечно малых . М.-Л.:ГТТИ, 1935. (Далее: Лопиталь) // Мат. анализ на EqWorld
5. Лопиталь, гл. 1, опр. 2.
6. Лопиталь, гл. 4, опр. 1.
7. Лопиталь, гл. 1, требование 1.
8. Лопиталь, гл. 1, требование 2.
9. Лопиталь, гл. 2, опр.
10. Лопиталь, § 46.
11. Лопиталь беспокоится о другом: d y для него длина отрезка и нужно пояснить, что значит ее отрицательность. Замечание, слеланное в § 8-10, можно даже понять так, что при убывании y с ростом x следует писать d x y = y d x − x d y , однако далее это не используется.
12. Лопиталь, § 46.
13. Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914.

Студент должен:

знать:

· определение предела функции в точке;

· свойства предела функции в точке;

· формулы замечательных пределов;

· определение непрерывности функции в точке,

· свойства непрерывных функций;

· определение производной, ее геометрический и физический смысл; табличные производные, правила дифференцирования;

· правило вычисления производной сложной функции; определение дифференциала функции, его свойства; определение производных и дифференциалов высших порядков; определение экстремума функции, выпуклой функции, точек пере­гиба, асимптот;

· определение неопределенного интеграла, его свойства, табличные интегралы;

· формулы интегрирования при помощи замены переменной и по частям для неопределенного интеграла;

· определение определенного интеграла, его свойства, основную формулу интегрального исчисления - формулу Ньютона-Лейбница;

· формулы интегрирования при помощи замены переменной и по частям для определенного интеграла;

· геометрический смысл определенного интеграла, приложения оп­ределенного интеграла.

уметь:

· вычислять пределы последовательностей и функций; раскрывать неопределённости;

· вычислять производные сложных функций, производные и диффе­ренциалы высших порядков;

· находить экстремумы и точки перегиба функций;

· проводить исследование функций с помощью производных и стро­ить их графики.

· вычислять неопределенные и определенные интегралы методом замены переменной и по частям;

· интегрировать рациональные, иррациональные и некоторые триго­нометрические функции, применять универсальную подстановку; применять определенный интеграл для нахождения площадей плоских фигур.

Предел функции. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Предел суммы, произведения и частного двух функций. Непрерывные функции, их свойства. Непрерывность элементарных и сложных функций. Замечательные пределы.

Определение производной функции. Производные основных элементар­ных функций. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Производная сложной функции. Правила дифференцирования: производная суммы, произведения и частного. Производные и дифференциалы высших порядков. Раскрытие неопределенностей. Возрастание и убывание функций, условия возрастания и убывания. Экстремумы функ­ций, необходимое условие существования экстремума. Нахождение экс­тремумов с помощью первой производной. Выпуклые функции. Точки пе­региба. Асимптоты. Полное исследование функции.

Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Метод замены переменных. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Универсальная подстановка.

Определенный интеграл, его свойства. Основная формула интегрально­го исчисления. Интегрирование заменой переменной и по частям в опреде­ленном интеграле. Приложения определенного интеграла.

Дифференциальное исчисление является разделом математического анализа, который изучает производную, дифференциалы и их использование при исследовании функции.

История появления

Дифференциальное исчисление выделилось в самостоятельную дисциплину во второй половине 17 века, благодаря трудам Ньютона и Лейбница, которые сформулировали основные положения в исчислении дифференциалов и заметили связи между интегрированием и дифференцированием. С того момента дисциплина развивалась вместе с исчислением интегралов, составляя тем самым основу математического анализа. Появление данных исчислений открыло новый современный период в математическом мире и вызвало возникновение новых дисциплин в науке. Также расширило возможность применения математической науки в естествознании и технике.

Основные понятия

Дифференциальное исчисление базируется на фундаментальных понятиях математики. Ими являются: непрерывности, функция и предел. Спустя время они приняли современный вид, благодаря интегральным и дифференциальным исчислениям.

Процесс создания

Формирование дифференциального исчисления в виде прикладного, а затем и научного метода произошло перед возникновением философской теории, которую создал Николай Кузанский. Его работы считаются эволюционным развитием из суждений античной науки. Несмотря на то что сам философ математиком не был, его вклад в развитие математической науки неоспорим. Кузанский один из первых ушел от рассмотрения арифметики как максимально точной области науки, поставив математику того времени под сомнения.

У античных математиков универсальным критерием была единица, в то время как философ предложить в качестве новой меры бесконечность взамен точного числа. В связи с этим инвертируется представление точности в математической науке. Научное знание, по его представлению, делится на рассудочное и интеллектуальное. Второе является более точным, по мнению ученого, поскольку первое дает лишь приблизительный результат.

Идея

Основная идея и понятие в дифференциальном исчислении связаны с функцией в малых окрестностях определенных точек. Для этого необходимо создать математический аппарат для исследований функции, поведение которой в малой окрестности установленных точек близко к поведению многочлена или линейной функции. Основано это на определении производной и дифференциала.

Появление было вызвано большим число задач из естественных наук и математики, которые приводили к нахождению значений пределов одного типа.

Одной из основных задач, которые даются как пример, начиная со старших классов школы, является определение скорости движения точки по прямой линии и построение касательной линии к этой кривой. Дифференциал связан с этим, поскольку есть возможность приблизить функцию в малой окрестности рассматриваемой точки линейной функции.

По сравнению с понятием производной функции действительной переменной, определение дифференциалов просто переходит на функцию общей природы, в частности на изображение одного евклидова пространства на другое.

Производная

Пусть точка движется по направлению оси Оу, за время возьмем х, которое отсчитывается от некоего начала момента. Описать такое перемещение можно по функции у=f(x), которая ставится в соответствие каждому временному моменту х координаты перемещаемой точки. Данную функцию в механике принять звать законом движения. Основной характеристикой движения, в особенности неравномерного, является Когда точка перемещается по оси Оу согласно закону механики, то в случайный временной момент х она приобретает координату f(x). Во временной момент х + Δх, где Δх обозначает приращение времени, ее кордината будет f(х + Δх). Так формируется формула Δy = f(х + Δх) - f(х), которую называют приращением функции. Она представляет собой пройденный точкой путь за время от х до х + Δх.

В связи с возникновением этой скорости в момент времени вводится производная. В произвольной функции производную в фиксированной точке называют пределом (при условии его существования). Обозначаться она может определенными символами:

f’(х), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Процесс вычисления производной именуют дифференцированием.

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Данный метод исчисления применятся при исследовании функции с несколькими переменными. При наличии двух переменных х и у, частная производная по х в точке А зовется производной этой функции по х с фиксированным у.

Может обозначаться следующими символами:

f’(x)(x,y), u’(x), ∂u/∂x или ∂f(x,y)’/∂x.

Необходимые навыки

Чтобы успешно изучить и уметь решать диффуры, требуются навыки в интегрировании и дифференцировании. Чтобы было легче разобраться в дифференциальных уравнениях, следует хорошо понимать тему производной и Также не помешает научиться искать производную от неявно заданной функции. Связано это с тем, что в процессе изучения придется часто использовать интегралы и дифференцирование.

Типы дифференциальных уравнений

Практически во всех контрольных работах, связанных с существует 3 вида уравнений: однородные, с разделяющимися переменными, линейные неоднородные.

Имеются и более редкие разновидности уравнений: с полными дифференциалами, уравнения Бернулли и прочие.

Основы решения

Для начала следует вспомнить алгебраичные уравнения из школьного курса. В них содержатся переменные и числа. Для решения обычного уравнения следует найти множество чисел, удовлетворяющих заданному условию. Как правило, такие уравнения имели одни корень, и для проверки правильности следовало лишь подставить это значение на место неизвестной.

Дифференциальное уравнение схоже с этим. В общем случае такое уравнение первого порядка включает:

• Независимую переменную.
• Производную первой функции.
• Функцию или зависимую переменную.

В отдельных случаях может отсутствовать одна из неизвестных, х или у, однако это не столь важно, так как необходимо наличие первой производной, без производных высших порядков, чтобы решение и дифференциальное исчисление были верны.

Решить дифференциальное уравнение - это значит отыскать множество всех функций, подходящих заданному выражению. Подобное множеств функций часто называется общим решением ДУ.

Интегральное исчисление

Интегральное исчисление является одним из разделов математического анализа, который изучает понятие интеграла, свойства и методы его вычисления.

Зачастую вычисление интеграла встречается при вычислении площади криволинейной фигуры. Под этой площадью подразумевается предел, к которому стремится площадь вписанного в заданную фигуру многоугольника с постепенным возрастанием его стороны, при этом данные стороны могут быть выполнены менее всякого ранее указанного произвольного малого значения.

Главная идея в вычислении площади произвольной геометрической фигуры состоит в подсчёте площади прямоугольника, то есть доказательстве, что его площадь равняется произведению длины на ширину. Когда речь идет о геометрии, то все построения производятся при помощи линейки и циркуля, и тогда отношение длины к ширине является рациональным значением. При подсчете площади прямоугольного треугольника можно определить, что если отложить такой же треугольник рядом, то образуется прямоугольник. В параллелограмме площадь подсчитывается подобным, но чуть более усложненным методом, через прямоугольник и треугольник. В многоугольниках площадь считают через входящие в него треугольники.

При определении пощади произвольной кривой данный метод не подойдет. Если разбить её на единичные квадраты, то останутся незаполненные места. В этом случае пытаются использовать два покрытия, с прямоугольниками сверху и снизу, в результате те включают график функции и не включают. Важным здесь остается способ разбивания на эти прямоугольники. Также если брать разбивания все более уменьшающиеся, то площадь сверху и снизу должна сойтись на определенном значении.

Следует вернуться к способу разделения на прямоугольники. Имеется два популярных метода.

Риманом было формализовано определение интеграла, созданное Лейбницем и Ньютоном, как площади подграфика. В этом случае были рассмотрены фигуры, состоящие из некоторого числа вертикальных прямоугольников и полученные при разделении отрезка. Когда при уменьшении разбивания имеется предел, к которому сводится площадь подобной фигуры, этот предел называют интегралом Римана функции на заданном отрезке.

Вторым методом является построение интеграла Лебега, состоящее в том, что за место разделения определяемой области на части подынтегральной функции и составления затем интегральной суммы из полученных значений в этих частях, на интервалы делится её область значений, а после суммируется с соответствующими мерами прообразов этих интегралов.

Современные пособия

Одно из основных пособий по изучению дифференциального и интегрального исчисления написал Фихтенгольц - "Курс дифференциального и интегрального исчисления". Его учебник является фундаментальным пособием по изучению математического анализа, который выдержал много изданий и переводов на другие языки. Создан для студентов вузов и долгое время применяется во множестве учебных заведений как одно из основных пособий по изучению. Дает теоретические данные и практические умения. Впервые издан в 1948 году.

Алгоритм исследования функции

Чтобы исследовать методами дифференциального исчисления функцию, необходимо следовать уже заданному алгоритму:

1. Найти область определения функции.
2. Найти корни заданного уравнения.
3. Подсчитать экстремумы. Для этого следует вычислить производную и точки, где она равняется нулю.
4. Подставляем полученное значение в уравнение.

Разновидности дифференциальных уравнений

ДУ первого порядка (иначе, дифференциальное исчисление одной переменной) и их виды:

• Уравнение с разделяющимися переменными: f(y)dy=g(x)dx.
• Простейшие уравнения, или дифференциальное исчисление функции одной переменной, имеющие формулу: y"=f(x).
• Линейное неоднородное ДУ первого порядка: y"+P(x)y=Q(x).
• Дифференциальное уравнение Бернулли: y"+P(x)y=Q(x)y a .
• Уравнение с полными дифференциалами: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Дифференциальные уравнения второго порядка и их виды:

• Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными значениями коэффициента: y n +py"+qy=0 p, q принадлежит R.
• Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянным значением коэффициентов: y n +py"+qy=f(x).
• Линейное однородное дифференциальное уравнение: y n +p(x)y"+q(x)y=0, и неоднородное уравнение второго порядка: y n +p(x)y"+q(x)y=f(x).

Дифференциальные уравнения высших порядков и их виды:

• Дифференциальное уравнение, допускающие понижение порядка: F(x,y (k) ,y (k+1) ,..,y (n) =0.
• Линейное уравнение высшего порядка однородное: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=0 , и неоднородное: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=f(x) .

Этапы решения задачи с дифференциальным уравнением

С помощью ДУ решаются не только математические или физические вопросы, но и различные проблемы из биологии, экономики, социологии и прочего. Несмотря на большое разнообразие тем, следует придерживаться единой логической последовательности при решении подобных проблем:

1. Составление ДУ. Один из наиболее сложных этапов, который требует максимальный точности, поскольку любая ошибка приведет к полностью неверным итогам. Следует учитывать все факторы, влияющие на процесс, и определить начальные условия. Также следует основываться на фактах и логических выводах.
2. Решение составленного уравнения. Этот процесс проще первого пункта, поскольку требует лишь строгого выполнения математических подсчетов.
3. Анализ и оценка полученных итогов. Выведенное решение следует оценить для установки практической и теоретической ценности результата.

Пример использования дифференциальных уравнений в медицине

Использование ДУ в области медицины встречается при построении эпидемиологической математической модели. При этом не стоит забывать, что данные уравнения также встречаются в биологии и химии, которые близки к медицине, потому что в ней немаловажную роль играет исследование разных биологических популяций и химических процессов в теле человека.

В приведённом примере с эпидемией можно рассматривать распространение инфекции в изолированном обществе. Обитатели подразделяются на три вида:

• Инфицированные, численность x(t), состоявшие из особей, носителей инфекции, каждый из которых заразен (инкубационный период короткий).
• Второй вид включает восприимчивых особей y(t), способных заразиться при контактировании с инфицированными.
• Третий вид включает в себя невосприимчивых особей z(t), которые имеют иммунитет или погибли из-за болезни.

Количество особей постоянно, учет рождения, естественных смертей и миграции не учитывается. В основе будет иметься две гипотезы.

Процент заболеваемости в определённый временной момент равняется x(t)y(t) (основывается предположение на теории, что число заболевших пропорционально количеству пересечений между больными и восприимчивыми представителями, которое в первом приближении будет пропорционально x(t)y(t)), в связи с этим количество заболевших возрастает, а число восприимчивых уменьшается со скоростью, которая вычисляется по формуле ax(t)y(t) (a > 0).

Число невосприимчивых особей, которые приобрели иммунитет или погибли, возрастает со скоростью, которая пропорциональна количеству заболевших, bx(t) (b > 0).

В итоге можно составить систему уравнений с учетом всех трех показателей и на её основе сделать выводы.

Пример использования в экономике

Дифференциальное исчисление часто применяется при экономическом анализе. Основной задачей в экономическом анализе считается изучение величин из экономики, которые записаны в форму функции. Это используется при решении задач вроде изменения дохода сразу после увеличения налогов, ввода пошлин, изменения выручки компании при изменении стоимости продукции, в какой пропорции можно заменить выбывших работников новым оборудованием. Чтобы решить такие вопросы, требуется построить функцию связи из входящих переменных, которые после изучаются с помощью дифференциального исчисления.

В экономической сфере часто необходимо отыскать наиболее оптимальные показатели: максимальную производительность труда, наивысший доход, наименьшие издержки и прочее. Каждый такой показатель является функцией из одного или нескольких аргументов. К примеру, производство можно рассмотреть как функцию из затраты труда и капитала. В связи с этим нахождение подходящего значения можно свести к отысканию максимума или минимума функции из одной или нескольких переменных.

Такого рода задачи создают класс экстремальных задач в экономической области, для решения которых необходимо дифференциальное исчисление. Когда экономический показатель требуется минимизировать или максимизировать как функцию от другого показателя, то в точке максимума отношение приращения функции к аргументам будет стремиться к нулю, если приращение аргумента стремится к нулевому значению. Иначе же, когда подобное отношение стремится к некому положительному или отрицательному значению, указанная точка не является подходящей, потому что при увеличении или уменьшении аргумента можно поменять зависимую величину в необходимом направлении. В терминологии дифференциального исчисления это будет значить, что требуемым условием для максимума функции является нулевое значение её производной.

В экономике нередко встречаются задачи на нахождение экстремума функции с несколькими переменными, потому что экономические показатели складываются из многих факторов. Подобные вопросы хорошо изучены в теории функций нескольких переменных, применяющей методы дифференциального вычисления. Подобные задачи включают в себя не только максимизируемые и минимизируемые функции, но и ограничения. Подобные вопросы относятся к математическому программированию, и решаются они с помощью специально разработанных методов, также опирающихся на этот раздел науки.

Среди методов дифференциального исчисления, используемых в экономике, важным разделом является предельный анализ. В экономической сфере этот термин обозначает совокупность приемов исследования изменяемых показателей и результатов при смене объемов создания, потребления, основываясь на анализе их предельных показателей. Предельным показателем считается производная или частные производные при нескольких переменных.

Дифференциальное исчисление нескольких переменных - немаловажная тема из области математического анализа. Для подробного изучения можно использовать различные учебные пособия для высших учебных заведений. Одно из наиболее известных создал Фихтенгольц - "Курс дифференциального и интегрального исчисления". Как заметно из названия, для решения дифференциальных уравнений немалое значение имеют навыки в работе с интегралами. Когда имеет место дифференциальное исчисление функции одной переменной, решение становится проще. Хотя, надо заметить, оно подчиняется тем же основным правилам. Чтобы на практике исследовать функцию дифференциальным исчислением, достаточно следовать уже имеющемуся алгоритму, который дается в старших классах школы и лишь немногим осложняется при вводе новых переменных.

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

для студентов дневного отделения

факультета математики

Часть 5

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

Печатается по решению кафедры математического анализа и РИСа РГПУ им. А.И. Герцена

Методическое пособие предназначено для студентов дневного отделения 1-3 курсов математического факультета РГПУ им. А.И. Герцена.

В соответствии с программой по математическому анализу пособие включает в себя 28 различных вариантов домашних индивидуальных контрольных работ по темам «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», «Кратные интегралы и их приложения». Перед вариантами контрольных работ приведены некоторые теоретические сведения и разобраны примеры, решение которых сопровождается методическими указаниями к ним.

Материал пособия может быть использован для проведения практических занятий, контрольных и проверочных работ на естественнонаучных факультетах высших учебных заведений.

Старший преподаватель О.С. Корсакова,

кандидат ф.-м.н., ассистент К.Г. Межевич

Рецензент: зав.каф. матем. анализа РГПУ им. А.И. Герцена,

Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. М.: Просвещение, 1972, т.1,2.

Виленкин Н.Я. и др. Задачник по курсу математического анализа. - М.: Просвещение, 1971. Ч.1,2.

Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике. М.: Высшая школа, 1983.

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1988. Т. 1,2.

Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. С.-Пб, 1994.

Поволоцкий А.И., Лихтарников Л.М. Метрические пространства. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Учебное пособие / ЛГПИ им. А.И. Герцена.-Л., 1985.

Поволоцкий А.И., Лихтарников Л.М. Интегральное исчисление функций нескольких переменных и дифференциальные уравнения. Учебное пособие / ЛГПИ им. А.И. Герцена.-Л., 1986.

Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. - М.: Наука, 1968. Т.1, 2.

Функции нескольких переменных

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРАФИК ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть и каждой точке
поставлено в соответствие число
. Тогда говорят, что на множествеD определена числовая функция нескольких переменных
.

Множество D называется областью определения функции, точка
-аргументом функции.

Будем далее рассматривать функцию двух переменных
. Отметим, что все сказанное ниже можно распространить и на функциюn переменных, где n >2 .

Множество всех точек
, для которых функция
, заданная аналитически, имеет смысл, называется естественнойобластью определения этой функции.

Например, областью определения функции
является открытый круг радиуса 2 с центром в начале координат, который задается неравенством
.

Графиком функции
, где
, называется множество. Оно задает некоторую поверхность в пространстве
.

Например, графиком функции
,
, является параболоид.

Пример 1. Найдем область определения функции
.

Функция определена в тех точках плоскости
, где
.

Это неравенство равносильно совокупности двух систем:

и
.

Первой системе неравенств удовлетворяют координаты всех точек, расположенных на параболе
или выше нее, и лежащих в полуплоскости
. Это множество заштриховано на рисунке 1. Второй системе удовлетворяют координаты точек, лежащих в множестве, заштрихованном на рис. 2. Следовательно, областью определения данной функции является объединение найденных множеств, т.е. множество, которое выделено штриховкой на рис. 3.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Линией уровня функции
, называется множество точек
, удовлетворяющих уравнению
.

Аналогично определяются уровни (или поверхности уровня ) функции n переменных, если n >2.

Пример 2. Найдем линии уровня функции
.

Отметим, что функция определена на всей плоскости
.

Для построения линий уровня надо для любого
найти множество точек плоскости, координатыx , y которых удовлетворяют уравнению
. Следовательно, если
, то
, а если
, то
.

Очевидно, что с отрицательным быть не может (в этом случае говорят, что с -уровнем функции при c <0 является пустое множество).

Найдем линию уровня при с=0 :

.

Аналогично находятся линии уровня для различных с>0 .

На рис. 4 изображены линии уровня для с=0 , с=1 и с=2 .

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Множество (открытый круг радиуса
с центром в точке
) называется-окрестностью точки
. Через
будем обозначать проколотую окрестность точки
.

Точка
называетсяпредельной точкой множества
, если пересечение любой-окрестности точки
и множестваD содержит хотя бы одну точку, отличную от
, т.е. для

.

Заметим, что предельная точка может и не принадлежать множеству D .

Пусть функция
определена на множествеD и точка
- предельная точкаD .

Число А называется пределом функции
в точке
, если для любой-окрестности
точкиА (
) существует-окрестность
точки
такая, что для любой точки

значение функции
попадает в окрестность
.

Таким образом,

:



)

:

).

Пример 3. Докажем, что
.

Заметим, что данная функция определена на всей плоскости за исключением точки (0,0) .

Поскольку
, то для любого
существует
(а именно
) такое, что для всех точек
, удовлетворяющих условию
, справедливо неравенство
.

Функция
называетсянепрерывной в точке
, если
.

Функция называется непрерывной на множестве D , если она непрерывна в каждой точке множества D .

Пример 4. 1) Функция
непрерывна в точке (0,0), поскольку
(см. пример 3).

2) Функция
в точке (0,0) терпит разрыв, т.к.

.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция
определена в некоторой окрестности точки
. Если существуют конечные пределы
и
, то они называютсячастными производными функции
в точке
по переменнымx и y соответственно и обозначаются
и
(или:
и
).

Для вычисления частной производной (или) пользуются известными формулами и правилами дифференцирования функции одной переменной, считая другую переменнуюy (или x ) постоянной величиной.

Пример 5. Найдем частные производные функции
.

Если считать y = const , то - степенная функция отx , поэтому
.

Если x = const , то - показательная функция отy , и, следовательно,
.

Функция
называетсядифференцируемой в точке
, если существуют числаА и В такие, что приращение

функцииf в точке
представимо в виде

где
при
.

Главная часть полного приращения
, линейная относительно
и
, т.е.
, называетсяполным дифференциалом функции
в точке
и обозначается
.

Таким образом,

.

Дифференциалом независимой переменной по определению считаем ее приращение, т.е.
,
.

Функция называется дифференцируемой на множестве D , если она дифференцируема в каждой точке множества D .

Теорема 1. Если функция
дифференцируема в точке
и

- ее дифференциал в этой точке, то в этой точке существуют частные производные функцииf , и, кроме того,

=А ,
=В .

Теорема 1 дает возможность вычислять дифференциал функции f по формуле

+
.

Согласно теореме 1, если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные функции. Обратное не верно. Для дифференцируемости функции требуется выполнение более сильных условий, чем наличие частных производных в точке.

Теорема 2. Если частные производные
и
функцииf существуют в некоторой окрестности точки
и непрерывны в
, то функцияf дифференцируема в точке
.

Пример 6. Вычислим частные производные и дифференциал функции
в точке (1, 1/5).

,

,

,
;

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Теорема 3. Пусть функции
и
определены в некоторой окрестности точки
, а функция
определена в некоторой окрестности точки.

Если функция f дифференцируема в точке
, а в точке
существуют производные
, то в точке
существует производная сложной функции
, причем

,
.

Пример 7. Найдем частные производные сложной функции
, где,.

Пример 8. Найдем производную сложной функции
, где
,
. В этом примере функцииx и y зависят от одной переменной t , поэтому сложная функция
- функция одной переменной.

Пример 9. Пусть f (u ) - произвольная дифференцируемая функция. Докажем, что функция
удовлетворяет уравнению
. Положим
.

Следовательно,

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть функция
в окрестности точки
имеет частную производную.

Частная производная функции по переменнойx называется частной производной второго порядка по переменной x и обозначается или
.

Частная производная по переменной y называется частной производной второго порядка по переменным x и y и обозначается или
.

Аналогично определяются частные производные второго порядка и(
и
) как частные производные функции.

Производные иназываютсясмешанными частными производными.

Теорема 4. Пусть функция
определена вместе со своими частными производными,,
,
в некоторой окрестности точки

и
непрерывны в этой точке. Тогда значения смешанных производных в этой точке равны, т.е.

=

.

Частные производные от производных второго порядка называются частными производными третьего порядка:
и т.д.

Частная производная (по любой из независимых переменных) от частной производной порядка m -1 называется частной производной порядка m .

Теорема 4 справедлива и для смешанных производных третьего, четвертого и более высоких порядков. Например, если функция
определена вместе со своими частными производными до порядка 3 включительно в некоторой окрестности точки
, причем смешанные производные
,
и
непрерывны в этой точке, то значения смешанных производных в этой точке равны:

=

=

.

Дифференциалом второго порядка функции двух переменных называется дифференциал от дифференциала первого порядка.

Если функция
дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки
(т.е. существуют непрерывные частные производные функцииf до второго порядка включительно в окрестности точки
), тогда

.

Пример 10. Найдем производные второго порядка дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции
, где
,
.

,
.

=

=
,

=

=
,

аналогично вычисляем

.

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ

Пусть l - единичный вектор в
с координатами
.

Производной функции
по направлению вектора l в точке
называется .

Производная по направлению обозначается

.

Градиентом функции f в точке
называется вектор, координатами которого являются частные производные функции в точке:

grad f
= (
,
) =
i +
j .

Легко показать, что производная по направлению l равна скалярному произведению вектора градиента и вектора l :

=

+

=
,

где  - угол между векторами grad f
иl .

Из последней формулы следует, что производная по направлению вектора grad f
имеет наибольшее значение среди производных по различным направлениям и равна модулю вектора градиента.

Пример 11. Найдем производную функции
в точкеМ (1, 0) в направлении вектора MN , где N (5, 3) .

Вектор MN имеет координаты (4, 3),
. Значит, единичный векторl имеет координаты (4/5, 3/5). Вычислим частные производные в точке М :
,
. Тогда
(1,0)=64/5 + 0 3/5 = 24/5.

Пример 12. Найдем производную функции
в точке (2,3) в направлении вектора градиента в этой точке.

Вычислим частные производные:

,
.

Производная в направлении вектора градиента в точке равна модулю вектора grad f . Следовательно,

КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

Для дифференцируемой в точке
функции
верно следующее соотношение:

где
,
(это следует из определения дифференциала первого порядка). КоэффициентыА и В однозначно определяются:
=А ,
=В .

Уравнение

является уравнением плоскости, проходящей через точку
. Эта плоскость называетсякасательной плоскостью к графику функции
в точке
.

Таким образом, касательной плоскостью к графику функции
в точке является такая плоскость, что разность ее аппликаты и значения функции
в этой точке есть величина, бесконечно малая по сравнению с при   0 .

Уравнение нормали к графику функции
в точке
имеет вид

.

Если уравнение гладкой поверхности задано в неявном виде
, то уравнение касательной плоскости в точке
имеет вид

а уравнение нормали в этой точке:

.

Пример 13. Напишем уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
в точке (-2, 1, 4).

,
. Уравнение касательной плоскости имеет вид:или
.

Уравнение нормали: .

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Точка
называется точкойлокального максимума (локального минимума ) функции
,
, если существует окрестность точки
, для всех точек которой выполнено неравенство

(
).

Точки локального максимума и локального минимума функции называются точками локального экстремума .

Например, точка (0,0) является точкой минимума функции
.

Теорема 5 (необходимое условие экстремума ). Если функция
имеет в точке
локальный экстремум и в этой точке существуют частные производныеf , то

=0 и
=0.

Точка
называетсястационарной точкой функции f , если
=0 и
=0.

Теорема 6 (достаточное условие экстремума ). Пусть функция
дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки
.

Обозначим =



- (

) 2 . Тогда

1) если > 0, то в точке
функцияf имеет локальный экстремум: максимум при

> 0 и минимум при

< 0;

2) если < 0, то в точке
функцияf не имеет экстремума;

3) если = 0, то в точке
функцияf может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его (в этом случае требуются дополнительные исследования).

Пример 14. Исследуем на экстремум функцию

Отметим, что функция u определена и дифференцируема на всей плоскости.
,
. Приравнивая частные производные к нулю и решая полученную систему, находим стационарные точки функции: (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2).

=
=.

(2, 1) = 36∙(1 - 4) = -108 < 0, поэтому в точке (2, 1) экстремума нет.

(1, 2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0,
, следовательно, в точке (1, 2) функция имеет минимум, u (1,2) = -25.

(-2, -1) = 36∙(1 – 4) = -108 < 0, в точке (-2, -1) экстремума нет.

(-1, -2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, , следовательно, в точке (-1, -2) функция имеет максимум, u (-1, -2) = 31.

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Пусть функция
непрерывна на ограниченном замкнутом множествеD .

Напомним, что множество
называетсяограниченным , если существует такая окрестность U (0,0), что
U (0,0); множество
называетсязамкнутым , если оно содержит все свои предельные точки.

По теореме Вейерштрасса существуют такие точки
и
, что
является наибольшим значением функции на множествеD , а
- наименьшим ее значением на множествеD .

Функция, дифференцируемая в ограниченной области и непрерывная на ее границе, достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо в стационарных точках, либо в граничных точках D .

Пример 15. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на множествеD , ограниченном прямыми
,
,
.

y (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2) - стационарные

точки функции u (см. пример 14), но (-2,-1),

(-1,-2) не принадлежат D .

u (2, 1) = -23, u (1, 2) = -25.

D Изучим поведение функции u на

x границе множества D .

Рис. 5
. Это функция одной переменной,

которая принимает наименьшее значение в точке
, а наибольшее значение в точке
:u (4,0) = -45, u (0,0)= 3;

2)
,
. На этом отрезке
. Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, вычислим ее значения в стационарных точках и на концах отрезка:
;
, но
, поэтому вычисляемu (0,0) = 3, u (0,
)= =
, u (0,4) = 7. Наибольшим является значение в точке (0,4), а наименьшим - в точке (0,
);

3)
,
. Здесь

.

Вычисляем значения функции в стационарных точках и на концах отрезка: ;;u (0,4)= 7, u (3/2, 5/2) = -20, u (5/2,3/2)= -18, u (4,0)= -45. На этом участке границы наибольшим является значение функции в точке (0,4), а наименьшим - в точке (4,0).

Из полученных в пунктах 1)-3) наименьших и наибольших значений функции на различных участках границы и из значений функции в стационарных точках выбираем самое большое и самое маленькое. Наибольшее значение: u (0,4)= 7, наименьшее значение: u (4,0)= -45.