Dört boyutlu bir küpün dönüşü. Cybercube - dördüncü boyuta ilk adım

Görüntü, dört boyutlu bir küpün üç boyutlu uzaya yansıtılmasıdır ().

Küpün 3'ten fazla boyuta sahip durumlara genelleştirilmesine denir. hiperküp veya (tr:politopları ölçün). Resmi olarak bir hiperküp dört eşit parça olarak tanımlanır.

Bu makalede esas olarak 4 boyutlu hiperküp, isminde tesseract.

Popüler açıklama

Üç boyutlu alanımızdan ayrılmadan bir hiperküpün nasıl görüneceğini hayal etmeye çalışalım.

Tek boyutlu "uzayda" - bir çizgi üzerinde - L uzunluğunda AB'yi seçiyoruz. İki boyutlu uzayda, AB'den L mesafesinde, ona paralel bir DC parçası çiziyoruz ve uçlarını birleştiriyoruz. Sonuç bir ABCD karesidir. Bu işlemi düzlemle tekrarlayarak üç boyutlu bir ABCDHEFG küpü elde ederiz. Ve küpü dördüncü boyutta (ilk üçe dik olarak!) L kadar kaydırarak bir hiperküp elde ederiz.

Tek boyutlu AB parçası, iki boyutlu ABCD karesinin yüzü olarak hizmet eder, kare ABCDHEFG küpünün tarafı olarak hizmet eder ve bu da dört boyutlu hiperküpün tarafı olacaktır. Düz bir çizgi parçasının iki sınır noktası vardır, bir karenin dört köşesi vardır, bir küpün sekiz köşesi vardır. Dolayısıyla dört boyutlu bir hiperküpte 16 köşe olacaktır: 8'i orijinal küpün köşesi ve 8'i dördüncü boyutta kaydırılmış olanın köşesi. 32 kenarı vardır - 12'sinin her biri orijinal küpün başlangıç ​​ve son konumlarını verir ve diğer 8 kenar da dördüncü boyuta taşınan sekiz köşesini "çizir". Aynı mantık hiperküpün yüzleri için de yapılabilir. İki boyutlu uzayda yalnızca bir tane vardır (karenin kendisi), bir küpün 6 ​​tanesi vardır (hareket ettirilen kareden iki yüz ve kenarlarını tanımlayan dört yüz daha). Dört boyutlu bir hiperküpün 24 kare yüzü vardır - iki konumdaki orijinal küpün 12 karesi ve on iki kenarından 12 kare.

Benzer şekilde, daha fazla boyuta sahip hiperküpler için akıl yürütmemize devam edebiliriz, ancak bunun üç boyutlu uzayın sakinleri olan bizler için nasıl görüneceğini görmek çok daha ilginç. dört boyutlu hiperküp. Bunun için zaten bilinen analoji yöntemini kullanacağız.

ABCDHEFG tel küpünü alalım ve kenarından tek gözle bakalım. Düzlem üzerinde dört çizgiyle - yan kenarlarla birbirine bağlanan iki kareyi (yakın ve uzak kenarları) göreceğiz ve çizebiliriz. Benzer şekilde, üç boyutlu uzayda dört boyutlu bir hiperküp, birbirine yerleştirilmiş ve sekiz kenarla birbirine bağlanmış iki kübik "kutu" gibi görünecektir. Bu durumda, "kutuların" kendileri - üç boyutlu yüzler - "bizim" alanımıza yansıtılacak ve onları birbirine bağlayan çizgiler dördüncü boyutta uzayacaktır. Ayrıca küpü projeksiyonda değil, mekansal bir görüntüde hayal etmeye çalışabilirsiniz.

Üç boyutlu bir küpün, yüzünün uzunluğu kadar kaydırılan bir kareden oluşması gibi, dördüncü boyuta kaydırılan bir küp de bir hiperküp oluşturacaktır. Perspektifte oldukça karmaşık bir figür gibi görünecek olan sekiz küple sınırlıdır. “Bizim” uzayımızda kalan kısım düz çizgilerle, hiperuzaya giden kısım ise noktalı çizgilerle çizilmiştir. Dört boyutlu hiperküpün kendisi de sonsuz sayıda küpten oluşur, tıpkı üç boyutlu bir küpün sonsuz sayıda düz kareye "kesilebilmesi" gibi.

Üç boyutlu bir küpün sekiz yüzünü keserek, onu düz bir şekle, yani bir gelişmeye ayrıştırabilirsiniz. Orijinal yüzün her iki tarafında bir kare ve artı bir tane daha olacak - karşısındaki yüz. Ve dört boyutlu bir hiperküpün üç boyutlu gelişimi, orijinal küpten, ondan "büyüyen" altı küpten ve bir tane daha - son "hiper yüz"den oluşacaktır.

Tesseract'ın özellikleri, aşağıdaki tabloda sunulan daha düşük boyutlu geometrik şekillerin özelliklerinin 4 boyutlu uzayda devamıdır.

Avengers filmlerinin hayranıysanız, "Tesseract" kelimesini duyduğunuzda aklınıza gelebilecek ilk şey, Sonsuzluk Taşı'nın sınırsız güç içeren şeffaf küp şeklindeki kabıdır.

Marvel Evreninin hayranları için Tesseract, yalnızca Dünya'dan değil diğer gezegenlerden insanları çıldırtan parlak mavi bir küptür. İşte bu yüzden tüm Yenilmezler, Dünyalıları Tesseract'ın son derece yıkıcı güçlerinden korumak için bir araya geldi.

Ancak şunu da söylemek gerekiyor: Tesseract gerçek bir geometrik kavram, daha doğrusu 4 boyutlu olarak var olan bir şekil. Bu sadece Yenilmezler'den kalma mavi bir küp değil... gerçek bir konsept.

Tesseract 4 boyutlu bir nesnedir. Ancak detaylı bir şekilde açıklamadan önce baştan başlayalım.

"Ölçüm" nedir?

Herkes, uzaydaki sırasıyla iki boyutlu veya üç boyutlu nesneleri temsil eden 2B ve 3B terimlerini duymuştur. Peki nedir bu ölçümler?

Boyut basitçe gidebileceğiniz bir yöndür. Örneğin, bir kağıt parçası üzerine bir çizgi çiziyorsanız sola/sağa (x ekseni) veya yukarı/aşağı (y ekseni) gidebilirsiniz. Yani kağıdın iki boyutlu olduğunu söylüyoruz çünkü yalnızca iki yöne gidebilirsiniz.

3D'de derinlik hissi vardır.

Artık gerçek dünyada, yukarıda belirtilen iki yönün (sol/sağ ve yukarı/aşağı) yanı sıra "giden/gelen" yönlere de gidebilirsiniz. Sonuç olarak, 3 boyutlu alana derinlik hissi eklenir. Bu yüzden gerçek hayatın 3 boyutlu olduğunu söylüyoruz.

Bir nokta 0 boyutu (herhangi bir yönde hareket etmediğinden), bir çizgi 1 boyutu (uzunluk), bir kare 2 boyutu (uzunluk ve genişlik) ve bir küp 3 boyutu (uzunluk, genişlik ve yükseklik) temsil edebilir ).

3 boyutlu bir küp alın ve her bir yüzünü (şu anda kare olan) bir küple değiştirin. Ve bu yüzden! Alacağınız şekil tesseracttır.

Tesseract nedir?

Basitçe söylemek gerekirse, bir tesseract 4 boyutlu uzayda bir küptür. Bir küpün 4 boyutlu versiyonu da diyebiliriz. Bu, her yüzün küp olduğu 4 boyutlu bir şekildir.

İşte boyutları kavramsallaştırmanın basit bir yolu: kare iki boyutludur; bu nedenle her köşesinden birbirine 90 derece açıyla uzanan 2 çizgi vardır. Küp 3 boyutlu olduğundan her köşesinden gelen 3 çizgi vardır. Benzer şekilde, tesseract 4 boyutlu bir şekildir, dolayısıyla her köşede ondan uzanan 4 çizgi bulunur.

Bir tesseractı hayal etmek neden zor?

Biz insanlar nesneleri üç boyutlu olarak görselleştirecek şekilde evrimleştiğimiz için, 4D, 5D, 6D gibi ekstra boyutlara giren herhangi bir şey bize pek bir anlam ifade etmiyor çünkü bunları tanıtamayız. Beynimiz uzaydaki 4. boyutu anlayamamaktadır. Bunu düşünemiyoruz.

Ancak çok boyutlu uzay kavramını görselleştiremiyor olmamız onun var olamayacağı anlamına gelmiyor.

Hiperküp ve dört boyutlu uzay nedir

Her zamanki uzayımızın üç boyutu vardır. Geometrik açıdan bakıldığında bu, içinde karşılıklı olarak üç dik çizginin gösterilebileceği anlamına gelir. Yani, herhangi bir çizgi için birinciye dik ikinci bir çizgi bulabilirsiniz ve bir çift için ilk ikisine dik üçüncü bir çizgi bulabilirsiniz. Artık mevcut üç çizgiye dik dördüncü bir çizgi bulmak mümkün olmayacak.

Dört boyutlu uzayın bizimkinden farkı, yalnızca bir yönü daha olmasıdır. Zaten karşılıklı üç dik çizginiz varsa, o zaman üçüne de dik olacak şekilde dördüncü bir çizgi bulabilirsiniz.

Bir hiperküp, dört boyutlu uzayda bulunan bir küptür.
Dört boyutlu uzayı ve hiperküpü hayal etmek mümkün mü?

Bu soru şu soruyla ilgilidir: “Leonardo da Vinci'nin (1452-1519) aynı adlı tablosuna (1495-1498) bakarak Son Akşam Yemeği'ni hayal etmek mümkün müdür?”

Bir yandan elbette İsa'nın ne gördüğünü hayal etmeyeceksiniz (izleyiciye dönük oturuyor), özellikle pencerenin dışındaki bahçenin kokusunu almayacağınız ve masadaki yemeğin tadına bakmayacağınız için, kuşları duymayacaksınız. şarkı söylemek... O akşam olup bitenlerin tam bir resmini elde edemeyeceksiniz ama yeni bir şey öğrenmeyeceğiniz ve resmin ilgi çekici olmadığı söylenemez.

Durum hiperküp sorununa benzer. Bunu tam olarak hayal etmek imkansızdır, ancak nasıl bir şey olduğunu anlamaya daha da yaklaşabilirsiniz.
Bir hiperküp inşaatı
0 boyutlu küp

0 boyutlu bir küple baştan başlayalım. Bu küp karşılıklı olarak dik 0 yüz içerir, yani bu sadece bir noktadır.

1 boyutlu küp

Tek boyutlu uzayda tek yönümüz vardır. Noktayı bu yönde hareket ettirip bir segment elde ediyoruz.

Bu tek boyutlu bir küp.
2 boyutlu küp

İkinci bir boyutumuz var, tek boyutlu küpümüzü (parçamızı) ikinci boyut yönünde kaydırıyoruz ve bir kare elde ediyoruz.

Bu iki boyutlu uzayda bir küp.
3 boyutlu küp

Üçüncü boyutun gelişiyle aynısını yapıyoruz: kareyi hareket ettiriyoruz ve normal bir üç boyutlu küp elde ediyoruz.

4 boyutlu küp (hiperküp)

Artık dördüncü bir boyutumuz var. Yani, elimizde önceki üç yöne de dik bir yön var. Aynı şekilde kullanalım. Dört boyutlu bir küp buna benzeyecek.

Doğal olarak üç boyutlu ve dört boyutlu küpler iki boyutlu bir ekran düzleminde tasvir edilemez. Çizdiklerim projeksiyonlardır. Tahminlerden biraz sonra bahsedeceğiz, ancak şimdilik birkaç çıplak gerçek ve rakam var.
Köşe, kenar ve yüz sayısı
Çeşitli boyutlarda küplerin özellikleri
1 boyutlu alan
2-sayılı köşeler
3-sayılı kenarlar
4-sayılı yüzler

0 (nokta) 1 0 0
1 (bölüm) 2 1 2 (puan)
2 (kare) 4 4 4 (bölümler)
3 (küp) 8 12 6 (kareler)
4 (hiperküp) 16 32 8 (küp)
N (genel formül) 2N N 2N-1 2 N

Lütfen bir hiperküpün yüzünün bizim sıradan üç boyutlu küpümüz olduğunu unutmayın. Bir hiperküp çizimine yakından bakarsanız aslında sekiz küp bulabilirsiniz.
Dört boyutlu uzay sakininin projeksiyonları ve vizyonu
Vizyon hakkında birkaç kelime

Üç boyutlu bir dünyada yaşıyoruz ama onu iki boyutlu olarak görüyoruz. Bunun nedeni, gözümüzün retinasının yalnızca iki boyutlu bir düzlemde yer almasıdır. Bu sayede iki boyutlu resimleri algılayıp gerçeğe benzerlerini bulabiliyoruz. (Elbette uyum sayesinde göz bir nesneye olan mesafeyi tahmin edebilir, ancak bu, gözlerimizde yerleşik olan optikle ilişkili bir yan etkidir.)

Dört boyutlu uzayda yaşayan birinin gözleri üç boyutlu bir retinaya sahip olmalıdır. Böyle bir yaratık, üç boyutlu şeklin tamamını anında görebilir: tüm yüzleri ve içleri. (Aynı şekilde iki boyutlu bir figürün tüm yüzlerini ve içlerini görebiliriz.)

Dolayısıyla dört boyutlu bir küpü, görme organlarımızın yardımıyla, dört boyutlu uzayda yaşayan birinin algıladığı gibi algılayamayız. Ne yazık ki. Geriye kalan tek şey, neyse ki hiçbir fiziksel sınırlaması olmayan zihin gözünüze ve hayal gücünüze güvenmektir.

Bununla birlikte, bir hiperküpü bir düzlem üzerinde tasvir ederken, onun projeksiyonunu iki boyutlu uzaya yapmak zorunda kalıyorum. Çizimleri incelerken bu gerçeği dikkate alın.
Kenar kesişmeleri

Doğal olarak hiperküpün kenarları kesişmiyor. Kesişmeler yalnızca çizimlerde görünür. Ancak bu durum sürpriz olmamalı çünkü resimlerdeki normal bir küpün kenarları da kesişiyor.
Kenar uzunlukları

Dört boyutlu bir küpün tüm yüzlerinin ve kenarlarının eşit olduğunu belirtmekte fayda var. Şekilde, yalnızca görüş yönüne farklı açılarda yerleştirildikleri için eşit olmadıkları ortaya çıkıyor. Bununla birlikte, bir hiperküpü tüm projeksiyonların aynı uzunluğa sahip olacağı şekilde döndürmek mümkündür.

Bu arada, bu şekilde bir hiperküpün yüzleri olan sekiz küp açıkça görülüyor.
Hiperküpün içi boş

İnanması zor ama hiperküpü sınırlayan küpler arasında bir miktar boşluk var (dört boyutlu uzayın bir parçası).

Bunu daha iyi anlamak için sıradan bir üç boyutlu küpün iki boyutlu izdüşümüne bakalım (bunu bilinçli olarak biraz şematik yaptım).

Buradan küpün içinde biraz boşluk olduğunu tahmin edebilir misiniz? Evet, ancak yalnızca hayal gücünüzü kullanarak. Göz bu boşluğu görmez. Bunun nedeni, üçüncü boyutta yer alan (düz bir çizimde gösterilemeyen) kenarların artık çizim düzleminde uzanan parçalara dönüşmesidir. Artık hacim sağlamıyorlar.

Küpün alanını çevreleyen kareler üst üste biniyordu. Ancak orijinal şekilde (üç boyutlu bir küp) bu karelerin, şekilde olduğu gibi aynı düzlemde üst üste değil, farklı düzlemlerde yer aldığı düşünülebilir.

Hiperküpte de durum tamamen aynıdır. Bir hiperküpün küp yüzleri, bize projeksiyonda göründüğü gibi aslında örtüşmez, ancak dört boyutlu uzayda bulunur.
Süpürmeler

Böylece dört boyutlu uzayın sakini, üç boyutlu bir nesneyi aynı anda her taraftan görebilir. Üç boyutlu bir küpü aynı anda her taraftan görebilir miyiz? Gözle - hayır. Ancak insanlar üç boyutlu bir küpün tüm yüzlerini aynı anda düz bir çizim üzerinde tasvir etmenin bir yolunu buldular. Böyle bir görüntüye tarama denir.
Üç boyutlu bir küpün geliştirilmesi

Muhtemelen herkes üç boyutlu bir küpün gelişiminin nasıl oluştuğunu biliyor. Bu süreç animasyonda gösterilmektedir.

Netlik sağlamak için küp yüzlerinin kenarları yarı saydam hale getirildi.

Bu iki boyutlu resmi ancak hayal gücümüz sayesinde algılayabildiğimizi belirtmek gerekir. Gelişmekte olan aşamaları tamamen iki boyutlu bir bakış açısıyla ele alırsak, süreç tuhaf görünecek ve hiç de net olmayacaktır.

Bu, önce çarpık karelerin ana hatlarının kademeli olarak ortaya çıkması, ardından da aynı anda gerekli şekli alırken yerlerine yerleşmeleri gibi görünüyor.

Açılan küpün yüzlerinden birinin yönünde bakarsanız (bu açıdan küp bir kareye benzer), o zaman açılmanın oluşum süreci daha da az açıktır. Her şey ilk kareden (açılmamış küpten değil) dışarı çıkan karelere benziyor.

Ancak tarama yalnızca gözler için görsel değildir. Hayal gücünüz sayesinde ondan birçok bilgi toplayabilirsiniz.
Dört boyutlu bir küpün geliştirilmesi

Bir hiperküpün açılmasına yönelik animasyonlu süreci en azından biraz görsel hale getirmek kesinlikle imkansızdır. Ancak bu süreç hayal edilebilir. (Bunu yapmak için dört boyutlu bir varlığın gözünden bakmanız gerekir.)

Tarama şuna benziyor.

Hiperküpü çevreleyen sekiz küpün tümü burada görülebilir.

Katlandığında hizalanması gereken kenarlar aynı renklerle boyanmıştır. Çiftlerin görünmediği yüzler gri renkte bırakılır. Katladıktan sonra üstteki küpün en üst yüzü, alttaki küpün alt kenarıyla aynı hizada olmalıdır. (Üç boyutlu bir küpün açılması da benzer şekilde daraltılır.)

Evrişimden sonra sekiz küpün tüm yüzlerinin temas ederek hiperküpü kapatacağını lütfen unutmayın. Ve son olarak, katlama sürecini hayal ederken, katlama sırasında meydana gelen şeyin küplerin üst üste binmesi değil, bunların belirli (hiperkübik) dört boyutlu bir alan etrafına sarılması olduğunu unutmayın.

Salvador Dali (1904-1989) çarmıha gerilmeyi birçok kez resmetmiştir ve resimlerinin çoğunda haçlar görülmektedir. “Çarmıha Gerilme” (1954) tablosu hiperküp taraması kullanıyor.
Uzay-zaman ve Öklid dört boyutlu uzayı

Umarım hiperküpü hayal edebilmişsindir. Peki, içinde yaşadığımız dört boyutlu uzay-zamanın nasıl çalıştığını anlamaya daha da yaklaşmayı başardınız mı? Ne yazık ki pek değil.

Burada dört boyutlu Öklid uzayından bahsettik ama uzay-zaman tamamen farklı özelliklere sahip. Özellikle, herhangi bir dönüş sırasında bölümler, ya 45 dereceden daha az bir açıyla ya da 45 dereceden daha büyük bir açıyla her zaman zaman eksenine eğimli kalır.

KAYNAK 2

Tesseract, dört boyutlu uzaydaki bir küpün benzeri olan dört boyutlu bir hiperküptür. Oxford Sözlüğüne göre, "tesseract" kelimesi 1888 yılında Charles Howard Hinton (1853-1907) tarafından A New Age of Düşünce adlı kitabında türetilmiş ve kullanılmıştır. Daha sonra bazı kişiler aynı rakama "tetraküp" adını verdiler.

Üç boyutlu uzaydan ayrılmadan bir hiperküpün nasıl görüneceğini hayal etmeye çalışalım.
Tek boyutlu bir "uzayda" - bir çizgi üzerinde - L uzunluğunda bir AB parçası seçiyoruz. AB'den L mesafesindeki iki boyutlu bir düzlemde, ona paralel bir DC parçası çiziyoruz ve uçlarını birleştiriyoruz. Sonuç bir ABCD karesidir. Bu işlemi düzlemle tekrarlayarak üç boyutlu bir ABCDHEFG küpü elde ederiz. Ve dördüncü boyuttaki (ilk üçe dik) küpü L kadar kaydırarak ABCDEFGHIJKLMNOP hiperküpünü elde ederiz.

Tek boyutlu AB parçası, iki boyutlu ABCD karesinin yüzü olarak hizmet eder, kare ABCDHEFG küpünün tarafı olarak hizmet eder ve bu da dört boyutlu hiperküpün tarafı olacaktır. Düz bir çizgi parçasının iki sınır noktası vardır, bir karenin dört köşesi vardır, bir küpün sekiz köşesi vardır. Dolayısıyla dört boyutlu bir hiperküpte 16 köşe olacaktır: 8'i orijinal küpün köşesi ve 8'i dördüncü boyutta kaydırılmış olanın köşesi. 32 kenarı vardır - 12'sinin her biri orijinal küpün başlangıç ​​ve son konumlarını verir ve diğer 8 kenar da dördüncü boyuta taşınan sekiz köşesini "çizir". Aynı mantık hiperküpün yüzleri için de yapılabilir. İki boyutlu uzayda yalnızca bir tane vardır (karenin kendisi), bir küpün 6 ​​tanesi vardır (hareket ettirilen kareden iki yüz ve kenarlarını tanımlayan dört yüz daha). Dört boyutlu bir hiperküpün 24 kare yüzü vardır - iki konumdaki orijinal küpün 12 karesi ve on iki kenarından 12 kare.

Benzer şekilde, daha fazla boyuttaki hiperküpler için akıl yürütmemize devam edebiliriz, ancak dört boyutlu bir hiperküpün, üç boyutlu uzayın sakinleri olan bizler için nasıl görüneceğini görmek çok daha ilginç. Bunun için zaten bilinen analoji yöntemini kullanacağız.
ABCDHEFG tel küpünü alalım ve kenarından tek gözle bakalım. Düzlem üzerinde dört çizgiyle - yan kenarlarla birbirine bağlanan iki kareyi (yakın ve uzak kenarları) göreceğiz ve çizebiliriz. Benzer şekilde, üç boyutlu uzayda dört boyutlu bir hiperküp, birbirine yerleştirilmiş ve sekiz kenarla birbirine bağlanmış iki kübik "kutu" gibi görünecektir. Bu durumda, "kutuların" kendileri - üç boyutlu yüzler - "bizim" alanımıza yansıtılacak ve onları birbirine bağlayan çizgiler dördüncü boyutta uzayacaktır. Ayrıca küpü projeksiyonda değil, mekansal bir görüntüde hayal etmeye çalışabilirsiniz.

Üç boyutlu bir küpün, yüzünün uzunluğu kadar kaydırılan bir kareden oluşması gibi, dördüncü boyuta kaydırılan bir küp de bir hiperküp oluşturacaktır. Perspektifte oldukça karmaşık bir figür gibi görünecek olan sekiz küple sınırlıdır. “Bizim” uzayımızda kalan kısım düz çizgilerle, hiperuzaya giden kısım ise noktalı çizgilerle çizilmiştir. Dört boyutlu hiperküpün kendisi de sonsuz sayıda küpten oluşur, tıpkı üç boyutlu bir küpün sonsuz sayıda düz kareye "kesilebilmesi" gibi.

Üç boyutlu bir küpün altı yüzünü keserek, onu düz bir şekle, yani bir gelişmeye ayrıştırabilirsiniz. Orijinal yüzün her iki tarafında bir kare ve artı bir tane daha olacak - karşısındaki yüz. Ve dört boyutlu bir hiperküpün üç boyutlu gelişimi, orijinal küpten, ondan "büyüyen" altı küpten ve bir tane daha - son "hiper yüz"den oluşacaktır. Bir tesseractın özellikleri, daha düşük boyuttaki geometrik şekillerin özelliklerinin dört boyutlu uzayda devamını temsil eder.

Diğer isimler
Heksadekakoron
sekizlik
tetraküp
4-Küp
Hypercube (boyut sayısı belirtilmemişse)

10 boyutlu uzay
Bilmeyenler için resimler gayet açıklayıcıdır.

Http://www.skilopedia.ru/material.php?id=1338

Hiperküp ve Platonik katılar

“Vector” sisteminde kesik bir ikosahedron (“futbol topu”) modelleyin
her beşgenin altıgenlerle sınırlandığı

Kesilmiş ikosahedron düzgün beşgenler şeklinde yüzler oluşturmak için 12 köşe kesilerek elde edilebilir. Bu durumda yeni çokyüzlünün köşe sayısı 5 kat artar (12×5=60), 20 üçgen yüz düzgün altıgenlere dönüşür (toplamda) yüzler 20+12=32 olur), A kenar sayısı 30+12×5=90 olur.

Vector sisteminde kesik bir ikosahedron oluşturma adımları

4 boyutlu uzayda figürler.

--à

--à ?

Örneğin bir küp ve bir hiperküp verilmiştir. Bir hiperküpün 24 yüzü vardır. Bu, 4 boyutlu bir oktahedronun 24 köşeye sahip olacağı anlamına gelir. Hayır olmasına rağmen, bir hiperküpün küplerden oluşan 8 yüzü vardır; her birinin tepe noktasında bir merkezi vardır. Bu, 4 boyutlu bir oktahedronun 8 köşeye sahip olacağı anlamına gelir, bu da daha hafiftir.

4 boyutlu oktahedron. Sekiz eşkenar ve eşit dörtyüzlüden oluşur.
her köşede dört tane ile bağlanır.

Pirinç. Simüle etme girişimi
“Vector” sisteminde hipertop-hipersfer

Ön - arka yüzler - bozulmayan toplar. Başka bir altı top, elipsoidler veya ikinci dereceden yüzeyler (jeneratörler olarak 4 kontur çizgisi aracılığıyla) veya yüzler (ilk olarak jeneratörler aracılığıyla tanımlanır) aracılığıyla tanımlanabilir.

Bir hiperküre "inşa etmek" için daha fazla teknik
- 4 boyutlu uzayda aynı “futbol topu”

Ek 2

Dışbükey çokyüzlüler için, 1752'de Leonhard Euler tarafından kanıtlanan ve Euler teoremi olarak adlandırılan, köşelerinin, kenarlarının ve yüzlerinin sayısını ilişkilendiren bir özellik vardır.

Formüle etmeden önce, bildiğimiz çokyüzlüyü göz önünde bulundurun ve B'nin belirli bir çokyüzlünün köşe sayısı, P - kenarları ve G - yüzleri olduğu aşağıdaki tabloyu doldurun:

Bu tablodan, seçilen tüm çokyüzlüler için B - P + G = 2 eşitliğinin geçerli olduğu hemen anlaşılıyor. Bu eşitliğin yalnızca bu çokyüzlüler için değil, aynı zamanda keyfi bir dışbükey çokyüzlü için de geçerli olduğu ortaya çıkıyor.

Euler teoremi. Herhangi bir dışbükey çokyüzlü için eşitlik geçerlidir

B - P + G = 2,

burada B köşe sayısı, P kenar sayısı ve G belirli bir çokyüzlünün yüz sayısıdır.

Kanıt. Bu eşitliği kanıtlamak için bu çokyüzlünün yüzeyinin elastik bir malzemeden yapıldığını hayal edin. Yüzlerinden birini çıkaralım (keselim) ve kalan yüzeyi bir düzleme gerelim. Daha küçük çokgenlere bölünmüş (çokyüzlünün kalan yüzleri tarafından oluşturulan) bir çokgen (çokyüzlünün çıkarılmış yüzünün kenarlarından oluşturulmuş) elde ederiz.

Kenarlarda boşluk olmadığı sürece çokgenlerin deforme olabileceğini, büyütülebileceğini, küçültülebileceğini ve hatta kenarlarının kıvrılabileceğini unutmayın. Köşelerin, kenarların ve yüzlerin sayısı değişmeyecektir.

Elde edilen çokgenin daha küçük çokgenlere bölünmesinin eşitliği sağladığını kanıtlayalım.

(*)B - P + G" = 1,

burada B toplam köşe sayısı, P toplam kenar sayısı ve Г " bölüme dahil edilen çokgenlerin sayısıdır. Г " = Г - 1 olduğu açıktır, burada Г belirli bir nesnenin yüz sayısıdır çokyüzlü.

Belirli bir bölümün bazı çokgenlerine bir köşegen çizilirse eşitliğin (*) değişmediğini kanıtlayalım (Şekil 5, a). Nitekim böyle bir köşegen çizildikten sonra yeni bölümün köşeleri B, P+1 kenarları olacak ve çokgen sayısı birer birer artacaktır. Bu nedenle elimizde

B - (P + 1) + (G "+1) = B – P + G " .

Bu özelliği kullanarak, gelen çokgenleri üçgenlere bölen köşegenler çiziyoruz ve ortaya çıkan bölüm için eşitliğin (*) uygulanabilirliğini gösteriyoruz (Şekil 5, b). Bunu yapmak için, dış kenarları sırayla kaldırarak üçgen sayısını azaltacağız. Bu durumda iki durum mümkündür:

a) bir üçgeni kaldırmak için ABC bizim durumumuzda iki kaburgayı çıkarmak gerekiyor AB Ve M.Ö.;

b) bir üçgeni kaldırmak içinMKNbizim durumumuzda bir kenarı çıkarmak gerekiyorMN.

Her iki durumda da eşitlik (*) değişmeyecektir. Örneğin, ilk durumda, üçgeni çıkardıktan sonra grafik B - 1 köşe, P - 2 kenar ve G " - 1 çokgeninden oluşacaktır:

(B - 1) - (P + 2) + (G " – 1) = B - P + G ".

İkinci durumu kendiniz düşünün.

Dolayısıyla bir üçgenin çıkarılması eşitliği değiştirmez (*). Bu üçgenleri kaldırma işlemine devam ederek sonunda tek bir üçgenden oluşan bir bölüme ulaşacağız. Böyle bir bölümleme için, B = 3, P = 3, Г " = 1 ve dolayısıyla B – Р + Г " = 1. Bu, eşitliğin (*) aynı zamanda orijinal bölüm için de geçerli olduğu anlamına gelir ve sonunda şunu elde ederiz: çokgenin bu bölümü için eşitlik (*) doğrudur. Dolayısıyla orijinal dışbükey çokyüzlü için B - P + G = 2 eşitliği doğrudur.

Euler ilişkisinin geçerli olmadığı bir çokyüzlü örneği,Şekil 6'da gösterilmektedir. Bu çokyüzlünün 16 köşesi, 32 kenarı ve 16 yüzü vardır. Dolayısıyla bu çokyüzlü için B – P + G = 0 eşitliği geçerlidir.

Ek 3.

Film Cube 2: Hypercube, Cube filminin devamı olan bir bilim kurgu filmidir.

Sekiz yabancı küp şeklindeki odalarda uyanır. Odalar dört boyutlu bir hiperküpün içinde yer alıyor. Odalar sürekli olarak "kuantum ışınlanma" yoluyla hareket ediyor ve bir sonraki odaya tırmanırsanız bir öncekine dönmeniz pek mümkün değil. Paralel dünyalar hiperküpte kesişiyor, bazı odalarda zaman farklı akıyor, bazı odalar ise ölümcül tuzaklar.

Filmin konusu, bazı karakterlerin görüntülerine de yansıyan ilk bölümün hikayesini büyük ölçüde tekrarlıyor. Hiperküpün yok olma zamanını tam olarak hesaplayan Nobel ödüllü Rosenzweig, hiperküpün odalarında ölür..

Eleştiri

İlk bölümde bir labirente hapsolmuş insanlar birbirlerine yardım etmeye çalışsalar da, bu filmde herkes kendi başının çaresine bakıyor. Filmin bu bölümünü bir öncekiyle mantıksal olarak hiçbir şekilde bağlamayan pek çok gereksiz özel efekt (diğer adıyla tuzaklar) var. Yani Cube 2 filminin 2000 değil, 2020-2030 geleceğinin bir tür labirenti olduğu ortaya çıktı. İlk bölümde teorik olarak her türlü tuzak bir kişi tarafından oluşturulabilir. İkinci bölümde ise bu tuzaklar “Sanal Gerçeklik” adı verilen bir çeşit bilgisayar programıdır.

Çok boyutlu uzaylar doktrini 19. yüzyılın ortalarında ortaya çıkmaya başladı. Dört boyutlu uzay fikri, bilim kurgu yazarları tarafından bilim adamlarından ödünç alındı. Eserlerinde dünyaya dördüncü boyutun muhteşem harikalarını anlattılar.

Eserlerinin kahramanları, dört boyutlu uzayın özelliklerini kullanarak, yumurtanın içindekileri kabuğa zarar vermeden yiyebiliyor, şişe kapağını açmadan içecek içebiliyorlardı. Hırsızlar hazineyi dördüncü boyuta geçerek kasadan çıkardı. Cerrahlar, hastanın vücut dokusunu kesmeden iç organ ameliyatlarını gerçekleştirdi.

Tesseract

Geometride hiperküp, bir karenin (n = 2) ve bir küpün (n = 3) n boyutlu bir analojisidir. Her zamanki gibi 3 boyutlu küpümüzün dört boyutlu benzerine tesseract adı veriliyor. Tesseract küpün karesine oranı gibidir. Daha resmi olarak, bir tesseract, sınırları sekiz kübik hücreden oluşan düzenli bir dışbükey dört boyutlu çokyüzlü olarak tanımlanabilir.

Üç boyutlu uzaydan ayrılmadan bir hiperküpün nasıl görüneceğini hayal etmeye çalışalım.
Tek boyutlu bir "uzayda" - bir çizgi üzerinde - L uzunluğunda bir AB parçası seçiyoruz. AB'den L mesafesindeki iki boyutlu bir düzlemde, ona paralel bir DC parçası çiziyoruz ve uçlarını birleştiriyoruz. Sonuç kare bir CDBA'dır. Bu işlemi düzlemle tekrarlayarak üç boyutlu bir küp CDBAGHFE elde ediyoruz. Ve dördüncü boyuttaki (ilk üçe dik) küpü L kadar kaydırarak CDBAGHFEKLJIOPNM hiperküpünü elde ederiz.

Benzer şekilde, daha fazla boyuttaki hiperküpler için akıl yürütmemize devam edebiliriz, ancak dört boyutlu bir hiperküpün, üç boyutlu uzayın sakinleri olan bizler için nasıl görüneceğini görmek çok daha ilginç.

ABCDHEFG tel küpünü alalım ve kenarından tek gözle bakalım. Düzlem üzerinde dört çizgiyle - yan kenarlarla birbirine bağlanan iki kareyi (yakın ve uzak kenarları) göreceğiz ve çizebiliriz. Benzer şekilde, üç boyutlu uzayda dört boyutlu bir hiperküp, birbirine yerleştirilmiş ve sekiz kenarla birbirine bağlanmış iki kübik "kutu" gibi görünecektir. Bu durumda, "kutuların" kendileri - üç boyutlu yüzler - "bizim" alanımıza yansıtılacak ve bunları birbirine bağlayan çizgiler dördüncü eksen yönünde uzanacaktır. Ayrıca küpü projeksiyonda değil, mekansal bir görüntüde hayal etmeye çalışabilirsiniz.

Üç boyutlu bir küpün, yüzünün uzunluğu kadar kaydırılan bir kareden oluşması gibi, dördüncü boyuta kaydırılan bir küp de bir hiperküp oluşturacaktır. Perspektifte oldukça karmaşık bir figür gibi görünecek olan sekiz küple sınırlıdır. Tıpkı üç boyutlu bir küpün sonsuz sayıda düz kareye "kesilebilmesi" gibi, dört boyutlu hiperküpün kendisi de sonsuz sayıda küplere bölünebilir.

Üç boyutlu bir küpün altı yüzünü keserek, onu düz bir şekle, yani bir gelişmeye ayrıştırabilirsiniz. Orijinal yüzün her iki tarafında bir kare ve artı bir tane daha olacak - karşısındaki yüz. Ve dört boyutlu bir hiperküpün üç boyutlu gelişimi, orijinal küpten, ondan "büyüyen" altı küpten ve bir tane daha - son "hiper yüz"den oluşacaktır.

Tesseract o kadar ilginç bir figür ki yazarların ve film yapımcılarının defalarca dikkatini çekti.
Robert E. Heinlein birkaç kez hiperküplerden bahsetti. Deniz Mavisi'nin İnşa Ettiği Ev'de (1940), sarılmamış bir tesseract olarak inşa edilen ve daha sonra bir deprem nedeniyle dördüncü boyutta "katlanarak" "gerçek" bir tesseract haline gelen bir evi tanımladı. Heinlein'in romanı Glory Road, içi dışarıdan daha büyük olan hiper boyutlu bir kutuyu anlatıyor.

Henry Kuttner'ın "All Tenali Borogov" hikayesi, yapı olarak tesseract'a benzer, uzak gelecekten gelen çocuklar için eğitici bir oyuncağı anlatıyor.

Cube 2: Hypercube'un konusu, bir "hiperküp" veya birbirine bağlı küplerden oluşan bir ağ içinde hapsolmuş sekiz yabancıya odaklanıyor.

Paralel dünya

Matematiksel soyutlamalar paralel dünyaların varlığı fikrini doğurdu. Bunlar bizimkiyle aynı anda ama ondan bağımsız olarak var olan gerçeklikler olarak anlaşılır. Paralel bir dünyanın farklı boyutları olabilir: küçük bir coğrafi alandan tüm evrene kadar. Paralel bir dünyada olaylar kendine göre gerçekleşir; hem bireysel detaylarda hem de hemen hemen her şeyde bizim dünyamızdan farklı olabilir. Üstelik paralel bir dünyanın fiziksel yasalarının Evrenimizin yasalarıyla aynı olması da şart değil.

Bu konu bilim kurgu yazarları için verimli bir zemindir.

Salvador Dali'nin "Çarmıha Gerilme" adlı tablosu bir tesseractı tasvir ediyor. “Çarmıha Gerilme veya Hiperkübik Beden” İspanyol sanatçı Salvador Dali'nin 1954 yılında yaptığı bir tablodur. Tesseract taramasında çarmıha gerilen İsa Mesih'i tasvir ediyor. Tablo New York'taki Metropolitan Sanat Müzesi'nde saklanıyor

Her şey 1895 yılında H.G. Wells'in "Duvardaki Kapı" adlı öyküsüyle bilim kurgu için paralel dünyaların varlığını keşfetmesiyle başladı. 1923'te Wells paralel dünyalar fikrine geri döndü ve bunlardan birine Men Like Gods romanındaki karakterlerin gittiği ütopik bir ülkeyi yerleştirdi.

Roman gözden kaçmadı. 1926 yılında G. Dent'in “Ülkenin İmparatoru “Eğer” adlı öyküsü ortaya çıktı. Dent'in öyküsünde ilk kez, tarihi gerçek ülkelerin tarihinden farklı gidebilecek ülkeler (dünyalar) olabileceği fikri ortaya çıktı. bizim dünyamızda bunlar bizimkinden daha az gerçek değil.

1944 yılında Jorge Luis Borges, Kurgusal Hikayeler adlı kitabında Yolları Çatallanan Bahçe adlı öyküsünü yayımladı. Burada zamanı dallara ayırma fikri nihayet son derece net bir şekilde ifade edildi.
Yukarıda listelenen eserlerin ortaya çıkmasına rağmen, birçok dünya fikri bilim kurguda ancak 20. yüzyılın kırklı yıllarının sonlarında, fizikte benzer bir fikrin ortaya çıktığı yaklaşık olarak aynı zamanda ciddi şekilde gelişmeye başladı.

Bilim kurguda yeni yönün öncülerinden biri, "Tek Yönlü Sokak" (1954) hikayesinde dünyalar arasında yalnızca tek bir yönde hareket edebileceğinizi - kendi dünyanızdan paralel bir dünyaya gittiğinizde, geri dönmeyeceksin ama bir dünyadan diğerine geçeceksin. Ancak kişinin kendi dünyasına dönüşü de dışlanmaz - bunun için dünyalar sisteminin kapatılması gerekir.

Clifford Simak'ın Güneşin Etrafında Bir Halka (1982) adlı romanı, her biri kendi dünyasında var olan ancak aynı yörüngede bulunan çok sayıda Dünya gezegenini anlatır ve bu dünyalar ve bu gezegenler birbirlerinden yalnızca zamandaki hafif (mikrosaniye) bir kayma ile farklılık gösterir. Romanın kahramanının ziyaret ettiği sayısız Dünya, tek bir dünya sistemi oluşturur.

Alfred Bester, "Muhammed'i Öldüren Adam" (1958) adlı öyküsünde dünyaların dallara ayrılmasına ilişkin ilginç bir görüşü dile getirdi. Hikayenin kahramanı, "Geçmişi değiştirerek onu yalnızca kendiniz için değiştirirsiniz" diye savundu. Başka bir deyişle, geçmişteki bir değişiklikten sonra, bu değişikliğin yalnızca değişikliği yapan karakter için var olduğu bir tarih dalı ortaya çıkar.

Strugatsky kardeşlerin "Pazartesi Cumartesi Başlıyor" (1962) öyküsü, bilim kurguda zaten var olan geçmişin farklı versiyonlarına yapılan yolculukların aksine, karakterlerin bilim kurgu yazarları tarafından anlatılan geleceğin farklı versiyonlarına yolculuklarını anlatıyor.

Ancak paralel dünyalar temasına değinen tüm eserlerin basit bir listesini yapmak bile çok zaman alır. Ve bilim kurgu yazarları, kural olarak, çok boyutluluk varsayımını bilimsel olarak doğrulamasalar da, bir konuda haklılar - bu, var olma hakkı olan bir hipotezdir.
Tesseract'ın dördüncü boyutu hâlâ ziyaret etmemizi bekliyor.

Viktor Savinov