Bu denklemin örtülü bir fonksiyonu tanımladığını gösterin. Örtük olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi

Bir denklem sistemi tarafından tanımlanan örtülü fonksiyonlar

Bir denklem sistemi verildiğinde

veya kısaca F(x,y)= 0. (6.7)

Tanım. Sistem(6.7)örtülü bir işlevi tanımlar y=f(X)DÌR n'de

eğer "xÎD:F(x, f(X)) = 0.

Teorem (bir denklem sistemi tarafından örtülü olarak tanımlanan bir haritalamanın varlığı ve benzersizliği).İzin vermek

1) F ben(x,y)(6.4)'ten tanımlanır ve birinci dereceden sürekli kısmi türevlere sahiptir, (i= 1,…,p,k= 1,…,n,j= 1,…,p) U civarında(M 0)puan M 0 (X 0 ey 0), X 0 = y 0 =

2)F(M 0)=0,

3) det.

Sonra bazı mahallelerde U(X 0)bu komşulukta tanımlanmış benzersiz bir fonksiyon (harita) vardır y = f(X)öyle ki

"xО U(X 0) :F(x,f(X))=0ve sen 0 =f(X 0).

Bu fonksiyon x noktasının bazı komşuluklarında sürekli olarak türevlenebilirdir 0 .

Sistem göz önüne alındığında

Bu denklem sistemi tarafından belirlenen örtülü fonksiyon için varlık ve teklik teoreminin koşullarının karşılandığını varsayacağız. Bu fonksiyonu gösterelim y=f(X) . Sonra bu noktanın bir mahallesinde X 0 kimlikler geçerlidir

Bu kimlikleri farklılaştıran xj alıyoruz

= 0.(6.9)

Bu eşitlikler şu şekilde yazılabilir: matris formu

veya genişletilmiş biçimde

Eşitlikten geçişe dikkat edin F(x,f(X))=0k , durum için farklılaşma kurallarına karşılık gelir X Ve sen tek boyutlu uzayın noktalarıdır. Koşul gereği matris tekil değildir, dolayısıyla matris denkleminin bir çözümü vardır. Böylece birinci dereceden kısmi türevleri bulabiliriz örtülü işlevler. Diferansiyelleri bulmak için belirttiğimiz

dy = , dx =, eşitliklerin (6.8) diferansiyelini alarak şunu elde ederiz:

veya matris formunda

Genişletilmiş

Kısmi türevlerde olduğu gibi formül (6.10) da tek boyutlu uzaylarda olduğu gibi aynı forma sahiptir. n= 1, p= 1. Bunun çözümü matris denklemişeklinde yazılacaktır. İkinci dereceden kısmi türevleri bulmak için kimliklerin türevini almanız gerekir (6.9) (ikinci dereceden diferansiyelleri hesaplamak için kimliklerin türevini almanız gerekir (6.10)). Böylece elde ederiz

nereden geçiyor A gerekli olanları içermeyen terimler belirtilir.

Türevlerin belirlenmesi için bu sistemin katsayı matrisi Jacobian matrisidir.

Benzer bir formül diferansiyeller için de elde edilebilir. Bu durumların her birinde, istenen türevleri veya diferansiyelleri belirlemek için denklem sistemindeki aynı katsayılar matrisiyle bir matris denklemi elde edilecektir. Bundan sonraki farklılaşmalarda da aynı şey olacaktır.

Örnek 1. Bir noktada bul sen= 1,v= 1.

Çözüm. Verilen eşitliklerin türevini alın

Sorunun koşullarından bağımsız değişkenleri dikkate almamız gerektiğinin ortaya çıktığını unutmayın. x, y. Daha sonra işlevler şöyle olacaktır: z, sen, v. Bu nedenle (6.11) sisteminin bilinmeyenlere göre çözülmesi gerekmektedir. du, dv, dz. Matris formunda şöyle görünür

Bu sistemi Cramer kuralını kullanarak çözelim. Katsayı matrisinin determinantı

Üçüncü "ikame edilmiş" belirleyici dz eşit olacaktır (son sütunu genişleterek hesaplıyoruz)

dz = , Ve, .

(6.11) ifadesinin türevini bir kez daha alalım ( x, y – bağımsız değişkenler)

Sistemin katsayı matrisi aynı, üçüncü determinant

Bu sistemi çözerek aşağıdaki ifadeyi elde ederiz: d 2 zİstediğiniz türevi burada bulabilirsiniz.

6.3. Türevlenebilir eşlemeler

Türetilmiş eşlemeler. Düzenli görüntüler. Gerekli ve yeterli koşullar fonksiyonel bağımlılık.

Örtülü olarak belirtilen, yani değişkenleri birbirine bağlayan belirli denklemlerle belirtilen fonksiyonların türevlerini bulmayı öğreneceğiz. X Ve sen. Örtülü olarak belirtilen işlevlere örnekler:

Örtülü olarak belirtilen fonksiyonların türevleri veya örtülü fonksiyonların türevleri oldukça basit bir şekilde bulunur. Şimdi ilgili kurala ve örneğe bakalım ve ardından bunun neden gerekli olduğunu bulalım.

Örtük olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini bulmak için denklemin her iki tarafının da x'e göre türevini almanız gerekir. Yalnızca X'in mevcut olduğu terimler, fonksiyonun X'ten olağan türevine dönüşecektir. Ve oyundaki terimlerin farklılaşma kuralı kullanılarak farklılaştırılması gerekiyor karmaşık fonksiyon i x'in bir fonksiyonu olduğundan. Oldukça basit bir şekilde ifade etmek gerekirse, terimin x ile elde edilen türevi şu sonucu vermelidir: fonksiyonun y'den türevi ile çarpı y'den türev. Örneğin bir terimin türevi olarak, bir terimin türevi olarak yazılacaktır. Daha sonra, tüm bunlardan bu "oyun vuruşunu" ifade etmeniz gerekiyor ve örtülü olarak belirtilen fonksiyonun istenen türevi elde edilecektir. Buna bir örnekle bakalım.

Örnek 1.

Çözüm. i'nin x'in bir fonksiyonu olduğunu varsayarak denklemin her iki tarafının da x'e göre türevini alıyoruz:

Buradan görevde gerekli olan türevi elde ederiz:

Şimdi örtülü olarak belirtilen fonksiyonların belirsiz özellikleri ve bunların farklılaşması için neden özel kurallara ihtiyaç duyulduğu hakkında bir şeyler konuşalım. Bazı durumlarda, değişikliğin şu şekilde olduğunu doğrulayabilirsiniz: verilen denklem(yukarıdaki örneklere bakın) y yerine x üzerinden ifadesi bu denklemin bir özdeşliğe dönüşmesine yol açar. Bu yüzden. Yukarıdaki denklem dolaylı olarak aşağıdaki işlevleri tanımlar:

Kareli oyunun ifadesini x'e kadar orijinal denklemde değiştirdikten sonra özdeşliği elde ederiz:

Yerine koyduğumuz ifadeler oyunun denklemi çözülerek elde edildi.

Karşılık gelen açık fonksiyonun türevini alırsak

o zaman örtülü olarak belirtilen bir fonksiyondan örnek 1'deki gibi cevabı alırız:

Ancak örtülü olarak belirtilen her işlev formda temsil edilemez. sen = F(X) . Yani, örneğin örtülü olarak belirtilen işlevler

yoluyla ifade edilmez temel işlevler yani bu denklemler oyuncuya göre çözülemez. Bu nedenle, örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini almak için daha önce incelediğimiz ve diğer örneklerde tutarlı bir şekilde uygulayacağımız bir kural vardır.

Örnek 2.Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun:

Örtülü olarak belirtilen fonksiyonun asal değerini ve - çıktıda - türevini ifade ederiz:

Örnek 3.Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm. Denklemin her iki tarafının da x'e göre türevini alırız:

Örnek 4.Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm. Denklemin her iki tarafının da x'e göre türevini alırız:

Türevi ifade edip elde ediyoruz:

Örnek 5.Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm. Denklemin sağ tarafındaki terimleri aktarıyoruz sol taraf ve sağda sıfır bırakın. Denklemin her iki tarafının da x'e göre türevini alıyoruz.

Daha yüksek dereceli türevler, formül (1)'in ardışık farklılaşmasıyla bulunur.

Örnek. Bul ve if (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.

Çözüm. Bu denklemin sol tarafını ifade ederek F(x,y) kısmi türevleri bulun

f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],

f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].

Buradan, formül (1)'i uygulayarak şunu elde ederiz:

İkinci türevi bulmak için türevine göre türev alırız X bulunan ilk türev dikkate alındığında en bir x fonksiyonu var:

2°. Birkaç bağımsız değişkenin durumu. Benzer şekilde, eğer denklem F(x, y, z)=0, Nerede F(x, y, z) - değişkenlerin türevlenebilir fonksiyonu x, y Ve z, tanımlar z bağımsız değişkenlerin bir fonksiyonu olarak X Ve en Ve Fz(x, y, z)≠ 0 ise bunun kısmi türevleri örtülü olarak verilen fonksiyon genel olarak konuşursak, formüller kullanılarak bulunabilir

z fonksiyonunun türevlerini bulmanın başka bir yolu aşağıdaki gibidir: denklemin türevini alarak F(x, y, z) = 0, şunu elde ederiz:

Buradan belirleyebiliriz dz, ve bu nedenle.

Örnek. Bul ve eğer x ² - 2y²+3z² -yz +y =0.

1. yöntem. Bu denklemin sol tarafını ifade ederek F(x, y, z) kısmi türevleri bulalım F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y.

Formül (2)'yi uygulayarak şunu elde ederiz:

2. yöntem. Bu denklemin farklılığını alırsak şunu elde ederiz:

2xdx-4senö +6zdz-sendz-zöl +d=0

Buradan belirliyoruz dz, yani örtülü fonksiyonun toplam diferansiyeli:

Formülle karşılaştırma , bunu görüyoruz

3°. Örtülü İşlev Sistemi. İki denklemli bir sistem ise

tanımlar sen Ve v x ve y değişkenlerinin ve Jacobian'ın fonksiyonları olarak

daha sonra bu fonksiyonların diferansiyelleri (ve dolayısıyla kısmi türevleri) denklem sisteminden bulunabilir.

Örnek: Denklemler u+v=x+y, xu+yv=1 belirlemek sen Ve v işlevler olarak X Ve en; bulmak .

Çözüm. 1. yöntem. Her iki denklemin x'e göre türevini aldığımızda şunu elde ederiz:

Benzer şekilde şunları buluyoruz:

2. yöntem. Farklılaşma yoluyla, dört değişkenin tamamının diferansiyellerini birbirine bağlayan iki denklem buluruz: sen +dv =dx +ölmek,Xsen +sendx +sendv+vd=0.

Bu sistemi diferansiyeller için çözme du Ve dv, şunu elde ederiz:

4°. Parametrik spesifikasyon işlevler. Eğer r değişkenlerinin fonksiyonu X Ve en denklemlerle parametrik olarak verilir x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) Ve

o zaman bu fonksiyonun diferansiyeli denklem sisteminden bulunabilir.

Diferansiyel bilmek dz=p dx+q dy, kısmi türevleri buluyoruz ve .

Örnek. İşlev z argümanlar X Ve en denklemlerle verilir x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v).

Bul ve .

Çözüm. 1. yöntem. Farklılaşma yoluyla, beş değişkenin tamamının diferansiyellerini bağlayan üç denklem buluruz:

İlk iki denklemden belirlediğimiz du Ve dv:

Bulunan değerleri üçüncü denklemde yerine koyalım du Ve dv:

2. yöntem. Verilen üçüncü denklemden şunu bulabiliriz:

Öncelikle ilk iki denklemin türevini alalım. X, sonra en:

Bulduğumuz ilk sistemden: .

İkinci sistemden şunları buluyoruz: .

İfadeleri formül (5)'e yerleştirerek şunu elde ederiz:

Değişkenleri değiştirme

Diferansiyel ifadelerdeki değişkenleri değiştirirken, bunların içerdiği türevler, karmaşık bir fonksiyonun türev alma kurallarına göre diğer türevler cinsinden ifade edilmelidir.

1°. Sıradan türevler içeren ifadelerdeki değişkenlerin değiştirilmesi.

inanmak.

enİle X türevleri aracılığıyla enİle T. Sahibiz:

Bulunan türev ifadelerini bu denklemde yerine koymak ve değiştirmek X aracılığıyla şunu elde ederiz:

Örnek. Denklemi Dönüştür

bunu bir argüman olarak kabul ediyorum en ve x fonksiyonu için.

Çözüm. Türevlerini ifade edelim enİle X türevleri aracılığıyla Xİle sen.

Bu türev ifadelerini bu denklemde yerine koyarsak:

veya nihayet,

Örnek. Denklemi Dönüştür

devam etmek kutupsal koordinatlar

x=r çünkü φ, y=r çünkü φ.

Çözüm. Düşünülüyor R bir fonksiyon olarak φ formül (1)'den şunu elde ederiz:

dх = сosφ dr – r sinφ dφ, dy=sinφ+r cosφ dφ,

Bir denklem sistemi verildiğinde

veya kısacaF(X, sen)=0 (1)

Tanım. Sistem (1) örtülü olarak belirtilen bir işlevi tanımlarsen= F(X) AçıkD R N

Eğer X D : F(X , F(X)) = 0.

Teorem (bir denklem sistemi tarafından örtülü olarak tanımlanan bir haritalamanın varlığı ve benzersizliği). İzin vermek

Sonra bir mahalledesen (X 0 ) bu mahallede tanımlanmış benzersiz bir işlev (harita) varsen = F(X), öyle ki

 X sen (X 0 ) : F(X, F(X))=0 vesen 0 = F(X 0 ).

Bu fonksiyon noktanın bazı komşuluklarında sürekli olarak türevlenebilirX 0 .

5. Bir denklem sistemi tarafından belirtilen örtülü fonksiyonların türevlerinin hesaplanması

Sistem göz önüne alındığında

(1)

Bu denklem sistemi tarafından belirlenen örtülü fonksiyonun varoluş teoremi ve tekliği koşullarının karşılandığını varsayacağız. Bu fonksiyonu gösterelim sen= F(X) . Sonra bu noktanın bir mahallesinde X 0 kimlikler geçerlidir

(F(x, f(x))=0) (2)

Bu kimlikleri farklılaştıran X J alıyoruz

=0 (3)

Bu eşitlikler matris formunda yazılabilir.

, (3)

veya genişletilmiş biçimde

Eşitlikten geçişe dikkat edin F(X, F(X))=0 İle
, durum için farklılaşma kurallarına karşılık gelir X Ve sen tek boyutlu uzayın noktalarıdır. Matris koşula göre dejenere değildir, bu nedenle matris denklemi
bir çözümü var
. Bu şekilde örtülü fonksiyonların birinci dereceden kısmi türevlerini bulabilirsiniz. . Diferansiyelleri bulmak için belirttiğimiz

ölmek = ,dx = , eşitliklerin farklılaştırılması (2) alıyoruz

=0 ,

veya matris formunda

. (4)

Genişletilmiş

Kısmi türevlerde olduğu gibi formül (4) tek boyutlu uzaylarda olduğu gibi aynı forma sahibiz N=1, P=1. Bu matris denkleminin çözümü şu şekilde yazılacaktır:
. İkinci dereceden kısmi türevleri bulmak için kimliklerin türevini almak gerekecektir. (3) (ikinci dereceden diferansiyelleri hesaplamak için kimlikleri ayırt etmeniz gerekir (4) ). Böylece elde ederiz

nereden geçiyor A gerekli olanları içermeyen terimler belirtilir
.

Türevlerin belirlenmesi için bu sistemin katsayı matrisi
Jacobian matrisi görevi görür .

Benzer bir formül diferansiyeller için de elde edilebilir. Bu durumların her birinde aynı katsayı matrisine sahip bir matris denklemi elde edilecektir. İstenilen türevleri veya diferansiyelleri belirlemek için bir denklem sisteminde. Bundan sonraki farklılaşmalarda da aynı şey olacaktır.

Örnek 1. Bul ,,bu noktada sen=1, v=1.

Çözüm. Verilen eşitliklerin türevini alın

(5)

Sorunun formülasyonuna göre bağımsız değişkenleri dikkate almamız gerektiğini unutmayın. X, sen. Daha sonra işlevler şöyle olacaktır: z, sen, v. Böylece sistem (5) bilinmeyenlerle ilgili çözülmesi gereken du, dv, dz . Matris formunda şöyle görünür