Üçgen, aynı düz çizgi üzerinde yer almayan noktaları birleştiren üç düz çizgiden oluşan geometrik bir şekildir. Çizgilerin bağlantı noktaları, Latin harfleriyle (örneğin A, B, C) gösterilen üçgenin köşeleridir. Bir üçgenin birbirine bağlanan düz çizgilerine bölümler denir ve bunlar genellikle Latin harfleriyle de gösterilir. Aşağıdaki üçgen türleri ayırt edilir:
- Dikdörtgen.
- Geniş.
- Akut açısal.
- Çok yönlü.
- Eşkenar.
- İkizkenar.
Bir üçgenin alanını hesaplamak için genel formüller
Uzunluk ve yüksekliğe dayalı bir üçgenin alanı için formül
S= a*h/2,
burada a, alanı bulunması gereken üçgenin kenar uzunluğu, h ise tabana çizilen yüksekliğin uzunluğudur.
Heron'un formülü
S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
burada √ karekök, p üçgenin yarı çevresi, a,b,c üçgenin her bir tarafının uzunluğudur. Bir üçgenin yarı çevresi p=(a+b+c)/2 formülü kullanılarak hesaplanabilir.
Segmentin açısına ve uzunluğuna dayalı bir üçgenin alanı için formül
S = (a*b*sin(α))/2,
burada b,c üçgenin kenarlarının uzunluğudur, sin(α) iki kenar arasındaki açının sinüsüdür.
Yazılı dairenin yarıçapı ve üç tarafı verilen bir üçgenin alanı için formül
S=p*r,
p, alanı bulunması gereken üçgenin yarı çevresi, r ise bu üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapıdır.
Üç kenara dayalı bir üçgenin alanı ve etrafını çevreleyen dairenin yarıçapı için formül
S= (a*b*c)/4*R,
burada a,b,c üçgenin her bir tarafının uzunluğudur, R ise üçgenin etrafını çevreleyen dairenin yarıçapıdır.
Noktaların Kartezyen koordinatlarını kullanan üçgenin alanı formülü
Noktaların kartezyen koordinatları xOy sistemindeki koordinatlardır; burada x apsis, y ise ordinattır. Bir düzlemdeki Kartezyen koordinat sistemi xOy, ortak orijini O noktasında olan, karşılıklı dik Ox ve Oy sayısal eksenleridir. Bu düzlemdeki noktaların koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2) şeklinde verilirse ) ve C(x3, y3 ) ise, iki vektörün vektör çarpımından elde edilen aşağıdaki formülü kullanarak üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
nerede || modül anlamına gelir.
Dik üçgenin alanı nasıl bulunur
Dik üçgen, bir açısı 90 derece olan üçgendir. Bir üçgenin yalnızca bir tane böyle açısı olabilir.
İki taraftaki dik üçgenin alanı için formül
S= a*b/2,
burada a,b bacakların uzunluğudur. Bacaklar dik açıya bitişik kenarlardır.
Hipotenüs ve dar açıya dayalı dik üçgenin alanı formülü
S = a*b*sin(α)/ 2,
burada a, b üçgenin bacaklarıdır ve sin(α), a, b doğrularının kesiştiği açının sinüsüdür.
Yan ve karşı açıya göre dik üçgenin alanı formülü
S = a*b/2*tg(β),
burada a, b üçgenin bacaklarıdır, tan(β), a, b bacaklarının birleştiği açının tanjantıdır.
İkizkenar üçgenin alanı nasıl hesaplanır
İkizkenar üçgen, iki eşit kenarı olan bir üçgendir. Bu taraflara kenar, diğer tarafa ise taban denir. İkizkenar üçgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki formüllerden birini kullanabilirsiniz.
İkizkenar üçgenin alanını hesaplamak için temel formül
S=h*c/2,
burada c üçgenin tabanıdır, h ise üçgenin tabana indirilen yüksekliğidir.
Kenar ve tabana dayalı ikizkenar üçgen formülü
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
burada c üçgenin tabanıdır, a ise ikizkenar üçgenin kenarlarından birinin boyutudur.
Eşkenar üçgenin alanı nasıl bulunur
Eşkenar üçgen, tüm kenarların eşit olduğu bir üçgendir. Eşkenar üçgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:
S = (√3*a*a)/4,
burada a eşkenar üçgenin kenar uzunluğudur.
Yukarıdaki formüller üçgenin gerekli alanını hesaplamanıza izin verecektir. Üçgenin alanını hesaplamak için üçgenin türünü ve hesaplama için kullanılabilecek mevcut verileri dikkate almanız gerektiğini unutmamak önemlidir.
Bazen hayatta, uzun süredir unutulmuş okul bilgisini aramak için hafızanızı araştırmanız gereken durumlar vardır. Örneğin, üçgen şeklindeki bir arsanın alanını belirlemeniz gerekiyor veya bir apartman dairesinde veya özel evde başka bir yenileme zamanı geldi ve yüzey için ne kadar malzemeye ihtiyaç duyulacağını hesaplamanız gerekiyor. üçgen bir şekil. Böyle bir problemi birkaç dakika içinde çözebileceğiniz bir zaman vardı, ama şimdi umutsuzca bir üçgenin alanını nasıl belirleyeceğinizi hatırlamaya mı çalışıyorsunuz?
Endişelenmeyin! Sonuçta, bir kişinin beyninin uzun süredir kullanılmayan bilgiyi bir yere uzak bir köşeye aktarmaya karar vermesi oldukça normaldir ve bazen onu çıkarmak o kadar kolay değildir. Böyle bir sorunu çözmek için unutulmuş okul bilgilerini aramakla uğraşmanıza gerek kalmaması için bu makale, üçgenin gerekli alanını bulmayı kolaylaştıran çeşitli yöntemler içermektedir.
Bir üçgenin mümkün olan en az kenar sayısıyla sınırlı bir çokgen türü olduğu iyi bilinmektedir. Prensip olarak, herhangi bir çokgen, köşelerini kenarlarıyla kesişmeyen bölümlere bağlayarak birkaç üçgene bölünebilir. Bu nedenle üçgeni bilerek neredeyse her şeklin alanını hesaplayabilirsiniz.
Hayatta meydana gelebilecek tüm olası üçgenler arasında aşağıdaki özel türler ayırt edilebilir: ve dikdörtgen.
Bir üçgenin alanını hesaplamanın en kolay yolu, açılarından birinin dik olması, yani dik üçgen olması durumundadır. Yarım dikdörtgen olduğunu görmek kolaydır. Dolayısıyla alanı birbirine dik açı oluşturan kenarların çarpımının yarısına eşittir.
Bir üçgenin bir köşesinden karşı kenara indirilen yüksekliğini ve taban denilen bu kenarın uzunluğunu bilirsek alan, yükseklik ile tabanın çarpımının yarısı kadar hesaplanır. Bu, aşağıdaki formül kullanılarak yazılmıştır:
S = 1/2*b*h, burada
S üçgenin gerekli alanıdır;
b, h - sırasıyla üçgenin yüksekliği ve tabanı.
Bir ikizkenar üçgenin alanını hesaplamak çok kolaydır çünkü yükseklik karşı kenarı ikiye böler ve kolaylıkla ölçülebilir. Alanın belirlenmesi durumunda dik açı oluşturan kenarlardan birinin uzunluğunun yükseklik olarak alınması uygun olur.
Bütün bunlar elbette güzel ama bir üçgenin açılarından birinin doğru olup olmadığı nasıl belirlenecek? Figürümüzün boyutu küçükse inşaat açısı, çizim üçgeni, kartpostal veya dikdörtgen şekilli başka bir nesne kullanabiliriz.
Peki ya üçgen bir arsamız varsa? Bu durumda şu şekilde ilerleyin: bir tarafta varsayılan dik açının tepesinden itibaren 3'ün katları olan mesafeyi (30 cm, 90 cm, 3 m) sayın ve diğer tarafta aynı şekilde 4'ün katları olan mesafeyi ölçün. orantı (40 cm, 160 cm, 4 m). Şimdi bu iki parçanın uç noktaları arasındaki mesafeyi ölçmeniz gerekiyor. Sonuç 5'in katı ise (50 cm, 250 cm, 5 m) açının doğru olduğunu söyleyebiliriz.
Şeklimizin üç tarafının her birinin uzunluğu biliniyorsa, üçgenin alanı Heron formülü kullanılarak belirlenebilir. Daha basit bir forma sahip olması için yarı çevre adı verilen yeni bir değer kullanılır. Bu, üçgenimizin tüm kenarlarının toplamının ikiye bölünmesidir. Yarı çevre hesaplandıktan sonra aşağıdaki formülü kullanarak alanı belirlemeye başlayabilirsiniz:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))), burada
sqrt - karekök;
p - yarı çevre değeri (p = (a+b+c)/2);
a, b, c - üçgenin kenarları (yanları).
Peki ya üçgenin şekli düzensizse? Burada iki olası yol var. Bunlardan ilki, böyle bir rakamı, alanlarının toplamı ayrı ayrı hesaplanıp daha sonra eklenen iki dik üçgene bölmeye çalışmaktır. Veya iki kenar arasındaki açı ve bu kenarların boyutu biliniyorsa aşağıdaki formülü uygulayın:
S = 0,5 * ab * sinC, burada
a,b - üçgenin kenarları;
c bu kenarlar arasındaki açının boyutudur.
İkinci durum pratikte nadirdir, ancak yine de hayatta her şey mümkündür, bu nedenle yukarıdaki formül gereksiz olmayacaktır. Hesaplamalarınızda iyi şanslar!
Alan kavramı
Herhangi bir geometrik şeklin, özellikle bir üçgenin alanı kavramı, kare gibi bir şekil ile ilişkilendirilecektir. Herhangi bir geometrik şeklin birim alanı için, kenarı bire eşit olan karenin alanını alacağız. Bütünlüğü sağlamak için geometrik şekillerin alanları kavramının iki temel özelliğini hatırlayalım.
Özellik 1: Geometrik şekillerin eşit olması durumunda alanları da eşittir.
Özellik 2: Herhangi bir rakam birkaç rakama bölünebilir. Ayrıca orijinal şeklin alanı, onu oluşturan tüm şekillerin alanlarının toplamına eşittir.
Bir örneğe bakalım.
Örnek 1
Açıkçası, üçgenin kenarlarından biri bir dikdörtgenin köşegenidir, bir tarafının uzunluğu 5$'dır (çünkü $5$ hücreleri vardır) ve diğer tarafı $6$'dır (çünkü $6$ hücreleri vardır). Dolayısıyla bu üçgenin alanı böyle bir dikdörtgenin yarısına eşit olacaktır. Dikdörtgenin alanı
O zaman üçgenin alanı eşittir
Cevap: 15$.
Daha sonra, üçgenlerin alanlarını bulmak için çeşitli yöntemleri ele alacağız; yani yüksekliği ve tabanı kullanarak, Heron formülünü ve eşkenar üçgenin alanını kullanarak.
Yüksekliğini ve tabanını kullanarak bir üçgenin alanı nasıl bulunur?
Teorem 1
Bir üçgenin alanı, bir kenar uzunluğu ile o kenar yüksekliğinin çarpımının yarısı kadar bulunabilir.
Matematiksel olarak şöyle görünüyor
$S=\frac(1)(2)αh$
burada $a$ kenarın uzunluğu, $h$ ona çizilen yüksekliktir.
Kanıt.
$AC=α$ olan bir $ABC$ üçgenini düşünün. Bu tarafa $h$'a eşit olan $BH$ yüksekliği çizilir. Şekil 2'deki gibi $AXYC$ karesine kadar oluşturalım.
$AXBH$ dikdörtgeninin alanı $h\cdot AH$ ve $HBYC$ dikdörtgeninin alanı $h\cdot HC$'dir. Daha sonra
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Bu nedenle, özellik 2'ye göre üçgenin gerekli alanı şuna eşittir:
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Teorem kanıtlandı.
Örnek 2
Hücrenin alanı bire eşitse aşağıdaki şekildeki üçgenin alanını bulun
Bu üçgenin tabanı $9$'a eşittir (çünkü $9$, $9$'ın karesidir). Yükseklik de 9$. O zaman Teorem 1'e göre şunu elde ederiz:
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Cevap: 40,5$.
Heron'un formülü
Teorem 2
Bize $α$, $β$ ve $γ$ üçgeninin üç kenarı verilirse, alanı aşağıdaki gibi bulunabilir.
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
burada $ρ$ bu üçgenin yarı çevresi anlamına geliyor.
Kanıt.
Aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun:
Pisagor teoremine göre $ABH$ üçgeninden şunu elde ederiz:
Pisagor teoremine göre $CBH$ üçgeninden şunu elde ederiz:
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Bu iki ilişkiden eşitliği elde ederiz
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
$ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ olduğundan, $α+β+γ=2ρ$ olur, bu şu anlama gelir:
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Teorem 1'e göre şunu elde ederiz:
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Talimatlar
1. İki bacak için S = a * b/2, a, b – bacaklar,
Alanı hesaplamak için ikinci seçenek, kotanjantlar yerine bilinen açıların sinüslerini kullanır. Bu versiyonda kare bilinen kenarın uzunluğunun karesinin her bir açının sinüsüyle çarpımı ve bu açıların çift sinüsüne bölünmesine eşittir: S = A*A*sin(α)*sin(β)/(2 *sin(α + β)). Örneğin, bir kenarı bilinen 15 cm olan ve ona komşu olan aynı üçgen için köşeler 40° ve 60°'de alan hesaplaması şu şekilde görünecektir: (15*15*sin(40)*sin(60))/(2*sin(40+60)) = 225*0,74511316*(-0,304810621) /( 2*(-0,506365641)) = -51,1016411/-1,01273128 = 50,4592305 santimetre kare.
Bir üçgenin alanını hesaplamanın versiyonu açıları içerir. Alan, bilinen kenarın uzunluğunun karesinin her bir açının teğetleriyle çarpımı ve bu açıların teğetlerinin toplamının iki katına bölünmesine eşit olacaktır: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). Örneğin, önceki adımlarda kullanılan, bir kenarı 15 cm olan ve bitişik olan üçgen için köşeler 40° ve 60°'de alan hesaplaması şu şekilde görünecektir: (15*15*tg(40)*tg(60))/(2*(tg(40)+tg(60)) = (225*( -1,11721493 )*0,320040389)/(2*(-1,11721493+0,320040389)) = -80,4496277/-1,59434908 = 50,4592305 santimetre kare.
Üçgen, üç köşesi ve üç kenarı olan en basit çokgendir. Açılarından biri dik olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgenler için genel üçgenlere ilişkin tüm formüller geçerlidir. Ancak dik açının özellikleri dikkate alınarak değiştirilebilirler.
Talimatlar
Alan bulmak için temel üçgen taban boyunca şu şekilde: S = 1/2 * b * h, burada b kenardır üçgen, ve h – üçgen. Yükseklik üçgen köşeden çizilen bir diktir üçgen tersini içeren satıra. Dikdörtgen için üçgen k b yüksekliği a ayağıyla çakışıyor. Bu şekilde alanı hesaplamak için formülü elde edeceksiniz. üçgen açılı: S = 1/2 * a * b.
Dikkate almak. Dikdörtgensel a = 3, b = 4 olsun. Sonra S = 1/2 * 3 * 4 = 6. Hesaplayın kare aynısı üçgen, ama şimdi sadece bir tarafı bilinsin, b = 4. Ve α açısı, tan α = 3/4 de biliniyor. Daha sonra trigonometrik fonksiyonun tanjant α ifadesinden a ayağını ifade edin: tg α = a/b => a = b * tan α. Dikdörtgenin alanını hesaplamak için bu değeri formülde değiştirin üçgen ve şunu elde ederiz: S = 1/2 * a * b = 1/2 *b^2 * tan α = 1/2 * 16 * 3/4 = 6.
Özel bir durum olarak ikizkenar dikdörtgen alanın hesaplanmasını düşünün üçgen. İkizkenar üçgen, iki kenarın birbirine eşit olduğu bir üçgendir. Dikdörtgen olması durumunda üçgen a = b çıkıyor. Bu durum için Pisagor teoremini yazın: c^2 = a^2 + b^2 = 2 * a^2. Daha sonra bu değeri alan hesaplama formülünde şu şekilde değiştirin: S = 1/2 * a * b = 1/2 * a^2 = 1/2 * (c^2 / 2) = c^2 / 4 .
Yazılı daire r'nin ve çevrel daire R'nin yarıçapları biliniyorsa, o zaman kare dikdörtgen üçgen S = r^2 + 2 * r * R formülüyle hesaplanır. Üçgenin içindeki yazılı dairenin yarıçapı r = 1, çevreli dairenin yarıçapı olsun üçgen daire R = 5/2. O zaman S = 1 + 2 * 1 * 5/2 = 6.
Konuyla ilgili video
Faydalı tavsiyeler
Bir dik üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı hipotenüsün yarısına eşittir: R = c / 2. Bir dik üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı r = (a + b – c) / 2 formülüyle bulunur.
Bu, üç noktayı çiftler halinde birbirine bağlayan üç parçanın düzlemin bir bölümünü sınırladığı en basit geometrik şekillerden biridir. Bir üçgenin bazı parametrelerinin (kenar uzunlukları, açılar, yazılı veya çevrelenmiş dairelerin yarıçapları, yükseklik vb.) Çeşitli kombinasyonlarda bilgisi, kişinin düzlemin bu sınırlı bölümünün alanını hesaplamasına olanak tanır.
Talimatlar
Bir üçgenin iki kenarının (A ve B) uzunlukları ve açılarının büyüklüğü (γ) biliniyorsa, üçgenin alanı (S), kenarların uzunlukları ile üçgenin uzunluğunun çarpımının yarısına eşit olacaktır. bilinen açının sinüsü: S=A∗B∗sin(γ)/2.
İsteğe bağlı bir üçgendeki üç tarafın (A, B ve C) uzunlukları biliniyorsa, alanını (S) hesaplamak için ek bir değişken - yarı çevre (p) eklemek daha uygundur. Bu değişken tüm kenar uzunluklarının toplamının yarısı kadar hesaplanır: p=(A+B+C)/2. Bu değişkeni kullanarak yarı çevrenin bu değişkene ve kenarların uzunluğuna çarpımının karekökü olarak tanımlanabilir: S=√(p∗(p-A)∗(p-B)∗(p-C)).
Tüm kenarların (A, B ve C) uzunluklarına ek olarak, keyfi bir üçgenin yakınında çevrelenen bir dairenin yarıçapının (R) uzunluğu da biliniyorsa, o zaman yarı çevre olmadan da yapabilirsiniz - alan (S), tüm kenarların uzunluklarının çarpımının dairenin dörtlü yarıçapına oranına eşit olacaktır: S=A ∗B∗C/(4∗R).
Bir üçgenin tüm açılarının değerleri (α, β ve γ) ve kenarlarından birinin uzunluğu (A) biliniyorsa, alan (S), üçgenin çarpımının oranına eşit olacaktır. bilinen kenarın uzunluğunun karesi, ona bitişik iki açının sinüsü ile karşıt açının çift sinüsü: S=A²∗sin(β)∗sin(γ)/(2∗sin(α)).
İsteğe bağlı bir üçgenin (α, β ve γ) tüm açılarının değerleri ve çevrelenen dairenin yarıçapı (R) biliniyorsa, alan (S) yarıçapın karesinin iki katına eşit olacaktır ve tüm açıların sinüsleri: S=2∗R²∗sin(α)∗ sin(β)∗sin(γ).
Konuyla ilgili video
Bir üçgenin hacmini bulmak gerçekten önemsiz olmayan bir iştir. Gerçek şu ki, bir üçgen iki boyutlu bir şekildir, yani. tamamen tek bir düzlemde yer alır, bu da hacminin olmadığı anlamına gelir. Olmayan bir şeyi elbette bulamazsınız. Ama pes etmeyelim! Şu varsayımı kabul edebiliriz: İki boyutlu bir şeklin hacmi onun alanıdır. Üçgenin alanını arayacağız.
İhtiyacın olacak
- kağıt, kalem, cetvel, hesap makinesi
Talimatlar
Bir cetvel ve kalem kullanarak bir kağıt parçası üzerine çizim yapın. Üçgeni dikkatlice inceleyerek, bir düzlem üzerine çizildiği için gerçekte bir üçgenin olmadığından emin olabilirsiniz. Üçgenin kenarlarını etiketleyin: bir kenar "a", diğer kenar "b" ve üçüncü kenar "c" olsun. Üçgenin köşelerini "A", "B" ve "C" harfleriyle etiketleyin.
Üçgenin herhangi bir kenarını cetvelle ölçün ve sonucu yazın. Bundan sonra, ölçülen tarafa dik olanı karşısındaki tepe noktasından geri yükleyin, böyle bir dik üçgenin yüksekliği olacaktır. Şekilde gösterilen durumda, "h" dikmesi "A" köşesinden "c" kenarına geri getirilir. Ortaya çıkan yüksekliği bir cetvelle ölçün ve ölçüm sonucunu yazın.
Tam dikliği geri getirmeniz zor olabilir. Bu durumda farklı bir formül kullanmalısınız. Üçgenin tüm kenarlarını bir cetvelle ölçün. Bundan sonra, kenarların elde edilen uzunluklarını toplayıp toplamlarını ikiye bölerek “p” üçgeninin yarı çevresini hesaplayın. Yarı çevrenin değeri elinizin altında olduğundan Heron formülünü kullanabilirsiniz. Bunu yapmak için aşağıdakilerin karekökünü almanız gerekir: p(p-a)(p-b)(p-c).
Üçgenin gerekli alanını elde ettiniz. Üçgenin hacmini bulma sorunu çözülmedi ancak yukarıda da belirtildiği gibi hacim çözülmedi. Üç boyutlu dünyada aslında üçgen olan bir hacim bulabilirsiniz. Orijinal üçgenimizin üç boyutlu bir piramit haline geldiğini hayal edersek, böyle bir piramidin hacmi, tabanının uzunluğunun elde ettiğimiz üçgenin alanıyla çarpımı olacaktır.
lütfen aklınızda bulundurun
Ne kadar dikkatli ölçerseniz hesaplamalarınız o kadar doğru olur.
Kaynaklar:
- Hesap Makinesi “Her şeyden her şeye” - referans değerleri için bir portal
- üçgenin hacmi
Üçgen, üç kenar ve üç köşeden oluşan en basit geometrik şekildir. Basitliği nedeniyle üçgen eski çağlardan beri çeşitli ölçümler yapmak için kullanılmıştır ve bugün bu şekil pratik ve günlük sorunların çözümünde yararlı olabilir.
Bir üçgenin özellikleri
Şekil eski çağlardan beri hesaplamalar için kullanılmaktadır; örneğin, kadastrocular ve gökbilimciler alanları ve mesafeleri hesaplamak için üçgenlerin özelliklerini kullanırlar. Herhangi bir n-gon'un alanını bu şeklin alanı aracılığıyla ifade etmek kolaydır ve bu özellik eski bilim adamları tarafından çokgenlerin alanları için formüller türetmek için kullanılmıştır. Üçgenlerle, özellikle de dik üçgenle sürekli çalışma, tüm matematik dalının - trigonometrinin temeli haline geldi.
Üçgen geometrisi
Geometrik şeklin özellikleri eski çağlardan beri araştırılmaktadır: Üçgenle ilgili en eski bilgi 4.000 yıl öncesine ait Mısır papirüslerinde bulunmuştur. Daha sonra şekil Antik Yunan'da incelenmiş ve üçgen geometrisine en büyük katkılar Öklid, Pisagor ve Heron tarafından yapılmıştır. Üçgenin incelenmesi hiç durmadı ve 18. yüzyılda Leonhard Euler, bir şeklin diklik merkezi ve Euler dairesi kavramını ortaya attı. 19. ve 20. yüzyılların başında, üçgen hakkında kesinlikle her şeyin bilindiği bir zamanda, Frank Morley açı trisektörleri teoremini formüle etti ve Waclaw Sierpinski fraktal üçgeni önerdi.
Okul geometri derslerinden bize tanıdık gelen birkaç tür düz üçgen vardır:
- akut - şeklin tüm köşeleri akut;
- geniş - şeklin bir geniş açısı vardır (90 dereceden fazla);
- dikdörtgen - şekil 90 dereceye eşit bir dik açı içerir;
- ikizkenar - iki eşit kenarı olan bir üçgen;
- eşkenar - tüm kenarları eşit olan bir üçgen.
- Gerçek hayatta her türlü üçgen vardır ve bazı durumlarda geometrik bir şeklin alanını hesaplamamız gerekebilir.
Bir üçgenin alanı
Alan, bir şeklin düzlemin ne kadarını kapsadığına dair bir tahmindir. Bir üçgenin alanı, yazılı veya çevrelenmiş dairenin kenarlarını, yüksekliğini, açılarını, yarıçapını kullanarak, ayrıca Heron formülünü kullanarak veya düzlemi sınırlayan çizgiler boyunca çift katlı integrali hesaplayarak altı şekilde bulunabilir. Bir üçgenin alanını hesaplamak için en basit formül:
a üçgenin kenarı, h ise yüksekliğidir.
Ancak pratikte geometrik bir şeklin yüksekliğini bulmak bizim için her zaman uygun değildir. Hesap makinemizin algoritması aşağıdakileri bilerek alanı hesaplamanıza olanak tanır:
- üç taraf;
- iki kenar ve aralarındaki açı;
- bir tarafı ve iki köşesi.
Üç kenar boyunca alanı belirlemek için Heron formülünü kullanırız:
S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c))
burada p üçgenin yarı çevresidir.
İki taraftaki alan ve bir açı klasik formül kullanılarak hesaplanır:
S = a × b × sin(alfa),
burada alfa, a ve b kenarları arasındaki açıdır.
Alanı bir kenar ve iki açı cinsinden belirlemek için şu ilişkiyi kullanırız:
a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)
Basit bir orantı kullanarak ikinci kenarın uzunluğunu belirleriz ve ardından S = a × b × sin(alfa) formülünü kullanarak alanı hesaplarız. Bu algoritma tamamen otomatiktir ve yalnızca belirtilen değişkenleri girmeniz ve sonucu almanız gerekir. Birkaç örneğe bakalım.
Hayattan örnekler
Kaldırım levhaları
Diyelim ki zemini üçgen fayanslarla döşemek istiyorsunuz ve ihtiyaç duyulan malzeme miktarını belirlemek için bir fayansın alanını ve zeminin alanını bilmeniz gerekiyor. Boyutları a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm olan bir karo kullanarak 6 metrekarelik bir yüzeyi işlemeniz gerektiğini varsayalım. Açıkçası, bir üçgenin alanını hesaplamak için hesap makinesi Heron formülünü kullanıyor ve şunu veriyor: sonuç:
Böylece bir karo elemanının alanı 0,021 metrekare olacak ve zemin iyileştirmesi için 6/0,021 = 285 üçgene ihtiyacınız olacak. 20, 21 ve 29 sayıları Pisagor üçlüsünü oluşturur. Doğru, hesap makinemiz üçgenin tüm açılarını da hesapladı ve gama açısı tam olarak 90 derece.
Okul görevi
Bir okul probleminde, a tarafının = 5 cm olduğunu ve alfa ve beta açılarının sırasıyla 30 ve 50 derece olduğunu bilerek bir üçgenin alanını bulmanız gerekir. Bu sorunu manuel olarak çözmek için önce en boy oranının ve karşıt açıların sinüslerinin oranını kullanarak b tarafının değerini buluruz ve ardından S = a × b × sin(alfa) basit formülünü kullanarak alanı belirleriz. Zamandan tasarruf edelim, verileri hesap makinesi formuna girelim ve anında yanıt alalım
Hesap makinesini kullanırken açıları ve kenarları doğru belirtmek önemlidir, aksi takdirde sonuç yanlış olacaktır.
Çözüm
Üçgen, hem gerçek hayatta hem de soyut hesaplamalarda bulunan eşsiz bir figürdür. Her türlü üçgenin alanını belirlemek için çevrimiçi hesap makinemizi kullanın.
