Boltzmann'ın sabit ölçü birimi. Boltzmann sabitinin fiziksel özü

Kelebekler elbette yılanlar hakkında hiçbir şey bilmiyorlar. Ancak kelebekleri avlayan kuşlar onları biliyor. Yılanları iyi tanımayan kuşların...

Kara cisim ışınımının enerjisiyle ilgili bir sabit için bkz. Stefan-Boltzmann Sabiti

Boltzmann sabiti (k veya k B) bir maddenin sıcaklığı ile bu maddenin parçacıklarının termal hareket enerjisi arasındaki ilişkiyi belirleyen fiziksel bir sabittir. Adını, bu sabitin önemli bir rol oynadığı istatistiksel fiziğe büyük katkılarda bulunan Avusturyalı fizikçi Ludwig Boltzmann'dan almıştır. SI sistemindeki deneysel değeri

Tabloda parantez içindeki son rakamlar sabit değerin standart hatasını göstermektedir. Prensip olarak Boltzmann sabiti mutlak sıcaklık ve diğer fiziksel sabitlerin tanımından elde edilebilir. Bununla birlikte, Boltzmann sabitini ilk prensipleri kullanarak doğru bir şekilde hesaplamak çok karmaşıktır ve mevcut bilgi durumuyla mümkün değildir.

Boltzmann sabiti, yayan cismin belirli bir sıcaklığında denge radyasyonu spektrumundaki enerji dağılımını ve diğer yöntemleri tanımlayan Planck'ın termal radyasyon yasası kullanılarak deneysel olarak belirlenebilir.

Evrensel gaz sabiti ile Avogadro sayısı arasında bir ilişki vardır ve buradan Boltzmann sabitinin değeri çıkar:

Boltzmann sabitinin boyutu entropininkiyle aynıdır.

Hikaye

1877'de Boltzmann ilk kez entropi ile olasılığı ilişkilendirdi, ancak sabitin oldukça doğru bir değeri vardı. k entropi formülünde bir bağlantı katsayısı olarak yalnızca M. Planck'ın çalışmalarında ortaya çıktı. Kara cisim radyasyonu yasasını türetirken, 1900–1901'de Planck. Boltzmann sabiti için, şu anda kabul edilen değerden neredeyse %2,5 daha az olan 1,346 · 10 −23 J/K değerini buldu.

1900'den önce Boltzmann sabiti ile yazılan ilişkiler gaz sabiti kullanılarak yazılıyordu. R Molekül başına ortalama enerji yerine maddenin toplam enerjisi kullanıldı. Formun özlü formülü S = k kayıt K Boltzmann'ın büstü Planck sayesinde böyle oldu. Planck 1920'deki Nobel konferansında şunları yazdı:

Bu sabite genellikle Boltzmann sabiti denir, ancak bildiğim kadarıyla Boltzmann bunu asla tanıtmadı - Boltzmann'ın açıklamalarında bu sabitin kesin ölçümünden bahsetmemesine rağmen garip bir durum.

Bu durum, maddenin atomik yapısının özünü açıklığa kavuşturmak için o dönemde devam eden bilimsel tartışmalarla açıklanabilir. 19. yüzyılın ikinci yarısında atom ve moleküllerin gerçek olup olmadığı ya da sadece olguları tanımlamanın uygun bir yolu olup olmadığı konusunda ciddi anlaşmazlıklar vardı. Atomik kütleleriyle ayırt edilen "kimyasal moleküllerin" kinetik teoridekiyle aynı moleküller olup olmadığı konusunda da bir fikir birliği yoktu. Planck'ın Nobel dersinin devamında aşağıdakileri bulabiliriz:

"Moleküllerin kütlesini bir gezegenin kütlesini ölçmekle hemen hemen aynı doğrulukla ölçmek için birçok yöntemin aynı anda keşfedildiği son yirmi yıldaki pozitif ve artan ilerleme hızını deney sanatından daha iyi hiçbir şey gösteremez. ”

İdeal gaz hal denklemi

İdeal bir gaz için basınca ilişkin birleşik gaz kanunu geçerlidir P, hacim V, madde miktarı N mol cinsinden, gaz sabiti R ve mutlak sıcaklık T:

Bu eşitlikte oyuncu değişikliği yapabilirsiniz. Daha sonra gaz kanunu Boltzmann sabiti ve molekül sayısı aracılığıyla ifade edilecektir. N gaz hacminde V:

Sıcaklık ve enerji arasındaki ilişki

Mutlak sıcaklıkta homojen bir ideal gazda T Maxwell dağılımından aşağıdaki gibi her öteleme serbestlik derecesi başına enerji eşittir, kT/ 2 . Oda sıcaklığında (≈ 300 K) bu enerji J veya 0,013 eV'dir.

Gaz termodinamiği ilişkileri

Tek atomlu bir ideal gazda, her atomun üç uzaysal eksene karşılık gelen üç serbestlik derecesi vardır; bu, her atomun enerjisinin 3 olduğu anlamına gelir. kT/ 2 . Bu, deneysel verilerle oldukça uyumludur. Termal enerjiyi bildiğimizde, atom kütlesinin kareköküyle ters orantılı olan atomların ortalama kare hızının kökünü hesaplayabiliriz. Oda sıcaklığında ortalama kare hız, helyum için 1370 m/s'den ksenon için 240 m/s'ye kadar değişir.

Kinetik teori ortalama basınç için bir formül verir P ideal gaz:

Doğrusal hareketin ortalama kinetik enerjisinin şuna eşit olduğu düşünülürse:

ideal bir gazın durum denklemini buluruz:

Bu ilişki moleküler gazlar için de geçerlidir; ancak ısı kapasitesinin bağımlılığı değişir, çünkü moleküller, moleküllerin uzaydaki hareketiyle ilişkili serbestlik derecelerine göre ek iç serbestlik derecelerine sahip olabilir. Örneğin iki atomlu bir gazın halihazırda yaklaşık beş serbestlik derecesi vardır.

Boltzmann çarpanı

Genel olarak sistem belirli bir sıcaklıkta bir termal rezervuar ile dengededir. T bir olasılık var P bir enerji durumunu işgal etmek e karşılık gelen üstel Boltzmann çarpanı kullanılarak yazılabilir:

Bu ifade miktarı içerir kT enerji boyutuyla.

Olasılık hesaplaması yalnızca ideal gazların kinetik teorisindeki hesaplamalar için değil, aynı zamanda diğer alanlarda da, örneğin Arrhenius denklemindeki kimyasal kinetikte kullanılır.

Entropinin istatistiksel olarak belirlenmesindeki rolü

Ana makale: Termodinamik entropi

Entropi Sİzole edilmiş bir termodinamik sistemin termodinamik dengedeki durumu, farklı mikro durumların sayısının doğal logaritması yoluyla belirlenir. K belirli bir makroskobik duruma karşılık gelen (örneğin, belirli bir toplam enerjiye sahip bir durum) e):

Orantılılık faktörü k Boltzmann sabitidir. Bu, mikroskobik ve makroskobik durumlar arasındaki ilişkiyi tanımlayan bir ifadedir (aracılığıyla) K ve entropi S buna göre), istatistiksel mekaniğin ana fikrini ifade eder ve Boltzmann'ın ana keşfidir.

Klasik termodinamik entropi için Clausius ifadesini kullanır:

Böylece Boltzmann sabitinin ortaya çıkışı k entropinin termodinamik ve istatistiksel tanımları arasındaki bağlantının bir sonucu olarak görülebilir.

Entropi birimlerle ifade edilebilir k, aşağıdakileri verir:

Bu tür birimlerde entropi, bilgi entropisine tam olarak karşılık gelir.

Karakteristik enerji kT entropiyi artırmak için gereken ısı miktarına eşit S"bir nat için.

Yarı iletken fiziğindeki rolü: termal stres

Diğer maddelerin aksine, yarı iletkenlerde elektriksel iletkenliğin sıcaklığa güçlü bir bağımlılığı vardır:

burada σ 0 faktörü üstel değerle karşılaştırıldığında sıcaklığa oldukça zayıf bağlıdır, EA– iletim aktivasyon enerjisi. İletim elektronlarının yoğunluğu da üstel olarak sıcaklığa bağlıdır. Yarı iletken bir p-n ekleminden geçen akım için aktivasyon enerjisi yerine belirli bir p-n ekleminin sıcaklıktaki karakteristik enerjisini düşünün. T Bir elektrik alanındaki bir elektronun karakteristik enerjisi olarak:

Nerede Q- , A V T Sıcaklığa bağlı olarak termal stres vardır.

Bu ilişki Boltzmann sabitini eV∙K −1 birimleriyle ifade etmenin temelini oluşturur. Oda sıcaklığında (≈ 300 K) termal voltaj değeri yaklaşık 25,85 milivolt ≈ 26 mV'dir.

Klasik teoride, bir maddedeki yük taşıyıcılarının etkin hızının, taşıyıcı hareketliliği μ ve elektrik alan kuvvetinin çarpımına eşit olduğu bir formül sıklıkla kullanılır. Başka bir formül, taşıyıcı akı yoğunluğunu difüzyon katsayısıyla ilişkilendirir D ve taşıyıcı konsantrasyon gradyanı ile N :

Einstein-Smoluchowski ilişkisine göre difüzyon katsayısı hareketlilikle ilgilidir:

Boltzmann sabiti k metallerde ısıl iletkenlik katsayısının elektriksel iletkenlik katsayısına oranının sıcaklıkla ve Boltzmann sabitinin elektrik yüküne oranının karesiyle orantılı olduğunu belirten Wiedemann-Franz yasasına da dahildir.

Diğer alanlardaki uygulamalar

Maddenin davranışının kuantum veya klasik yöntemlerle tanımlandığı sıcaklık bölgelerini sınırlamak için Debye sıcaklığı kullanılır:

Tam bir niceliksel bilim olarak fizik, belirli nicelikler arasında ilişkiler kuran denklemlere evrensel katsayılar olarak dahil edilen bir dizi çok önemli sabit olmadan yapamaz. Bunlar temel sabitlerdir, bu tür ilişkiler sayesinde değişmez hale gelirler ve fiziksel sistemlerin davranışlarını farklı ölçeklerde açıklayabilirler.

Evrenimizin maddesinin doğasında var olan özellikleri karakterize eden parametreler arasında, en önemli denklemlerin birçoğunda yer alan Boltzmann sabiti yer alır. Ancak özelliklerine ve önemine geçmeden önce, adını taşıdığı bilim adamı hakkında birkaç söz söylemeden geçemeyeceğiz.

Ludwig Boltzmann: bilimsel başarılar

19. yüzyılın en büyük bilim adamlarından biri olan Avusturyalı Ludwig Boltzmann (1844-1906), istatistiksel mekaniğin yaratıcılarından biri olarak moleküler kinetik teorinin gelişimine önemli katkılarda bulundu. İdeal bir gazın tanımında istatistiksel bir yöntem olan ergodik hipotezin ve fiziksel kinetiğin temel denkleminin yazarıydı. Termodinamik (Boltzmann'ın H-teoremi, termodinamiğin ikinci yasası için istatistiksel prensip), radyasyon teorisi (Stefan-Boltzmann yasası) konularında çok çalıştı. Eserlerinde elektrodinamik, optik ve fiziğin diğer dallarına ait bazı konulara da değindi. Adı, aşağıda tartışılacak olan iki fiziksel sabitle ölümsüzleştirilmiştir.

Ludwig Boltzmann, maddenin atomik-moleküler yapısı teorisinin ikna edici ve tutarlı bir destekçisiydi. Birçok fizikçinin atomları ve molekülleri gereksiz bir soyutlama, en iyi ihtimalle hesaplamalara kolaylık sağlayan geleneksel bir araç olarak gördüğü dönemin bilim camiasında uzun yıllar boyunca bu fikirlerin yanlış anlaşılması ve reddedilmesiyle mücadele etmek zorunda kaldı. Acı verici bir hastalık ve muhafazakar meslektaşlarının saldırıları, Boltzmann'ı şiddetli bir depresyona sürükledi ve bu, dayanamayan seçkin bilim adamının intihar etmesine yol açtı. Boltzmann'ın büstünün üstündeki mezar anıtında, onun erdemlerinin tanınmasının bir işareti olarak, onun verimli bilimsel çalışmasının sonuçlarından biri olan S = k∙logW denklemi kazınmıştır. Bu denklemdeki k sabiti Boltzmann sabitidir.

Moleküllerin enerjisi ve maddenin sıcaklığı

Sıcaklık kavramı, belirli bir cismin ısınma derecesini karakterize etmeye yarar. Fizikte, bir maddenin parçacıklarının termal hareketinin enerji miktarını yansıtan bir ölçü olarak sıcaklıkla ilgili moleküler kinetik teorinin sonucuna dayanan mutlak bir sıcaklık ölçeği kullanılır (tabii ki maddenin ortalama kinetik enerjisi anlamına gelir). bir dizi parçacık).

CGS sisteminde kullanılan hem SI joule hem de erg, moleküllerin enerjisini ifade edemeyecek kadar büyük birimlerdi ve pratikte sıcaklığı bu şekilde ölçmek çok zordu. Uygun bir sıcaklık birimi derecedir ve ölçüm, bir maddenin değişen makroskobik özelliklerinin (örneğin hacim) kaydedilmesi yoluyla dolaylı olarak gerçekleştirilir.

Enerji ve sıcaklık arasında nasıl bir ilişki vardır?

Normale yakın sıcaklık ve basınçlarda gerçek maddenin durumlarını hesaplamak için ideal bir gaz modeli, yani moleküler boyutu belirli bir miktardaki gazın kapladığı hacimden ve aralarındaki mesafeden çok daha küçük olan bir gaz modeli başarıyla kullanılır. parçacıklar etkileşimlerinin yarıçapını önemli ölçüde aşar. Kinetik teorinin denklemlerine dayanarak, bu tür parçacıkların ortalama enerjisi E av = 3/2∙kT olarak belirlenir, burada E kinetik enerjidir, T sıcaklıktır ve 3/2∙k denklemin ortaya koyduğu orantı katsayısıdır. Boltzmann. Buradaki 3 sayısı, moleküllerin üç uzaysal boyutta öteleme hareketinin serbestlik derecesinin sayısını karakterize eder.

Daha sonra Avusturyalı fizikçinin onuruna Boltzmann sabiti olarak adlandırılan k değeri, bir joule veya erg'in ne kadarının bir derece içerdiğini gösterir. Başka bir deyişle, değeri, tek atomlu ideal bir gazın bir parçacığının termal kaotik hareketinin enerjisinin, sıcaklıktaki 1 derecelik artışla ortalama olarak istatistiksel olarak ne kadar arttığını belirler.

Bir derece bir joule'den kaç kat daha küçüktür?

Bu sabitin sayısal değeri, örneğin mutlak sıcaklık ve basıncın ölçülmesi, ideal gaz denkleminin kullanılması veya Brownian hareket modelinin kullanılması gibi çeşitli yollarla elde edilebilir. Bu değerin teorik olarak türetilmesi mevcut bilgi düzeyinde mümkün değildir.

Boltzmann sabiti 1,38 × 10-23 J/K'ye eşittir (burada K, mutlak sıcaklık ölçeğinde bir derece olan kelvindir). 1 mol ideal gazdaki (22,4 litre) bir parçacık grubu için, enerjinin sıcaklığa ilişkin katsayısı (evrensel gaz sabiti), Boltzmann sabitinin Avogadro sayısı (bir moldeki molekül sayısı) ile çarpılmasıyla elde edilir: R = kN A ve 8,31 J/(mol∙kelvin)'dir. Bununla birlikte, ikincisinden farklı olarak Boltzmann sabiti, diğer önemli ilişkilere dahil olduğu ve aynı zamanda başka bir fiziksel sabiti belirlemeye hizmet ettiği için doğası gereği daha evrenseldir.

Moleküler enerjilerin istatistiksel dağılımı

Maddenin makroskopik durumları geniş bir parçacık topluluğunun davranışının sonucu olduğundan, bunlar istatistiksel yöntemler kullanılarak tanımlanır. İkincisi ayrıca gaz moleküllerinin enerji parametrelerinin nasıl dağıldığını bulmayı da içerir:

• Kinetik enerjilerin (ve hızların) Maxwell dağılımı. Denge durumundaki bir gazda çoğu molekülün, en olası v = √(2kT/m 0) hızına yakın hızlara sahip olduğunu gösterir; burada m 0, molekülün kütlesidir.
• Herhangi bir kuvvetin, örneğin Dünya'nın yerçekimi alanında bulunan gazlar için potansiyel enerjilerin Boltzmann dağılımı. Bu, iki faktör arasındaki ilişkiye bağlıdır: Dünya'ya olan çekim ve gaz parçacıklarının kaotik termal hareketi. Sonuç olarak, moleküllerin potansiyel enerjisi ne kadar düşükse (gezegenin yüzeyine yakınsa), konsantrasyonları o kadar yüksek olur.

Her iki istatistiksel yöntem, e - E/ kT üstel faktörünü içeren bir Maxwell-Boltzmann dağılımı halinde birleştirilir; burada E, kinetik ve potansiyel enerjilerin toplamıdır ve kT, bizim tarafımızdan zaten bilinen, tarafından kontrol edilen termal hareketin ortalama enerjisidir. Boltzmann sabiti.

Sabit k ve entropi

Genel anlamda entropi, termodinamik bir sürecin tersinmezliğinin bir ölçüsü olarak tanımlanabilir. Bu geri döndürülemezlik, enerjinin dağılmasıyla - dağılmasıyla - ilişkilidir. Boltzmann tarafından önerilen istatistiksel yaklaşımda entropi, fiziksel bir sistemin durumunu değiştirmeden gerçekleştirilebileceği yolların sayısının bir fonksiyonudur: S = k∙lnW.

Burada k sabiti, sistem uygulama seçeneklerinin veya mikrodurumların bu sayısındaki (W) artışla entropi artışının ölçeğini belirtir. Bu formülü modern haline getiren Max Planck, k sabitine Boltzmann adının verilmesini önerdi.

Stefan-Boltzmann radyasyon yasası

Tamamen siyah bir cismin enerjik parlaklığının (birim yüzey başına radyasyon gücü) sıcaklığına nasıl bağlı olduğunu belirleyen fiziksel yasa, j = σT4 biçimindedir, yani vücut, sıcaklığının dördüncü kuvvetiyle orantılı olarak yayılır. Bu yasa, örneğin astrofizikte kullanılır, çünkü yıldızların radyasyonu karakteristik olarak kara cisim radyasyonuna yakındır.

Bu ilişkide olayın ölçeğini de kontrol eden başka bir sabit daha vardır. Bu, yaklaşık 5,67 × 10-8 W/(m 2 ∙K 4) olan Stefan-Boltzmann sabiti σ'dur. Boyutu kelvinleri içerir; bu da Boltzmann sabiti k'nin de burada dahil olduğu anlamına gelir. Aslında σ değeri (2π 2 ∙k 4)/(15c 2 h 3) olarak tanımlanır; burada c ışık hızı ve h Planck sabitidir. Böylece Boltzmann sabiti, diğer dünya sabitleriyle birleştiğinde, yine enerji (güç) ve sıcaklığı (bu durumda radyasyonla ilişkili olarak) birbirine bağlayan bir miktar oluşturur.

Boltzmann sabitinin fiziksel özü

Yukarıda Boltzmann sabitinin temel sabitler olarak adlandırılanlardan biri olduğu belirtilmişti. Mesele sadece mikroskobik olayların moleküler düzeydeki özellikleri ile makrokozmosta gözlemlenen süreçlerin parametreleri arasında bir bağlantı kurmamıza izin vermesi değil. Ve bu sabit sadece bir dizi önemli denklemde yer almıyor.

Teorik olarak türetilebilecek herhangi bir fiziksel prensibin olup olmadığı şu anda bilinmiyor. Başka bir deyişle, verilen bir sabitin değerinin tam olarak bu olması gerektiği sonucu çıkmaz. Parçacıkların kinetik enerjilerine uyum ölçüsü olarak derece yerine başka nicelikler ve başka birimler kullanabilirdik, o zaman sabitin sayısal değeri farklı olurdu ama sabit bir değer olarak kalırdı. Bu türden diğer temel niceliklerin yanı sıra - sınırlayıcı hız c, Planck sabiti h, temel yük e, yerçekimi sabiti G - bilim, Boltzmann sabitini dünyamızın verili bir değeri olarak kabul eder ve onu fiziksel evrenin teorik bir tanımı için kullanır. içinde meydana gelen süreçler.

Boltzmann sabiti (k veya k B) ve arasındaki ilişkiyi tanımlayan fiziksel bir sabittir. Bu sabitin önemli bir rol oynadığı alana büyük katkılarda bulunan Avusturyalı fizikçinin adını almıştır. Sistemdeki deneysel değeri

Parantez içindeki sayılar miktar değerinin son basamaklarındaki standart hatayı gösterir. Prensip olarak Boltzmann sabiti mutlak sıcaklık ve diğer fiziksel sabitlerin tanımından elde edilebilir. Bununla birlikte, Boltzmann sabitini ilk ilkeleri kullanarak hesaplamak çok karmaşıktır ve mevcut bilgi düzeyiyle mümkün değildir. Planck birimlerinin doğal sisteminde, sıcaklığın doğal birimi Boltzmann sabiti birliğe eşit olacak şekilde verilmiştir.

Sıcaklık ve enerji arasındaki ilişki.

Entropinin tanımı.

Bir termodinamik sistem, belirli bir makroskopik duruma (örneğin, belirli bir toplam enerjiye sahip bir duruma) karşılık gelen farklı Z mikrodurumlarının sayısının doğal logaritması olarak tanımlanır.

Orantılılık faktörü k ve Boltzmann sabitidir. Mikroskobik (Z) ve makroskobik durumlar (S) arasındaki ilişkiyi tanımlayan bu ifade, istatistiksel mekaniğin ana fikrini ifade eder.

Boltzmann Ludwig (1844-1906)- moleküler kinetik teorinin kurucularından biri olan büyük Avusturyalı fizikçi. Boltzmann'ın çalışmalarında moleküler kinetik teori ilk kez mantıksal olarak tutarlı, tutarlı bir fiziksel teori olarak ortaya çıktı. Boltzmann termodinamiğin ikinci yasasının istatistiksel yorumunu yaptı. Maxwell'in elektromanyetik alan teorisini geliştirmek ve popülerleştirmek için çok şey yaptı. Doğası gereği bir savaşçı olan Boltzmann, termal olayların moleküler yorumlanması ihtiyacını tutkuyla savundu ve moleküllerin varlığını inkar eden bilim adamlarına karşı mücadelenin en ağır yükünü üstlendi.

Denklem (4.5.3) evrensel gaz sabitinin oranını içermektedir. R Avogadro sabitine N A . Bu oran tüm maddeler için aynıdır. Moleküler kinetik teorisinin kurucularından biri olan L. Boltzmann'ın onuruna Boltzmann sabiti denir.

Boltzmann sabiti:

Boltzmann sabiti dikkate alınarak denklem (4.5.3) şu şekilde yazılır:

Boltzmann sabitinin fiziksel anlamı

Tarihsel olarak sıcaklık ilk kez termodinamik bir nicelik olarak tanıtıldı ve ölçü birimi olarak derece belirlendi (bkz. § 3.2). Sıcaklık ile moleküllerin ortalama kinetik enerjisi arasındaki bağlantı kurulduktan sonra, sıcaklığın moleküllerin ortalama kinetik enerjisi olarak tanımlanabileceği ve miktar yerine joule veya erg cinsinden ifade edilebileceği ortaya çıktı. T değer girin T* böylece

Bu şekilde tanımlanan sıcaklık, aşağıdaki şekilde derece cinsinden ifade edilen sıcaklıkla ilgilidir:

Bu nedenle Boltzmann sabiti, enerji birimi cinsinden ifade edilen sıcaklığı derece cinsinden ifade edilen sıcaklıkla ilişkilendiren bir miktar olarak düşünülebilir.

Gaz basıncının moleküllerinin konsantrasyonuna ve sıcaklığına bağımlılığı

İfade ettikten sonra e(4.5.5) ilişkisinden ve formül (4.4.10)'a ikame ederek, gaz basıncının moleküllerin konsantrasyonuna ve sıcaklığa bağımlılığını gösteren bir ifade elde ederiz:

Formül (4.5.6)'dan aynı basınç ve sıcaklıklarda tüm gazlardaki molekül konsantrasyonunun aynı olduğu sonucu çıkar.

Bu, Avogadro yasasını ima eder: Aynı sıcaklık ve basınçtaki eşit hacimdeki gazlar, aynı sayıda molekül içerir.

Moleküllerin öteleme hareketinin ortalama kinetik enerjisi mutlak sıcaklıkla doğru orantılıdır. Orantılılık faktörü- Boltzmann sabitik = 10 -23 J/K - hatırlanması gerekir.

§ 4.6. Maxwell dağılımı

Çok sayıda durumda, fiziksel büyüklüklerin ortalama değerlerinin bilgisi tek başına yeterli değildir. Örneğin insanların ortalama boylarını bilmek, farklı bedenlerde giysi üretimini planlamamıza olanak vermiyor. Boyları belirli bir aralıkta olan yaklaşık insan sayısını bilmeniz gerekir. Aynı şekilde hızları ortalama değerden farklı olan moleküllerin sayısını bilmek de önemlidir. Bu sayıların nasıl belirlenebileceğini keşfeden ilk kişi Maxwell oldu.

Rastgele bir olayın olasılığı

§4.1'de, J. Maxwell'in büyük bir molekül topluluğunun davranışını tanımlamak için olasılık kavramını tanıttığından daha önce bahsetmiştik.

Defalarca vurgulandığı gibi, tek bir molekülün hızındaki (veya momentumundaki) değişimi geniş bir zaman aralığında izlemek prensip olarak imkansızdır. Belirli bir zamanda tüm gaz moleküllerinin hızlarını doğru bir şekilde belirlemek de imkansızdır. Bir gazın bulunduğu makroskobik koşullardan (belirli bir hacim ve sıcaklık), belirli moleküler hız değerlerinin mutlaka takip edilmesi gerekmez. Bir molekülün hızı, belirli makroskopik koşullar altında farklı değerler alabilen rastgele bir değişken olarak düşünülebilir; tıpkı bir zarı atarken 1'den 6'ya kadar herhangi bir sayıda puan alabilmeniz gibi (zarın kenar sayısı: altı). Zar atıldığında kaç puan geleceğini tahmin etmek imkansızdır. Ancak diyelim ki beş puanın yuvarlanma olasılığı belirlenebilir.

Rastgele bir olayın meydana gelme olasılığı nedir? Çok büyük bir sayı üretilsin N testler (N - zar atışlarının sayısı). Aynı zamanda N" vakalarda testlerden olumlu bir sonuç çıktı (örneğin beşten düşme). Bu durumda, belirli bir olayın olasılığı, olumlu sonuç veren vaka sayısının, bu sayının arzu edildiği kadar büyük olması koşuluyla, toplam deneme sayısına oranına eşittir:

Simetrik bir zar için 1'den 6'ya kadar seçilen herhangi bir sayıdaki noktanın olasılığı .

Pek çok rastgele olayın arka planında belirli bir niceliksel modelin ortaya çıktığını, bir sayının ortaya çıktığını görüyoruz. Bu sayı - olasılık - ortalamaları hesaplamanıza olanak tanır. Yani, eğer 300 zar atarsanız, formül (4.6.1)'den takip edildiği gibi, ortalama beş sayısı şuna eşit olacaktır: 300 = 50 ve aynı zarı 300 kez mi yoksa 300 kez mi atmanız kesinlikle hiçbir fark yaratmaz. aynı anda aynı zar.

Hiç şüphe yok ki, bir kaptaki gaz moleküllerinin davranışı, atılan bir zarın hareketinden çok daha karmaşıktır. Ancak burada bile istatistiksel ortalamaların hesaplanmasını mümkün kılan belirli niceliksel kalıpların keşfedilmesi umut edilebilir; yeter ki sorun klasik mekanikteki gibi değil de oyun teorisindekiyle aynı şekilde ortaya konsun. Belirli bir anda bir molekülün hızının kesin değerini belirleme konusundaki çözülemeyen problemden vazgeçmek ve hızın belirli bir değere sahip olma olasılığını bulmaya çalışmak gerekir.