5 kesirli doğrusal fonksiyonun tanımı. Kesirli doğrusal fonksiyon

1. Kesirli doğrusal fonksiyon ve onun programı

P(x) ve Q(x)'in polinom olduğu y = P(x) / Q(x) formundaki bir fonksiyona kesirli rasyonel fonksiyon denir.

Konsept ile rasyonel sayılar muhtemelen birbirinizi zaten tanıyorsunuzdur. Aynı şekilde rasyonel fonksiyonlar iki polinomun bölümü olarak temsil edilebilen fonksiyonlardır.

Kesirli bir rasyonel fonksiyon, iki doğrusal fonksiyonun bölümü ise - birinci dereceden polinomlar, yani. formun işlevi

y = (ax + b) / (cx + d) ise buna kesirli doğrusal denir.

y = (ax + b) / (cx + d) fonksiyonunda c ≠ 0 (aksi halde fonksiyon doğrusal olur y = ax/d + b/d) ve a/c ≠ b/d (aksi takdirde fonksiyon sabittir). Kesirli doğrusal fonksiyon her şey için tanımlanır gerçek sayılar x = -d/c hariç. Kesirli doğrusal fonksiyonların grafikleri bildiğiniz y = 1/x grafiğinden şekil olarak farklı değildir. y = 1/x fonksiyonunun grafiği olan bir eğriye denir. abartı. x'te sınırsız bir artışla mutlak değer y = 1/x fonksiyonu mutlak değerde süresiz olarak azalır ve grafiğin her iki dalı da x eksenine yaklaşır: sağdaki yukarıdan, soldaki ise aşağıdan yaklaşır. Bir hiperbol yaklaşımının dallarının bulunduğu çizgilere hiperbol denir. asimptotlar.

Örnek 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Çözüm.

Parçanın tamamını seçelim: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Artık bu fonksiyonun grafiğinin y = 1/x fonksiyonunun grafiğinden aşağıdaki dönüşümlerle elde edildiğini görmek kolaydır: 3 kaydırma birim segmenti sağa doğru, Oy ekseni boyunca 7 kez uzanıyor ve 2 birim parçayı yukarı kaydırıyor.

Herhangi bir kesir y = (ax + b) / (cx + d) "tamsayı kısmı" vurgulanarak benzer şekilde yazılabilir. Sonuç olarak, tüm kesirli doğrusal fonksiyonların grafikleri, çeşitli şekillerde kaydırılmış hiperbollerdir. koordinat eksenleri ve Oy ekseni boyunca uzanıyordu.

Herhangi bir keyfi kesirli grafiğin oluşturulması doğrusal fonksiyon Bu fonksiyonu tanımlayan kesri dönüştürmek hiç gerekli değildir. Grafiğin bir hiperbol olduğunu bildiğimiz için, dallarının yaklaştığı düz çizgileri (x = -d/c ve y = a/c hiperbolünün asimptotlarını) bulmak yeterli olacaktır.

Örnek 2.

y = (3x + 5)/(2x + 2) fonksiyonunun grafiğinin asimptotlarını bulun.

Çözüm.

Fonksiyon x = -1'de tanımlı değildir. Bu, x = -1 düz çizgisinin hizmet ettiği anlamına gelir dikey asimptot. Yatay asimptotu bulmak için x argümanının mutlak değeri arttığında y(x) fonksiyonunun değerlerinin neye yaklaştığını bulalım.

Bunu yapmak için kesrin payını ve paydasını x'e bölün:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

x → ∞ olduğundan kesir 3/2 olacaktır. Araç, Yatay asimptot– bu y = 3/2 düz çizgisidir.

Örnek 3.

y = (2x + 1)/(x + 1) fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm.

Kesrin “tam kısmını” seçelim:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Artık bu fonksiyonun grafiğinin, y = 1/x fonksiyonunun grafiğinden aşağıdaki dönüşümlerle elde edildiğini görmek kolaydır: 1 birim sola kaydırma, Ox'e göre simetrik bir gösterim ve 1 birim sola kaydırma. Oy ekseni boyunca 2 birim segment yukarı.

Etki Alanı D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Değer aralığı E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Eksenlerle kesişme noktaları: c Oy: (0; 1); c Öküz: (-1/2; 0). Fonksiyon, tanım bölgesinin her aralığında artar.

Cevap: Şekil 1.

2. Kesirli rasyonel fonksiyon

y = P(x) / Q(x) formunda kesirli bir rasyonel fonksiyon düşünün; burada P(x) ve Q(x), birinciden daha yüksek dereceli polinomlardır.

Bu tür rasyonel fonksiyonlara örnekler:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) veya y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Eğer y = P(x) / Q(x) fonksiyonu birinciden daha yüksek dereceli iki polinomun bölümünü temsil ediyorsa, bu durumda grafiği kural olarak daha karmaşık olacaktır ve bazen onu doğru bir şekilde oluşturmak zor olabilir. , tüm detaylarıyla. Ancak yukarıda tanıttığımız tekniklere benzer tekniklerin kullanılması çoğu zaman yeterlidir.

Kesir uygun bir kesir olsun (n< m). Известно, что любую несократимую rasyonel kesir bir toplam olarak ve benzersiz bir şekilde temsil edilebilir sonlu sayışekli Q(x) fraksiyonunun paydasının gerçek faktörlerin çarpımına ayrıştırılmasıyla belirlenen temel fraksiyonlar:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Belli ki zamanlama kesirli rasyonel fonksiyon temel kesirlerin grafiklerinin toplamı olarak elde edilebilir.

Kesirli rasyonel fonksiyonların grafiklerini çizme

Kesirli bir rasyonel fonksiyonun grafiklerini oluşturmanın birkaç yolunu ele alalım.

Örnek 4.

y = 1/x 2 fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm.

Y = 1/x 2 grafiğini oluşturmak için y = x 2 fonksiyonunun grafiğini kullanırız ve grafikleri “bölme” tekniğini kullanırız.

Etki Alanı D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Değer aralığı E(y) = (0; +∞).

Eksenler ile kesişme noktaları yoktur. Fonksiyon eşittir. (-∞; 0) aralığından itibaren tüm x için artar, x için 0'dan +∞'a azalır.

Cevap: Şekil 2.

Örnek 5.

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm.

Etki Alanı D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Burada çarpanlara ayırma, azaltma ve doğrusal bir fonksiyona indirgeme tekniğini kullandık.

Cevap: Şekil 3.

Örnek 6.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm.

Tanım alanı D(y) = R'dir. Fonksiyon çift olduğundan grafik ordinatlara göre simetriktir. Bir grafik oluşturmadan önce, ifadenin tamamını vurgulayarak ifadeyi yeniden dönüştürelim:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Kesirli bir rasyonel fonksiyonun formülündeki tamsayı kısmı izole etmenin, grafik oluştururken ana kısımlardan biri olduğunu unutmayın.

Eğer x → ±∞ ise, o zaman y → 1, yani. y = 1 düz çizgisi yatay bir asimptottur.

Cevap: Şekil 4.

Örnek 7.

y = x/(x 2 + 1) fonksiyonunu ele alalım ve onun en büyük değerini doğru bir şekilde bulmaya çalışalım; en çok yüksek nokta sağ yarı grafik Sanatları. Bu grafiği doğru bir şekilde oluşturmak için günümüzün bilgisi yeterli değildir. Açıkçası, eğrimiz çok yükseğe "yükselemez" çünkü payda hızla payı "sollamaya" başlar. Bakalım fonksiyonun değeri 1'e eşit olabilecek mi? Bunun için x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 denklemini çözmemiz gerekiyor. Bu denklemin gerçel kökleri yoktur. Bu, varsayımımızın yanlış olduğu anlamına gelir. Fonksiyonun en büyük değerini bulmak için, A = x/(x 2 + 1) denkleminin hangi en büyük A'da çözüme sahip olacağını bulmanız gerekir. Değiştireceğiz orijinal denklem kare: Ax 2 – x + A = 0. 1 – 4A 2 ≥ 0 olduğunda bu denklemin çözümü vardır. Buradan şunu buluruz: en yüksek değer bir = 1/2.

Cevap: Şekil 5, maksimum y(x) = ½.

Hala sorularınız mı var? Fonksiyonların grafiğini nasıl çizeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

İÇİNDE bu ders kesirli bir doğrusal fonksiyon ele alacağız, problemleri kesirli bir doğrusal fonksiyon, modül, parametre kullanarak çözeceğiz.

Konu: Tekrarlama

Ders: Kesirli doğrusal fonksiyon

Tanım:

Formun bir fonksiyonu:

Örneğin:

Bu doğrusal kesirli fonksiyonun grafiğinin bir hiperbol olduğunu kanıtlayalım.

Paydaki parantezlerden ikisini çıkaralım ve şunu elde edelim:

Hem payda hem de paydada x var. Şimdi ifadenin payda görünmesini sağlayacak şekilde dönüştürüyoruz:

Şimdi kesir terimini terim terim azaltalım:

Açıkçası, bu fonksiyonun grafiği bir hiperboldür.

İkinci bir ispat yöntemi sunabiliriz, yani bir sütunda payı paydaya bölebiliriz:

Var:

Bir doğrusal kesirli fonksiyonun grafiğini kolayca oluşturabilmek, özellikle bir hiperbolün simetri merkezini bulmak önemlidir. Sorunu çözelim.

Örnek 1 - bir fonksiyonun grafiğini çizin:

Zaten dönüştürdük bu fonksiyon ve şunu aldım:

İnşaat için bu programın eksenleri veya hiperbolün kendisini kaydırmayacağız. Kullanırız standart yöntem sabit işaretli aralıkların varlığını kullanarak fonksiyon grafikleri oluşturma.

Algoritmaya göre hareket ediyoruz. Öncelikle verilen fonksiyonu inceleyelim.

Böylece, üç sabit işaret aralığımız var: en sağda () fonksiyonun bir artı işareti vardır, ardından tüm kökler birinci dereceye sahip olduğundan işaretler değişir. Yani bir aralıkta fonksiyon negatif, bir aralıkta fonksiyon pozitiftir.

ODZ'nin kökleri ve kırılma noktaları civarında grafiğin bir taslağını oluşturuyoruz. Elimizde: Bir noktada fonksiyonun işareti artıdan eksiye değiştiğinden, eğri önce eksenin üzerindedir, sonra sıfırdan geçer ve sonra x ekseninin altına yerleşir. Bir kesrin paydası neredeyse sıfıra eşit Bu, argümanın değeri üçe yaklaştığında kesrin değerinin sonsuza doğru gittiği anlamına gelir. İÇİNDE bu durumda, argüman soldaki üçlüye yaklaştığında fonksiyon negatiftir ve eksi sonsuza yönelir, sağda fonksiyon pozitiftir ve artı sonsuza gider.

Şimdi sonsuzluğun komşuluğundaki fonksiyonun grafiğinin bir taslağını oluşturuyoruz uzak noktalar, yani argüman artı veya eksi sonsuza yöneldiğinde. Bu durumda sabit terimler ihmal edilebilir. Sahibiz:

Böylece, yatay bir asimptotumuz ve dikey bir asimptotumuz var, hiperbolün merkezi (3;2) noktasıdır. Örnekleyelim:

Pirinç. 1. Bir hiperbolün grafiği, örneğin 1

Kesirli doğrusal fonksiyonla ilgili problemler, bir modülün veya parametrenin varlığı nedeniyle karmaşık hale gelebilir. Örneğin, fonksiyonun bir grafiğini oluşturmak için aşağıdaki algoritmayı izlemelisiniz:

Pirinç. 2. Algoritmanın gösterimi

Ortaya çıkan grafikte x ekseninin üstünde ve x ekseninin altında dallar bulunur.

1. Belirtilen modülü uygulayın. Bu durumda grafiğin x ekseninin üzerinde bulunan kısımları değişmeden kalır ve eksenin altında bulunanlar x eksenine göre yansıtılır. Şunu elde ederiz:

Pirinç. 3. Algoritmanın gösterimi

Örnek 2 - bir fonksiyonun grafiğini çizin:

Pirinç. 4. Fonksiyon grafiği örneğin 2

Aşağıdaki görevi göz önünde bulundurun - fonksiyonun bir grafiğini oluşturun. Bunu yapmak için aşağıdaki algoritmayı izlemelisiniz:

1. Alt modüler fonksiyonun grafiğini çizin

Aşağıdaki grafiği elde ettiğimizi varsayalım:

Pirinç. 5. Algoritmanın gösterimi

1. Belirtilen modülü uygulayın. Bunun nasıl yapılacağını anlamak için modülü genişletelim.

Böylece negatif olmayan argüman değerlerine sahip fonksiyon değerlerinde herhangi bir değişiklik meydana gelmeyecektir. İkinci denklemle ilgili olarak, bunun y eksenine göre simetrik olarak eşlenmesiyle elde edildiğini biliyoruz. fonksiyonun bir grafiğine sahibiz:

Pirinç. 6. Algoritmanın gösterimi

Örnek 3 - bir fonksiyonun grafiğini çizin:

Algoritmaya göre, öncelikle alt modüler fonksiyonun bir grafiğini oluşturmanız gerekir, onu zaten oluşturduk (bkz. Şekil 1)

Pirinç. 7. Bir fonksiyonun grafiği, örneğin 3

Örnek 4 - parametreli bir denklemin kök sayısını bulun:

Bir denklemi bir parametreyle çözmenin, parametrenin tüm değerlerinin üzerinden geçmek ve her birinin cevabını belirtmek anlamına geldiğini hatırlayın. Metodolojiye göre hareket ediyoruz. Öncelikle fonksiyonun grafiğini oluşturuyoruz, bunu önceki örnekte zaten yapmıştık (bkz. Şekil 7). Daha sonra, grafiği farklı a'lar için bir çizgi ailesiyle parçalara ayırmanız, kesişme noktalarını bulmanız ve cevabı yazmanız gerekir.

Grafiğe bakarak cevabı yazıyoruz: ne zaman ve denklemin iki çözümü var; denklemin tek çözümü olduğunda; Denklemin hiçbir çözümü olmadığında.

"Kesirli doğrusal bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak" gibi bir konuyu incelemenin yöntemlerini ele alalım. Ne yazık ki, bu çalışma temel programdan kaldırıldı ve sınıflarındaki matematik öğretmeni buna istediğimiz sıklıkta değinmiyor. Fakat, matematik dersleri Henüz kimse GIA'nın ikinci bölümünü iptal etmedi. Ve Birleşik Devlet Sınavında, C5 görevinin bütününe (parametreler aracılığıyla) girme olasılığı vardır. Bu nedenle kolları sıvayıp ortalama veya orta derecede güçlü bir öğrenciyle derste anlatmanın yöntemi üzerinde çalışmanız gerekecek. Kural olarak, bir matematik öğretmeni ana bölümler için açıklama yöntemleri geliştirir. Okul müfredatı işin ilk 5-7 yılı boyunca. Bu süre zarfında çeşitli kategorilerdeki onlarca öğrenci, öğretmenin gözünden ve elinden geçmeyi başarır. İhmal edilmiş ve doğal olarak zayıf çocuklardan, pes edenlerden ve okuldan kaçanlardan, amaçlı yeteneklere kadar.

Zamanla, bir matematik öğretmeni açıklamalarda ustalık kazanır karmaşık kavramlar basit bir dille Matematiksel bütünlük ve doğruluktan ödün vermeden. Üretilmiş bireysel stil materyal sunumu, konuşma, görsel destek ve kayıt. Deneyimli herhangi bir öğretmen dersi anlatacaktır. Gözler kapalıçünkü materyali anlamada hangi sorunların ortaya çıktığını ve bunları çözmek için neyin gerekli olduğunu önceden biliyor. Seçmek önemlidir Doğru kelimeler ve notlar, dersin başlangıcı, ortası ve sonu için örnekler ve ayrıca ödev için doğru alıştırmalar oluşturun.

Bu makalede temayla çalışmaya yönelik bazı özel teknikler tartışılacaktır.

Bir matematik öğretmeni hangi grafiklerle başlar?

Çalışılan kavramı tanımlayarak başlamanız gerekir. Kesirli doğrusal fonksiyonun formun bir fonksiyonu olduğunu hatırlatmama izin verin. İnşaatı binaya iniyor en yaygın abartı grafikleri dönüştürmek için iyi bilinen basit teknikleri kullanma. Uygulamada, bunların yalnızca öğretmenin kendisi için basit olduğu ortaya çıkıyor. Yeterli hesaplama ve dönüşüm hızına sahip güçlü bir öğrenci öğretmenin yanına gelse bile, yine de bu teknikleri ayrı ayrı öğretmek zorundadır. Neden? 9. sınıfta okulda grafikler yalnızca kaydırılarak oluşturulur ve sayısal çarpanları toplama yöntemleri (sıkıştırma ve uzatma yöntemleri) kullanılmaz. Bir matematik öğretmeni hangi grafiği kullanır? Başlamak için en iyi yer neresidir? Tüm hazırlıklar bence en uygun fonksiyon örneği kullanılarak gerçekleştirilir. . Başka ne kullanmalıyım? 9. sınıfta trigonometri grafikler olmadan işleniyor (ve Devlet Matematik Sınavı koşullarına uyacak şekilde değiştirilmiş ders kitaplarında hiç öğretilmiyor). İkinci dereceden fonksiyon bu konuda kökün sahip olduğu aynı “metodolojik ağırlığa” sahip değildir. Neden? 9. sınıfta ikinci dereceden üç terimli iyice çalışılır ve öğrenci inşaat problemlerini vardiya olmadan çözme konusunda oldukça yeteneklidir. Form anında parantezleri açma refleksini uyandırır, ardından bir parabolün tepe noktası ve bir değerler tablosu aracılığıyla standart çizim kuralını uygulayabilirsiniz. Böyle bir manevrayı gerçekleştirmek mümkün olmayacak ve matematik öğretmeninin öğrenciyi çalışmaya motive etmesi daha kolay olacaktır. genel teknikler dönüşümler. y=|x| modülünü kullanma aynı zamanda kendini haklı çıkarmaz, çünkü kök kadar yakından incelenmemiştir ve okul çocukları ondan çok korkar. Ek olarak, modülün kendisi (daha doğrusu "asılı"), incelenen dönüşümlerin sayısına dahil edilmiştir.

Dolayısıyla, öğretmenin dönüşümlere hazırlanmaktan daha uygun ve etkili bir şeyi kalmadı. kare kök. Bunun gibi bir şeyin grafiklerini oluşturmak için pratik yapmanız gerekir. Bu hazırlığın büyük bir başarı olduğunu düşünelim. Çocuk grafikleri hareket ettirebilir ve hatta sıkıştırabilir/uzatabilir. Sıradaki ne?

Bir sonraki aşama bir parçanın tamamını izole etmeyi öğrenmektir. Belki de bir matematik öğretmeninin asıl görevi budur çünkü Bütün parça Tahsis edilecekse, konuyla ilgili tüm bilgi işlem yükünün aslan payını alır. Fonksiyonun standart inşaat şemalarından birine uyacak şekilde hazırlanması son derece önemlidir. Dönüşümlerin mantığını erişilebilir, anlaşılır, diğer yandan matematiksel olarak kesin ve uyumlu bir şekilde açıklamak da önemlidir.

Size bir grafik oluşturmak için kesri forma dönüştürmeniz gerektiğini hatırlatmama izin verin. . Tam olarak bunun için, bunun için değil
, paydayı koruyoruz. Neden? Yalnızca parçalardan oluşan değil aynı zamanda asimptotları da olan bir grafik üzerinde dönüşüm yapmak zordur. Süreklilik, daha fazla veya daha az açıkça hareket eden iki veya üç noktayı bir çizgiyle birleştirmek için kullanılır. Ne zaman süreksiz fonksiyon Hangi noktaları birleştireceğinizi hemen anlayamazsınız. Bu nedenle, bir hiperbolün sıkıştırılması veya uzatılması son derece sakıncalıdır. Bir matematik öğretmeni, bir öğrenciye yalnızca vardiyalarla nasıl idare edileceğini öğretmekle yükümlüdür.

Bunu yapmak için parçanın tamamını seçmenin yanı sıra paydadaki katsayıyı da kaldırmanız gerekir. C.

Bir kesirden tam sayı kısmını seçme

Bir parçanın tamamını vurgulamayı nasıl öğretirim? Matematik öğretmenleri, öğrencinin bilgi düzeyini her zaman yeterince değerlendirememektedir. detaylı çalışma Kalanlı polinomlar için bölme teoremleri köşe bölme kuralını uygular. Bir öğretmen köşe bölme işini üstlenirse, dersin neredeyse yarısını bunu açıklamakla geçirmek zorunda kalacaktır (tabii ki her şey dikkatlice gerekçelendirilmişse). Ne yazık ki, öğretmenin bu zamanı her zaman müsait olmayabilir. Hiçbir köşeyi hatırlamamak daha iyidir.

Bir öğrenciyle çalışmanın iki şekli vardır:
1) Öğretmen ona gösterir hazır algoritma kesirli bir fonksiyonun bazı örneklerini kullanarak.
2) Öğretmen bu algoritma için mantıksal bir arama için koşullar yaratır.

İkinci yolun uygulanması bana özel ders uygulamaları için en ilginç ve son derece yararlı görünüyor öğrenci düşünmesini geliştirmek. Belirli ipuçları ve yönlendirmelerin yardımıyla, belirli bir dizi doğru adımın keşfedilmesine yol açmak çoğu zaman mümkündür. Birisi tarafından hazırlanan bir planın mekanik olarak uygulanmasının aksine, 9. sınıf öğrencisi onu bağımsız olarak aramayı öğrenir. Doğal olarak tüm açıklamaların örneklerle yapılması gerekir. Bunun için bir fonksiyonu ele alalım ve öğreticinin algoritmanın arama mantığı hakkındaki yorumlarını ele alalım. Bir matematik öğretmeni şunu soruyor: "Eksenleri kaydırmayı kullanarak standart bir grafik dönüşümü gerçekleştirmemizi engelleyen nedir? Elbette X'in hem payda hem de paydada aynı anda bulunması. Bu, paydan çıkarılması gerektiği anlamına gelir. Bunu kullanarak nasıl yapılır kimlik dönüşümleri? Kesri azaltmak için tek bir yol var. Ancak eşit faktörlerimiz (parantezler) yok. Bu, onları yapay olarak yaratmaya çalışmamız gerektiği anlamına geliyor. Ama nasıl? Herhangi bir özdeş geçiş olmadan payı paydayla değiştiremezsiniz. Payı, paydaya eşit bir parantez içerecek şekilde dönüştürmeye çalışalım. Hadi oraya koyalım zorla ve katsayıları "üst üste bindirin", böylece braket üzerinde "etki yaptıklarında", yani açılıp toplandığında benzer terimler işe yarayacaktır doğrusal polinom 2x+3.

Matematik öğretmeni, katsayılar için boşlukları boş dikdörtgenler biçiminde ekler (5-6. sınıf ders kitaplarının sıklıkla kullandığı gibi) ve bunları sayılarla doldurma görevini belirler. Seçim yapılmalı soldan sağa, ilk geçişten başlayarak. Öğrenci braketi nasıl açacağını hayal etmelidir. Genişlemesi X'li tek bir terimle sonuçlanacağı için katsayısının eski pay 2x+3'teki en büyük katsayıya eşit olması gerekir. Dolayısıyla ilk karenin 2 sayısını içerdiği açıktır. İçi doludur. Bir matematik öğretmeninin c=1 ile oldukça basit bir kesirli doğrusal fonksiyonu alması gerekir. Ancak bundan sonra pay ve paydanın (kesirli katsayılar dahil) hoş olmayan bir görünüme sahip örnekleri analiz etmeye geçebiliriz.

Devam etmek. Öğretmen parantezi açar ve sonucu hemen üstüne imzalar.
Karşılık gelen faktör çiftini gölgeleyebilirsiniz. Eski payın serbest katsayısını elde etmek için “Açık terime” ikinci boşluktan böyle bir sayı eklemek gerekir. Açıkçası 7'dir.

Daha sonra, kesir bireysel kesirlerin toplamına bölünür (Kesirleri genellikle bir bulutla daire içine alırım, düzenlerini bir kelebeğin kanatlarıyla karşılaştırırım). Ben de diyorum ki: “Kesiri kelebekle parçalayalım.” Okul çocukları bu cümleyi iyi hatırlıyor.

Matematik öğretmeni, hiperbol kaydırma algoritmasını zaten uygulayabileceğiniz bir forma bütün bir parçayı ayırma sürecinin tamamını gösterir:

Payda yoksa bire eşit en yüksek katsayı, o zaman hiçbir durumda onu orada bırakmamalısınız. Bu hem öğretmene hem de öğrenciye ekstra kazanç sağlayacaktır. baş ağrısı gerçekleştirme ihtiyacı ile bağlantılı ek dönüşüm, Ve en zor şey: sıkıştırma - germe. Doğru orantılılık grafiğinin şematik yapısı için payın türü önemli değildir. Önemli olan burcunu bilmek. O zaman paydanın en yüksek katsayısını ona aktarmak daha iyidir. Örneğin, fonksiyonla çalışırsak , sonra parantezden 3'ü çıkarırız ve onu paya "yükseltiriz" ve içinde bir kesir oluştururuz. Yapımı için çok daha uygun bir ifadeyle karşılaşıyoruz: Geriye sağa ve 2 yukarıya kaydırmak kalıyor.

2. kısmın tamamı ile kalan kesir arasında bir “eksi” varsa, bunu paya dahil etmek de daha iyidir. Aksi takdirde, inşaatın belirli bir aşamasında, hiperbolün Oy eksenine göre ek olarak gösterilmesi gerekecektir. Bu yalnızca süreci karmaşıklaştıracaktır.

Bir matematik öğretmeninin altın kuralı:
grafiğin simetrisine, sıkışmasına veya uzamasına yol açan tüm uygunsuz katsayılar paya aktarılmalıdır.

Herhangi bir konuyla çalışma tekniklerini tanımlamak zordur. Her zaman bir miktar yetersizlik hissi vardır. Kesirli doğrusal bir fonksiyondan ne ölçüde bahsedebildiğimizi yargılamak size kalmış. Yorumlarınızı ve değerlendirmelerinizi makaleye gönderin (sayfanın altında gördüğünüz kutuya yazılabilirler). Bunları mutlaka yayınlayacağım.

Kolpakov A.N. Matematik öğretmeni Moskova. Strogino. Öğretmenler için yöntemler.

“SUBAŞI TEMEL EĞİTİM OKULU” BALTASI BELEDİYESİ İLÇESİ

TATARİSTAN CUMHURİYETİ

Ders geliştirme - 9. sınıf

Konu: Kesirli – Doğrusal Fonksiyondurum

yeterlilik kategorisi

GarifullinADemiryoluBENRifkatovna

201 4

Ders konusu: Kesirli doğrusal bir fonksiyondur.

Dersin amacı:

Eğitici: Öğrencileri kavramlarla tanıştırınkesirli – doğrusal fonksiyon ve asimptot denklemi;

Gelişimsel: Tekniklerin oluşumu mantıksal düşünme konuya ilginin gelişimi; tanım alanının belirlenmesini, kesirli doğrusal bir fonksiyonun değer alanını ve grafiğini oluşturma becerilerinin oluşumunu geliştirmek;

- motivasyon hedefi:Öğrencilerin matematik kültürünü, dikkatlerini beslemek, konuyu uygulama yoluyla çalışmaya ilgilerini sürdürmek ve geliştirmek çeşitli formlar bilginin ustalığı.

Ekipman ve literatür: Dizüstü bilgisayar, projektör, interaktif tahta y= fonksiyonunun koordinat düzlemi ve grafiği yansıma haritası, multimedya sunumu,Cebir: 9. sınıf temel ders kitabı ortaokul/ Yu.N. Makarychev, N.G. Mendyuk, K.I. S.A. Telyakovsky / M: “Prosveshchenie”, 2004, eklemelerle düzenlenmiştir.

Ders türü:

bilgi, beceri ve yeteneklerin geliştirilmesine yönelik ders.

Dersler sırasında.

BEN Zamanı organize etmek:

Hedef: - sözlü hesaplama becerilerinin geliştirilmesi;

tekrarlama teorik materyaller ve yeni bir konuyu incelemek için gerekli tanımlar.

Tünaydın Derse ödevleri kontrol ederek başlıyoruz:

Ekrana dikkat (slayt 1-4):

1. Egzersiz.

Lütfen 3. soruyu bu fonksiyonun grafiğini kullanarak cevaplayın (fonksiyonun en büyük değerini bulun, ...)

( 24 )

Görev -2. İfadenin değerini hesaplayın:

- =

Görev-3: Köklerin toplamının üç katını bulun ikinci dereceden denklem:

X 2 -671∙X + 670= 0.

İkinci dereceden denklemin katsayılarının toplamı sıfırdır:

1+(-671)+670 = 0. Yani x 1 =1 ve x 2 = Buradan,

3∙(x 1 +x 2 )=3∙671=2013

Şimdi 3 görevin de cevaplarını noktalar kullanarak sırayla yazalım. (24/12/2013.)

Sonuç: Evet, doğru! O halde bugünkü dersin konusu:

Kesirli doğrusal bir fonksiyondur.

Sürücünün yolda araç kullanmadan önce kuralları bilmesi gerekir trafik: Yasaklayan ve izin veren işaretler. Bugün sen ve ben de bazı yasaklayıcı ve izin verici işaretleri hatırlamamız gerekiyor. Ekrana dikkat! (Slayt-6 )

Çözüm:

İfadenin hiçbir anlamı yok;

Doğru ifade, cevap: -2;

doğru ifade, cevap: -0;

0'ı sıfıra bölemezsiniz!

Lütfen her şeyin doğru şekilde yazıldığını unutmayın. (slayt – 7)

1) ; 2) = ; 3) = bir .

(1) gerçek eşitlik, 2) = - ; 3) = - A )

II. Yeni bir konu öğrenmek: (slayt – 8).

Hedef: Kesirli doğrusal bir fonksiyonun tanım tanım kümesini ve değer kümesini bulma, fonksiyonun grafiğinin apsis ve ordinat ekseni boyunca paralel aktarımını kullanarak grafiğini oluşturma becerilerini öğretmek.

Hangi fonksiyonun grafiğinin verildiğini belirleyin koordinat uçağı?

Bir fonksiyonun koordinat düzlemindeki grafiği verilmiştir.

Soru

Beklenen yanıt

Fonksiyonun tanımının tanım kümesini bulun (D( sen)=?)

X ≠0 veya(-∞;0]UUU

Fonksiyonun grafiğini Ox ekseni (abscissa) boyunca paralel öteleme kullanarak 1 birim sağa hareket ettiriyoruz;

Hangi fonksiyonun grafiğini çizdiniz?

Fonksiyonun grafiğini Oy (koordinat) ekseni boyunca paralel ötelemeyi kullanarak 2 birim yukarı hareket ettiriyoruz;

Şimdi hangi fonksiyonun grafiğini çizdiniz?

Düz çizgiler çizin x=1 ve y=2

Nasıl düşünüyorsun? Siz ve ben hangi doğrudan mesajları aldık?

Bunlar düz olanlar, fonksiyon grafiğinin eğrisinin noktalarının sonsuza doğru uzaklaştıkça yaklaştığı nokta.

Ve onlara denir– asimptotlar.

Yani, hiperbolün bir asimptotu y eksenine 2 birim sağında paralel uzanır ve ikinci asimptotu da onun 1 birim yukarısında x eksenine paralel uzanır.

Tebrikler! Şimdi sonuca varalım:

Doğrusal kesirli bir fonksiyonun grafiği bir hiperboldür ve hiperbolden elde edilebilir: y =kullanarak paralel transferler koordinat eksenleri boyunca. Bunu yapmak için kesirli doğrusal fonksiyonun formülü aşağıdaki biçimde sunulmalıdır: y =

burada n, hiperbolün sağa veya sola kaydırıldığı birim sayısıdır, m ise hiperbolün yukarı veya aşağı kaydırıldığı birim sayısıdır. Bu durumda hiperbolün asimptotları x = m, y = n düz çizgilerine kaydırılır.

Burada kesirli doğrusal fonksiyon örnekleri verilmiştir:

; .

Kesirli bir doğrusal fonksiyon, y = formunun bir fonksiyonudur , burada x bir değişkendir, a, b, c, d bazı sayılardır ve c ≠ 0, ad – bc ≠ 0.

c≠0 vereklam- M.Ö≠0, çünkü c=0'da fonksiyon doğrusal bir fonksiyona dönüşür.

Eğerreklam- M.Ö=0, elde edilen kesir şuna eşit bir değerdir: (yani sabit).

Kesirli doğrusal fonksiyonun özellikleri:

1. Artırırken pozitif değerler argümanı, fonksiyon değerleri azalır ve sıfıra yönelir, ancak pozitif kalır.

2. Fonksiyonun pozitif değerleri arttıkça argümanın değerleri azalır ve sıfıra yönelir ancak pozitif kalır.

III – kapsanan malzemenin konsolidasyonu.

Hedef: - Sunum becerilerini ve yeteneklerini geliştirmekkesirli doğrusal fonksiyonun formülleri şu şekildedir:

Asimptot denklemleri oluşturma ve kesirli doğrusal fonksiyonun grafiğini çizme becerilerini güçlendirin.

Örnek 1:

Çözüm: Dönüşümleri kullanarak bu fonksiyonu formda temsil ediyoruz .

= (slayt 10)

Beden eğitimi dakikası:

(ısınma görevli memur tarafından yürütülür)

Hedef: - zihinsel stresin giderilmesi ve öğrencilerin sağlığının iyileştirilmesi.

Ders kitabıyla çalışmak: No. 184.

Çözüm: Dönüşümleri kullanarak bu fonksiyonu y=k/(x-m)+n formunda temsil ediyoruz.

= de x≠0.

Asimptot denklemini yazalım: x=2 ve y=3.

Yani fonksiyonun grafiği Ox ekseni boyunca 2 birim sağında ve Oy ekseni boyunca 3 birim mesafede hareket eder.

Grup çalışması:

Hedef: - başkalarını dinleme ve aynı zamanda kendi fikrini özel olarak ifade etme yeteneğini geliştirmek;

liderlik yeteneğine sahip bir kişinin eğitimi;

Öğrencilerde matematiksel konuşma kültürünü beslemek.

Seçenek 1

Verilen fonksiyon:

Seçenek No.2

Bir fonksiyon verildiğinde

1. Doğrusal kesirli fonksiyonu azaltın standart görünüm ve asimptotların denklemini yazın.

2. Fonksiyonun tanım kümesini bulun

3. Fonksiyon değerleri kümesini bulun

1. Doğrusal kesirli fonksiyonu standart forma indirgeyin ve asimptotların denklemini yazın.

2. Fonksiyonun tanım kümesini bulun.

3. Fonksiyonun değer kümesini bulun.

(İşi ilk bitiren grup savunmaya hazırlanıyor grup çalışması karatahtada. Çalışma analiz ediliyor.)

IV. Dersi özetlemek.

Hedef: - teorik ve pratik aktiviteler derste;

Öğrencilerde benlik saygısı becerilerinin oluşumu;

Öğrencilerin etkinliklerinin ve bilincinin yansıması, öz değerlendirmesi.

Ve böylece sevgili öğrencilerim! Ders sona eriyor. Bir yansıma kartı doldurmanız gerekir. Görüşlerinizi dikkatli ve okunaklı bir şekilde yazın

Soyadı ve adı ________________________________________

Ders adımları

Ders aşamalarının karmaşıklık düzeyinin belirlenmesi

Senin üçümüz

Dersteki aktivitenizin değerlendirilmesi, 1-5 puan

kolay

orta ağır

zor

Organizasyon aşaması

Yeni materyal öğrenme

Kesirli doğrusal bir fonksiyonun grafiğini çizme becerilerinin oluşturulması

Grup çalışması

Ders hakkında genel görüş

Ev ödevi:

Hedef: - bu konunun ustalık düzeyinin kontrol edilmesi.

[madde 10*, No. 180(a), 181(b).]

Devlet Sınavına Hazırlık: (Üzerinde çalışmak "Sanal seçmeli" )

Egzersiz yapmak GIA serisinden (No. 23) -en yüksek puan):

Y= fonksiyonunun grafiğini çizinve y=c düz çizgisinin hangi c değerlerinde grafikle tam olarak bir ortak noktaya sahip olduğunu belirleyin.

Sorular ve ödevler 14.00-14.30 saatleri arasında yayınlanacaktır.

1. Kesirli doğrusal fonksiyon ve grafiği

P(x) ve Q(x)'in polinom olduğu y = P(x) / Q(x) formundaki bir fonksiyona kesirli rasyonel fonksiyon denir.

Muhtemelen rasyonel sayılar kavramına zaten aşinasınızdır. Aynı şekilde rasyonel fonksiyonlar iki polinomun bölümü olarak temsil edilebilen fonksiyonlardır.

Kesirli bir rasyonel fonksiyon, iki doğrusal fonksiyonun bölümü ise - birinci dereceden polinomlar, yani. formun işlevi

y = (ax + b) / (cx + d) ise buna kesirli doğrusal denir.

y = (ax + b) / (cx + d) fonksiyonunda c ≠ 0 (aksi halde fonksiyon doğrusal olur y = ax/d + b/d) ve a/c ≠ b/d (aksi takdirde fonksiyon sabittir). Doğrusal kesirli fonksiyon, x = -d/c dışındaki tüm gerçek sayılar için tanımlanır. Kesirli doğrusal fonksiyonların grafikleri bildiğiniz y = 1/x grafiğinden şekil olarak farklı değildir. y = 1/x fonksiyonunun grafiği olan bir eğriye denir. abartı. Mutlak değerde x sınırsız bir artışla, y = 1/x fonksiyonu mutlak değerde sınırsız azalır ve grafiğin her iki dalı da apsise yaklaşır: sağdaki yukarıdan, soldaki aşağıdan yaklaşır. Bir hiperbol yaklaşımının dallarının bulunduğu çizgilere hiperbol denir. asimptotlar.

Örnek 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Çözüm.

Parçanın tamamını seçelim: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Artık bu fonksiyonun grafiğinin, y = 1/x fonksiyonunun grafiğinden aşağıdaki dönüşümlerle elde edildiğini görmek kolaydır: sağa doğru 3 birim parça kaydırma, Oy ekseni boyunca 7 kez uzatma ve 2 birim kaydırma birim segmentleri yukarı doğru.

Herhangi bir kesir y = (ax + b) / (cx + d) "tamsayı kısmı" vurgulanarak benzer şekilde yazılabilir. Sonuç olarak, tüm kesirli doğrusal fonksiyonların grafikleri, koordinat eksenleri boyunca çeşitli şekillerde kaydırılmış ve Oy ekseni boyunca uzatılmış hiperbollerdir.

Herhangi bir keyfi kesirli-doğrusal fonksiyonun grafiğini oluşturmak için, bu fonksiyonu tanımlayan kesri dönüştürmek hiç de gerekli değildir. Grafiğin bir hiperbol olduğunu bildiğimiz için, dallarının yaklaştığı düz çizgileri (x = -d/c ve y = a/c hiperbolünün asimptotlarını) bulmak yeterli olacaktır.

Örnek 2.

y = (3x + 5)/(2x + 2) fonksiyonunun grafiğinin asimptotlarını bulun.

Çözüm.

Fonksiyon x = -1'de tanımlı değildir. Bu, x = -1 düz çizgisinin dikey bir asimptot görevi gördüğü anlamına gelir. Yatay asimptotu bulmak için x argümanının mutlak değeri arttığında y(x) fonksiyonunun değerlerinin neye yaklaştığını bulalım.

Bunu yapmak için kesrin payını ve paydasını x'e bölün:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

x → ∞ olduğundan kesir 3/2 olacaktır. Bu, yatay asimptotun y = 3/2 düz çizgisi olduğu anlamına gelir.

Örnek 3.

y = (2x + 1)/(x + 1) fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm.

Kesrin “tam kısmını” seçelim:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Etki Alanı D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Değer aralığı E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Eksenlerle kesişme noktaları: c Oy: (0; 1); c Öküz: (-1/2; 0). Fonksiyon, tanım bölgesinin her aralığında artar.

Cevap: Şekil 1.

2. Kesirli rasyonel fonksiyon

y = P(x) / Q(x) formunda kesirli bir rasyonel fonksiyon düşünün; burada P(x) ve Q(x), birinciden daha yüksek dereceli polinomlardır.

Bu tür rasyonel fonksiyonlara örnekler:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) veya y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Kesir uygun bir kesir olsun (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Açıkçası, kesirli bir rasyonel fonksiyonun grafiği, temel kesirlerin grafiklerinin toplamı olarak elde edilebilir.

Kesirli rasyonel fonksiyonların grafiklerini çizme

Kesirli bir rasyonel fonksiyonun grafiklerini oluşturmanın birkaç yolunu ele alalım.

Örnek 4.

y = 1/x 2 fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm.

Y = 1/x 2 grafiğini oluşturmak için y = x 2 fonksiyonunun grafiğini kullanırız ve grafikleri “bölme” tekniğini kullanırız.

Etki Alanı D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Değer aralığı E(y) = (0; +∞).

Eksenler ile kesişme noktaları yoktur. Fonksiyon eşittir. (-∞; 0) aralığından itibaren tüm x için artar, x için 0'dan +∞'a azalır.

Cevap: Şekil 2.

Örnek 5.

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm.

Etki Alanı D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Burada çarpanlara ayırma, azaltma ve doğrusal bir fonksiyona indirgeme tekniğini kullandık.

Cevap: Şekil 3.

Örnek 6.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm.

Tanım alanı D(y) = R'dir. Fonksiyon çift olduğundan grafik ordinatlara göre simetriktir. Bir grafik oluşturmadan önce, ifadenin tamamını vurgulayarak ifadeyi yeniden dönüştürelim:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Kesirli bir rasyonel fonksiyonun formülündeki tamsayı kısmı izole etmenin, grafik oluştururken ana kısımlardan biri olduğunu unutmayın.

Eğer x → ±∞ ise, o zaman y → 1, yani. y = 1 düz çizgisi yatay bir asimptottur.

Cevap: Şekil 4.

Örnek 7.

y = x/(x 2 + 1) fonksiyonunu ele alalım ve onun en büyük değerini doğru bir şekilde bulmaya çalışalım; Grafiğin sağ yarısındaki en yüksek nokta. Bu grafiği doğru bir şekilde oluşturmak için günümüzün bilgisi yeterli değildir. Açıkçası, eğrimiz çok yükseğe "yükselemez" çünkü payda hızla payı "sollamaya" başlar. Bakalım fonksiyonun değeri 1'e eşit olabilecek mi? Bunun için x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 denklemini çözmemiz gerekiyor. Bu denklemin gerçel kökleri yoktur. Bu, varsayımımızın yanlış olduğu anlamına gelir. Fonksiyonun en büyük değerini bulmak için, A = x/(x 2 + 1) denkleminin hangi en büyük A'da çözüme sahip olacağını bulmanız gerekir. Orijinal denklemi ikinci dereceden bir denklemle değiştirelim: Ax 2 – x + A = 0. Bu denklemin 1 – 4A 2 ≥ 0 olduğunda çözümü vardır. Buradan en büyük A = 1/2 değerini buluruz.

Cevap: Şekil 5, maksimum y(x) = ½.

Hala sorularınız mı var? Fonksiyonların grafiğini nasıl çizeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.