Cebirsel formda yazılmış karmaşık sayılarla ilgili işlemler
Karmaşık sayının cebirsel formu z =(A,B).formun cebirsel ifadesi olarak adlandırılır
z = A + bi.
Karmaşık sayılarda aritmetik işlemler z 1 =a 1 +b 1 Ben Ve z 2 =a 2 +b 2 Ben Cebirsel formda yazılan işlemler aşağıdaki gibi gerçekleştirilir.
1. Karmaşık sayıların toplamı (farkı)
z 1 ±z 2 = (A 1 ±a 2) + (B 1 ±b 2)∙i,
onlar. toplama (çıkarma), benzer terimlerin azaltılmasıyla polinomların eklenmesi kuralına göre gerçekleştirilir.
2. Karmaşık sayıların çarpımı
z 1 ∙z 2 = (A 1 ∙a 2 -B 1 ∙b 2) + (A 1 ∙b 2 + bir 2 ∙b 1)∙i,
onlar. çarpma işlemi polinomların çarpımı için olağan kurala göre gerçekleştirilir, şu gerçeği dikkate alırız: Ben 2 = 1.
3. İki karmaşık sayının bölünmesi aşağıdaki kurala göre gerçekleştirilir:
, (z 2 ≠ 0),
onlar. Bölme işlemi, bölünen ve bölenin, bölenin eşlenik sayısıyla çarpılmasıyla gerçekleştirilir.
Karmaşık sayıların üssü şu şekilde tanımlanır:
Bunu göstermek kolaydır
Örnekler.
1. Karmaşık sayıların toplamını bulun z 1 = 2 – Ben Ve z 2 = – 4 + 3Ben.
z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3Ben) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) Ben = –2+2Ben.
2. Karmaşık sayıların çarpımını bulun z 1 = 2 – 3Ben Ve z 2 = –4 + 5Ben.
= (2 – 3Ben) ∙ (–4 + 5Ben) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3Ben)+ 2∙5Ben– 3ben∙ 5ben = 7+22Ben.
3. Bölümü bulun z bölümden z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – Ben.
z = .
4. Denklemi çözün: , X Ve sen Î R.
(2x+y) + (x+y)ben = 2 + 3Ben.
Karmaşık sayıların eşitliği nedeniyle elimizde:
Neresi x =–1 , sen= 4.
5. Hesaplayın: Ben 2 ,Ben 3 ,Ben 4 ,Ben 5 ,Ben 6 ,Ben -1 ,Ben -2 .
6. Eğer hesaplayın.
.
7. Bir sayının tersini hesaplayın z=3-Ben.
Trigonometrik formda karmaşık sayılar
Karmaşık düzlem Kartezyen koordinatlara sahip bir düzlem denir ( x, y), eğer koordinatları olan her nokta ( a, b) karmaşık bir sayıyla ilişkilidir z = a + bi. Bu durumda apsis ekseni denir. gerçek eksen ve koordinat ekseni hayali. O zaman her karmaşık sayı a+bi düzlemde geometrik olarak nokta olarak gösterilir bir (a, b) veya vektör.
Bu nedenle noktanın konumu A(ve dolayısıyla karmaşık bir sayı z) vektörün uzunluğuna göre belirtilebilir | | = R ve açı J, vektörünün oluşturduğu | | gerçek eksenin pozitif yönü ile. Vektörün uzunluğu denir karmaşık bir sayının modülü ve | ile gösterilir z |=r ve açı J isminde karmaşık sayı argümanı ve belirlenmiş j = arg z.
Şu açıktır ki | z| ³ 0 ve | z | = 0 Û z = 0.
Şek. 2 şurası açıktır.
Karmaşık bir sayının argümanı belirsiz bir şekilde belirlenir, ancak 2 doğrulukla pk, kÎ Z.
Şek. 2 şu da açıktır ki eğer z=a+bi Ve j=argz, O
çünkü j =,günah j =, tg j = .
Eğer zÎR Ve z> 0, o zaman arg z = 0 +2pk;
Eğer z ОR Ve z< 0, o zaman arg z = p + 2pk;
Eğer z = 0,arg z tanımsız.
Argümanın ana değeri 0 aralığında belirlenir £ argz£2 P,
veya -P£ arg z £ p.
Örnekler:
1. Karmaşık sayıların modülünü bulun z 1 = 4 – 3Ben Ve z 2 = –2–2Ben.
2. Karmaşık düzlemde koşullarla tanımlanan alanları tanımlayın:
1) | z | = 5; 2) | z| £6; 3) | z – (2+Ben) | £3; 4) £6 | z – Ben| £7.
Çözümler ve cevaplar:
1) | z| = 5 Û Û - yarıçapı 5 olan ve orijin merkezli bir dairenin denklemi.
2) Merkezi orijinde olan, yarıçapı 6 olan bir daire.
3) Merkezi nokta olan 3 yarıçaplı daire z0 = 2 + Ben.
4) Merkezi bir noktada olan, yarıçapı 6 ve 7 olan dairelerle sınırlanmış bir halka z 0 = Ben.
3. Sayıların modülünü ve argümanını bulun: 1) ; 2).
1) ; A = 1, B = Þ 
,
Ş j 1 = 
.
2) z 2 = –2 – 2Ben; bir =–2, b =-2 Ş 
,
.
İpucu: Ana argümanı belirlerken karmaşık düzlemi kullanın.
Böylece: z 1 = .
2) 
, R 2 =
1, j 2 = , 
.
3) 
, R 3 = 1, j3 = , 
.
4) , R 4 = 1, j4 = , 
.
Karmaşık bir sayının trigonometrik formu
Plan
1. Karmaşık sayıların geometrik gösterimi.
2. Karmaşık sayıların trigonometrik gösterimi.
3. Trigonometrik formdaki karmaşık sayılara ilişkin eylemler.
Karmaşık sayıların geometrik gösterimi.
a) Karmaşık sayılar, aşağıdaki kurala göre bir düzlem üzerindeki noktalarla temsil edilir: A + bi = M ( A ; B ) (Şekil 1).
Resim 1
b) Karmaşık bir sayı, o noktadan başlayan bir vektörle temsil edilebilir.HAKKINDA ve belirli bir noktada son (Şekil 2).
şekil 2
Örnek 7. Karmaşık sayıları temsil eden noktaları oluşturun:1; - Ben ; - 1 + Ben ; 2 – 3 Ben (Şek. 3).
Figür 3
Karmaşık sayıların trigonometrik gösterimi.
Karmaşık sayız = A + bi yarıçap vektörü kullanılarak belirtilebilir koordinatlarla( A ; B ) (Şekil 4).
Şekil 4
Tanım . Vektör uzunluğu , karmaşık bir sayıyı temsil ediyorz , bu sayının modülü olarak adlandırılır ve gösterilir veyaR .
Herhangi bir karmaşık sayı içinz onun modülüR = | z | formül tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir .
Tanım . Gerçek eksenin pozitif yönü ile vektör arasındaki açının büyüklüğü Karmaşık bir sayıyı temsil eden bu karmaşık sayının argümanı olarak adlandırılır ve gösterilirA rg z veyaφ .
Karmaşık Sayı Argümanız = 0 tanımsız. Karmaşık Sayı Argümanız≠ 0 – çok değerli bir miktardır ve bir dönem içinde belirlenir2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Argüman z = tartışma z + 2πk , Neredetartışma z – aralıkta yer alan argümanın ana değeri(-π; π] , yani-π < tartışma z ≤ π (bazen aralığa ait bir değer argümanın ana değeri olarak alınır .
Bu formül ne zamanR =1 genellikle Moivre formülü olarak adlandırılır:
(çünkü φ + i günah φ) N = cos (nφ) + i sin (nφ), n N .
Örnek 11: Hesapla(1 + Ben ) 100 .
Karmaşık bir sayı yazalım1 + Ben trigonometrik formda.
a = 1, b = 1 .
çünkü φ = , günah φ = , φ = .
(1+i) 100 = [ (çünkü +günah işliyorum )] 100 = ( ) 100 (çünkü 100 + günahım ·100) = = 2 50 (çünkü 25π + i sin 25π) = 2 50 (çünkü π + i günah π) = - 2 50 .
4) Karmaşık bir sayının karekökünün çıkarılması.
Karmaşık bir sayının karekökünü çıkarırkenA + bi iki durumumuz var:
EğerB
>o
, O 
;
2.3. Karmaşık sayıların trigonometrik formu
Vektörün karmaşık düzlemde sayı ile belirtilmesine izin verin.
Pozitif yarı eksen Ox ile vektör arasındaki açıyı φ ile gösterelim (φ açısı saat yönünün tersine ölçülürse pozitif, aksi takdirde negatif olarak kabul edilir).
Vektörün uzunluğunu r ile gösterelim. Daha sonra . Biz de belirtiyoruz
Sıfırdan farklı bir karmaşık sayının z formunda yazılması
z karmaşık sayısının trigonometrik formu denir. r sayısına karmaşık sayı z'nin modülü denir ve φ sayısına bu karmaşık sayının argümanı denir ve Arg z ile gösterilir.
Karmaşık bir sayı yazmanın trigonometrik biçimi - (Euler formülü) - karmaşık bir sayı yazmanın üstel biçimi:
Z karmaşık sayısının sonsuz sayıda argümanı vardır: φ0, z sayısının herhangi bir argümanı ise, o zaman diğerlerinin tümü aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Karmaşık bir sayı için argüman ve trigonometrik form tanımlanmamıştır.
Dolayısıyla sıfırdan farklı bir karmaşık sayının argümanı denklem sisteminin herhangi bir çözümüdür:
(3)
Eşitsizlikleri karşılayan bir z karmaşık sayısının argümanının φ değerine ana değer denir ve arg z ile gösterilir.
Arg z ve arg z argümanları şu şekilde ilişkilidir:
, (4)
Formül (5), sistem (3)'ün bir sonucudur, bu nedenle karmaşık bir sayının tüm bağımsız değişkenleri eşitliği (5) karşılar, ancak denklem (5)'in tüm φ çözümleri, z sayısının bağımsız değişkenleri değildir.
Sıfır olmayan bir karmaşık sayının argümanının ana değeri aşağıdaki formüllere göre bulunur:
Trigonometrik formda karmaşık sayıları çarpma ve bölme formülleri aşağıdaki gibidir:
. (7)
Karmaşık bir sayıyı doğal kuvvete yükseltirken Moivre formülü kullanılır:
Karmaşık bir sayının kökü çıkarılırken aşağıdaki formül kullanılır:
, (9)
burada k=0, 1, 2, …, n-1.
Problem 54. Nerede olduğunu hesaplayın.
Bu ifadenin çözümünü karmaşık bir sayının üstel biçiminde yazalım: .
Eğer öyleyse.
Daha sonra , 
. Bu nedenle o zaman 
Ve 
, Nerede .
Cevap: , adresinde.
Problem 55. Karmaşık sayıları trigonometrik biçimde yazın:
A) ; B) ; V) ; G) ; D) ; e) 
; Ve) .
Karmaşık sayının trigonometrik formu olduğuna göre:
a) Karmaşık bir sayıda: .
,
Bu yüzden 
B) 
, Nerede ,
G) 
, Nerede ,
e) 
.
Ve) 
, A 
, O .
Bu yüzden 
Cevap: 
; 
4; 
; 
; 
; 
; 
.
Problem 56. Karmaşık bir sayının trigonometrik formunu bulun
.
İzin vermek , 
.
Daha sonra , 
, .
O zamandan beri ve 
, , sonra , ve
Bu nedenle, bu nedenle
Cevap: 
, Nerede .
Sorun 57. Karmaşık bir sayının trigonometrik formunu kullanarak aşağıdaki eylemleri gerçekleştirin: .
Sayıları hayal edelim ve 
trigonometrik formda.
1) , nerede 
Daha sonra
Ana argümanın değerini bulun:
Değerleri yerine koyalım ve ifadeye şunu elde edelim: 
2) , Nerede o zaman 
Daha sonra 
3) Bölümü bulalım
k=0, 1, 2 varsayarsak istenen kökün üç farklı değerini elde ederiz:
Eğer öyleyse 
eğer öyleyse 
eğer öyleyse 
.
Cevap: :
:
: .
Problem 58. , , , farklı karmaşık sayılar olsun ve 
. Kanıtla
bir sayı 
gerçek bir pozitif sayıdır;
b) eşitlik geçerlidir:
a) Bu karmaşık sayıları trigonometrik formda temsil edelim:
Çünkü .
Öyleymiş gibi yapalım. Daha sonra 
.
Sinüs işaretleri aralıktaki sayıları içerdiğinden son ifade pozitif bir sayıdır.
sayıdan beri gerçek ve olumlu. Aslında, eğer a ve b karmaşık sayılarsa ve gerçel ve sıfırdan büyükse, o zaman .
Ayrıca,
dolayısıyla gerekli eşitlik kanıtlanmıştır.
Problem 59. Sayıyı cebirsel formda yazın 
.
Sayıyı trigonometrik biçimde gösterelim ve cebirsel biçimini bulalım. Sahibiz 
. İçin 
sistemi alıyoruz:
Bu eşitliği ifade eder: 
.
Moivre formülünü uygularsak: ,
aldık
Verilen sayının trigonometrik formu bulunur.
Şimdi bu sayıyı cebirsel biçimde yazalım:
.
Cevap: 
.
Problem 60. Toplamı bulun , ,
Miktarı dikkate alalım
Moivre formülünü uygulayarak şunu buluruz:
Bu toplam, paydayla birlikte geometrik ilerlemenin n teriminin toplamıdır 
ve ilk üye 
.
Böyle bir ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formülü uyguladığımızda, şunu elde ederiz:
Son ifadedeki sanal kısmı ayırarak şunu buluruz:
Gerçek kısmı izole ederek aşağıdaki formülü de elde ederiz: , , .
Problem 61. Toplamı bulun:
A) 
; B) .
Newton'un üstel alma formülüne göre,
Moivre formülünü kullanarak şunları buluyoruz:
için elde edilen ifadelerin gerçek ve sanal kısımlarını eşitlersek, şunu elde ederiz:
Ve 
.
Bu formüller kompakt biçimde aşağıdaki gibi yazılabilir:
,
a sayısının tamsayı kısmı nerede.
Sorun 62. Tümünü bulun, bunun için .
Çünkü 
, ardından formülü kullanarak
, 
Kökleri çıkarmak için şunu elde ederiz: 
,
Buradan, 
, 
,
, 
.
Sayılara karşılık gelen noktalar, merkezi (0;0) noktasında olan, yarıçapı 2 olan bir daireye yazılan bir karenin köşelerinde bulunur (Şekil 30).
Cevap: , ,
, .
Problem 63. Denklemi çözün 
, .
Koşullara göre; dolayısıyla bu denklemin kökü yoktur ve dolayısıyla denkleme eşdeğerdir.
Z sayısının bu denklemin kökü olabilmesi için sayının 1 sayısının n'inci kökü olması gerekir.
Buradan orijinal denklemin eşitliklerden belirlenen kökleri olduğu sonucuna varıyoruz.
, 
Böylece, 
,
yani. 
,
Cevap: 
.
Problem 64. Karmaşık sayılar kümesindeki denklemi çözün.
Sayı bu denklemin kökü olmadığından, bu denklem için denkleme eşdeğerdir.
Yani denklem.
Bu denklemin tüm kökleri aşağıdaki formülden elde edilir (bkz. problem 62):
; 
; ; 
; 
.
Problem 65. Karmaşık düzlemde eşitsizlikleri sağlayan bir dizi nokta çizin: 
. (45.sorunu çözmenin 2. yolu)
İzin vermek 
.
Aynı modüllere sahip karmaşık sayılar, orijin merkezli bir daire üzerinde bulunan düzlemdeki noktalara karşılık gelir, dolayısıyla eşitsizlik 
orijin ve yarıçapta ortak bir merkeze sahip dairelerle sınırlanan açık bir halkanın tüm noktalarını karşılayın ve (Şekil 31). Karmaşık düzlemin bir noktasının w0 sayısına karşılık geldiğini varsayalım. Sayı 
, w0 modülünden birkaç kat daha küçük bir modüle ve w0 argümanından daha büyük bir argümana sahiptir. Geometrik açıdan bakıldığında, w1'e karşılık gelen nokta, orijinde bir merkeze ve bir katsayıya sahip bir homojenliğin yanı sıra, orijine göre saat yönünün tersine bir açıyla bir dönüş kullanılarak elde edilebilir. Bu iki dönüşümün halkanın noktalarına uygulanması sonucunda (Şekil 31), halka aynı merkezli ve yarıçapları 1 ve 2 olan dairelerle sınırlanan bir halkaya dönüşecektir (Şekil 32).
Dönüştürmek 
bir vektöre paralel transfer kullanılarak uygulanır. Merkezi noktadaki halkayı belirtilen vektöre aktararak, merkezi noktada olacak şekilde aynı boyutta bir halka elde ederiz (Şekil 22).
Bir düzlemin geometrik dönüşümleri fikrini kullanan önerilen yöntemin tanımlanması muhtemelen daha az uygundur, ancak çok zarif ve etkilidir.
Sorun 66. Eğer bulun 
.
O halde ve . İlk eşitlik şu şekli alacaktır: 
. İki karmaşık sayının eşitliği koşulundan , 'yi elde ederiz. Böylece, .
Z sayısını trigonometrik formda yazalım:
, Nerede , . Moivre formülüne göre buluyoruz.
Cevap: – 64.
Problem 67. Karmaşık bir sayı için, ve gibi tüm karmaşık sayıları bulun. 
.
Sayıyı trigonometrik formda temsil edelim:
. Buradan, . Aldığımız sayı için veya'ya eşit olabilir.
İlk durumda 
, saniyede
.
Cevap: , 
.
Problem 68. Böyle sayıların toplamını bulun. Lütfen bu numaralardan birini belirtin.
Sorunun formülasyonundan, denklemin köklerinin toplamının, köklerin kendisi hesaplanmadan bulunabileceğinin anlaşılabileceğine dikkat edin. Aslında denklemin köklerinin toplamı 
zıt işaretle alınan katsayısıdır (genelleştirilmiş Vieta teoremi), yani
Öğrenciler, okul dokümantasyonu, bu kavrama hakim olma dereceleri hakkında sonuçlar çıkarırlar. Matematiksel düşünmenin özelliklerinin ve karmaşık sayı kavramının oluşum sürecinin incelenmesini özetler. Yöntemlerin açıklaması. Teşhis: Aşama I. Görüşme 10. sınıfta cebir ve geometri dersi veren bir matematik öğretmeniyle gerçekleştirilmiştir. Konuşma, başlangıcından bu yana bir süre geçtikten sonra gerçekleşti...
Kişinin kendi davranışının değerlendirilmesini de içeren Rezonans" (!). 4. Kişinin durumu (şüpheler) anlayışının eleştirel değerlendirmesi. 5. Son olarak, hukuk psikolojisinden gelen tavsiyelerin kullanılması (avukat psikolojik durumu dikkate alır) gerçekleştirilen mesleki eylemlerin yönleri - mesleki psikolojik hazırlık). Şimdi yasal gerçeklerin psikolojik analizini ele alalım...
Trigonometrik ikame matematiği ve geliştirilen öğretim metodolojisinin etkinliğinin test edilmesi. Çalışma aşamaları: 1. İleri matematik sınıflarındaki öğrencilerle “Cebirsel problemlerin çözümü için trigonometrik ikamelerin uygulanması” konusunda isteğe bağlı bir dersin geliştirilmesi. 2. Geliştirilen seçmeli dersin yürütülmesi. 3. Tanı testinin yapılması...
Bilişsel görevler yalnızca mevcut öğretim yardımcılarını tamamlamayı amaçlamaktadır ve eğitim sürecinin tüm geleneksel araçları ve unsurlarıyla uygun bir kombinasyon halinde olmalıdır. Beşeri bilimleri öğretmedeki eğitim görevleri ile matematik problemlerinden kesin olanlar arasındaki fark, yalnızca tarihsel problemlerde çözümlerini zorlaştıran formüllerin, katı algoritmaların vb. bulunmamasıdır. ...
