Kovaryans ve korelasyon katsayısı. Korelasyon momenti, sürekli rastgele değişkenler, doğrusal bağımlılık

4 sayfa (Word dosyası)

Tüm sayfaları görüntüle

Eserin metninin bir parçası

Nerede

ayrık rastgele değişkenler için Xi Y ve

y)dxdy

sürekli rastgele değişkenler için,

Korelasyon momenti rastgele değişkenler arasındaki ilişkiyi karakterize etmeye yarar. Özellikle bağımsız rastgele değişkenler X ve Y için korelasyon momenti Cxy sıfıra eşittir.

Tanım gereği korelasyon momenti, X ve Y niceliklerinin boyutlarının çarpımına eşit bir boyuta sahiptir. Bu, korelasyon momentinin büyüklüğünün rastgele değişkenlerin ölçüm birimlerine bağlı olduğu anlamına gelir. Örneğin X ve Y değerleri santimetre cinsinden ölçülürken sonuç C ise.” 2 cm2 ise X ve Y'yi milimetre cinsinden ölçerken Cxy = 200 mm2 elde ederiz. Korelasyon momentinin ölçüm birimlerine olan bu bağımlılığı, farklı rastgele değişken sistemlerinin karşılaştırılmasını zorlaştırır. Bu dezavantajı ortadan kaldırmak için, X ve Y büyüklükleri arasındaki ilişkinin korelasyon katsayısı adı verilen boyutsuz bir özelliği tanıtılmıştır:

Eğer X ve Y rastgele değişkenleri bağımsızsa, o zaman r", = O. Eğer X ve Y rastgele değişkenleri, Y = ax + b ile tam doğrusal bağımlılıkla ilişkiliyse, a>O ve b için rxy = l. = - a z O için. Genel olarak, -1 S rxyS çift eşitsizliği doğrudur

Genel durumda iki rastgele değişken X ve Y'nin bağımsızlığı özelliği, bunların korelasyonsuzluğuna eşdeğer değildir (yani eşitlik rn. = 0). Ancak iki boyutlu bir rastgele değişkenin normal dağılmış bileşenleri için bu doğrudur.

İki ayrık rastgele değişkenden (X, A) oluşan bir sistemin dağılım yasası aşağıdaki tabloda verilmiştir.

) X ve Y rastgele değişkenlerinin dağılım yasaları;

2) Y = 1 olması koşuluyla, X rastgele değişkeninin koşullu dağılım yasası;

3) matematiksel beklentiler IH), Ts U) ve dağılım merkezi;

4) D(X) ve DUE'nin dağılımları;

5) korelasyon momenti Cdu ve korelasyon katsayısı b.

1. Olasılıkları doğrular boyunca toplayarak, X rastgele değişkeninin olası değerlerinin olasılıklarını elde ederiz: = 0,4, p(l) = 0,2, p(4) = 0,4. Sonuç olarak, X değerinin dağılım yasası aşağıdaki forma sahiptir:

Kontrol edin: 0,4 + 1.

Sütunlar arasındaki olasılıkları toplayarak Y rastgele değişkeninin olası değerlerinin olasılıklarını elde ederiz: = 0,1, p(l) = 0,3, AZ) = 0,6. Y miktarının dağılım yasasını yazalım

Kontrol edin: (),l + 0,3 + 0,6 =

2.
Y = Y-2 = 1 olması koşuluyla, X rastgele değişkeni için koşullu olasılıkları bulalım: p(-l f 1) = -P12

(X 1 Y = 1) dağılımı aşağıdaki tabloya sahip olduğundan

H. Tanıma dayanarak matematiksel beklentileri hesaplıyoruz:

5. Merkezkaçlanmış rastgele değişkenler sisteminin bir tablosunu oluşturalım

x, Y, burada Y = Y-t = Y -1,9

Korelasyon momentini hesaplayalım:

(-3,9) 0-2,4 (-0,9)

İki sürekli rastgele değişkenden (X, Y) oluşan bir sistem, D = “x, y) - S x S 3, O S y S x + l) bölgesinde düzgün bir dağılıma sahiptir.

) dağıtım yoğunluğu;

2) Ch X, Y)'nin alana çarpma olasılığı

3) X ve Y rastgele değişkenlerinin dağılımının A(x) ve Ku) yoğunluklarının yanı sıra koşullu yoğunluklar ve y(ylx);

4) X ve Y rastgele değişkenlerinin fonksiyonları ve F20) dağılımları;

5) matematiksel beklentiler M(X) ve dağılım merkezi;

6) dağılım ve TsU);

7) korelasyon momenti Sl. ve korelasyon katsayısı

1. Koşullu olarak yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir: a, if -lSxS3 ve 0SySx+l, O, if (x, y) E D

A parametresini bulmak için f(x, y)dy.dy = ilişkisini kullanırız; burada D entegrasyon alanı Şekil 2'de gösterilmektedir. 7.

D bölgesi soldan ve sağdan x = -1 ve x = 3 çizgileriyle, altında ve üstünde O ve Y2(x) = x + 1 çizgileriyle sınırlanmıştır. Tekrarlanan integrale geçerek şunu elde ederiz:

fady= gaur X +1 D = fa(x + l)dx =

8a. 8a = 1 olduğundan, THEN a z- ve YOĞUNLUK fonksiyonu 8

benziyor

-, Eğer

Ah, eğer (x,y)E) ise.

2. Merkezi (2, O) noktasında olan 2 yarıçaplı bir daire olan G bölgesini gösterelim (bkz. Şekil 8). Ax, y) fonksiyonu dışarıda sıfıra eşit olduğundan

3. A(x) ve silt yoğunluklarını bulalım:

Bu yüzden

Buradan,

O S y S 4 için benzer şekilde şunu elde ederiz:

AZERBAYCAN CUMHURİYETİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DEVLET KOMİTESİ

BAKÜ ARAŞTIRMA VE EĞİTİM MERKEZİ

ÇOCUK CERRAHİSİ ANABİLİM DALI LİSANSÜSTÜ ÖĞRENCİSİ

AMU, N. NARIMANOV'un adını aldı

MUHTAROVA EMİL GASAN oğlu

KORELASYON ANLARI. KORELASYON KATSAYISI

GİRİİŞ

Olasılık teorisi rastgele olaylardaki kalıpları inceleyen bir matematik bilimidir.

Rastgele olaylarla kastedilen nedir?

Fiziksel ve teknik problemlerin bilimsel incelenmesinde, genellikle rastgele olarak adlandırılan özel tipteki olaylarla sıklıkla karşılaşılır. Rastgele fenomen- Bu, aynı deneyim tekrar tekrar üretildiğinde biraz farklı ilerleyen bir olgudur.

Rastgele bir olaya örnek verelim.

Aynı vücut analitik terazide birkaç kez tartılır: tekrarlanan tartımların sonuçları birbirinden biraz farklıdır. Bu farklılıklar, ekipmanın rastgele titreşimleri, cihazın okunmasındaki hatalar vb. gibi tartım işlemine eşlik eden çeşitli küçük faktörlerin etkisinden kaynaklanmaktadır.

Doğada rastgelelik unsurlarının şu veya bu derecede mevcut olmayacağı tek bir fiziksel olgunun olmadığı açıktır. Deney koşulları ne kadar doğru ve ayrıntılı olarak sabitlenirse sabitlensin, deney tekrarlandığında sonuçların tam ve tam olarak örtüşmesini sağlamak imkansızdır.

Kazalar kaçınılmaz olarak herhangi bir doğal olaya eşlik eder. Bununla birlikte, bir dizi pratik problemde, gerçek bir olay yerine basitleştirilmiş diyagramı dikkate alındığında bu rastgele unsurlar ihmal edilebilir. modeli ve verilen deneysel koşullar altında olayın çok kesin bir şekilde ilerlediğini varsayıyoruz. Aynı zamanda, bu olguyu etkileyen sayısız faktör arasından en önemli, temel ve belirleyici olanlar seçilmiştir. Diğer küçük faktörlerin etkisi basitçe ihmal edilir. Belirli bir teori çerçevesinde kalıpları incelerken, belirli bir olguyu etkileyen ana faktörler, söz konusu teorinin işlediği kavram veya tanımlara dahil edilir.

Herhangi bir olay yelpazesine ilişkin genel bir teori geliştiren herhangi bir bilim gibi, olasılık teorisi de dayandığı bir dizi temel kavramı içerir. Doğal olarak, bir kavramı tanımlamak onu daha iyi bilinen diğer kavramlara indirgemek anlamına geldiğinden, tüm temel kavramlar kesin olarak tanımlanamaz. Bu süreç sınırlı olmalı ve yalnızca açıklanan temel kavramlarla bitmelidir.

Olasılık teorisindeki ilk kavramlardan biri olay kavramıdır.

Altında etkinlik deneyim sonucu oluşabilecek veya oluşmayabilecek her türlü olguyu ifade eder.

Olaylara örnekler verelim.

A - bir erkek veya kızın doğumu;

B - bir satranç oyununda bir veya daha fazla açılışın seçimi;

C - bir veya başka bir burç işaretine ait.

Yukarıdaki olayları göz önüne aldığımızda, her birinin bir dereceye kadar olasılığa sahip olduğunu görüyoruz: Bazıları daha fazla, bazıları daha az. Olayları olasılık derecesine göre niceliksel olarak karşılaştırabilmek için, elbette her olayla belirli bir sayıyı ilişkilendirmek gerekir ki o sayı ne kadar büyükse olay o kadar olasıdır. Bu sayıya bir olayın olasılığı denir. Dolayısıyla bir olayın olasılığı, bir olayın nesnel olasılık derecesinin sayısal bir özelliğidir.

Olasılık birimi, 1'e eşit güvenilir bir olayın olasılığı olarak alınır ve herhangi bir olayın olasılığındaki değişiklik aralığı, 0'dan 1'e kadar bir sayıdır.

Olasılık genellikle P harfiyle gösterilir.

Shakespeare'in Hamlet'indeki ebedi problemin örneğine bakalım: "Olmak ya da olmamak?" Bir olayın olasılığını nasıl belirlersiniz?

Bir kişinin, bir nesnenin ve herhangi başka bir olgunun iki durumdan birinde olabileceği ve daha fazla olamayacağı oldukça açıktır: mevcudiyet (“olmak”) ve yokluk (“olmamak”). Yani iki olası olay var ama yalnızca biri gerçekleşebilir. Bu, örneğin var olma olasılığının 1/2 olduğu anlamına gelir.

Olay ve olasılık kavramının yanı sıra olasılık teorisinin temel kavramlarından biri de rastgele değişken kavramıdır.

Rastgele değişken deney sonucunda şu veya bu değeri alabilen ve hangisi olduğu önceden bilinmeyen bir niceliktir.

Yalnızca birbirinden ayrı olan ve önceden listelenebilen değerleri alan rastgele değişkenlere denir. sürekli veya ayrık rastgele değişkenler.

Örneğin:

1. Hayatta kalan ve ölen hasta sayısı.

2. Gecede hastaneye başvuran hastaların toplam çocuk sayısı.

Olası değerleri sürekli olarak belirli bir aralığı dolduran rastgele değişkenlere denir sürekli rastgele değişkenler.

Örneğin analitik terazide tartım hatası.

Modern olasılık teorisinin, "klasik" olasılık teorisinin temel olarak dayandığı olaylardan ziyade, öncelikle rastgele değişkenlerle çalıştığını unutmayın.

KORELASYON ANLARI. KORELASYON KATSAYISI.

Korelasyon momentleri, korelasyon katsayısı - bunlar yukarıda tanıtılan rastgele değişken kavramıyla veya daha kesin olarak bir rastgele değişkenler sistemiyle yakından ilişkili sayısal özelliklerdir. Bu nedenle, anlamlarını ve rollerini tanıtmak ve tanımlamak için, rastgele değişkenler sistemi kavramını ve bunların doğasında bulunan bazı özellikleri açıklamak gerekir.

Bir olguyu tanımlayan iki veya daha fazla rastgele değişkene denir. Rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem veya kompleks.

Birkaç rastgele değişken X, Y, Z, …, W'den oluşan bir sistem genellikle (X, Y, Z, …, W) ile gösterilir.

Örneğin, düzlemdeki bir nokta bir koordinatla değil iki koordinatla ve uzayda hatta üç koordinatla tanımlanır.

Birkaç rastgele değişkenden oluşan bir sistemin özellikleri, sisteme dahil edilen bireysel rastgele değişkenlerin özellikleriyle sınırlı değildir, aynı zamanda rastgele değişkenler arasındaki karşılıklı bağlantıları (bağımlılıkları) da içerir. Bu nedenle, rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem incelenirken bağımlılığın doğasına ve derecesine dikkat edilmelidir. Bu bağımlılık az çok belirgin, az çok yakın olabilir. Ve diğer durumlarda rastgele değişkenlerin pratikte bağımsız olduğu ortaya çıkar.

Rastgele değişken Y denir bağımsız Y rastgele değişkeninin dağılım yasası X'in aldığı değere bağlı değilse, bir X rastgele değişkeninden.

Rastgele değişkenlerin bağımlılığının ve bağımsızlığının her zaman ortak bir olgu olduğuna dikkat edilmelidir: Eğer Y, X'e bağlı değilse, o zaman X değeri de Y'ye bağlı değildir. Bunu hesaba katarak, bağımsızlığın aşağıdaki tanımını verebiliriz. rastgele değişkenlerden oluşur.

Rastgele değişkenler X ve Y, her birinin dağılım yasası diğerinin hangi değeri aldığına bağlı değilse bağımsız olarak adlandırılır. Aksi halde X ve Y değerlerine denir bağımlı.

Dağıtım kanunu Rastgele değişken, rastgele bir değişkenin olası değerleri ile bunlara karşılık gelen olasılıklar arasında bağlantı kuran herhangi bir ilişkidir.

Olasılık teorisinde kullanılan rastgele değişkenlerin "bağımlılığı" kavramı, matematikte kullanılan alışılagelmiş değişkenlerin "bağımlılığı" kavramından biraz farklıdır. Bu nedenle, bir matematikçi "bağımlılık" ile yalnızca tek bir tür bağımlılık anlamına gelir - tam, katı, sözde işlevsel bağımlılık. Birinin değerini bilerek diğerinin değerini doğru bir şekilde belirleyebiliyorsanız, iki X ve Y miktarına işlevsel olarak bağımlı denir.

Olasılık teorisinde biraz farklı bir bağımlılık türü vardır: olasılıksal bağımlılık. Y değeri X değeriyle olasılıksal bir bağımlılıkla ilişkiliyse, o zaman X'in değerini bilerek Y'nin değerini doğru bir şekilde belirtmek imkansızdır, ancak X değerinin hangi değere sahip olduğuna bağlı olarak dağıtım yasasını belirtebilirsiniz. alınmış.

Olasılıksal ilişki az ya da çok yakın olabilir; Olasılıksal bağımlılığın yakınlığı arttıkça fonksiyonel bağımlılığa daha da yakınlaşır. Dolayısıyla fonksiyonel bağımlılık, en yakın olasılıksal bağımlılığın aşırı, sınırlayıcı bir durumu olarak düşünülebilir. Bir diğer uç durum ise rastgele değişkenlerin tamamen bağımsız olmasıdır. Bu iki uç durum arasında olasılıksal bağımlılığın en güçlüsünden en zayıfına kadar tüm dereceleri yer alır.

Rastgele değişkenler arasındaki olasılıksal bağımlılıkla pratikte sıklıkla karşılaşılır. Rastgele değişkenler X ve Y olasılıksal bir ilişki içindeyse bu, X'in değerindeki bir değişiklikle Y'nin değerinin tamamen belirli bir şekilde değişeceği anlamına gelmez; bu sadece X'in değerindeki bir değişiklikle Y'nin değerinin değişeceği anlamına gelir

aynı zamanda değişme eğilimindedir (X arttıkça artar veya azalır). Bu eğilim yalnızca genel anlamda gözlenmektedir ve her bireysel durumda bundan sapmalar mümkündür.

Olasılıksal bağımlılık örnekleri.

Peritonitli bir hastayı rastgele seçelim. Rastgele değişken T hastalığın başlangıcından itibaren geçen süredir, rastgele değişken O ise homeostatik bozuklukların düzeyidir. T değeri O değerini belirleyen en önemli sebeplerden biri olduğundan bu değerler arasında net bir ilişki vardır.

Aynı zamanda, rastgele değişken T ile belirli bir patolojideki mortaliteyi yansıtan rastgele değişken M arasında daha zayıf bir olasılıksal ilişki vardır, çünkü rastgele değişken O rastgele değişkenini etkilemesine rağmen ana belirleyici değildir.

Üstelik T değerini ve B değerini (cerrahın yaşı) dikkate alırsak, bu değerler pratik olarak bağımsızdır.

Şu ana kadar rastgele değişken sistemlerinin özelliklerini sadece sözel açıklama yaparak tartıştık. Bununla birlikte, hem bireysel rastgele değişkenlerin hem de rastgele değişkenler sisteminin özelliklerinin incelendiği sayısal özellikler vardır.

Büyüklükler arasındaki korelasyonu karakterize etmek için düzeltme momenti ve korelasyon katsayısı kullanılır.

Tanım 2. Korelasyon anı X ve Y rastgele değişkenlerinin µ xy'si, bu değişkenlerin sapmalarının çarpımının matematiksel beklentisidir

Ayrık büyüklüklerin korelasyon momentini hesaplamak için ifade kullanılır

(3.12)

ve sürekli olanlar için – ifade

(3.13)

Açıklama. Korelasyon momenti µ xy formunda yeniden yazılabilir.

(3.14)

Aslında, matematiksel beklentinin özelliklerini kullanarak (bkz. §§ 2.2; 2.6), şunu bulduk:

Teorem. İki bağımsız rastgele değişken X ve Y'nin korelasyon momenti sıfıra eşittir.

Kanıt. Açıklamaya göre

ve X ve Y bağımsız rastgele değişkenler olduğundan (bkz. §§ 2.2; 2.6)

ve dolayısıyla µ xy =0.

Korelasyon momentinin tanımından, X ve Y büyüklüklerinin boyutlarının çarpımına eşit bir boyuta sahip olduğu anlaşılmaktadır; değeri rastgele değişkenlerin ölçüm birimlerine bağlıdır. Bu nedenle aynı iki nicelik için korelasyon momentinin büyüklüğü, niceliklerin ölçüldüğü birimlere bağlı olarak farklı değerlere sahip olabilir. Bu dezavantajı ortadan kaldırmak için, iki rastgele değişken X ve Y arasındaki ilişkinin (bağımlılığın) ölçüsü olarak boyutsuz bir nicelik almayı kabul ettik.

Nerede σ x =σ(X), σ y =σ(Y), isminde korelasyon katsayısı.

Örnek 1. İki boyutlu bir ayrık rastgele değişkenin (X,Y) dağılım yasasıyla belirtilmesine izin verin:

ve bu nedenle,

Sütunlardaki olasılıkları toplayarak Y'nin olası değerlerinin olasılıklarını buluyoruz:

Dolayısıyla dağıtım yasası Y:

e
P	1\3	1\2	1\6

ve bu nedenle,

Buradan,

Böylece korelasyon katsayısı

Teorem. İki rastgele değişkenin korelasyon momentinin mutlak değeri, standart sapmalarının çarpımını aşmaz:

Kanıt. Rastgele değişkene giriş Nerede Varyansını bulalım. Sahibiz

(herhangi bir varyans negatif değildir). Buradan

Rastgele bir değişken girerek , benzer şekilde bulacağız

Sonuç olarak elimizde

Tanım 2. Rastgele değişkenler X ve Y = 0 ise ilişkisiz olarak adlandırılır ve eğer = 0 ise korelasyonlu olarak adlandırılır.

Örnek 1. Bağımsız rastgele değişkenler X ve(3.12) = 0 ilişkisinden dolayı Y ilişkisizdir.

Örnek 2. Rastgele değişkenler olsun X Ve e doğrusal bir bağımlılıkla bağlıdırlar. Korelasyon katsayısını bulalım. Sahibiz:

Dolayısıyla doğrusal bir bağımlılıkla ilişkili rastgele değişkenlerin korelasyon katsayısı ±1'e eşittir (daha kesin olarak =1 ise) A>0 ve =-1 ise A<0).

Korelasyon katsayısının bazı özelliklerini not edelim.

Örnek 1'den şu sonuç çıkıyor:

1) Eğer X ve Y bağımsız rastgele değişkenler ise korelasyon katsayısı sıfırdır.

Bunun tersi ifadenin genel anlamda yanlış olduğuna dikkat edin. (Kanıt için çalışmaya bakınız.)

2) Korelasyon katsayısının mutlak değeri birliği aşmaz:

Aslında eşitsizliğin (3.16) her iki tarafının çarpıma bölünmesi , İstenilen eşitsizliğe ulaşıyoruz.

3) Formül (3.14) dikkate alınarak formül (3.15)'ten görülebileceği gibi, korelasyon katsayısı, ürünün matematiksel beklentisinin matematiksel beklentilerin ürününden sapmasının göreceli büyüklüğünü karakterize eder. M(X) M(Y) miktarları X Ve Y. Bu sapma yalnızca bağımlı nicelikler için ortaya çıktığı için şunu söyleyebiliriz: Korelasyon katsayısı X ve Y arasındaki ilişkinin yakınlığını karakterize eder.

3. Doğrusal korelasyon. Bu tür bir korelasyon oldukça yaygındır.

Tanım. Rastgele değişkenler arasındaki korelasyon bağımlılığı. X ve Y isminde doğrusal korelasyon, her iki regresyon işlevi varsa ve doğrusalsa. Bu durumda her iki regresyon çizgisi de düzdür; arandılar doğrudan regresyonlar.

Doğrudan regresyon denklemlerini türetelim e Açık X, onlar. doğrusal fonksiyonun katsayısını bulalım

Haydi belirtelim M(X) = a, M(Y)= b, M[(X - a) 2 ]= , M[(Y –b 2)]= . MO'nun özelliklerini kullanarak (§§ 2.2; 2.6) şunları buluruz:

M(Y) = M= M(AX + B) = AM(X) + B,

onlar. b = Aa + B, Neresi B=b-Aa.

M(XY)= M[Xg(X)\= M(AX 2 + BX) = AM(X 2) + BM(X)= AM(X 2) + (b- Aa)a,

veya dağılım özelliği 1'e göre (§§ 2.3; 2.6),

Ortaya çıkan katsayı denir X üzerinde regresyon katsayısı Y ve şu şekilde gösterilir:

Böylece ileri regresyon denklemi e Açık X benziyor

Benzer şekilde, X'in Y'ye doğrudan regresyon denklemini elde edebilirsiniz.

İki rastgele değişkenden oluşan bir sistemi tanımlamak için, bileşenlerin matematiksel beklentilerine ve varyanslarına ek olarak, aşağıdakileri içeren diğer özellikler kullanılır: korelasyon anı Ve korelasyon katsayısı(T.8.p.8.6'nın sonunda kısaca bahsedilmiştir) .

Korelasyon anı(veya kovaryans, veya bağlantı anı) iki rastgele değişken X Ve e m.o.'yu aradım bu miktarların sapmalarının çarpımı (bkz. eşitlik (5) madde 8.6):

Sonuç 1. Korelasyon anı için r.v. X Ve e aşağıdaki eşitlikler de geçerlidir:

karşılık gelen merkezi r.v. X Ve e (bkz. madde 8.6.).

Bu durumda: eğer
iki boyutlu bir d.s.v. ise kovaryans aşağıdaki formülle hesaplanır:

(8)
;

Eğer
iki boyutlu bir n.s.v. ise kovaryans aşağıdaki formülle hesaplanır:

(9)

Formüller (8) ve (9), madde 12.1'deki formüller (6) temel alınarak elde edildi. Hesaplamalı bir formül var

(10)

tanım (9)'dan türetilen ve aslında MO'nun özelliklerine dayanan,

Sonuç olarak, formüller (36) ve (37) şu şekilde yeniden yazılabilir:

(11)
;

Korelasyon momenti, nicelikler arasındaki ilişkiyi karakterize etmeye yarar. X Ve e.

Aşağıda gösterileceği gibi, eğer korelasyon momenti sıfıra eşitse X Ve e öyle bağımsız;

Bu nedenle korelasyon momenti sıfıra eşit değilse, o zamanXVeebağımlı rastgele değişkenlerdir.

Teorem 12.1.İki bağımsız rastgele değişkenin korelasyon momentiXVeesıfıra eşittir, yani bağımsız r.v. içinXVee,

Kanıt.Çünkü X Ve e bağımsız rastgele değişkenler, ardından bunların sapmaları

T aynı zamanda bağımsız. Matematiksel beklentinin özelliklerini kullanma (bağımsız r.v.s ürününün matematiksel beklentisi, faktörlerin matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir)
,
, Bu yüzden

Yorum. Bu teoremden şu sonuç çıkar:
sonra s.v. X Ve e bağımlı ve bu gibi durumlarda r.v. X Ve e isminde ilişkili. Ancak şu gerçeğinden yola çıkarak
bağımsızlığı takip etmiyor r.v. X Ve e.

Bu durumda (
s.v. X Ve e isminde ilişkisiz, Böylece bağımsızlıktan şu sonuç çıkar: ilişkisiz; bunun tersi olan ifade genel anlamda yanlıştır (aşağıdaki örnek 2'ye bakınız).

Korelasyon momentinin temel özelliklerini ele alalım.

Ckovaryans özellikleri:

1. Kovaryans simetriktir, yani.
.

Bu doğrudan formül (38)'den kaynaklanmaktadır.

2. Eşitlikler vardır: yani. dağılım r.v. kendisiyle olan kovaryansıdır.

Bu eşitlikler doğrudan sırasıyla dağılım ve eşitlik (38) tanımlarından kaynaklanmaktadır:

3. Aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

Bu eşitlikler r.v.'nin varyans ve kovaryansının tanımından türetilmiştir.
Ve , özellikler 2.

Dağılımın tanımı gereği (r.v.'nin merkeziliği dikkate alınarak)
) sahibiz

Şimdi (33) ve 2 ve 3 numaralı özelliklere dayanarak, ilk (artı işaretli) özellik 3'ü elde ederiz.

Benzer şekilde, özellik 3'ün ikinci kısmı eşitlikten türetilir.

4. İzin vermek
sabit sayılar,
o zaman eşitlikler geçerlidir:

Genellikle bu özelliklere argümanlarda birinci dereceden homojenlik ve periyodiklik özellikleri denir.

İlk eşitliği kanıtlayalım ve m.o.'nun özelliklerini kullanalım.
.

Teorem 12.2.Mutlak değeriki keyfi rastgele değişkenin korelasyon momentiXVeevaryanslarının geometrik ortalamasını aşmaz: yani.

Kanıt. Bağımsız r.v. için şunu unutmayın. eşitsizlik geçerlidir (bkz. Teorem 12.1.). Öyleyse r.v.'ye izin ver. X Ve e bağımlı. Standart r.v.'yi ele alalım.
Ve
ve r.v.'nin dağılımını hesaplayın.
Özellik 3'ü hesaba katarsak, bir yandan:
Diğer tarafta

Bu nedenle, şu gerçeği dikkate alarak
Ve - normalleştirilmiş (standartlaştırılmış) r.v., sonra onlar için m.o. sıfıra eşittir ve varyans 1'e eşittir, dolayısıyla m.o.'nun özelliği kullanılır.
aldık

ve bu nedenle, şu gerçeğe dayanarak
aldık

Şunu takip ediyor:

İfade kanıtlandı.

Kovaryansın tanımı ve özelliklerinden, bunun hem r.v.s'nin bağımlılık derecesini hem de onların bir nokta etrafındaki saçılımını karakterize ettiği sonucu çıkar.
Kovaryans boyutu rastgele değişkenlerin boyutlarının çarpımına eşittir X Ve e. Başka bir deyişle, korelasyon momentinin büyüklüğü rastgele değişkenlerin ölçüm birimlerine bağlıdır. Bu nedenle aynı iki nicelik için X Ve e, korelasyon momentinin büyüklüğü, değerlerin ölçüldüğü birimlere bağlı olarak farklı değerlere sahip olacaktır.

Örneğin, X Ve e santimetre cinsinden ölçüldü ve
; eğer ölçülürse X Ve e milimetre cinsinden, o zaman
Korelasyon momentinin bu özelliği, bu sayısal özelliğin dezavantajıdır, çünkü farklı rastgele değişken sistemlerinin korelasyon momentlerinin karşılaştırılması zorlaşır.

Bu dezavantajı ortadan kaldırmak için yeni bir sayısal özellik getirildi - “ korelasyon katsayısı».

Korelasyon katsayısı
rastgele değişkenler
Ve korelasyon momentinin bu büyüklüklerin standart sapmalarının çarpımına oranı denir:

(13)
.

Boyuttan beri
miktarların boyutlarının çarpımına eşit
Ve ,
büyüklükte bir boyuta sahiptir
σ sen büyüklükte bir boyuta sahiptir , O
yalnızca bir sayıdır (ör. " boyutsuz miktar"). Dolayısıyla korelasyon katsayısının değeri r.v.'nin ölçüm birimlerinin seçimine bağlı değildir; avantaj Korelasyon anından önceki korelasyon katsayısı.

T.8'de. Madde 8.3'te kavramı tanıttık normalleştirilmiş s.v.
, formül (18) ve teoremin kanıtlandığı gibi
Ve
(Ayrıca bkz. Teorem 8.2.). Burada aşağıdaki ifadeyi kanıtlıyoruz.

Teorem 12.3.İçin herhangi iki rastgele değişken
Ve eşitlik doğrudur
.Başka bir deyişle korelasyon katsayısı
herhangi iki tanesi.V.XVeekarşılık gelen normalleştirilmişlerin korelasyon momentine eşit s.v.
Ve .

Kanıt. Normalleştirilmiş rastgele değişkenlerin tanımı gereği
Ve

Ve
.

Matematiksel beklenti özelliğini ve eşitliği (40) dikkate alarak elde ederiz

İfade kanıtlandı.

Korelasyon katsayısının yaygın olarak karşılaşılan bazı özelliklerine bakalım.

Korelasyon katsayısının özellikleri:

1. Mutlak değerdeki korelasyon katsayısı 1'i geçmez;

Bu özellik doğrudan formül (41)'den gelir - korelasyon katsayısının tanımı ve Teorem 13.5. (bkz. eşitlik (40)).

2. Rastgele değişkenler ise
Ve bağımsızdır, mevcut korelasyon katsayısı sıfırdır, yani.
.

Bu özellik eşitliğin (40) ve Teorem 13.4'ün doğrudan sonucudur.

Aşağıdaki özelliği ayrı bir teorem olarak formüle edelim.

Teorem 12.4.

Eğer r.v.
Ve doğrusal bir fonksiyonel bağımlılıkla birbirine bağlanır, yani.
O
burada

Ve tam tersine eğer
, O s.v.
Ve doğrusal bir fonksiyonel bağımlılıkla birbirine bağlanır, yani. sabitler var
Veeşitlik geçerli olacak şekilde

Kanıt.İzin vermek
Daha sonra Kovaryansın 4. özelliğine dayanarak,

ve o zamandan beri, bu nedenle

Buradan,
. Tek yönde eşitlik elde edilir. Daha fazla izin ver
, Daha sonra

iki durum dikkate alınmalıdır: 1)
ve 2)
O halde ilk durumu ele alalım. Daha sonra tanım gereği
ve dolayısıyla eşitlikten
, Nerede
. Bizim durumumuzda
, dolayısıyla eşitlikten (Teorem 13.5'in ispatına bakınız.)

=
,

bunu anladık
, Araç
sabittir. Çünkü
ve o zamandan beri
Gerçekten mi,

Buradan,

Benzer şekilde, şunun için gösterilmiştir:
gerçekleşir (kendiniz kontrol edin!)

,
.

Bazı sonuçlar:

1. Eğer
Ve bağımsızlar.v., o zaman

2. Eğer r.v.
Ve birbiriyle doğrusal olarak ilişkilidir, o zaman
.

3. Diğer durumlarda
:

Bu durumda r.v.
Ve birbirine bağlı pozitif korelasyon, Eğer
durumlarda
Negatif korelasyon. daha yakın
birinciye göre, r.v.'ye inanmak için daha fazla neden var.
Ve doğrusal bir ilişkiyle birbirine bağlıdır.

R.v. sisteminin korelasyon momentleri ve dağılımlarına dikkat edin. genellikle verilir korelasyon matrisi:

Açıkçası, korelasyon matrisinin determinantı şunları sağlar:

Daha önce belirtildiği gibi, eğer iki rastgele değişken bağımlıysa, o zaman şöyle olabilirler: ilişkili, Bu yüzden ilişkisiz. Başka bir deyişle, iki bağımlı büyüklüğün korelasyon momenti şu şekilde ifade edilebilir: sıfıra eşit değil, ama belki sıfıra eşit.

Örnek 1. Ayrık bir r.v.'nin dağıtım yasası tabloda verilmiştir.

Korelasyon katsayısını bulun

Çözüm. Bileşenlerin dağılım yasalarını bulma
Ve :

Şimdi m.o'yu hesaplayalım. bileşenler:

Bu değerler r.v. dağılım tablosuna göre bulunabilir.

Aynı şekilde,
kendin bul.

Bileşenlerin varyanslarını hesaplayalım ve hesaplama formülünü kullanalım:

Bir dağıtım kanunu oluşturalım
ve sonra buluyoruz
:

Dağıtım yasası tablosunu derlerken aşağıdaki adımları gerçekleştirmelisiniz:

1) olası tüm ürünlerin yalnızca farklı anlamlarını bırakın
.

2) belirli bir değerin olasılığını belirlemek
, gerek

Ana tablonun kesişiminde bulunan ve belirli bir değerin ortaya çıkmasını destekleyen tüm karşılık gelen olasılıkları toplayın.

Örneğimizde r.v. yalnızca üç farklı değer alır
. Burada ilk değer (
) ürüne karşılık gelir
ikinci satırdan ve
ilk sütundan, yani kesişme noktalarında bir olasılık numarası var
benzer şekilde

birinci satır ve birinci sütunun kesişim noktalarında bulunan olasılıkların sırasıyla (0,15; 0,40; 0,05) ve bir değerin toplamından elde edilen
ikinci satır ile ikinci sütunun kesiştiği noktada ve son olarak,
, ikinci satır ile üçüncü sütunun kesiştiği noktadadır.

Tablomuzdan şunları buluyoruz:

Korelasyon momentini formül (38) kullanarak buluyoruz:

Formül (41)'i kullanarak korelasyon katsayısını bulun

Yani negatif bir korelasyon.

Egzersiz yapmak. Ayrık r.v.'nin dağıtım yasası. tablo tarafından verilen

Korelasyon katsayısını bulun

İki tanenin olduğu bir örneğe bakalım bağımlı rastgele değişkenler olabilir ilişkisiz.

Örnek 2.İki boyutlu rastgele değişken
) yoğunluk fonksiyonu tarafından verilir

Hadi bunu kanıtlayalım
Ve bağımlı , Ancak ilişkisiz rastgele değişkenler.

Çözüm. Bileşenlerin önceden hesaplanan dağılım yoğunluklarını kullanalım
Ve :

O zamandan beri
Ve bağımlı miktarlar. Kanıtlamak ilişkisiz
Ve olduğundan emin olmak yeterlidir

Aşağıdaki formülü kullanarak korelasyon momentini bulalım:

Diferansiyel fonksiyondan beri
eksene göre simetrik OY, O
benzer şekilde
simetri nedeniyle
eksene göre ÖKÜZ. Bu nedenle sabit bir çarpanı çıkarmak

İç integral sıfıra eşittir (integrand tektir, integralin sınırları orijine göre simetriktir), dolayısıyla,
, yani bağımlı rastgele değişkenler
Ve birbiriyle ilişkili değildir.

Dolayısıyla, iki rastgele değişkenin korelasyonundan bağımlılıkları ortaya çıkar, ancak korelasyonsuzluktan bu değişkenlerin bağımsız olduğu sonucuna varmak hala imkansızdır.

Ancak normal dağılmış r.v. böyle bir sonuç var hariç onlar. itibaren ilişkisiz normal dağılım s.v. onları dışarı akıtıyor bağımsızlık.

Bir sonraki paragraf bu konuya ayrılmıştır.

Korelasyon momentleri, korelasyon katsayısı, yukarıda tanıtılan rastgele değişken kavramıyla veya daha kesin olarak bir rastgele değişkenler sistemiyle yakından ilgili olan sayısal özelliklerdir. Bu nedenle, anlamlarını ve rollerini tanıtmak ve tanımlamak için, rastgele değişkenler sistemi kavramını ve bunların doğasında bulunan bazı özellikleri açıklamak gerekir.

Belirli bir olguyu tanımlayan iki veya daha fazla rastgele değişkene sistem veya rastgele değişkenler kompleksi adı verilir.

Birkaç rastgele değişken X, Y, Z, …, W'den oluşan bir sistem genellikle (X, Y, Z, …, W) ile gösterilir.

Örneğin, düzlemdeki bir nokta bir koordinatla değil iki koordinatla ve uzayda hatta üç koordinatla tanımlanır.

Rastgele değişken Y'nin dağılım yasası X'in değerine bağlı değilse, Y rastgele değişkeninin X rastgele değişkeninden bağımsız olduğu söylenir.

Rastgele değişkenler X ve Y, her birinin dağılım yasası diğerinin hangi değeri aldığına bağlı değilse bağımsız olarak adlandırılır. Aksi halde X ve Y miktarlarına bağımlı denir.

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası, bir rastgele değişkenin olası değerleri ile karşılık gelen olasılıklar arasında bağlantı kuran herhangi bir ilişkidir.

Olasılık teorisinde biraz farklı bir bağımlılık türüyle, olasılıksal bağımlılıkla karşılaşırız. Y değeri X değeriyle olasılıksal bir bağımlılıkla ilişkiliyse, o zaman X'in değerini bilerek Y'nin değerini doğru bir şekilde belirtmek imkansızdır, ancak X değerinin hangi değere sahip olduğuna bağlı olarak dağıtım yasasını belirtebilirsiniz. alınmış.

aynı zamanda değişme eğilimindedir (X arttıkça artar veya azalır). Bu eğilim yalnızca genel anlamda gözlenmektedir ve her bireysel durumda bundan sapmalar mümkündür.

Olasılıksal bağımlılık örnekleri.

Üstelik T değerini ve B değerini (cerrahın yaşı) dikkate alırsak, bu değerler pratik olarak bağımsızdır.

Normal dağılıma sahip bir rastgele değişkenin en önemli özelliklerinden biri matematiksel beklentisidir.

X 1 olası değerlerine sahip ayrık bir rastgele değişken X'i düşünün, X2, ... , Xn olasılıklarla p1, p2, ... , рn. bu değerlerin farklı anlamlara sahip olduğu gerçeğini dikkate alarak, rastgele bir değişkenin değerlerinin apsis ekseni üzerindeki konumunu bir sayı ile karakterize etmemiz gerekir. Bu amaçla genellikle değerlerin “ağırlıklı ortalaması” olarak adlandırılan değeri kullanırlar. Şi ve her değer Şi ortalama alırken bu değerin olasılığıyla orantılı bir “ağırlık” ile dikkate alınmalıdır. Dolayısıyla, “ağırlıklı ortalamayı” M[X] veya mx, alıyoruz

veya buna göre,

Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, bir rastgele değişkenin olası tüm değerlerinin ve bu değerlerin olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.

Daha fazla açıklık sağlamak için, tanıtılan konseptin mekanik bir yorumunu ele alalım. Apsis x 1 olan noktalar apsis ekseni üzerinde olsun, x2, …, xn kütlelerin sırasıyla yoğunlaştığı p1, p2, … , рn, Ve. O halde matematiksel beklenti, belirli bir maddi noktalar sisteminin ağırlık merkezinin apsisinden başka bir şey değildir.

Matematiksel beklentiye ilişkin formül (1), ayrı bir rastgele değişken durumuna karşılık gelir. Sürekli bir X değeri için, matematiksel beklenti doğal olarak toplam olarak değil, integral olarak ifade edilir:

X değerinin dağılım yoğunluğu nerede.

Formül (2), içindeki bireysel değerleri değiştirirsek formül (1)'den elde edilir. Şi sürekli değişen X parametresi, karşılık gelen olasılıklar pi olasılık elemanı f(x)dx, son toplam - bir integral.

Mekanik yorumda, sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi aynı anlamı korur - apsis boyunca kütle dağılımının f(x) yoğunluğu ile sürekli olması durumunda ağırlık merkezinin apsisi.

Tüm rastgele değişkenler için matematiksel beklentinin mevcut olmadığı, ancak bazı bilim adamlarına göre bunun pratikte pek ilgi çekici olmadığı unutulmamalıdır.

Matematiksel beklentiye ek olarak diğer sayısal rastgele değişkenler (momentler) de önemlidir.

Moment kavramı mekanikte kütlelerin dağılımını (istatistiksel momentler, eylemsizlik momentleri vb.) tanımlamak için yaygın olarak kullanılır. Bir rastgele değişkenin dağılımının temel özelliklerini tanımlamak için olasılık teorisinde tamamen aynı teknikler kullanılır. Pratikte çoğu zaman iki tür an kullanılır: başlangıç ve merkezi.

Süreksiz bir rastgele değişken X'in s'inci mertebesinin başlangıç momenti, formun toplamıdır

Açıkçası, bu tanım, apsis ekseninde x 1, ..., noktalarında ise, mekanikteki s mertebesinin başlangıç momentinin tanımıyla örtüşmektedir. xn kütle konsantresi p1, …, рn.

Sürekli bir rastgele değişken X için, s. derecenin başlangıç momentine integral denir.

Açıkça görülüyor ki

onlar. Bir X rastgele değişkeninin s'inci derecesinin başlangıç momenti, bu rastgele değişkenin s'inci derecesinin matematiksel beklentisinden başka bir şey değildir.

Merkezi momenti tanımlamadan önce “merkezli rastgele değişken” kavramını tanıtıyoruz.

Matematiksel beklentisi mx olan bir X rastgele değişkeni olsun. X değerine karşılık gelen merkezli bir rastgele değişken, X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisinden sapmasıdır.

Merkezi bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin sıfıra eşit olduğunu görmek kolaydır.

Rastgele bir değişkeni ortalamak, koordinatların kökenini apsisi matematiksel beklentiye eşit olan bir noktaya taşımaya eşdeğerdir.

Bir X rastgele değişkeninin s mertebesindeki merkezi moment, karşılık gelen merkezli rastgele değişkenin s. derecesinin matematiksel beklentisidir:

Süreksiz bir rastgele değişken için merkezi moment, toplamla ifade edilir.

ve sürekli için - integrale göre

En önemlisi, dağılım adı verilen ve D[X] ile gösterilen ikinci merkezi momenttir. Sahip olduğumuz varyans için

Rastgele bir değişkenin dağılımı, dağılımın bir özelliğidir, rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafında saçılmasıdır. "Dağılım" kelimesinin kendisi "dağılım" anlamına gelir.

Dağılımın mekanik yorumu, belirli bir kütle dağılımının ağırlık merkezine göre eylemsizlik momentinden başka bir şey değildir.

Pratikte miktar da sıklıkla kullanılır

rastgele değişken X'in standart sapması (aksi takdirde "standart" olarak bilinir) olarak adlandırılır.

Şimdi rastgele değişken sistemlerinin özelliklerini dikkate almaya geçelim.

(X, Y) sisteminin k,s mertebesindeki başlangıç momenti, X k ve Y s çarpımının matematiksel beklentisidir,

xk,s=M.

(X, Y) sisteminin k,s mertebesindeki merkezi momenti, karşılık gelen merkezi niceliklerin k-th ve s-th kuvvetlerinin çarpımının matematiksel beklentisidir:

Süreksiz rastgele değişkenler için

burada p ij sistemin (X, Y) değerlerini alma olasılığıdır ( xi, yj) ve toplam, X,Y rastgele değişkenlerinin tüm olası değerleri üzerinden dikkate alınır.

Sürekli rastgele değişkenler için

burada f(x,y) sistemin dağılım yoğunluğudur.

Bireysel büyüklüklere göre anın sırasını karakterize eden k ve s sayılarına ek olarak, X ve Y üslerinin toplamına eşit olan k + s anının toplam sırası da dikkate alınır. toplam sıra, anlar birinci, ikinci vb. şeklinde sınıflandırılır. Uygulamada genellikle yalnızca birinci ve ikinci momentler uygulanır.

İlk başlangıç anları sistemde yer alan X ve Y değerlerinin matematiksel beklentilerini temsil eder

y1.0=mx y0.1=benim.

Matematiksel beklentiler kümesi m x , Benim sistemin konumunun bir özelliğidir. Geometrik olarak bunlar, (X, Y) noktasının etrafına dağıldığı düzlemdeki orta noktanın koordinatlarıdır.

Sistemlerin ikinci merkezi momentleri de uygulamada önemli bir rol oynamaktadır. Bunlardan ikisi X ve Y değerlerinin varyanslarını temsil eder

Rastgele bir noktanın Ox ve Oy eksenleri yönünde saçılımını karakterize eder.

İkinci yer değiştirmiş merkezi moment özel bir rol oynar:

X ve Y rastgele değişkenlerinin korelasyon momenti (aksi takdirde "bağlantı anı") olarak adlandırılır.

Korelasyon momenti, X ve Y değerlerinin dağılımına ek olarak aralarındaki bağlantıyı da tanımlayan rastgele değişkenler sisteminin bir özelliğidir. Bunu doğrulamak için bağımsız rastgele değişkenlerin korelasyon momentinin sıfıra eşit olduğunu not ediyoruz.

Korelasyon momentinin sadece miktarların bağımlılığını değil aynı zamanda dağılımını da karakterize ettiğini unutmayın. Bu nedenle, (X;Y) nicelikleri arasındaki ilişkiyi saf haliyle karakterize etmek için K xy anından karakteristiğine geçiyoruz.

Nerede yx, yy- X ve Y değerlerinin standart sapmaları Bu özelliğe X ve Y değerlerinin korelasyon katsayısı denir.

Formül (3)'ten bağımsız rastgele değişkenler için korelasyon katsayısının sıfıra eşit olduğu açıktır, çünkü bu tür değişkenler için kxy=0.

Rastgele değişkenler rxy=0, ilişkisiz (ilişkisiz) olarak adlandırılır.

Ancak rastgele değişkenlerin ilişkisiz yapısının onların bağımsızlığı anlamına gelmediğini unutmayın.

Korelasyon katsayısı herhangi bir bağımlılığı değil, yalnızca sözde doğrusal bağımlılığı karakterize eder. Rastgele değişkenlerin doğrusal olasılıksal bağımlılığı, bir rastgele değişken arttığında diğerinin doğrusal bir yasaya göre artma (veya azalma) eğiliminde olmasıdır. Dolayısıyla korelasyon katsayısı, rastgele değişkenler arasındaki doğrusal ilişkinin yakınlık derecesini karakterize eder.

Korelasyon katsayısını belirlemek için çeşitli yöntemler vardır. Ancak Pearson karma moment korelasyon katsayısını kullanarak bir örnek vereceğiz;

bir veri tablosu kullanarak (örneğimizde % cinsinden T lenfositlerin göreceli içeriği ve g/l cinsinden IgG düzeyi):

Elde edilen değerleri formül (4)'te değiştirerek elde ederiz

Yani peritonitli çocuklarda T-lenfositler ve immünoglobulin G dinamiklerinin korelasyon katsayısı 0,9933'tür, bu da bu göstergeler arasında yüksek bir bağlantı olduğunu gösterir.