Koordinat biçiminde düzlemler arasındaki açı. Düzlemler arasındaki açı

İki farklı düzlem arasındaki açının büyüklüğü, düzlemlerin herhangi bir göreceli konumu için belirlenebilir.

Düzlemlerin paralel olması önemsiz bir durum. Daha sonra aralarındaki açının sıfıra eşit olduğu kabul edilir.

Düzlemlerin kesişmesi önemsiz olmayan bir durum. Bu dava daha fazla tartışmanın konusudur. Öncelikle dihedral açı kavramına ihtiyacımız var.

9.1 Dihedral açı

Dihedral açı, ortak bir düz çizgiye sahip iki yarım düzlemdir (buna dihedral açının kenarı denir). İncirde. Şekil 50, yarım düzlemlerin oluşturduğu bir dihedral açıyı göstermektedir ve; bu dihedral açının kenarı, bu yarım düzlemlerde ortak olan düz çizgi a'dır.

Pirinç. 50. Dihedral açı

Dihedral açı tek kelimeyle derece veya radyan cinsinden ölçülebilir; dihedral açının açısal değerini girin. Bu şu şekilde yapılır.

Yarım düzlemlerin oluşturduğu dihedral açının kenarında keyfi bir M noktası alıyoruz. Bu yarım düzlemlerde bulunan ve kenara dik olan sırasıyla MA ve MB ışınlarını çizelim (Şekil 51).

Pirinç. 51. Doğrusal dihedral açı

Ortaya çıkan AMB açısı dihedral açının doğrusal açısıdır. " = \AMB açısı tam olarak dihedral açımızın açısal değeridir.

Tanım. Bir dihedral açının açısal büyüklüğü, belirli bir dihedral açının doğrusal açısının büyüklüğüdür.

Dihedral açının tüm doğrusal açıları birbirine eşittir (sonuçta birbirlerinden paralel kayma ile elde edilirler). Dolayısıyla bu tanım doğrudur: " değeri, dihedral açının kenarındaki M noktasının özel seçimine bağlı değildir.

9.2 Düzlemler arasındaki açının belirlenmesi

İki düzlem kesiştiğinde dört dihedral açı elde edilir. Hepsi aynı boyuta sahipse (her biri 90), o zaman düzlemlere dik denir; Bu durumda düzlemler arasındaki açı 90 olur.

Tüm dihedral açılar aynı değilse (yani, iki dar ve iki geniş açı varsa), o zaman düzlemler arasındaki açı, dar dihedral açının değeridir (Şekil 52).

Pirinç. 52. Düzlemler arasındaki açı

9.3 Problem çözme örnekleri

Şimdi üç soruna bakalım. Birincisi basit, ikincisi ve üçüncüsü matematikte Birleşik Devlet Sınavında yaklaşık olarak C2 düzeyindedir.

Problem 1. Düzgün bir tetrahedronun iki yüzü arasındaki açıyı bulun.

Çözüm. ABCD düzgün bir dörtyüzlü olsun. Karşılık gelen yüzlerin ortancalarını AM ve DM'yi ve ayrıca tetrahedronun DH yüksekliğini çizelim (Şekil 53).

Pirinç. 53. Görev 1'e

Medyan olan AM ve DM aynı zamanda ABC ve DBC eşkenar üçgenlerinin de yükseklikleridir. Dolayısıyla " = \AMD açısı, ABC ve DBC yüzlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısıdır. Bunu DHM üçgeninden buluruz:

Cevap: arccos 1 3 .

Problem 2. Düzenli dörtgen piramit SABCD'de (köşe noktası S olan), yan kenar tabanın kenarına eşittir. K noktası SA kenarının ortasıdır. Düzlemler arasındaki açıyı bulun

Çözüm. BC çizgisi AD'ye paraleldir ve dolayısıyla ADS düzlemine paraleldir. Bu nedenle, KBC düzlemi ADS düzlemini BC'ye paralel KL düz çizgisi boyunca keser (Şekil 54).

Pirinç. 54. Görev 2'ye

Bu durumda KL aynı zamanda AD doğrusuna da paralel olacaktır; dolayısıyla KL, ADS üçgeninin orta çizgisidir ve L noktası DS'nin orta noktasıdır.

Piramidin yüksekliğini SO bulalım. N, DO'nun ortası olsun. O halde LN, DOS üçgeninin orta çizgisidir ve dolayısıyla LN k SO'dur. Bu, LN'nin ABC düzlemine dik olduğu anlamına gelir.

N noktasından dik NM'yi BC düz çizgisine indiriyoruz. Düz çizgi NM, eğimli LM'nin ABC düzlemine izdüşümü olacaktır. Üç dik teoremden LM'nin aynı zamanda BC'ye de dik olduğu sonucu çıkar.

Dolayısıyla " = \LMN açısı, KBC ve ABC yarım düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısıdır. Bu açıyı LMN dik üçgeninde arayacağız.

Piramidin kenarı a'ya eşit olsun. İlk önce piramidin yüksekliğini buluyoruz:

Çözüm. A1 K ve AB doğrularının kesişme noktası L olsun. Daha sonra A1 KC düzlemi ABC düzlemini CL düz çizgisi boyunca keser (Şekil 55).

A C

Pirinç. 55. Sorun 3'e

A1 B1 K ve KBL üçgenlerinin kenar ve dar açıları eşittir. Dolayısıyla diğer bacaklar eşittir: A1 B1 = BL.

ACL üçgenini düşünün. İçinde BA = BC = BL. CBL açısı 120'dir; bu nedenle \BCL = 30 . Ayrıca \BCA = 60 . Bu nedenle \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Peki LC? AC. Ancak AC çizgisi, A1 C çizgisinin ABC düzlemine izdüşümü olarak hizmet eder. Üç dik teoreminden şu sonuca varırız: LC? A1 C.

Dolayısıyla A1 CA açısı, A1 KC ve ABC yarım düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısıdır. Bu istenilen açıdır. A1 AC ikizkenar dik üçgeninden bunun 45'e eşit olduğunu görüyoruz.

Bu makale düzlemler arasındaki açı ve bunun nasıl bulunacağı hakkındadır. Öncelikle iki düzlem arasındaki açının tanımı ve grafiksel gösterimi verilmiştir. Bundan sonra koordinat yöntemini kullanarak kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulma prensibi analiz edildi ve bu düzlemlerin normal vektörlerinin bilinen koordinatlarını kullanarak kesişen düzlemler arasındaki açıyı hesaplamanıza olanak tanıyan bir formül elde edildi. Sonuç olarak, tipik sorunlara ayrıntılı çözümler gösterilmektedir.

Sayfada gezinme.

Düzlemler arasındaki açı - tanım.

Kesişen iki düzlem arasındaki açının belirlenmesine kademeli olarak yaklaşmamızı sağlayacak argümanlar sunalım.

Bize kesişen iki düzlem verilsin. Bu düzlemler, c harfiyle gösterdiğimiz düz bir çizgi boyunca kesişir. C doğrusunun M noktasından geçen ve c doğrusuna dik bir düzlem çizelim. Bu durumda düzlem düzlemlerle kesişecektir ve. Düzlemlerin kesiştiği düz çizgiyi a, düzlemlerin kesiştiği düz çizgiyi b olarak gösterelim. Açıkçası, a ve b doğruları M noktasında kesişiyor.

Kesişen a ve b çizgileri arasındaki açının, düzlemin içinden geçtiği c doğrusu üzerindeki M noktasının konumuna bağlı olmadığını göstermek kolaydır.

c doğrusuna dik ve düzlemden farklı bir düzlem çizelim. Düzlem, sırasıyla 1 ve b 1 olarak gösterdiğimiz düzlemlerle ve düz çizgiler boyunca kesişir.

Düzlem oluşturma yönteminden, a ve b çizgilerinin c çizgisine dik olduğu ve a 1 ve b 1 çizgilerinin c çizgisine dik olduğu sonucu çıkar. a ve a 1 doğruları aynı düzlemde olduklarından ve c doğrusuna dik olduklarından paraleldirler. Benzer şekilde, b ve b 1 çizgileri aynı düzlemde bulunur ve c doğrusuna diktir, dolayısıyla paraleldirler. Böylece, düzlemin, düz çizgi a 1'in düz çizgi a ile ve düz çizgi b düz çizgi b 1 ile çakıştığı düzleme paralel bir aktarımı gerçekleştirmek mümkündür. Bu nedenle, kesişen iki çizgi a 1 ve b 1 arasındaki açı, kesişen çizgiler a ve b arasındaki açıya eşittir.

Bu, kesişen düzlemlerde yer alan a ve b çizgileri arasındaki açının, düzlemin içinden geçtiği M noktasının seçimine bağlı olmadığını kanıtlar. Bu nedenle bu açıyı kesişen iki düzlem arasındaki açı olarak almak mantıklıdır.

Artık kesişen iki düzlem arasındaki açının tanımını seslendirebilirsiniz.

Tanım.

Düz bir çizgide kesişen iki düzlem arasındaki açı ve- bu, düzlemlerin c çizgisine dik düzlemle kesiştiği, kesişen iki çizgi a ve b arasındaki açıdır.

İki düzlem arasındaki açının tanımı biraz farklı verilebilir. Düzlemlerin kesiştiği düz çizgi c üzerinde, bir M noktasını işaretleyin ve bunun içinden, düz çizgi c'ye dik ve düzlemlerde yatan düz çizgiler a ve b çizin ve sırasıyla düz çizgiler a arasındaki açı ve b, düzlemler arasındaki açıdır ve. Genellikle pratikte düzlemler arasındaki açıyı elde etmek için bu tür yapılar yapılır.

Kesişen çizgiler arasındaki açı aşmadığından, belirtilen tanımdan, kesişen iki düzlem arasındaki açının derece ölçüsünün aralıktan bir gerçek sayı ile ifade edildiği sonucu çıkar. Bu durumda kesişen düzlemlere denir. dik aralarındaki açı doksan derece ise. Paralel düzlemler arasındaki açı ya hiç belirlenmez ya da sıfıra eşit kabul edilir.

Kesişen iki düzlem arasındaki açının bulunması.

Genellikle, kesişen iki düzlem arasında bir açı bulurken, önce aralarındaki açı istenen açıya eşit olan kesişen düz çizgileri görmek için ek yapılar yapmanız ve ardından eşitlik testleri, benzerlik kullanarak bu açıyı orijinal verilerle bağlamanız gerekir. testler, kosinüs teoremi veya sinüs, kosinüs ve açının tanjantının tanımları. Lise geometri dersinde de benzer sorunlar yaşanıyor.

Örnek olarak, 2012 Matematik Birleşik Devlet Sınavından Problem C2'nin çözümünü verelim (koşul kasıtlı olarak değiştirildi, ancak bu, çözümün ilkesini etkilemez). İçinde kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulmanız gerekiyordu.

Örnek.

Çözüm.

İlk önce bir çizim yapalım.

Düzlemler arasındaki açıyı “görmek” için ek yapılar yapalım.

Öncelikle ABC ve BED 1 düzlemlerinin kesiştiği bir düz çizgi tanımlayalım. B noktası ortak noktalarından biridir. Bu düzlemlerin ikinci ortak noktasını bulalım. DA ve D 1 E çizgileri aynı ADD 1 düzleminde yer alır ve paralel değildirler ve bu nedenle kesişirler. Öte yandan, DA çizgisi ABC düzleminde ve D 1 E çizgisi - BED 1 düzleminde yer alır, bu nedenle DA ve D 1 E çizgilerinin kesişme noktası ABC ve BED 1 düzlemlerinin ortak noktası olacaktır. Öyleyse DA ve D 1 E çizgilerini F harfiyle kesiştikleri noktayı belirten kesişme noktasına kadar devam ettirelim. O halde BF, ABC ve BED 1 düzlemlerinin kesiştiği düz çizgidir.

Sırasıyla ABC ve BED 1 düzlemlerinde uzanan, BF çizgisi üzerindeki bir noktadan geçen ve BF çizgisine dik olan iki çizgi oluşturmaya devam ediyor - bu çizgiler arasındaki açı, tanım gereği, aralarında istenen açıya eşit olacaktır. ABC ve BED 1 uçakları. Hadi yapalım.

Nokta A, E noktasının ABC düzlemine izdüşümüdür. M noktasında dik açıyla BF çizgisiyle kesişen bir düz çizgi çizelim. O halde AM düz çizgisi, EM düz çizgisinin ABC düzlemine izdüşümüdür ve üç dik teoremine göredir.

Böylece ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki gerekli açı eşittir.

Eğer iki kenarının uzunluğunu biliyorsak, AEM dik üçgeninden bu açının sinüsünü, kosinüsünü veya tanjantını (ve dolayısıyla açının kendisini) belirleyebiliriz. Koşuldan AE uzunluğunu bulmak kolaydır: E noktası AA 1 kenarını A noktasından itibaren sayarak 4'e 3 oranında böldüğüne ve AA 1 kenarının uzunluğu 7 olduğuna göre AE = 4 olur. AM uzunluğunu bulalım.

Bunu yapmak için, AM'nin yüksekliği olduğu A dik açısına sahip bir ABF dik üçgenini düşünün. AB = 2 koşuluna göre. AF kenarının uzunluğunu DD 1 F ve AEF dik üçgenlerinin benzerliğinden bulabiliriz:

Pisagor teoremini kullanarak ABF üçgenini buluyoruz. AM uzunluğunu ABF üçgeninin alanı boyunca buluyoruz: bir tarafta ABF üçgeninin alanı şuna eşittir: , diğer tarafta , Neresi .

Böylece, AEM dik üçgeninden elimizdeki .

Bu durumda ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki gerekli açı eşittir (not edin ki ).

Cevap:

Bazı durumlarda kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulmak için Oxyz'i ayarlamak ve koordinat yöntemini kullanmak uygundur. Orada duralım.

Görevi belirleyelim: kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulun. İstenilen açıyı olarak gösterelim.

Belirli bir Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde kesişen düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatlarını bildiğimizi ve veya bunları bulma fırsatına sahip olduğumuzu varsayacağız. İzin vermek düzlemin normal vektörüdür ve düzlemin normal vektörüdür. Kesişen düzlemler arasındaki açının nasıl bulunacağını ve bu düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatları aracılığıyla göstereceğiz.

Düzlemlerin kesiştiği doğruyu c olarak gösterelim. C doğrusu üzerindeki M noktasından c doğrusuna dik bir düzlem çiziyoruz. Düzlem düzlemleri keser ve sırasıyla a ve b çizgileri boyunca a ve b çizgileri M noktasında kesişir. Tanım gereği, kesişen düzlemler arasındaki açı, kesişen a ve b çizgileri arasındaki açıya eşittir.

Düzlemdeki M noktasından itibaren normal vektörleri ve düzlemleri çizelim. Bu durumda, vektör a doğrusuna dik bir doğru üzerinde, vektör de b doğrusuna dik bir doğru üzerinde yer alır. Dolayısıyla düzlemde vektör a doğrusuna ait normal vektördür, b doğrusuna ait normal vektördür.

Kesişen çizgiler arasındaki açıyı bulma yazımızda normal vektörlerin koordinatlarını kullanarak kesişen çizgiler arasındaki açının kosinüsünü hesaplamamızı sağlayan bir formül aldık. Böylece, a ve b çizgileri arasındaki açının kosinüsü ve sonuç olarak, kesişen düzlemler arasındaki açının kosinüsü ve formülle bulunur, burada Ve sırasıyla düzlemlerin normal vektörleridir ve. Daha sonra şu şekilde hesaplanır .

Önceki örneği koordinat yöntemini kullanarak çözelim.

Örnek.

AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 ve E noktasının AA 1 kenarını A noktasından sayarak 4 ila 3 oranında böldüğü dikdörtgen paralel yüzlü ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 verilmiştir. ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm.

Bir tepe noktasındaki dikdörtgen paralel yüzlü kenarları çiftler halinde dik olduğundan, Oxyz dikdörtgen koordinat sistemini aşağıdaki şekilde tanıtmak uygundur: başlangıcı C tepe noktasıyla hizalayın ve Ox, Oy ve Oz koordinat eksenlerini CD kenarları boyunca yönlendirin. , CB ve CC 1 sırasıyla.

ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki açı, bu düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatları aracılığıyla aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir; burada ve sırasıyla ABC ve BED 1 düzlemlerinin normal vektörleridir. Normal vektörlerin koordinatlarını belirleyelim.

Makale düzlemler arasındaki açının bulunmasından bahsediyor. Tanımı verdikten sonra grafiksel bir gösterim vereceğiz ve bu yöntemi kullanarak koordinatları bulmanın ayrıntılı bir yöntemini ele alacağız. Kesişen düzlemler için normal vektörlerin koordinatlarını içeren bir formül elde ederiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Materyalde daha önce uzaydaki düzlem ve çizgiyle ilgili makalelerde incelenen veri ve kavramlar kullanılacak. Öncelikle kesişen iki düzlem arasındaki açının belirlenmesinde belirli bir yaklaşıma sahip olmamızı sağlayan akıl yürütmeye geçmek gerekir.

Kesişen iki düzlem γ 1 ve γ 2 verilmiştir. Bunların kesişimi c adını alacaktır. χ düzleminin yapısı bu düzlemlerin kesişimiyle ilişkilidir. χ düzlemi M noktasından c düz bir çizgisi olarak geçiyor. γ 1 ve γ 2 düzlemlerinin kesişimi χ düzlemi kullanılarak yapılacaktır. γ 1 ve χ'yi kesen çizgiyi a doğrusu, γ 2 ve χ'yi kesen çizgiyi b doğrusu olarak alıyoruz. A ve b doğrularının kesişiminin M noktasını verdiğini görüyoruz.

M noktasının konumu, kesişen a ve b çizgileri arasındaki açıyı etkilemez ve M noktası, içinden χ düzleminin geçtiği c doğrusu üzerinde bulunur.

c doğrusuna dik ve χ düzleminden farklı bir χ 1 düzleminin inşa edilmesi gerekmektedir. γ 1 ve γ 2 düzlemlerinin χ 1 yardımıyla kesişmesi, a 1 ve b 1 çizgilerinin gösterimini alacaktır.

χ ve χ 1'i oluştururken, a ve b çizgilerinin c çizgisine dik olduğu, ardından a 1, b 1'in c çizgisine dik olduğu görülebilir. γ 1 düzleminde c düz çizgisine dik olan a ve a 1 düz çizgilerini bulduğumuzda, bunların paralel olduğu düşünülebilir. Aynı şekilde b ve b 1'in γ 2 düzlemindeki c düz çizgisine dik konumu da paralelliklerini gösterir. Bu, χ 1 düzlemini χ'ye paralel olarak aktarmanın gerekli olduğu anlamına gelir; burada çakışan iki düz çizgi a ve a 1, b ve b 1 elde ederiz. Kesişen a ve b 1 çizgileri arasındaki açının, kesişen a ve b çizgilerinin açısına eşit olduğunu buluyoruz.

Aşağıdaki şekle bakalım.

Bu önerme, kesişen a ve b doğruları arasında M noktasının yani kesişme noktasının konumuna bağlı olmayan bir açının bulunmasıyla kanıtlanmaktadır. Bu çizgiler γ 1 ve γ 2 düzlemlerinde bulunur. Aslında ortaya çıkan açı, kesişen iki düzlem arasındaki açı olarak düşünülebilir.

Mevcut kesişen düzlemler γ 1 ve γ 2 arasındaki açıyı belirlemeye geçelim.

Tanım 1

Kesişen iki düzlem arasındaki açı γ 1 ve γ 2γ 1 ve γ 2 düzlemlerinin c çizgisine dik χ düzlemiyle kesiştiği a ve b çizgilerinin kesişmesiyle oluşan açı denir.

Aşağıdaki şekli düşünün.

Karar başka bir biçimde de sunulabilir. γ 1 ve γ 2 düzlemleri kesiştiğinde, burada c, kesiştikleri çizgidir, içinden c çizgisine dik olan ve γ 1 ve γ 2 düzlemlerinde yer alan a ve b çizgilerini çizen bir M noktası işaretleyin, ardından aralarındaki açı a ve b çizgileri düzlemler arasındaki açı olacaktır. Pratikte bu, düzlemler arasındaki açının oluşturulması için geçerlidir.

Kesiştiğinde değeri 90 dereceden küçük bir açı oluşur, yani açının derece ölçüsü bu tip bir aralıkta (0, 90) geçerlidir. Aynı zamanda bu düzlemlere dik denirse kesişme noktasında dik açı oluşur. Paralel düzlemler arasındaki açının sıfıra eşit olduğu kabul edilir.

Kesişen düzlemler arasındaki açıyı bulmanın genel yolu ek yapılar yapmaktır. Bu, onu doğru bir şekilde belirlemeye yardımcı olur ve bu, bir üçgenin, sinüslerin ve bir açının kosinüslerinin eşitlik veya benzerlik işaretleri kullanılarak yapılabilir.

C 2 bloğundaki Birleşik Devlet Sınavı problemlerinden bir örnek kullanarak problemleri çözmeyi düşünelim.

örnek 1

Dikdörtgen paralel yüzlü bir A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 verildiğinde, burada A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, E noktası A A 1 kenarını 4: 3 oranında böler. A B C ve B E D 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm

Netlik sağlamak için bir çizim yapmak gerekir. Bunu anlıyoruz

Düzlemler arasındaki açıyla çalışmayı daha uygun hale getirmek için görsel bir temsil gereklidir.

A B C ve B E D 1 düzlemlerinin kesişme noktasının oluştuğu düz çizgiyi belirleriz. B noktası ortak noktadır. Başka bir ortak kesişim noktası bulunmalıdır. Aynı A D D 1 düzleminde bulunan D A ve D 1 E düz çizgilerini ele alalım. Konumları paralellik göstermez; ortak bir kesişme noktasına sahip oldukları anlamına gelir.

Bununla birlikte, D A düz çizgisi A B C düzleminde ve D 1 E B E D 1 düzleminde bulunur. Bundan düz çizgilerin olduğunu anlıyoruz D bir Ve D 1 E A B C ve B E D 1 düzlemleri için ortak olan ortak bir kesişme noktasına sahiptir. Çizgilerin kesişme noktasını belirtir D bir ve D 1 E F harfi. Bundan B F'nin A B C ve B E D 1 düzlemlerinin kesiştiği düz çizgi olduğunu elde ederiz.

Aşağıdaki şekle bakalım.

Cevabı elde etmek için, A B C ve B E D 1 düzlemlerinde bulunan ve B F çizgisi üzerinde bulunan ve ona dik olan bir noktadan geçen düz çizgiler çizmek gerekir. Daha sonra bu düz çizgiler arasında ortaya çıkan açı, A B C ve B E D 1 düzlemleri arasında istenen açı olarak kabul edilir.

Buradan A noktasının, E noktasının A B C düzlemine izdüşümü olduğunu görebiliriz. M noktasında dik açıyla B F çizgisiyle kesişen düz bir çizgi çizmek gerekir. A M düz çizgisinin izdüşümü olduğu görülebilir. A M ⊥ B F dik açıları hakkındaki teoreme dayalı olarak, E M düz çizgisinin A B C düzlemi üzerine. Aşağıdaki resmi düşünün.

∠ A M E, A B C ve B E D 1 düzlemlerinin oluşturduğu istenen açıdır. Ortaya çıkan A E M üçgeninden açının sinüsünü, kosinüsünü veya tanjantını ve ardından yalnızca iki kenarı biliniyorsa açının kendisini bulabiliriz. Koşullu olarak, A E uzunluğunun şu şekilde bulunmasını sağlarız: A A 1 düz çizgisi E noktasına 4: 3 oranında bölünür, bu da düz çizginin toplam uzunluğunun 7 parça olduğu anlamına gelir, bu durumda A E = 4 parça olur. A M'yi buluyoruz.

Bir A B F dik üçgenini dikkate almak gerekir. A M yüksekliğinde bir dik açımız var. A B = 2 koşulundan, D D 1 F ve A E F üçgenlerinin benzerliğinden A F uzunluğunu bulabiliriz. Şunu elde ederiz: A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Pisagor teoremini kullanarak A B F üçgeninin B F kenarının uzunluğunu bulmak gerekir. B F  = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 olduğunu anlıyoruz. A M tarafının uzunluğu A B F üçgeninin alanı boyunca bulunur. Alanın hem S A B C = 1 2 · A B · A F hem de S A B C = 1 2 · B F · A M'ye eşit olabileceğini biliyoruz.

Şunu elde ederiz: A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Daha sonra A E M üçgeninin açısının tanjantının değerini bulabiliriz. Şunu elde ederiz:

t g ∠ Bir M E = Bir E Bir M = 4 4 5 5 = 5

A B C ve B E D 1 düzlemlerinin kesişmesiyle elde edilen istenen açı a r c t g 5'e eşittir, daha sonra basitleştirmeyle a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 elde ederiz.

Cevap: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Kesişen çizgiler arasındaki açının bulunmasına ilişkin bazı durumlar, O x y z koordinat düzlemi ve koordinat yöntemi kullanılarak belirtilir. Hadi daha yakından bakalım.

Kesişen düzlemler γ1 ve γ2 arasındaki açıyı bulmanın gerekli olduğu bir problem verilirse, istenen açıyı α olarak belirtiriz.

O zaman verilen koordinat sistemi, kesişen düzlemler γ 1 ve γ 2'nin normal vektörlerinin koordinatlarına sahip olduğumuzu gösterir. Daha sonra n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z'nin γ 1 düzleminin normal vektörü olduğunu ve n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - olduğunu belirtiriz. düzlem γ 2. Bu düzlemler arasında bulunan açının vektörlerin koordinatlarına göre ayrıntılı olarak belirlenmesini ele alalım.

γ 1 ve γ 2 düzlemlerinin c harfiyle kesiştiği düz çizgiyi belirtmek gerekir. c doğrusu üzerinde c'ye dik bir χ düzlemi çizdiğimiz bir M noktası var. a ve b çizgileri boyunca uzanan χ düzlemi, γ 1 ve γ 2 düzlemlerini M noktasında kesiyor. tanımdan, kesişen düzlemler γ 1 ve γ 2 arasındaki açının, sırasıyla bu düzlemlere ait kesişen a ve b çizgilerinin açısına eşit olduğu anlaşılmaktadır.

χ düzleminde M noktasından itibaren normal vektörleri çizeriz ve bunları n 1 → ve n 2 → olarak gösteririz. Vektör n 1 → a çizgisine dik bir çizgi üzerinde bulunur ve vektör n 2 → b çizgisine dik bir çizgi üzerinde bulunur. Bundan, verilen χ düzleminin, a çizgisinin n 1 →'ye eşit ve b çizgisi için n 2 →'ye eşit bir normal vektörüne sahip olduğunu elde ederiz. Aşağıdaki şekli düşünün.

Buradan vektörlerin koordinatlarını kullanarak kesişen doğruların açısının sinüsünü hesaplayabileceğimiz bir formül elde ederiz. A ve b düz çizgileri arasındaki açının kosinüsünün, kesişen γ 1 ve γ 2 düzlemleri arasındaki kosinüsle aynı olduğunu bulduk; cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 formülünden türetildi x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, burada n 1 → = ( n 1 x , n 1 y , n 1 z) ve n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) temsil edilen düzlemlerin vektörlerinin koordinatlarıdır.

Kesişen çizgiler arasındaki açı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

α = a r c çünkü n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Örnek 2

Koşula göre paralel yüzlü A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 verilmiştir. , burada A B = 2, AD = 3, A A 1 = 7 ve E noktası A A 1 4:3 kenarını böler. A B C ve B E D 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm

Durumdan, kenarlarının ikili olarak dik olduğu açıktır. Bu, köşesi C noktasında ve koordinat eksenleri O x, O y, O z olan bir O x y z koordinat sisteminin tanıtılmasının gerekli olduğu anlamına gelir. Yönü uygun taraflara ayarlamak gerekir. Aşağıdaki şekli düşünün.

Kesişen düzlemler ABC Ve YATAK 1α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n formülüyle bulunabilecek bir açı oluşturur 2 y 2 + n 2 z 2, burada n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) ve n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) normal vektörlerdir. bu uçaklar. Koordinatları belirlemek gerekiyor. Şekilden O x y koordinat ekseninin A B C düzlemiyle çakıştığını görüyoruz, bu, normal vektör k → koordinatlarının n 1 → = k → = (0, 0, 1) değerine eşit olduğu anlamına gelir.

B E D 1 düzleminin normal vektörü, B E → ve B D 1 → vektör ürünü olarak alınır; burada koordinatları, B, E, D 1 uç noktalarının koordinatları tarafından belirlenir. sorun.

Bunu B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7) olarak elde ederiz. A E E A 1 = 4 3 olduğundan, A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 noktalarının koordinatlarından E 2, 3, 4'ü buluruz. B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · ben → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Ark kosinüs boyunca açıyı hesaplamak için bulunan koordinatları formülde değiştirmek gerekir. Aldık

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Koordinat yöntemi de benzer bir sonuç verir.

Cevap: a r c cos 6 6 .

Son problem, düzlemlerin bilinen mevcut denklemleri ile kesişen düzlemler arasındaki açının bulunması amacıyla ele alınmıştır.

Örnek 3

O x y z koordinat sisteminde tanımlanan ve 2 x - 4 y + z + 1 = 0 ve 3 y - z denklemleriyle verilen, açının sinüsünü, kosinüsünü ve kesişen iki çizginin oluşturduğu açının değerini hesaplayın. - 1 = 0.

Çözüm

A x + B y + C z + D = 0 formundaki genel düz çizgi denklemi konusunu incelerken, A, B, C'nin normal vektörün koordinatlarına eşit katsayılar olduğu ortaya çıktı. Bu, n 1 → = 2, - 4, 1 ve n 2 → = 0, 3, - 1'in verilen doğruların normal vektörleri olduğu anlamına gelir.

Kesişen düzlemlerin istenen açısını hesaplamak için düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatlarını formülde değiştirmek gerekir. O zaman bunu anlıyoruz

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Buradan açının kosinüsünün cos α = 13 210 formunu aldığını görüyoruz. O halde kesişen çizgilerin açısı geniş değildir. Trigonometrik özdeşliği yerine koyarsak, açının sinüsünün değerinin ifadeye eşit olduğunu buluruz. Bunu hesaplayıp bulalım

günah α = 1 - çünkü 2 α = 1 - 13,210 = 41,210

Cevap: sin α = 41,210, çünkü α = 13,210, α = a r c cos 13,210 = a r c sin 41,210.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Hedefler:

• sorunları çözmeye yönelik farklı yaklaşımları dikkate alma ve bu çözüm yöntemlerini kullanmanın "etkisini" analiz etme yeteneğini geliştirmek;
• öğrencinin, daha sağlam bilgi ve kendine güvenen becerilere dayanarak, matematiksel tercihlerine uygun olarak bir problemi çözmek için bir yöntem seçme yeteneğini geliştirmek;
• sonuçlara ulaşmak için birbirini izleyen aşamalardan oluşan bir plan hazırlama yeteneğini geliştirmek;
• atılan tüm adımları ve hesaplamaları gerekçelendirme yeteneğini geliştirmek;
• stereometri ve planimetrinin çeşitli konu ve konularını, güncel problemlerin çözümüne ilişkin tipik stereometrik yapıları tekrarlamak ve pekiştirmek;
• mekansal düşünmeyi geliştirin.

• problemin çözümü için çeşitli yöntemlerin analizi: koordinat-vektör yöntemi, kosinüs teoreminin uygulanması, üç dikler teoreminin uygulanması;
• her yöntemin avantaj ve dezavantajlarının karşılaştırılması;
• küp, üçgen prizma, düzgün altıgen özelliklerinin tekrarı;
• Birleşik Devlet Sınavını geçmeye hazırlık;
• Karar vermede bağımsızlığın geliştirilmesi.

Dersin özeti

küp şeklinde ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kenarlı 1 nokta O – yüzün merkezi ABCD.

a) düz çizgiler arasındaki açı bir 1D Ve BÖ.;

b) noktadan uzaklık B segmentin ortasına bir 1D.

a) noktasının çözümü

Küpümüzü şekildeki gibi dikdörtgen koordinat sistemine köşe noktalarına yerleştirelim. A 1 (1; 0; 1), D (1; 1; 0), B 1 (0; 0; 1), O (½; ½; 0).

Düz çizgilerin yön vektörleri bir 1D Ve B10:

(0; 1; -1) ve (½; ½; -1);

aşağıdaki formülü kullanarak aralarında istenen φ açısını buluruz:

cos∠φ = ,
dolayısıyla ∠φ = 30°.

Yöntem 2. Kosinüs teoremini kullanıyoruz.

1) Düz bir çizgi çizelim B1Cçizgiye paralel bir 1D. Köşe CB 1 Ç aradığınız şey olacaktır.

2) Bir dik üçgenden BB 1 Ç Pisagor teoremine göre:

3) Bir üçgenin kosinüs teoremine göre CB 1 Ç açıyı hesapla CB10:

çünkü CB 1 O = gerekli açı 30°'dir.

Yorum. Problemi 2. şekilde çözerken, üç dik teoremine göre şunu fark edebilirsiniz: COB1 = 90°, dolayısıyla dikdörtgen ∆'den CB 1 Çİstenilen açının kosinüsünü hesaplamak da kolaydır.

b) noktasının çözümü

1 yol. İki nokta arasındaki mesafe formülünü kullanalım

Bırakın nokta e- orta bir 1D, ardından koordinatlar E (1; 1/2; ½), B (0; 0; 0).

BE = .

Yöntem 2. Pisagor teoremine göre

Dikdörtgen ∆'den B.A.E. doğrudan B.A.E. bulduk OLMAK = .

Düzenli bir üçgen prizmada ABCA 1 B 1 C 1 tüm kenarlar eşittir A. Çizgiler arasındaki açıyı bulun AB Ve bir 1C.

1 yol. Koordinat vektör yöntemi

Prizma şekildeki gibi konumlandırıldığında dikdörtgen bir sistemdeki prizmanın köşelerinin koordinatları: A (0; 0; 0), B (a; ; 0), A 1 (0; 0; a), C (0; a; 0).

Düz çizgilerin yön vektörleri bir 1C Ve AB:

(0; a; -a) Ve (A; ; 0} ;

çünkü φ = ;

Yöntem 2. Kosinüs teoremini kullanıyoruz

∆'yi dikkate alıyoruz bir 1 B 1 C, hangisinde bir 1 B 1 || AB. Sahibiz

çünkü φ = .

(Birleşik Devlet Sınavı 2012 koleksiyonundan. Matematik: A.L. Semenov, I.V. Yashchenko tarafından düzenlenen standart sınav seçenekleri)

Düzenli bir altıgen prizmada ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 Tüm kenarları 1'e eşit olan noktadan uzaklığı bulun e düz bir çizgiye B 1 C 1.

1 yol. Koordinat vektör yöntemi

1) Prizmayı, koordinat eksenlerini şekilde gösterildiği gibi yerleştirerek dikdörtgen bir koordinat sistemine yerleştirin. SS 1, kuzeydoğu Ve GDçiftler halinde diktir, böylece koordinat eksenlerini üzerlerine yönlendirebilirsiniz. Koordinatları alıyoruz:

C1(0;0;1), E (; 0; 0), B 1 (0;1;1).

2) Doğruların yön vektörlerinin koordinatlarını bulun 1'den 1'e Ve C 1 E:

(0;1;0), (;0;-1).

3) Aradaki açının kosinüsünü bulun 1'den 1'e Ve C 1 E, vektörlerin skaler çarpımını kullanarak ve:

cos β = = 0 => β = 90° => C 1 E – gerekli mesafe.

4)C 1 E = = 2.

Sonuç: Stereometrik problemleri çözmeye yönelik çeşitli yaklaşımlar bilgisi, herhangi bir öğrenci için tercih edilen yöntemi seçmenize olanak tanır; öğrencinin güvenle ustalaştığı, hatalardan kaçınmasına yardımcı olan, problemin başarılı bir şekilde çözülmesine ve sınavda iyi bir puan almasına yol açan bir şey. Koordinat yönteminin diğer yöntemlere göre daha az stereometrik değerlendirme ve vizyon gerektirmesi ve öğrencilerin daha aşina olduğu birçok planimetrik ve cebirsel analojiye sahip formüllerin kullanımına dayanması açısından bir avantajı vardır.

Dersin biçimi, öğretmenin açıklamasının öğrencilerin ön kolektif çalışmasıyla birleşimidir.

Söz konusu çokyüzlüler, farklı çözüm yöntemlerini karşılaştırmanıza olanak tanıyan bir video projektörü kullanılarak ekranda gösterilir.

Ödev: Problem 3'ü başka bir şekilde çözün, örneğin üç dik teoremi kullanarak .

Edebiyat

1. Ershova A.P., Goloborodko V.V. 11. sınıf geometri üzerine bağımsız ve deneme çalışması. – M.: ILEKSA, – 2010. – 208 s.

2. Geometri, 10-11: Eğitim kurumları için ders kitabı: temel ve uzmanlık seviyeleri / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ve diğerleri - M.: Eğitim, 2007. - 256 s.

3. Birleşik Devlet Sınavı-2012. Matematik: standart sınav seçenekleri: 10 seçenek / ed. A.L. Semenova, I.V. – M.: Milli Eğitim, 2011. – 112 s. – (USE-2012. FIPI - okul).

\(\blacktriangleright\) Dihedral açı, iki yarım düzlem ve bunların ortak sınırı olan bir düz çizgi \(a\) tarafından oluşturulan bir açıdır.

\(\blacktriangleright\) \(\xi\) ve \(\pi\) düzlemleri arasındaki açıyı bulmak için doğrusal açıyı bulmanız gerekir (ve baharatlı veya dümdüz) \(\xi\) ve \(\pi\) düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açı :

Adım 1: Let \(\xi\cap\pi=a\) (düzlemlerin kesişme çizgisi). \(\xi\) düzleminde rastgele bir \(F\) noktası işaretliyoruz ve \(FA\perp a\) çiziyoruz;

Adım 2: \(FG\perp \pi\) komutunu uygulayın;

Adım 3: TTP'ye göre (\(FG\) – dikey, \(FA\) – eğik, \(AG\) – projeksiyon) elimizde: \(AG\perp a\) ;

Adım 4: \(\angle FAG\) açısına \(\xi\) ve \(\pi\) düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısı denir.

\(AG\) üçgeninin dik açılı olduğuna dikkat edin.
Ayrıca bu şekilde oluşturulan \(AFG\) düzleminin hem \(\xi\) hem de \(\pi\) düzlemlerine dik olduğuna dikkat edin. Bu nedenle farklı şekilde söyleyebiliriz: düzlemler arasındaki açı\(\xi\) ve \(\pi\), ve \(\xi\'ye dik bir düzlem oluşturan \(c\in \xi\) ve \(b\in\pi\) ile kesişen iki çizgi arasındaki açıdır. ) ve \(\pi\) .

Görev 1 #2875

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

Tüm kenarları eşit olan ve tabanı kare olan dörtgen bir piramit verilmiştir. \(6\cos \alpha\)'yı bulun; burada \(\alpha\), bitişik yan yüzleri arasındaki açıdır.

\(SABCD\) kenarları \(a\)'ya eşit olan belirli bir piramit (\(S\) bir tepe noktasıdır) olsun. Sonuç olarak, tüm yan yüzler eşit eşkenar üçgenlerdir. \(SAD\) ve \(SCD\) yüzleri arasındaki açıyı bulalım.

Hadi \(CH\perp SD\) yapalım. Çünkü \(\üçgen SAD=\üçgen SCD\) ise \(AH\) aynı zamanda \(\triangle SAD\)'nin yüksekliği olacaktır. Bu nedenle, tanım gereği, \(\angle AHC=\alpha\), \(SAD\) ve \(SCD\) yüzleri arasındaki dihedral açının doğrusal açısıdır.
Taban kare olduğundan \(AC=a\sqrt2\) olur. Ayrıca \(CH=AH\)'ın kenar tarafı \(a\) olan bir eşkenar üçgenin yüksekliği olduğuna ve dolayısıyla \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) olduğuna dikkat edin.
Daha sonra \(\triangle AHC\)'den kosinüs teoremine göre: \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Cevap: -2

Görev 2 #2876

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

\(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemleri, kosinüsü \(0,2\)'ye eşit olan bir açıda kesişir. \(\pi_2\) ve \(\pi_3\) düzlemleri dik açılarda kesişir ve \(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemlerinin kesişme çizgisi, düzlemler \(\pi_2\) ve \(\ pi_3\) . \(\pi_1\) ve \(\pi_3\) düzlemleri arasındaki açının sinüsünü bulun.

\(\pi_1\) ve \(\pi_2\)'nin kesişme çizgisi düz bir çizgi \(a\), \(\pi_2\) ve \(\pi_3\)'in kesişme çizgisi bir düz çizgi olsun \(b\) çizgisi ve \(\pi_3\) ile \(\pi_1\) kesişim çizgisi – \(c\) düz çizgisi. \(a\parallel b\) olduğundan, \(c\parallel a\parallel b\) (teorik referans “Uzayda Geometri” \(\rightarrow\) “Sterometriye giriş bölümündeki teoreme göre, paralellik”).

\(A\in a, B\in b\) noktalarını \(AB\perp a, AB\perp b\) olacak şekilde işaretleyelim (bu, \(a\parallel b\) olduğundan mümkündür). \(C\in c\)'yi \(BC\perp c\) olacak şekilde işaretleyelim, dolayısıyla \(BC\perp b\) . Sonra \(AC\perp c\) ve \(AC\perp a\) .
Aslında, \(AB\perp b, BC\perp b\) olduğundan, \(b\), \(ABC\) düzlemine diktir. \(c\paralel a\paralel b\) olduğundan, \(a\) ve \(c\) çizgileri de \(ABC\) düzlemine ve dolayısıyla bu düzlemden herhangi bir çizgiye diktir, özellikle , \ (AC\) satırı.

Şunu takip ediyor \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\açı BCA=\açı (\pi_3, \pi_1)\). \(\ABC üçgeni\)'nin dikdörtgen olduğu ortaya çıktı, bu şu anlama gelir: \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

Cevap: 0,2

Görev 3 #2877

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

Bir noktada kesişen \(a, b, c\) düz çizgileri verildiğinde ve bunlardan herhangi ikisi arasındaki açı \(60^\circ\) değerine eşittir. \(\cos^(-1)\alpha\) öğesini bulun; burada \(\alpha\), \(a\) ve \(c\) çizgilerinin oluşturduğu düzlem ile \( çizgilerinin oluşturduğu düzlem arasındaki açıdır. b\ ) ve \(c\) . Cevabınızı derece cinsinden verin.

Doğruların \(O\) noktasında kesişmesine izin verin. Bunlardan herhangi ikisi arasındaki açı \(60^\circ\)'a eşit olduğundan, bu durumda üç düz çizginin tümü aynı düzlemde olamaz. \(a\) doğrusu üzerinde \(A\) noktasını işaretleyelim ve \(AB\perp b\) ve \(AC\perp c\) çizelim. Daha sonra \(\üçgen AOB=\üçgen AOC\) hipotenüs ve dar açı boyunca dikdörtgen şeklindedir. Bu nedenle, \(OB=OC\) ve \(AB=AC\) .
Hadi \(AH\perp (BOC)\) yapalım. Daha sonra teoreme göre yaklaşık üç dik \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . \(AB=AC\) olduğundan, o zaman \(\üçgen AHB=\üçgen AHC\) hipotenüs ve kenar boyunca dikdörtgen şeklindedir. Bu nedenle \(HB=HC\) . Bu, \(OH\)'nin \(BOC\) açısının açıortayı olduğu anlamına gelir (çünkü \(H\) noktası açının kenarlarından eşit uzaklıktadır).

Bu şekilde \(a\) ve \(c\) doğrularının oluşturduğu düzlemin oluşturduğu dihedral açının ve \(b\) ve \(c\) doğrularının oluşturduğu düzlemin doğrusal açısını da oluşturduğumuza dikkat edin. \). Bu \(ACH\) açısıdır.

Bu açıyı bulalım. \(A\) noktasını keyfi olarak seçtiğimize göre \(OA=2\) olacak şekilde seçelim. Daha sonra dikdörtgen şeklinde \(\triangle AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]\(OH\) ​​​​bir açıortay olduğundan, \(\angle HOC=30^\circ\) , dolayısıyla dikdörtgen bir \(\triangle HOC\) içinde: \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Sonra dikdörtgen \(\üçgen ACH\)'den: \[\cos\açı \alpha=\cos\açı ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Cevap: 3

Görev 4 #2910

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

\(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemleri, üzerinde \(M\) ve \(N\) noktalarının bulunduğu \(l\) düz çizgisi boyunca kesişir. \(MA\) ve \(MB\) parçaları \(l\) düz çizgisine diktir ve sırasıyla \(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemlerinde yer alır ve \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . \(3\cos\alpha\) öğesini bulun; burada \(\alpha\), \(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemleri arasındaki açıdır.

\(AMN\) üçgeni dik açılıdır, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), dolayısıyla \ \(BMN\) üçgeni dik açılıdır, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), bundan \(AMB\) üçgeni için kosinüs teoremini yazıyoruz: \ Daha sonra \ Düzlemler arasındaki \(\alpha\) açısı dar bir açı olduğundan ve \(\angle AMB\) geniş olduğu ortaya çıktığından, \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Daha sonra \

Cevap: 1.25

Görev 5 #2911

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) bir paralelyüzdür, \(ABCD\) kenarı \(a\) olan bir karedir, \(M\) noktası \(A_1\) noktasından \ düzlemine bırakılan dikmenin tabanıdır ((ABCD)\) ayrıca \(M\), \(ABCD\) karesinin köşegenlerinin kesişme noktasıdır. biliniyor ki \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). \((ABCD)\) ve \((AA_1B_1B)\) düzlemleri arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.

Şekilde gösterildiği gibi \(MN\)'yi \(AB\)'ye dik olarak oluşturalım.

\(ABCD\) kenarı \(a\) ve \(MN\perp AB\) ve \(BC\perp AB\) olan bir kare olduğundan, \(MN\parallel BC\) . \(M\) karenin köşegenlerinin kesişme noktası olduğundan, \(M\) \(AC\'nin ortasıdır), dolayısıyla \(MN\) orta çizgidir ve \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\), \(A_1N\)'nin \((ABCD)\) düzlemine izdüşümüdür ve \(MN\) \(AB\'ye diktir), o halde üç dik teoremine göre, \ (A_1N\), \(AB \)'ye diktir ve \((ABCD)\) ve \((AA_1B_1B)\) düzlemleri arasındaki açı \(\angle A_1NM\)'dir.
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

Cevap: 60

Görev 6 #1854

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

Bir karede \(ABCD\) : \(O\) – köşegenlerin kesişme noktası; \(S\) – karenin düzleminde yer almıyor, \(SO \perp ABC\) . \(SO = 5\) ve \(AB = 10\) ise \(ASD\) ve \(ABC\) düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Dik üçgenler \(\triangle SAO\) ve \(\triangle SDO\) iki tarafta eşittir ve aralarındaki açı (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , çünkü \(O\) – karenin köşegenlerinin kesişme noktası, \(SO\) – ortak kenar) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\ ) – ikizkenar. \(K\) noktası \(AD\'nin ortasıdır), bu durumda \(SK\) üçgendeki yüksekliktir \(\triangle ASD\) ve \(OK\) üçgendeki yüksekliktir \( AOD\) \(\ Rightarrow\) düzlemi \(SOK\) \(ASD\) ve \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) düzlemlerine diktir – istenene eşit doğrusal açı Dihedral açı.

\(\triangle SKO\) içinde: \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) – ikizkenar dik üçgen \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

Cevap: 45

Görev 7 #1855

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

Bir karede \(ABCD\) : \(O\) – köşegenlerin kesişme noktası; \(S\) – karenin düzleminde yer almıyor, \(SO \perp ABC\) . \(SO = 5\) ve \(AB = 10\) ise \(ASD\) ve \(BSC\) düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

\(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) ve \(\triangle SOC\) dik üçgenlerinin iki tarafı eşittir ve aralarındaki açı (\(SO \perp ABC) \) \(\Sağ ok\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), çünkü \(O\) – karenin köşegenlerinin kesişme noktası, \(SO\) – ortak kenar) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \( \triangle ASD\) ve \(\triangle BSC\) ikizkenardır. \(K\) noktası \(AD\'nin ortasıdır), bu durumda \(SK\) üçgendeki yüksekliktir \(\triangle ASD\) ve \(OK\) üçgendeki yüksekliktir \( AOD\) \(\ Rightarrow\) düzlemi \(SOK\), \(ASD\) düzlemine diktir. \(L\) noktası \(BC\'nin ortasıdır), o zaman \(SL\) \(\üçgen BSC\) üçgenindeki yüksekliktir ve \(OL\) üçgendeki yüksekliktir \( BOC\) \(\ Rightarrow\) düzlemi \(SOL\) (aka \(SOK\)) düzlemi \(BSC\) düzlemine diktir. Böylece, \(\angle KSL\)'nin istenilen dihedral açıya eşit bir doğrusal açı olduğunu elde ederiz.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Rightarrow\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – Pisagor teoremi kullanılarak bulunabilen eşit ikizkenar üçgenlerdeki yükseklikler: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Şu fark edilebilir ki \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) bir üçgen için \(\üçgen KSL\) ters Pisagor teoremi şunu tutar: \(\Rightarrow\) \(\üçgen KSL\) – dik üçgen \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90 ^\ circ\) .

Cevap: 90

Öğrencileri matematikte Birleşik Devlet Sınavına girmeye hazırlamak, kural olarak, düzlemler arasındaki açıyı belirlemenize izin verenler de dahil olmak üzere temel formüllerin tekrarlanmasıyla başlar. Geometrinin bu bölümünün okul müfredatında yeterince ayrıntılı olarak ele alınmasına rağmen, birçok mezunun temel materyali tekrarlaması gerekiyor. Düzlemler arasındaki açının nasıl bulunacağını anlayan lise öğrencileri, bir sorunu çözerken doğru cevabı hızlı bir şekilde hesaplayabilecek ve birleşik devlet sınavını geçme sonuçlarında iyi puanlar alacaklarına güvenebilecekler.

Ana nüanslar

Dihedral açının nasıl bulunacağı sorusunun zorluğa neden olmamasını sağlamak için, Birleşik Durum Sınavı görevleriyle başa çıkmanıza yardımcı olacak bir çözüm algoritması izlemenizi öneririz.

Öncelikle düzlemlerin kesiştiği düz çizgiyi belirlemeniz gerekir.

Daha sonra bu doğru üzerinde bir nokta seçip ona iki dik çizgi çizmeniz gerekiyor.

Bir sonraki adım, diklerin oluşturduğu dihedral açının trigonometrik fonksiyonunu bulmaktır. Bunu yapmanın en uygun yolu, açının da bir parçası olduğu ortaya çıkan üçgenin yardımıyladır.

Cevap açının değeri veya trigonometrik fonksiyonu olacaktır.

Shkolkovo ile sınav testine hazırlanmak başarınızın anahtarıdır

Birleşik Devlet Sınavını geçmenin arifesindeki derslerde birçok okul çocuğu, 2 düzlem arasındaki açıyı hesaplamalarına olanak tanıyan tanım ve formül bulma sorunuyla karşı karşıyadır. Bir okul ders kitabı her zaman tam olarak ihtiyaç duyulduğunda elinizin altında olmayabilir. İnternette çevrimiçi olarak uçaklar arasındaki açıyı bulmak da dahil olmak üzere gerekli formülleri ve bunların doğru uygulamalarına ilişkin örnekleri bulmak için, bazen çok zaman harcamanız gerekir.

Shkolkovo matematik portalı devlet sınavına hazırlanmak için yeni bir yaklaşım sunuyor. Web sitemizdeki dersler, öğrencilerin kendileri için en zor bölümleri belirlemelerine ve bilgi boşluklarını doldurmalarına yardımcı olacaktır.

Gerekli tüm materyali hazırladık ve net bir şekilde sunduk. Temel tanımlar ve formüller “Teorik Bilgiler” bölümünde sunulmaktadır.

Materyali daha iyi anlamak için uygun alıştırmaları yapmanızı da öneririz. Örneğin, "Katalog" bölümünde, değişen karmaşıklık derecelerine sahip çok çeşitli görevler sunulmaktadır. Tüm görevler doğru cevabı bulmak için ayrıntılı bir algoritma içerir. Sitedeki egzersizlerin listesi sürekli olarak desteklenmekte ve güncellenmektedir.

Öğrenciler, iki düzlem arasındaki açıyı bulmayı gerektiren problemleri çözme alıştırmaları yaparken, istedikleri görevi çevrimiçi olarak "Favoriler" olarak kaydetme olanağına sahip oluyorlar. Bu sayede gerekli sayıda geri dönebilecekler ve çözümünün ilerleyişini bir okul öğretmeni veya özel öğretmenle tartışabilecekler.