İ 2 İfadesinin Anlamı 3. Karmaşık Sayıların Üslerini Artırma

Size hatırlatalım gerekli bilgiler karmaşık sayılar hakkında.

Karmaşık sayı formun bir ifadesidir A + bi, Nerede A, B - gerçek sayılar, A Ben- sözde hayali birim karesi –1'e eşit olan bir sembol, yani Ben 2 = –1. Sayı A isminde gerçek kısım ve numara B - sanal kısım karmaşık sayı z = A + bi. Eğer B= 0, bunun yerine A + 0Ben sadece yazıyorlar A. Görülüyor ki gerçek rakamlar özel durum karmaşık sayılar.

Karmaşık sayılarla ilgili aritmetik işlemler gerçek sayılarla aynıdır: bunlar birbirleriyle toplanabilir, çıkarılabilir, çarpılabilir ve bölünebilir. Toplama ve çıkarma kuralına göre yapılır ( A + bi) ± ( C + di) = (A ± C) + (B ± D)Ben ve çarpma kuralı takip eder ( A + bi) · ( C + di) = (ac – BD) + (reklam + M.Ö.)Ben(burada şu kullanılıyor Ben 2 = –1). Sayı = A – bi isminde karmaşık eşlenikİle z = A + bi. Eşitlik z · = A 2 + B 2, bir karmaşık sayıyı başka bir (sıfır olmayan) karmaşık sayıya nasıl böleceğinizi anlamanızı sağlar:

(Örneğin, .)

Karmaşık sayılar kullanışlı ve görsel bir yapıya sahiptir. geometrik gösterim: sayı z = A + bi koordinatları olan bir vektör ile temsil edilebilir ( A; B) Açık Kartezyen düzlem(veya neredeyse aynı şey olan bir nokta - bu koordinatlara sahip bir vektörün sonu). Bu durumda, iki karmaşık sayının toplamı karşılık gelen vektörlerin toplamı olarak gösterilir (paralelkenar kuralı kullanılarak bulunabilir). Pisagor teoremine göre, koordinatlı vektörün uzunluğu ( A; B) eşittir. Bu miktara denir modül karmaşık sayı z = A + bi ve | ile gösterilir z|. Bu vektörün x ekseninin pozitif yönü ile yaptığı açıya (saat yönünün tersine sayılır) denir. argüman karmaşık sayı z ve Arg ile gösterilir z. Argüman benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır, ancak yalnızca 2'nin katlarının eklenmesine kadar π radyan (veya derece olarak sayılırsa 360°) - sonuçta, başlangıç ​​noktası etrafında böyle bir açıyla dönmenin vektörü değiştirmeyeceği açıktır. Fakat eğer uzunluk vektörü R bir açı oluşturur φ x ekseninin pozitif yönü ile koordinatları şuna eşittir: ( Rçünkü φ ; R günah φ ). Buradan anlaşılıyor trigonometrik gösterim karmaşık sayı: z = |z| · (çünkü(Arg z) + Ben günah(Arg z)). Hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirdiği için karmaşık sayıları bu biçimde yazmak genellikle uygundur. Karmaşık sayıları trigonometrik biçimde çarpmak çok basittir: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (çünkü(Arg z 1 + Arg z 2) + Ben günah(Arg z 1 + Arg z 2)) (iki karmaşık sayıyı çarparken modülleri çarpılır ve argümanları toplanır). Buradan takip edin Moivre'nin formülleri: zn = |z|N· (çünkü( N· (Arg z)) + Ben günah( N· (Arg z))). Bu formülleri kullanarak karmaşık sayılardan herhangi bir dereceden köklerin nasıl çıkarılacağını öğrenmek kolaydır. Kök n'inci derece z numarasından- bu karmaşık bir sayıdır w, Ne sen = z. Açıktır ki , ve , nerede k(0, 1, ...,) kümesinden herhangi bir değer alabilir N– 1). Bu her zaman tam olarak var olduğu anlamına gelir N kökler N karmaşık bir sayının derecesi (düzlemde normal sayının köşelerinde bulunurlar) N-gon).

En sevdiğimiz kareyle başlayalım.

Örnek 9

Karmaşık bir sayının karesini almak

Burada iki yoldan gidebilirsiniz, birincisi dereceyi faktörlerin çarpımı olarak yeniden yazmak ve sayıları polinomlarla çarpma kuralına göre çarpmaktır.

İkinci yöntem, kısaltılmış çarpma için iyi bilinen okul formülünü kullanmaktır:

Karmaşık bir sayı için kendi kısaltılmış çarpma formülünüzü türetmek kolaydır:

Benzer bir formül, farkın karesi için elde edilebileceği gibi, toplamın küpü ve farkın küpü için de türetilebilir. Ancak bu formüller karmaşık analiz problemleriyle daha ilgilidir. Peki ya karmaşık bir sayıyı örneğin 5'inci, 10'uncu veya 100'üncü kuvvete yükseltmeniz gerekirse? Açıkça görülüyor ki cebirsel form Böyle bir hile yapmak neredeyse imkansız, gerçekten şöyle bir örneği nasıl çözeceğinizi düşünün?

Ve burada karmaşık bir sayının trigonometrik formu kurtarmaya geliyor ve sözde Moivre'nin formülü: Bir karmaşık sayı trigonometrik formda temsil ediliyorsa, doğal kuvvete yükseltildiğinde aşağıdaki formül geçerlidir:

Bu çok çirkin.

Örnek 10

Verilen bir karmaşık sayıyı bulun.

Ne yapılması gerekiyor? Öncelikle bu sayıyı trigonometrik biçimde temsil etmeniz gerekir. Dikkatli okuyucular Örnek 8'de bunu zaten yaptığımızı fark edeceklerdir:

Daha sonra Moivre'nin formülüne göre:

Tanrı korusun, hesap makinesine güvenmenize gerek yok, ancak çoğu durumda açının basitleştirilmesi gerekir. Nasıl basitleştirilir? Mecazi anlamda gereksiz dönüşlerden kurtulmanız gerekiyor. Bir devrim bir radyan veya 360 derecedir. Tartışmada kaç sıramız olduğunu bulalım. Kolaylık sağlamak için kesri doğru yapıyoruz: bundan sonra bir devrimi azaltabileceğiniz açıkça görülüyor:. Umarım herkes bunun aynı açı olduğunu anlar.

Böylece son cevap şu şekilde yazılacaktır:

Üs alma probleminin ayrı bir varyasyonu, tamamen sanal sayıların üssü alınmasıdır.

Örnek 12

Karmaşık sayıların üssünü yükseltin

Burada da her şey basit, asıl önemli olan ünlü eşitliği hatırlamak.

Eğer hayali birim eşit kuvvete yükseltilirse çözüm tekniği şu şekilde olur:

Eğer hayali birim tek bir güce yükseltilirse, o zaman bir "ve"yi "kıstırırız" ve çift bir güç elde ederiz:

Bir eksi (veya herhangi bir gerçek katsayı) varsa, önce bunun ayrılması gerekir:

Karmaşık sayılardan köklerin çıkarılması. Karmaşık kökleri olan ikinci dereceden denklem

Bir örneğe bakalım:

Kökü çıkaramıyor musunuz? Eğer hakkında konuşuyoruz gerçek sayılar hakkında, o zaman bu gerçekten imkansızdır. Karmaşık sayıların kökünü çıkarmak mümkün! Daha doğrusu, iki kök:

Kökler gerçekten denklemin çözümünü buldu mu? Kontrol edelim:

Kontrol edilmesi gereken şey buydu.

Kısaltılmış bir gösterim sıklıkla kullanılır; her iki kök de “aynı tarak” altında tek bir satıra yazılır: .

Bu köklere aynı zamanda denir. karmaşık kökleri birleştirmek.

Nasıl çıkarılır karekökler Negatif sayılardan herkesin anladığını düşünüyorum: ,,, vb. Her durumda ortaya çıkıyor iki karmaşık kökleri birleştirir.

§1. Karmaşık sayılar

1°. Tanım. Cebirsel gösterim.

Tanım 1. Karmaşık sayılar reel sayıların sıralı çiftlerine denir Ve , eğer onlar için eşitlik kavramı, toplama ve çarpma işlemleri tanımlanmışsa, aşağıdaki aksiyomları karşılar:

1) İki sayı
Ve
eşit ancak ve ancak
,
, yani

2) Karmaşık sayıların toplamı
Ve

ve eşit
, yani

3) Karmaşık sayıların çarpımı
Ve
ile gösterilen sayıdır
ve eşit, yani

Karmaşık sayılar kümesi gösterilir C.

Formdaki sayılar için formüller (2), (3)
formu al

buradan şu sonuç çıkıyor: formdaki sayılar için toplama ve çarpma işlemleri
Gerçel sayılar için toplama ve çarpma ile çakışır formun karmaşık sayısı
gerçek sayıyla tanımlanan .

Karmaşık sayı
isminde hayali birim ve belirlenmiş , yani
Daha sonra (3)'ten

(2), (3) 'den bu şu anlama gelir:

İfade (4) denir cebirsel gösterim karmaşık sayı.

Cebirsel gösterimde toplama ve çarpma işlemleri şu şekli alır:

Karmaşık bir sayı şu şekilde gösterilir:
,– gerçek kısım, – hayali kısım, tamamen sanal bir sayıdır. Tanım:
,
.

Tanım 2. Karmaşık sayı
isminde birleşik karmaşık bir sayı ile
.

Kompleks konjugasyonun özellikleri.

1)

2)
.

3) Eğer
, O
.

4)
.

5)
– gerçek sayı.

Kanıt doğrudan hesaplamayla gerçekleştirilir.

Tanım 3. Sayı
isminde modül karmaşık sayı
ve belirlenmiş
.

Açıkça görülüyor ki
, Ve


. Formüller de açıktır:
Ve
.

2°. Toplama ve çarpma işlemlerinin özellikleri.

1) Değişebilirlik:
,
.

2) İlişkisellik:,
.

3) Dağıtıcılık: .

İspat 1) – 3) reel sayılar için benzer özelliklere dayalı doğrudan hesaplamalarla gerçekleştirilir.

4)
,
.

5) , C ! , denklemi tatmin etmek
. Bu

6) ,C, 0, ! :
. Bu denklem ile çarpılarak bulunur



.

Örnek. Karmaşık bir sayı hayal edelim
cebirsel formda. Bunu yapmak için kesrin payını ve paydasını paydanın eşlenik sayısıyla çarpın. Sahibiz:

3°. Karmaşık sayıların geometrik yorumu. Karmaşık sayıların trigonometrik ve üstel şekli.

Uçakta verilsin dikdörtgen sistem koordinatlar Daha sonra
C düzlemdeki bir noktayı koordinatlarla eşleştirebilirsiniz
.(bkz. Şekil 1). Böyle bir yazışmanın birebir olduğu açıktır. Bu durumda, gerçek sayılar apsis ekseninde yer alır ve tamamen sanal sayılar ordinat ekseninde bulunur. Bu nedenle apsis ekseni denir gerçek eksen ve ordinat ekseni – hayali eksen. Karmaşık sayıların bulunduğu düzleme denir karmaşık düzlem.

Dikkat Ve
orijine göre simetriktir ve Ve Ox'a göre simetrik.

Her karmaşık sayı (yani düzlemdeki her nokta), başlangıcı O noktasında ve sonu O noktasında olan bir vektörle ilişkilendirilebilir.
. Vektörler ve karmaşık sayılar arasındaki yazışma bire birdir. Bu nedenle karmaşık bir sayıya karşılık gelen vektör , aynı harfle gösterilir

D vektör çizgisi
karmaşık bir sayıya karşılık gelen
, eşittir
, Ve
,
.

Vektör yorumunu kullanarak, vektörün olduğunu görebiliriz.
− vektörlerin toplamı Ve , A
− vektörlerin toplamı Ve
.(bkz. Şekil 2). Bu nedenle aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir: ,

Uzunluk ile birlikte vektör hadi açıyı tanıtalım vektör arasında ve Ox ekseninin pozitif yönünden sayılan Ox ekseni: eğer sayım saat yönünün tersine ise, o zaman açının işareti pozitif kabul edilir, eğer saat yönünde ise o zaman negatiftir. Bu açıya denir karmaşık sayı argümanı ve belirlenmiş
. Köşe kesin olarak değil kesin olarak belirlenir
…. İçin
argüman tanımlanmamıştır.

Formüller (6) sözde şunları tanımlar: trigonometrik gösterim karmaşık sayı.

(5)'ten şu sonuç çıkıyor:
Ve
O

(5)'den
peki ya Ve karmaşık bir sayı benzersiz bir şekilde belirlenir. Bunun tersi doğru değil: yani karmaşık bir sayı üzerinden onun modülü benzersizdir ve argüman , (7)'ye göre, − doğrulukla
. Ayrıca (7)'den şu argüman çıkar: denklemin çözümü olarak bulunabilir

Ancak bu denklemin tüm çözümleri (7)'nin çözümü değildir.

Karmaşık bir sayının argümanının tüm değerleri arasından, argümanın ana değeri olarak adlandırılan ve gösterilen bir tanesi seçilir.
. Genellikle argümanın ana değeri aralıkta seçilir.
, veya aralıkta

Çarpma ve bölme işlemlerini trigonometrik formda yapmak uygundur.

Teorem 1. Karmaşık sayıların çarpım modülü Ve modüllerin çarpımına eşittir ve argüman, argümanların toplamıdır, yani.

, A .

Aynı şekilde

,

Kanıt.İzin vermek ,. Daha sonra doğrudan çarpma işlemiyle şunu elde ederiz:

Aynı şekilde

.■

Sonuçlar(Moivre'nin formülü). İçin
Moivre formülü geçerlidir

P örnek. Noktanın geometrik konumunu bulalım.
. Teorem 1'den şu sonuç çıkıyor.

Bu nedenle, onu oluşturmak için önce bir nokta oluşturmalısınız. inversiyon olan birim çembere göreli bir nokta bulun ve ardından Ox eksenine göre ona simetrik bir nokta bulun.

İzin vermek
,onlar.
Karmaşık sayı
ile gösterilir
, yani R Euler formülü geçerlidir

Çünkü
, O
,
. Teorem 1'den
fonksiyonla ne alakası var
normal bir üstel fonksiyonla olduğu gibi çalışabilirsiniz; eşitlikler geçerlidir

,
,
.

(8)'den
açıklayıcı notasyon karmaşık sayı

, Nerede
,

Örnek. .

4°. Kökler Karmaşık bir sayının -inci kuvveti.

Denklemi düşünün

İzin vermek
ve denklemin (9) çözümü şu şekilde aranır:
. Daha sonra (9) formunu alır
, bunu nereden bulacağız
,
, yani

,
,
.

Dolayısıyla denklem (9)'un kökleri vardır

(10) arasında tam olarak olduğunu gösterelim. farklı kökler. Gerçekten mi,

farklılar çünkü argümanları farklı ve daha az farklı
. Sonraki,
, Çünkü
. Aynı şekilde
.

Böylece, denklem (9)
tam olarak var kökler
, normalin köşelerinde bulunur -yarıçaplı bir daire içine yazılmış bir üçgen merkezi T.O.

Böylece kanıtlanmıştır

Teorem 2. Kök çıkarma karmaşık bir sayının -inci kuvveti
Bu her zaman mümkündür. Tüm kök anlamları derecesi doğrunun köşelerinde bulunur -gon merkezi sıfır ve yarıçapı olan bir dairenin içine yazılmıştır
. Aynı zamanda

Sonuçlar. Kökler 1'in -inci kuvveti formülle ifade edilir

.

1'in iki kökünün çarpımı bir kök, 1 bir köktür -birliğin gücü, kök
:
.