เวกเตอร์ที่จำเป็น 
ถ้า แล้วระบบ (1) เรียกว่ามีเงื่อนไขไม่ดี ในกรณีนี้ ข้อผิดพลาดในค่าสัมประสิทธิ์เมทริกซ์และด้านขวามือ หรือข้อผิดพลาดในการปัดเศษในการคำนวณอาจทำให้โซลูชันบิดเบือนไปอย่างมาก
เมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ ทางด้านขวามือของระบบ (1) และค่าสัมประสิทธิ์ของเมทริกซ์ A จะทราบโดยประมาณ ในกรณีนี้ แทนที่จะเป็นระบบที่แน่นอน (1) เรามีระบบอื่นแทน
ดังนั้น
เราถือว่าค่าของ และ d เป็นที่รู้จัก
เนื่องจากแทนที่จะเป็นระบบ (1) เรามีระบบ (2) เราจึงสามารถหาคำตอบโดยประมาณของระบบ (1) ได้เท่านั้น วิธีสร้างวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณของระบบ (1) จะต้องเสถียรต่อการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในข้อมูลเริ่มต้น
สารละลายเทียมของระบบ (1) คือเวกเตอร์ที่ลดความคลาดเคลื่อนของพื้นที่ทั้งหมดให้เหลือน้อยที่สุด
ให้ x 1 เป็นเวกเตอร์คงที่จาก ซึ่งโดยปกติจะพิจารณาจากข้อความแสดงปัญหา
คำตอบของระบบ (1) ปกติเทียบกับเวกเตอร์ x 1 คือสารละลายหลอก x 0 โดยมีบรรทัดฐานขั้นต่ำ นั่นคือ
โดยที่ F คือเซตของสารละลายหลอกทั้งหมดของระบบ (1)
นอกจากนี้ 
โดยที่ ¾ เป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ x
สำหรับระบบประเภท (1) ใดๆ มีวิธีแก้ไขปัญหาปกติและไม่ซ้ำกัน ปัญหาในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาแบบปกติสำหรับระบบที่มีสภาพไม่ดี (1) ถือเป็นปัญหาที่ไม่ดี
ในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาปกติโดยประมาณของระบบ (1) เราจะใช้วิธีการทำให้เป็นมาตรฐาน
ตามวิธีนี้ เราสร้างฟังก์ชันการปรับให้เรียบของแบบฟอร์ม
และหาเวกเตอร์ที่ย่อฟังก์ชันนี้ให้เหลือน้อยที่สุด นอกจากนี้ พารามิเตอร์การทำให้เป็นมาตรฐาน a จะถูกกำหนดจากเงื่อนไขโดยไม่ซ้ำกัน
ที่ไหน 
.
ระบบที่เสื่อมโทรมและมีสภาพไม่ดีอาจแยกไม่ออกจากความแม่นยำที่กำหนด แต่หากมีข้อมูลเกี่ยวกับความสามารถในการละลายของระบบ (1) ควรใช้เงื่อนไขต่อไปนี้แทนเงื่อนไข (5)
ส่วนประกอบ 
เวกเตอร์เป็นคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งได้มาจากเงื่อนไขสำหรับฟังก์ชันขั้นต่ำ (4)
และดูเหมือนว่า
โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์
เมทริกซ์คอนจูเกตเฮอร์มิเชียน
ในทางปฏิบัติ การเลือกเวกเตอร์ต้องมีการพิจารณาเพิ่มเติม หากไม่มีอยู่ ให้ถือว่า =0
สำหรับ =0 เราเขียนระบบ (7) ในรูปแบบ
ที่ไหน 
เวกเตอร์ที่พบจะเป็นวิธีแก้ปัญหาปกติโดยประมาณของระบบ (1)
เรามาเน้นที่การเลือกพารามิเตอร์ก ถ้า a=0 ระบบ (7) จะกลายเป็นระบบที่มีเงื่อนไขไม่ดี ถ้า a มีขนาดใหญ่ ระบบ (7) จะถูกปรับสภาพอย่างดี แต่โซลูชันที่ทำให้เป็นมาตรฐานจะไม่ใกล้เคียงกับโซลูชันที่ต้องการกับระบบ (1) ดังนั้น a ใหญ่เกินไปหรือเล็กเกินไปจึงไม่เหมาะ
โดยปกติในทางปฏิบัติแล้วการคำนวณจะดำเนินการโดยมีค่าพารามิเตอร์ a จำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น,
สำหรับแต่ละค่าของ a ให้ค้นหาองค์ประกอบที่ย่อฟังก์ชัน (4) ค่าที่ต้องการของพารามิเตอร์การทำให้เป็นมาตรฐานนั้นถือเป็นตัวเลขที่ความเท่าเทียมกัน (5) หรือ (6) พอใจกับความแม่นยำที่ต้องการ
สาม. ออกกำลังกาย
1. สร้างระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งประกอบด้วยสมการ 3 ตัวที่ไม่ทราบค่า 3 ตัว โดยมีดีเทอร์มิแนนต์ที่มีค่าอยู่ในลำดับ 10 - 6
2. สร้างระบบที่สองคล้ายกับระบบแรก แต่มีเงื่อนไขอิสระอื่น ๆ ที่แตกต่างจากเงื่อนไขอิสระของระบบแรก 0.00006
3. แก้ระบบที่สร้างขึ้นโดยใช้วิธีการทำให้เป็นมาตรฐาน (สมมติ =0 และ d=10 -4) และวิธีการอื่นๆ (เช่น วิธีเกาส์เซียน)
4. เปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับและสรุปเกี่ยวกับการบังคับใช้วิธีการที่ใช้
IV. การกำหนดรายงาน
รายงานจะต้องนำเสนอ:
1. ชื่อผลงาน.
2. คำชี้แจงของปัญหา
3. คำอธิบายของอัลกอริทึมการแก้ปัญหา (วิธีการ)
4. ข้อความของโปรแกรมพร้อมคำอธิบาย
5. ผลลัพธ์ของโปรแกรม
รายการบรรณานุกรม
1. Tikhonov A.N. , Arsenin V.Ya. วิธีการแก้ไขปัญหาที่ไม่พึงประสงค์ - ม.: Nauka, 2522. 286 หน้า
2. Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. วิธีการเชิงตัวเลข - ม.: บินอม. ห้องปฏิบัติการความรู้, 2550 636 หน้า
งานห้องปฏิบัติการหมายเลข 23
การถอดเสียง
1 6. SLAE ที่เสื่อมและมีเงื่อนไขไม่ดี 1 6. SLAE ที่เสื่อมและมีเงื่อนไขไม่ดี ให้เราพิจารณา SLAE สองประเภท (27) ที่มีเมทริกซ์จตุรัส A ขนาด MxM: ระบบเสื่อม (ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ A =0 เป็นศูนย์); ระบบที่มีเงื่อนไขไม่ดี (ดีเทอร์มิแนนต์ A ไม่เท่ากับศูนย์ แต่หมายเลขเงื่อนไขมีขนาดใหญ่มาก) แม้ว่าที่จริงแล้วระบบสมการประเภทนี้จะแตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญจากกัน (สำหรับระบบแรกไม่มีวิธีแก้ปัญหา แต่สำหรับระบบที่สองมีเพียงระบบเดียว) จากมุมมองของคอมพิวเตอร์ในทางปฏิบัติมีความเหมือนกันมากระหว่าง พวกเขา. ระบบเสื่อมคือระบบที่อธิบายโดยเมทริกซ์ซึ่งมีดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ A = 0 (เมทริกซ์เอกพจน์) เนื่องจากสมการบางสมการที่รวมอยู่ในระบบดังกล่าวจะแสดงด้วยผลรวมเชิงเส้นของสมการอื่นๆ ดังนั้น ในความเป็นจริงแล้ว ระบบเองก็ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ มันง่ายที่จะรู้ว่า ขึ้นอยู่กับชนิดเฉพาะของเวกเตอร์ด้านขวามือ b ว่าจะมีคำตอบเป็นจำนวนอนันต์หรือไม่มีก็ได้ ลองพิจารณากรณีแรก เมื่อ SLAE A x=b ที่มีเมทริกซ์จตุรัสเอกพจน์ A ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเดียว ตัวเลือกนี้อยู่ที่การสร้างโซลูชันหลอกแบบปกติ (เช่น การเลือกชุดโซลูชันที่ไม่มีที่สิ้นสุดจากชุดโซลูชันที่ใกล้กับค่าที่แน่นอนมากที่สุด เช่น ศูนย์ เวกเตอร์) ขอให้เรายกตัวอย่างปัญหาดังกล่าว (สำหรับระบบสองสมการ) A= , b= (37) SLAE (37) แสดงไว้ในรูปที่ 1 19 ซึ่งแสดงว่าสมการทั้งสองที่กำหนดระบบกำหนดเส้นขนานสองเส้นบนระนาบ (x 1, x 2) เส้นไม่ตัดกันที่จุดใดๆ
2 2 6. SLAE ที่เสื่อมโทรมและมีเงื่อนไขไม่ดีที่จุดหนึ่งของระนาบพิกัด ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบ โปรดทราบว่า SLAE ซึ่งกำหนดโดยเมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่ใช่เอกพจน์ขนาด 2x2 จะกำหนดเส้นตัดกันคู่หนึ่งบนระนาบ (ดูรูปด้านล่าง) นอกจากนี้ ยังควรบอกด้วยว่าหากระบบมีความสอดคล้องกัน การแสดงทางเรขาคณิตของสมการจะเป็นเส้นตรงสองเส้นที่ประนีประนอมซึ่งอธิบายคำตอบจำนวนอนันต์ ข้าว. 19. การแสดงภาพกราฟิกของ SLAE ที่เข้ากันไม่ได้ 20. กราฟของส่วนของส่วนที่เหลือ f(x)= A x b ขึ้นอยู่กับ x 1 มันง่ายที่จะเดาว่าในกรณีเอกพจน์ที่พิจารณา จะมีวิธีแก้ปัญหาของระบบหลอกมากมายนับไม่ถ้วน (37) ที่จะย่อ A x b ที่เหลือให้เหลือน้อยที่สุด และจะวางอยู่บนเส้นตรงเส้นที่สามขนานกับสองเส้นดังแสดงในรูปที่ 1 19 และตั้งอยู่ตรงกลางระหว่างพวกเขา นี่คือภาพประกอบในรูป 20 ซึ่งแสดงหลายส่วนของฟังก์ชันคงเหลือ f(x) = A x b ซึ่งบ่งชี้ถึงการมีอยู่ของตระกูลต่ำสุดที่มีความลึกเท่ากัน ในการพิจารณาโซลูชันเฉพาะ เราควรเลือกโซลูชันหลอกที่มีทั้งชุดที่มีอยู่
3 6. SLAEs ที่เสื่อมโทรมและมีเงื่อนไข 3 ตามมาตรฐานที่เล็กที่สุด ดังนั้น ในกรณีเอกพจน์ เพื่อให้ได้วิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างออกไป จำเป็นต้องแก้ปัญหาการลดขนาดหลายมิติด้วยตัวเลข อย่างไรก็ตาม ตามที่เราจะเห็นในภายหลัง วิธีที่มีประสิทธิภาพมากกว่าคือการใช้การทำให้เป็นมาตรฐานหรือการสลายตัวของเมทริกซ์มุมฉาก (ดู 7 และ 10 ตามลำดับ) ให้เราหันไปหาระบบที่มีสภาพไม่ดีเช่น SLAE ที่มีเมทริกซ์ A ซึ่งมีดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ แต่หมายเลขเงื่อนไข A -1 A มีขนาดใหญ่ แม้ว่าระบบที่มีสภาพไม่ดีจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว แต่ในทางปฏิบัติมักไม่สมเหตุสมผลที่จะมองหาโซลูชันนี้ ขอให้เราพิจารณาคุณสมบัติของ SLAE ที่มีเงื่อนไขไม่ดีโดยใช้สองตัวอย่างเฉพาะของ SLAE ที่มีเงื่อนไขที่ไม่ดีซึ่งมีด้านขวามือเหมือนกัน b และมีเมทริกซ์ A และ B ที่แตกต่างกันเล็กน้อย: A= B=, b=, 3 5. (38 ) แม้ว่าระบบเหล่านี้จะอยู่ใกล้กัน แต่วิธีแก้ปัญหาที่แน่นอนกลับกลายเป็นว่าอยู่ห่างจากกันมาก กล่าวคือ: y A = , y B = (39) หากเราจำการมีอยู่ของเสียงรบกวนได้ เช่น เกี่ยวกับข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นอยู่เสมอในข้อมูลอินพุต เป็นที่ชัดเจนว่าการแก้ไขระบบที่มีเงื่อนไขไม่ดีโดยใช้วิธีการมาตรฐานนั้นไม่สมเหตุสมผลเลย โปรดจำไว้ว่าปัญหาที่ข้อผิดพลาดของโมเดลขนาดเล็ก (เมทริกซ์ A และเวกเตอร์ b) นำไปสู่ข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาขนาดใหญ่ เรียกว่าไม่ถูกต้อง ดังนั้น SLAE ที่มีเงื่อนไขที่ไม่ดีจึงเป็นตัวอย่างทั่วไปของปัญหาที่ไม่ถูกต้อง นอกจากนี้ควรสังเกตว่าสำหรับระบบสองสมการนั้นง่ายต่อการได้รับคำตอบที่แน่นอน แต่เมื่อแก้ SLAE มิติสูง (รวมถึงอัลกอริธึม "แน่นอน"
4 4 6. Gaussian SLAEs ที่เสื่อมโทรมและมีเงื่อนไขไม่ดี) แม้แต่ข้อผิดพลาดในการปัดเศษเล็กน้อยที่สะสมอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ระหว่างการคำนวณก็นำไปสู่ข้อผิดพลาดขนาดใหญ่ในผลลัพธ์ คำถามเกิดขึ้น: มันสมเหตุสมผลหรือไม่ที่จะมองหาวิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลขหากทราบล่วงหน้าว่าเนื่องจากความไม่แน่นอนของปัญหาเองจึงอาจกลายเป็นความผิดพลาดโดยสิ้นเชิง? เพื่อทำความเข้าใจเพิ่มเติมถึงสาเหตุของความไม่ถูกต้อง จะมีประโยชน์ในการเปรียบเทียบการตีความแบบกราฟิกของสมการทั้งสองของหลุม (รูปที่ 21) และระบบที่มีเงื่อนไขไม่ดี (รูปที่ 22) ผลเฉลยของระบบจะมองเห็นได้จากจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นที่แสดงถึงสมการแต่ละสมการ ข้าว. 21. กราฟของ SLAE Fig. 22. กราฟของ SLAE ที่มีเงื่อนไขไม่ดี จากรูปที่. 22 จะเห็นได้ว่าเส้นตรงที่สอดคล้องกับ SLAE ที่มีเงื่อนไขไม่ดีนั้นตั้งอยู่ใกล้กัน (เกือบขนานกัน) ในเรื่องนี้ ข้อผิดพลาดเล็กน้อยในตำแหน่งของแต่ละเส้นสามารถนำไปสู่ข้อผิดพลาดที่สำคัญในการแปลจุดตัดกัน (วิธีแก้ปัญหาของ SLAE) ซึ่งตรงข้ามกับกรณีของระบบที่มีการปรับสภาพอย่างดี เมื่อมีข้อผิดพลาดเล็กน้อยใน ความชันของเส้นมีผลเพียงเล็กน้อยต่อตำแหน่งของจุดตัดกัน (รูปที่ 21) .
5 6. SLAE ที่เสื่อมลงและมีเงื่อนไขไม่ดี 5 โปรดทราบว่าเมทริกซ์ที่มีเงื่อนไขไม่ดีนั้นเป็นเรื่องปกติเช่นกันเมื่อสร้างข้อมูลการทดลองใหม่ที่ได้รับจาก SLAE ที่กำหนดไว้เกินกำหนด (เข้ากันไม่ได้) (เช่น ในปัญหาการตรวจเอกซเรย์) เพื่อแก้ไขปัญหาที่ไม่ถูกต้อง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง SLAE ที่เสื่อมโทรมและมีเงื่อนไขที่ไม่ดี จึงได้มีการพัฒนาวิธีการที่มีประสิทธิภาพมากที่เรียกว่าการทำให้เป็นมาตรฐาน ขึ้นอยู่กับการพิจารณาข้อมูลเพิ่มเติมเบื้องต้นเกี่ยวกับโครงสร้างของโซลูชัน ซึ่งมักจะมีให้ใช้งานได้จริง
10. การสลายตัวของ QR- และ SVD: SLAEs “ไม่ดี” 1 10. การสลายตัวของ QR- และ SVD: SLAEs “ไม่ดี” ในบรรดาการสลายตัวของเมทริกซ์นั้น มีบทบาทพิเศษโดยการสลายตัวของมุมฉาก ซึ่งมีคุณสมบัติในการรักษาบรรทัดฐานของ เวกเตอร์ ให้เราเตือนคุณ
7. การทำให้เป็นมาตรฐาน 1 7. การทำให้เป็นมาตรฐาน เพื่อแก้ปัญหาที่ไม่ถูกต้อง นักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียต Tikhonov เสนอวิธีการง่ายๆ แต่มีประสิทธิภาพอย่างยิ่งที่เรียกว่าการทำให้เป็นมาตรฐานและขึ้นอยู่กับการมีส่วนร่วม
ตัวอย่าง: การชั่งน้ำหนัก 1 ตัวอย่าง: การชั่งน้ำหนัก ให้เราตีความปัญหาผกผันที่เกี่ยวข้องกับการประมวลผลผลลัพธ์ของการทดลองได้ง่ายขึ้น เช่น การชั่งน้ำหนักวัตถุสองประเภท
หัวข้อ วิธีการเชิงตัวเลขของพีชคณิตเชิงเส้น - - หัวข้อ วิธีการเชิงตัวเลขของพีชคณิตเชิงเส้น การจำแนกประเภท พีชคณิตเชิงเส้นมีสี่ส่วนหลัก: การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAEs)
UDC 55 Isabekov KA Madanbekova EE YSU ตั้งชื่อตาม KTynystanov เกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณของระบบที่มีเงื่อนไขไม่ดีของสมการพีชคณิตเชิงเส้น บทความนี้นำเสนออัลกอริทึมสำหรับสองวิธีในการแก้ปัญหาที่ไม่ดี
การประชุมเชิงปฏิบัติการด้านคอมพิวเตอร์พิเศษพร้อมการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ Nikolai Matveevich Andrushevsky คณะวิทยาการคอมพิวเตอร์ Moscow State University บทคัดย่อ การประชุมเชิงปฏิบัติการนี้มีพื้นฐานมาจากการศึกษาโดยละเอียดเกี่ยวกับวิธีการสลายค่าเอกพจน์ของเมทริกซ์และการประยุกต์
ระบบสมการเชิงเส้นที่กำหนดไว้เกินกำหนด Skalko Yuriy Ivanovich Tsybulin Ivan Shevchenko Alexander SLAE ที่กำหนดไว้เกินกำหนด SLAE ที่กำหนดไว้เกินกำหนด พิจารณา SLAE Ax = b แต่ในกรณีที่มีสมการมากกว่านั้น
ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น แนวคิดพื้นฐาน ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) เป็นระบบที่มีรูปแบบ a a a a a a a a a สามารถแสดงเป็นสมการเมทริกซ์ได้
ข้อสอบ Ne LA สำหรับนักศึกษาเศรษฐศาสตร์บัณฑิตในปีการศึกษา 04-0 ค้นหาเวกเตอร์ Ne (6 4; 6 8) และตัวเลือก Ne DEMO 0 (x; y) (โดยที่ Ne และ x< 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный
สมการของเส้นตรงในปริภูมิ 1 เส้นคือจุดตัดของระนาบสองระนาบ ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่า เส้นตรงในอวกาศสามารถกำหนดเป็นจุดตัดของระนาบสองระนาบได้ อนุญาต
การบรรยาย 6 งานเฉพาะเรื่อง วิธีการสืบเชื้อสาย ในการบรรยายครั้งล่าสุด ได้มีการพิจารณาวิธีการวนซ้ำประเภทแปรผัน สำหรับระบบ Au = f โดยที่ A = A ฟังก์ชัน Φ(u, u) ถูกนำมาใช้
11. การลดเชิงเส้น 1 11. การลดเชิงเส้น เรามาจบการสนทนาเกี่ยวกับปัญหาผกผันเชิงเส้นโดยนำเสนออีกวิธีหนึ่งที่เรียกว่าการลดลง โดยพื้นฐานแล้วมันใกล้เคียงกับการทำให้เป็นมาตรฐานมาก (ในบางส่วน
01 1. ค้นหาคำตอบทั่วไปและพื้นฐานของระบบสมการ: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20 โดยเลือก x และ x เป็นตัวแปรพื้นฐาน คำตอบ: ถ้าเราเลือกเป็นตัวแปรพื้นฐาน
การสาธิต 01 1. ค้นหาคำตอบทั่วไปและพื้นฐานของระบบสมการ: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20 โดยเลือก x และ x เป็นตัวแปรพื้นฐาน 2. ค้นหาพื้นฐานของระบบ
Moscow State Technical University ตั้งชื่อตาม NE Bauman คณะวิทยาศาสตร์พื้นฐาน ภาควิชาคณิตศาสตร์แบบจำลอง ÀÍ Kasikov,
UDC 57.9 Igrunova S.V. ผู้สมัครสาขาสังคมวิทยา รองศาสตราจารย์ รองศาสตราจารย์ภาควิชาระบบสารสนเทศ รัสเซีย Belgorod Kichigina A.K. นักศึกษาชั้นปีที่ 4 สถาบันเทคโนโลยีวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ
6 วิธีการประมาณฟังก์ชัน การประมาณที่ดีที่สุด วิธีการประมาณที่กล่าวถึงในบทสุดท้ายกำหนดให้โหนดฟังก์ชันกริดเป็นของอินเทอร์โพแลนท์ผลลัพธ์อย่างเคร่งครัด ถ้าไม่เรียกร้อง
องค์ประกอบของการจัดหมวดหมู่พีชคณิตเชิงเส้นของเมทริกซ์และการดำเนินการกับพวกมัน กำหนดเมทริกซ์ การจำแนกประเภทของเมทริกซ์ตามขนาด เมทริกซ์ศูนย์และเมทริกซ์เอกลักษณ์คืออะไร เมทริกซ์ถือว่าเท่ากันภายใต้เงื่อนไขใด
) แนวคิดของ SLAE) กฎของเครเมอร์สำหรับการแก้ SLAE) วิธีเกาส์เซียน 4) อันดับของเมทริกซ์ ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี 5) การแก้ SLAE ด้วยการผกผันเมทริกซ์ แนวคิดของการปรับสภาพเมทริกซ์) แนวคิดของระบบ SLAE O. SLAE
การคำนวณแบบขนานในเอกซเรย์คอมพิวเตอร์ วิธีพีชคณิตของเอกซเรย์คอมพิวเตอร์ ปัญหาเอกซเรย์คอมพิวเตอร์ในรูปแบบไม่ต่อเนื่อง ปัญหาเอกซเรย์คอมพิวเตอร์ในรูปแบบไม่ต่อเนื่อง ในทางตรงกันข้าม
การบรรยายครั้งที่ 2 การแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของ SLAE ตามกฎแล้วเมื่อแก้ไขปัญหาเชิงปฏิบัติส่วนใหญ่ ปัญหาของการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) จะเกิดขึ้นในรูปแบบของงานย่อยเสริมบางงาน
ตัวอย่างโจทย์พื้นฐานในวิธีแอลเอเกาส์เซียน ระบบสมการเชิงเส้นบางระบบ แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์เซียน x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์เซียน 6
คำจำกัดความของการวิจัยการดำเนินงาน การดำเนินงานเป็นเหตุการณ์ที่มุ่งบรรลุเป้าหมาย เพื่อให้เกิดความเป็นไปได้หลายประการและการจัดการ คำจำกัดความ การวิจัยการดำเนินงาน ชุดของคณิตศาสตร์
การบรรยายครั้งที่ 3 3. วิธีการของนิวตัน (แทนเจนต์ ลองตั้งค่าการประมาณเริ่มต้น [,b] และทำให้ฟังก์ชันเชิงเส้นตรง f(ในละแวกใกล้เคียงโดยใช้ส่วนของอนุกรมเทย์เลอร์ f(= f(+ f "((-. (5 แทนที่จะเป็นสมการ (เราแก้
สมการของเส้นตรงและระนาบ สมการของเส้นบนระนาบ.. สมการทั่วไปของเส้นตรง สัญลักษณ์ของความเท่าเทียมและความตั้งฉากของเส้น ในพิกัดคาร์ทีเซียน แต่ละเส้นตรงบนระนาบ Oxy จะถูกกำหนดไว้
มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งรัฐมอสโกตั้งชื่อตาม N.E. บาวแมน คณะวิทยาศาสตร์พื้นฐาน ภาควิชาคณิตศาสตร์แบบจำลอง อ.เอ็น. คาซิคอฟ
ตัวอย่างการทำข้อสอบระหว่างการเรียนทางไกล กระดาษทดสอบ 1 (CR-1) หัวข้อที่ 1 พีชคณิตเชิงเส้น ภารกิจที่ 1 มีความจำเป็นต้องแก้ระบบสมการที่นำเสนอในงานในรูปแบบ พารามิเตอร์คงที่
มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งรัฐมอสโกตั้งชื่อตาม N.E. คณะวิทยาศาสตร์พื้นฐาน คณะบาวแมน ภาควิชาคณิตศาสตร์วิเคราะห์ชั้นสูง เรขาคณิตวิเคราะห์ 1. พีชคณิตเมทริกซ์ พีชคณิตเวกเตอร์
ตั๋ว. เมทริกซ์ การกระทำกับพวกมัน.. สมการของพาราโบลาในระบบพิกัดมาตรฐาน ตั๋ว. คุณสมบัติของการดำเนินการเมทริกซ์ ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นและระนาบ มุมระหว่างพวกมัน เงื่อนไขความขนาน
3 สารบัญ 1. เป้าหมายและวัตถุประสงค์ของวินัย 4. ตำแหน่งของวินัยในโครงสร้างของ BOP 4 3. โครงสร้างและเนื้อหาของวินัย 5 3.1. โครงสร้างของวินัย 5 3.. เนื้อหาของวินัย 6 4. รายการสื่อการเรียนการสอนและระเบียบวิธี
บทเรียนภาคปฏิบัติ บทเรียนเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเงื่อนไขสุดขั้วที่ไม่มีเงื่อนไข คำชี้แจงของปัญหา ให้ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องสองครั้ง f () กำหนดไว้ในเซต X R จำเป็นต้องตรวจสอบ
การแก้ปัญหาพีชคณิตสำหรับภาคการศึกษาที่สอง D.V. กอร์โคเวตส์, F.G. Korablev, V.V. Korableva 1 ปริภูมิเวกเตอร์เชิงเส้น ปัญหาที่ 1 เวกเตอร์ใน R4 ขึ้นกับเชิงเส้นตรงหรือไม่? ก 1 = (4, 5, 2, 6), ก 2 = (2, 2, 1,
สถาบันการศึกษางบประมาณของรัฐบาลกลางด้านการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง "มหาวิทยาลัยการเงินภายใต้รัฐบาลสหพันธรัฐรัสเซีย" (มหาวิทยาลัยการเงิน) แผนก "คณิตศาสตร์"
Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı แสดงว่าเวกเตอร์;;) ;;) ; ;) สร้างพื้นฐานของเวกเตอร์และเขียนผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ If;;) บนเวกเตอร์เหล่านี้ หา X จากสมการ แสดงว่าเวกเตอร์;)
ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี การแก้ไข SLAE โดยใช้วิธี Gaussian อันดับเมทริกซ์ พิจารณาเมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่มี m แถวและคอลัมน์: A. m m m ให้เราเลือกแถวและคอลัมน์ที่ต้องการในเมทริกซ์นี้ องค์ประกอบ
ระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว ระบบสมการในรูปแบบเรียกว่าระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว การแก้ระบบสมการในตัวแปรสองตัวคือค่าคู่หนึ่ง
พีชคณิตเชิงเส้น การบรรยาย เส้นและระนาบในอวกาศ สารบัญ: สมการของระนาบ การจัดเรียงระนาบร่วมกัน สมการเวกเตอร์-พารามิเตอร์ของเส้น สมการของเส้นตรงจากจุดสองจุด เส้น
ST. PETERSBURG STATE UNIVERSITY คณะคณิตศาสตร์ประยุกต์ของกระบวนการควบคุม A. P. IVANOV, Y. V. OLEMSKOY ปฏิบัติการเกี่ยวกับวิธีการเชิงตัวเลขการลดขนาดฟังก์ชันกำลังสองอย่างเป็นระบบ
0 g 6 การดำเนินการของ FORA เงื่อนไข จำนวนเมทริกซ์ในฐานะตัวบ่งชี้ความเสถียรในการแก้ปัญหาที่ใช้ R Tsey, MM Shumafov Adygea State University, Maikop หมายเลขเงื่อนไขของเมทริกซ์
เมทริกซ์ ตัวกำหนด ระบบสมการเชิงเส้น วิธีการกำหนดขอบเขตตัวรองสำหรับการค้นหาอันดับของเมทริกซ์ A = mm m m ตัวรอง k ของลำดับ k ของเมทริกซ์ A คือดีเทอร์มิแนนต์ของลำดับ k ของเมทริกซ์นี้
การบรรยายที่ 4 วิธีการวนซ้ำสำหรับการแก้ปัญหา SLAE เพื่อลดข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับการปัดเศษ ให้ใช้อัลกอริธึมต่อไปนี้ ให้คุณเป็นคำตอบที่แน่นอนของระบบ คุณคือคำตอบเชิงตัวเลข จากนั้นเราจะแนะนำ
1. ระบบเชิงเส้นและเมทริกซ์ 1. กำหนดการคูณเมทริกซ์ การดำเนินการนี้เป็นการสับเปลี่ยนหรือไม่ อธิบายคำตอบ. ผลคูณ C ของเมทริกซ์ A และ B ถูกกำหนดให้เป็น mp m p A B ij = A ik B kj การดำเนินการไม่ใช่การสับเปลี่ยน
กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของสหพันธรัฐรัสเซีย TOMSK STATE มหาวิทยาลัยระบบควบคุมและวิทยุอิเล็กทรอนิกส์ (TUSUR) Yu.E. วอสโคบอยนิคอฟ เอ.เอ. Mitzel ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ถูกต้อง
วิธีการเชิงตัวเลขของพีชคณิตเชิงเส้น หัวข้อ “วิธีการเชิงตัวเลขของพีชคณิตเชิงเส้น” กล่าวถึงวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAEs) และวิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหา
เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ 3 STREAM อาจารย์ P. V. Golubtsov 1.1 เวกเตอร์ รายการคำถามสำหรับส่วนแรกของการสอบ 1. กำหนดคำจำกัดความของการดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์ แสดงรายการคุณสมบัติของการดำเนินการเชิงเส้น
ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น พิจารณาระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น m ที่ไม่ทราบค่า b b () m mm m bm ระบบ () เรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกันหากเงื่อนไขอิสระทั้งหมด b b b m เท่ากัน
4. ระบบสมการเชิงเส้น แนวคิดพื้นฐาน สมการจะเรียกว่าเชิงเส้นหากมีค่าที่ไม่รู้จักเพียงระดับแรกเท่านั้น และไม่มีผลคูณของค่าที่ไม่ทราบ เช่น ถ้ามีรูปแบบ + + +
พีชคณิตเชิงเส้น การบรรยาย 7 เวกเตอร์ บทนำ ในทางคณิตศาสตร์ มีปริมาณสองประเภท: สเกลาร์และเวกเตอร์คือตัวเลข และเวกเตอร์เข้าใจง่ายว่าเป็นวัตถุที่มีขนาดและทิศทาง แคลคูลัสเวกเตอร์
รายการคำถามข้อสอบวิธีคำนวณเชิงตัวเลข (28 พ.ค. 61) 0.1 ปริพันธ์เชิงตัวเลข 1. รายการวิธีคำนวณปริพันธ์ที่ไม่เหมาะสม สร้างสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเพื่อคำนวณอินทิกรัล
การคำนวณแบบขนานในเอกซเรย์ วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย วิธีการสืบเชื้อสายอย่างรวดเร็ว วิธีศิลปะ วิธี SIRT ในวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย ปัจจัยการคลายตัว τ k และเมทริกซ์ H k ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวน
รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับพีชคณิตเมทริกซ์เชิงเส้น คำนิยาม. ตารางตัวเลข m n ในรูปแบบ mm m n n mn ประกอบด้วยแถว m และคอลัมน์ n เรียกว่าเมทริกซ์ องค์ประกอบของเมทริกซ์จะมีหมายเลขคล้ายกับองค์ประกอบของดีเทอร์มิแนนต์
การบรรยายครั้งที่ 7 การแก้ไข ในการบรรยายครั้งล่าสุด มีการพิจารณาถึงปัญหาในการแก้ปัญหาระบบที่กำหนดไว้เกินกำหนด ระบบดังกล่าวมีรูปแบบ: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1 x = f 1, ( a 1 x 1 + a x + + a x = f, ( a 1 x 1 + a x
คำถามเชิงทฤษฎี I. เมทริกซ์ ตัวกำหนด 1) ให้คำจำกัดความของเมทริกซ์ เมทริกซ์ศูนย์และเมทริกซ์เอกลักษณ์คืออะไร เมทริกซ์ถือว่าเท่ากันภายใต้เงื่อนไขใด การดำเนินการขนย้ายดำเนินการอย่างไร? เมื่อไร
การบรรยายครั้งที่ 7 การลดเส้นโค้งลำดับที่สองให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน การเปลี่ยนฐานและพิกัดบนระนาบ ให้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมสองระบบที่มีจุดกำเนิดร่วมกันบนระนาบ:
โมดูลพีชคณิตเชิงเส้น 1. ช่องว่างเชิงเส้นและแบบยุคลิด ตัวดำเนินการเชิงเส้นในพื้นที่เชิงเส้น การบรรยาย 1.4 บทคัดย่อ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้น คุณสมบัติของพวกมัน
ยูดีซี. การสังเคราะห์ตัวกรองดิจิทัลแบบเรียกซ้ำโดยลักษณะเฉพาะของแรงกระตุ้นที่กำหนดโดยฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา Nikitin D.A., Khanov V.Kh. บทนำ ในคลังแสงสมัยใหม่ของวิธีการสังเคราะห์แบบเรียกซ้ำ
บทที่ 8 ฟังก์ชันและกราฟ ตัวแปรและการขึ้นต่อกันระหว่างฟังก์ชันและกราฟ ปริมาณสองปริมาณจะถูกเรียกว่าเป็นสัดส่วนโดยตรงหากอัตราส่วนของพวกมันคงที่ นั่นคือ if = โดยที่จำนวนคงที่ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงตามการเปลี่ยนแปลง
วิธีเกาส์ (วิธีกำจัดสิ่งแปลกปลอม) สองระบบเรียกว่าเทียบเท่า (เทียบเท่า) หากวิธีแก้ปัญหาตรงกัน คุณสามารถไปที่ระบบที่เทียบเท่าได้โดยใช้การแปลงเบื้องต้น
งานห้องปฏิบัติการหมายเลข 3
การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่มีเงื่อนไขไม่ดี
วิธีการทำให้เป็นมาตรฐาน
พารามิเตอร์อินพุต: จำนวนเต็มบวก n เท่ากับลำดับ n ของระบบ a คืออาร์เรย์ของจำนวนจริง nxn ที่มีเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ระบบ b - อาร์เรย์ของจำนวนจริง n จำนวนที่มีคอลัมน์เงื่อนไขอิสระของระบบ (b(1) = b 1, b(2)=b 2, …b(n)=b n) .
พารามิเตอร์เอาต์พุต: x – โซลูชันระบบ; p-จำนวนของการวนซ้ำ
แผนภาพอัลกอริทึมแสดงในรูปที่ 18
ข้อความโปรแกรม:
ขั้นตอนการควบคุม (N: จำนวนเต็ม; a: Tmatr; b: Tvector; var X: Tvector; var p: จำนวนเต็ม);
var a1,a2:tmatr; b1,b2,x0:เวกเตอร์; อัลฟา, s1, s: จริง; สูงสุด,eps:จริง; i,j,k,l:จำนวนเต็ม;
Out_Slau_T(n,a,b);
สำหรับฉัน:=1 สิ่งที่ต้องทำ (รับ A T A)
สำหรับ K:=1 ถึง N Do
สำหรับ J:=1 ถึง N ทำ S:=S+A*A;
สำหรับฉัน:=1 To N Do (รับ A T B)
สำหรับ J:=1 ถึง N Do
เริ่มต้น S:=S+A*B[j];
อัลฟา:=0; (ค่าอัลฟ่าเริ่มต้น)
เค:=0; (จำนวนการวนซ้ำ)
อัลฟา:=อัลฟ่า+0.01; รวม(k); a2:=a1;
สำหรับ i:=1 ถึง N ทำ a2:=a1+alfa; (รับ A T A+alfa)
สำหรับ i:=1 ถึง N ทำ b2[i]:=b1[i]+alfa*x0[i]; (รับ A T B+alfa)
SIMQ(n,a2,b2,l);
a2:=a1; X:=b2; x0:=X; b2:=b1;
วอซม์(N,eps,a2,b2);
ซิมคิว(n,a2,b2,l);
สำหรับฉัน:=2 ถึง n ทำ
ถ้า abs(b2[i]-X[i])>สูงสุด แล้วสูงสุด:=abs(b2[i]-X[i]);
X1 = 1.981 X2 = 0.4735
รูปที่ 18 - โครงร่างของอัลกอริธึมวิธีการทำให้เป็นมาตรฐาน
งานต่างๆ สำหรับการแก้ไขระบบที่มีสภาวะไม่ดีโดยใช้วิธีการทำให้เป็นมาตรฐานแสดงไว้ในตารางที่ 3
วิธีการหมุน (ระบุ)
แผนภาพอัลกอริทึมแสดงในรูปที่ 19
ตัวอย่าง. แก้ระบบสมการ
ข้อความโปรแกรม:
ขั้นตอน Vrash;
ตัวแปร I,J,K: จำนวนเต็ม; M,L,R: จริง; F1:ข้อความ; ป้าย M1,M2;
Out_Slau_T(nn,aa,b);
สำหรับ i:=1 ถึง Nn ทำ
สำหรับฉัน:=1 ถึง Nn-1 เริ่มเลย
สำหรับ K:=I+1 To Nn Do Begin
ถ้า (Aa0.0) จากนั้นไปที่ M1;ถ้า (Aa0.0) จากนั้นไปที่ M1;
1:M:=Sqrt(เอเอ*เอเอ+เอเอ*เอเอ);
L:=-1.0*เอเอ/เอ็ม;
M2:สำหรับ J:=1 ถึง Nn Do Begin
R:=M*Aa-L*Aa;
เอเอ:=L*เอเอ+เอ็ม*เอเอ;
R:=M*Aa-L*Aa;
เอเอ:=L*เอเอ+เอ็ม*เอเอ;
สำหรับฉัน:=Nn เหลือ 1 ให้เริ่มต้น
สำหรับ K:=0 ถึง Nn-I-1 ให้เริ่มต้น M:=M+Aa*Aa; จบ;
Aa:=(Aa-M)/Aa; จบ;
สำหรับ i:=1 ถึง Nn ทำ x[i]:=Aa;End;
การคำนวณตามโปรแกรมทำให้ได้ผลลัพธ์ดังนี้
X1 = 1.981 X2 = 0.4735
รูปที่ 19 - โครงร่างของอัลกอริธึมวิธีการของ Gives (การหมุน)
ตัวเลือกงาน
ตารางที่ 3
|
เมทริกซ์เอ |
เมทริกซ์เอ |
||||||
หัวข้องานห้องปฏิบัติการลำดับที่ 3 ด้านการควบคุมความรู้มีภาพประกอบพร้อมโปรแกรมการควบคุมและการฝึกอบรม
งานห้องปฏิบัติการหมายเลข 4
การแก้สมการไม่เชิงเส้นและระบบสมการไม่เชิงเส้น
วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย
ขั้นตอนการปฏิบัติงานในห้องปฏิบัติการ:
ค้นหาค่าประมาณศูนย์ของสารละลาย
แปลงระบบ f(x) = 0 เป็นรูปแบบ x = Ф(x);
ตรวจสอบสภาพการบรรจบกันของวิธีการ
แผนภาพอัลกอริทึมแสดงในรูปที่ 20
ตัวอย่าง. แก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย
ในการประมาณค่าเป็นศูนย์ เราเลือกจุด x = 1, y = 2.2, z = 2 ให้เราแปลงระบบเป็นรูปแบบ
ข้อความโปรแกรม:
ขั้นตอน Iteraz;
ตัวแปร I,J,K,J1: จำนวนเต็ม;
X2,X3,Eps: จริง;
จำนวนตอน:=0.01; X2:=0.0; เค:=1;
สำหรับ J:=1 ถึง Nn Do เริ่มต้น
สำหรับฉัน:=1 ถึง Nn Do เริ่มต้น S:=S+Aa*Xx[i]; จบ;
สำหรับ J1:=1 ถึง Nn Do เริ่มต้น Xx:=R; จบ; X3:=Xx;
สำหรับฉัน:=1 ถึง Nn เริ่มต้นถ้า (Xx[i]>=X3) จากนั้น X3:=Xx[i]; จบ;
สำหรับฉัน:=1 ถึง Nn Do เริ่มต้น Xx[i]:=Xx[i]/X3; จบ;
X1:=X3; U:=หน้าท้อง(X2-X1); U1:=U/หน้าท้อง(X1);
ถ้า (U1>=Eps) แล้ว X2:=X1;
จนกระทั่ง ((K>=50)หรือ(U1
การคำนวณตามโปรแกรมทำให้ได้ผลลัพธ์ดังนี้
X(1)= 1.1132 X(2)= 2.3718 X(3)= 2.1365
จำนวนการวนซ้ำ:5
รูปที่ 20 - แผนภาพอัลกอริทึมของวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย
วิธีการของนิวตัน
โปรแกรมสามารถใช้แก้ระบบลำดับไม่สูงกว่าสิบได้
พารามิเตอร์อินพุต: n - จำนวนสมการของระบบ (ตรงกับจำนวนที่ไม่รู้จัก), n £ 10; x-array ของจำนวนจริง n จำนวนที่มีการเดาเริ่มต้นของการแก้ปัญหา f คือชื่อของขั้นตอนภายนอก f(n, x, y) ซึ่งคำนวณตามค่าที่กำหนด x ซึ่งอยู่ในองค์ประกอบของอาร์เรย์ x ค่าปัจจุบันของฟังก์ชัน f และวางไว้ใน องค์ประกอบของอาร์เรย์ y; g - ชื่อของขั้นตอนภายนอก g(n, x, d) ซึ่งคำนวณองค์ประกอบเมทริกซ์จากค่าที่กำหนด x จากอาร์เรย์ x 
ซึ่งอยู่ในอาร์เรย์ d ของมิติ n x n eps - ค่าของเงื่อนไขสำหรับการสิ้นสุดกระบวนการวนซ้ำ
พารามิเตอร์เอาต์พุต: x - อาร์เรย์ของจำนวนจริง n (หรือที่เรียกว่าอินพุต) มีค่าโดยประมาณของโซลูชันเมื่อออกจากรูทีนย่อย k คือจำนวนการวนซ้ำ
ยูดีซี 519.61:621.3
วี.พี. โวโลโบอีฟ*, วี.พี. คลีเมนโก*
เกี่ยวกับแนวทางหนึ่งในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่มีเงื่อนไขไม่ดีซึ่งอธิบายวัตถุทางกายภาพ
สถาบันปัญหาเครื่องจักรและระบบทางคณิตศาสตร์ของ National Academy of Sciences ofยูเครน, เคียฟ, ยูเครน
เชิงนามธรรม. มันแสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของการสร้างแบบจำลองวัตถุทางกายภาพ ซึ่งเป็นแบบจำลองแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งอธิบายโดยระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAR) ไม่ได้เป็นผลมาจากการออกแบบเมทริกซ์ที่ไม่ดี แต่เป็นผลมาจาก SLAR ที่เปลี่ยนแปลงได้ที่เลือกไม่ถูกต้องในขั้นตอนของระดับพับโดยใช้วิธีศักยภาพของโหนดหรือแอนะล็อกและวิธีการนั้นเอง นี่เป็นการออกจากวิธีการตั้งค่างานอย่างถูกต้อง วิธีการตรวจสอบความถูกต้องของ SLAR ที่เกิดขึ้นจาก มีการเสนอวิธีการศักย์ของโหนดซึ่งมีเมทริกซ์สมมาตรเหมือนเดิม และจำเป็นต้องแปลงให้อยู่ในรูปแบบที่ถูกต้อง
คำสำคัญ: ระบบ การสร้างแบบจำลอง การตั้งค่าที่ไม่ถูกต้อง การใช้เหตุผลไม่ถูกต้อง ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีศักย์ของโหนด วิธีการตั้งค่างานให้ถูกต้อง การตรวจสอบความถูกต้อง
คำอธิบายประกอบ แสดงให้เห็นว่าความน่าเชื่อถือของผลลัพธ์ของการสร้างแบบจำลองวัตถุทางกายภาพ ซึ่งเป็นแบบจำลองแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งอธิบายโดยระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขที่ไม่ดีของเมทริกซ์ แต่ขึ้นอยู่กับการเลือกตัวแปร SLAE ที่ไม่ถูกต้อง ในขั้นตอนของการเขียนสมการโดยใช้วิธีการของศักยภาพที่สำคัญหรือสิ่งที่คล้ายคลึงกันและวิธีการนั้นเองเป็นกรณีหนึ่งของวิธีการกำหนดปัญหาที่ถูกต้อง มีการเสนอเทคนิคในการตรวจสอบความถูกต้องของ SLAE ที่คอมไพล์โดยวิธีศักยภาพของปมซึ่งมีเมทริกซ์ที่ไม่เสื่อมและสมมาตร และหากจำเป็น ให้แปลงเป็นรูปแบบที่ถูกต้อง
คำสำคัญ: ระบบ การสร้างแบบจำลอง ปัญหาที่วางผิด สภาวะที่ไม่ดี ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีการหาศักย์ไฟฟ้าที่สำคัญ วิธีการกำหนดปัญหาให้ถูกต้อง ตรวจสอบความถูกต้อง
เชิงนามธรรม. บทความนี้แสดงให้เห็นว่าความน่าเชื่อถือของผลลัพธ์ของการจำลองวัตถุทางกายภาพ ซึ่งแบบจำลองแยกส่วนถูกอธิบายโดยระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเมทริกซ์ที่มีเงื่อนไขไม่ดี แต่ขึ้นอยู่กับการเลือกตัวแปร SLAE ที่ไม่ถูกต้องในขั้นตอนการสร้างสมการ โดยวิธีการที่มีศักยภาพของโหนดหรือสิ่งที่คล้ายคลึงกัน และวิธีการนี้เป็นกรณีพิเศษของวิธีการในการชี้แจงปัญหาที่ถูกต้อง มีการเสนอแนะวิธีการตรวจสอบความถูกต้องของ SLAE ซึ่งทำโดยวิธีการที่มีศักยภาพของโหนด ซึ่งมีเมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกพจน์และเมทริกซ์สมมาตร และหากจำเป็น ให้แปลงเป็นรูปแบบที่ถูกต้อง
คำสำคัญ: ระบบ การจำลอง ปัญหาที่ไม่ถูกต้อง สภาพไม่ดี ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีศักย์ของโหนด วิธีระบุปัญหาที่ถูกต้อง ตรวจสอบความถูกต้อง
1. บทนำ
ปัญหามากมายในการสร้างแบบจำลองวัตถุทางกายภาพ (ทางเทคนิค) เกิดขึ้นที่การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) เนื่องจากการคำนวณทั้งหมดเมื่อแก้ไขระบบดังกล่าวจะดำเนินการด้วยตัวเลขที่มีนัยสำคัญจำนวนจำกัด ความแม่นยำอาจสูญหายไปอย่างมากเนื่องจากข้อผิดพลาดในการปัดเศษ ระบบที่มีสภาพไม่ดี (ไม่เสถียร) หรือในสูตรทั่วไป ปัญหาที่วางอย่างไม่ถูกต้องถือเป็นปัญหาที่เมื่อพิจารณาจากข้อผิดพลาดของข้อมูลอินพุตและความแม่นยำในการคำนวณในระดับคงที่แล้ว ไม่รับประกันความถูกต้องใดๆ ในโซลูชัน หมายเลขเงื่อนไขใช้เป็นค่าประมาณที่เลวร้ายที่สุดสำหรับข้อผิดพลาดที่เป็นไปได้ในการแก้ไข SLAE ดังต่อไปนี้จากวรรณคดีการพัฒนาวิธีการในการแก้ปัญหาที่ไม่ถูกต้องถือเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ซึ่งไม่ได้คำนึงถึงคุณลักษณะของวัตถุทางกายภาพ (ทางเทคนิค) แม้ว่าการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของปัญหาต่างๆ ของฟิสิกส์คณิตศาสตร์และการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการทางกายภาพที่ซับซ้อน
© Voloboev V.P. , Klimenko V.P. , 2014
นกฮูกและระบบทางเทคนิคเป็นสาเหตุของปัญหาพีชคณิตเชิงเส้นที่ไม่สิ้นสุด สำหรับระดับปัญหาที่ระบุไว้ เมื่อพัฒนาวิธีการแก้ปัญหา ขั้นตอนของการรวบรวม SLAE จะไม่ถูกพิจารณา ซึ่งเป็นไปได้ที่จะคำนึงถึงคุณลักษณะของปัญหาเฉพาะไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ความจริงที่ว่าต้องคำนึงถึงขั้นตอนนี้ได้รับการยืนยันจากผลงานดังต่อไปนี้
ประการแรกเป็นที่น่าสังเกตงานซึ่งให้ตัวอย่างของเมทริกซ์ที่การสูญเสียความแม่นยำเมื่อแก้ไข SLAE มีน้อยและค่าของจำนวนเงื่อนไขมีขนาดใหญ่มากนั่นคือแสดงให้เห็นว่าเกณฑ์ที่ยอมรับโดยทั่วไปสำหรับ การประเมินความถูกต้องเบื้องต้นของการแก้ไข SLAE ตามเงื่อนไขหมายเลขเป็นสิ่งจำเป็น แต่ไม่เพียงพอ มีการเสนอแนวทางใหม่ในการแก้ปัญหาที่ไม่ถูกต้องในงาน อยู่ในความจริงที่ว่าเพื่อเพิ่มความแม่นยำในการแก้ SLAE แม้ว่าจะมีค่าเงื่อนไขจำนวนมาก ในขั้นตอนการอธิบายแบบจำลองที่ไม่ต่อเนื่องของวัตถุทางกายภาพ ก็เสนอให้เขียน SLAE อย่างถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าไม่เพียงแต่มีเมทริกซ์ดังกล่าวตามที่รายงานในงานเท่านั้น แต่ยังรวมถึงวิธีการที่ได้รับการเสนอสำหรับการรวบรวมเมทริกซ์ SLAE อย่างถูกต้องซึ่งอธิบายแบบจำลองที่ไม่ต่อเนื่องของวัตถุ วิธีการรวบรวมเมทริกซ์ของ SLAE พิจารณาโดยสัมพันธ์กับปัญหาการสร้างแบบจำลองพฤติกรรมของวงจรไฟฟ้า ระบบไฟฟ้า ระบบแท่งของกลศาสตร์ และสมการวงรีของฟิสิกส์คณิตศาสตร์
สาระสำคัญของวิธีนี้ก็คือ เมื่อสร้าง SLAE ขึ้น พารามิเตอร์ของแบบจำลองที่ไม่ต่อเนื่องของวัตถุทางกายภาพจะถูกนำมาพิจารณาด้วยการเลือกตัวแปรที่เป็นเป้าหมาย ซึ่งต่างจากวิธีการที่มีอยู่ในปัจจุบัน ควรสังเกตว่าวิธีนี้ใช้ได้เฉพาะกับออบเจ็กต์ที่มีโทโพโลยีโมเดลแบบแยกแสดงด้วยกราฟเท่านั้น
ข้อกำหนดนี้เป็นไปตามรูปแบบการออกแบบวงจรไฟฟ้าและระบบไฟฟ้า สำหรับปัญหาหลายประการของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการทางกายภาพที่ซับซ้อน ระบบทางเทคนิค และฟิสิกส์ทางคณิตศาสตร์ จะไม่มีการใช้การเป็นตัวแทนของโทโพโลยีของแบบจำลองที่ไม่ต่อเนื่องในรูปแบบของกราฟ ผลงานแสดงให้เห็นว่าข้อจำกัดข้างต้นถูกลบออกโดยการนำเสนอโทโพโลยีขององค์ประกอบของแผนการออกแบบของแบบจำลองที่ไม่ต่อเนื่องของวัตถุทางกายภาพในรูปแบบของกราฟ นอกจากนี้ยังมีวิธีการแสดงโทโพโลยีขององค์ประกอบในรูปของกราฟอีกด้วย
ในบทความนี้ เราจะเสนอวิธีการแก้ไขปัญหาที่วางอย่างไม่ถูกต้องในกรณีที่โทโพโลยีของแบบจำลองแยกกันไม่ได้แสดงในรูปแบบของกราฟ เมื่อพัฒนาวิธีการนี้ เราคำนึงถึงความจริงที่ว่าวิธีการที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปในการอธิบายแบบจำลองปัญหาที่ไม่ต่อเนื่องในฟิสิกส์คณิตศาสตร์และกระบวนการทางกายภาพที่ซับซ้อนและระบบทางเทคนิค (วิธีการที่มีศักยภาพเป็นปม) เป็นกรณีพิเศษของวิธีการในการรวบรวมเมทริกซ์ SLAE อย่างถูกต้อง .
2. ความสัมพันธ์ระหว่างความแม่นยำของการแก้ SLAE ที่อธิบายแบบจำลองแบบไม่ต่อเนื่องของวัตถุและวิธีการเขียนสมการ
นักวิชาการ Voevodin V.V. แสดงให้เห็นในงานของเขาว่าความแม่นยำสูงสุดของผลลัพธ์ของการแก้ SLAE โดยใช้วิธีเกาส์เซียนนั้นทำได้เมื่อใช้วิธีการโดยเลือกองค์ประกอบหลัก มีงานตีพิมพ์จำนวนมากตามแนวคิดนี้ อย่างไรก็ตาม การแก้ปัญหาในทางปฏิบัติได้แสดงให้เห็นว่าความแม่นยำในการแก้ไข SLAE โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีของเมทริกซ์ที่มีเงื่อนไขไม่ดีนั้นสูญเสียไปอย่างมากเนื่องจากข้อผิดพลาดในการปัดเศษ กล่าวคือ การปรับปรุงความแม่นยำของผลลัพธ์ในขั้นตอนการแก้ปัญหานั้นยังไม่เพียงพอ เพื่อใช้วิธีเกาส์เซียนกับการเลือกองค์ประกอบหลัก
การพัฒนาเพิ่มเติมของแนวคิดนี้คือวิธีการที่เสนอในงานซึ่งมีการเสนอในขั้นตอนของการรวบรวมคำอธิบายของแบบจำลองที่ไม่ต่อเนื่องของวัตถุเพื่อสร้างองค์ประกอบในแนวทแยงของเมทริกซ์เป็นองค์ประกอบหลัก ในการดำเนินการนี้ เมื่อรวบรวมคำอธิบาย จะใช้ข้อมูลเพิ่มเติม ได้แก่ พารามิเตอร์ของโมเดลแบบแยกส่วน ประสิทธิผลของแนวทางนี้ กล่าวคือ การพึ่งพาความถูกต้องของโซลูชันของ SLAE ที่อธิบายการแยกส่วน
ISSN 1028-9763. เครื่องจักรและระบบทางคณิตศาสตร์ พ.ศ. 2557 ฉบับที่ 4
แบบจำลองใหม่ของวัตถุจากวิธีการเขียนสมการจะถูกสาธิตโดยใช้ตัวอย่างแบบจำลอง ด้านล่างนี้ เราจะพิจารณารวบรวมคำอธิบายของตัวอย่างแบบจำลองโดยใช้วิธีการที่อธิบายไว้ใน โดยไม่เลือกองค์ประกอบหลัก และวิธีแก้ปัญหา
โดยเลือกวงจรไฟฟ้าที่แสดงในรูปที่ 1 เป็นตัวอย่าง 1.
ข้าว. 1. วงจรไฟฟ้า
เป็นที่ทราบกันดีว่าสภาพของ SLAE ที่อธิบายวงจรไฟฟ้านั้นขึ้นอยู่กับช่วงการแพร่กระจายของค่าการนำไฟฟ้า (ความต้านทาน) ของส่วนประกอบวงจร ช่วงของการเปลี่ยนแปลงค่าการนำไฟฟ้าที่เลือกไว้ของส่วนประกอบของวงจรไฟฟ้าเท่ากับ 15 คำสั่ง ช่วยให้มั่นใจว่า SLAE มีสภาพที่ไม่ดี และตามที่เชื่อกันโดยทั่วไปคือความไม่ถูกต้องของปัญหา โดยใช้ตัวอย่างการคำนวณศักยภาพของโหนด 2 (แรงดันไฟฟ้าบนส่วนประกอบ G2) การพึ่งพาความน่าเชื่อถือของผลการคำนวณเกี่ยวกับวิธีการสร้างองค์ประกอบแนวทแยงเมื่อรวบรวมคำอธิบายของวงจรไฟฟ้าจะถูกวิเคราะห์
ด้านล่างนี้เป็นข้อกำหนดหลักที่จำเป็นสำหรับการแก้ไขตัวอย่างแบบจำลองโดยใช้วิธีการกำหนดปัญหาที่ถูกต้อง การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวงจรไฟฟ้าโดยใช้วิธีนี้จะขึ้นอยู่กับระบบสมการพื้นฐานของวงจรไฟฟ้าซึ่งรวมถึงสมการส่วนประกอบและสมการที่รวบรวมตามกฎของเคอร์ชอฟฟ์ สำหรับตัวอย่างแบบจำลอง สมการองค์ประกอบจะมีรูปแบบ
โดยที่ U i คือแรงดันไฟฟ้าที่ตกคร่อมส่วนประกอบ I คือกระแสที่ไหลผ่านส่วนประกอบ Gt คือค่าการนำไฟฟ้าของส่วนประกอบ
เพื่ออธิบายกราฟของวงจรไฟฟ้าและสมการตามกฎของ Kirchhoff จึงใช้เมทริกซ์ทอพอโลยีของรูปทรงและหน้าตัด กราฟวงจรเกิดขึ้นพร้อมกับวงจรไฟฟ้า การรวบรวมเมทริกซ์ทอพอโลยีของรูปทรงและส่วนเกี่ยวข้องกับการเลือกแผนภูมิกราฟวงจรและการวาดรูปทรงสำหรับต้นไม้ที่เลือก แผนภูมิต้นไม้ของกราฟวงจรไฟฟ้าถูกเลือกในลักษณะที่รวมแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าทั้งหมดไว้ในแผนภูมิ และแหล่งจ่ายกระแสทั้งหมดรวมอยู่ในคอร์ด องค์ประกอบในเวกเตอร์แรงดันไฟฟ้า U และกระแส I ของส่วนประกอบวงจรถูกจัดกลุ่มเป็นสิ่งที่รวมอยู่ในแผนผัง (ดัชนี D) นั่นคือกิ่งก้านและคอร์ด (ดัชนี X) ดังนั้น:
รูปทรงถูกสร้างขึ้นโดยการรวมคอร์ดเข้ากับแผนภูมิกราฟวงจร ในกรณีนี้
เมทริกซ์ทอพอโลยีของรูปทรงมีรูปแบบ
โดยที่ 1 คือเมทริกซ์ย่อยหน่วยของคอร์ด t
แสดงถึงการขนย้ายของเมทริกซ์ และเมทริกซ์ทอพอโลยีของส่วนต่างๆ อยู่ในรูปแบบ |1 -F โดยที่ 1 คือหน่วยเมทริกซ์ย่อยของสาขา ดังต่อไปนี้ จาก เงื่อนไขแนวทแยงของเมทริกซ์
ISSN 1028-9763. เครื่องจักรและระบบทางคณิตศาสตร์ พ.ศ. 2557 ฉบับที่ 4
จะเป็นตัวหลักในกรณีที่ค่าการนำไฟฟ้าของส่วนประกอบต้นไม้ในวงจรมีค่าการนำไฟฟ้าสูงสุด เมื่อพิจารณาถึงประเภทของเมทริกซ์ทอพอโลยี สมการลูกโซ่ที่รวบรวมตามกฎของ Kirchhoff สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ดังนี้
พวกเขา =-ґid, (3)
ตัวแปรของระบบสมการที่คอมไพล์จะถูกเลือกจากแรงดันและ/หรือกระแสของส่วนประกอบต่างๆ ซึ่งเป็นผลมาจากการวิเคราะห์ระบบสมการหลัก หากส่วนประกอบที่รวมอยู่ในกิ่งก้านของต้นไม้ถูกเลือกเป็นแรงดันไฟฟ้าแปรผัน สมการส่วนประกอบ (1) และสมการ (3), (4) สามารถเปลี่ยนเป็นรูปแบบต่อไปนี้:
Gd U d - F(Gx (- FUd)) = 0
ด้านล่างนี้เราจะนำเสนอการรวบรวมสมการสำหรับตัวอย่างแบบจำลอง ขั้นแรกให้เขียนคำอธิบายของวงจรไฟฟ้าเพื่อให้เงื่อนไขหลักในแนวทแยงของเมทริกซ์ ข้อกำหนดนี้เป็นไปตามชุดส่วนประกอบ E1, G6, G3, G2 ที่รวมอยู่ในต้นไม้ (ในรูปที่ 1 กิ่งก้านของต้นไม้จะถูกเน้นด้วยเส้นหนา) เวกเตอร์ของแรงดันและกระแสของส่วนประกอบต่อไปนี้สอดคล้องกับแผนผังที่เลือก:
และเมทริกซ์ทอพอโลยี
สมการ (5) โดยคำนึงถึง (6), (7) และสมการส่วนประกอบหลังการแปลงมีรูปแบบดังต่อไปนี้:
- (G4 + G5) (G4 + G5) G1 + G2 + G4 + G5
SLAE (8) ไม่มีเงื่อนไข เนื่องจากค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ \= 1.5857864376253, R2 = 5.0E +14+j5.0E +14, A, = 5.0E +14 - j5.0E +14 เพื่อพิจารณาว่าความแม่นยำของผลลัพธ์ของการแก้ระบบนั้นขึ้นอยู่กับตัวเลือกในการเขียนสมการอย่างไร การคำนวณศักยภาพ Uq ของโหนด 2 จะดำเนินการในรูปแบบทั่วไป:
ISSN 1028-9763. เครื่องจักรและระบบทางคณิตศาสตร์ พ.ศ. 2557 ฉบับที่ 4
(g1+g2 +g4 +g5)-
จากการวิเคราะห์กระบวนการคำนวณ (9-11) ตามมาว่าแม้จะมีการเปลี่ยนแปลงค่าการนำไฟฟ้าในช่วงกว้าง (ขนาด 15 ลำดับ) แต่ก็ไม่มีข้อกำหนดที่เข้มงวดสำหรับความแม่นยำขั้นสุดท้ายของการแทนตัวเลขทั้งสองเมื่อ การเขียนสมการและเมื่อทำการแก้สมการ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เชื่อถือได้ ก็เพียงพอแล้วที่จะดำเนินการกระบวนการคำนวณในการรวบรวมและแก้ไข SLAE ด้วยความแม่นยำในการแสดงตัวเลขเป็นตัวเลขนัยสำคัญสองตัว
ควรสังเกตว่าใน SLAE (8) องค์ประกอบแนวทแยงของแถวที่สอง (คอลัมน์) ของเมทริกซ์ G+G4+G5I มีขนาดใหญ่กว่าผลรวมของเงื่อนไขที่เหลืออย่างมีนัยสำคัญ (15 ลำดับความสำคัญ)
แถว (คอลัมน์) | G4 + 2G51. ซึ่งหมายความว่าโดยการใช้ UG = 0 เราสามารถลดความซับซ้อนของ SLAE ได้
(8) การรักษาความน่าเชื่อถือของผลลัพธ์ ในยุคของการนับแบบแมนนวล เทคนิคนี้สอดคล้องกับการรวมโหนด 2 กับ 3 (รูปที่ 1)
ในกรณีที่สอง (โดยไม่เลือกองค์ประกอบเส้นทแยงมุมเป็นองค์ประกอบหลัก) ก็เพียงพอที่จะเลือกส่วนประกอบ Ex, G6, G4, G2 ในต้นไม้ (ในรูปที่ 1 กิ่งก้านของต้นไม้จะถูกทำเครื่องหมายด้วยเส้นประ
เส้น). แรงดันไฟฟ้าตกบนส่วนประกอบเหล่านี้สอดคล้องกับศักยภาพของโหนด 1, 4, 3, 2 นับจากโหนดศูนย์ ซึ่งหมายความว่าด้วยการเลือกส่วนประกอบในแผนผัง วิธีการประกอบเมทริกซ์ SLAE อย่างถูกต้องจะสอดคล้องกับวิธีของศักย์ไฟฟ้าที่สำคัญ เวกเตอร์ของแรงดันและกระแสของส่วนประกอบต่อไปนี้สอดคล้องกับแผนผังและคอร์ดที่เลือก:
U D = UG UG G4, Ux = G1 UG3 UG G D G ig G4, Ix = G1 IG3 IG
ยูจี G2 G5 ig G2 G5
และเมทริกซ์ทอพอโลยี
สมการ (5) โดยคำนึงถึง (12) (13) และสมการส่วนประกอบ จะใช้สิ่งต่อไปนี้
ISSN 1028-9763. เครื่องจักรและระบบทางคณิตศาสตร์ พ.ศ. 2557 ฉบับที่ 4
G5 + G6 -G5 0 และ G6 0
G5 G3 + G4 + G5 -G3 อูโอ = 0
0 - G3 G1 + G2 + G3 Uo2 G1E1
ระบบสมการ (14) ไม่มีเงื่อนไขเนื่องจากมีค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ดังต่อไปนี้: 1 = 1.0,1 =1015 +у1015,1 =1015-/1015 เช่นเดียวกับในตัวอย่างเวอร์ชันแรก UG ที่เป็นไปได้ของโหนด 2 จะถูกคำนวณในรูปแบบทั่วไป:
(ช + จี + จี) -----------
วี 3 4 У (G + G)
+ (G1 + G2 + G3)
3 4 5" (G5 + G6)
จากการวิเคราะห์กระบวนการคำนวณของการแก้ระบบสมการ (15-17) ความน่าเชื่อถือของผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับทั้งการเรียบเรียงและการแก้สมการในความแม่นยำขั้นสุดท้ายของการแทนตัวเลข ดังนั้น หากกระบวนการคำนวณแก้ระบบ (15-17) มีความแม่นยำน้อยกว่า 15 หลักสำคัญ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นดังนี้
1,015 +1,015 ~ o,
และในกรณีที่ความแม่นยำมากกว่า 15 หลักก็จะเป็น
1030 + 2*1015 +1030 + %+ 3/1015)
จากการเปรียบเทียบเมทริกซ์ (8) และ (14) ตลอดจนกระบวนการคำนวณสำหรับการแก้ระบบสมการ จะได้ข้อสรุปดังต่อไปนี้
วิธีการของศักย์ปมเป็นกรณีพิเศษของวิธีการที่เสนอใน กล่าวคือ ในวิธีการของศักย์ปม ขอบของกราฟที่เชื่อมต่อโหนดฐานกับส่วนที่เหลือจะถูกเลือกลงในแผนผังเสมอ
องค์ประกอบเส้นทแยงมุมของเมทริกซ์มีค่าโมดูลัสมากกว่าองค์ประกอบอื่นๆ ทั้งในแถวและคอลัมน์ ไม่ว่าเมทริกซ์จะประกอบด้วยหรือไม่เลือกเส้นทแยงมุมสูงสุดก็ตาม ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือองค์ประกอบในแนวทแยงมีขนาดใหญ่กว่าองค์ประกอบที่ไม่เป็นแนวทแยงมากเพียงใด ซึ่งหมายความว่าการแก้ไข SLAE ประเภทนี้โดยใช้วิธีเกาส์เซียนพร้อมกับการเลือกองค์ประกอบหลักจะไม่เพิ่มความแม่นยำของผลลัพธ์สำหรับปัญหาประเภทนี้
ISSN 1028-9763. เครื่องจักรและระบบทางคณิตศาสตร์ พ.ศ. 2557 ฉบับที่ 4
จำนวนตัวเลขนัยสำคัญสุดท้ายที่ใช้ในสารละลายเกาส์เซียนนั้นขึ้นอยู่กับว่าเมทริกซ์นั้นถูกสร้างขึ้นโดยมีหรือไม่มีการเลือกองค์ประกอบเส้นทแยงมุมสูงสุด ความแตกต่างระหว่างปัญหาเวอร์ชันหนึ่งกับอีกเวอร์ชันหนึ่งคือในขั้นตอนของการเขียนสมการ ในกรณีหนึ่งส่วนประกอบที่มีค่าการนำไฟฟ้าสูงสุดจะถูกเลือกลงในแผนภูมิต้นไม้ และด้วยเหตุนี้แรงดันไฟฟ้าของส่วนประกอบนี้จะทำหน้าที่เป็นตัวแปรใน SLAE ค่าการนำไฟฟ้าของส่วนประกอบนี้เกี่ยวข้องเฉพาะในการก่อตัวขององค์ประกอบแนวทแยงของเมทริกซ์เท่านั้น ในอีกกรณีหนึ่ง ส่วนประกอบนี้จะตกไปอยู่ในคอร์ด จากสมการ (3) ต่อไปนี้ ความเค้นองค์ประกอบถูกกำหนดโดยความเค้นขององค์ประกอบต้นไม้ จากสมการ (4) เป็นไปตามว่าค่าการนำไฟฟ้าของส่วนประกอบนั้นเกี่ยวข้องกับการก่อตัวขององค์ประกอบของแถวและคอลัมน์ ดังนั้นค่าการนำไฟฟ้าของคอร์ดจะกำหนดขนาดขององค์ประกอบเมทริกซ์เหล่านี้
3. การแปลงเมทริกซ์ SLAE ที่คอมไพล์โดยวิธีศักย์สำคัญไปเป็นรูปแบบที่สอดคล้องกับสูตรที่ถูกต้อง
เมื่อแก้ไขปัญหาเชิงตัวเลขของฟิสิกส์คณิตศาสตร์และการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการทางกายภาพที่ซับซ้อนและระบบทางเทคนิคเพื่อรวบรวม SLAE ที่อธิบายแบบจำลองที่ไม่ต่อเนื่องของปัญหาเหล่านี้ วิธีการของศักย์สำคัญหรืออะนาล็อกส่วนใหญ่จะใช้ คุณลักษณะที่โดดเด่นของวิธีการนี้คือ ศักยภาพของโครงร่างการออกแบบของแบบจำลองแยก ซึ่งนับจากโหนดฐานไปยังโหนดที่เหลือ อัลกอริธึมอย่างง่ายสำหรับการเขียนสมการ และเมทริกซ์ที่มีการเติมแบบอ่อนของ SLAE จะถูกใช้เป็นตัวแปร SLAE ราคาสำหรับประสิทธิภาพดังกล่าวอาจเป็นความผิดพลาดของงาน เมื่อพิจารณาว่าวิธีการของศักย์ไฟฟ้าปมเป็นเพียงหนึ่งในวิธีการต่างๆ ในการวางปัญหาอย่างถูกต้อง ปัญหาที่วางอย่างไม่ถูกต้องสามารถแก้ไขได้โดยการใช้การแปลงเมทริกซ์ ด้านล่างเราจะพิจารณาอัลกอริธึมสำหรับการแปลงปัญหาที่ประกอบขึ้นอย่างไม่ถูกต้องโดยวิธีการของศักย์สำคัญ
จากความหลากหลายของวัตถุทางกายภาพทั้งหมด เฉพาะวัตถุเหล่านั้นเท่านั้นที่จะได้รับการพิจารณาซึ่งมีแบบจำลองเชิงเส้นแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งอธิบายโดย SLAE ที่มีเมทริกซ์ที่ไม่เสื่อมและสมมาตร
3.1. อัลกอริธึมการแปลงเมทริกซ์
เมื่อพัฒนาอัลกอริธึมการแปลงเมทริกซ์ความจริงจะใช้ว่าองค์ประกอบที่ไม่ใช่เส้นทแยงมุม j-th ของแถวที่ i-th ของเมทริกซ์นั้นรวมอยู่ในเมทริกซ์ที่มีเครื่องหมายลบและมีพารามิเตอร์โมเดลแบบไม่ต่อเนื่องที่อธิบายการเชื่อมต่อ ระหว่างโหนด i-th และ j-th ของโมเดลแยก องค์ประกอบเส้นทแยงมุมจะรวมอยู่ในเมทริกซ์ที่มีเครื่องหมายบวก ประกอบด้วยผลรวมขององค์ประกอบที่ไม่เป็นเส้นทแยงมุมและพารามิเตอร์โมเดลแบบแยกที่อธิบายการเชื่อมต่อระหว่างโหนด i และโหนดฐาน โดยปกติ เมื่อกำหนดหมายเลขโหนดของโมเดลแบบแยก โหนดพื้นฐานจะถือว่าเป็นศูนย์
ดังต่อไปนี้จากการศึกษาที่ดำเนินการข้างต้น ความไม่ถูกต้องของปัญหาในระดับ SLAE ที่คอมไพล์แล้วจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อองค์ประกอบที่ไม่เป็นเส้นทแยงมุมอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบนั้นมากกว่าพารามิเตอร์ของแบบจำลองแบบไม่ต่อเนื่องอย่างมีนัยสำคัญ ซึ่งรวมอยู่เท่านั้น ในองค์ประกอบแนวทแยง ด้านล่างนี้เป็นวิธีการตรวจสอบความถูกต้องของ SLAE ที่คอมไพล์แล้ว
ให้ SLAE มีแบบฟอร์ม
โดยที่ x คือเวกเตอร์ของศักย์ของปม (อิทธิพลของปม) y คือเวกเตอร์ของการไหลภายนอก A คือเมทริกซ์ของรูปแบบ
ISSN 1028-9763. เครื่องจักรและระบบทางคณิตศาสตร์ พ.ศ. 2557 ฉบับที่ 4
а11 а1і a1j a1n
อีกอย่างที่ 1 อีกอย่างคือ (21)
aJ1 an1 คือ aJJ แอน
โดยที่ n คือขนาดเมทริกซ์ องค์ประกอบเมทริกซ์เป็นไปตามข้อกำหนดต่อไปนี้:
ไอ > 0, ก.< 0, а. = а]г,1 < i < n, 1 < j < n при j Ф і. (22)
ด้านล่างเราจะพิจารณาตรวจสอบความถูกต้องของแถวที่ i ของเมทริกซ์และหากจำเป็นให้แก้ไข
ก่อนอื่นจะมีการกำหนดพารามิเตอร์โมเดลแบบไม่ต่อเนื่อง aซึ่งรวมอยู่ในองค์ประกอบแนวทแยงของแถวที่ i ของเมทริกซ์เท่านั้น
แถวที่ 3 ของเมทริกซ์ถือว่ามีการประกอบอย่างถูกต้องหากพารามิเตอร์เป็นไปตามเงื่อนไข
1 < j < n, при j Ф і.
หากไม่ตรงตามเงื่อนไข (24) แถวที่ th จะถูกปรับ ขั้นแรก เลือกองค์ประกอบที่ไม่ใช่เส้นทแยงมุมที่ใหญ่ที่สุด ให้นี่เป็นองค์ประกอบที่ j ของแถวที่ i เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่า เนื่องจากลักษณะเฉพาะขององค์ประกอบเมทริกซ์ (เงื่อนไข (22)) พารามิเตอร์ของแบบจำลองแบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งเกี่ยวข้องกับการก่อตัวขององค์ประกอบ o และ a.^ ของบรรทัด i-th และ j-th ถูกรวมไว้เป็นส่วนสำคัญขององค์ประกอบ aii และ a - สาระสำคัญของการปรับแถวที่ i คือการแปลงแถวที่ i และ j ของเมทริกซ์เพื่อให้ค่าขององค์ประกอบเป็น a ถูกรวมไว้ในองค์ประกอบ aii เท่านั้น จะเห็นได้ง่ายว่าเป็นตัวแทนของตัวแปร xi ในรูปแบบ
X = xj + xj (25)
และทำการเปลี่ยนแปลงองค์ประกอบของคอลัมน์ j-th ของเมทริกซ์ SLAE ต่อไปนี้
โอ = ไอ + ไอ 1< 1 < n , (26)
เราได้รับคอลัมน์ j-th ใหม่ของเมทริกซ์ ซึ่งองค์ประกอบที่ถูกแปลงคือ a และก. ไม่มีพารามิเตอร์ของโมเดลแยกที่สร้างองค์ประกอบ และก. -
ขั้นตอนต่อไปคือการแปลงแถวที่ j โดยใช้สูตร
อาจิ = a.i + aii, 1< l < n . (27)
องค์ประกอบ a i ของ j -string ที่ถูกแปลงไม่มีพารามิเตอร์โมเดลแบบแยกที่สอดคล้องกับองค์ประกอบ a i อีกต่อไป
ISSN 1028-9763. เครื่องจักรและระบบทางคณิตศาสตร์ พ.ศ. 2557 ฉบับที่ 4
การตรวจสอบความถูกต้องของเมทริกซ์ SLAE และการแก้ไขแถวที่ไม่ถูกต้องจะดำเนินการสำหรับเมทริกซ์ทั้งหมด ในงานนี้ จะพิจารณาเฉพาะแนวทางในการสร้างอัลกอริธึมสำหรับการแปลงเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปแบบที่ถูกต้องเท่านั้น ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการพัฒนาอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการแปลงเมทริกซ์เป็นรูปแบบที่ถูกต้องจะไม่ได้รับการพิจารณาในงานนี้ ด้านล่างนี้เราจะยกตัวอย่างการเปลี่ยนแปลงของเมทริกซ์ SLAE (14) ซึ่งรวบรวมโดยวิธีศักย์ของปม
3.2. ตัวอย่างการสาธิต
ประการแรก ควรสังเกตว่าเมทริกซ์ (14) มีความสมมาตรและไม่เสื่อมสภาพ ค่าสัมประสิทธิ์เมทริกซ์เป็นไปตามเงื่อนไข (22) ศักย์ไฟฟ้าที่สำคัญสอดคล้องกับแรงดันตกคร่อมส่วนประกอบต่างๆ
U4 = UG^, U3 = UG, U2 = UG
เมื่อคำนึงถึง (28) SLAE (14) สามารถแสดงได้ดังนี้:
G5 + G6 - G5 0 U 4 0
G5 G3 + G4 + G5 - G3 U3 = 0
0 - G3 G + G2 + G3 U2 GA
การตรวจสอบความถูกต้องของเมทริกซ์ประกอบด้วยการดำเนินการดังต่อไปนี้
การกำหนดโดยสูตร (23) ของพารามิเตอร์โมเดลแบบแยกส่วน ait รวมอยู่เท่านั้น
ให้เป็นองค์ประกอบแนวทแยง สำหรับแถวแรกของเมทริกซ์จะเป็น G6 สำหรับแถวที่สอง G4 และแถวที่สาม - (Gl + G2)
การตรวจสอบแถวเมทริกซ์เพื่อความถูกต้องจะดำเนินการตามสูตร (24) จากการตรวจสอบนี้ ปรากฎว่าบรรทัดที่สองไม่เป็นไปตามข้อกำหนดความถูกต้อง เนื่องจาก (G4 = 1) ^ (G3 = 1,015) พารามิเตอร์ G3 ยังรวมอยู่ในแถวที่สามของเมทริกซ์ด้วย ดังนั้นตามสูตร (25) การแสดงตัวแปร U3 จึงถูกเลือกในรูปแบบ
U3 = U2 + U23, (30)
จากการเปลี่ยนองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 3 ตามสูตร (26) เราจึงได้เมทริกซ์ (29) ของรูปแบบต่อไปนี้:
G5 + G6 - G5 - G5
G5 g3 + g4 + g5 g4+g5
และหลังจากเปลี่ยนแถวที่ 3 แล้ว ตามสูตร (27) เมทริกซ์ (31) ก็จะได้รูปแบบ
(G5 + G6) - G5 - g5 U 4 0
G5 (G3 + G4 + G) (G4 + G5) U 23 = 0 . (32)
G5 (G4 + g5) (G + G2 + G4+g5) U2 G อี
SLAE (32) เป็นไปตามข้อกำหนดด้านความถูกต้อง ดังนั้นการปรับปรุงจึงถือว่าเสร็จสมบูรณ์ ตัวแปร SLAE (32) สอดคล้องกับตัวแปร SLAE (8) นั่นคือใน
ISSN 1028-9763. เครื่องจักรและระบบทางคณิตศาสตร์ พ.ศ. 2557 ฉบับที่ 4
จากผลของการเปลี่ยนแปลงเป็นต้นไม้ จึงมีการเลือกองค์ประกอบเดียวกันเช่นเดียวกับวิธีการกำหนดปัญหาที่ถูกต้อง จากการเปรียบเทียบ SLAE (8) และ (32) จะตามมาว่าองค์ประกอบที่ไม่ใช่เส้นทแยงมุมของเมทริกซ์ (32) ของคอลัมน์ที่สองและแถวที่สองแตกต่างกันในเครื่องหมายจากเมทริกซ์ (8) นี่เป็นผลมาจากความจริงที่ว่าเมื่อเปลี่ยนเมทริกซ์ (14) ทิศทางของกระแสของส่วนประกอบ G3 ถูกเลือก ตรงข้ามกับทิศทางที่เลือกเมื่อรวบรวม SLAE (8) โดยการแทนที่ตัวแปร U23 ด้วย U23 = -U23 และเปลี่ยนเครื่องหมายขององค์ประกอบในสมการที่สองไปในทางตรงกันข้าม เราจะได้เมทริกซ์ (8)
4. บทสรุป
การสร้างแบบจำลองได้กลายเป็นส่วนสำคัญของกิจกรรมทางปัญญาของมนุษยชาติ และความน่าเชื่อถือของผลการสร้างแบบจำลองเป็นเกณฑ์หลักในการประเมินผลลัพธ์ของการสร้างแบบจำลอง เพื่อให้มั่นใจในความน่าเชื่อถือของผลลัพธ์ จึงจำเป็นต้องมีแนวทางใหม่ในการพัฒนาวิธีการและอัลกอริธึมในการอธิบายวัตถุที่ซับซ้อนและวิธีแก้ปัญหา
ตรงกันข้ามกับแนวทางที่มีอยู่ในการพัฒนาวิธีแก้ไขปัญหาที่จัดวางไม่ดี บทความนี้เสนอให้นำปัญหาที่จัดวางไม่ดี (ปรับสภาพ) มาสู่รูปแบบที่ถูกต้อง แสดงให้เห็นว่าไม่ใช่สภาพที่ไม่ดีของเมทริกซ์ที่ทำให้ยากต่อการรับผลลัพธ์ที่เชื่อถือได้เมื่อแก้ SLAE ที่อธิบายแบบจำลองที่ไม่ต่อเนื่องของวัตถุทางกายภาพ แต่เป็นการเลือกตัวแปร SLAE ที่ไม่ถูกต้องในขั้นตอนของการเขียนสมการ และวิธีการของปม ศักยภาพและแอนะล็อกซึ่งใช้ในการรวบรวม SLAE ที่อธิบายแบบจำลองแบบไม่ต่อเนื่อง เป็นกรณีพิเศษของวิธีการกำหนดปัญหาให้ถูกต้อง เสนอเทคนิคการตรวจสอบความถูกต้องของ SLAE ที่คอมไพล์โดยวิธีศักย์สำคัญในกรณีที่เมทริกซ์ SLAE ไม่ใช่เอกพจน์และสมมาตร พิจารณาอัลกอริธึมสำหรับการแปลงเมทริกซ์เป็นรูปแบบที่ถูกต้อง
บรรณานุกรม
1. กลิตคิน เอ็น.เอ็น. เกณฑ์เงื่อนไขเชิงปริมาณสำหรับระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น / เอ็น.เอ็น. คาลิตคิน, L.F. ยูคโน, แอล.วี. คุซมินา // การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ - 2554 ต.23 ฉบับที่ 2 - หน้า 3 - 26.
2. Voloboev V.P. แนวทางเดียวในการสร้างแบบจำลองระบบที่ซับซ้อน / วี.พี. Voloboev, V.P. Klimenko // เครื่องจักรและระบบทางคณิตศาสตร์ - 2551. - ฉบับที่ 4. - หน้า 111 - 122.
3. Voloboev V.P. แนวทางหนึ่งในการสร้างแบบจำลองระบบไฟฟ้า / วี.พี. Voloboev, V.P. Klimenko // เครื่องจักรและระบบทางคณิตศาสตร์ - 2552. - ฉบับที่ 4. - หน้า 106 - 118.
4. Voloboev V.P. กลศาสตร์ของระบบแท่งและทฤษฎีกราฟ / วี.พี. Voloboev, V.P. Klimenko // เครื่องจักรและระบบทางคณิตศาสตร์ - 2555. - ฉบับที่ 2. - หน้า 81 - 96.
5. Voloboev V.P. วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์และทฤษฎีกราฟ / วี.พี. Voloboev, V.P. Klimenko // เครื่องจักรและระบบทางคณิตศาสตร์ - 2556. - ฉบับที่ 4. - หน้า 114 - 126.
6. ปูคอฟ จี.อี. คำถามคัดเฉพาะทฤษฎีเครื่องจักรทางคณิตศาสตร์ / ปุคอฟ จี.อี. - Kyiv: สำนักพิมพ์ของ Academy of Sciences แห่ง SSR ยูเครน, 1964. - 264 หน้า
7. Seshu S. กราฟเชิงเส้นและวงจรไฟฟ้า / S. Seshu, M.B. เรด. - ม.: มัธยมปลาย, 2514. - 448 น.
8. Zenkevich O. องค์ประกอบจำกัดและการประมาณ / O. Zenkevich, K. Morgan - อ.: มีร์ 2529 -318 หน้า
9. โวเอโวดิน วี.วี. รากฐานการคำนวณของพีชคณิตเชิงเส้น / Voevodin V.V. - ม.: Nauka, 2520 -304 น.
10. รากฐานทางทฤษฎีวิศวกรรมไฟฟ้า: หนังสือเรียนสำหรับมหาวิทยาลัย / K.S. Demirchyan, L.R. นีมาน, N.V. โครอฟคิน, V.L. เชชูริน. - - ปีเตอร์ 2546 - ต. 2 - 572 หน้า
กลับมาอีกครั้งกับ SLAU อฮ=ขด้วยเมทริกซ์จตุรัสขนาด A MхNซึ่งตรงกันข้ามกับกรณีที่ "ดี" ที่พิจารณาข้างต้น (ดูหัวข้อ 8.D) ต้องใช้แนวทางพิเศษ ให้เราใส่ใจกับ SLAE สองประเภทที่คล้ายกัน:
- ระบบเสื่อม (โดยมีปัจจัยกำหนดเป็นศูนย์ |ก|=0);
- ระบบปรับอากาศไม่ดี (ดีเทอร์มิแนนต์ A ไม่เท่ากับศูนย์ แต่หมายเลขเงื่อนไขมีขนาดใหญ่มาก)
แม้ว่าที่จริงแล้วระบบสมการประเภทนี้จะแตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญจากกัน (สำหรับระบบแรกไม่มีวิธีแก้ปัญหา แต่สำหรับระบบที่สองมีเพียงระบบเดียว) จากมุมมองของคอมพิวเตอร์ในทางปฏิบัติมีความเหมือนกันมากระหว่าง พวกเขา.
SLAE เสื่อมลง
ระบบเสื่อมคือระบบที่อธิบายโดยเมทริกซ์ที่มีค่าดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ |ก|=0(เมทริกซ์เอกพจน์) เนื่องจากสมการบางสมการที่รวมอยู่ในระบบดังกล่าวจะแสดงด้วยผลรวมเชิงเส้นของสมการอื่นๆ ดังนั้น ในความเป็นจริงแล้ว ระบบเองก็ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ มันง่ายที่จะรู้ว่า ขึ้นอยู่กับชนิดเฉพาะของเวกเตอร์ด้านขวามือ b จะมีคำตอบเป็นจำนวนอนันต์หรือไม่มีเลยก็ได้ ตัวเลือกแรกคือการสร้างวิธีแก้ปัญหาหลอกแบบปกติ (เช่น การเลือกจากชุดคำตอบที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งใกล้กับค่าที่แน่นอนมากที่สุด เช่น ศูนย์ เวกเตอร์) กรณีนี้มีการอภิปรายโดยละเอียดในหัวข้อ 8.2.2 (ดูรายการ 8.11-8.13)
ข้าว. 8.7- การแสดงภาพกราฟิกของระบบที่ไม่สอดคล้องกันของสมการสองสมการที่มีเมทริกซ์เอกพจน์
ลองพิจารณากรณีที่สองเมื่อ SLAE อฮ=ขด้วยเมทริกซ์จตุรัสเอกพจน์ A ไม่มีทางแก้ได้ ตัวอย่างของปัญหาดังกล่าว (สำหรับระบบสองสมการ) แสดงไว้ในรูปที่ 1 8.7 ที่ด้านบนสุดของเมทริกซ์ที่ถูกป้อน กและเวกเตอร์ ขและยังมีความพยายาม (ไม่สำเร็จ เนื่องจากเมทริกซ์ A เป็นเอกพจน์) เพื่อแก้ปัญหาระบบโดยใช้ฟังก์ชัน แยกออก- กราฟที่ใช้พื้นที่หลักของรูปแสดงให้เห็นว่าสมการทั้งสองที่กำหนดระบบกำหนดเส้นขนานสองเส้นบนระนาบ (x0,x1) เส้นไม่ตัดกันที่จุดใดๆ ในระนาบพิกัด ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหาให้กับระบบ
บันทึก
ขั้นแรก โปรดทราบว่า SLAE ที่กำหนดโดยเมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่ใช่เอกพจน์ขนาด 2x2 จะกำหนดคู่ของเส้นตัดกันในระนาบ (ดูรูปที่ 8.9 ด้านล่าง) ประการที่สอง มันคุ้มค่าที่จะบอกว่าหากระบบมีความสอดคล้องกัน การแสดงทางเรขาคณิตของสมการจะเป็นเส้นตรงสองเส้นที่ประจบประแจงซึ่งอธิบายจำนวนคำตอบที่ไม่มีที่สิ้นสุด.
ข้าว. 8.8- กราฟของส่วนของฟังก์ชันคงเหลือ f (x) = |Ax-b|
มันง่ายที่จะเดาว่าในกรณีเอกพจน์ที่พิจารณาของโซลูชันหลอกของระบบที่ลดความคลาดเคลื่อนให้เหลือน้อยที่สุด |ขวาน-ข|จะมีมากมายนับไม่ถ้วน และพวกมันจะอยู่บนเส้นตรงที่สาม ขนานกับเส้นสองเส้นที่แสดงในรูปที่ 3 8.7 และอยู่ตรงกลางระหว่างพวกเขา นี่คือภาพประกอบในรูป 8.8 ซึ่งแสดงฟังก์ชันหลายส่วน ฉ(x)= | ขวาน-b |ซึ่งบ่งบอกถึงการมีอยู่ของตระกูลขั้นต่ำที่มีความลึกเท่ากัน หากคุณลองใช้ฟังก์ชันในตัวเพื่อค้นหา ย่อเล็กสุดวิธีการเชิงตัวเลขจะค้นหาจุดใดจุดหนึ่งของเส้นดังกล่าวเสมอ (ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้น) ดังนั้น เพื่อกำหนดวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ เราควรเลือกโซลูชันเทียมที่มีบรรทัดฐานน้อยที่สุดจากชุดโซลูชันหลอกทั้งชุด คุณสามารถลองกำหนดปัญหาการย่อขนาดหลายมิติใน Mathcad โดยใช้การรวมกันของฟังก์ชันในตัว ย่อเล็กสุดอย่างไรก็ตาม วิธีที่มีประสิทธิภาพมากกว่าคือการใช้การทำให้เป็นมาตรฐาน (ดูด้านล่าง) หรือการสลายตัวของเมทริกซ์มุมฉาก (ดูหัวข้อ 8.3)
