Konuyla ilgili ders: "$y=x^3$ fonksiyonunun grafiği ve özellikleri. Grafik çizme örnekleri"
Ek materyaller
Değerli kullanıcılarımız yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.
7. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
7. sınıf için elektronik ders kitabı "10 dakikada cebir"
Eğitim kompleksi 1C "Cebir, 7-9. Sınıflar"
$y=x^3$ fonksiyonunun özellikleri
Bu fonksiyonun özelliklerini açıklayalım:
1. x bağımsız bir değişkendir, y ise bağımlı bir değişkendir.
2. Tanım alanı: (x) argümanının herhangi bir değeri için (y) fonksiyonunun değerinin hesaplanabileceği açıktır. Buna göre bu fonksiyonun tanım alanı sayı doğrusunun tamamıdır.
3. Değer aralığı: y herhangi bir şey olabilir. Buna göre değer aralığı aynı zamanda sayı doğrusunun tamamıdır.
4. Eğer x= 0 ise y= 0 olur.
$y=x^3$ fonksiyonunun grafiği
1. Bir değerler tablosu oluşturalım:
2. İçin pozitif değerler$y=x^3$ fonksiyonunun x grafiği, dalları OY eksenine daha fazla "baskılı" olan bir parabole çok benzer.
3. Çünkü negatif değerler x işlevi $y=x^3$ vardır zıt anlamlar ise fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.
Şimdi noktaları işaretleyelim koordinat uçağı ve bir grafik oluşturun (bkz. Şekil 1).
Bu eğriye kübik parabol denir.
Örnekler
I. Küçük bir gemide her şey tamamen bitmişti temiz su. Getirilmesi gerekiyor yeterli miktarşehirden su. Su önceden sipariş ediliyor ve biraz daha az doldursanız bile dolu küp ücreti ödeniyor. Fazladan bir küp için fazla ödeme yapmamak ve depoyu tamamen doldurmak için kaç adet küp sipariş etmeliyim? Tankın aynı uzunluk, genişlik ve yüksekliğe sahip olduğu biliniyor, yani 1,5 m. Bu problemi hesaplama yapmadan çözelim.
Çözüm:
1. $y=x^3$ fonksiyonunun grafiğini oluşturalım.
2. 1,5'a eşit olan A noktasının x koordinatını bulun. Fonksiyonun koordinatının 3 ile 4 değerleri arasında olduğunu görüyoruz (bkz. Şekil 2). Yani 4 küp sipariş etmeniz gerekiyor.
Modüller içeren fonksiyonların grafiklerini oluşturmak genellikle okul çocukları için önemli zorluklara neden olur. Ancak her şey o kadar da kötü değil. Bu tür sorunları çözmek için birkaç algoritmayı hatırlamak yeterlidir ve en görünüşte bile kolayca bir grafik oluşturabilirsiniz. karmaşık fonksiyon. Bunların ne tür algoritmalar olduğunu bulalım.
1. y = |f(x)| fonksiyonunun grafiğini çizmek
Fonksiyon değerleri kümesinin y = |f(x)| : y ≥ 0. Dolayısıyla bu tür fonksiyonların grafikleri her zaman tamamen üst yarı düzlemde yer alır.
y = |f(x)| fonksiyonunun grafiğini çizmek aşağıdaki basit dört adımdan oluşur.
1) Dikkatli ve dikkatli bir şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiğini oluşturun.
2) Grafikte 0x ekseninin üstünde veya üzerinde bulunan tüm noktaları değiştirmeden bırakın.
3) Grafiğin 0x ekseninin altında kalan kısmını 0x eksenine göre simetrik olarak görüntüleyin.
Örnek 1. y = |x 2 – 4x + 3| fonksiyonunun grafiğini çizin
1) y = x 2 – 4x + 3 fonksiyonunun grafiğini oluşturuyoruz. Bu fonksiyonun grafiğinin bir parabol olduğu açıktır. Parabolün koordinat eksenleri ile kesiştiği tüm noktaların koordinatlarını ve parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulalım.
x 2 – 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Bu nedenle parabol, 0x eksenini (3, 0) ve (1, 0) noktalarında keser.
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Bu nedenle parabol, 0y eksenini (0, 3) noktasında keser.
Parabolün köşe koordinatları:
x inç = -(-4/2) = 2, y inç = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Dolayısıyla (2, -1) noktası bu parabolün tepe noktasıdır.
Elde edilen verileri kullanarak bir parabol çizin (Şekil 1)
2) Grafiğin 0x ekseninin altında kalan kısmı 0x eksenine göre simetrik olarak görüntülenir.
3) Orijinal fonksiyonun bir grafiğini elde ederiz ( pirinç. 2, noktalı çizgiyle gösterilmiştir).
2. y = f(|x|) fonksiyonunun grafiğini çizme
y = f(|x|) formundaki fonksiyonların çift olduğuna dikkat edin:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Bu, bu tür fonksiyonların grafiklerinin 0y eksenine göre simetrik olduğu anlamına gelir.
y = f(|x|) fonksiyonunun grafiğini çizmek aşağıdaki basit eylemler zincirinden oluşur.
1) y = f(x) fonksiyonunun grafiğini çizin.
2) Grafiğin x ≥ 0 olduğu kısmını, yani grafiğin sağ yarı düzlemde bulunan kısmını bırakın.
3) Grafiğin (2) noktasında belirtilen kısmını 0y eksenine simetrik olarak görüntüleyin.
4) Son grafik olarak (2) ve (3) noktalarında elde edilen eğrilerin birleşimini seçin.
Örnek 2. y = x 2 – 4 · |x| fonksiyonunun grafiğini çizin + 3
x 2 = |x| olduğundan Şekil 2'de görüldüğü gibi orijinal fonksiyon aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilir: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Artık yukarıda önerilen algoritmayı uygulayabiliriz.
1) y = x 2 – 4 x + 3 fonksiyonunun grafiğini dikkatli ve dikkatli bir şekilde oluşturuyoruz (ayrıca bkz. pirinç. 1).
2) Grafiğin x ≥ 0 olduğu kısmını, yani grafiğin sağ yarı düzlemde yer alan kısmını bırakıyoruz.
3) Ekran Sağ Taraf grafikler 0y eksenine simetriktir.
(Şek. 3).
Örnek 3. y = log 2 |x| fonksiyonunun grafiğini çizin
Yukarıda verilen şemayı uyguluyoruz.
1) y = log 2 x fonksiyonunun grafiğini oluşturun (Şekil 4).
3. y = |f(|x|)| fonksiyonunun grafiğini çizmek
y = |f(|x|)| formundaki fonksiyonlara dikkat edin. aynı zamanda eşitler. Aslında, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x) olduğundan grafikleri 0y eksenine göre simetriktir. Bu tür fonksiyonların değer kümesi: y ≥ 0. Bu, bu tür fonksiyonların grafiklerinin tamamen üst yarı düzlemde yer aldığı anlamına gelir.
y = |f(|x|)| fonksiyonunu çizmek için şunları yapmanız gerekir:
1) y = f(|x|) fonksiyonunun grafiğini dikkatlice oluşturun.
2) Grafiğin 0x ekseninin üstünde veya üzerinde olan kısmını değiştirmeden bırakın.
3) Grafiğin 0x ekseninin altında bulunan kısmını 0x eksenine göre simetrik olarak görüntüleyin.
4) Son grafik olarak (2) ve (3) noktalarında elde edilen eğrilerin birleşimini seçin.
Örnek 4. y = |-x 2 + 2|x| fonksiyonunun grafiğini çizin – 1|.
1) x 2 = |x| 2. Bu, orijinal işlev yerine y = -x 2 + 2|x| - 1
y = -|x| fonksiyonunu kullanabilirsiniz 2 + 2|x| – 1, çünkü grafikleri çakışıyor.
Bir y = -|x| grafiği oluşturuyoruz 2 + 2|x| – 1. Bunun için algoritma 2’yi kullanıyoruz.
a) y = -x 2 + 2x – 1 fonksiyonunun grafiğini çizin (Şekil 6).
b) Grafiğin sağ yarı düzlemde bulunan kısmını bırakıyoruz.
c) Grafiğin ortaya çıkan kısmını 0y eksenine simetrik olarak gösteriyoruz.
d) Ortaya çıkan grafik şekilde noktalı çizgi ile gösterilmiştir. (Şekil 7).
2) 0x ekseninin üzerinde hiçbir nokta yok; 0x eksenindeki noktaları değiştirmeden bırakıyoruz.
3) Grafiğin 0x ekseninin altında bulunan kısmı 0x'e göre simetrik olarak görüntülenir.
4) Ortaya çıkan grafik şekilde noktalı çizgiyle gösterilmiştir. (Şekil 8).
Örnek 5. y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)| fonksiyonunun grafiğini çizin
1) Öncelikle y = (2|x| – 4) / (|x| + 3) fonksiyonunun grafiğini çizmeniz gerekir. Bunu yapmak için Algoritma 2'ye dönüyoruz.
a) y = (2x – 4) / (x + 3) fonksiyonunu dikkatlice çizin (Şekil 9).
dikkat et ki bu fonksiyon kesirli doğrusaldır ve grafiği bir hiperboldür. Bir eğri çizmek için öncelikle grafiğin asimptotlarını bulmanız gerekir. Yatay – y = 2/1 (kesrin pay ve paydasındaki x katsayılarının oranı), dikey – x = -3.
2) Grafiğin 0x ekseninin üzerinde veya üzerinde bulunan kısmını değiştirmeden bırakacağız.
3) Grafiğin 0x ekseninin altında bulunan kısmı 0x'e göre simetrik olarak görüntülenecektir.
4) Son grafik şekilde gösterilmiştir. (Şekil 11).
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Bir modülle nasıl grafik oluşturulacağına bakalım.
Geçiş noktalarında modüllerin işaretinin değiştiği noktaları bulalım.
Modülün altındaki her ifadeyi 0'a eşitliyoruz. Elimizde x-3 ve x+3 olmak üzere iki tane var.
x-3=0 ve x+3=0
x=3 ve x=-3
Sayı doğrumuz üç aralığa bölünecektir (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). Her aralıkta modüler ifadelerin işaretini belirlemeniz gerekir.
1. Bunu yapmak çok kolaydır, ilk aralığı (-∞;-3) düşünün. Bu segmentten herhangi bir değeri alalım, örneğin -4 ve onu her birine koyalım modüler denklem x değeri yerine.
x=-4
x-3=-4-3=-7 ve x+3=-4+3=-1
Her iki ifade de negatif işaretlidir yani denklemde modül işaretinin önüne eksi koyarız, modül işareti yerine parantez koyarız ve (-∞;-3) aralığında gerekli denklemi elde ederiz.
y= — (x-3)-( — (x+3))=-x+3+x+3=6
(-∞;-3) aralığında grafik elde edildi doğrusal fonksiyon(doğrudan) y=6
2. İkinci aralığı (-3;3) düşünün. Bu parçada grafik denkleminin nasıl görüneceğini bulalım. -3'ten 3'e kadar herhangi bir sayıyı alalım, örneğin 0. X değerini 0 ile değiştirin.
x=0
x-3=0-3=-3 ve x+3=0+3=3
İlk x-3 ifadesi negatif işarete, ikinci x+3 ifadesi ise pozitif işarete sahiptir. Bu nedenle x-3 ifadesinin önüne eksi, ikinci ifadenin önüne ise artı işareti yazıyoruz.
y= — (x-3)-( + (x+3))=-x+3-x-3=-2x
(-3;3) aralığında doğrusal bir fonksiyonun (düz çizgi) y=-2x grafiğini elde ettik
3. Üçüncü aralığı (3;+∞) düşünün. Bu parçadan herhangi bir değer alalım, örneğin 5 ve x değerini modüler denklemlerin her birine koyalım.
x=5
x-3=5-3=2 ve x+3=5+3=8
Her iki ifade için de işaretler pozitif çıktı yani denklemde modül işaretinin önüne artı koyuyoruz ve modül işareti yerine parantez koyuyoruz ve (3;+) aralığında istenilen denklemi elde ediyoruz. ∞).
y= + (x-3)-( + (x+3))=x-3-x-3=-6
(3;+∞) aralığında doğrusal bir fonksiyonun (düz çizgi) у=-6 grafiğini elde ettik
4. Şimdi özetleyelim. y=|x-3|-|x+3| grafiğini çizelim.
(-∞;-3) aralığında doğrusal fonksiyonun (düz çizgi) y=6 grafiğini oluşturuyoruz.
(-3;3) aralığında doğrusal fonksiyonun (düz çizgi) y=-2x grafiğini oluşturuyoruz.
Y = -2x grafiğini oluşturmak için birkaç nokta seçiyoruz.
x=-3 y=-2*(-3)=6 sonuç bir noktadır (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 sonuç bir noktadır (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 sonuç nokta (3;-6)
(3;+∞) aralığında doğrusal fonksiyonun (düz çizgi) у=-6 grafiğini oluştururuz.
5. Şimdi sonucu analiz edelim ve soruyu cevaplayalım, y=|x-3|-|x+3| grafiğiyle y=kx düz çizgisinin bulunduğu k değerini bulalım. Belirli bir fonksiyonun tam olarak tek bir ortak noktası vardır.
Herhangi bir k değeri için y=kx düz çizgisi her zaman (0;0) noktasından geçecektir. Dolayısıyla bu y=kx doğrusunun yalnızca eğimini değiştirebiliriz ve eğimden k katsayısı sorumludur.
Eğer k herhangi ise pozitif sayı y=kx düz çizgisinin y=|x-3|-|x+3| grafiğiyle bir kesişimi olacaktır. Bu seçenek bize uygundur. 
Eğer k (-2;0) değerini alırsa, o zaman y=kx düz çizgisinin y=|x-3|-|x+3| grafiğiyle kesişimi üç tane olacak. Bu seçenek bize uymuyor. 
Eğer k=-2 ise birçok çözüm [-2;2] olacaktır, çünkü y=kx düz çizgisi y=|x-3|-|x+3| grafiğiyle çakışacaktır. Bu bölgede. Bu seçenek bize uymuyor. 
Eğer k -2'den küçükse, y=|x-3|-|x+3| grafiğiyle y=kx düz çizgisi bir kavşak olacak. Bu seçenek bize uygun. 
Eğer k=0 ise, y=kx düz çizgisinin y=|x-3|-|x+3| grafiğiyle kesişimi. Bu seçenek de bize uygun olacak. 
Cevap: k (-∞;-2)U aralığına ait olduğunda ve ) aralığında arttığında
