Aşağıdaki karmaşık sayı biçimleri mevcuttur: cebirsel(x+iy), trigonometrik(r(cos+isin 
)),
gösterge niteliğinde(ben miyim 
).
Herhangi bir z=x+iy karmaşık sayısı XOU düzleminde A(x,y) noktası olarak temsil edilebilir.
Karmaşık sayıların gösterildiği düzleme karmaşık değişken z'nin düzlemi denir (z sembolünü düzleme koyarız).
OX ekseni gerçek eksendir, yani. gerçek sayıları içerir. OU, hayali sayılara sahip hayali bir eksendir.
x+iy- karmaşık bir sayıyı yazmanın cebirsel biçimi.
Karmaşık bir sayının trigonometrik biçimini türetelim.
Elde edilen değerleri başlangıç formuna koyarız: , yani.
r(çünkü
+isin
)
- karmaşık bir sayının trigonometrik şekli.
Karmaşık bir sayıyı yazmanın üstel biçimi Euler formülüne dayanmaktadır: 
,Daha sonra 
z= tekrar Ben 
- karmaşık bir sayıyı yazmanın üstel biçimi.
Karmaşık sayılar üzerinde işlemler.
1. ek. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);
2 . çıkarma. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);
3. çarpma işlemi. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);
4
. bölüm. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]= 
Yalnızca sanal birimin işareti farklı olan iki karmaşık sayı, yani. z=x+iy (z=x-iy)'ye eşlenik denir.
İş.
z1=r(çünkü 
+isin 
); z2=r(çünkü 
+isin 
).
Karmaşık sayıların z1*z2 çarpımı bulunur: , yani. ürünün modülü, modüllerin çarpımına eşittir ve ürünün argümanı, faktörlerin argümanlarının toplamına eşittir.
;
;
Özel.
Karmaşık sayılar trigonometrik biçimde verilirse.
Karmaşık sayılar üstel biçimde verilirse.
Üs alma.
1. Verilen karmaşık sayı cebirsel biçim.
z=x+iy ise z n şu şekilde bulunur: Newton'un binom formülü:
- m'nin n elemanının kombinasyon sayısı (m'den n elemanın alınabileceği yolların sayısı).
; n!=1*2*…*n; 0!=1; 
.
Karmaşık sayılar için başvurun.
Ortaya çıkan ifadede i güçlerini değerleriyle değiştirmeniz gerekir:
i 0 =1 Dolayısıyla genel durumda şunu elde ederiz: i 4k =1
ben 1 =i ben 4k+1 =i
ben 2 =-1 ben 4k+2 =-1
ben 3 =-i ben 4k+3 =-i
Örnek.
ben 31 = ben 28 i 3 =-i
i 1063 = i 1062 i=i
2. trigonometrik biçim.
z=r(çünkü 
+isin 
), O
- Moivre'nin formülü.
Burada n “+” veya “-” (tamsayı) olabilir.
3. Karmaşık bir sayı verilirse gösterge niteliğinde biçim:
Kök çıkarma.
Denklemi düşünün: 
.
Çözümü z karmaşık sayısının n'inci kökü olacaktır: 
.
Bir z karmaşık sayısının n'inci kökü tam olarak n çözüme (değere) sahiptir. Bir reel sayının n'inci kökünün tek bir çözümü vardır. Karmaşık olanlarda n tane çözüm vardır.
Karmaşık bir sayı verilirse trigonometrik biçim:
z=r(çünkü 
+isin 
), o zaman z'nin n'inci kökü aşağıdaki formülle bulunur:
, burada k=0,1…n-1.
Satırlar. Sayı serisi.
a değişkeninin sırasıyla a 1, a 2, a 3,…, a n değerlerini almasına izin verin. Böyle yeniden numaralandırılmış bir sayı kümesine dizi denir. Sonsuzdur.
Bir sayı serisi a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= ifadesidir. 
. a 1, a 2, a 3,... ve n sayıları serinin üyeleridir.
Örneğin.
ve 1 serinin ilk terimidir.
ve n, serinin n'inci veya ortak terimidir.
Bir serinin n'inci (serinin ortak terimi) biliniyorsa verilmiş olduğu kabul edilir.
Bir sayı serisinin sonsuz sayıda terimi vardır.
Sayılayıcılar – aritmetik ilerleme (1,3,5,7…).
N'inci terim a n =a 1 +d(n-1) formülüyle bulunur; d=a n -a n-1 .
Payda - geometrik ilerleme. b n =b 1 q n-1 ; 
.
Serinin ilk n teriminin toplamını düşünün ve bunu Sn olarak gösterin.
Sn=a1+a2+…+a n.
Sn serinin n'inci kısmi toplamıdır.
Sınırı düşünün: 
S serinin toplamıdır.
Sıra yakınsak , eğer bu limit sonluysa (sonlu bir S limiti mevcuttur).
Sıra farklı eğer bu sınır sonsuzsa.
Gelecekte görevimiz hangi sırayı belirlemektir.
En basit fakat en yaygın serilerden biri geometrik ilerlemedir.
, C=sabit.
Geometrik ilerlemeyakınsak
yakın, Eğer 
ve eğer farklıysa 
.
Ayrıca bulundu harmonik serisi(sıra 
). Bu diziler farklı
.
BİLET 1
Akılcı sayılar – p/q biçiminde yazılan sayılar; burada q bir doğal sayıdır. sayıdır ve p bir tamsayıdır.
p1q2=p2q1 ise a=p1/q1 ve b=p2/q2 sayılarına eşit denir ve p2q1 ve a>b eğer p1q2 ise
BİLET 2
Karışık sayılar. Karışık sayılar
Cebirsel bir denklem şu formdaki bir denklemdir: P n ( X) = 0, burada P n ( X) - polinom N- ah derece. Birkaç gerçek sayı X Ve en Hangisinin birinci, hangisinin ikinci sayılacağı belirtilirse sıralı diyelim. Sıralı çift gösterimi: ( X, sen). Karmaşık sayı, rastgele sıralanmış bir gerçek sayı çiftidir. z = (X, sen)-karmaşık sayı.
X-gerçek kısım z, sen- sanal kısım z. Eğer X= 0 ve sen= 0 ise z= 0. z 1 = (x 1 , y 1) ve z 2 = (x 2 , y 2) olduğunu düşünün.
Tanım 1. z 1 = z 2 eğer x 1 = x 2 ve y 1 = y 2 ise.
Kavramlar > ve< для комплексных чисел не вводятся.
Karmaşık sayıların geometrik gösterimi ve trigonometrik formu.
M( X, sen) « z = X + ben.
½ OM½ = r =½ z½ = .(resim)
r'ye karmaşık bir sayının modülü denir z.
j'ye karmaşık bir sayının argümanı denir z. ± 2p doğrulukla belirlenir N.
X= rcosj, sen= rsinj.
z= X+ ben= r(cosj + Ben sinj) karmaşık sayıların trigonometrik formudur.
Açıklama 3.
= (çünkü + Ben günah),
= (çünkü + Ben günah), o zaman
= (çünkü( + ) + Ben günah(+)),
= (çünkü( - )+ Ben sin( - )) ¹0'da.
Açıklama 4.
Eğer z=r(cosj+ Ben sinj), sonra "doğal N:
= (çünkü nj + Ben günah nj),
BİLET 3
İzin vermek X- en az bir sayı içeren sayısal küme (boş olmayan küme).
XÎ X- X içinde bulunan X. ; XÏ X- X ait değil X.
Tanım: Bir demet X bir sayı varsa yukarıdan (aşağıdan) sınırlı olarak adlandırılır M(M) öyle ki herhangi biri için X Î X eşitsizlik geçerli X £ M (X ³ M), sayı ise M kümenin üst (alt) sınırı denir X. Bir demet X$ ise yukarıda sınırlandığı söylenir M, " X Î X: X £ M. Tanım yukarıdan sınırsız set. Bir demet X eğer "yukarıdan sınırsız olduğu söylenir" M $ X Î X: X> M. Tanım bir demet X yukarıdan ve aşağıdan sınırlanmışsa sınırlı olarak adlandırılır, yani $ M, Möyle ki " X Î X: M £ X £ M. ogre mn-va'nın eşdeğer tanımı: Set X$ ise sınırlı denir A > 0, " X Î X: ½ X½£ A. Tanım: Yukarıda sınırlı bir kümenin en küçük üst sınırı Xüstünlüğü denir ve Sup olarak gösterilir X
(üstün). =Destek X. Benzer şekilde kesin olarak belirlenebilir.
alt kenar. Eş değer tanım kesin üst sınır:
Bu sayıya kümenin üstü denir X, Eğer: 1) " X Î X: X£ (bu durum bunun üst sınırlardan biri olduğunu gösterir). 2) " < $ x Î X: X> (bu durum şunu gösterir: -
üst yüzlerin en küçüğü).
Destek X= :
1. " XÎ X: X £ .
2. " < $ XÎ X: X> .
bilgi X(infimum) tam alt sınırdır. Şu soruyu soralım: Her sınırlı kümenin kesin kenarları var mıdır?
Örnek: X= {X: X>0) en küçük sayıya sahip değildir.
Tam bir üst (alt) yüzün varlığına ilişkin teorem. Boş olmayan herhangi bir üst (alt) limit xÎR'nin tam bir üst (alt) yüzü vardır.
Sayısal çoğulların ayrılabilirliğine ilişkin teorem:▀▀▄
BİLET 4
Her n (n=1,2,3..) doğal sayısına karşılık gelen bir Xn sayısı atanırsa, bu sayının tanımlandığını ve verildiğini söylerler. alt dizi x1, x2..., yaz (Xn), (Xn). Örnek: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,...Limitin adı. Sayısal eksen üzerinde yer alan x=x1,x2,…xn noktaları kümesi yukarıdan (aşağıdan) sınırlıysa yukarıdan (aşağıdan), yani $C:Xn£C" Sıra sınırı: Herhangi bir ε>0 $ : N (N=N/(ε)) için a sayısına dizinin limiti denir. "n>N eşitsizliği |Xn-a|<ε. Т.е. – ε
en n>H.
Sınırın benzersizliği sınırlı ve yakınsak dizi
Özellik1: Yakınsak bir dizinin yalnızca bir limiti vardır.
Kanıt: çelişkiyle izin ver A Ve B yakınsak bir dizinin limitleri (xn) ve a, b'ye eşit değildir. (α n )=(x n -a) ve (β n )=(x n -b) sonsuz küçük dizilerini düşünün. Çünkü tüm unsurlar b.m. (α n -β n) dizileri aynı b-a değerine sahiptir, bu durumda b.m'nin özelliği gereğidir. b-a=0 dizileri yani. b=a ve bir çelişkiye ulaştık.
Özellik2: Yakınsak bir dizi sınırlıdır.
Kanıt: a, yakınsak bir dizinin (x n) limiti olsun, o zaman α n =x n -a b.m'nin bir elemanıdır. diziler. Herhangi bir ε>0 alalım ve onu N ε'yu bulmak için kullanalım: / x n -a/< ε при n>N . Sayıların en büyüğünü b ile gösterelim: ε+/а/, /х1/, /х2/,…,/х N ε-1 /,х N ε. Açıkça görülüyor ki / x n /
Not: sınırlı dizi yakınsak olmayabilir.
BİLET 6
a n dizisine sonsuz küçük denir, bu da bu dizinin bundan sonraki limitinin 0 olduğu anlamına gelir.
a n – sonsuz küçük Û lim(n ® + ¥)a n =0 yani herhangi bir ε>0 için herhangi bir n>N |a n |<ε
Teorem. Sonsuz küçüklerin toplamı sonsuz küçüktür.
a n b n ®sonsuz küçük Þ a n +b n – sonsuz küçük.
Kanıt.
a n - sonsuz küçük Û "ε>0 $ N 1:" n >N 1 Þ |a n |<ε
b n - sonsuz küçük Û "ε>0 $ N 2:" n >N 2 Þ |b n |<ε
N=max(N 1 , N 2 ) olarak ayarlayalım, o zaman herhangi bir n>N Þ için her iki eşitsizlik de aynı anda sağlanır:
|bir n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N
"ε 1 >0, ε=ε 1 /2 olarak ayarlayalım. O zaman herhangi bir ε 1 >0 $N=maxN 1 N 2 için: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
a n + b n – sonsuz küçük.
Teorem Sonsuz küçüklerin çarpımı sonsuz küçüktür.
a n,b n – sonsuz küçük Þ a n b n – sonsuz küçük.
Kanıt:
"ε 1 >0, ε=Öε 1 koyalım, çünkü a n ve b n bu ε>0 için sonsuz küçük olduğundan N 1 vardır: " n>N Þ |a n |<ε
$N 2: " n>N 2 Ş |b n |<ε
N=max (N 1 ;N 2 ) alalım, sonra "n>N = |a n |<ε
|a n b n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1
" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n =0 Û a n b n – sonsuz küçük, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
Teorem Sınırlı bir dizi ile sonsuz küçük bir dizinin çarpımı sonsuz küçük bir dizidir
ve n sınırlı bir dizidir
a n – sonsuz küçük dizi Þ a n an n – sonsuz küçük dizi.
İspat: Bir n Û $С>0 ile sınırlı olduğundan: "nО NŞ |a n |£C
"ε 1 >0; ε=ε 1 /C koyalım; a n sonsuz küçük olduğundan ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1 >0 $N: "n>N Þ |a n an n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n – sonsuz küçük Sıra denir BBP(sırayla) yazıyorlarsa. Açıkçası, BBP sınırlı değildir. Bunun tersi ifade genellikle yanlıştır (örnek). Büyük olanlar için ise Nüyeler, o zaman bunu en kısa sürede yazın demektir. Girişin anlamı benzer şekilde belirlenir Sonsuz büyük diziler bir n =2 n ;
b n =(-1) n 2 n ;c n =-2 n Tanım(sonsuz büyük diziler) 1) lim(n ® ¥)a n =+¥, if "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε burada ε keyfi olarak küçüktür. 2) lim(n ® ¥)a n =-¥, eğer "ε>0 $N:"n>N Þ a n<-ε 3) lim(n ® ¥)a n =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a n |>ε BİLET 7 Teorem “Monotonun yakınsaması üzerine. son" Herhangi bir monotonik dizi yakınsaktır, yani. sınırları vardır. Belge(xn) dizisi monoton olarak artan olsun. ve yukarıdan sınırlıdır. X – kurallara göre bu dizinin elemanını kabul eden sayıların tamamı. Teoremlerin sayısı sınırlıdır, bu nedenle Teoremin sonlu bir kesin üst sınırı vardır. face supX xn®supX (supX'i x* ile belirtiyoruz). Çünkü x* tam üst. yüz, o zaman xn£x* " n. " e >0 sinir dışarıda $ xm (m kapaklı n olsun): xm>x*-e ile " n>m => elde ettiğimiz belirtilen 2 eşitsizlikten n>m için ikinci eşitsizlik x*-e£xn£x*+e, ½xn-x*1'e eşdeğerdir BİLET 8 Üs veya sayı e R-Roma numarası ortak terimli xn=(1+1/n)^n (kuvvet n)(1) olan dizi. (1) dizisinin monoton olarak arttığı, yukarıdan sınırlandığı ve yakınsak olduğu ortaya çıktı; bu dizinin limitine üstel denir ve e»2.7128... sembolüyle gösterilir. e numarası BİLET 9 İç içe geçmiş segmentler ilkesi Sayı doğrusuna bir doğru parçası dizisi verilsin ,,...,,... Ayrıca bu segmentler aşağıdakileri de karşılamaktadır. durum: 1) sonraki her biri bir öncekinin içine yerleştirilmiştir, yani. M, "n=1,2,…; 2) n arttıkça ®0 parçalarının uzunlukları; lim(n®¥)(bn-an)=0. Belirtilen azizlerin bulunduğu dizilere iç içe diziler denir. Teoremİç içe geçmiş bölümlerin herhangi bir dizisi, daraltıldıkları tüm bölümlerin ortak noktasıyla birlikte, dizinin tüm bölümlerine aynı anda ait olan tek bir c noktası içerir. Belge(an) - fenomen bölümlerinin sol uçlarının dizisi. monoton olarak azalmayan ve yukarıda b1 sayısıyla sınırlanan. (bn) - sağ uçların dizisi monoton olarak artmıyor, dolayısıyla bu fenomen dizileri. yakınsak, yani c1=lim(n®¥)an ve c2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c sayıları vardır - bunların ortak değeri. Aslında, koşul 2) o= lim(n®¥) nedeniyle lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) limitine sahiptir. (bn- an)=с2-с1=> с1=с2=с "n an £ c £n" olduğundan t.c'nin tüm bölümler için ortak olduğu açıktır. Şimdi bunun bir olduğunu kanıtlayacağız. $'ın tüm bölümlerin daraltıldığı başka bir c' olduğunu varsayalım. Kesişmeyen herhangi bir c ve c' parçasını alırsak, o zaman bir tarafta (an), (bn) dizilerinin tüm "kuyruğu" c'' noktasının yakınına yerleştirilmelidir (çünkü an ve bn birbirine yakınsar) c ve c' aynı anda). Çelişki doğrudur. BİLET 10 Bolzano-Weierstrass teoremi
Herhangi bir kesimden. Daha sonra toplantıyı seçebilirsiniz. Alt müfredat 1. Dizi sınırlı olduğundan $ m ve M, öyle ki " m£xn£M, " n. D1= – tüm t-ki dizilerinin yer aldığı segment. Ortadan ikiye bölelim. Yarımlardan en az biri sonsuz sayıda t-k dizisi içerecektir. D2 sonsuz sayıda t-k dizisinin bulunduğu yarıdır. Onu ikiye bölüyoruz. En azından yarımlardan birinde negatif. D2'nin sonsuz sayıda dizisi vardır. Bu yarı D3'tür. D3 segmentini bölün... vb. uzunlukları 0'a yaklaşan bir dizi iç içe geçmiş bölüm elde ederiz. İç içe bölümlerle ilgili kurala göre, $ birimleri. t-ka S, kedi. ait tüm segmentler D1, herhangi bir t-tu Dn1. D2 doğru parçasında xn2 noktasını seçiyorum, böylece n2>n1 olur. D3 segmentinde... vb. Sonuç olarak son kelime xnkÎDk olur. BİLET 11 BİLET 12 esas Sonuç olarak, sayısal bir dizinin yakınsaklığına ilişkin kriter sorusunu ele alıyoruz. Yani: Şu açıklamayı aldık: Dizi yakınsarsa koşul sağlanır Cauchy: Cauchy şartını sağlayan sayı dizisine denir esas. Bunun tersinin de doğru olduğu kanıtlanabilir. Böylece dizinin yakınsaması için bir kriterimiz (gerekli ve yeterli koşul) var. Cauchy kriteri. Bir dizinin limitli olabilmesi için temel olması gerekli ve yeterlidir. Cauchy kriterinin ikinci anlamı. Sıra üyeleri ve nerede N Ve M– sınırsız yaklaşma. BİLET 13 Tek taraflı sınırlar. Tanım 13.11. Sayı A fonksiyonun limiti denir y = f(x) X, için çabalıyorum x 0 sol (sağ), eğer öyleyse | f(x)-A|<ε при x 0 – x< δ
(x - x 0< δ
). Tanımlar: Teorem 13.1 (limitin ikinci tanımı).İşlev y=f(x) var X, için çabalamak X 0, limit eşittir A, ancak ve ancak bu noktada tek taraflı limitlerinin her ikisi de mevcutsa ve eşitse A. Kanıt. 1) Eğer , o zaman ve için x 0 – x< δ, и для x - x 0< δ
|f(x) - A|<ε, то есть 1) Eğer ise δ 1 vardır: | f(x) - A| < ε при x 0 – x< δ 1 и δ 2: |f(x) - A| < ε при x - x 0<
δ2. δ 1 ve δ 2 sayılarından küçük olanı seçip δ olarak alarak | x - x 0| < δ |f(x) - A| < ε, то есть . Теорема доказана. Yorum. Limit 13.7 tanımında yer alan gereklerin ve tek taraflı limitlerin varlığı ve eşitliği koşullarının eşdeğerliği kanıtlanmış olduğundan bu koşul limitin ikinci tanımı olarak kabul edilebilir. Tanım 4 (Heine'ye göre) Sayı A argüman değerlerinin herhangi bir BBP'si varsa, bir fonksiyonun limiti denir, karşılık gelen fonksiyon değerleri dizisi yakınsar A. Tanım 4 (Cauchy'ye göre). Sayı A eğer denir. Bu tanımların eşdeğer olduğu kanıtlanmıştır. BİLET 14 ve 15 Bir noktadaki fonksiyon limitinin özellikleri 1) Bir sınır varsa o tek sınırdır 2) tka x0'da f(x) lim(x®x0)f(x)=A fonksiyonunun limiti ise lim(x®x0)g(x)£B=> bu durumda $ toplamın, farkın, çarpımın ve bölümün limitidir. Bu 2 fonksiyonun ayrılması. a) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B b) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B c) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B d) lim(x®x0)C=C e) lim(x®x0)C*f(x)=C*A Teorem 3. Eğer ( sırasıyla A ) sonra $ eşitsizliğin geçerli olduğu mahalle >B (sırasıyla Teorem 3'te varsayarsak B=0, şunu elde ederiz: eğer ( sırasıyla), sonra $ , tüm noktalarda, bu da >0 (sırasıyla<0),
onlar. fonksiyon limitinin işaretini korur. Teorem 4(eşitsizliğin sınırına geçişte). Eğer bir noktanın herhangi bir komşuluğunda (belki de bu noktanın kendisi dışında) koşul sağlanıyorsa ve bu fonksiyonların o noktada limitleri varsa, o zaman . Dilde ve. Fonksiyonu tanıtalım. t civarında olduğu açıktır. O halde, bir fonksiyonun korunumu teoremine göre limitinin değerini elde ederiz, ancak Teorem 5.(bir ara fonksiyonun limitinde). (1) Eğer BİLET 16 Tanım 14.1.İşlev y=α(x) sonsuz küçük olarak adlandırılır x→x 0, Eğer Sonsuz küçüklerin özellikleri. 1. İki sonsuz küçük sayının toplamı sonsuz küçüktür. Kanıt. Eğer α(x) Ve β(x) – sonsuz küçük x→x 0 ise δ 1 ve δ 2 vardır, öyle ki | a(x)|<ε/2 и |β(X)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε, то есть |(α(x)+β(x))-0|<ε. Следовательно, Yorum. Buradan, herhangi bir sonlu sayıda sonsuz küçüklerin toplamının sonsuz küçük olduğu sonucu çıkar. 2. Eğer α( X) – sonsuz küçük x→x 0, A f(x) – belirli bir mahalleyle sınırlı bir işlev x 0, O α(x)f(x)) – sonsuz küçük x→x 0. Kanıt. Bir sayı seçelim Möyle ki | f(x)| Sonuç 1. Sonsuz küçük bir sayının sonlu bir sayıyla çarpımı sonsuz küçük bir sayıdır. Sonuç 2. İki veya daha fazla sonsuz küçük sayının çarpımı sonsuz küçük sayıdır. Sonuç 3. Sonsuz küçüklerin doğrusal birleşimi sonsuz küçüktür. 3. (Limitin üçüncü tanımı). Eğer ise, bunun için gerekli ve yeterli koşul, fonksiyonun olmasıdır. f(x) şeklinde temsil edilebilir f(x)=A+α(x), Nerede α(x) – sonsuz küçük x→x 0. Kanıt. 1)
O zaman izin ver | f(x)-A|<ε при x→x 0, yani α(x)=f(x)-A– sonsuz küçük x→x 0 . Buradan , f(x)=A+α(x). 2) izin ver f(x)=A+α(x). Daha sonra Yorum. Böylece önceki ikisine eşdeğer başka bir limit tanımı elde edilmiş olur. Sonsuz büyük işlevler. Tanım 15.1. Eğer f(x) fonksiyonunun x x 0 için sonsuz büyük olduğu söylenir: Sonsuz büyük için, sonsuz küçük için olduğu gibi aynı sınıflandırma sistemini kullanabilirsiniz: 1. Sonsuz büyük f(x) ve g(x) aşağıdaki durumlarda aynı mertebeden büyüklükler olarak kabul edilir: 2. Eğer ise f(x), g(x)'ten daha yüksek bir mertebeden sonsuz büyük kabul edilir. 3. Sonsuz büyük bir f(x), eğer sonsuz büyük bir g(x)'e göre k'inci dereceden bir miktar olarak adlandırılır. Yorum. a x'in sonsuz büyüklükte olduğunu (a>1 ve x için), herhangi bir k için xk'den daha yüksek düzeyde olduğunu ve log a x'in, x k'nin herhangi bir kuvvetinden daha düşük düzeyde sonsuz derecede büyük olduğunu unutmayın. Teorem 15.1. Eğer α(x) x→x 0 kadar sonsuz küçükse, o zaman 1/α(x) x→x 0 kadar sonsuz büyüktür. Kanıt. |x - x 0 | için bunu kanıtlayalım.< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, |1/α(x)|>M. Bu, 1/α(x)'in x→x 0 kadar sonsuz büyük olduğu anlamına gelir. BİLET 17 Teorem 14.7 (ilk dikkate değer limit). . Kanıt. Merkezi orijinde olan birim yarıçaplı bir daire düşünün ve AOB açısının x'e (radyan) eşit olduğunu varsayalım. OS düz çizgisinin (1;0) noktasından geçen daireye teğet olduğu AOB üçgeninin, AOB sektörünün ve AOC üçgeninin alanlarını karşılaştıralım. Şurası açık ki. Şekillerin alanlarına karşılık gelen geometrik formülleri kullanarak bundan şunu elde ederiz: Her türden çok çeşitli seçeneklerden setleriÖzellikle ilgi çekici olanlar sözde sayı setleri yani elemanları sayılardan oluşan kümelerdir. Onlarla rahatça çalışabilmek için onları yazabilmeniz gerektiği açıktır. Bu makaleye sayısal kümelerin gösterimi ve yazım ilkeleriyle başlayacağız. Şimdi sayısal kümelerin koordinat doğrusu üzerinde nasıl gösterildiğine bakalım. Sayfada gezinme. Kabul edilen gösterimle başlayalım. Bildiğiniz gibi Latin alfabesinin büyük harfleri kümeleri belirtmek için kullanılıyor. Kümelerin özel bir durumu olarak sayısal kümeler de belirtilir. Örneğin A, H, W vb. sayı kümelerinden bahsedebiliriz. Doğal, tamsayı, rasyonel, gerçek, karmaşık sayılar vb. kümeleri özellikle önemlidir; onlar için kendi gösterimleri benimsenmiştir: Buradan, örneğin 5 ve −7 gibi iki sayıdan oluşan bir kümeyi Q olarak belirtmemeniz gerektiği açıktır; Q harfi genellikle tüm rasyonel sayıların kümesini ifade ettiği için bu atama yanıltıcı olacaktır. Belirtilen sayısal kümeyi belirtmek için başka bir "nötr" harf, örneğin A kullanmak daha iyidir. Gösterimden bahsettiğimize göre burada boş bir kümenin, yani eleman içermeyen bir kümenin gösterimini de hatırlayalım. ∅ işaretiyle gösterilir. Bir elemanın bir kümeye ait olup olmadığının belirtilmesini de hatırlayalım. Bunu yapmak için ∈ - ait ve ∉ - ait değil işaretlerini kullanın. Örneğin, 5∈N gösterimi, 5 sayısının doğal sayılar kümesine ait olduğu ve 5,7∉Z - 5,7 ondalık kesirinin tamsayılar kümesine ait olmadığı anlamına gelir. Ayrıca bir kümeyi diğerine dahil etmek için benimsenen gösterimi de hatırlayalım. N kümesinin tüm elemanlarının Z kümesine dahil olduğu açıktır, dolayısıyla N sayı kümesi Z'ye dahildir, bu N⊂Z olarak gösterilir. Ayrıca Z⊃N gösterimini de kullanabilirsiniz; bu, tüm Z tamsayılarının kümesinin N kümesini içerdiği anlamına gelir. Dahil edilmeyen ve dahil edilmeyen ilişkiler sırasıyla ⊄ ve ile gösterilmiştir. ⊆ ve ⊇ biçiminde katı olmayan dahil etme işaretleri de kullanılır; bu, sırasıyla dahil veya çakışır ve içerir veya çakışır anlamına gelir. Gösterimden bahsettik, sayısal kümelerin tanımına geçelim. Bu durumda sadece pratikte en sık kullanılan ana durumlara değineceğiz. Sonlu ve az sayıda öğe içeren sayısal kümelerle başlayalım. Sonlu sayıda elemandan oluşan sayısal kümeleri, tüm elemanlarını listeleyerek tanımlamak uygundur. Tüm sayı elemanları, genel kurala uygun olarak virgülle ayrılarak ve içine alınarak yazılır. kümeleri tanımlama kuralları. Örneğin 0, −0,25 ve 4/7 olmak üzere üç sayıdan oluşan bir küme (0, −0,25, 4/7) olarak tanımlanabilir. Bazen, bir sayısal kümenin öğelerinin sayısı oldukça fazla olduğunda ancak öğeler belirli bir kalıba uyduğunda, açıklama için üç nokta kullanılır. Örneğin, 3'ten 99'a kadar olan tüm tek sayılar kümesi (3, 5, 7, ..., 99) şeklinde yazılabilir. Böylece, elemanlarının sayısı sonsuz olan sayısal kümelerin tanımına sorunsuz bir şekilde yaklaştık. Bazen aynı elipsler kullanılarak tanımlanabilirler. Örneğin tüm doğal sayılar kümesini tanımlayalım: N=(1, 2. 3, …) . Ayrıca sayısal kümelerin tanımını, elemanlarının özelliklerini belirterek kullanırlar. Bu durumda (x| özellikleri) gösterimi kullanılır. Örneğin, (n| 8·n+3, n∈N) gösterimi, 8'e bölündüğünde 3 kalanını bırakan doğal sayılar kümesini belirtir. Bu aynı küme (11,19, 27, ...) olarak tanımlanabilir. Özel durumlarda, sonsuz sayıda eleman içeren sayısal kümeler bilinen N, Z, R vb. kümelerdir. veya sayı aralıkları. Temel olarak sayısal kümeler şu şekilde temsil edilir: Birlik onları oluşturan bireysel sayısal aralıklar ve sonlu sayıda öğe içeren sayısal kümeler (bundan biraz önce bahsetmiştik). Bir örnek gösterelim. Sayı kümesi −10, −9, −8.56, 0 sayılarından, [−5, −1,3] doğru parçasının tüm sayılarından ve açık sayı doğrusundaki (7, +∞) sayılardan oluşsun. Kümelerin birleşiminin tanımı nedeniyle, belirtilen sayısal küme şu şekilde yazılabilir: {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞)
. Bu gösterim aslında (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] ve (7, +∞) kümelerinin tüm elemanlarını içeren bir küme anlamına gelir. Benzer şekilde, farklı sayı aralıkları ve bireysel sayı kümeleri birleştirilerek, herhangi bir sayı kümesi (gerçek sayılardan oluşan) tanımlanabilir. Burada aralık, yarım aralık, segment, açık sayısal ışın ve sayısal ışın gibi sayısal aralık türlerinin neden tanıtıldığı açıklığa kavuşuyor: bunların tümü, bireysel sayı kümeleri için notasyonlarla birleştiğinde, herhangi bir sayısal kümeyi şu şekilde tanımlamayı mümkün kılar: onların birliği. Bir sayı kümesini yazarken, onu oluşturan sayıların ve sayısal aralıkların artan sırada sıralandığını lütfen unutmayın. Bu gerekli değil ancak arzu edilen bir durumdur, çünkü sıralı bir sayısal kümenin bir koordinat çizgisi üzerinde hayal edilmesi ve tasvir edilmesi daha kolaydır. Ayrıca, bu tür kayıtların ortak öğeler içeren sayısal aralıklar kullanmadığını unutmayın; çünkü bu tür kayıtlar, ortak öğeler olmadan sayısal aralıkların birleştirilmesiyle değiştirilebilir. Örneğin, sayısal kümelerin ortak elemanları [−10, 0] ve (−5, 3) olan birleşimi, yarı aralıktır [−10, 3) . Aynısı, aynı sınır sayılarına sahip sayısal aralıkların birleşimi için de geçerlidir, örneğin (3, 5]∪(5, 7] birliği bir (3, 7] kümesidir, bunu öğrendiğimizde bunun üzerinde ayrıca duracağız.) sayısal kümelerin kesişimini ve birleşimini bulun Uygulamada, sayısal kümelerin geometrik görüntülerini - bunların görüntülerini - kullanmak uygundur. Örneğin, ne zaman eşitsizlikleri çözmek ODZ'nin hesaba katılmasının gerekli olduğu durumlarda, bunların kesişimini ve/veya birleşimini bulmak için sayısal kümelerin gösterilmesi gerekir. Bu nedenle, sayısal kümeleri bir koordinat çizgisi üzerinde göstermenin tüm nüanslarını iyi anlamak yararlı olacaktır. Koordinat çizgisinin noktaları ile gerçek sayılar arasında bire bir yazışma olduğu bilinmektedir; bu, koordinat çizgisinin kendisinin tüm R gerçek sayıları kümesinin geometrik bir modeli olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, tüm gerçek sayılar kümesini göstermek için, tüm uzunluğu boyunca gölgeli bir koordinat çizgisi çizmeniz gerekir: Ve çoğu zaman orijini ve birim segmentini bile belirtmiyorlar: Şimdi belirli sonlu sayıda bireysel sayıyı temsil eden sayısal kümelerin görüntüsünden bahsedelim. Örneğin sayı kümesini (−2, −0,5, 1,2) gösterelim. −2, −0,5 ve 1,2 olmak üzere üç sayıdan oluşan bu kümenin geometrik görüntüsü, karşılık gelen koordinatlarla koordinat çizgisinin üç noktası olacaktır: Genellikle pratik amaçlar için çizimin tam olarak yapılmasına gerek olmadığını unutmayın. Çoğunlukla şematik bir çizim yeterlidir; bu, ölçeği korumanın gerekli olmadığı anlamına gelir; bu durumda yalnızca noktaların birbirine göre göreceli konumunu korumak önemlidir: daha küçük koordinata sahip herhangi bir nokta, koordinatı daha büyük olan bir noktanın solunda. Önceki çizim şematik olarak şöyle görünecek: Her türlü sayısal kümeden ayrı olarak geometrik görüntülerini temsil eden sayısal aralıklar (aralıklar, yarım aralıklar, ışınlar vb.) ayırt edilir; bunları bölümde ayrıntılı olarak inceledik. Burada kendimizi tekrarlamayacağız. Ve geriye sadece birkaç sayısal aralığın ve bireysel sayılardan oluşan kümelerin birleşimi olan sayısal kümelerin görüntüsü üzerinde durmak kalıyor. Burada zor bir şey yok: bu durumlarda birliğin anlamına göre, belirli bir sayısal kümenin kümesinin tüm bileşenlerini koordinat çizgisi üzerinde tasvir etmek gerekir. Örnek olarak bir sayı kümesinin resmini gösterelim (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪
(log 2 5, 5)∪(17, +∞) : Ve gösterilen sayısal kümenin, bir veya birkaç nokta dışında tüm gerçek sayılar kümesini temsil ettiği oldukça yaygın durumlar üzerinde duralım. Bu tür kümeler genellikle x≠5 veya x≠−1, x≠2, x≠3,7 vb. koşullarla belirtilir. Bu durumlarda, karşılık gelen noktalar haricinde geometrik olarak koordinat çizgisinin tamamını temsil ederler. Başka bir deyişle bu noktaların koordinat doğrusundan “çıkarılması” gerekiyor. Merkezi boş olan daireler olarak tasvir edilmiştir. Açıklık sağlamak için, koşullara karşılık gelen sayısal bir kümeyi gösterelim. Özetle. İdeal olarak, önceki paragraflarda yer alan bilgiler, sayısal kümelerin kaydedilmesi ve tasviri ile bireysel sayısal aralıkların görünümüyle aynı görünümü oluşturmalıdır: bir sayısal kümenin kaydı, koordinat çizgisi üzerinde ve görüntüden itibaren hemen görüntüsünü vermelidir. Koordinat çizgisine karşılık gelen sayısal kümeyi, bireysel aralıkların ve bireysel sayılardan oluşan kümelerin birleşimi yoluyla kolayca tanımlamaya hazır olmalıyız. Kaynakça. Rasyonel sayılar sisteminin anlamlı bir geometrik temsili aşağıdaki şekilde elde edilebilir. Pirinç. 8. Sayı ekseni Belirli bir düz çizgide, “sayı ekseninde” 0'dan 1'e kadar olan segmenti işaretliyoruz (Şekil 8). Bu, genel anlamda keyfi olarak seçilebilen bir birim parçanın uzunluğunu belirler. Pozitif ve negatif tam sayılar daha sonra sayı ekseni üzerinde eşit aralıklı noktalar kümesiyle gösterilir; yani pozitif sayılar 0 noktasının sağında, negatif sayılar ise solunda işaretlenir. Sayıları paydayla göstermek için her birini böleriz. elde edilen birim uzunluktaki bölümler eşit parçalara bölünür; bölme noktaları paydalı kesirleri temsil edecektir. Bunu tüm doğal sayılara karşılık gelen değerler için yaparsak, her rasyonel sayı sayı ekseninde bir nokta ile gösterilecektir. Bu noktaları “rasyonel” olarak adlandırmayı kabul edeceğiz; Genel olarak “rasyonel sayı” ve “rasyonel nokta” terimlerini eşanlamlı olarak kullanacağız. Bölüm I, § 1'de doğal sayılar için eşitsizlik ilişkisi tanımlandı. Sayı ekseninde bu ilişki şu şekilde yansıtılır: A doğal sayısı B doğal sayısından küçükse, A noktası B noktasının solunda yer alır. Belirtilen geometrik ilişki herhangi bir rasyonel nokta çifti için kurulduğundan, Aritmetik eşitsizlik ilişkisini bu şekilde genelleştirmeye çalışmak, söz konusu noktalar için bu geometrik düzeni korumaya çalışmak doğaldır. Bu, şu tanımı kabul edersek mümkündür: A rasyonel sayısının bir rasyonel sayıdan küçük olduğunu veya fark pozitifse B sayısının bir sayıdan büyük olduğunu söyleriz. ('de) arasındaki noktaların (sayıların) şu şekilde olduğu sonucu çıkar: aynı anda Bu tür nokta çiftlerinin her biri, aralarındaki tüm noktalarla birlikte bir parça (veya parça) olarak adlandırılır ve gösterilir (ve yalnızca ara noktalar kümesine aralık (veya aralık denir), gösterilir. Pozitif bir sayı olarak kabul edilen rastgele bir A noktasının 0 orijininden uzaklığına A'nın mutlak değeri denir ve sembolü ile gösterilir. “Mutlak değer” kavramı şu şekilde tanımlanır: Eğer , o zaman Eğer sayılar aynı işarete sahipse eşitliğin doğru olduğu açıktır; o zaman . Bu iki sonucu bir araya getirirsek genel eşitsizliğe ulaşırız işaretlerden bağımsız olarak bu doğrudur Temel öneme sahip bir gerçek şu cümleyle ifade edilmektedir: Rasyonel noktalar sayı doğrusu üzerinde her yerde yoğun olarak bulunur. Bu ifadenin anlamı, ne kadar küçük olursa olsun her aralığın rasyonel noktalar içerdiğidir. Belirtilen ifadenin geçerliliğini doğrulamak için, ( aralığı verilen aralıktan küçük olacak kadar büyük bir sayı almak yeterlidir; o zaman formun noktalarından en az biri verilen aralığın içinde olacaktır. Yani, orada Sayı ekseninde, içinde rasyonel noktaların bulunmayacağı böyle bir aralık yoktur (hatta hayal edilebilecek en küçük aralıktır). Sonlu sayıda rasyonel nokta olsaydı, bu tür iki bitişik noktanın oluşturduğu aralıkta artık rasyonel noktalar olmazdı ve bu, az önce kanıtlanmış olanla çelişir. §1.1. Gerçek sayılar Reel sayılar iki sınıfa ayrılır: Rasyonel sayılar sınıfı ve irrasyonel sayılar sınıfı. Akılcı forma sahip sayılardır, burada M Ve N eş asal tam sayılardır, ancak Örneğin sayı Gerçek sayılar aynı zamanda cebirsel olanlara da bölünebilir - rasyonel katsayılı bir polinomun kökleri (bunlar özellikle tüm rasyonel sayıları içerir - denklemin kökleri) Tüm doğal, tam sayı ve reel sayıların kümeleri buna göre aşağıdaki şekilde gösterilir: NZ, R §1.2. Sayı doğrusundaki gerçek sayıların görüntüsü. Aralıklar Geometrik olarak (açıklık sağlamak için), gerçek sayılar, sonsuz (her iki yönde) düz bir çizgi üzerindeki noktalarla temsil edilir. sayısal
eksen. Bu amaçla, söz konusu çizgi üzerinde bir nokta alınır (köken noktası 0 noktasıdır), pozitif bir yön gösterilir, bir okla gösterilir (genellikle sağa doğru) ve süresiz olarak bir kenara bırakılan bir ölçek birimi seçilir. 0 noktasının her iki tarafında. Tamsayılar bu şekilde gösterilir. Bir sayıyı tek bir ondalık basamakla temsil etmek için her parçayı on parçaya vb. bölmeniz gerekir. Böylece her reel sayı sayı doğrusu üzerinde bir nokta ile temsil edilir. Her noktaya geri dön Sembol Pirinç. 1.1. Sayı ekseni. Pirinç. 1.2. Aralık Pirinç. 1.3. Kapalı aralık “Tüm sayılar (noktalar) kümesi” sözcüklerinin atlanması Xöyle ki” vb., ayrıca şunları not ediyoruz: §1.3. Gerçek bir sayının mutlak değeri (veya modülü) Örneğin, Geometrik olarak nokta mesafesi anlamına gelir A kökenine. Eğer iki noktamız varsa ve o zaman aralarındaki mesafe şu şekilde temsil edilebilir: Mutlak büyüklüklerin özellikleri. 1. Tanımdan şu sonuç çıkıyor: 2. Toplamın ve farkın mutlak değeri, mutlak değerlerin toplamını aşmaz: 3. 4. 5. 6. Eşitsizlik 7. Eşitsizlik 8. §1.4. Bazı kavramlar ve gösterimler 1
. Konsept setleri matematiğin temellerinden biridir, başlangıçtır, evrenseldir ve bu nedenle tanımlanamaz. Yalnızca tanımlanabilir (eşanlamlılarla değiştirilebilir): bazı özelliklerle birleştirilen bazı nesnelerden, şeylerden oluşan bir koleksiyon, bir koleksiyondur. Bu nesnelere denir elementlerçokluk. Örnekler: kıyıdaki birçok kum tanesi, Evrendeki yıldızlar, sınıftaki öğrenciler, bir denklemin kökleri, bir doğru parçasının noktaları. Elemanları sayılardan oluşan kümelere denir sayısal kümeler. Bazı standart kümeler için özel gösterim eklenmiştir, örneğin: N,Z,R- bkz. § 1.1. İzin vermek A– çok ve X onun unsuru ise şöyle yazarlar: Eğer X bir kümenin elemanları için genel bir isimdir A sonra yazıyorlar Set denir son Sonlu sayıda elemandan oluşuyorsa. Kümede hangi doğal sayı N alınırsa alınsın A N'den daha fazla element var, o zaman A isminde sonsuz küme: içinde sonsuz sayıda eleman vardır. Kümenin her elemanı ise ^A birçok kişiye ait B, O Her iki kümenin elemanları kümesi A Ve B isminde birleşme ayarlar ve gösterilir Kümelerin elemanları arasında bire bir eşleme kurulabiliyorsa bu kümelerin eşdeğer olduğunu söylerler ve yazarlar. 2
. İki ifade, iki gerçek olsun: ve Giriş: 
Son eşitsizliğin yerine bir doğal sayının yanı sıra başka bir doğal sayıyı da koyabilirsiniz 
,Daha sonra
ve noktanın bazı komşuluklarında (belki de noktanın kendisi dışında) koşul (2) karşılanırsa, o zaman fonksiyonun noktada bir limiti vardır ve bu limit şuna eşittir: A.(1) koşuluna göre $ için (işte noktanın en küçük komşuluğu). Ancak o zaman koşul (2) nedeniyle değer aynı zamanda noktanın yakınında da bulunacaktır. A, onlar. .
, yani α(x)+β(x) – sonsuz küçük.
şu anlama gelir | f(x)-A|<ε при |x - x 0| < δ(ε). Cледовательно, .
, veya sinx Sayısal kümelerin yazılması
Sayı kümelerinin koordinat doğrusunda gösterimi
(bu set esasen mevcuttur): 
Gerçek sayılarla ilk tanışma okuldaki matematik dersinde gerçekleşir. Her gerçek sayı, sonlu veya sonsuz bir ondalık kesirle temsil edilir.
. (Rasyonel sayılar kümesi harfle gösterilir Q). Geriye kalan reel sayılara denir mantıksız. Rasyonel sayılar sonlu veya sonsuz bir periyodik kesirle (sıradan kesirlerle aynı) temsil edilir, o zaman bunlar ve yalnızca sonsuz periyodik olmayan kesirlerle temsil edilebilen gerçek sayılar irrasyonel olacaktır.
- rasyonel ve 
, 
, 
ve benzeri. - irrasyonel sayılar.
) – ve aşkın olanlara – geri kalan her şey (örneğin sayılar) 
ve diğerleri).
(Naturel, Zahl, Reel kelimelerinin baş harfleri).
segmentin uzunluğuna eşit bir gerçek sayıya karşılık gelir 
ve noktanın orijinin sağında veya solunda olmasına bağlı olarak “+” veya “-” işaretiyle alınır. Bu şekilde tüm reel sayılar kümesi ile sayı ekseni üzerindeki tüm noktalar kümesi arasında bire bir uyum sağlanır. “Gerçek sayı” ve “sayı eksen noktası” terimleri şu şekilde kullanılır: eş anlamlı. 
Hem gerçek sayıyı hem de ona karşılık gelen noktayı göstereceğiz. Pozitif sayılar 0 noktasının sağında, negatif sayılar ise solunda bulunur. Eğer 
, ardından sayı ekseninde nokta 
noktanın solunda yer alır 
. Bırakın nokta 
sayıya karşılık gelir, o zaman sayıya noktanın koordinatı denir, yazın 
; Çoğu zaman noktanın kendisi sayıyla aynı harfle gösterilir. 0 noktası koordinatların başlangıç noktasıdır. Eksen ayrıca harfle de belirtilir 
(Şekil 1.1).
Yalan tüm sayıların kümesi arasında verilen sayılara aralık veya aralık denir; uçlar ona ait olabilir veya olmayabilir. Bunu açıklığa kavuşturalım. İzin vermek 
. Koşulu karşılayan bir dizi sayı 
, aralık (dar anlamda) veya açık aralık olarak adlandırılır ve sembolüyle gösterilir. 
(Şekil 1.2).
Öyle bir sayı kümesi 
kapalı aralık (bölüm, bölüm) olarak adlandırılır ve şu şekilde gösterilir: 
; sayı ekseninde şu şekilde işaretlenir:
Açık boşluktan yalnızca iki nokta (uç) ve . Ancak bu fark, daha sonra örneğin fonksiyonların özelliklerini incelerken göreceğimiz gibi temel ve anlamlıdır.
Ve 
, belirtilen 
Ve 
yarı açık veya yarı kapalı aralıklar (bazen: yarı aralıklar);
veya 
araç: 
veya 
ve belirlenmiş 
veya 
;
veya 
araç 
veya 
ve belirlenmiş 
veya 
;
, belirtilen 
tüm gerçek sayılar kümesi. Rozetler 
"sonsuzluk" sembolleri; bunlara uygunsuz veya ideal sayılar denir. 
Tanım. Mutlak değer (veya modül) eğer sayıya sayının kendisi denirse 
veya 
Eğer 
. Mutlak değer sembolüyle gösterilir 
. Bu yüzden, 
, 
, 
.
(veya 
). Örneğin, 
o zaman mesafe 
.
, 
, yani 
.
. 
1) Eğer 
, O 
. 2) Eğer 
, O . ▲
.
, ardından özellik 2'ye göre: 
yani 
. Aynı şekilde, eğer hayal ederseniz 
sonra eşitsizliğe ulaşırız 
▲ 
– tanımdan şu sonuç çıkar: vakaları dikkate alın 
Ve 
. 
, şu şartla 
Tanımdan da aynı şey çıkıyor.
,
, araç 
. Bu eşitsizlik, aradaki noktalarla karşılanır. 
Ve 
.
eşitsizlikle eşdeğer 
yani . Bu, bir uzunluk noktasında ortalanmış bir aralıktır 
. denir 
bir noktanın komşuluğu (sayı). Eğer 
, o zaman mahalleye delinmiş denir: bu veya 
. (Şekil 1.4).
buradan eşitsizliğin olduğu sonucu çıkıyor 
(
) eşitsizliğe eşdeğerdir 
veya 
; ve eşitsizlik 
için bir dizi noktayı tanımlar 
yani bunlar segmentin dışında kalan noktalardır 
, Kesinlikle: 
Ve 
.
Küme teorisi, matematiksel mantık ve modern matematiğin diğer dallarından yaygın olarak kullanılan bazı kavram ve gösterimleri sunalım.
; okur" X ait A» ( 
öğeler için dahil etme işareti). Eğer nesne X dahil değil A sonra yazıyorlar 
; okur: " X ait değil A" Örneğin, 
N; 8,51
N; ama 8.51 
R.
. Tüm elemanların tanımlarını yazmak mümkünse, yazın 
, 
vb. Tek bir eleman içermeyen bir kümeye boş küme denir ve sembolüyle gösterilir; örneğin, denklemin kökleri (gerçek) kümesi 
boş var.
bir kümenin parçası veya alt kümesi denir B ve yaz 
; okur" A içinde bulunan B» ( 
kümeler için bir dahil etme işareti vardır). Örneğin, NZR. Eğer 
, sonra setlerin olduğunu söylüyorlar A Ve B eşittirler ve yazarlar 
. Aksi takdirde yazarlar 
. Örneğin, eğer 
, A 
Denklemin kökleri kümesi 
, O .
(Bazen 
). Ait olan bir dizi öğe ve A Ve B, isminde kavşak ayarlar ve gösterilir 
. Bir kümenin tüm elemanlarının kümesi ^A, içinde yer almayan B, isminde fark ayarlar ve gösterilir 
. Bu işlemler şematik olarak aşağıdaki gibi gösterilebilir:
. Herhangi bir set A doğal sayılar kümesine eşdeğer N= çağrıldı sayılabilir veya sayılabilir. Başka bir deyişle, elemanları sonsuz bir şekilde numaralandırılıp düzenlenebilen bir kümeye sayılabilir denir. alt dizi 
, tüm üyeleri farklıdır: 
en 
şeklinde yazılabilir. Diğer sonsuz kümelere denir sayısız. Kümenin kendisi dışında sayılabilir N,örneğin setler olacak 
, Z. Tüm rasyonel ve cebirsel sayıların kümelerinin sayılabilir olduğu ve tüm irrasyonel, aşkın, gerçek sayıların ve herhangi bir aralıktaki noktaların eşdeğer kümelerinin sayılamaz olduğu ortaya çıktı. İkincisinin süreklilik gücüne sahip olduğunu söylüyorlar (güç, sonsuz bir küme için eleman sayısı (sayı) kavramının bir genellemesidir).
. Sembol 
şu anlama gelir: “eğer doğruysa, o zaman doğrudur ve” veya “bu takip eder”, “denklemin kökünün İngilizce'den gelen özelliğe sahip olduğunu ima eder Var olmak- var olmak.
, veya 
, şu anlama gelir: özelliğe sahip (en az bir) nesne var 
. Ve kayıt 
, veya 
, şu anlama gelir: Herkesin mülkiyeti vardır. Özellikle şunu yazabiliriz: 
Ve .
