Bir kökün ve karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülü. Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü kullanma örnekleri

Çözüm kesirli rasyonel denklemler

Başvuru Kılavuzu

Rasyonel denklemler, hem sol hem de sağ tarafların rasyonel ifadeler olduğu denklemlerdir.

(Unutmayın: rasyonel ifadeler, toplama, çıkarma, çarpma veya bölme işlemlerini de içeren kök içermeyen tamsayı ve kesirli ifadelerdir - örneğin: 6x; (m – n)2; x/3y, vb.)

Kesirli rasyonel denklemler genellikle şu şekle indirgenir:

Nerede P(X) Ve Q(X) polinomlardır.

Bu tür denklemleri çözmek için denklemin her iki tarafını da Q(x) ile çarpın; yabancı kökler. Bu nedenle kesirli rasyonel denklemleri çözerken bulunan kökleri kontrol etmek gerekir.

Rasyonel bir denklem, değişken içeren bir ifadeye bölünmüyorsa bütün veya cebirsel olarak adlandırılır.

Tam bir rasyonel denklemin örnekleri:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

Rasyonel bir denklemde (x) değişkenini içeren bir ifadeye bölünme varsa, o zaman denklem kesirli rasyonel olarak adlandırılır.

Kesirli rasyonel denklem örneği:

15
x + - = 5x – 17
X

Kesirli rasyonel denklemler genellikle aşağıdaki şekilde çözülür:

1) bul ortak payda kesirler ve denklemin her iki tarafını da bununla çarpın;

2) ortaya çıkan denklemin tamamını çözün;

3) kesirlerin ortak paydasını sıfıra indirenleri köklerinden hariç tutun.

Tamsayılı ve kesirli rasyonel denklemlerin çözümüne örnekler.

Örnek 1. Denklemin tamamını çözelim

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Çözüm:

En düşük ortak paydayı bulma. Bu 6'dır. 6'yı paydaya bölün ve elde edilen sonucu her kesrin payı ile çarpın. Buna eşdeğer bir denklem elde ederiz:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Çünkü solda ve doğru parçalar aynı payda, ihmal edilebilir. O zaman daha basit bir denklem elde ederiz:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Parantezleri açıp bir araya getirerek çözüyoruz benzer üyeler:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Örnek çözüldü.

Örnek 2. Kesirli bir rasyonel denklemi çözün

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

Ortak bir payda bulmak. Bu x(x – 5). Bu yüzden:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Artık tüm ifadeler için aynı olduğundan paydadan tekrar kurtuluyoruz. Benzer terimleri azaltırız, denklemi sıfıra eşitleriz ve elde ederiz ikinci dereceden denklem:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

İkinci dereceden denklemi çözdükten sonra köklerini buluruz: –2 ve 5.

Bu sayıların orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol edelim.

x = –2'de, x(x – 5) ortak paydası kaybolmaz. Bu –2'nin orijinal denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

x = 5 olduğunda ortak payda sıfıra gider ve üç ifadeden ikisi anlamsız hale gelir. Bu, 5 sayısının orijinal denklemin kökü olmadığı anlamına gelir.

Cevap: x = –2

Daha fazla örnek

Örnek 1.

x 1 =6, x 2 = - 2,2.

Cevap: -2,2;6.

Örnek 2.

İkinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini zaten öğrendik. Şimdi çalışılan yöntemleri rasyonel denklemlere genişletelim.

Rasyonel ifade nedir? Bu kavramla zaten karşılaştık. Rasyonel ifadeler sayılar, değişkenler, bunların güçleri ve matematiksel işlem sembollerinden oluşan ifadelerdir.

Buna göre rasyonel denklemler aşağıdaki formdaki denklemlerdir: burada - rasyonel ifadeler.

Daha önce yalnızca doğrusal denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemleri değerlendiriyorduk. Şimdi ikinci dereceden denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemlere bakalım.

Örnek 1

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Bir kesir ancak ve ancak payı 0'a eşitse ve paydası 0'a eşit değilse 0'a eşittir.

Aşağıdaki sistemi elde ediyoruz:

Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden bir denklemdir. Çözmeden önce tüm katsayılarını 3'e bölelim. Bunu elde ederiz:

İki kök elde ediyoruz: ; .

2 hiçbir zaman 0'a eşit olmadığından iki koşulun karşılanması gerekir: . Yukarıda elde edilen denklemin köklerinin hiçbiri çakışmadığı için geçersiz değerlerİkinci eşitsizliği çözerek elde edilen değişkenlerin her ikisi de çözümdür verilen denklem.

Cevap:.

Öyleyse rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma formüle edelim:

1. Tüm şartları şuraya aktarın: sol taraf böylece sağ taraf 0 olur.

2. Sol tarafı dönüştürün ve basitleştirin, tüm kesirleri ortak bir paydaya getirin.

3. Ortaya çıkan kesri 0'a eşitleyin: aşağıdaki algoritmaya: .

4. Birinci denklemde elde edilen kökleri yazın ve cevapta ikinci eşitsizliği sağlayın.

Başka bir örneğe bakalım.

Örnek 2

Denklemi çözün: .

Çözüm

En başta tüm terimleri şuraya taşıyalım: sol taraf 0 sağda kalacak şekilde şunu elde ederiz:

Şimdi denklemin sol tarafını ortak bir paydaya getirelim:

Bu denklem sisteme eşdeğerdir:

Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden bir denklemdir.

Bu denklemin katsayıları: . Diskriminantı hesaplıyoruz:

İki kök elde ediyoruz: ; .

Şimdi ikinci eşitsizliği çözelim: Faktörlerden hiçbiri 0'a eşit değilse, faktörlerin çarpımı 0'a eşit değildir.

İki koşulun karşılanması gerekir: . İlk denklemin iki kökünden yalnızca birinin uygun olduğunu bulduk - 3.

Cevap:.

Bu dersimizde rasyonel ifadenin ne olduğunu hatırladık ve ikinci dereceden denklemlere indirgenebilen rasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik.

Bir sonraki derste rasyonel denklemlere model olarak bakacağız gerçek durumlar ve ayrıca hareket görevlerini de göz önünde bulundurun.

Referanslar

1. Bashmakov M.I. Cebir, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ve diğerleri Cebir, 8. 5. baskı. - M.: Eğitim, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Cebir, 8. sınıf. için öğretici eğitim kurumları. - M.: Eğitim, 2006.

1. Festival pedagojik fikirler "Açık ders" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Ev ödevi

İfadenin tamamı matematiksel ifade toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerini kullanan sayılar ve alfabetik değişkenlerden oluşur. Tamsayılar ayrıca sıfır dışında herhangi bir sayıya bölmeyi içeren ifadeleri de içerir.

Kesirli rasyonel ifade kavramı

Kesirli ifade, sayı ve harf değişkenleriyle yapılan toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin yanı sıra, sıfıra eşit olmayan bir sayıya bölme işlemlerini de içeren, harf değişkenli ifadelere bölmeyi de içeren matematiksel bir ifadedir.

Rasyonel ifadelerin tümü tamsayı ve kesirli ifadelerdir. Rasyonel denklemler, sol ve sağ taraflarının rasyonel ifadeler olduğu denklemlerdir. Rasyonel bir denklemde sol ve sağ taraflar tamsayı ifadeleri ise, o zaman böyle bir rasyonel denkleme tamsayı denir.

Rasyonel bir denklemde sol veya sağ taraflar ise kesirli ifadeler o zaman böyle rasyonel bir denkleme kesirli denir.

Kesirli rasyonel ifade örnekleri

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Kesirli rasyonel denklemi çözme şeması

1. Denklemde yer alan tüm kesirlerin ortak paydasını bulun.

2. Denklemin her iki tarafını ortak bir paydayla çarpın.

3. Ortaya çıkan denklemin tamamını çözün.

4. Kökleri kontrol edin ve ortak paydayı ortadan kaldıranları hariç tutun.

Kesirli rasyonel denklemleri çözdüğümüz için kesirlerin paydalarında değişkenler olacaktır. Bu onların ortak payda olacağı anlamına gelir. Ve algoritmanın ikinci noktasında ortak bir paydayla çarpıyoruz, o zaman yabancı kökler görünebilir. Ortak paydanın sıfıra eşit olacağı nokta, onunla çarpmanın anlamsız olacağı anlamına gelir. Bu nedenle sonunda elde edilen kökleri kontrol etmek gerekir.

Bir örneğe bakalım:

Kesirli rasyonel denklemi çözün: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

sadık kalacağız genel şema: Öncelikle tüm kesirlerin ortak paydasını bulalım. x*(x-5) elde ederiz.

Her kesri ortak bir paydayla çarpın ve elde edilen denklemin tamamını yazın.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Ortaya çıkan denklemi basitleştirelim. Şunu elde ederiz:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Basit, indirgenmiş ikinci dereceden bir denklem elde ederiz. Herhangi biriyle çözüyoruz bilinen yöntemler x=-2 ve x=5 köklerini elde ederiz.

Şimdi elde edilen çözümleri kontrol ediyoruz:

-2 ve 5 sayılarını ortak paydada değiştirin. x=-2'de ortak payda x*(x-5) kaybolmaz, -2*(-2-5)=14. Bu, -2 sayısının orijinal kesirli rasyonel denklemin kökü olacağı anlamına gelir.

x=5 olduğunda ortak payda x*(x-5) olur sıfıra eşit. Dolayısıyla bu sayı orijinal kesirli rasyonel denklemin kökü değildir, çünkü sıfıra bölünme olacaktır.

Yukarıdaki denklemi § 7'de tanıttık. Öncelikle rasyonel ifadenin ne olduğunu hatırlayalım. Bu - cebirsel ifade doğal bir üsle toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerini kullanan sayılar ve x değişkeninden oluşur.

Eğer r(x) rasyonel bir ifade ise r(x) = 0 denklemine rasyonel denklem denir.

Ancak pratikte "rasyonel denklem" teriminin biraz daha geniş bir yorumunu kullanmak daha uygundur: bu, h(x) = q(x) formundaki bir denklemdir; burada h(x) ve q(x) eşittir Rasyonel ifadeler.

Şimdiye kadar herhangi bir rasyonel denklemi çözemedik, ancak yalnızca çeşitli dönüşümler ve akıl yürütmeler sonucunda şuna indirgenen bir denklemi çözebildik: doğrusal denklem. Artık yeteneklerimiz çok daha büyük: yalnızca doğrusal olmayan bir rasyonel denklemi çözebileceğiz.
mu, ama aynı zamanda ikinci dereceden denklem için de.

Daha önce rasyonel denklemleri nasıl çözdüğümüzü hatırlayalım ve bir çözüm algoritması oluşturmaya çalışalım.

Örnek 1. Denklemi çöz

Çözüm. Denklemi formda yeniden yazalım.

Bu durumda, her zaman olduğu gibi, A = B ve A - B = 0 eşitliklerinin A ve B arasındaki aynı ilişkiyi ifade etmesinden yararlanıyoruz. Bu, terimi denklemin sol tarafına taşımamızı sağladı. ters işaret.

Denklemin sol tarafını dönüştürelim. Sahibiz

Eşitlik koşullarını hatırlayalım kesirler sıfır: ancak ve ancak iki ilişki aynı anda sağlanırsa:

1) kesrin payı sıfırdır (a = 0); 2) kesrin paydası sıfırdan farklıdır).
Denklemin (1) sol tarafındaki kesrin payını sıfıra eşitlersek şunu elde ederiz:

Yukarıda belirtilen ikinci koşulun yerine getirilip getirilmediğini kontrol etmek kalır. İlişki, denklem (1) için şu anlama gelir: . X 1 = 2 ve x 2 = 0,6 değerleri belirtilen ilişkileri karşılar ve bu nedenle denklemin (1) kökleri ve aynı zamanda verilen denklemin kökleri olarak görev yapar.

1) Denklemi forma dönüştürelim

2) Bu denklemin sol tarafını dönüştürelim:

(aynı anda paydaki işaretleri değiştirdi ve
kesirler).
Böylece, verilen denklem formu alır

3) x 2 - 6x + 8 = 0 denklemini çözün. Bulun

4) Bulunan değerler için koşulun yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin . 4 sayısı bu şartı sağlıyor ama 2 sayısı karşılamıyor. Bu, 4'ün verilen denklemin kökü olduğu ve 2'nin yabancı bir kök olduğu anlamına gelir.
CEVAP: 4.

2. Yeni bir değişken ekleyerek rasyonel denklemleri çözme

Yeni bir değişken ekleme yöntemi size tanıdık geliyor; bunu birden fazla kez kullandık. Rasyonel denklemlerin çözümünde nasıl kullanıldığını örneklerle gösterelim.

Örnek 3. x 4 + x 2 - 20 = 0 denklemini çözün.

Çözüm. Yeni bir değişken tanıtalım: y = x 2. x 4 = (x 2) 2 = y 2 olduğundan verilen denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

y 2 + y - 20 = 0.

Bu, kökleri bilinen yöntemler kullanılarak bulunabilen ikinci dereceden bir denklemdir. formüller; y 1 = 4, y 2 = - 5 elde ederiz.
Ancak y = x 2, bu da sorunun iki denklemin çözülmesine indirgendiği anlamına gelir:
x2 =4; x2 = -5.

Birinci denklemden ikinci denklemin köklerinin olmadığını görüyoruz.
Cevap: .
ax 4 + bx 2 + c = 0 biçimindeki bir denkleme iki ikinci dereceden denklem denir (“bi” ikidir, yani bir tür “çift ikinci dereceden” denklem). Az önce çözülen denklem tam olarak iki ikinci derecedendi. Herhangi iki ikinci dereceden denklemörnek 3'teki denklemle aynı şekilde çözülür: yeni bir y = x 2 değişkeni ekleyin, elde edilen ikinci dereceden denklemi y değişkenine göre çözün ve ardından x değişkenine geri dönün.

Örnek 4. Denklemi çöz

Çözüm. Aynı x 2 + 3x ifadesinin burada iki kez göründüğüne dikkat edin. Bu, yeni bir y = x 2 + 3x değişkenini tanıtmanın anlamlı olduğu anlamına gelir. Bu, denklemi daha basit ve daha hoş bir biçimde yeniden yazmamıza olanak tanıyacaktır (aslında bu, yeni bir formül sunmanın amacıdır). değişken- ve kaydın basitleştirilmesi
daha net hale gelir ve denklemin yapısı daha net hale gelir):

Şimdi rasyonel bir denklemi çözmek için algoritmayı kullanalım.

1) Denklemin tüm terimlerini tek bir parçaya taşıyalım:

= 0
2) Denklemin sol tarafını dönüştürün

Böylece verilen denklemi forma dönüştürdük.

3) - 7y 2 + 29y -4 = 0 denkleminden şunu buluyoruz (sen ve ben zaten pek çok ikinci dereceden denklem çözdük, bu yüzden muhtemelen ders kitabında her zaman ayrıntılı hesaplamalar vermeye değmez).

4) Bulunan kökleri 5 (y - 3) (y + 1) koşulunu kullanarak kontrol edelim. Her iki kök de bu şartı sağlamaktadır.
Böylece yeni değişken y için ikinci dereceden denklem çözülür:
y = x 2 + 3x ve y, belirlediğimiz gibi iki değer aldığından: 4 ve , hâlâ iki denklemi çözmemiz gerekiyor: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Birinci denklemin kökleri 1 ve -4 sayıları, ikinci denklemin kökleri ise sayılardır

Ele alınan örneklerde, yeni bir değişken ekleme yöntemi, matematikçilerin söylemeyi sevdiği gibi, duruma uygundu, yani duruma iyi bir şekilde karşılık geliyordu. Neden? Evet, çünkü aynı ifade denklemde birkaç kez açıkça ortaya çıktı ve bu ifadenin belirtilmesinin bir nedeni vardı. yeni mektup. Ancak bu her zaman gerçekleşmez; bazen yeni bir değişken yalnızca dönüşüm süreci sırasında "ortaya çıkar". Bir sonraki örnekte de tam olarak bu olacak.

Örnek 5. Denklemi çöz
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Çözüm. Sahibiz
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.

Bu, verilen denklemin şu şekilde yeniden yazılabileceği anlamına gelir:

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Artık yeni bir değişken "ortaya çıktı": y = x 2 - 3x.

Onun yardımıyla denklem y (y + 2) = 24 ve ardından y 2 + 2y - 24 = 0 şeklinde yeniden yazılabilir. Bu denklemin kökleri 4 ve -6 sayılarıdır.

Orijinal x değişkenine dönersek, x 2 - 3x = 4 ve x 2 - 3x = - 6 olmak üzere iki denklem elde ederiz. İlk denklemden x 1 = 4, x 2 = - 1'i buluruz; ikinci denklemin kökleri yoktur.

CEVAP: 4, - 1.

Türev formülünün bir kanıtı verilmiştir karmaşık fonksiyon. Karmaşık bir fonksiyonun bir veya iki değişkene bağlı olduğu durumlar ayrıntılı olarak ele alınır. Duruma bir genelleme yapıldı herhangi bir sayı değişkenler.

Burada sonucu sunuyoruz aşağıdaki formüller karmaşık bir fonksiyonun türevi için.
Eğer öyleyse
.
Eğer öyleyse
.
Eğer öyleyse
.

Karmaşık bir fonksiyonun tek değişkenden türevi

X değişkenli bir fonksiyonun aşağıdaki biçimde karmaşık bir fonksiyon olarak temsil edilmesine izin verin:
,
bazı işlevlerin olduğu yer. Fonksiyon x değişkeninin bazı değerleri için türevlenebilir.
Fonksiyon değişkenin değerinde türevlenebilir.
(1) .

Daha sonra karmaşık (bileşik) fonksiyon x noktasında türevlenebilir ve türevi aşağıdaki formülle belirlenir:
;
.

Formül (1) aşağıdaki şekilde de yazılabilir:

Kanıt
;
.
Aşağıdaki gösterimi tanıtalım.

Burada ve değişkenlerinin bir fonksiyonu var, ve değişkenlerinin bir fonksiyonu var.
;
.

Ancak hesaplamaları karıştırmamak için bu fonksiyonların argümanlarını atlayacağız.
.
ve fonksiyonları sırasıyla x ve , noktalarında türevlenebilir olduğundan, bu noktalarda bu fonksiyonların aşağıdaki limitlere sahip türevleri vardır:
.
Aşağıdaki işlevi göz önünde bulundurun:
.

u değişkeninin sabit bir değeri için, bir fonksiyonudur.
.
Aşağıdaki işlevi göz önünde bulundurun:
.

Açıkça görülüyor ki

.

Daha sonra

Fonksiyon bir noktada türevlenebilir bir fonksiyon olduğundan o noktada süreklidir. Bu yüzden

Şimdi türevini buluyoruz.
,
Formül kanıtlanmıştır.
.
Sonuçlar

Bir x değişkeninin bir fonksiyonu, karmaşık bir fonksiyonun karmaşık bir fonksiyonu olarak temsil edilebiliyorsa
daha sonra türevi formülle belirlenir
.
Burada bazı türevlenebilir fonksiyonlar vardır.
.
Bu formülü kanıtlamak için, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını kullanarak türevi sırayla hesaplıyoruz.
.
Burada bazı türevlenebilir fonksiyonlar vardır.
.

Karmaşık işlevi düşünün

Türevi Orijinal işlevi düşünün.

X değişkenine bağlı bir fonksiyonun, iki değişkenli karmaşık bir fonksiyon olarak aşağıdaki biçimde temsil edilmesine izin verin:
,
Nerede
ve x değişkeninin bazı değerleri için türevlenebilir fonksiyonlar vardır;
- noktasında türevi alınabilen iki değişkenli bir fonksiyon.
(2) .

Formül (1) aşağıdaki şekilde de yazılabilir:

Daha sonra karmaşık fonksiyon noktanın belirli bir komşuluğunda tanımlanır ve aşağıdaki formülle belirlenen bir türevi vardır:
;
.
Fonksiyonlar ve fonksiyonları noktada türevlenebilir olduklarından bu noktanın belirli bir komşuluğunda tanımlıdırlar, noktada süreklidirler ve bu noktada türevleri de vardır ve bunlar aşağıdaki limitlerdir:
;
.
Burada
;
.

Bu fonksiyonların bir noktada sürekliliği nedeniyle elimizde:
(3) .
Fonksiyonlar ve fonksiyonları noktada türevlenebilir olduklarından bu noktanın belirli bir komşuluğunda tanımlıdırlar, noktada süreklidirler ve bu noktada türevleri de vardır ve bunlar aşağıdaki limitlerdir:

Fonksiyon bu noktada türevlenebilir olduğundan bu noktanın belirli bir komşuluğunda tanımlıdır, bu noktada süreklidir ve artışı aşağıdaki biçimde yazılabilir:
;

- argümanları değerlerle artırıldığında bir fonksiyonun arttırılması ve;
- fonksiyonun değişkenlere göre kısmi türevleri ve .
;
.
ve'nin sabit değerleri için ve, ve değişkenlerinin fonksiyonlarıdır.
;
.

Sıfırlama eğilimindedirler ve:

. :
.
O zamandan beri ve o zaman



.

Daha sonra

Fonksiyon artışı:

(3)'ü yerine koyalım:

Karmaşık bir fonksiyonun çeşitli değişkenlerden türevi Yukarıdaki sonuç, karmaşık bir fonksiyonun değişken sayısının ikiden fazla olduğu duruma kolaylıkla genelleştirilebilir.Örneğin, eğer f ise
,
Nerede
üç değişkenli fonksiyon
, O
ve x değişkeninin bazı değerleri için türevlenebilir fonksiyonlar vardır;
(4)
.
- , , noktasında üç değişkenin türevlenebilir fonksiyonu.
; ; ,
O zaman fonksiyonun türevlenebilirliğinin tanımından şunu elde ederiz:
;
;
.

Çünkü süreklilik nedeniyle
.

O (4)'ü bölerek ve limite geçerek şunu elde ederiz: Ve son olarak şunu düşünelim .
en
,
Nerede
genel durum
X değişkenli bir fonksiyonun, n değişkenli karmaşık bir fonksiyon olarak aşağıdaki biçimde temsil edilmesine izin verin:
, , ... , .
Aşağıdaki işlevi göz önünde bulundurun:
.