Mat beklentilerinin hesaplanması. Matematiksel beklenti (Nüfus ortalaması)

Ayrık bir olasılık uzayı üzerinde verilen bir X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi (ortalama değeri), serinin mutlak yakınsaması durumunda m =M[X]=∑x i p i sayısıdır.

Hizmetin amacı. Çevrimiçi hizmeti kullanma matematiksel beklenti, varyans ve standart sapma hesaplanır(örneğe bakın). Ek olarak F(X) dağılım fonksiyonunun bir grafiği çizilir.

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinin özellikleri

1. Sabit bir değerin matematiksel beklentisi kendisine eşittir: M[C]=C, C – sabit;
2. M=C M[X]
3. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: M=M[X]+M[Y]
4. Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: M=M[X] M[Y], eğer X ve Y bağımsızsa.

Dispersiyon özellikleri

1. Sabit bir değerin varyansı sıfırdır: D(c)=0.
2. Sabit faktör, dağılım işaretinin altından karesi alınarak çıkarılabilir: D(k*X)= k 2 D(X).
3. X ve Y rastgele değişkenleri bağımsızsa, toplamın varyansı varyansların toplamına eşittir: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. X ve Y rastgele değişkenleri bağımlı ise: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Aşağıdaki hesaplama formülü dağılım için geçerlidir:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Örnek. İki bağımsız rastgele değişken X ve Y'nin matematiksel beklentileri ve varyansları bilinmektedir: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Z=9X-8Y+7 rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.
Çözüm. Matematiksel beklentinin özelliklerine göre: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Dağılımın özelliklerine göre: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Matematiksel beklentiyi hesaplamak için algoritma

1. Çiftleri birer birer çarpıyoruz: x i x p i .
2. Her x i p i çiftinin çarpımını ekleyin.
   Örneğin, n = 4 için: m = ∑x ben p ben = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Örnek No.1.

Örnek No. 2. Ayrık bir rastgele değişken aşağıdaki dağılım serisine sahiptir:

Çözüm. a'nın değeri şu ilişkiden bulunur: Σp i = 1
Σp ben = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 veya 0,24=3 a , buradan a = 0,08

Örnek No. 3. Ayrık bir rastgele değişkenin varyansı biliniyorsa dağılım yasasını belirleyin ve x 1 x1 =6; x2 =9; x3 =x; x 4 =15
p1 =0,3; p2 =0,3; p3 =0,1; p4 =0,3
d(x)=12,96

Çözüm.
Burada d(x) varyansını bulmak için bir formül oluşturmanız gerekir:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
burada beklenti m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Verilerimiz için
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
veya -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Buna göre denklemin köklerini bulmamız gerekiyor ve bunlardan iki tane olacak.
x 3 =8, x 3 =12
x 1 koşulunu sağlayanı seçin x3 =12

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası
x1 =6; x2 =9; x3 =12; x 4 =15
p1 =0,3; p2 =0,3; p3 =0,1; p4 =0,3

Rastgele değişken Değişken, her test sonucunda rastgele nedenlere bağlı olarak önceden bilinmeyen bir değer alan değişken olarak adlandırılır. Rastgele değişkenler büyük Latin harfleriyle gösterilir: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Türlerine göre rastgele değişkenler şunlar olabilir: ayrık Ve sürekli.

Ayrık rastgele değişken- bu, değerleri sayılabilirden fazla olamayacak, yani sonlu veya sayılabilir olan rastgele bir değişkendir. Sayılabilirlik derken, bir rastgele değişkenin değerlerinin numaralandırılabileceğini kastediyoruz.

Örnek 1 . Ayrık rastgele değişkenlerin örnekleri şunlardır:

a) $n$ atışla hedefe yapılan isabet sayısı, burada olası değerler $0,\ 1,\ \dots ,\ n$'dır.

b) Yazı tura atıldığında düşen amblem sayısı, burada olası değerler $0,\ 1,\ \dots ,\ n$'dır.

c) gemiye gelen gemilerin sayısı (sayılabilir bir değerler dizisi).

d) PBX'e gelen çağrıların sayısı (sayılabilir değerler kümesi).

1. Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı kanunu.

Ayrık bir rastgele değişken $X$, $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ olasılıklarıyla $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerini alabilir. Bu değerler ile olasılıkları arasındaki yazışmaya denir ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası. Kural olarak, bu yazışma, ilk satırında $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerinin ve ikinci satırda olasılıkların $p_1,\dots ,\ p_n$ olduğu bir tablo kullanılarak belirtilir. bu değerlere karşılık gelenler belirtilmektedir.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(dizi)$

Örnek 2 . Rastgele değişken $X$, bir zar atıldığında atılan puanların sayısı olsun. Böyle bir rastgele değişken $X$ şu değerleri alabilir: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Tüm bu değerlerin olasılıkları 1/6$'a eşittir. O zaman $X$ rastgele değişkeninin olasılık dağılımı yasası:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(dizi)$

Yorum. Ayrık bir rastgele değişken $X$'in dağılım yasasında $1,\ 2,\ \dots,\ 6$ olayları tam bir olay grubu oluşturduğundan, olasılıkların toplamı bire eşit olmalıdır, yani $ \sum(p_i)=1$.

2. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi.

Rastgele bir değişkenin beklentisi“merkezi” anlamını belirtir. Ayrık bir rastgele değişken için matematiksel beklenti, $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerinin ve bu değerlere karşılık gelen $p_1,\dots ,\ p_n$ olasılıklarının çarpımlarının toplamı olarak hesaplanır; yani : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. İngiliz dili literatüründe başka bir gösterim $E\left(X\right)$ kullanılır.

Matematiksel beklentinin özellikleri$M\sol(X\sağ)$:

1. $M\left(X\right)$, $X$ rastgele değişkeninin en küçük ve en büyük değerleri arasında yer alır.
2. Bir sabitin matematiksel beklentisi sabitin kendisine eşittir, yani. $M\sol(C\sağ)=C$.
3. Sabit faktör, matematiksel beklentinin işaretinden çıkarılabilir: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Örnek 3 . $2$ örneğinden $X$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulalım.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1) )\over (6))=3.5.$$

$M\left(X\right)$ öğesinin, $X$ rastgele değişkeninin en küçük ($1$) ve en büyük ($6$) değerleri arasında yer aldığını fark edebiliriz.

Örnek 4 . $X$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $M\left(X\right)=2$'a eşit olduğu bilinmektedir. $3X+5$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ elde ederiz. cdot 2 +5=11$.

Örnek 5 . $X$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $M\left(X\right)=4$'a eşit olduğu bilinmektedir. $2X-9$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ elde ederiz. cdot 4 -9=-1$.

3. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı.

Eşit matematiksel beklentilere sahip rastgele değişkenlerin olası değerleri, ortalama değerleri etrafında farklı şekilde dağılabilir. Örneğin iki öğrenci grubunda olasılık teorisi sınavının ortalama puanı 4 çıktı, ancak bir grupta herkes iyi öğrenci çıktı, diğer grupta ise sadece C öğrencileri ve mükemmel öğrenciler vardı. Bu nedenle, bir rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafındaki yayılımını gösterecek sayısal bir karakteristiğe ihtiyaç vardır. Bu özellik dağılımdır.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı$X$ şuna eşittir:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

İngiliz edebiyatında $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ gösterimi kullanılır. $D\left(X\right)$ varyansı sıklıkla $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) formülü kullanılarak hesaplanır. sol(X \sağ)\sağ))^2$.

Dispersiyon özellikleri$D\sol(X\sağ)$:

1. Varyans her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir; $D\sol(X\sağ)\ge 0$.
2. Sabitin varyansı sıfırdır, yani. $D\sol(C\sağ)=0$.
3. Sabit faktör, karesi olması koşuluyla dağılım işaretinden çıkarılabilir, yani. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir; $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Bağımsız rastgele değişkenler arasındaki farkın varyansı, varyanslarının toplamına eşittir; $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Örnek 6 . Örnek $2$'dan $X$ rastgele değişkeninin varyansını hesaplayalım.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\yaklaşık 2,92.$$

Örnek 7 . $X$ rastgele değişkeninin varyansının $D\left(X\right)=2$'a eşit olduğu bilinmektedir. $4X+1$ rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak şunu buluruz: $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ sol(X\sağ)=16\cdot 2=32$.

Örnek 8 . $X$ rastgele değişkeninin varyansının $D\left(X\right)=3$'a eşit olduğu bilinmektedir. $3-2X$ rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak şunu buluruz: $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ sol(X\sağ)=4\cdot 3=12$.

4. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu.

Ayrık bir rastgele değişkeni bir dağılım serisi biçiminde temsil etme yöntemi tek yöntem değildir ve en önemlisi evrensel değildir, çünkü sürekli bir rastgele değişken bir dağılım serisi kullanılarak belirlenemez. Rastgele bir değişkeni temsil etmenin başka bir yolu daha vardır: dağıtım fonksiyonu.

Dağıtım işlevi$X$ rastgele değişkenine $F\left(x\right)$ fonksiyonu adı verilir ve bu, $X$ rastgele değişkeninin bazı sabit $x$ değerlerinden, yani $F\'den daha düşük bir değer alma olasılığını belirler. sol(x\sağ )=P\sol(X< x\right)$

Dağıtım fonksiyonunun özellikleri:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. $X$ rastgele değişkeninin $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ aralığından değer alma olasılığı, bunun uçlarındaki dağıtım fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir. aralık: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - azalmayan.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \sağ)=1\ )$.

Örnek 9 . $2$ örneğinden $X$ ayrık rastgele değişkeninin dağıtım yasası için $F\left(x\right)$ dağıtım fonksiyonunu bulalım.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(dizi)$

Eğer $x\le 1$ ise, o zaman açıkça $F\left(x\right)=0$ ($x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X dahil) olur< 1\right)=0$).

1$ ise< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

2$ ise< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

3$ ise< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

4$ ise< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

5$ ise< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Eğer $x > 6$ ise, $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\sol(X=4\sağ)+P\sol(X=5\sağ)+P\sol(X=6\sağ)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Yani $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6,\ 1'de< x\le 2,\\
1/3,\ 2'de< x\le 3,\\
1/2,\3'te< x\le 4,\\
2/3,\ 4'te< x\le 5,\\
5/6,\ 4'te< x\le 5,\\
1,\ for\ x > 6.
\end(matrix)\right.$

Bilindiği gibi dağıtım kanunu tamamıyla bir rastgele değişkeni karakterize etmektedir. Ancak çoğu zaman dağıtım kanunu bilinmez ve kişinin kendisini daha az bilgiyle sınırlaması gerekir. Bazen rastgele değişkeni toplamda tanımlayan sayıları kullanmak daha da karlı olabilir; bu tür numaralara denir Rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri.Önemli sayısal özelliklerden biri matematiksel beklentidir.

Aşağıda gösterileceği gibi matematiksel beklenti yaklaşık olarak rastgele değişkenin ortalama değerine eşittir. Birçok problemi çözmek için matematiksel beklentiyi bilmek yeterlidir. Örneğin, ilk atıcının attığı sayının matematiksel beklentisinin ikinci atıcıdan daha büyük olduğu biliniyorsa, bu durumda ilk atıcı ortalama olarak ikinciden daha fazla puan alır ve dolayısıyla daha iyi atış yapar. ikincisinden daha. Matematiksel beklenti, bir rastgele değişken hakkında dağılım yasasından çok daha az bilgi sağlasa da, matematiksel beklentiye ilişkin bilgi, yukarıdaki gibi ve daha birçok problemi çözmek için yeterlidir.

§ 2. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi

Matematiksel beklenti Ayrık bir rastgele değişken, tüm olası değerlerinin ve olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.

Rastgele değişken olsun X yalnızca değer alabilir X 1 , X 2 , ..., X N , olasılıkları sırasıyla eşit olan R 1 , R 2 , . . ., R N . Daha sonra matematiksel beklenti M(X) rastgele değişken X eşitlikle belirlenir

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + X N P N .

Ayrık bir rastgele değişken ise X sayılabilir bir dizi olası değeri alır, ardından

M(X)=

Üstelik eşitliğin sağ tarafındaki serinin mutlak yakınsaması durumunda matematiksel beklenti mevcuttur.

Yorum. Tanımdan, ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin rastgele olmayan (sabit) bir miktar olduğu anlaşılmaktadır. Bu ifadeyi daha sonra birçok kez kullanacağımız için hatırlamanızı öneririz. Sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin de sabit bir değer olduğu daha sonra gösterilecektir.

Örnek 1. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun X, dağıtım yasasını bilmek:

Çözüm. Gerekli matematiksel beklenti, rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin ve bunların olasılıklarının çarpımlarının toplamına eşittir:

M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Örnek 2. Bir olayın meydana gelme sayısının matematiksel beklentisini bulun A bir denemede olayın olasılığı A eşit R.

Çözüm. Rastgele değişken X - olayın gerçekleşme sayısı A bir testte - yalnızca iki değer alabilir: X 1 = 1 (etkinlik A meydana geldi) olasılıkla R Ve X 2 = 0 (etkinlik A gerçekleşmedi) büyük ihtimalle Q= 1 -R. Gerekli matematiksel beklenti

M(X)= 1* P+ 0* Q= P

Bu yüzden, Bir olayın bir denemede meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi, bu olayın olasılığına eşittir. Bu sonuç aşağıda kullanılacaktır.

§ 3. Matematiksel beklentinin olasılıksal anlamı

Üretilsin N rastgele değişkenin kullanıldığı testler X kabul edildi T 1 çarpı değer X 1 , T 2 çarpı değer X 2 ,...,M k çarpı değer X k , Ve T 1 + T 2 + …+t İle = s. Daha sonra alınan tüm değerlerin toplamı X, eşit

X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X İle T İle .

Aritmetik ortalamayı bulalım bulunan toplamı toplam test sayısına böldüğümüz rastgele bir değişken tarafından kabul edilen tüm değerler:

= (X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X İle T İle)/P,

= X 1 (M 1 / N) + X 2 (M 2 / N) + ... + X İle (T İle /N). (*)

tutumunu fark ederek M 1 / N- bağıl frekans W 1 değerler X 1 , M 2 / N - bağıl frekans W 2 değerler X 2 vb. için ilişkiyi (*) şu şekilde yazıyoruz:

=X 1 W 1 + X 2 W 2 + .. . + X İle W k . (**)

Test sayısının oldukça fazla olduğunu varsayalım. Bu durumda bağıl sıklık, olayın meydana gelme olasılığına yaklaşık olarak eşittir (bu, Bölüm IX, § 6'da kanıtlanacaktır):

W 1 P 1 , W 2 P 2 , …, W k P k .

(**) ile ilgili göreceli frekansları karşılık gelen olasılıklarla değiştirerek şunu elde ederiz:

X 1 P 1 + X 2 R 2 + … + X İle R İle .

Bu yaklaşık eşitliğin sağ tarafı M(X). Bu yüzden,

M(X).

Elde edilen sonucun olasılıksal anlamı şu şekildedir: matematiksel beklenti yaklaşık olarak eşittir(ne kadar doğru olursa, test sayısı da o kadar fazla olur) rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalaması.

Açıklama 1. Matematiksel beklentinin olası en küçük değerden büyük ve en büyük değerden küçük olduğunu anlamak kolaydır. Yani sayı doğrusunda olası değerler matematiksel beklentinin solunda ve sağında yer alır. Bu anlamda matematiksel beklenti, dağılımın konumunu karakterize eder ve bu nedenle sıklıkla denir. dağıtım merkezi.

Bu terim mekanikten alınmıştır: eğer kütleler R 1 , P 2 , ..., R N apsis noktalarında bulunur X 1 , X 2 , ..., X N, Ve
daha sonra ağırlık merkezinin apsisi

X C =
.

Bunu göz önünde bulundurarak
= M (X) Ve
alıyoruz M(X)=x İle .

Dolayısıyla, matematiksel beklenti, apsisleri rastgele değişkenin olası değerlerine eşit olan ve kütleleri olasılıklarına eşit olan bir maddi noktalar sisteminin ağırlık merkezinin apsisidir.

Açıklama 2. “Matematiksel beklenti” teriminin kökeni, uygulama kapsamının kumarla sınırlı olduğu olasılık teorisinin ortaya çıktığı ilk dönem (XVI - XVII yüzyıllar) ile ilişkilidir. Oyuncu, beklenen kazancın ortalama değeriyle, başka bir deyişle kazanmanın matematiksel beklentisiyle ilgileniyordu.

Görev 1. Buğday tohumlarının çimlenme olasılığı 0,9'dur. Ekilen dört tohumdan en az üçünün filizlenme olasılığı nedir?

Çözüm. Hadi olay A– 4 tohumdan en az 3 tohum filizlenecektir; etkinlik İÇİNDE– 4 tohumdan 3 tohum filizlenecek; etkinlik İLE– 4 tohumdan 4 tohum filizlenecektir. Olasılıkların eklenmesi teoremine göre

Olasılıklar
Ve
aşağıdaki durumda uygulanan Bernoulli formülüne göre belirleriz. Seri yapılsın N her biri sırasında olayın meydana gelme olasılığının sabit ve eşit olduğu bağımsız testler R ve bu olayın gerçekleşmeme olasılığı eşittir
. O halde olayın gerçekleşme olasılığı A V N testler tam olarak görünecek kez Bernoulli formülü kullanılarak hesaplanır

,

Nerede
– kombinasyon sayısı N tarafından elemanlar . Daha sonra

Gerekli olasılık

Görev 2. Buğday tohumlarının çimlenme olasılığı 0,9'dur. Ekilen 400 tohumdan 350 tanesinin filizlenme olasılığını bulunuz.

Çözüm. Gerekli olasılığı hesaplayın
Hesaplamaların zahmetli olması nedeniyle Bernoulli formülünü kullanmak zordur. Bu nedenle Laplace'ın yerel teoremini ifade eden yaklaşık bir formül uyguluyoruz:

,

Nerede
Ve
.

Sorun koşullarından. Daha sonra

.

Bulduğumuz eklerin Tablo 1'inden. Gerekli olasılık eşittir

Görev 3. Buğday tohumları %0,02 oranında yabancı ot içerir. 10.000 tohum rastgele seçildiğinde 6 yabancı ot tohumu bulunma olasılığı nedir?

Çözüm. Düşük olasılık nedeniyle Laplace yerel teoreminin uygulanması
olasılığın kesin değerden önemli ölçüde sapmasına yol açar
. Bu nedenle küçük değerlerde R hesaplamak
asimptotik Poisson formülünü uygulayın

, Nerede .

Bu formül şu durumlarda kullanılır:
ve daha az R ve daha fazlası N sonuç o kadar doğru olur.

Sorunun koşullarına göre
;
. Daha sonra

Görev 4. Buğday tohumlarının çimlenme yüzdesi %90’dır. Ekilen 500 tohumdan 400 ila 440 tanesinin filizlenme olasılığını bulun.

Çözüm. Bir olayın gerçekleşme olasılığı ise A her birinde N testler sabit ve eşittir R, o zaman olasılık
olay A bu tür testlerde daha az olmayacak bir kez ve artık yok Laplace integral teoremine göre aşağıdaki formülle belirlenen zamanlar:

, Nerede

,
.

İşlev
Laplace fonksiyonu denir. Ekler (Tablo 2) bu fonksiyonun değerlerini vermektedir.
. Şu tarihte:
işlev
. Negatif değerler için X Laplace fonksiyonunun tuhaflığından dolayı
. Laplace fonksiyonunu kullanarak şunu elde ederiz:

Görevin koşullarına göre. Bulduğumuz yukarıdaki formülleri kullanarak
Ve :

Görev 5. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası verilmiştir X:

2. Bulgular: 1) matematiksel beklenti; 2) dağılım; 3) standart sapma.

Çözüm. 1) Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası tablo tarafından verilmişse

2. İlk satırın rastgele değişken x'in değerlerini içerdiği ve ikinci satırın bu değerlerin olasılıklarını içerdiği durumda, matematiksel beklenti formül kullanılarak hesaplanır.

2) Farklılık
ayrık rastgele değişken X bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisi olarak adlandırılır;

Bu değer karesel sapmanın ortalama beklenen değerini karakterize eder X itibaren
. Elimizdeki son formülden

Varyans
aşağıdaki özelliğine göre başka bir şekilde bulunabilir: dağılım
rastgele değişkenin karesinin matematiksel beklentisi arasındaki farka eşit X ve matematiksel beklentinin karesi
yani

Hesaplamak
miktarın aşağıdaki dağılım yasasını çizelim
:

3) Rastgele bir değişkenin olası değerlerinin ortalama değeri etrafındaki dağılımını karakterize etmek için standart sapma tanıtılır
rastgele değişken X, varyansın kareköküne eşit
yani

.

Bu formülden şunu elde ederiz:

Görev 6. Sürekli rastgele değişken X kümülatif dağılım fonksiyonu tarafından verilir

Bul: 1) diferansiyel dağılım fonksiyonu
; 2) matematiksel beklenti
; 3) varyans
.

Çözüm. 1) Diferansiyel dağılım fonksiyonu
sürekli rastgele değişken X kümülatif dağılım fonksiyonunun türevi denir
yani

.

Aranan diferansiyel fonksiyon aşağıdaki forma sahiptir:

2) Sürekli bir rastgele değişken ise X fonksiyon tarafından verilen
, o zaman matematiksel beklentisi formülle belirlenir

Fonksiyondan beri
en
ve
sıfıra eşitse, elimizdeki son formülden yola çıkarak

.

3) Farklılık
formülle belirleyeceğiz

Görev 7. Parçanın uzunluğu, matematiksel beklentisi 40 mm ve standart sapması 3 mm olan normal dağılımlı bir rastgele değişkendir. Bul: 1) keyfi olarak alınan bir parçanın uzunluğunun 34 mm'den fazla ve 43 mm'den az olma olasılığı; 2) parçanın uzunluğunun matematiksel beklentiden 1,5 mm'den fazla sapmama olasılığı.

Çözüm. 1) izin ver X– parçanın uzunluğu. Rastgele değişken ise X bir diferansiyel fonksiyon tarafından verilir
, o zaman olasılık X segmente ait değerleri alacak
, formülle belirlenir

.

Kesin eşitsizliklerin olasılığı
aynı formülle belirlenir. Rastgele değişken ise X normal yasaya göre dağıtılır, o zaman

, (1)

Nerede
– Laplace fonksiyonu,
.

Görevde. Daha sonra

2) Sorunun koşullarına göre, nerede
. (1)'i yerine koyarsak,

. (2)

Formül (2)'den elimizde.

Beklenti, rastgele bir değişkenin olasılık dağılımıdır

Matematiksel beklenti, tanımı, kesikli ve sürekli rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisi, örneklem, koşullu beklenti, hesaplama, özellikler, problemler, beklenti tahmini, dağılım, dağılım fonksiyonu, formüller, hesaplama örnekleri

İçeriği genişlet

İçeriği daralt

Matematiksel beklentinin tanımı

Rasgele bir değişkenin değerlerinin veya olasılıklarının dağılımını karakterize eden, matematiksel istatistik ve olasılık teorisindeki en önemli kavramlardan biri. Tipik olarak bir rastgele değişkenin olası tüm parametrelerinin ağırlıklı ortalaması olarak ifade edilir. Teknik analizde, sayı serilerinin incelenmesinde, sürekli ve uzun vadeli süreçlerin incelenmesinde yaygın olarak kullanılır. Finansal piyasalarda işlem yaparken risklerin değerlendirilmesinde, fiyat göstergelerinin tahmin edilmesinde önemlidir ve kumar teorisinde stratejiler ve oyun taktikleri yöntemlerinin geliştirilmesinde kullanılır.

Matematiksel beklenti Olasılık teorisinde bir rastgele değişkenin ortalama değeri, bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı dikkate alınır.

Matematiksel beklenti Olasılık teorisinde rastgele bir değişkenin ortalama değerinin ölçüsü. Rastgele bir değişkenin beklentisi X ile gösterilir M(x).

Matematiksel beklenti

Matematiksel beklenti olasılık teorisinde, bir rastgele değişkenin alabileceği tüm olası değerlerin ağırlıklı ortalaması.

Matematiksel beklenti bir rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin çarpımlarının toplamı ve bu değerlerin olasılıkları.

Matematiksel beklenti Belirli bir karardan elde edilen ortalama fayda, böyle bir kararın büyük sayılar ve uzun mesafe teorisi çerçevesinde değerlendirilebilmesi koşuluyla.

Matematiksel beklenti Kumar teorisinde, bir oyuncunun her bahis için ortalama olarak kazanabileceği veya kaybedebileceği kazanç miktarı. Kumar dilinde buna bazen "oyuncunun avantajı" (eğer oyuncu için pozitifse) veya "ev avantajı" (eğer oyuncu için negatifse) denir.

Matematiksel beklenti kazanç başına kar yüzdesinin ortalama kârla çarpımı, eksi kayıp olasılığı çarpı ortalama kayıp.

Matematik teorisinde rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi

Bir rastgele değişkenin önemli sayısal özelliklerinden biri onun matematiksel beklentisidir. Rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem kavramını tanıtalım. Aynı rastgele deneyin sonuçları olan bir dizi rastgele değişkeni ele alalım. Sistemin olası değerlerinden biri ise, olay Kolmogorov'un aksiyomlarını karşılayan belirli bir olasılığa karşılık gelir. Rastgele değişkenlerin olası herhangi bir değeri için tanımlanan bir fonksiyona ortak dağılım yasası denir. Bu işlev herhangi bir olayın olasılığını hesaplamanıza olanak tanır. Özellikle rastgele değişkenlerin ve kümeden değer alan ortak dağılım yasası, olasılıklarla verilmektedir.

“Matematiksel beklenti” terimi Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) tarafından ortaya atılmış ve ilk olarak 17. yüzyılda Blaise Pascal ve Christiaan'ın eserlerinde kumar teorisinde ortaya çıkan “kazançların beklenen değeri” kavramından gelmektedir. Huygens. Ancak bu kavramın ilk tam teorik anlayışı ve değerlendirmesi Pafnuty Lvovich Chebyshev (19. yüzyılın ortaları) tarafından yapılmıştır.

Rastgele sayısal değişkenlerin dağılım yasası (dağılım fonksiyonu ve dağılım serisi veya olasılık yoğunluğu), bir rastgele değişkenin davranışını tamamen tanımlar. Ancak bazı problemlerde, sorulan soruyu cevaplamak için incelenen miktarın bazı sayısal özelliklerini (örneğin, ortalama değeri ve bundan olası sapma) bilmek yeterlidir. Rastgele değişkenlerin temel sayısal özellikleri matematiksel beklenti, varyans, mod ve medyandır.

Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, olası değerlerinin ve bunlara karşılık gelen olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır. Bazen matematiksel beklentiye ağırlıklı ortalama denir, çünkü çok sayıda deneyde rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına yaklaşık olarak eşittir. Matematiksel beklentinin tanımından, değerinin bir rastgele değişkenin mümkün olan en küçük değerinden az olmadığı ve en büyük değerinden fazla olmadığı sonucu çıkar. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi rastgele olmayan (sabit) bir değişkendir.

Matematiksel beklentinin basit bir fiziksel anlamı vardır: Bir birim kütleyi düz bir çizgi üzerine yerleştirirseniz, belirli bir kütleyi bazı noktalara yerleştirirseniz (kesikli bir dağılım için) veya onu belirli bir yoğunlukla "yayarsanız" (kesinlikle sürekli bir dağılım için) , o zaman matematiksel beklentiye karşılık gelen nokta "ağırlık merkezi" koordinatının düz olması olacaktır.

Bir rastgele değişkenin ortalama değeri, onun "temsilcisi" olan ve kabaca yaklaşık hesaplamalarda onun yerini alan belirli bir sayıdır. “Lambanın ortalama çalışma süresi 100 saattir” veya “ortalama çarpma noktası hedefe göre 2 m sağa kaydırılmıştır” derken, bir rastgele değişkenin konumunu tanımlayan belirli bir sayısal özelliğini belirtmiş oluyoruz. sayısal eksende, yani "konum özellikleri".

Olasılık teorisinde bir konumun özelliklerinden en önemli rolü, bazen basitçe rastgele bir değişkenin ortalama değeri olarak adlandırılan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi oynar.

Rastgele değişkeni düşünün X, olası değerlere sahip x1, x2,…, xn olasılıklarla p1, p2,…, pn. Bu değerlerin farklı olasılıklara sahip olduğu gerçeğini dikkate alarak, bir rastgele değişkenin değerlerinin x ekseni üzerindeki konumunu bir sayı ile karakterize etmemiz gerekir. Bu amaçla değerlerin “ağırlıklı ortalamasının” kullanılması doğaldır. xi ve ortalama sırasında her xi değeri, bu değerin olasılığıyla orantılı bir "ağırlık" ile dikkate alınmalıdır. Böylece rastgele değişkenin ortalamasını hesaplayacağız X, belirttiğimiz M |X|:

Bu ağırlıklı ortalamaya rastgele değişkenin matematiksel beklentisi denir. Böylece olasılık teorisinin en önemli kavramlarından biri olan matematiksel beklenti kavramını dikkate aldık. Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, bir rastgele değişkenin olası tüm değerlerinin ve bu değerlerin olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.

Üretilsin N bağımsız deneyler; her birinde değer X belli bir değer alır. Diyelim ki değer x1 göründü m1 zamanlar, değer x2 göründü m2 zamanlar, genel anlam xi birkaç kez göründüm. Matematiksel beklentinin aksine X değerinin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasını hesaplayalım. M|X| biz belirtiyoruz M*|X|:

Artan deney sayısıyla N frekanslar pi karşılık gelen olasılıklara yaklaşacaktır (olasılıkla yakınlaşacaktır). Sonuç olarak, rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması M|X| Deney sayısının artmasıyla matematiksel beklentisine yaklaşacaktır (olasılık açısından yakınlaşacaktır). Yukarıda formüle edilen aritmetik ortalama ile matematiksel beklenti arasındaki bağlantı, büyük sayılar yasasının biçimlerinden birinin içeriğini oluşturur.

Büyük sayılar yasasının tüm biçimlerinin, bazı ortalamaların çok sayıda deney boyunca kararlı olduğu gerçeğini ifade ettiğini zaten biliyoruz. Burada aynı miktardaki bir dizi gözlemden elde edilen aritmetik ortalamanın kararlılığından bahsediyoruz. Az sayıda deneyle sonuçlarının aritmetik ortalaması rastgeledir; Deney sayısında yeterli bir artışla, "neredeyse rastgele olmayan" hale gelir ve dengelenerek sabit bir değere - matematiksel beklentiye - yaklaşır.

Çok sayıda deneyin ortalamalarının kararlılığı deneysel olarak kolaylıkla doğrulanabilir. Örneğin laboratuvarda bir cesedi hassas terazide tartarken, tartma sonucunda her defasında yeni bir değer elde ederiz; Gözlem hatasını azaltmak için bedeni birkaç kez tartıyoruz ve elde edilen değerlerin aritmetik ortalamasını kullanıyoruz. Deney sayısındaki (tartım) artışla aritmetik ortalamanın bu artışa giderek daha az tepki verdiğini ve yeterince fazla sayıda deneyle pratik olarak değişmeyi bıraktığını görmek kolaydır.

Bir rastgele değişkenin konumunun en önemli özelliği olan matematiksel beklentinin tüm rastgele değişkenler için mevcut olmadığına dikkat edilmelidir. Karşılık gelen toplam veya integral ıraksak olduğundan, matematiksel beklentinin mevcut olmadığı bu tür rastgele değişkenlerin örneklerini oluşturmak mümkündür. Ancak bu tür vakaların pratikte pek önemi yoktur. Tipik olarak ele aldığımız rastgele değişkenlerin olası değerleri sınırlı bir aralıktadır ve elbette matematiksel bir beklentiye sahiptir.

Pratikte bir rastgele değişkenin konumunun en önemli özelliklerine (matematiksel beklenti) ek olarak, konumun diğer özellikleri, özellikle de rastgele değişkenin modu ve medyanı bazen kullanılır.

Bir rastgele değişkenin modu onun en olası değeridir. Kesin olarak konuşursak, "en olası değer" terimi yalnızca süreksiz miktarlar için geçerlidir; sürekli bir miktar için mod, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değerdir. Şekiller sırasıyla süreksiz ve sürekli rastgele değişkenlerin modunu göstermektedir.

Dağıtım poligonunun (dağılım eğrisinin) birden fazla maksimumu varsa dağılıma "multimodal" dağılım denir.

Bazen ortada maksimum yerine minimum bulunan dağılımlar vardır. Bu tür dağılımlara “anti-modal” denir.

Genel durumda, bir rastgele değişkenin modu ve matematiksel beklentisi örtüşmez. Özel durumda, dağılım simetrik ve modal olduğunda (yani bir modu varsa) ve matematiksel bir beklenti varsa, bu durumda dağılımın modu ve simetri merkezi ile çakışır.

Başka bir konum özelliği sıklıkla kullanılır - rastgele bir değişkenin ortancası. Bu karakteristik genellikle sürekli rastgele değişkenler için kullanılır, ancak resmi olarak süreksiz bir değişken için de tanımlanabilir. Geometrik olarak medyan, dağılım eğrisinin çevrelediği alanın ikiye bölündüğü noktanın apsisidir.

Simetrik modal dağılım durumunda medyan, matematiksel beklenti ve mod ile örtüşür.

Matematiksel beklenti, bir rastgele değişkenin ortalama değeridir; bir rastgele değişkenin olasılık dağılımının sayısal bir özelliğidir. En genel anlamda bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi X(w) olasılık ölçüsüne göre Lebesgue integrali olarak tanımlanır R orijinal olasılık uzayında:

Matematiksel beklenti aynı zamanda Lebesgue integrali olarak da hesaplanabilir. X olasılık dağılımına göre piksel miktarlar X:

Sonsuz matematiksel beklentiye sahip rastgele değişken kavramı doğal bir şekilde tanımlanabilir. Tipik bir örnek, bazı rastgele yürüyüşlerin geri dönüş süreleridir.

Matematiksel beklenti kullanılarak, bir dağılımın birçok sayısal ve işlevsel özelliği belirlenir (rastgele bir değişkenin karşılık gelen fonksiyonlarının matematiksel beklentisi olarak), örneğin üretme işlevi, karakteristik işlev, herhangi bir mertebeden momentler, özellikle dağılım, kovaryans .

Matematiksel beklenti, rastgele bir değişkenin değerlerinin (dağılımının ortalama değeri) konumunun bir özelliğidir. Bu kapasitede, matematiksel beklenti bazı "tipik" dağılım parametresi olarak hizmet eder ve rolü, mekanikteki statik momentin (kütle dağılımının ağırlık merkezinin koordinatı) rolüne benzer. Dağılımın genel terimlerle (medyanlar, modlar) tanımlandığı konumun diğer özelliklerinden, matematiksel beklenti, olasılık teorisinin limit teoremlerinde kendisinin ve karşılık gelen saçılma özelliğinin - dağılım - sahip olduğu daha büyük değerde farklılık gösterir. Matematiksel beklentinin anlamı, büyük sayılar yasası (Chebyshev eşitsizliği) ve güçlendirilmiş büyük sayılar yasası tarafından en iyi şekilde ortaya çıkar.

Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi

Birkaç sayısal değerden birini alabilen bir rastgele değişken olsun (örneğin, zar atıldığında puan sayısı 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 olabilir). Pratikte genellikle böyle bir değer için şu soru ortaya çıkar: Çok sayıda testle "ortalama olarak" hangi değeri alır? Riskli işlemlerin her birinden ortalama gelirimiz (veya kaybımız) ne olacak?

Diyelim ki bir çeşit piyango var. Katılmanın (veya hatta tekrar tekrar, düzenli olarak katılmanın) karlı olup olmadığını anlamak istiyoruz. Diyelim ki her dört biletten biri kazanan, ödül 300 ruble, herhangi bir biletin fiyatı ise 100 ruble olacak. Sonsuz sayıda katılımla olan şey budur. Kaybedeceğimiz vakaların dörtte üçünde her üç kayıp 300 rubleye mal olacak. Her dördüncü durumda 200 ruble kazanacağız. (ödül eksi maliyet), yani dört katılım için ortalama 100 ruble, bir katılım için ortalama 25 ruble kaybediyoruz. Toplamda harabemizin ortalama ücreti bilet başına 25 ruble olacak.

Zarları atıyoruz. Hile değilse (ağırlık merkezini kaydırmadan vb.), o zaman bir seferde ortalama kaç puanımız olacak? Her seçeneğin olasılığı eşit olduğundan, aritmetik ortalamayı alıp 3,5 elde ederiz. Bu ORTALAMA olduğundan, belirli bir rulonun 3,5 puan vermeyeceğine kızmaya gerek yok - bu küpün böyle bir sayıya sahip bir yüzü yok!

Şimdi örneklerimizi özetleyelim:

Şimdi verilen resme bakalım. Solda rastgele bir değişkenin dağılımını gösteren bir tablo var. X değeri n olası değerden birini alabilir (en üst satırda verilmiştir). Başka bir anlamı olamaz. Olası her değerin altında olasılığı aşağıda yazılmıştır. Sağda M(X)'in matematiksel beklenti olarak adlandırıldığı formül bulunmaktadır. Bu değerin anlamı, çok sayıda testle (büyük bir örneklemle) ortalama değerin aynı matematiksel beklentiye yöneleceğidir.

Tekrar aynı oyun küpüne dönelim. Atış sırasındaki puan sayısının matematiksel beklentisi 3,5'tir (bana inanmıyorsanız formülü kullanarak kendiniz hesaplayın). Diyelim ki birkaç kez attınız. Sonuçlar 4 ve 6 oldu. Ortalama 5 oldu, bu da 3,5'un çok uzağında. Bir kez daha attılar, 3 aldılar yani ortalama (4+6+3)/3 = 4.3333... Matematiksel beklentiden biraz uzak. Şimdi çılgın bir deney yapın; küpü 1000 kez yuvarlayın! Ve ortalama tam olarak 3,5 olmasa bile ona yakın olacaktır.

Yukarıda anlatılan piyango için matematiksel beklentiyi hesaplayalım. Plaka şöyle görünecek:

O zaman matematiksel beklenti yukarıda belirlediğimiz gibi olacaktır:

Başka bir şey de, daha fazla seçenek olsaydı bunu formül olmadan "parmaklarda" yapmanın zor olacağıdır. Diyelim ki %75'i kaybedilen biletler, %20'si kazanan biletleri ve %5'i özellikle kazanan biletleri olacaktır.

Şimdi matematiksel beklentinin bazı özellikleri.

Bunu kanıtlamak kolaydır:

Sabit faktör matematiksel beklentinin bir işareti olarak çıkarılabilir, yani:

Bu, matematiksel beklentinin doğrusallık özelliğinin özel bir durumudur.

Matematiksel beklentinin doğrusallığının bir başka sonucu:

yani rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, rastgele değişkenlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

X, Y bağımsız rastgele değişkenler olsun, Daha sonra:

Bunu kanıtlamak da kolaydır) XY kendisi bir rastgele değişkendir ve eğer başlangıç ​​değerleri alınabilirse N Ve M buna göre değerler, o zaman XY nm değerlerini alabilir. Her bir değerin olasılığı, bağımsız olayların olasılıklarının çarpılması esasına göre hesaplanır. Sonuç olarak şunu elde ediyoruz:

Sürekli bir rastgele değişkenin beklentisi

Sürekli rastgele değişkenlerin dağılım yoğunluğu (olasılık yoğunluğu) gibi bir özelliği vardır. Temel olarak, rastgele bir değişkenin gerçek sayılar kümesinden bazı değerleri daha sık, bazılarını ise daha az alması durumunu karakterize eder. Örneğin şu grafiği düşünün:

Burada X- gerçek rastgele değişken, f(x)- dağıtım yoğunluğu. Bu grafiğe bakılırsa, deneyler sırasında değer X genellikle sıfıra yakın bir sayı olacaktır. Şanslar aşıldı 3 veya daha küçük ol -3 oldukça tamamen teorik.

Örneğin, düzgün bir dağılım olsun:

Bu sezgisel anlayışla oldukça tutarlıdır. Diyelim ki, tekdüze dağılıma sahip çok sayıda rastgele gerçek sayı elde edersek, segmentlerin her biri |0; 1| o zaman aritmetik ortalama yaklaşık 0,5 olmalıdır.

Ayrık rastgele değişkenler için geçerli olan matematiksel beklenti özellikleri - doğrusallık vb. burada da geçerlidir.

Matematiksel beklenti ile diğer istatistiksel göstergeler arasındaki ilişki

İstatistiksel analizde, matematiksel beklentinin yanı sıra, olayların homojenliğini ve süreçlerin istikrarını yansıtan birbirine bağlı göstergeler sistemi vardır. Varyasyon göstergelerinin çoğunlukla bağımsız bir anlamı yoktur ve daha ileri veri analizi için kullanılır. Bunun istisnası, değerli bir istatistiksel özellik olan, verilerin homojenliğini karakterize eden varyasyon katsayısıdır.

İstatistik biliminde süreçlerin değişkenlik veya kararlılık derecesi çeşitli göstergeler kullanılarak ölçülebilir.

Bir rastgele değişkenin değişkenliğini karakterize eden en önemli gösterge Dağılım matematiksel beklentiyle en yakından ve doğrudan ilişkili olandır. Bu parametre diğer istatistiksel analiz türlerinde (hipotez testi, neden-sonuç ilişkilerinin analizi vb.) aktif olarak kullanılır. Ortalama doğrusal sapma gibi varyans da verilerin ortalama değer etrafındaki yayılma boyutunu yansıtır.

İşaret dilini sözcük diline çevirmek faydalıdır. Dağılımın sapmaların ortalama karesi olduğu ortaya çıktı. Yani önce ortalama değer hesaplanır, ardından her orijinal değer ile ortalama değer arasındaki fark alınır, karesi alınır, eklenir ve ardından popülasyondaki değer sayısına bölünür. Bireysel değer ile ortalama arasındaki fark, sapmanın ölçüsünü yansıtır. Tüm sapmaların yalnızca pozitif sayılar haline gelmesi ve toplanırken pozitif ve negatif sapmaların karşılıklı olarak yok edilmesini önlemek için kareleri alınır. Daha sonra, sapmaların kareleri verildiğinde, basitçe aritmetik ortalamayı hesaplarız. Ortalama - kare - sapmalar. Sapmaların karesi alınır ve ortalaması hesaplanır. Sihirli "dağılım" kelimesinin cevabı sadece üç kelimede yatıyor.

Ancak aritmetik ortalama veya indeks gibi saf haliyle dağılım kullanılmaz. Daha ziyade diğer istatistiksel analiz türleri için kullanılan yardımcı ve ara bir göstergedir. Normal bir ölçü birimi bile yok. Formüle bakılırsa, bu orijinal verilerin ölçü biriminin karesidir.

Rasgele bir değişkeni ölçelim N kez örneğin rüzgar hızını on kez ölçüyoruz ve ortalama değeri bulmak istiyoruz. Ortalama değerin dağılım fonksiyonuyla ilişkisi nedir?

Veya zarları çok sayıda atacağız. Her atışta zar üzerinde görünecek puanların sayısı rastgele bir değişkendir ve 1'den 6'ya kadar herhangi bir doğal değeri alabilir. Tüm zar atışları için hesaplanan düşen puanların aritmetik ortalaması da bir rastgele değişkendir, ancak büyükler için Nçok spesifik bir sayıya yönelir - matematiksel beklenti Mx. Bu durumda Mx = 3,5.

Bu değeri nasıl elde ettiniz? içeri gir N testler n1 1 puan aldığınızda, n2 bir kez - 2 puan vb. Daha sonra bir puanın düştüğü sonuçların sayısı:

Benzer şekilde 2, 3, 4, 5 ve 6 puan atıldığında elde edilen sonuçlar için de geçerlidir.

Şimdi x rastgele değişkeninin dağılım yasasını bildiğimizi, yani x rastgele değişkeninin p1, p2, ..., olasılıklarıyla x1, x2, ..., xk değerlerini alabileceğini bildiğimizi varsayalım. pk.

Bir rastgele değişken x'in matematiksel beklentisi Mx şuna eşittir:

Matematiksel beklenti her zaman bazı rastgele değişkenlerin makul bir tahmini değildir. Dolayısıyla ortalama maaşı tahmin etmek için medyan kavramını, yani maaş alan kişi sayısının medyandan daha düşük ve daha yüksek olduğu bir değeri kullanmak daha mantıklı olacaktır.

Rastgele değişken x'in x1/2'den küçük olma olasılığı p1 ile rastgele değişken x'in x1/2'den büyük olma olasılığı p2 aynı ve 1/2'ye eşittir. Medyan tüm dağılımlar için benzersiz olarak belirlenmemektedir.

Standart veya Standart Sapma istatistikte gözlemsel veri veya kümelerin ORTALAMA değerinden sapma derecesine denir. S veya s harfleriyle gösterilir. Küçük bir standart sapma, verinin ortalamanın etrafında kümelendiğini gösterirken, büyük bir standart sapma, başlangıç ​​verilerinin ortalamadan uzakta bulunduğunu gösterir. Standart sapma, varyans adı verilen bir miktarın kareköküne eşittir. Ortalama değerden sapan başlangıç ​​verilerinin kare farklarının toplamının ortalamasıdır. Bir rastgele değişkenin standart sapması varyansın kareköküdür:

Örnek. Test koşulları altında bir hedefe ateş ederken rastgele değişkenin dağılımını ve standart sapmasını hesaplayın:

Varyasyon- Nüfusun birimleri arasında bir özelliğin değerinin dalgalanması, değişebilirliği. İncelenen popülasyonda bulunan bir özelliğin bireysel sayısal değerlerine değerlerin varyantları denir. Ortalama değerin popülasyonu tam olarak karakterize etmedeki yetersizliği, bizi ortalama değerleri, incelenen özelliğin değişkenliğini (varyantını) ölçerek bu ortalamaların tipikliğini değerlendirmemize olanak tanıyan göstergelerle desteklemeye zorlar. Değişim katsayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Varyasyon aralığı(R), incelenen popülasyondaki özelliğin maksimum ve minimum değerleri arasındaki farkı temsil eder. Bu gösterge, yalnızca seçeneklerin maksimum değerleri arasındaki farkı gösterdiğinden, incelenen özelliğin değişkenliği hakkında en genel fikri verir. Bir özelliğin uç değerlerine bağımlılık, varyasyonun kapsamına kararsız, rastgele bir karakter kazandırır.

Ortalama doğrusal sapma analiz edilen popülasyonun tüm değerlerinin ortalama değerlerinden mutlak (modülo) sapmalarının aritmetik ortalamasını temsil eder:

Kumar teorisinde matematiksel beklenti

Matematiksel beklenti Bir kumarbazın belirli bir bahiste kazanabileceği veya kaybedebileceği ortalama para miktarı. Bu oyuncu için çok önemli bir kavramdır çünkü çoğu oyun durumunun değerlendirilmesinde temeldir. Matematiksel beklenti aynı zamanda temel kart düzenlerini ve oyun durumlarını analiz etmek için de en uygun araçtır.

Diyelim ki bir arkadaşınızla jetonlu bir oyun oynuyorsunuz ve ne olursa olsun her seferinde 1$'lık eşit bahis yapıyorsunuz. Yazı kazandığınız, tura kaybettiğiniz anlamına gelir. Yazının gelme ihtimali bire birdir, bu yüzden 1 ila 1 dolar arasında bahis oynarsınız. Dolayısıyla matematiksel beklentiniz sıfırdır çünkü Matematiksel açıdan bakıldığında, iki atıştan sonra mı yoksa 200 atıştan sonra mı önde olacağınızı ya da kaybedeceğinizi bilemezsiniz.

Saatlik kazancınız sıfırdır. Saatlik kazanç, bir saat içinde kazanmayı beklediğiniz para miktarıdır. Bir saatte 500 kez yazı tura atabilirsiniz ama kazanamazsınız ya da kaybedemezsiniz çünkü... şansınız ne olumlu ne de olumsuz. Ciddi bir oyuncu açısından baktığınızda bu bahis sistemi fena değil. Ancak bu sadece zaman kaybıdır.

Ancak diyelim ki birisi aynı oyunda sizin 1$'ınıza karşı 2$ bahis oynamak istiyor. O zaman hemen her bahisten 50 sentlik olumlu bir beklentiniz olur. Neden 50 sent? Ortalama olarak bir bahis kazanırsınız ve ikincisini kaybedersiniz. İlk dolara bahis yapın ve 1 $ kaybedin; ikinciye bahis yapın ve 2 $ kazanın. İki kez 1$ bahis oynarsınız ve 1$ önde olursunuz. Yani bir dolarlık bahislerinizin her biri size 50 sent kazandırdı.

Bir saat içinde bir jeton 500 kez ortaya çıkarsa saatlik kazancınız zaten 250$ olacaktır, çünkü... Ortalama olarak 250 kez bir dolar kaybettiniz ve 250 kez iki dolar kazandınız. 500$ eksi 250$ eşittir 250$, bu da toplam kazançtır. Bahis başına kazandığınız ortalama miktar olan beklenen değerin 50 sent olduğunu lütfen unutmayın. Bir dolara 500 kez bahis oynayarak 250 dolar kazandınız, bu da bahis başına 50 sente eşittir.

Matematiksel beklentinin kısa vadeli sonuçlarla hiçbir ilgisi yoktur. Size karşı 2$ bahis oynamaya karar veren rakibiniz, arka arkaya ilk on atışta sizi yenebilir, ancak siz, 2'ye 1 bahis avantajına sahip olduğunuzdan, diğer her şey eşit olduğunda, herhangi bir 1$'lık bahisten 50 sent kazanacaksınız. durumlar. Masrafları rahatça karşılamaya yetecek kadar paranız olduğu sürece, bir veya birden fazla bahis kazanmanız veya kaybetmeniz hiç fark etmez. Aynı şekilde bahis oynamaya devam ederseniz, uzun bir süre boyunca kazancınız bireysel bahislerdeki beklentilerin toplamına yaklaşacaktır.

En iyi bahisi (uzun vadede kârlı olabilecek bir bahis) her yaptığınızda, oranlar lehinize olduğunda, kaybetseniz de kaybetmeseniz de, bu bahisten bir şeyler kazanmanız kaçınılmazdır. el verildi. Tersine, eğer şanslar aleyhinizeyken zayıf bir bahis (uzun vadede kârsız olan bir bahis) yaparsanız, eli kazansanız da kaybetseniz de bir şeyler kaybedersiniz.

Beklentiniz olumlu ise en iyi sonuca sahip bir bahis oynarsınız ve oranlar sizin tarafınızdaysa olumludur. En kötü sonuçla bahis oynadığınızda, olumsuz bir beklentiye sahip olursunuz ve bu da oranlar aleyhinize olduğunda ortaya çıkar. Ciddi oyuncular yalnızca en iyi sonuç üzerine bahis oynarlar; en kötü sonuç olursa pas geçerler. Oranlar sizin lehinize ne anlama geliyor? Gerçek oranların getirdiğinden daha fazlasını kazanmanız mümkündür. Kafaların gelme ihtimali 1'e 1'dir, ancak oran oranı nedeniyle 2'ye 1 elde edersiniz. Bu durumda ihtimaller sizin lehinizedir. Bahis başına 50 sentlik olumlu bir beklentiyle kesinlikle en iyi sonucu alırsınız.

İşte matematiksel beklentinin daha karmaşık bir örneği. Bir arkadaşınız birden beşe kadar sayıları yazıyor ve sizin bu sayıyı tahmin edemeyeceğinize dair 1 dolarınıza karşılık 5 dolar bahse giriyor. Böyle bir iddiayı kabul etmeli misiniz? Buradaki beklenti nedir?

Ortalama olarak dört kez yanılacaksınız. Buna dayanarak, sayıyı tahmin etme ihtimaliniz 4'e 1'dir. Tek denemede bir dolar kaybetme ihtimaliniz. Ancak, 5'e 1 kazanırsınız ve 4'e 1 kaybetme ihtimaliniz de vardır. Yani oranlar sizin lehinizedir, bahisi kabul edebilir ve en iyi sonucu umabilirsiniz. Bu bahsi beş kez yaparsanız, ortalama olarak dört kez 1$ kaybedersiniz ve bir kez 5$ kazanırsınız. Buna dayanarak, beş denemenin tümü için, bahis başına 20 sentlik pozitif matematiksel beklentiyle 1 $ kazanacaksınız.

Yukarıdaki örnekte olduğu gibi bahis yaptığından daha fazlasını kazanmayı uman bir oyuncu şansını denemektedir. Tam tersine, bahse girdiğinden daha az kazanmayı umarak şansını mahveder. Bir bahisçinin olumlu ya da olumsuz bir beklentisi olabilir, bu da kazanma ya da kazanma şansına bağlıdır.

Eğer 4'e 1 kazanma şansıyla 10$ kazanmak için 50$ bahis oynarsanız, 2$'lık negatif bir beklenti elde edersiniz çünkü... Ortalama olarak dört kez 10$ kazanırsınız ve bir kez 50$ kaybedersiniz, bu da bahis başına kaybın 10$ olacağını gösterir. Ancak 10$ kazanmak için 30$ bahis oynarsanız ve 4'e 1 kazanma ihtimaliniz aynıysa, o zaman bu durumda 2$ pozitif beklentiniz olur, çünkü yine dört kez 10$ kazanırsınız ve bir kez 30$ kaybedersiniz ve 10$ kar elde edersiniz. Bu örnekler ilk bahsin kötü, ikincisinin ise iyi olduğunu göstermektedir.

Matematiksel beklenti, herhangi bir oyun durumunun merkezindedir. Bir bahisçi, futbol taraftarlarını 10$ kazanmak için 11$ bahis yapmaya teşvik ettiğinde, her 10$ için 50 sentlik olumlu bir beklentiye sahiptir. Eğer kumarhane geçiş hattından barbutla eşit miktarda para ödüyorsa, o zaman kumarhanenin olumlu beklentisi her 100$ için yaklaşık 1,40$ olacaktır, çünkü Bu oyun, bu çizgiye bahis yapan herkesin ortalama %50,7 kaybedeceği ve toplam sürenin %49,3'ünü kazanacağı şekilde yapılandırılmıştır. Kuşkusuz, dünya çapındaki kumarhane sahiplerine muazzam karlar getiren şey, görünüşte asgari düzeyde olan bu olumlu beklentidir. Vegas World kumarhanesinin sahibi Bob Stupak'ın belirttiği gibi, "yeterince uzun bir mesafede yüzde birin binde biri negatif olasılık, dünyanın en zengin adamını mahvedecektir."

Poker oynarken beklenti

Poker oyunu, matematiksel beklenti teorisi ve özelliklerinin kullanılması açısından en açıklayıcı ve açıklayıcı örnektir.

Pokerde Beklenen Değer, böyle bir kararın büyük sayılar ve uzun mesafe teorisi çerçevesinde değerlendirilebilmesi koşuluyla, belirli bir karardan elde edilen ortalama faydadır. Başarılı bir poker oyunu her zaman olumlu beklenen değere sahip hamleleri kabul etmektir.

Poker oynarken matematiksel beklentinin matematiksel anlamı, karar verirken sıklıkla rastgele değişkenlerle karşılaşmamızdır (rakibin elinde hangi kartların olduğunu, sonraki bahis turlarında hangi kartların geleceğini bilmiyoruz). Çözümlerin her birini, yeterince büyük bir örnekle, bir rastgele değişkenin ortalama değerinin matematiksel beklentisine yöneleceğini belirten büyük sayılar teorisi açısından ele almalıyız.

Matematiksel beklentiyi hesaplamaya yönelik özel formüller arasında aşağıdakiler pokerde en uygulanabilir olanıdır:

Poker oynarken hem bahisler hem de çağrılar için beklenen değer hesaplanabilir. İlk durumda kat özsermayesi, ikincisinde ise bankanın kendi oranları dikkate alınmalıdır. Belirli bir hamlenin matematiksel beklentisini değerlendirirken, pasın her zaman sıfır beklentisi olduğunu unutmamalısınız. Bu nedenle kartları atmak her zaman herhangi bir olumsuz hamleden daha karlı bir karar olacaktır.

Beklenti, riske attığınız her dolar için ne bekleyebileceğinizi (kar veya zarar) anlatır. Kumarhaneler para kazanır çünkü içlerinde oynanan tüm oyunların matematiksel beklentisi kumarhanenin lehinedir. Yeterince uzun bir oyun serisiyle müşterinin parasını kaybetmesini bekleyebilirsiniz, çünkü "olasılıklar" kumarhanenin lehinedir. Ancak profesyonel casino oyuncuları oyunlarını kısa sürelerle sınırlandırarak şansları kendi lehlerine artırırlar. Aynı şey yatırım için de geçerli. Eğer beklentiniz olumlu ise kısa sürede çok sayıda işlem yaparak daha fazla para kazanabilirsiniz. Beklenti, kazanç başına kar yüzdenizin ortalama kârınızla çarpımı, eksi kayıp olasılığınızın ortalama kaybınızla çarpımıdır.

Poker aynı zamanda matematiksel beklenti açısından da değerlendirilebilir. Belirli bir hamlenin karlı olduğunu varsayabilirsiniz, ancak bazı durumlarda başka bir hamle daha karlı olduğu için bu en iyisi olmayabilir. Diyelim ki beş kartlı pokerde tam bir sayıya ulaştınız. Rakibiniz bir bahis yapar. Bahsi artırırsanız karşılık vereceğini biliyorsunuz. Bu nedenle yükseltme en iyi taktik gibi görünüyor. Ancak bahsi artırırsanız kalan iki oyuncu kesinlikle pas geçecektir. Ancak ararsanız arkanızdaki diğer iki oyuncunun da aynısını yapacağına güveniniz tamdır. Bahsinizi arttırdığınızda bir birim, sadece gördüğünüzde ise iki birim alırsınız. Bu nedenle, aramak size daha yüksek bir olumlu beklenen değer verir ve en iyi taktik olacaktır.

Matematiksel beklenti aynı zamanda hangi poker taktiklerinin daha az karlı, hangilerinin daha karlı olduğu konusunda da fikir verebilir. Örneğin, belirli bir eli oynuyorsanız ve kaybınızın ante dahil ortalama 75 sent olacağını düşünüyorsanız o eli oynamalısınız çünkü Bu, bahis tutarı 1$ olduğunda pas geçmekten daha iyidir.

Beklenen değer kavramını anlamanın bir diğer önemli nedeni, bahsi kazansanız da kazanmasanız da size gönül rahatlığı vermesidir: eğer iyi bir bahis yaptıysanız veya doğru zamanda pas geçtiyseniz, kazandığınızı veya kazandığınızı bileceksiniz. zayıf oyuncunun biriktiremeyeceği bir miktar para biriktirdi. Rakibiniz daha güçlü bir el çektiği için üzülürseniz pas geçmeniz çok daha zordur. Tüm bunlarla birlikte bahis yerine oynamayarak tasarruf ettiğiniz para, gece veya ay boyunca kazancınıza eklenir.

Elinizi değiştirseniz rakibinizin sizi çağıracağını unutmayın ve Pokerin Temel Teoremi makalesinde de göreceğiniz gibi bu sizin avantajlarınızdan sadece bir tanesi. Bu gerçekleştiğinde mutlu olmalısınız. Hatta bir eli kaybetmenin tadını çıkarmayı bile öğrenebilirsiniz çünkü sizin konumunuzdaki diğer oyuncuların çok daha fazlasını kaybedeceğini bilirsiniz.

Başta jeton oyunu örneğinde de bahsettiğimiz gibi saatlik kar oranı matematiksel beklenti ile bağlantılıdır ve bu kavram özellikle profesyonel oyuncular için önemlidir. Poker oynamaya gittiğinizde, bir saatlik oyunda ne kadar kazanabileceğinizi zihinsel olarak tahmin etmelisiniz. Çoğu durumda sezgilerinize ve deneyiminize güvenmeniz gerekecektir, ancak biraz matematikten de yararlanabilirsiniz. Örneğin, berabere düşük top oynuyorsunuz ve üç oyuncunun 10$ bahis oynadığını ve ardından iki kart takas ettiğini görüyorsunuz ki bu çok kötü bir taktiktir, her 10$ bahis oynadıklarında yaklaşık 2$ kaybettiklerini anlayabilirsiniz. Her biri bunu saatte sekiz kez yapıyor, bu da üçünün de saatte yaklaşık 48 dolar kaybettiği anlamına geliyor. Yaklaşık olarak eşit olan geri kalan dört oyuncudan birisiniz, dolayısıyla bu dört oyuncunun (ve aralarında sizin de) her biri saatte 12 $ kar elde edecek şekilde 48 $'ı bölmesi gerekir. Bu durumda saatlik şansınız, üç kötü oyuncunun bir saat içinde kaybettiği para miktarındaki payınıza eşittir.

Uzun bir süre boyunca oyuncunun toplam kazancı, bireysel ellerdeki matematiksel beklentilerinin toplamıdır. Olumlu beklentiyle ne kadar çok el oynarsanız o kadar çok kazanırsınız ve tam tersi, olumsuz beklentiyle ne kadar çok el oynarsanız o kadar çok kaybedersiniz. Sonuç olarak saatlik kazancınızı maksimuma çıkarabilmeniz için olumlu beklentinizi maksimuma çıkarabilecek veya olumsuz beklentinizi boşa çıkarabilecek bir oyun seçmelisiniz.

Oyun stratejisinde olumlu matematiksel beklenti

Kart saymayı biliyorsanız, sizi fark edip dışarı atmaları durumunda kumarhaneye karşı bir avantaja sahip olabilirsiniz. Kumarhaneler sarhoş oyuncuları sever ve kart sayma oyuncularına tolerans göstermez. Bir avantaj, zaman içinde kaybettiğinizden daha fazla kazanmanıza olanak tanır. Beklenen değer hesaplamalarını kullanan iyi para yönetimi, avantajınızdan daha fazla kâr elde etmenize ve kayıplarınızı azaltmanıza yardımcı olabilir. Avantajınız yoksa parayı hayır kurumlarına vermeniz daha iyi olur. Borsadaki oyunda kayıplardan, fiyat farklarından ve komisyonlardan daha fazla kazanç sağlayan oyun sistemi sayesinde avantaj sağlanıyor. Hiçbir para yönetimi kötü bir oyun sistemini kurtaramaz.

Pozitif beklenti sıfırdan büyük bir değer olarak tanımlanır. Bu sayı ne kadar büyük olursa istatistiksel beklenti de o kadar güçlü olur. Değer sıfırdan küçükse matematiksel beklenti de negatif olacaktır. Negatif değerin modülü ne kadar büyük olursa durum o kadar kötü olur. Sonuç sıfırsa, bekleme başa baş demektir. Ancak olumlu bir matematiksel beklentiniz ve makul bir oyun sisteminiz olduğunda kazanabilirsiniz. Sezgilerle oynamak felakete yol açar.

Matematiksel beklenti ve hisse senedi ticareti

Matematiksel beklenti, finansal piyasalarda döviz ticareti yapılırken oldukça yaygın olarak kullanılan ve popüler bir istatistiksel göstergedir. Öncelikle bu parametre ticaretin başarısını analiz etmek için kullanılır. Bu değer ne kadar yüksek olursa, incelenen ticaretin başarılı olduğunu düşünmek için o kadar çok neden olduğunu tahmin etmek zor değil. Elbette bir trader'ın çalışmalarının analizi tek başına bu parametre kullanılarak gerçekleştirilemez. Bununla birlikte, hesaplanan değer, işin kalitesini değerlendirmenin diğer yöntemleriyle birlikte analizin doğruluğunu önemli ölçüde artırabilir.

Matematiksel beklenti genellikle ticari hesap izleme hizmetlerinde hesaplanır ve bu, mevduatta gerçekleştirilen işi hızlı bir şekilde değerlendirmenize olanak tanır. İstisnalar arasında "uzakta" kâr getirmeyen alım satımları kullanan stratejiler yer alır. Bir tüccar bir süreliğine şanslı olabilir ve bu nedenle işinde hiçbir kayıp olmayabilir. Bu durumda çalışmada kullanılan riskler dikkate alınmayacağı için sadece matematiksel beklentiye göre hareket etmek mümkün olmayacaktır.

Piyasa ticaretinde, matematiksel beklenti çoğunlukla herhangi bir ticaret stratejisinin karlılığını tahmin ederken veya bir tüccarın önceki ticaretinden elde edilen istatistiksel verilere dayanarak gelirini tahmin ederken kullanılır.

Para yönetimine gelince, olumsuz beklentilerle işlem yaparken kesinlikle yüksek kar getirebilecek bir para yönetimi planının olmadığını anlamak çok önemlidir. Bu koşullar altında borsada oynamaya devam ederseniz, paranızı nasıl yönetirseniz yönetin, başlangıçta ne kadar büyük olursa olsun hesabınızın tamamını kaybedersiniz.

Bu aksiyom yalnızca olumsuz beklentili oyunlar veya işlemler için değil, aynı zamanda eşit şansa sahip oyunlar için de geçerlidir. Bu nedenle, uzun vadede kar elde etme şansınızın olduğu tek zaman pozitif beklenen değere sahip işlemler yapmanızdır.

Olumsuz beklenti ile olumlu beklenti arasındaki fark yaşamla ölüm arasındaki farktır. Beklentinin ne kadar olumlu ya da ne kadar olumsuz olduğu önemli değil; Önemli olan olumlu mu olumsuz mu olduğudur. Bu nedenle para yönetimini düşünmeden önce olumlu beklentiye sahip bir oyun bulmalısınız.

Eğer böyle bir oyununuz yoksa dünyadaki tüm para yönetimi sizi kurtaramayacaktır. Öte yandan olumlu bir beklentiniz varsa, doğru para yönetimiyle bunu üstel bir büyüme fonksiyonuna dönüştürebilirsiniz. Olumlu beklentinin ne kadar küçük olduğu önemli değil! Başka bir deyişle, tek bir sözleşmeye dayalı bir ticaret sisteminin ne kadar karlı olduğunun bir önemi yoktur. İşlem başına sözleşme başına 10$ kazanan bir sisteminiz varsa (komisyonlar ve kaymalardan sonra), işlem başına ortalama 1.000$ kazanan bir sistemden (komisyonlar ve kaymalar düşüldükten sonra) daha karlı hale getirmek için para yönetimi tekniklerini kullanabilirsiniz.

Önemli olan sistemin ne kadar kârlı olduğu değil, sistemin gelecekte en azından minimum kâr göstereceğinin ne kadar kesin söylenebileceğidir. Bu nedenle bir yatırımcının yapabileceği en önemli hazırlık, sistemin gelecekte olumlu bir beklenen değer göstermesini sağlamaktır.

Gelecekte pozitif bir beklenen değere sahip olmak için sisteminizin serbestlik derecelerini sınırlamamak çok önemlidir. Bu, yalnızca optimize edilecek parametrelerin sayısının ortadan kaldırılması veya azaltılmasıyla değil, aynı zamanda mümkün olduğu kadar çok sistem kuralının azaltılmasıyla da sağlanır. Eklediğiniz her parametre, koyduğunuz her kural, sisteme yaptığınız her küçük değişiklik, serbestlik derecesi sayısını azaltır. İdeal olarak, hemen hemen her pazarda sürekli olarak küçük karlar üretecek oldukça ilkel ve basit bir sistem kurmanız gerekir. Tekrar belirtmek isterim ki sistemin karlı olduğu sürece ne kadar karlı olduğunun bir önemi yoktur. Ticarette kazandığınız para, etkili para yönetimi sayesinde kazanılacaktır.

Bir ticaret sistemi, para yönetimini kullanabilmeniz için size pozitif bir beklenen değer veren bir araçtır. Yalnızca bir veya birkaç pazarda çalışan (en azından minimum düzeyde kar gösteren) veya farklı pazarlar için farklı kurallara veya parametrelere sahip olan sistemler, büyük olasılıkla gerçek zamanlı olarak uzun süre çalışmayacaktır. Teknik odaklı yatırımcıların çoğunun sorunu, ticaret sisteminin çeşitli kurallarını ve parametre değerlerini optimize etmek için çok fazla zaman ve çaba harcamalarıdır. Bu tamamen zıt sonuçlar verir. Ticaret sisteminin kârını artırmak için enerjinizi ve bilgisayar zamanınızı boşa harcamak yerine, enerjinizi minimum kâr elde etmenin güvenilirlik düzeyini artırmaya yönlendirin.

Para yönetiminin sadece olumlu beklentilerin kullanılmasını gerektiren bir sayı oyunu olduğunu bilen bir tüccar, hisse senedi ticaretinin "kutsal kasesini" aramayı bırakabilir. Bunun yerine ticaret yöntemini test etmeye başlayabilir, bu yöntemin ne kadar mantıklı olduğunu, olumlu beklentiler verip vermediğini öğrenebilir. Herhangi bir, hatta çok vasat ticaret yöntemlerine uygulanan uygun para yönetimi yöntemleri, işin geri kalanını kendileri halledecektir.

İşinizde başarılı olmak için herhangi bir yatırımcının en önemli üç görevi yerine getirmesi gerekir: . Başarılı işlem sayısının kaçınılmaz hata ve yanlış hesaplamalardan fazla olmasını sağlamak; Ticaret sisteminizi mümkün olduğunca sık para kazanma fırsatına sahip olacak şekilde kurun; Operasyonlarınızdan istikrarlı ve olumlu sonuçlar elde edin.

Ve burada biz çalışan tüccarlar için matematiksel beklenti çok yardımcı olabilir. Bu terim olasılık teorisindeki anahtar terimlerden biridir. Onun yardımıyla, bazı rastgele değerlerin ortalama bir tahminini verebilirsiniz. Olası tüm olasılıkları farklı kütlelere sahip noktalar olarak hayal ederseniz, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ağırlık merkezine benzer.

Bir ticaret stratejisiyle ilgili olarak, kârın (veya zararın) matematiksel beklentisi çoğunlukla stratejinin etkinliğini değerlendirmek için kullanılır. Bu parametre, belirli kar ve zarar seviyelerinin çarpımlarının toplamı ve bunların oluşma olasılığı olarak tanımlanır. Örneğin, geliştirilen ticaret stratejisi, tüm işlemlerin %37'sinin kâr getireceğini ve geri kalan %63'ünün kârsız olacağını varsaymaktadır. Aynı zamanda başarılı bir işlemden elde edilecek ortalama gelir 7$, ortalama kayıp ise 1,4$ olacaktır. Bu sistemi kullanarak ticaretin matematiksel beklentisini hesaplayalım:

Bu sayı ne anlama geliyor? Bu sistemin kurallarına uyarak, kapatılan her işlemden ortalama 1.708$ alacağımızı söylüyor. Ortaya çıkan verimlilik derecesi sıfırdan büyük olduğundan böyle bir sistem gerçek iş için kullanılabilir. Hesaplama sonucunda matematiksel beklenti negatif çıkarsa, bu zaten ortalama bir kaybı gösterir ve bu tür bir ticaret yıkıma yol açacaktır.

İşlem başına kazanç miktarı % şeklinde göreceli bir değer olarak da ifade edilebilir. Örneğin:

– 1 işlem başına gelir yüzdesi - %5;

– başarılı ticaret işlemlerinin yüzdesi - %62;

– 1 işlem başına kayıp yüzdesi - %3;

– başarısız işlemlerin yüzdesi – %38;

Yani ortalama ticaret %1,96 getirecek.

Kârsız ticaretlerin baskın olmasına rağmen MO>0 olduğundan olumlu sonuç üretecek bir sistem geliştirmek mümkündür.

Ancak tek başına beklemek yeterli değildir. Sistem çok az işlem sinyali verirse para kazanmak zordur. Bu durumda karlılığı banka faiziyle karşılaştırılabilir olacaktır. Her operasyonun ortalama olarak sadece 0,5$ üretmesine izin verin, peki ya sistem yılda 1000 operasyon içeriyorsa? Bu, nispeten kısa bir süre içinde çok önemli bir miktar olacaktır. Bundan mantıksal olarak, iyi bir ticaret sisteminin bir başka ayırt edici özelliğinin de kısa süreli pozisyon tutma olduğu düşünülebilir.

Kaynaklar ve bağlantılar

dic.academic.ru – akademik çevrimiçi sözlük

math.ru – matematik alanında eğitici web sitesi

nsu.ru - Novosibirsk Devlet Üniversitesi'nin eğitim web sitesi

webmath.ru öğrenciler, başvuru sahipleri ve okul çocukları için bir eğitim portalıdır.

exponenta.ru eğitici matematik web sitesi

ru.tradimo.com – ücretsiz çevrimiçi ticaret okulu

crypto.hut2.ru – multidisipliner bilgi kaynağı

poker-wiki.ru – ücretsiz poker ansiklopedisi

sernam.ru – Seçilmiş doğa bilimleri yayınlarından oluşan bilimsel kütüphane

reshim.su – web sitesi Test ödevi sorunlarını çözeceğiz

unfx.ru – UNFX'te Forex: eğitim, ticaret sinyalleri, güven yönetimi

slovopedia.com – Büyük Ansiklopedik Sözlük Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Poker dünyasındaki rehberiniz

statanaliz.info – bilgi blogu “İstatistiksel veri analizi”

forex-trader.rf – Forex-Trader portalı

megafx.ru – güncel Forex analizleri

fx-by.com – bir yatırımcı için her şey