Gerekli vektör 
Eğer öyleyse, sistem (1)'e kötü koşullu denir. Bu durumda matris katsayılarındaki ve sağ taraftaki hatalar veya hesaplamalardaki yuvarlama hataları çözümü büyük ölçüde bozabilir.
Birçok problemin çözümünde sistemin (1) sağ tarafı ve A matrisinin katsayıları yaklaşık olarak bilinmektedir. Bu durumda, tam sistem (1) yerine başka bir sistemimiz var
öyle ki
ve d değerlerinin bilindiğini varsayalım.
Sistem (1) yerine sistem (2) elimizde olduğundan, sistem (1) için yalnızca yaklaşık bir çözüm bulabiliriz. Sistem (1)'in yaklaşık çözümünü oluşturma yöntemi, başlangıç verilerindeki küçük değişikliklere karşı kararlı olmalıdır.
Sistem (1)'in sahte çözümü, tüm uzaydaki tutarsızlığı en aza indiren bir vektördür.
X 1'in, genellikle problem bildirimi tarafından belirlenen, 'den sabit bir vektör olmasına izin verin.
Sistem (1)'in x1 vektörüne göre normal bir çözümü, minimum normlu bir sözde çözüm x0'dır; yani
burada F, sistem (1)'in tüm sözde çözümlerinin kümesidir.
Dahası 
burada ¾ x vektörünün bileşenleridir.
(1) tipindeki herhangi bir sistem için normal bir çözüm mevcuttur ve benzersizdir. Kötü koşullandırılmış bir sisteme (1) normal bir çözüm bulma sorunu yanlış bir şekilde ortaya konmuştur.
Sistem (1)'e yaklaşık normal bir çözüm bulmak için düzenlileştirme yöntemini kullanırız.
Bu yönteme göre formun yumuşatma fonksiyonelini oluşturuyoruz.
ve bu fonksiyoneli en aza indiren vektörü bulun. Ayrıca, düzenlileştirme parametresi a, koşuldan benzersiz bir şekilde belirlenir.
Nerede 
.
Dejenere ve kötü koşullandırılmış sistemler belirli bir doğruluk dahilinde birbirinden ayırt edilemeyebilir. Ancak (1) sisteminin çözülebilirliği hakkında bilgi varsa, o zaman koşul (5) yerine aşağıdaki koşul kullanılmalıdır:
Bileşenler 
vektörler, fonksiyonel (4)'ün minimum koşulundan elde edilen bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin çözümleridir.
ve benziyor
burada E birim matristir,
¾Hermit eşlenik matrisi.
Uygulamada bir vektörün seçilmesi ek hususların dikkate alınmasını gerektirir. Eğer mevcut değillerse =0 olduğunu varsayalım.
=0 için sistem (7)’yi formda yazıyoruz.
Nerede 
Bulunan vektör, sistem (1)'in yaklaşık normal çözümü olacaktır.
A parametresini seçmeye odaklanalım. a=0 ise sistem (7) kötü koşullandırılmış bir sisteme dönüşür. Eğer a büyükse, sistem (7) iyi koşullandırılmış olacaktır ancak düzenlileştirilmiş çözüm, sistem (1) için istenen çözüme yakın olmayacaktır. Bu nedenle çok büyük veya çok küçük a uygun değildir.
Genellikle pratikte hesaplamalar a parametresinin bir takım değerleri ile yapılır. Örneğin,
a'nın her değeri için fonksiyonel (4)'ü en aza indiren elemanı bulun. Düzenlileştirme parametresinin istenen değeri, (5) veya (6) eşitliğinin gerekli doğrulukla karşılandığı a sayısı olarak alınır.
III. EGZERSİZ YAPMAK
1. Değeri 10-6 düzeyinde olan bir determinantı olan, üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir doğrusal cebirsel denklem sistemi oluşturun.
2. Birinciye benzer, ancak birinci sistemin serbest koşullarından 0,00006 farklı olan diğer serbest terimlere sahip ikinci bir sistem oluşturun.
3. Oluşturulan sistemleri düzenlileştirme yöntemini (=0 ve d=10 -4 varsayarak) ve başka bir yöntemi (örneğin, Gauss yöntemi) kullanarak çözün.
4. Elde edilen sonuçları karşılaştırın ve kullanılan yöntemlerin uygulanabilirliği hakkında sonuçlar çıkarın.
IV. RAPORUN FORMÜLASYONU
Rapor şunları sunmalıdır:
1. Eserin başlığı.
2. Sorunun beyanı.
3. Çözüm algoritmasının açıklaması (yöntem).
4. Açıklama içeren programın metni.
5. Programın sonuçları.
BİBLİYOGRAFİK LİSTE
1. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Kötü konumlanmış problemleri çözme yöntemleri. - M .: Nauka, 1979. 286 s.
2. Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Sayısal yöntemler. - M.: BİNOM. Bilgi Laboratuvarı, 2007 636 s.
Laboratuvar çalışması No. 23
Deşifre metni
1 6. Dejenere ve kötü koşullandırılmış SLAE'ler 1 6. Dejenere ve kötü koşullandırılmış SLAE'ler Şimdi MxM boyutunda bir kare matris A'ya sahip iki tür SLAE'yi (27) ele alalım: dejenere sistem (sıfır determinantı A =0 ile); kötü koşullandırılmış sistem (determinant A sıfıra eşit değildir, ancak koşul sayısı çok büyüktür). Bu tür denklem sistemlerinin birbirinden önemli ölçüde farklı olmasına rağmen (ilki için çözüm yoktur, ikincisi için yalnızca bir tane vardır), bilgisayarın pratik bakış açısından bakıldığında, aralarında pek çok ortak nokta vardır. onlara. Dejenere bir sistem, sıfır determinantı A =0 (tekil matris) olan bir matris tarafından tanımlanan bir sistemdir. Böyle bir sistemde yer alan bazı denklemler diğer denklemlerin doğrusal birleşimi ile temsil edildiğinden, aslında sistemin kendisi eksik belirlenmiştir. Sağ taraftaki b vektörünün spesifik türüne bağlı olarak ya sonsuz sayıda çözüm olduğunu ya da hiç çözüm olmadığını anlamak kolaydır. Tekil kare matris A'ya sahip SLAE A x=b'nin tek bir çözümü olmadığı ilk durumu ele alalım. Bu seçenek normal bir sözde çözüm oluşturmaya (yani sonsuz çözüm kümesinden belirli bir vektöre, örneğin sıfıra en yakın olanı seçmeye) indirgenir. Böyle bir probleme örnek verelim (iki denklemli bir sistem için) A= , b= (37) SLAE (37) Şekil 2'de gösterilmektedir. Şekil 19, sistemi tanımlayan iki denklemin (x 1, x 2) düzleminde iki paralel çizgiyi tanımladığını göstermektedir. Doğrular hiçbir noktada kesişmiyor
2 2 6. Koordinat düzleminin bir noktasında dejenere ve kötü koşullanmış SLAE'ler vardır ve buna bağlı olarak sistemin hiçbir çözümü yoktur. 2x2 boyutunda tekil olmayan bir kare matrisle tanımlanan SLAE'nin, düzlemde bir çift kesişen çizgiyi tanımladığını unutmayın (aşağıdaki şekle bakın). Şunu da söylemek gerekir ki, eğer sistem tutarlı olsaydı, denklemlerin geometrik temsili, sonsuz sayıda çözümü tanımlayan iki çakışan çizgi olurdu. Pirinç. 19. Uyumsuz bir SLAE'nin grafiksel gösterimi Şekil 1. 20. x 1'e bağlı olarak f(x)= A x b artığı kesitlerinin grafiği İncelenen tekil durumda, (37) sisteminin A x b artağını minimuma indiren sonsuz sayıda sözde çözümünün olacağını tahmin etmek kolaydır, ve Şekil 2'de gösterilen ikiye paralel üçüncü düz çizgi üzerinde uzanacaklar. 19 ve ikisinin ortasında yer alır. Bu, Şekil 2'de gösterilmektedir. Şekil 20, f(x) = A x b kalıntı fonksiyonunun birkaç bölümünü gösterir; bu, aynı derinliğe sahip bir minimum ailesinin varlığını gösterir. Benzersiz bir çözüm belirlemek için, sözde çözüm kümesinin tamamından aşağıdaki özelliklere sahip olanı seçilmelidir:
3 6. En küçük norma göre dejenere ve kötü koşullanmış SLAE'ler 3. Bu nedenle, tekil durumda, ayırt edici bir çözüm elde etmek için çok boyutlu bir minimizasyon probleminin sayısal olarak çözülmesi gerekir. Ancak daha sonra göreceğimiz gibi, daha etkili bir yol düzenlileştirme veya ortogonal matris ayrıştırmalarını kullanmaktır (sırasıyla bkz. 7 ve 10). Şimdi kötü koşullandırılmış sistemlere dönelim; Determinantı sıfıra eşit olmayan ancak A -1 A koşul sayısı büyük olan A matrisli SLAE. Kötü koşullandırılmış sistemlerin benzersiz bir çözümü olmasına rağmen, pratikte bu çözümü aramanın çoğu zaman bir anlamı yoktur. Aynı sağ taraf b'ye ve biraz farklı A ve B matrislerine sahip çok yakın kötü koşullandırılmış SLAE'lerin iki spesifik örneğini kullanarak kötü koşullandırılmış SLAE'lerin özelliklerini ele alalım: A= B=, b=, 3 5. (38 ) Bu sistemlerin yakınlığına rağmen kesin çözümlerinin birbirinden çok uzak olduğu ortaya çıkıyor, yani: y A = , y B = (39) Gürültünün varlığını hatırlarsak, yani. Giriş verilerinde her zaman mevcut olan hata hakkında, kötü koşullandırılmış sistemleri standart yöntemler kullanarak çözmenin hiçbir anlam ifade etmediği ortaya çıkıyor. Küçük model hatalarının (matris A ve vektör b) büyük çözüm hatalarına yol açtığı problemlere yanlış denildiğini hatırlayın. Bu nedenle, kötü koşullandırılmış SLAE'ler, kötü oluşturulmuş sorunların tipik bir örneğidir. Ek olarak, iki denklemli bir sistem için kesin bir çözüm elde etmenin kolay olduğu, ancak yüksek boyutlu bir SLAE'yi çözerken ("kesin" algoritma dahil) unutulmamalıdır.
4 4 6. Dejenere ve kötü koşullandırılmış Gauss SLAE'leri) hesaplamalar sırasında kaçınılmaz olarak biriken küçük yuvarlama hataları bile sonuçlarda büyük hatalara yol açar. Şu soru ortaya çıkıyor: Sorunun istikrarsızlığı nedeniyle tamamen yanlış olabileceği önceden biliniyorsa, sayısal bir çözüm aramak mantıklı mı? Yanlışlığın nedenini daha iyi anlamak için, iki denklemin iyi (Şekil 21) ve kötü (Şekil 22) koşullandırılmış sisteminin grafiksel yorumunu karşılaştırmak yararlı olacaktır. Sistemin çözümü, denklemlerin her birini temsil eden iki düz çizginin kesişme noktasıyla görselleştirilir. Pirinç. 21. İyi koşullandırılmış bir SLAE'nin grafiği Şekil 2. 22. Şekil 2'deki kötü koşullandırılmış SLAE grafiği. Şekil 22'de, kötü koşullandırılmış SLAE'ye karşılık gelen düz çizgilerin birbirine yakın (neredeyse paralel) konumlandırıldığı görülebilir. Bu bağlamda, her bir çizginin konumundaki küçük hatalar, iyi koşullandırılmış bir sistemin aksine, kesişme noktalarının (SLAE çözümleri) lokalizasyonunda önemli hatalara yol açabilir. çizgilerin eğiminin kesişme noktalarının konumu üzerinde çok az etkisi vardır (Şekil 21).
5 6. Dejenere ve kötü koşullandırılmış SLAE'ler 5 Aşırı belirlenmiş (uyumsuz) SLAE'ler (örneğin tomografi problemlerinde) tarafından verilen deneysel verileri yeniden yapılandırırken kötü koşullandırılmış matrisin de tipik olduğunu unutmayın. Kötü konumlanmış sorunları, özellikle dejenere ve kötü koşullandırılmış SLAE'leri çözmek için, düzenlileştirme adı verilen çok etkili bir yöntem geliştirilmiştir. Pratik durumlarda sıklıkla mevcut olan, çözümün yapısı hakkında ek ön bilgilerin dikkate alınmasına dayanmaktadır.
10. QR- ve SVD ayrıştırmaları: “kötü” SLAE'ler 1 10. QR- ve SVD ayrıştırmaları: “kötü” SLAE'ler Matris ayrıştırmaları arasında, matris ayrıştırmalarının normunu koruma özelliğine sahip olan ortogonal olanlar özel bir rol oynar. vektör. Size hatırlatalım
7. Düzenlileştirme 1 7. Düzenlileştirme Kötü konumlanmış problemleri çözmek için Sovyet matematikçi Tikhonov, düzenlileştirme adı verilen ve dahil etmeye dayanan basit ama son derece etkili bir yöntem önerdi.
Örnek: tartım 1 Örnek: tartım Bir deneyin sonuçlarının işlenmesiyle ilgili ters problemin daha basit bir yorumunu verelim, örneğin iki tür nesnenin tartılması
Konu Lineer cebirin sayısal yöntemleri - - Konu Lineer cebirin sayısal yöntemleri Sınıflandırma Lineer cebirin dört ana bölümü vardır: Lineer cebirsel denklem sistemlerini (SLAE'ler) çözme
UDC 55 Isabekov KA Madanbekova EE YSU, KTynystanov'un adını almıştır. LİNEER CEBİRSEL DENKLEMLERİN KÖTÜ KOŞULLARI SİSTEMLERİNİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMÜ HAKKINDA Bu makale, kötü çözüm için iki yöntem için algoritmalar sunmaktadır.
Bilimsel araştırma ile özel hesaplama çalıştayı Nikolai Matveevich Andrushevsky, Bilgisayar Bilimleri Fakültesi, Moskova Devlet Üniversitesi Özet Çalıştay, matrislerin tekil değer ayrıştırması yöntemi ve uygulamasının ayrıntılı bir çalışmasına dayanmaktadır.
Aşırı belirlenmiş doğrusal denklem sistemleri Skalko Yuriy Ivanovich Tsybulin Ivan Shevchenko Alexander Aşırı Belirlenmiş SLAE'ler Aşırı Belirlenmiş SLAE'ler SLAE Ax = b'yi düşünün, ancak daha fazla denklem olduğu durumda,
Doğrusal cebirsel denklem sistemleri Temel kavramlar Bir doğrusal cebirsel denklem sistemi (SLAE), a a a, a a a, a a a biçiminde bir sistemdir. Bir matris denklemi olarak temsil edilebilir.
04-0 akademik yılında ekonomi lisansları için Ne LA sınavı, Ne (6 4; 6 8) vektörünü ve Ne DEMO seçeneği 0 (x; y)'yi bulun (bunun için Ne ve x< 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный
Uzayda bir doğrunun denklemi 1 Bir doğru iki düzlemin kesişimidir. Üç bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi. Uzaydaki düz bir çizgi, iki düzlemin kesişimi olarak tanımlanabilir. İzin vermek
DERS 6 SPEKTRAL GÖREVLER. İniş yöntemleri Son derste varyasyonel tipteki yinelemeli yöntemler ele alındı. A = A olan Au = f sistemi için, fonksiyonel Φ(u, u) tanıtıldı
11. Lineer indirgeme 1 11. Lineer indirgeme Lineer ters problemler hakkındaki konuşmamızı indirgeme adı verilen başka bir yaklaşım sunarak bitirelim. Esasen, düzenlileştirmeye çok yakındır (bazılarında
01 1. Denklem sisteminin genel ve temel çözümlerini bulun: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, temel değişkenler olarak x ve x'i seçin. Cevap: Temel değişken olarak seçersek
Demo 01 1. Denklem sisteminin genel ve temel çözümlerini bulun: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, temel değişkenler olarak x ve x'i seçin. 2. Sistemin temelini bulun
Moskova Devlet Teknik Üniversitesi adını NE Bauman Temel Bilimler Fakültesi Matematiksel Modelleme Bölümü - Kasikov,
UDC 57.9 Igrunova S.V., Sosyoloji Bilimleri Adayı, Doçent, Rusya Bilgi Sistemleri Bölümü Doçenti, Belgorod Kichigina A.K. 4. sınıf öğrencisi, Mühendislik Teknolojileri ve Doğa Bilimleri Enstitüsü
6 Fonksiyon yaklaşım yöntemleri. En iyi yaklaşım. Son bölümde tartışılan yaklaşım yöntemleri, ızgara fonksiyonu düğümlerinin kesinlikle sonuçtaki ara değere ait olmasını gerektirir. eğer talep etmezsen
LİNEER CEBİR ELEMANLARI MATRİSLERİN SINIFLANDIRILMASI VE ÜZERİNDEKİ İŞLEMLER Bir matris tanımlama Matrislerin büyüklüklerine göre sınıflandırılması Sıfır ve birim matrisler nedir? Matrisler hangi koşullar altında eşit kabul edilir?
) SLAE kavramı) SLAE çözümü için Cramer kuralı) Gauss yöntemi 4) Matrisin sırası, Kronecker-Capelli teoremi 5) SLAE'nin matris tersinmesiyle çözümü, matrislerin koşullandırılması kavramı) SLAE kavramı O. SLAE sistemi
Tomografide paralel hesaplamalar Bilgisayarlı tomografinin cebirsel yöntemleri. Ayrık formda hesaplamalı tomografi problemi Ayrık formda hesaplamalı tomografi problemi. Tersine
DERS 2 SLAE'NİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ Kural olarak, çoğu pratik problemi çözerken, doğrusal cebirsel denklem sistemlerini (SLAE) çözme problemi bazı yardımcı alt görevler şeklinde ortaya çıkar.
LA Gauss yöntemindeki temel problem örnekleri Belirli doğrusal denklem sistemleri Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme 6
Yöneylem Araştırması Tanımı Operasyon, belirli bir hedefe ulaşmayı amaçlayan, çeşitli olasılıklara ve bunların yönetimine izin veren bir olaydır. Tanım Yöneylem Araştırması bir dizi matematiksel
Ders 3. 3. Newton yöntemi (teğetler. Bazı başlangıç yaklaşımları [,b] belirleyelim ve f( fonksiyonunu Taylor serisinin bir parçasını kullanarak komşuluk içinde doğrusallaştıralım f(= f(+ f "((-. (5) Denklem yerine) (Çözeriz
Doğru ve düzlem denklemleri Düzlem üzerinde doğru denklemi. Doğrunun genel denklemi. Çizgilerin paralellik ve diklik işareti. Kartezyen koordinatlarda Oksi düzlemindeki her düz çizgi tanımlanır
Moskova Devlet Teknik Üniversitesi N.E. Bauman Temel Bilimler Fakültesi Matematiksel Modelleme Bölümü A.N. Kasikov,
Uzaktan eğitim sırasında test kağıtlarını tamamlama örnekleri Test kağıdı 1 (CR-1) Konu 1. Doğrusal cebir Görev 1 Görevde sunulan denklem sistemini Sabit parametreler formunda çözmek gerekir.
Moskova Devlet Teknik Üniversitesi adını almıştır. N.E. Bauman Fakültesi Temel Bilimler Bölümü Yüksek Matematik Analitik Geometri Modülü 1. Matris cebiri. Vektör cebiri Dersi
Bilet. Matrisler, üzerlerindeki eylemler. Kanonik koordinat sisteminde bir parabolün denklemi. Bilet. Matris işlemlerinin özellikleri. Bir doğrunun ve bir düzlemin göreceli konumu. Aralarındaki açı, paralellik koşulları
3 İÇİNDEKİLER 1. Disiplinin amaç ve hedefleri 4. Disiplinin BOP yapısındaki yeri 4 3. Disiplinin yapısı ve içeriği 5 3.1. Disiplinin yapısı 5 3.. Disiplinin içeriği 6 4. Eğitimsel ve metodolojik materyallerin listesi
UYGULAMALI DERSLER Ders KOŞULSUZ BİR EXTREMUM İÇİN GEREKLİ VE YETERLİ KOŞULLAR Problemin Açıklaması X R kümesinde tanımlanan iki kez sürekli türevlenebilir bir f () fonksiyonu verildiğinde Araştırılması gerekli
İkinci dönem cebir problemlerinin çözümleri D.V. Gorkovets, F.G. Korablev, V.V. Korableva 1 Doğrusal vektör uzayları Problem 1. R4'teki vektörler doğrusal olarak bağımlı mıdır? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,
Federal Devlet Eğitim Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Kurumu "Rusya Federasyonu Hükümeti Altındaki Mali Üniversite" (Finansal Üniversite) "MATEMATİK" BÖLÜMÜ
Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Gösterin ki vektör;;) ;;) ; ;) vektörün temelini oluşturur ve vektörün doğrusal bir kombinasyonunu yazın If;;) bu vektörler üzerinde denklemden X'i bulun ve vektörün olduğunu gösterin ;)
Kronecker-Capelli teoremi. Gauss yöntemini kullanarak SLAE'leri çözme. Matris sıralaması. m satırı ve sütunu olan dikdörtgen bir matris düşünün: A. m m m Bu matriste rastgele satır ve sütunlar seçelim. Elementler
İki değişkenli doğrusal denklem sistemleri Formdaki bir denklem sistemine, iki değişkenli doğrusal denklem sistemi denir. İki değişkenli bir denklem sisteminin çözümü bir değer çiftidir
LİNEER CEBİR Ders Uzayda çizgi ve düzlem İçerik: Bir düzlemin denklemi Düzlemlerin karşılıklı düzenlenmesi Bir doğrunun vektör-parametrik denklemi İki noktadan gelen bir doğrunun denklemleri Doğru
ST. PETERSBURG DEVLET ÜNİVERSİTESİ Uygulamalı Matematik Fakültesi Kontrol Süreçleri A. P. IVANOV, Y. V. OLEMSKOY SAYISAL YÖNTEMLERLE İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONUN MİNİMİZASYONU UYGULAMASI Metodik
0 g 6 Bildiriler FORA UYGULANAN SORUNLARIN ÇÖZÜMÜNDE İSTİKRARIN GÖSTERGESİ OLARAK BİR MATRİS KOŞUL SAYISI R Tsey, MM Shumafov Adygea Devlet Üniversitesi, Maikop Bir matrisin koşul numarası
MATRİSLER, DETERMİNANTLAR, DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Bir matrisin rütbesini bulmak için küçükleri sınırlama yöntemi A = m m m küçük Bir matrisin k mertebesinden küçük k'si, bu matrisin k'inci mertebesinin herhangi bir determinantıdır,
DERS 4 SLAE ÇÖZÜMÜ İÇİN İTERATİF YÖNTEMLER Yuvarlamayla ilgili hatayı azaltmak için aşağıdaki algoritmaya başvurun. U sistemin tam çözümü, u sayısal çözüm olsun. Sonra tanıtıyoruz
1. Doğrusal sistemler ve matrisler 1. Matris çarpımını tanımlayın. Bu işlem değişmeli midir? Cevabı açıklayın. A ve B matrislerinin C çarpımı m p m p A B ij = A ik B kj olarak tanımlanır. İşlem değişmeli değildir.
RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI TOMSK DEVLET KONTROL SİSTEMLERİ VE RADYO ELEKTRONİK ÜNİVERSİTESİ (TUSUR) Yu.E. Voskoboynikov A.A. Mitzel YANLIŞ MATEMATİK SORUNLARI
LİNEER CEBİRİN SAYISAL YÖNTEMLERİ “Doğrusal cebirin sayısal yöntemleri” bölümü, doğrusal cebirsel denklem sistemlerini (SLAE'ler) çözmek için sayısal yöntemleri ve problemleri çözmek için sayısal yöntemleri tartışmaktadır.
ANALİTİK GEOMETRİ 3 AKIŞ Öğr. Gör. P. V. Golubtsov 1.1. Vektörler. Sınavın ilk bölümü için soru listesi 1. Vektörler üzerinde doğrusal işlemlerin tanımını formüle edin. Doğrusal işlemlerin özelliklerini listeleme
Doğrusal cebirsel denklem sistemleri Bilinmeyenleri olan m doğrusal cebirsel denklemlerden oluşan bir sistem düşünün b b () m m m bm Tüm serbest terimleri b b b m eşitse sistem () homojen olarak adlandırılır
4. Doğrusal denklem sistemleri. Temel kavramlar Bir denklem yalnızca birinci dereceye kadar bilinmeyenler içeriyorsa ve bilinmeyenlerin çarpımlarını içermiyorsa doğrusal olarak adlandırılır; eğer ++ + formuna sahipse
Lineer cebir Ders 7 Vektörler Giriş Matematikte iki tür nicelik vardır: skalerler ve vektörler. Skaler bir sayıdır ve bir vektör sezgisel olarak büyüklüğü ve yönü olan bir nesne olarak anlaşılır. Vektör hesabı.
Sayısal yöntemler sınavı soru listesi (28 Mayıs 2018) 0.1 Sayısal integral 1. Uygun olmayan integrallerin hesaplanmasına yönelik yöntemleri listeleyin. İntegrali hesaplamak için bir kareleme formülü oluşturun
Tomografide paralel hesaplamalar Basit yineleme yöntemi. Hızlı iniş yöntemi. SANAT yöntemi. SIRT yöntemi. Basit yineleme yönteminde, gevşeme faktörleri τk ve matrisler Hk sayıya bağlı değildir.
Doğrusal Matris Cebirine Giriş. Tanım. m satır ve n sütundan oluşan m m n n mn formundaki m n sayıdan oluşan bir tabloya matris denir. Matrisin elemanları determinantın elemanlarına benzer şekilde numaralandırılır.
DERS 7 ENTERPOLASYON Son derste aşırı belirlenmiş bir sistemin çözümü sorunu ele alındı. Böyle bir sistem şu şekildedir: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1 x = f 1, ( a 1 x 1 + a x + + a x = f, ( a 1 x 1 + a x
TEORİ SORULARI I. MATRİSLER, DETERMİNANTLAR 1) Matrisin tanımını verin. Sıfır ve birim matrisler nedir? Matrisler hangi koşullar altında eşit kabul edilir? Transpozisyon operasyonu nasıl gerçekleştirilir? Ne zaman
Ders 7 İKİNCİ DERECEDEN BİR EĞRİYİ KANONİK FORM'A İNDİRMEK. Tabanların ve koordinatların düzlemde dönüşümü Düzlemde ortak orijinli iki dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi verilsin:
Lineer cebir Modül 1. Lineer ve Öklid uzayları. Doğrusal uzayda doğrusal operatörler Ders 1.4 Bir doğrusal operatörün soyut özvektörleri ve özdeğerleri, özellikleri.
UDC. TEMEL BİR MATEMATİK FONKSİYONU TARAFINDAN BELİRLENEN DARBE ÖZELLİKLERİNE GÖRE ÖZYİNELİ DİJİTAL FİLTRELERİN SENTEZİ Nikitin D.A., Khanov V.Kh. Giriş Özyinelemeli sentezleme yöntemlerinin modern cephaneliğinde
Bölüm 8 Fonksiyonlar ve grafikler Değişkenler ve aralarındaki bağımlılıklar. Oranları sabitse iki niceliğe doğru orantılı denir, yani = ise, değişikliklerle değişmeyen sabit bir sayı nerede
Gauss yöntemi (bilinmeyenleri eleme yöntemi) Çözümleri çakışıyorsa iki sisteme eşdeğer (eşdeğer) denir. Temel dönüşümleri kullanarak eşdeğer bir sisteme gidebilirsiniz
3 numaralı laboratuvar çalışması
Doğrusal cebirsel denklemlerin kötü koşullandırılmış sistemlerini çözme
Düzenlileştirme yöntemi
Giriş parametreleri: sistemin n derecesine eşit n-pozitif tamsayı; a, sistem katsayılarının matrisini içeren n x n gerçek sayı dizisidir; b - sistemin serbest terimlerinin bir sütununu içeren n adet gerçek sayıdan oluşan bir dizi (b(1) = b 1, b(2)=b 2, …b(n)=b n) .
Çıkış parametreleri: x – sistem çözümü; p yineleme sayısı.
Algoritma diyagramı Şekil 18'de gösterilmektedir.
Programın metni:
prosedür regul(N:Tamsayı;a:Tmatr;b:Tvector;var X:Tvector; var p:tamsayı);
var a1,a2:tmatr; b1,b2,x0:tvektör; alfa,s1,s:gerçek; maksimum, eps:gerçek; i,j,k,l:tam sayı;
Out_Slau_T(n,a,b);
I için:=1 To n Do (AT A alıyor)
K için:=1'den N'ye Yap
J:=1'den N'ye S:=S+A*A yapın;
I için:=1'den N'ye Yap (AT B alıyor)
J için:=1'den N'ye Yap
S:=S+A*B[j] ile başlayın;
alfa:=0; (başlangıç alfa değeri)
k:=0; (yineleme sayısı)
alfa:=alfa+0,01; inc(k); a2:=a1;
i:=1 ila N için a2:=a1+alfa; (AT A+alfa alıyor)
i:=1 ila N için b2[i]:=b1[i]+alfa*x0[i]'yi yapın; (AT B+alfa alıyor)
SIMQ(n,a2,b2,l);
a2:=a1; X:=b2; x0:=X; b2:=b1;
vozm(N,eps,a2,b2);
simq(n,a2,b2,l);
i:=2'den n'ye yapmak için
if abs(b2[i]-X[i])>max o zaman max:=abs(b2[i]-X[i]);
X1 = 1,981 X2 = 0,4735
Şekil 18 - Düzenlileştirme yöntemi algoritmasının şeması
Düzenlileştirme yöntemini kullanarak kötü koşullandırılmış sistemleri çözmeye yönelik görev çeşitleri Tablo 3'te verilmiştir.
Döndürme yöntemi (Verilenler)
Algoritma diyagramı Şekil 19'da gösterilmektedir.
Örnek. Denklem sistemini çözme
Programın metni:
PROSEDÜR Vraş;
Var I,J,K: Tamsayı; M,L,R: Gerçek; F1:METİN; Etiket M1,M2;
Out_Slau_T(nn,aa,b);
i:=1'den Nn'ye kadar
I için:=1 Nn-1'e Başla
K:=I+1 İçin Nn'ye Başlayın
Eğer (Aa0.0) ise M1'e gidin;Eğer (Aa0.0) ise M1'e gidin;
1:M:=Sqrt(Aa*Aa+Aa*Aa);
L:=-1,0*Aa/M;
M2:J için:=1'den Nn'ye Başlayın
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
I için:=Nn 1'e Kadar Başlayın
K:=0'dan Nn-I-1'e M:=M+Aa*Aa'ya Başlayın; Son;
Aa:=(Aa-M)/Aa; Son;
i:=1'den Nn'ye kadar x[i]:=Aa;End;
Programa göre yapılan hesaplamalar aşağıdaki sonuçlara yol açtı:
X1 = 1,981 X2 = 0,4735
Şekil 19 - Givens yöntemi algoritmasının şeması (döndürme)
Görev seçenekleri
Tablo 3
|
Matris A |
Matris A |
||||||
Bilgi kontrolüne yönelik 3 numaralı laboratuvar çalışmasının konusu, bir kontrol ve eğitim programıyla gösterilmektedir.
4 numaralı laboratuvar çalışması
Doğrusal olmayan denklemleri ve doğrusal olmayan denklem sistemlerini çözme
Basit yineleme yöntemi
Laboratuvar çalışmasını gerçekleştirme prosedürü:
Çözümün sıfır yaklaşımını bulun;
f(x) = 0 sistemini x = Ф(x) formuna dönüştürün;
Yöntemin yakınsama durumunu kontrol edin.
Algoritma diyagramı Şekil 20'de gösterilmektedir.
Örnek. Basit yineleme yöntemini kullanarak sistemi çözün
Sıfır yaklaşımı olarak x = 1, y = 2.2, z = 2 noktasını seçiyoruz. Sistemi şu forma dönüştürelim:
Programın metni:
PROSEDÜR Iteraz;
Var I,J,K,J1: Tamsayı;
X2,X3,Eps: Gerçek;
Eps:=0,01; X2:=0,0; K:=1;
J:=1'den Nn'ye Başla
I için:=1'den Nn'ye Başlayın S:=S+Aa*Xx[i]; Son;
J1 için:=1'den Nn'ye Xx:=R'ye Başlayın; Son; X3:=Xx;
I:=1 için Nn'ye Başlayın If (Xx[i]>=X3) Sonra X3:=Xx[i]; Son;
I için:=1'den Nn'ye Xx[i]:=Xx[i]/X3'e Başlayın; Son;
X1:=X3; U:=Abs(X2-X1); U1:=U/Abs(X1);
Eğer (U1>=Eps) O halde X2:=X1;
((K>=50)veya(U1) kadar
Programa göre yapılan hesaplamalar aşağıdaki sonuçlara yol açtı:
X(1)= 1,1132 X(2)= 2,3718 X(3)= 2,1365
Tekrar sayısı:5
Şekil 20 - Basit yineleme yönteminin algoritma diyagramı
Newton'un yöntemi
Program, onda birlik mertebeden yüksek olmayan sistemleri çözmek için kullanılabilir.
Giriş parametreleri: n - sistemin denklem sayısı (bilinmeyenlerin sayısına karşılık gelir), n £ 10; Çözümün ilk tahminini içeren n gerçek sayıdan oluşan x dizisi; f, x dizisinin elemanlarında bulunan verilen x değerlerine dayanarak, f fonksiyonunun mevcut değerlerini hesaplayan ve bunları yerleştiren harici prosedür f(n, x, y)'nin adıdır. y dizisinin elemanları; g - matris elemanlarını x dizisinden verilen x değerlerinden hesaplayan harici prosedürün adı g(n, x, d) 
n x n boyutunda bir d dizisinde yer alan; eps - yinelemeli işlemi sonlandırma koşulunun değeri.
Çıkış parametreleri: x - n gerçek sayıdan oluşan bir dizi (giriş olarak da bilinir), alt programdan çıkarken çözümün yaklaşık değerini içerir; k yineleme sayısıdır.
UDC 519.61:621.3
Başkan Yardımcısı VOLOBOEV*, Başkan Yardımcısı. KLİMENKO*
FİZİKSEL BİR NESNEYİ TANIMLAYAN KÖTÜ KOŞULLU BİR DOĞRUSAL CEBİR DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜNE YÖNELİK BİR YAKLAŞIM HAKKINDA
Ukrayna Ulusal Bilimler Akademisi Matematik Makineleri ve Sistemleri Sorunları Enstitüsü, Kiev, Ukrayna
Soyut. Ayrık bir modeli doğrusal cebirsel denklemler sistemi (SLAR) tarafından tanımlanan fiziksel nesnelerin modellenmesinin sonuçlarının olasılığının, matrisin zayıf tasarımının bir sonucu değil, bir sonucu olduğu gösterilmiştir. Düğüm potansiyelleri yöntemini veya bunun analoglarını kullanarak katlanmış seviyeler aşamasında değiştirilebilir SLAR'ın yanlış seçimi ve yöntemin kendisi Bu, görevin doğru şekilde ayarlanması yönteminden büyük bir sapmadır. Simetrik matrisi bozulmamış olan düğüm potansiyelleri yöntemi önerilmiş olup, bunun doğru forma dönüştürülmesi gerekmektedir.
Anahtar kelimeler: sistem, modelleme, yanlış ayarlama, kötü akıl yürütme, doğrusal cebirsel denklem sistemi, düğüm potansiyelleri yöntemi, görevin doğru ayarlanması yöntemi, doğruluğun kontrol edilmesi.
Dipnot. Ayrık modeli bir doğrusal cebirsel denklem sistemi (SLAE) tarafından tanımlanan fiziksel nesnelerin modellenmesi sonuçlarının güvenilirliğinin, matrisin zayıf koşulluluğuna değil, SLAE değişkenlerinin yanlış seçimine bağlı olduğu gösterilmiştir. Düğüm potansiyelleri yöntemini veya analoglarını kullanarak denklemler oluşturma aşamasında ve yöntemin kendisi, problemin doğru formülasyon yönteminin özel bir örneğidir. Dejenere olmayan ve simetrik bir matrise sahip olan, düğüm potansiyelleri yöntemiyle derlenen bir SLAE'nin doğruluğunu kontrol etmek ve gerekirse onu doğru forma dönüştürmek için bir teknik önerilmektedir.
Anahtar kelimeler: sistem, modelleme, kötü konumlanmış problem, kötü koşullandırma, doğrusal cebirsel denklem sistemi, düğüm potansiyelleri yöntemi, problemin doğru formülasyon yöntemi, doğruluk kontrolü.
Soyut. Makale, ayrık modelin bir doğrusal cebirsel denklemler (SLAE) sistemi tarafından tanımlanan fiziksel nesnelerin simülasyon sonuçlarının güvenilirliğinin, kötü koşullandırılmış matrise değil, denklemlerin oluşturulması aşamasında yanlış SLAE değişkeni seçimine bağlı olduğunu göstermektedir. bir düğüm potansiyeli yöntemi veya onun analogları ile yapılır ve bu yöntem, bir problemin doğru ifade edilmesi yönteminin özel bir durumudur. Düğüm potansiyeli yöntemiyle yapılan, tekil olmayan ve simetrik bir matrise sahip olan SLAE'nin doğruluğunun kontrol edilmesi ve gerekiyorsa doğru forma dönüştürülmesi önerildi.
Anahtar Kelimeler: sistem, simülasyon, yanlış problem, kötü koşullu, lineer cebirsel denklem sistemi, düğüm potansiyeli yöntemi, bir problemin doğru ifade edilmesi yöntemi, doğruluğun kontrol edilmesi.
1. Giriş
Fiziksel (teknik) nesnelerin modellenmesine ilişkin birçok problem, doğrusal cebirsel denklem (SLAE'ler) sistemlerinin çözülmesine bağlıdır. Bu tür sistemleri çözerken tüm hesaplamalar sonlu sayıda anlamlı rakamla yapıldığından, yuvarlama hataları nedeniyle doğruluk önemli ölçüde kaybolabilir. Kötü koşullandırılmış (kararsız) bir sistem veya daha genel bir formülasyonla, yanlış oluşturulmuş bir problem, sabit düzeyde girdi verisi hataları ve hesaplama doğruluğu verildiğinde, çözümde herhangi bir doğruluğu garanti etmeyen bir problem olarak kabul edilir. Koşul numarası, SLAE'nin çözümünde olası hataların önceden en kötü tahmini olarak kullanılır. Literatürden de anlaşılacağı üzere, kötü kurulmuş problemlerin çözümüne yönelik yöntemlerin geliştirilmesi, birçok problemin sayısal çözümünün karmaşık olmasına rağmen, fiziksel (teknik) nesnelerin özelliklerinin dikkate alınmadığı tamamen matematiksel bir problem olarak kabul edilmektedir. matematiksel fizik ve karmaşık fiziksel süreçlerin matematiksel modellenmesi
© Voloboev Başkan Yardımcısı, Klimenko Başkan Yardımcısı, 2014
Baykuşlar ve teknik sistemler, doğrusal cebir problemlerinin tükenmez bir kaynağıdır. Listelenen sorun sınıfı için, çözüm yöntemleri geliştirilirken, belirli bir sorunun özelliklerini şu veya bu şekilde dikkate almanın mümkün olduğu bir SLAE'nin derlenmesi aşaması dikkate alınmaz. Bu aşamanın dikkate alınması gerektiği, aşağıdaki çalışmaların sonuçlarıyla da doğrulanmaktadır.
Her şeyden önce, SLAE'leri çözerken doğruluk kaybının küçük olduğu ve koşul numarasının değerinin çok büyük olduğu matris örnekleri sağlayan, yani genel kabul görmüş kriterin gösterildiği çalışmayı belirtmekte fayda var. Koşul numarasına dayalı olarak SLAE'leri çözmenin doğruluğunun önceden değerlendirilmesi gereklidir, ancak yeterli değildir. Çalışmalarda kötü oluşturulmuş bir problemin çözümüne yönelik tamamen yeni bir yaklaşım önerildi. Fiziksel bir nesnenin ayrı bir modelini tanımlama aşamasında, SLAE'lerin çözülmesinin doğruluğunu, durum numarasının büyük bir değeriyle bile arttırmak için, SLAE'lerin doğru bir şekilde oluşturulmasının önerilmesi gerçeğinde yatmaktadır. Bu, çalışmada bildirildiği gibi yalnızca bu tür matrislerin mevcut olduğu anlamına gelmiyor, aynı zamanda bir nesnenin ayrık bir modelini tanımlayan bir SLAE matrisinin doğru şekilde derlenmesi için bir yöntemin önerildiği anlamına da geliyor. Bir SLAE matrisi derleme yöntemi, elektrik devrelerinin, güç sistemlerinin, mekanik çubuk sistemlerinin ve matematiksel fiziğin eliptik denklemlerinin davranışını modelleme problemleriyle ilişkili olarak dikkate alınır.
Bu yöntemin özü, mevcut yöntemlerden farklı olarak, bir SLAE oluştururken, fiziksel bir nesnenin ayrı bir modelinin parametrelerinin hedeflenen değişken seçimiyle dikkate alınmasıdır. Yöntemin yalnızca ayrık model topolojisi bir grafikle temsil edilen nesnelere uygulanabileceğine dikkat edilmelidir.
Bu gereksinim, elektrik devresi ve güç sisteminin tasarım modeliyle karşılanır. Karmaşık fiziksel süreçlerin, teknik sistemlerin ve matematiksel fiziğin matematiksel modellemesine ilişkin birçok problem için, ayrı bir modelin topolojisinin bir grafik biçiminde temsili kullanılmaz. Çalışmalar, fiziksel bir nesnenin ayrık bir modelinin tasarım şemalarının öğelerinin topolojisinin bir grafik biçiminde temsil edilmesiyle yukarıdaki sınırlamanın ortadan kaldırıldığını göstermektedir. Elemanların topolojisini grafikler biçiminde temsil etmenin bir yöntemi de vardır.
Bu yazıda, ayrık bir modelin topolojisinin bir grafik biçiminde temsil edilmediği durumda, yanlış oluşturulmuş bir problemi düzeltmek için bir yöntem önereceğiz. Yöntemi geliştirirken, matematiksel fizik ve karmaşık fiziksel süreçler ve teknik sistemlerdeki ayrık problem modellerini tanımlamak için genel kabul görmüş yöntemin (düğüm potansiyeli yöntemi), bir SLAE matrisini doğru şekilde derlemeye yönelik yöntemin özel bir durumu olduğu gerçeğini dikkate alıyoruz. .
2. Nesnenin ayrık bir modelini tanımlayan SLAE çözümünün doğruluğu ile denklem oluşturma yöntemi arasındaki ilişki
Akademisyen Voevodin V.V. Çalışmasında, Gauss yöntemini kullanarak SLAE'leri çözme sonuçlarının en yüksek doğruluğunun, ana elemanın seçimiyle yöntem kullanıldığında elde edildiğini gösterdi. Bu fikre dayanarak çok sayıda eser yayınlandı. Bununla birlikte, pratik problemlerin çözülmesi, SLAE'lerin çözümünün doğruluğunun, özellikle de kötü koşullandırılmış matrisler durumunda, yuvarlama hataları nedeniyle önemli ölçüde kaybolduğunu, yani çözüm aşamasında sonuçların doğruluğunun iyileştirilmesinin yeterli olmadığını göstermiştir. Ana elemanların seçimiyle basitçe Gauss yöntemini kullanmak.
Bu fikrin daha da geliştirilmesi, bir nesnenin ayrı bir modelinin bir açıklamasının derlenmesi aşamasında, matrisin köşegen elemanlarını ana olanlar olarak oluşturmanın önerildiği çalışmada önerilen yöntemdir. Bunu yapmak için, bir açıklama derlenirken ek bilgiler, yani ayrı modelin parametreleri kullanılır. Bu yaklaşımın etkinliği, yani ayrık durumu tanımlayan SLAE çözümünün doğruluğunun bağımlılığı
ISSN 1028-9763. Matematiksel makineler ve sistemler, 2014, No. 4
Denklem oluşturma yönteminden nesnenin yeni bir modeli, bir model örneği kullanılarak gösterilecektir. Aşağıda, ana öğeyi seçerek veya seçmeden açıklanan yöntemi ve çözümünü kullanarak bir model örneğinin açıklamasını derlemeyi ele alacağız.
Şekil 1'de gösterilen elektrik devresi model örneği olarak seçilmiştir. 1.
Pirinç. 1. Elektrik devresi
Bir elektrik devresini tanımlayan SLAE'nin koşulluluğunun, devre bileşenlerinin iletkenlik (direnç) değerlerinin yayılma aralığına bağlı olduğu bilinmektedir. Elektrik devresi bileşenlerinin iletkenliğinde seçilen 15 dereceye eşit değişiklik aralığı, SLAE'nin zayıf koşulluluğunu ve dolayısıyla yaygın olarak inanıldığı gibi sorunun yanlışlığını sağlar. Düğüm 2'nin potansiyelini hesaplama örneğini kullanarak (G2 bileşenindeki voltaj), hesaplama sonuçlarının güvenilirliğinin, elektrik devresinin bir tanımını derlerken çapraz elemanı oluşturma yöntemine bağımlılığı analiz edilecektir.
Aşağıda, doğru problem formülasyonu yöntemini kullanarak bir model örneğini çözmek için gerekli ana hükümler bulunmaktadır. Bu yöntemi kullanarak bir elektrik devresinin matematiksel modelinin oluşturulması, Kirchhoff yasalarına göre derlenen bileşen denklemleri ve denklemleri içeren elektrik devresinin temel denklem sistemine dayanmaktadır. Model örneği için bileşen denklemi şu şekildedir:
burada U i bileşen boyunca düşen voltajdır, I bileşen boyunca akan akımdır, Gt bileşenin iletkenliğidir.
Bir elektrik devresinin grafiğini ve buna bağlı olarak Kirchhoff yasalarına dayanan denklemleri tanımlamak için konturların ve bölümlerin topolojik matrisleri kullanılır. Devre grafiği elektrik devresine uygundur. Konturların ve bölümlerin topolojik matrislerinin derlenmesi, bir devre grafiği ağacının seçilmesini ve seçilen ağaç için konturların çizilmesini içerir. Elektrik devresi grafiğinin ağacı, tüm voltaj kaynakları ağaca dahil edilecek ve tüm akım kaynakları akorlara dahil edilecek şekilde seçilir. Devre bileşenlerinin gerilim vektörleri U ve akımları I'deki elemanlar, ağaçta (indeks D) bulunanlar, yani dallar ve akorlar (indeks X) halinde gruplandırılır, böylece:
Konturlar, akorların devre grafik ağacına eklenmesiyle oluşturulur. Bu durumda
konturların topolojik matrisi şu şekle sahiptir:
burada 1 akorların birim alt matrisidir, t
Matrisin aktarımını belirtir ve bölümlerin topolojik matrisi |1 -F biçimindedir; burada 1, dalların birim alt matrisidir. Aşağıdaki gibi matrisin köşegen terimleri
ISSN 1028-9763. Matematiksel makineler ve sistemler, 2014, No. 4
devrelerdeki ağaç bileşenlerin iletkenliklerinin maksimum iletkenliğe sahip olması durumunda ana olanlar olacaktır. Topolojik matrislerin türü dikkate alınarak Kirchhoff yasalarına göre derlenen zincir denklemleri matris formunda şu şekilde yazılabilir:
onların =-ґid'si, (3)
Derlenen denklem sisteminin değişkenleri, ana denklem sisteminin analizi sonucunda bileşenlerin gerilimleri ve/veya akımları arasından seçilir. Ağacın dallarında yer alan bileşenler değişken gerilimli olarak seçilirse bileşen denklemleri (1) ve denklemler (3), (4) aşağıdaki forma dönüştürülebilir:
Gd U d - F(Gx (- FUd)) = 0.
Aşağıda bir model örneği için denklemlerin derlemesini sunacağız. İlk olarak, elektrik devresinin bir açıklaması, matrisin köşegen terimleri ana olacak şekilde hazırlanır. Bu gereklilik, ağaçta yer alan E1, G6, G3, G2 bileşenleri seti tarafından karşılanmaktadır (Şekil 1'de ağacın dalları kalın bir çizgiyle vurgulanmıştır). Aşağıdaki bileşen gerilim ve akım vektörleri seçilen ağaca karşılık gelir:
ve topolojik matrisler
Denklem (5), (6), (7) ve dönüşümler sonrası bileşen denklemleri dikkate alındığında aşağıdaki forma sahiptir:
- (G4 + G5) (G4 + G5) G1 + G2 + G4 + G5
SLAE (8) matrisin özdeğerleri \= 1.5857864376253, R2 = 5.0E +14+j5.0E +14, A, = 5.0E +14 - j5.0E +14 olduğundan kötü koşullanmıştır. Sistemi çözme sonuçlarının doğruluğunun, denklemleri oluşturmak için seçeneğin seçimine nasıl bağlı olduğunu belirlemek için, düğüm 2'nin potansiyel Uq'sunun hesaplanması genel formda yapılacaktır:
ISSN 1028-9763. Matematiksel makineler ve sistemler, 2014, No. 4
(g1+g2 +g4 +g5)-
Hesaplamalı sürecin analizinden (9-11), iletkenlik değerlerindeki geniş aralıktaki değişikliklere rağmen (15 büyüklük sırası), sayıların temsilinin nihai doğruluğu için katı gerekliliklerin olmadığı anlaşılmaktadır. Denklemleri oluştururken ve çözerken. Güvenilir bir sonuç elde etmek için, SLAE'lerin derlenmesi ve çözülmesine yönelik hesaplamalı sürecin, sayıları iki anlamlı rakamla temsil etme doğruluğu ile gerçekleştirilmesi yeterlidir.
SLAE (8)'de G+G4+G5I matrisinin ikinci satırının (sütununun) köşegen öğesinin, kalan terimlerin toplamından önemli ölçüde daha büyük olduğu (15 büyüklük mertebesinde) dikkate alınmalıdır.
satırlar (sütunlar) | G4 + 2G51. Bu, UG = 0 alarak SLAE'yi basitleştirebileceğimiz anlamına gelir.
(8), sonuçların güvenilirliğini koruyarak. Manuel sayma çağında bu teknik, düğüm 2'yi 3 ile birleştirmeye karşılık geliyordu (Şekil 1).
İkinci durumda (ana eleman olarak çapraz elemanı seçmeden), ağaçta Ex, G6, G4, G2 bileşenlerini seçmek yeterlidir (Şekil 1'de ağacın dalları kesikli çizgilerle işaretlenmiştir)
astar). Bu bileşenler üzerindeki voltaj düşüşleri, sıfır düğümden sayılan 1, 4, 3, 2 düğüm potansiyellerine karşılık gelir. Bu, ağaçtaki bu tür bileşenlerin seçimiyle SLAE matrisini doğru şekilde oluşturma yönteminin düğüm potansiyelleri yöntemiyle örtüştüğü anlamına gelir. Aşağıdaki bileşen gerilim ve akım vektörleri seçilen ağaca ve akorlara karşılık gelir:
U D = UG UG G4, Ux = G1 UG3 UG G D G ig G4, Ix = G1 IG3 IG
UG G2 G5 ve G2 G5
ve topolojik matrisler
Denklem (5), (12), (13) ve bileşen denklemlerini dikkate alarak aşağıdakileri alacaktır:
ISSN 1028-9763. Matematiksel makineler ve sistemler, 2014, No. 4
G5 + G6 -G5 0 UG G6 0
G5 G3 + G4 + G5 -G3 Uo. = 0
0 - G3 G1 + G2 + G3 Uo2 G1E1
Denklem sistemi (14), matrisin aşağıdaki özdeğerlerine sahip olduğundan kötü koşullanmıştır: 1 = 1.0,1 =1015 +у1015,1 =1015-/1015. Örneğin ilk versiyonunda olduğu gibi, düğüm 2'nin potansiyel UG'si genel biçimde hesaplanacaktır:
(G + G + G)-----------
V 3 4 У (G + G)
+ (G1 + G2 + G3)
3 4 5" (G5 + G6)
Denklem sistemini (15-17) çözme hesaplamalı sürecinin analizinden, sonuçların güvenilirliğinin hem denklemleri oluştururken hem de çözerken sayıların temsilinin nihai doğruluğuna bağlı olduğu anlaşılmaktadır. Dolayısıyla, sistemin (15-17) çözülmesinin hesaplama süreci 15 anlamlı basamaktan daha az bir doğrulukla gerçekleştirilirse, sonuç şu şekilde olacaktır:
1015 +1015 ~ o,
ve doğruluğun 15 anlamlı rakamdan fazla olması durumunda,
1030 + 2*1015 +1030 + %+ 3/1015)
Matrisler (8) ve (14)'ün karşılaştırılmasından ve denklem sistemlerini çözmek için hesaplama süreçlerinden aşağıdaki sonuçlar çıkar.
Düğüm potansiyelleri yöntemi, 'de önerilen yöntemin özel bir durumudur; yani, düğüm potansiyelleri yönteminde, temel düğümü geri kalanına bağlayan grafiğin kenarları her zaman ağaçta seçilir.
Bir matrisin köşegen elemanları, matrisin maksimum köşegenler seçilerek veya seçilmeden oluşturulmasına bakılmaksızın, hem satırlarda hem de sütunlarda modül açısından diğer elemanlardan daha büyüktür. Tek fark, diyagonal elemanların diyagonal olmayanlardan ne kadar büyük olduğudur. Bu, ana elemanın seçimiyle Gauss yöntemini kullanarak bu tür SLAE'yi çözmenin, bu sınıftaki problemler için sonuçların doğruluğunu arttırmadığı anlamına gelir.
ISSN 1028-9763. Matematiksel makineler ve sistemler, 2014, No. 4
Gauss çözümünde kullanılan anlamlı rakamların nihai sayısı, matrisin maksimum diyagonal elemanlar seçilip seçilmeden oluşturulmasına önemli ölçüde bağlıdır. Sorunun bir versiyonu ile diğeri arasındaki fark, yalnızca denklemlerin oluşturulması aşamasında, bir durumda maksimum iletkenliğe sahip bileşenin ağaca seçilmesi ve dolayısıyla bu bileşenin voltajının SLAE'de bir değişken olarak hareket etmesidir. Bu bileşenin iletkenliği yalnızca matrisin köşegen elemanının oluşumunda rol oynar. Başka bir durumda bu bileşen akorlara düşer. Denklem (3)'ten takip edildiği gibi bileşen gerilimi, ağaç bileşenlerinin gerilimi aracılığıyla belirlenir. Denklem (4)'ten, bileşenin iletkenliğinin satır ve sütun elemanlarının oluşumunda rol oynadığı ve dolayısıyla kirişin iletkenliğinin bu matris elemanlarının boyutunu belirlediği sonucu çıkar.
3. Düğüm potansiyelleri yöntemiyle derlenen SLAE matrisinin doğru formülasyona karşılık gelen bir forma dönüştürülmesi
Bu problemlerin ayrık modellerini tanımlayan SLAE'leri derlemek için matematiksel fizik problemlerini ve karmaşık fiziksel süreçlerin ve teknik sistemlerin matematiksel modellemesini sayısal olarak çözerken, esas olarak düğüm potansiyelleri yöntemi veya analogları kullanılır. Bu yöntemin ayırt edici bir özelliği, ayrık modelin tasarım şemasının temel düğümden kalan düğümlere kadar sayılan potansiyellerinin, denklemlerin oluşturulması için basit bir algoritmanın ve zayıf doldurulmuş bir SLAE matrisinin SLAE değişkenleri olarak kullanılmasıdır. Böyle bir verimliliğin bedeli, görevin yanlışlığı olabilir. Düğüm potansiyelleri yönteminin, problemi doğru bir şekilde ortaya koymaya yönelik yöntemin varyantlarından sadece biri olduğu göz önüne alındığında, yanlış oluşturulmuş bir problem, matris dönüşümü uygulanarak düzeltilebilir. Aşağıda, düğüm potansiyelleri yöntemiyle yanlış oluşturulmuş bir sorunu dönüştürmek için bir algoritmayı ele alacağız.
Tüm fiziksel nesne çeşitleri arasında yalnızca doğrusal ayrık modeli, dejenere olmayan ve simetrik bir matrise sahip bir SLAE tarafından açıklanan nesneler dikkate alınacaktır.
3.1. Matris dönüştürme algoritması
Bir matris dönüştürme algoritması geliştirirken, matrisin i-inci satırının j-th köşegen olmayan elemanının matrise eksi işaretiyle dahil edildiği ve bağlantıyı tanımlayan ayrı bir model parametresi içerdiği gerçeği kullanılır. ayrık modelin i-th ve j-th düğümleri arasında. Çapraz eleman matrise pozitif bir işaretle dahil edilir, köşegen olmayan elemanların toplamını ve i'inci düğüm ile temel düğüm arasındaki bağlantıyı tanımlayan ayrı bir model parametresini içerir. Genellikle ayrık bir modelin düğümleri numaralandırılırken temel düğümün sıfır olduğu kabul edilir.
Yukarıda gerçekleştirilen çalışmadan da anlaşılacağı üzere, sorunun derlenmiş SLAE düzeyindeki yanlışlığı, yalnızca çizginin köşegen olmayan elemanlarından en az birinin, yalnızca dahil edilen ayrık modelin parametresinden önemli ölçüde büyük olması durumunda ortaya çıkar. diyagonal elemanda. Aşağıda derlenmiş SLAE'nin doğruluğunu kontrol etmeye yönelik bir metodoloji verilmiştir.
SLAE'nin şu şekle sahip olmasına izin verin
burada x, düğüm potansiyellerinin vektörüdür (düğüm etkileri), y, dış akışların vektörüdür, A, formun bir matrisidir
ISSN 1028-9763. Matematiksel makineler ve sistemler, 2014, No. 4
а11 а1і a1j a1n
аі1 а,і aj ain , (21)
aJ1 an1 ve aJJ ann
burada n matris boyutudur. Matris elemanları aşağıdaki gereksinimleri karşılar:
ai > 0, a.< 0, а. = а]г,1 < i < n, 1 < j < n при j Ф і. (22)
Aşağıda matrisin i'inci satırının doğruluğunu kontrol etmeyi ve gerekirse düzeltmeyi ele alacağız.
Öncelikle matrisin i. satırının sadece köşegen elemanında yer alan ayrık model parametresi belirlenir,
Ait parametresi koşulu sağlıyorsa matrisin i'inci satırının doğru şekilde oluşturulduğu kabul edilir.
1 < j < n, при j Ф і.
Koşul (24) karşılanmazsa i'inci satır ayarlanır. Öncelikle köşegen olmayan elemanlardan en büyüğü seçilir. Bu i'inci satırın j'inci elemanı olsun. Matris bileşiminin özellikleri nedeniyle (koşul (22)) elemanların oluşumunda yer alan ayrık modelin parametresinin o olduğunu doğrulamak kolaydır. ve i-inci ve j-inci doğruların a.^'si, aii ve a elemanlarının ayrılmaz parçası olarak yer alır. . İ'inci satırı ayarlamanın özü, matrisin i'inci ve j'inci satırlarını, öğenin değeri a olacak şekilde dönüştürmektir. yalnızca aii unsuruna dahil edildi. Xi değişkenini formda temsil ettiğimizi görmek kolaydır.
X = xj + xj (25)
ve SLAE matrisinin j'inci sütununun elemanlarının aşağıdaki dönüşümünün gerçekleştirilmesi
o = aı. + ai, 1< 1 < n , (26)
dönüştürülmüş elemanların a olduğu matrisin yeni bir j'inci sütununu elde ederiz. ve bir. a elemanlarını oluşturan ayrık modelin parametresini içermez. ve bir. .
Bir sonraki adım, formülü kullanarak j'inci satırı dönüştürmektir.
aji = a.i + aii, 1< l < n . (27)
Dönüştürülen j dizesinin a i öğeleri artık a i öğesine karşılık gelen ayrık model parametresini içermez.
ISSN 1028-9763. Matematiksel makineler ve sistemler, 2014, No. 4
SLAE matrisinin doğruluğunun kontrol edilmesi ve yanlış satırların düzeltilmesi matrisin tamamı için gerçekleştirilir. Bu çalışmada yalnızca bir matrisi doğru forma dönüştürmek için bir algoritma oluşturma yaklaşımı ele alınmıştır. Bir matrisi doğru forma dönüştürmek için etkili bir algoritmanın geliştirilmesine ilişkin konular bu çalışmada ele alınmamıştır. Aşağıda, düğüm potansiyelleri yöntemiyle derlenen SLAE matrisinin (14) dönüşümünün bir örneğini vereceğiz.
3.2. Demo örneği
Öncelikle matris (14)'ün simetrik ve dejenere olmadığı belirtilmelidir. Matris katsayıları koşulu (22) karşılar. Düğüm potansiyelleri bileşenler arasındaki voltaj düşüşüne karşılık gelir
U4 = UG^, U3 = UG, U2 = UG
(28) dikkate alındığında, SLAE (14) aşağıdaki gibi temsil edilebilir:
G5 + G6 - G5 0 U 4 0
G5 G3 + G4 + G5 - G3 U3 = 0
0 - G3 G + G2 + G3 U2 GA
Bir matrisin doğruluğunun kontrol edilmesi aşağıdaki işlemleri içerir.
Ayrık model parametresinin formül (23) ile belirlenmesi, yalnızca dahil edilmiştir
diyagonal bir elemana dönüştürülür. Matrisin ilk satırı için G6, ikinci satırı G4 ve üçüncü satırı için - (Gl + G2) olacaktır.
Matris satırlarının doğruluğunun kontrol edilmesi formül (24)'e göre gerçekleştirilir. Bu kontrol sonucunda (G4 = 1) ^ (G3 = 1015) olduğundan ikinci satırın doğruluk şartını karşılamadığı ortaya çıkıyor. G3 parametresi aynı zamanda matrisin üçüncü satırına da dahil edilmiştir, bu nedenle formül (25)'e göre U3 değişkeninin temsili şu şekilde seçilir:
U3 = U2 + U23, (30)
3. sütunun elemanlarının formül (26)'ya göre dönüştürülmesi sonucunda aşağıdaki formdaki matrisi (29) elde ederiz:
G5 + G6 - G5 - G5
G5 g3 + g4 + g5 g4+g5
ve üçüncü satırı formül (27)'ye göre dönüştürdükten sonra matris (31) şu şekle sahip olacaktır:
(G5 + G6) - G5 - g5 U 4 0
G5 (G3 + G4 + G) (G4 + G5) U 23 = 0 . (32)
G5 (G4 + g5) (G + G2 + G4+g5) U2 G E
SLAE (32) doğruluk gerekliliğini karşılamaktadır, bu nedenle ayarlamanın tamamlanmış olduğu kabul edilmektedir. SLAE değişkenleri (32), SLAE değişkenlerine (8) karşılık gelir;
ISSN 1028-9763. Matematiksel makineler ve sistemler, 2014, No. 4
Ağaca dönüştürme sonucunda problemin doğru formülasyonu yönteminde olduğu gibi aynı bileşenler seçildi. SLAE'lerin (8) ve (32) karşılaştırılmasından, ikinci sütunun ve ikinci satırın matrisinin (32) köşegen olmayan elemanlarının işaretinin matristen (8) farklı olduğu sonucu çıkar. Bu, matris (14) dönüştürülürken, G3 bileşeninin akım yönünün, SLAE (8) derlenirken seçilen yönün tersi olarak seçilmesinin sonucudur. U23 değişkenini U23 = -U23 ile değiştirerek ve ikinci denklemdeki elemanların işaretlerini ters yönde değiştirerek matris (8) elde ederiz.
4. Sonuç
Modelleme, insanlığın entelektüel faaliyetinin ayrılmaz bir parçası haline gelmiştir ve modelleme sonuçlarının güvenilirliği, modelleme sonuçlarının değerlendirilmesinde ana kriterdir. Sonuçların güvenilirliğini sağlamak için, karmaşık nesneleri ve bunların çözümlerini tanımlamaya yönelik yöntem ve algoritmaların geliştirilmesine yönelik yeni yaklaşımlar gereklidir.
Kötü konumlanmış problemleri çözmek için yöntemler geliştirmeye yönelik mevcut yaklaşımın aksine, bu makale, kötü konumlanmış bir problemi (kötü koşullu) doğru bir forma getirmeyi önermektedir. Fiziksel nesnelerin ayrık modellerini tanımlayan SLAE'leri çözerken güvenilir sonuçlar elde etmeyi zorlaştıran şeyin matrisin zayıf koşulluluğu değil, denklemlerin oluşturulması aşamasında SLAE değişkenlerinin yanlış seçimi ve düğüm yöntemi olduğu gösterilmiştir. Ayrı bir modeli tanımlayan SLAE'leri derlemek için kullanılan potansiyeller ve analogları, problemin doğru formülasyonu yönteminin özel bir durumudur. SLAE matrisinin tekil olmadığı ve simetrik olduğu durum için düğüm potansiyelleri yöntemiyle derlenen SLAE'nin doğruluğunu kontrol etmek için bir teknik önerilmiştir. Bir matrisi doğru forma dönüştürmek için bir algoritma düşünülmüştür.
KAYNAKÇA
1. Kalitkin N.N. Doğrusal cebirsel denklem sistemleri için niceliksel koşulluluk kriteri / N.N. Kalitkin, L.F. Yukhno, L.V. Kuzmina // Matematiksel modelleme. - 2011. T. 23, Sayı 2. - S. 3 - 26.
2. Voloboev V.P. Karmaşık sistemlerin modellenmesine yönelik bir yaklaşım / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematiksel makineler ve sistemler. - 2008. - No. 4. - S. 111 - 122.
3. Voloboev V.P. Güç sistemlerinin modellenmesine bir yaklaşım / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematiksel makineler ve sistemler. - 2009. - Sayı 4. - S. 106 - 118.
4. Voloboev V.P. Çubuk sistemlerinin mekaniği ve grafik teorisi / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematiksel makineler ve sistemler. - 2012. - No. 2. - S. 81 - 96.
5. Voloboev V.P. Sonlu elemanlar yöntemi ve grafik teorisi / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematiksel makineler ve sistemler. - 2013. - No. 4. - S. 114 - 126.
6.Pukhov G.E. Matematiksel makineler teorisinin seçilmiş soruları / Pukhov G.E. - Kiev: Ukrayna SSR Bilimler Akademisi Yayınevi, 1964. - 264 s.
7. Seshu S. Doğrusal grafikler ve elektrik devreleri / S. Seshu, M.B. Reid. - M .: Yüksekokul, 1971. - 448 s.
8. Zenkevich O. Sonlu elemanlar ve yaklaşım / O. Zenkevich, K. Morgan. - M.: Mir, 1986. -318 s.
9. Voevodin V.V. Doğrusal cebirin hesaplamalı temelleri / Voevodin V.V. - M .: Nauka, 1977. -304 s.
10. Elektrik mühendisliğinin teorik temelleri: üniversiteler için bir ders kitabı / K.S. Demirçyan, L.R. Neiman, N.V. Korovkin, V.L. Çeçurin. - . - Peter, 2003. - T. 2. - 572 s.
Tekrar SLAU'ya dönelim Aх=b A boyutlu kare matrisli MхN Yukarıda ele alınan “iyi” durumun aksine (bkz. Bölüm 8.D), özel bir yaklaşım gerektirir. İki benzer SLAE türüne dikkat edelim:
- dejenere sistem (sıfır determinantlı) |A|=0);
- kötü koşullandırılmış sistem (determinant A sıfıra eşit değildir, ancak koşul sayısı çok büyüktür).
Bu tür denklem sistemlerinin birbirinden önemli ölçüde farklı olmasına rağmen (ilki için çözüm yoktur, ikincisi için yalnızca bir tane vardır), bilgisayarın pratik bakış açısından bakıldığında, aralarında pek çok ortak nokta vardır. onlara.
Dejenere SLAE'ler
Dejenere bir sistem, sıfır determinantlı bir matris tarafından tanımlanan bir sistemdir. |A|=0(determinantı sıfıra eşit olan, tersi olmayan matris, tekil matris). Böyle bir sistemde yer alan bazı denklemler diğer denklemlerin doğrusal birleşimiyle temsil edildiğinden, aslında sistemin kendisi eksik belirlenmiştir. Sağ taraftaki b vektörünün spesifik türüne bağlı olarak ya sonsuz sayıda çözüm olduğunu ya da hiç çözüm olmadığını anlamak kolaydır. İlk seçenek normal bir sözde çözüm oluşturmaya (yani sonsuz sayıda çözüm kümesinden belirli bir vektöre, örneğin sıfıra en yakın olanı seçmeye) gelir. Bu durum bölümde ayrıntılı olarak ele alınmıştır. 8.2.2 (bkz. 8.11-8.13 listeleri).
Pirinç. 8.7. Tekil matrisli iki denklemden oluşan tutarsız bir sistemin grafiksel gösterimi
İkinci durumu ele alalım: SLAE Aх=b tekil kare matrisli A'nın çözümü yoktur. Böyle bir problemin bir örneği (iki denklemli bir sistem için) Şekil 2'de gösterilmektedir. 8.7, üstüne matrisin girildiği yer A ve vektör B ve ayrıca fonksiyonu kullanarak sistemi çözmek için bir girişimde bulunulur (A matrisi tekil olduğu için başarısız olur). çözdüm. Şeklin ana kısmını kaplayan grafik, sistemi tanımlayan iki denklemin (x0,x1) düzleminde iki paralel doğruyu tanımladığını göstermektedir. Doğrular koordinat düzleminde hiçbir noktada kesişmez ve dolayısıyla sistemin çözümü yoktur.
Not
İlk olarak, 2x2 boyutunda tekil olmayan bir kare matris tarafından tanımlanan bir SLAE'nin düzlemde bir çift kesişen çizgiyi tanımladığına dikkat edin (bkz. aşağıdaki Şekil 8.9). İkinci olarak, eğer sistem tutarlı olsaydı, denklemlerin geometrik temsili sonsuz sayıda çözümü tanımlayan iki çakışan çizgi olurdu..
Pirinç. 8.8. Artık fonksiyonunun bölümlerinin grafiği f (x) = |Ax-b|
Sistemin tutarsızlığı en aza indiren sözde çözümlerinin dikkate alınan tekil durumunda, bunu tahmin etmek kolaydır. |Balta-b|, sonsuz sayıda olacak ve bunlar, Şekil 2'de gösterilen iki düz çizgiye paralel üçüncü düz çizgi üzerinde uzanacaklar. 8.7 ve aralarında ortada yer alıyor. Bu, Şekil 2'de gösterilmektedir. 8.8, işlevin çeşitli bölümlerini gösterir f(x)= | Balta-b |, aynı derinlikte bir minimum ailesinin varlığını gösterir. Bunları bulmak için yerleşik işlevi kullanmaya çalışırsanız küçültmek, sayısal yöntemi her zaman söz konusu çizginin herhangi bir noktasını bulacaktır (başlangıç koşullarına bağlı olarak). Bu nedenle, benzersiz bir çözüm belirlemek için, tüm sözde çözümler kümesinden en küçük norma sahip olanı seçilmelidir. Bu çok boyutlu minimizasyon problemini Mathcad'de yerleşik fonksiyonların kombinasyonlarını kullanarak formüle etmeyi deneyebilirsiniz. küçültmek ancak daha etkili bir yol, düzenlileştirme (aşağıya bakın) veya ortogonal matris ayrıştırmalarını (bkz. Bölüm 8.3) kullanmak olacaktır.
