Bilgisayar bilimlerinde denklem çözme mantığı. kişisel bilgisayarların mantıksal temelleri

Belediye bütçeli eğitim kurumu

"Ortaokul No. 18"

Başkurdistan Cumhuriyeti Salavat şehrinin kentsel bölgesi

Mantıksal denklem sistemleri

Bilgisayar bilimlerinde Birleşik Devlet Sınavı sorunları

Birleşik Devlet Sınavı görevlerindeki “Mantık Cebirinin Temelleri” bölümü çözülmesi en zor ve zor olanlardan biri olarak kabul edilir. Bu konuda tamamlanan görevlerin ortalama yüzdesi en düşük olup 43,2'dir.

Kurs bölümü	Görev gruplarına göre ortalama tamamlanma yüzdesi
Bilginin kodlanması ve miktarının ölçülmesi
Bilgi Modelleme
Sayı sistemleri
Mantık Cebirinin Temelleri
Algoritma ve programlama
Bilgi ve iletişim teknolojilerinin temelleri

2018 KIM spesifikasyonuna dayanan bu blok, farklı zorluk seviyelerinde dört görev içerir.

№ atamalar	Doğrulanabilir içerik öğeleri	Görev zorluk seviyesi
	Doğruluk tabloları ve mantık devreleri oluşturabilme becerisi
	İnternette bilgi arama yeteneği
	Temel kavram ve kanun bilgisi matematiksel mantık
	Mantıksal ifadeleri oluşturma ve dönüştürme becerisi

Görev 23'ün zorluk seviyesi yüksektir, dolayısıyla tamamlanma yüzdesi en düşüktür. Hazırlanan mezunların (81-100 puan) %49,8'i görevi tamamladı; orta derecede hazırlıklı olan mezunlar (61-80 puan) %13,7'sini tamamladı; geri kalan öğrenci grubu ise bu görevi tamamlamadı.

Bir mantıksal denklem sistemini çözmenin başarısı, mantık yasalarının bilgisine ve sistemi çözme yöntemlerinin kesin olarak uygulanmasına bağlıdır.

Haritalama yöntemini kullanarak bir mantıksal denklem sistemini çözmeyi düşünelim.

(23.154 Polyakov K.Yu.) Denklem sisteminin kaç farklı çözümü vardır?

((X1  sen1 )  (X2  sen2 ))  (X1  X2 )  (y1  sen2 ) =1

((X2  sen2 )  (X3  sen3 ))  (X2  X3 )  (y2  sen3 ) =1

((X7  sen7 )  (X8  sen8 ))  (X7  X8 )  (sen7  sen8 ) =1

Nerede X1 , X2 ,…, X8, en1 ey2 ,…,y8 - mantıksal değişkenler? Cevabın, bu eşitliğin geçerli olduğu tüm farklı değişken değer kümelerini listelemesi gerekmez. Cevap olarak bu tür setlerin sayısını belirtmeniz gerekiyor.

Çözüm. Sistemde yer alan tüm denklemler aynı tipte olup, her denklem dört değişken içermektedir. x1 ve y1'i bildiğimiz için, x2 ve y2'nin ilk denklemi sağlayan tüm olası değerlerini bulabiliriz. Benzer şekilde akıl yürüterek bilinen x2 ve y2'den ikinci denklemi sağlayan x3, y3'ü bulabiliriz. Yani, (x1, y1) çiftini bildiğimiz ve (x2, y2) çiftinin değerini belirlediğimizde, (x3, y3) çiftini bulacağız ve bu da (x4, y4) çiftine yol açacaktır. ve benzeri.

İlk denklemin tüm çözümlerini bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir: akıl yürütme ve mantık yasalarını uygulama yoluyla bir doğruluk tablosu oluşturmak.

Doğruluk tablosu:

x 1  y 1	x 2  y 2	(x1  ve 1)  (x2  y2)	(x1  x2)	(y 1  y2)	(x1  x2)  (y 1  y2)

Doğruluk tablosu oluşturmak emek yoğun ve zaman açısından verimsiz bir iştir, bu nedenle ikinci yöntemi kullanıyoruz: mantıksal akıl yürütme. Ürün ancak ve ancak her faktörün 1'e eşit olması durumunda 1'e eşittir.

(X1  sen1 )  (X2  sen2 ))=1

(X1  X2 ) =1

(sen1  sen2 ) =1

İlk denkleme bakalım. 0 0, 0 1, 1 1 olduğunda sonuç 1'e eşittir, bu da (01), (10) için (x1 y1)=0 anlamına gelir, o zaman çift (X2  sen2 ) herhangi bir (00), (01), (10), (11) olabilir ve (x1 y1) = 1, yani (00) ve (11) olduğunda (x2 y2) = 1 çifti şu sonucu alır: aynı değerler (00) ve (11). İkinci ve üçüncü denklemlerin yanlış olduğu çiftleri, yani x1=1, x2=0, y1=1, y2=0'ı bu çözümün dışında bırakalım.

(X1 , sen1 )	(X2 , sen2 )

Toplam çift sayısı 1+1+1+22= 25

2) (23.160 Polyakov K.Yu.) Mantıksal denklem sisteminin kaç farklı çözümü vardır?

(X 1  (X 2  sen 2 ))  (y 1  sen 2 ) = 1

(X 2  (X 3  sen 3 ))  (y 2  sen 3 ) = 1

...

( X 6  ( X 7  sen 7 ))  ( sen 6  sen 7 ) = 1

X 7  sen 7 = 1

Çözüm. 1) Denklemler aynı tiptedir, dolayısıyla akıl yürütmeyi kullanarak ilk denklemin tüm olası (x1,y1), (x2,y2) çiftlerini bulacağız.

(X1  (X2  sen2 ))=1

(sen1  sen2 ) = 1

İkinci denklemin çözümü (00), (01), (11) çiftleridir.

İlk denklemin çözümlerini bulalım. Eğer x1=0 ise x2, y2 – herhangi biri, eğer x1=1 ise x2, y2 (11) değerini alır.

(x1, y1) ve (x2, y2) çiftleri arasında bağlantı kuralım.

(X1 , sen1 )	(X2 , sen2 )

Her aşamadaki çift sayısını hesaplamak için bir tablo oluşturalım.




							0

Son denklemin çözümleri dikkate alındığında X 7  sen 7 = 1, (10) çiftini hariç tutalım. 1+7+0+34=42 toplam çözüm sayısını bulun

3)(23.180) Bir mantıksal denklem sisteminin kaç farklı çözümü vardır?

(X1  X2 )  (X3  X4 ) = 1

(X3  X4 )  (X5  X6 ) = 1

(X5  X6 )  (X7  X8 ) = 1

(X7  X8 )  (X9  X10 ) = 1

X1  X3  X5  X7  X9 = 1

Çözüm. 1) Denklemler aynı türdedir, dolayısıyla akıl yürütmeyi kullanarak ilk denklemin tüm olası (x1,x2), (x3,x4) çiftlerini bulacağız.

(X1  X2 )  (X3  X4 ) = 1

Sırada 0 (1 0) veren çiftleri çözümden çıkaralım, bunlar (01, 00, 11) ve (10) çiftleridir.

(x1,x2), (x3,x4) çiftleri arasında bağlantı kuralım

Denklemlerin kullanımı hayatımızda oldukça yaygındır. Birçok hesaplamada, yapı yapımında ve hatta sporda kullanılırlar. İnsanoğlu denklemleri eski zamanlarda kullandı ve o zamandan beri kullanımları daha da arttı. Matematikte önermeler mantığıyla ilgili bazı problemler vardır. Bu tür bir denklemi çözmek için belirli miktarda bilgiye sahip olmanız gerekir: önerme mantığı yasaları bilgisi, 1 veya 2 değişkenli mantıksal fonksiyonların doğruluk tabloları bilgisi, mantıksal ifadeleri dönüştürme yöntemleri. Ayrıca mantıksal işlemlerin şu özelliklerini de bilmeniz gerekir: bağlaç, ayırma, ters çevirme, ima ve eşdeğerlik.

\değişkenler - \'nin herhangi bir mantıksal işlevi bir doğruluk tablosuyla belirtilebilir.

Birkaç mantıksal denklemi çözelim:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

Çözüme \[X1\] ile başlayalım ve bu değişkenin hangi değerleri alabileceğini belirleyelim: 0 ve 1. Daha sonra yukarıdaki değerlerin her birini dikkate alıp \[X2.\]'nin ne olabileceğini göreceğiz.

Tablodan da görülebileceği gibi mantıksal denklemimizin 11 çözümü vardır.

Bir mantık denklemini çevrimiçi olarak nerede çözebilirim?

Denklemi https://sitemizden çözebilirsiniz. Ücretsiz çevrimiçi çözücü, her türlü karmaşıklıktaki çevrimiçi denklemleri birkaç saniye içinde çözmenize olanak tanır. Tek yapmanız gereken, verilerinizi çözücüye girmenizdir. Ayrıca web sitemizde video talimatlarını izleyebilir ve denklemin nasıl çözüleceğini öğrenebilirsiniz. Hala sorularınız varsa, bunları http://vk.com/pocketteacher VKontakte grubumuzda sorabilirsiniz. Grubumuza katılın, size yardımcı olmaktan her zaman mutluluk duyarız.

Değişkenleri değiştirerek mantıksal denklem sistemlerini çözme

Değişkenlerin ikame yöntemi, bazı değişkenlerin denklemlere yalnızca belirli bir ifade biçiminde dahil edilmesi ve başka hiçbir şey içermemesi durumunda kullanılır. Daha sonra bu ifade yeni bir değişkenle gösterilebilir.

Örnek 1.

Aşağıda listelenen tüm koşulları karşılayan x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 mantıksal değişkenlerinin kaç farklı değer kümesi vardır?

(x1 → x2) → (x3→ x4) = 1

(x3 → x4) → (x5 → x6) = 1

(x5 → x6) → (x7 → x8) = 1

Cevabın, bu eşitlik sisteminin karşıladığı x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 değişkenlerinin tüm farklı değer kümelerini listelemesi gerekmez. Cevap olarak bu tür setlerin sayısını belirtmeniz gerekiyor.

Çözüm:

(x1 → x2) = y1; (x3 → x4) = y2; (x5 → x6) = y3; (x7 → x8) = y4.

O zaman sistemi tek bir denklem şeklinde yazabiliriz:

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) = 1. Her işlenen 1 değerini aldığında bağlaç 1'dir (doğru). sonuçların her biri doğru olmalıdır ve bu, (1 → 0) dışındaki tüm değerler için geçerlidir. Onlar. y1, y2, y3, y4 değişkenlerinin değerleri tablosunda sıfırın solunda olmamalıdır:

Onlar. koşullar 5 set y1-y4 için karşılanmıştır.

Çünkü y1 = x1 → x2 ise, y1 = 0 değerine tek bir x1, x2: (1, 0) kümesinde ulaşılır ve y1 = 1 değeri – üç x1, x2: (0,0) , (0 kümesinde) elde edilir ,1), (1.1). Aynı şekilde y2, y3, y4 için de.

y1 değişkenine ait her küme (x1,x2), y2 değişkenine ait her kümeyle (x3,x4) birleştirildiği için, x değişkenlerinin küme sayıları çarpılır:

				x1…x8 başına set sayısı

Küme sayısını toplayalım: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121.

Cevap: 121

Örnek 2.

Aşağıda listelenen tüm koşulları karşılayan x1, x2, ... x9, y1, y2, ... y9 mantıksal değişkenlerinin kaç farklı değer kümesi vardır?

(¬ (x1 ≡ y1)) ≡ (x2 ≡ y2)

(¬ (x2 ≡ y2)) ≡ (x3 ≡ y3)

(¬ (x8 ≡ y8)) ≡ (x9 ≡ y9)

Yanıt olarak gerek yok Verilen eşitlik sisteminin karşılandığı x1, x2, ... x9, y1, y2, ... y9 değişkenlerinin tüm farklı değer kümelerini listeleyin. Cevap olarak bu tür setlerin sayısını belirtmeniz gerekiyor.

Çözüm:

Değişkenlerde değişiklik yapalım:

(x1 ≡ y1) = z1, (x2 ≡ y2) = z2,…. ,(x9 ≡ y9) = z9

Sistem tek bir denklem olarak yazılabilir:

(¬ z1 ≡ z2) ∧ (¬ z2 ≡ z3) ∧ …..∧ (¬ z8 ≡ z9)

Eşdeğerlik yalnızca her iki işlenenin eşit olması durumunda doğrudur. Bu denklemin iki çözüm kümesi vardır:

z1	z2	z3	z4	z5	z6	z7	z8	z9
0	1	0	1	0	1	0	1	0
1	0	1	0	1	0	1	0	1

Çünkü zi = (xi ≡ yi), bu durumda zi = 0 değeri iki (xi,yi) kümesine karşılık gelir: (0,1) ve (1,0) ve zi = 1 değeri iki kümeye (xi,yi) karşılık gelir ): (0 ,0) ve (1,1).

O halde ilk z1, z2,…, z9 kümesi 2 9 kümeye (x1,y1), (x2,y2),…, (x9,y9) karşılık gelir.

Aynı sayı ikinci küme z1, z2,…, z9'a karşılık gelir. O halde toplam 2 9 +2 9 = 1024 küme vardır.

Cevap: 1024

Özyinelemenin görsel olarak belirlenmesi yöntemini kullanarak mantıksal denklem sistemlerini çözme.

Bu yöntem, denklem sisteminin oldukça basit olması ve değişkenleri eklerken küme sayısını artırma sırasının açık olması durumunda kullanılır.

Örnek 3.

Denklem sisteminin kaç farklı çözümü vardır?

¬x9 ∨ x10 = 1,

burada x1, x2, … x10 mantıksal değişkenlerdir?

Cevabın, bu eşitlik sisteminin karşılandığı tüm farklı x1, x2, ... x10 değer kümelerini listelemesi gerekmez. Cevap olarak bu tür setlerin sayısını belirtmeniz gerekiyor.

Çözüm:

İlk denklemi çözelim. Bir ayrıklığın işlenenlerinden en az biri 1'e eşitse 1'e eşittir. çözümler kümelerdir:

x1=0 için x2'nin iki değeri (0 ve 1) vardır ve x1=1 için yalnızca bir x2 (1) değeri vardır, öyle ki (x1,x2) kümesi denklemin bir çözümüdür. Toplamda 3 set bulunmaktadır.

x3 değişkenini toplayalım ve ikinci denklemi ele alalım. İlkine benzer, yani x2=0 için x3'ün iki değeri (0 ve 1) vardır ve x2=1 için yalnızca bir x3 (1) değeri vardır, öyle ki (x2) kümesi ,x3) denklemin çözümüdür. Toplamda 4 set bulunmaktadır.

Başka bir değişken eklerken bir kümenin eklendiğini görmek kolaydır. Onlar. (i+1) değişken kümelerinin sayısı için yinelemeli formül:

N i +1 = N i + 1. O zaman on değişken için 11 küme elde ederiz.

Cevap: 11

Çeşitli türlerdeki mantıksal denklem sistemlerini çözme

Örnek 4.

Aşağıda listelenen tüm koşulları karşılayan x 1, ..., x 4, y 1,..., y 4, z 1,..., z 4 mantıksal değişkenlerinin kaç farklı değer kümesi vardır? ?

(x 1 → x 2) ∧ (x 2 → x 3) ∧ (x 3 → x 4) = 1

(y 1 → y 2) ∧ (y 2 → y 3) ∧ (y 3 → y 4) = 1

(z 1 → z 2) ∧ (z 2 → z 3) ∧ (z 3 → z 4) = 1

x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 = 0

Yanıt olarak gerek yok Bu eşitlik sisteminin karşılandığı x 1, ..., x 4, y 1, ..., y 4, z 1, ..., z 4 değişkenlerinin tüm farklı değer kümelerini listeleyin.

Cevap olarak bu tür setlerin sayısını belirtmeniz gerekiyor.

Çözüm:

Sistemin üç denkleminin farklı bağımsız değişken kümelerinde aynı olduğuna dikkat edin.

İlk denkleme bakalım. Bir bağlaç yalnızca tüm işlenenleri doğruysa (1'e eşit) doğrudur (1'e eşit). Anlamı (1,0) hariç tüm demetlerde 1'dir. Bu, ilk denklemin çözümünün aşağıdaki x1, x2, x3, x4 kümeleri olacağı anlamına gelir; burada 1, 0'ın solunda görünmez (5 küme):

Benzer şekilde, ikinci ve üçüncü denklemlerin çözümleri kesinlikle aynı y1,…,y4 ve z1,…, z4 kümeleri olacaktır.

Şimdi sistemin dördüncü denklemini analiz edelim: x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 = 0. Çözüm, değişkenlerden en az birinin 0'a eşit olduğu tüm x4, y4, z4 kümeleri olacaktır.

Onlar. x4 = 0 için tüm olası kümeler (y4, z4) uygundur ve x4 = 1 için, içinde en az bir sıfırın bulunduğu (y4, z4) kümeleri uygundur: (0, 0), (0,1) ), (1, 0).

				Set sayısı

Toplam set sayısı 25 + 4*9 = 25 + 36 = 61'dir.

Cevap: 61

Tekrarlayan formüller oluşturarak mantıksal denklem sistemlerini çözme

Tekrarlayan formüller oluşturma yöntemi, küme sayısını artırma sırasının belli olmadığı ve hacimler nedeniyle bir ağaç oluşturmanın imkansız olduğu karmaşık sistemleri çözerken kullanılır.

Örnek 5.

Aşağıda listelenen tüm koşulları karşılayan x1, x2, ... x7, y1, y2, ... y7 mantıksal değişkenlerinin kaç farklı değer kümesi vardır?

(x1 ∨ y1) ∧ ((x2 ∧ y2) → (x1 ∧ y1)) = 1

(x2 ∨ y2) ∧ ((x3 ∧ y3) → (x2 ∧ y2)) = 1

(x6 ∨ y6) ∧ ((x7 ∧ y7) → (x6 ∧ y6)) = 1

Cevapta, bu eşitlik sisteminin karşılandığı x1, x2, ..., x7, y1, y2, ..., y7 değişkenlerinin tüm farklı değer kümelerinin listelenmesine gerek yoktur. Cevap olarak bu tür setlerin sayısını belirtmeniz gerekiyor.

Çözüm:

Sistemin ilk altı denkleminin aynı olduğuna ve yalnızca değişkenler kümesinde farklı olduğuna dikkat edin. İlk denkleme bakalım. Çözümü aşağıdaki değişken kümeleri olacaktır:

Şunu belirtelim:

(x1,y1)'den A 1'e kadar değişkenlerdeki tuple sayısı (0,0),

(x1,y1)'den B 1'e kadar değişkenlerdeki tuple sayısı (0,1),

(x1,y1)'den C 1'e kadar değişkenlerdeki tuple sayısı (1,0),

(x1,y1)'den D 1'e kadar olan değişkenlerdeki (1,1) dizilerinin sayısı.

(x2,y2) ile A 2 arasındaki değişkenlerdeki tuple sayısı (0,0),

(x2,y2)'den B 2'ye kadar değişkenlerdeki tuple sayısı (0,1),

(x2,y2)'den C2'ye kadar değişkenlerdeki tuple sayısı (1,0),

(x2,y2)'den D 2'ye kadar değişkenlerdeki (1,1) demetlerinin sayısı.

Karar ağacından şunu görüyoruz

A 1 =0, B 1 =1, C 1 =1, D 1 =1.

(x2,y2) değişkenleri üzerindeki (0,0) kümesinin, (x1,y1) değişkenleri üzerindeki (0,1), (1,0) ve (1,1) kümelerinden elde edildiğine dikkat edin. Onlar. A 2 =B 1 +C 1 +D 1.

(x2,y2) değişkenleri üzerindeki (0,1) kümesi, (x1,y1) değişkenleri üzerindeki (0,1), (1,0) ve (1,1) kümelerinden elde edilir. Onlar. B 2 =B 1 +C 1 +D 1.

Benzer şekilde tartışarak C 2 =B 1 +C 1 +D 1 olduğunu görüyoruz. D2 = D1.

Böylece tekrarlayan formüller elde ederiz:

A i+1 = B ben + C ben + D ben

B ben+1 = B ben + C ben + D ben

C ben+1 = B ben + C ben + D ben

D ben+1 = A ben +B ben + C ben + D ben

Hadi bir masa yapalım

Setler	Tanım.	Formül	Set sayısı
Setler	Tanım.	Formül	ben=1	ben=2	ben=3	ben=4	ben=5	i=6	i=7
(0,0)	bir ben	A i+1 =B i +C i +D i	0	3	7	15	31	63	127
(0,1)	B ben	B i+1 =B i +C i +D i	1	3	7	15	31	63	127
(1,0)	C ben	C i+1 =B i +C i +D i	1	3	7	15	31	63	127
(1,1)	D ben	D ben+1 =D ben	1	1	1	1	1	1	1

Son denklem (x7 ∨ y7) = 1, x7=0 ve y7=0 dışındaki tüm kümeler tarafından sağlanır. Tablomuzda bu tür setlerin sayısı A 7'dir.

O halde toplam küme sayısı B 7 + C 7 + D 7 = 127+127+1 = 255

Cevap: 255

Hizmetin amacı. Çevrimiçi hesap makinesi aşağıdakiler için tasarlanmıştır: mantıksal bir ifade için doğruluk tablosu oluşturma.
Doğruluk tablosu – giriş değişkenlerinin tüm olası kombinasyonlarını ve bunlara karşılık gelen çıkış değerlerini içeren bir tablo.
Doğruluk tablosu 2n satır içerir; burada n giriş değişkenlerinin sayısıdır ve n+m sütunlardır, burada m çıkış değişkenleridir.

Talimatlar. Klavyeden girerken aşağıdaki gösterimleri kullanın: Örneğin, abc+ab~c+a~bc mantıksal ifadesi şu şekilde girilmelidir: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Verileri mantıksal bir diyagram biçiminde girmek için bu hizmeti kullanın.

Mantıksal bir işlev girme kuralları

V (ayrılma, OR) sembolü yerine + işaretini kullanın.
Mantıksal bir fonksiyondan önce bir fonksiyon tanımının belirtilmesine gerek yoktur. Örneğin, F(x,y)=(x|y)=(x^y) yerine basitçe (x|y)=(x^y) girmeniz gerekir.
Maksimum değişken sayısı 10'dur.

Bilgisayar mantık devrelerinin tasarımı ve analizi, matematiğin özel bir dalı olan mantık cebiri kullanılarak gerçekleştirilir. Mantık cebirinde üç ana mantıksal fonksiyon ayırt edilebilir: “DEĞİL” (olumsuzlama), “VE” (bağlaç), “OR” (ayrılma).
Herhangi bir mantıksal aygıt oluşturmak için, her bir çıkış değişkeninin mevcut giriş değişkenlerine bağımlılığını belirlemek gerekir; bu bağımlılığa anahtarlama işlevi veya mantıksal cebir işlevi denir.
Mantıksal cebir fonksiyonu, değerlerinin tümü 2n verilirse tamamen tanımlanmış olarak adlandırılır; burada n, çıkış değişkenlerinin sayısıdır.
Tüm değerler tanımlanmamışsa fonksiyona kısmen tanımlanmış denir.
Bir cihazın durumu bir mantık cebir fonksiyonu kullanılarak açıklanıyorsa cihaza mantıksal denir.
Mantıksal bir cebir fonksiyonunu temsil etmek için aşağıdaki yöntemler kullanılır:
Cebirsel formda, mantıksal elemanları kullanarak mantıksal bir cihazın devresini oluşturabilirsiniz.

Şekil 1 - Mantıksal cihaz şeması

Mantık cebirinin tüm işlemleri tanımlanmıştır doğruluk tabloları değerler. Doğruluk tablosu bir işlemin sonucunu belirler. herkes mümkün Orijinal ifadelerin x mantıksal değerleri. Uygulama işlemlerinin sonucunu yansıtan seçeneklerin sayısı, mantıksal ifadedeki ifadelerin sayısına bağlı olacaktır. Mantıksal bir ifadedeki ifadelerin sayısı N ise, olası argüman değerlerinin 2 N farklı kombinasyonu olduğundan doğruluk tablosu 2 N satır içerecektir.

NOT Operasyonu - mantıksal olumsuzlama (tersine çevirme)

Basit veya karmaşık bir mantıksal ifade olabilen tek bir argümana mantıksal bir işlem UYGULANMAZ. İşlemin sonucu aşağıdaki DEĞİLDİR:

orijinal ifade doğruysa, onun olumsuzlanmasının sonucu yanlış olacaktır;
orijinal ifade yanlışsa, olumsuzlamanın sonucu doğru olacaktır.

Olumsuzlama işlemi için aşağıdaki kurallar kabul edilmez:
A değil, Ā, A değil, ¬A, !A
Olumsuzlama işleminin sonucu aşağıdaki doğruluk tablosuna göre BELİRTİLMEZ:

A	A değil
0	1
1	0

Olumsuzlama işleminin sonucu, orijinal ifade yanlış olduğunda doğrudur ve bunun tersi de geçerlidir.

VEYA işlemi - mantıksal toplama (ayırma, birleştirme)

Mantıksal VEYA işlemi, basit veya karmaşık bir mantıksal ifade olabilen iki ifadeyi birleştirme işlevini yerine getirir. Mantıksal bir işlemin başlangıç noktası olan ifadelere argümanlar denir. OR işleminin sonucu, yalnızca orijinal ifadelerden en az birinin doğru olması durumunda doğru olacak bir ifadedir.
Kullanılan tanımlar: A veya B, A V B, A veya B, A||B.
VEYA işleminin sonucu aşağıdaki doğruluk tablosuyla belirlenir:
VEYA işleminin sonucu, A doğru olduğunda veya B doğru olduğunda veya hem A hem de B doğru olduğunda doğrudur; A ve B argümanları yanlış olduğunda yanlıştır.

VE Operasyonu - mantıksal çarpma (bağlaç)

AND mantıksal işlemi, basit veya karmaşık bir mantıksal ifade olabilen iki ifadenin (argümanların) kesişme işlevini gerçekleştirir. AND işleminin sonucu, yalnızca her iki orijinal ifadenin de doğru olması durumunda doğru olacak bir ifadedir.
Kullanılan tanımlar: A ve B, A Λ B, A & B, A ve B.
AND işleminin sonucu aşağıdaki doğruluk tablosuyla belirlenir:

A	B	A ve B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

AND işleminin sonucu, yalnızca A ve B ifadelerinin her ikisinin de doğru olması ve diğer tüm durumlarda yanlış olması durumunda doğrudur.

“EĞER-SONRA” işlemi - mantıksal sonuç (gösterim)

Bu işlem, birincisi bir koşul, ikincisi ise bu koşulun bir sonucu olan iki basit mantıksal ifadeyi birbirine bağlar.
Kullanılan tanımlar:
A ise B; A, B'yi gerektirir; eğer A ise B; A→B.
Doğruluk tablosu:

A	B	bir → B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Çıkarım işleminin sonucu yalnızca A öncülü doğru ve B sonucu (sonuç) yanlışsa yanlıştır.

“A ancak ve ancak B ise” işlemi (eşdeğerlik, eşdeğerlik)

Kullanılan gösterim: A ↔ B, A ~ B.
Doğruluk tablosu:

A	B	A↔B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

"Ekleme modulo 2" işlemi (XOR, özel veya kesin ayırma)

Kullanılan gösterim: A XOR B, A ⊕ B.
Doğruluk tablosu:

A	B	A⊕B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Eşdeğerlik işleminin sonucu yalnızca A ve B'nin aynı anda hem doğru hem de yanlış olması durumunda doğrudur.

Mantıksal işlemlerin önceliği

Parantez içindeki eylemler
İnversiyon
Bağlaç (&)
Ayrıklık (V), Özel OR (XOR), toplam modulo 2
Anlam (→)
Eşdeğerlik (↔)

Mükemmel ayırıcı normal form

Bir formülün mükemmel ayırıcı normal formu(SDNF), temel bağlaçların ayrılması olan ve aşağıdaki özelliklere sahip olan eşdeğer bir formüldür:

Formülün her mantıksal terimi, F(x 1,x 2,...x n) fonksiyonunda yer alan tüm değişkenleri içerir.
Formülün tüm mantıksal terimleri farklıdır.
Tek bir mantıksal terim bile bir değişkeni ve onun olumsuzlanmasını içermez.
Bir formüldeki hiçbir mantıksal terim aynı değişkeni iki kez içermez.

SDNF, doğruluk tabloları veya eşdeğer dönüşümler kullanılarak elde edilebilir.
Her işlev için SDNF ve SCNF, permütasyona kadar benzersiz şekilde tanımlanır.

Mükemmel birleştirici normal form

Bir formülün mükemmel konjonktif normal formu (SCNF) Bu, temel ayrımların bir birleşimi olan ve aşağıdaki özellikleri karşılayan, ona eşdeğer bir formüldür:

Tüm temel ayrımlar F(x 1 ,x 2 ,...x n) fonksiyonunda yer alan tüm değişkenleri içerir.
Tüm temel ayrımlar farklıdır.
Her temel ayrım bir kez bir değişken içerir.
Tek bir temel ayrım bile bir değişkeni ve onun olumsuzlanmasını içermez.

142. Denklemin en büyük tek baytlık ikili çözümünü bulun
.

143. Bul X, Eğer .

144. İfadelerin sırası aşağıdaki yinelenen ilişkiyle belirlenir: . İfadeler verilmiştir ve hem doğru hem de yanlış. İfade doğru mu, yanlış mı? Nasıl ifade edilir?

145. Mantıksal bir denklemin kaç farklı çözümü vardır?
?

146. Mantıksal bir denklemin kaç farklı çözümü vardır?
?

147. Mantıksal bir denklemin kaç farklı çözümü vardır:
.

148. Mantıksal denklemin kaç farklı çözümü vardır: .

149. Mantıksal bir denklemin kaç farklı çözümü vardır: .

150. Mantıksal denklemin kaç farklı çözümü vardır: .

151. Mantıksal bir denklemin kaç farklı çözümü vardır:
.

152. Denklemi çözün:

153. Denklemin tüm farklı çözümlerini bulun: .

Mantıksal bir denklemin köklerini bulun:

Mantıksal denklem sistemlerinin köklerini bulun:

Aşağıdaki mantıksal denklem sistemlerinin çözüm sayısını bulun:

X 3

ben 2

ben 3

Noktalar arasındaki elektrik devresi M Ve Nşekilde gösterilen şemaya göre derlenmiştir. Aşağıdaki dört ifadeyi göz önünde bulundurun:
A= (Zincir elemanı k bozuk)
B ben= (Zincir elemanı ben ben bozuk). Aşağıdaki durumlarda devre kapalı mıdır:
a) ifade doğrudur,
b) ifade doğru mu?
Bu ifadelerden biri diğerinin reddi midir?

183. (Ekonomi sorunu) Üç katlı bir binanın girişi için herhangi bir kattaki anahtarın tüm girişteki ışıkları açıp kapatabileceği bir elektrik devre şeması oluşturun.

184. (Acil durum makinesi) Atölye sahasında üç makine var - iki işçi, üçüncü acil durum makinesi. Üçüncü makinenin ancak o zaman ve ilk iki makineden en az biri durduğunda açılması için makinelerin otomatik bir hatla bağlanması gerekir.

185. Belirli bir yarışmada belirli bir katılımcının bir sonraki tura kabul edilmesi konusunun üç jüri üyesi tarafından karara bağlandığını varsayalım: A, B, C. Karar, yalnızca en az iki jüri üyesinin kabul lehine olması ve jüri başkanının da aralarında olması durumunda olumludur. İLE. Her jüri üyesinin "Kabul" veya "Aleyhte" olmak üzere iki düğmeden birine bastığı ve üç jüri üyesinin de oylama sonucunun sinyal ışığının yanıp yanmadığına göre belirlendiği bir oylama cihazı geliştirmek gerekir (karar verilir) ) ya da değil (karar verilmedi).

186. Üç öğretmen Olimpiyat için problemleri seçiyor. Aralarından seçim yapabileceğiniz çeşitli görevler var. Her görev için her öğretmen kendi görüşünü ifade eder: kolay bir görev (0) veya zor bir görev (1). Bir görev, en az iki öğretmen tarafından zor olarak işaretlenirse Olimpiyat görevine dahil edilir, ancak üç öğretmenin tümü de zor olarak değerlendirilirse, o zaman böyle bir görev Olimpiyat görevine çok zor olarak dahil edilmez. Görev Olimpiyat görevine dahilse 1, dahil değilse 0 çıktısı verecek bir cihazın işlevsel diyagramını çizin.

187. Aşağıdaki mantıksal devrenin yapısal formülünü yazın:

191. Yalnızca iki konektör ve bir invertör var. Bu üç mantıksal elemandan (kapılardan) ifade devresine eşdeğer bir mantıksal devre oluşturmak mümkün müdür? Bu diyagram neye benziyor?

192. Sadece 1 konjonktör, 1 ayırıcı ve 1 evirici bulunmaktadır. Bu elemanlardan mantıksal ifade devresine eşdeğer bir mantıksal devre oluşturmak mümkün müdür? Üç valfin de kullanılması gerekir. Bu diyagram neye benziyor?