Задължителен вектор 
Ако , тогава системата (1) се нарича необусловена. В този случай грешките в коефициентите на матрицата и в дясната част или грешките при закръгляване в изчисленията могат значително да изкривят решението.
При решаването на много задачи дясната част на системата (1) и коефициентите на матрица А са известни приблизително. В този случай вместо точната система (1) имаме друга система
такова, че
Предполагаме, че стойностите на и d са известни.
Тъй като вместо система (1) имаме система (2), можем да намерим само приблизително решение на система (1). Методът за конструиране на приблизително решение на система (1) трябва да е устойчив на малки промени в изходните данни.
Псевдорешение на система (1) е вектор, който минимизира несъответствието в цялото пространство.
Нека x 1 е някакъв фиксиран вектор от , обикновено определен от постановката на проблема.
Решение на система (1), нормално по отношение на вектора x 1, е псевдорешение x 0 с минимална норма, т.е.
където F е множеството от всички псевдорешения на система (1).
освен това 
където ¾ са компонентите на вектора x.
За всяка система от тип (1) съществува нормално решение, което е единствено. Проблемът за намиране на нормално решение на система с неправилни условия (1) е неправилно поставен.
За да намерим приблизително нормално решение на система (1), използваме метода на регуляризация.
Според този метод конструираме изглаждащ функционал на формата
и намерете вектора, който минимизира този функционал. Освен това, параметърът за регулиране a се определя еднозначно от условието
Където 
.
Изродените и лошо обусловени системи могат да бъдат неразличими в рамките на дадена точност. Но ако има информация за разрешимостта на система (1), тогава вместо условие (5) трябва да се използва следното условие:
Компоненти 
векторите са решения на система от линейни алгебрични уравнения, която се получава от условието за минимум на функционала (4)
и изглежда като
където E е матрицата на идентичност,
¾ Ермитова спрегната матрица.
На практика изборът на вектор изисква допълнителни съображения. Ако те не присъстват, тогава приемете =0.
За =0 записваме система (7) във формата
Където 
Намереният вектор ще бъде приблизително нормално решение на система (1).
Нека се съсредоточим върху избора на параметър a. Ако a=0, то системата (7) се превръща в некондиционирана система. Ако a е голямо, тогава системата (7) ще бъде добре обусловена, но регулираното решение няма да бъде близо до желаното решение на система (1). Следователно твърде голямо или твърде малко a не е подходящо.
Обикновено на практика изчисленията се извършват с редица стойности на параметъра a. Например,
За всяка стойност на a намерете елемента, който минимизира функционала (4). Желаната стойност на параметъра за регулиране се приема като число a, за което равенството (5) или (6) е изпълнено с необходимата точност.
III. УПРАЖНЕНИЕ
1. Да се състави система от линейни алгебрични уравнения, състояща се от три уравнения с три неизвестни, с детерминанта, чиято стойност е от порядъка на 10 -6.
2. Конструирайте втора система, подобна на първата, но имаща други свободни членове, които се различават от свободните членове на първата система с 0,00006.
3. Решете построените системи, като използвате метода на регуляризация (приемайки =0 и d=10 -4) и някой друг метод (например метода на Гаус).
4. Сравнете получените резултати и направете изводи за приложимостта на използваните методи.
IV. ИЗГОТВЯНЕ НА ДОКЛАДА
Докладът трябва да представя:
1. Заглавие на произведението.
2. Постановка на проблема.
3. Описание на алгоритъма (метода) на решението.
4. Текст на програмата с описание.
5. Резултати от програмата.
БИБЛИОГРАФИЧЕН СПИСЪК
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методи за решаване на неправилно поставени задачи. - М.: Наука, 1979. 286 с.
2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобелков Г.М. Числени методи. - М.: БИНОМ. Лаборатория на знанието, 2007 636 с.
Лабораторна работа № 23
Препис
1 6. Изродени и зле обусловени SLAE 1 6. Изродени и зле обусловени SLAE Нека сега разгледаме два вида SLAE (27) с квадратна матрица A с размер MxM: изродена система (с нулев детерминант A =0); зле обусловена система (детерминантата А не е равна на нула, но числото на условието е много голямо). Въпреки факта, че тези видове системи от уравнения се различават значително една от друга (за първата няма решение, а за втората има само едно), от практическа гледна точка на компютъра има много общо между тях. Изродена система е система, описана от матрица с нулев детерминант A =0 (сингулярна матрица). Тъй като някои уравнения, включени в такава система, са представени чрез линейна комбинация от други уравнения, тогава всъщност самата система е недостатъчно определена. Лесно е да се разбере, че в зависимост от конкретния тип на вектора b от дясната страна има или безкраен брой решения, или нито едно. Нека разгледаме първия случай, когато SLAE A x=b с сингулярна квадратна матрица A няма нито едно решение. Тази опция се свежда до конструиране на нормално псевдорешение (т.е. да се избере от безкраен набор от решения това, което е най-близо до определен, например нулев вектор). Нека дадем пример за такъв проблем (за система от две уравнения) A= , b= (37) SLAE (37) е илюстриран на фиг. 19, което показва, че двете уравнения, определящи системата, определят две успоредни прави в равнината (x 1, x 2). Линиите не се пресичат в нито една точка
2 2 6. Изродени и зле обусловени СЛАУ в една точка от координатната равнина и съответно не съществува решение на системата. Обърнете внимание, че SLAE, дефиниран от неособена квадратна матрица с размер 2x2, дефинира двойка пресичащи се прави в равнината (вижте фигурата по-долу). Също така си струва да се каже, че ако системата беше последователна, тогава геометричното представяне на уравненията би било две съвпадащи линии, описващи безкраен брой решения. Ориз. 19. Графично представяне на несъвместим SLAE Фиг. 20. Графика на сеченията на остатъка f(x)= A x b в зависимост от x 1 Лесно е да се досетим, че в разглеждания сингулярен случай ще има безкрайно много псевдорешения на системата (37), минимизиращи остатъка A x b, и те ще лежат на третата права линия, успоредна на две, показани на фиг. 19 и разположен в средата между тях. Това е илюстрирано на фиг. 20, която показва няколко секции на остатъчната функция f(x) = A x b, които показват наличието на семейство от минимуми с еднаква дълбочина. За да се определи уникално решение, трябва да се избере от целия набор от псевдо-решения това, което има
3 6. Изродени и зле обусловени SLAE 3 по най-малката норма. По този начин, в единствения случай, за да се получи разграничено решение, е необходимо да се реши числено многомерен проблем за минимизиране. Въпреки това, както ще видим по-късно, по-ефективен начин е да се използва регуларизация или ортогонални матрични декомпозиции (виж съответно 7 и 10). Нека сега да се обърнем към некондиционирани системи, т.е. SLAE с матрица A, чиято детерминанта не е равна на нула, но числото на условието A -1 A е голямо. Въпреки факта, че лошо кондиционираните системи имат уникално решение, на практика често няма смисъл да се търси това решение. Нека разгледаме свойствата на лошо обусловените SLAE, като използваме два конкретни примера за много близки лошо обусловени SLAE с една и съща дясна страна b и малко по-различни матрици A и B: A= B=, b=, 3 5. (38 ) Въпреки близостта на тези системи, точните им решения се оказват много далеч едно от друго, а именно: y A = , y B = (39) Ако си спомним наличието на шум, т.е. относно винаги присъстващата грешка във входните данни, става ясно, че решаването на лошо обусловени системи чрез стандартни методи няма никакъв смисъл. Спомнете си, че проблемите, при които малки грешки в модела (матрица A и вектор b) водят до големи грешки в решението, се наричат неправилни. По този начин неправилно обусловените SLAE са типичен пример за неправилно поставени проблеми. Освен това трябва да се отбележи, че за система от две уравнения е лесно да се получи точно решение, но при решаване на SLAE с висока размерност (включително с „точния“ алгоритъм
4 4 6. Изродени и лошо обусловени Гаусови SLAE) дори малки грешки при закръгляване, които неизбежно се натрупват по време на изчисленията, водят до огромни грешки в резултатите. Възниква въпросът: има ли смисъл да се търси числено решение, ако предварително се знае, че поради нестабилността на самата задача то може да се окаже напълно неправилно? За по-нататъшно разбиране на причината за некоректността е полезно да се сравни графичната интерпретация на добре (фиг. 21) и лошо (фиг. 22) кондиционирана система от две уравнения. Решението на системата се визуализира от точката на пресичане на две прави линии, представляващи всяко от уравненията. Ориз. 21. Графика на добре кондициониран SLAE Фиг. 22. Графика на лошо обусловена SLAE От фиг. 22 може да се види, че правите линии, съответстващи на лошо обусловената SLAE, са разположени в непосредствена близост една до друга (почти успоредни). В тази връзка малките грешки в местоположението на всяка от линиите могат да доведат до значителни грешки при локализиране на точката на тяхното пресичане (решения на SLAE), за разлика от случая на добре обусловена система, когато малки грешки в наклонът на линиите има малък ефект върху местоположението на тяхната пресечна точка (фиг. 21).
5 6. Изродени и лошо обусловени SLAE 5 Обърнете внимание, че лошо обусловената матрица също е типична при реконструиране на експериментални данни, дадени от свръхдетерминирани (несъвместими) SLAE (например при томографски проблеми). За решаване на неправилно поставени проблеми, по-специално на изродени и неправилно обусловени SLAE, е разработен много ефективен метод, наречен регуляризация. Тя се основава на отчитане на допълнителна априорна информация за структурата на решението, която много често е налична в практически случаи.
10. QR- и SVD-декомпозиции: “лоши” SLAE 1 10. QR- и SVD-декомпозиции: “лоши” SLAE Сред матричните декомпозиции специална роля играят ортогоналните, които имат свойството да запазват нормата на вектор. Нека ви напомним
7. Регуляризация 1 7. Регуляризация За решаване на неправилно поставени проблеми съветският математик Тихонов предложи прост, но изключително ефективен метод, наречен регуляризация и основан на включването
Пример: претегляне 1 Пример: претегляне Нека дадем още по-проста интерпретация на обратния проблем, свързан с обработката на резултатите от експеримент, например претегляне на обекти от два вида
Тема Числени методи на линейната алгебра - - Тема Числени методи на линейната алгебра Класификация Има четири основни раздела на линейната алгебра: Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE)
UDC 55 Isabekov KA Madanbekova EE YSU named after KTynystanov ЗА ПРИБЛИЖЕННОТО РЕШЕНИЕ НА ЛОШИ УСЛОВНИ СИСТЕМИ ОТ ЛИНЕЙНИ АЛГЕБРИЧНИ УРАВНЕНИЯ Тази статия представя алгоритми за два метода за решаване на лошо
Специален компютърен семинар с научни изследвания Николай Матвеевич Андрушевски, Факултет по компютърни науки, Московски държавен университет Резюме Семинарът се основава на подробно проучване на метода за сингулярно разлагане на матрици и неговото приложение
Свръхдетерминирани системи от линейни уравнения Скалко Юрий Иванович Цибулин Иван Шевченко Александър Свръхдетерминирани SLAE Свръхдетерминирани SLAE Помислете за SLAE Ax = b, но в случая, когато има повече уравнения,
Системи от линейни алгебрични уравнения Основни понятия Система от линейни алгебрични уравнения (SLAE) е система от формата a a a, a a a, a a a Тя може да бъде представена като матрично уравнение
Ne LA изпит за бакалаври по икономика през учебната 04-0 година, Намерете вектора Ne (6 4; 6 8) и Ne DEMO опция 0 (x; y) (за които Ne и x< 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный
Уравнение на права в пространството 1 Правата е пресечната точка на две равнини. Система от две линейни уравнения с три неизвестни. Правата линия в пространството може да се определи като пресечната точка на две равнини. Позволявам
ЛЕКЦИЯ 6 СПЕКТРАЛНИ ЗАДАЧИ. Методи на спускане В последната лекция бяха разгледани итеративни методи от вариационен тип. За системата Au = f, за която A = A, е въведен функционалът Φ(u, u).
11. Линейна редукция 1 11. Линейна редукция Нека завършим нашия разговор за линейните обратни задачи, като представим друг подход, наречен редукция. По същество това е много близо до регулацията (в някои
01 1. Намерете общите и основни решения на системата от уравнения: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, като изберете x и x като основни променливи. Отговор: Ако изберем като основни променливи
Демо 01 1. Намерете общите и основни решения на системата от уравнения: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, като изберете x и x като основни променливи. 2. Намерете основата на системата
Московски държавен технически университет на име Н. Е. Бауман, Факултет по фундаментални науки, Катедра по математическо моделиране ÀÍ Kasikov,
UDC 57.9 Игрунова С.В., кандидат на социологическите науки, доцент, доцент на катедрата по информационни системи Русия, Белгород Кичигина А.К. Студент 4-та година, Институт по инженерни технологии и природни науки
6 Методи за апроксимация на функции. Най-добро приближение. Методите за приближение, обсъдени в последната глава, изискват възлите на функцията на мрежата да принадлежат стриктно към получения интерполант. Ако не изисквате
ЕЛЕМЕНТИ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА КЛАСИФИКАЦИЯ НА МАТРИЦИ И ОПЕРАЦИИ ВЪРХУ ТЯХ Дефиниране на матрица Класификация на матрици по размер Какво представляват нулевите и единичните матрици? При какви условия матриците се считат за равни?
) Концепция за SLAE) Правило на Крамер за решаване на SLAE) Метод на Гаус 4) Ранг на матрицата, теорема на Кронекер-Капели 5) Решаване на SLAE чрез инверсия на матрицата, концепция за кондициониране на матрици) Концепция за SLAE O. Система SLAE
Паралелни изчисления в томографията Алгебрични методи на компютърната томография. Задача от компютърна томография в дискретна форма Задача от компютърна томография в дискретна форма. За разлика
ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕНО РЕШАВАНЕ НА СЛАУ По правило при решаването на повечето практически задачи задачата за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (СЛАУ) се среща под формата на някаква спомагателна подзадача.
Примери за основни задачи в метода на Гаус на LA Определени системи от линейни уравнения Решаване на система от линейни уравнения чрез метода на Гаус x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решаване на система от линейни уравнения чрез метода на Гаус 6
Изследване на операции Определение Операцията е събитие, насочено към постигане на определена цел, което позволява няколко възможности и тяхното управление Определение Изследване на операции набор от математически
Лекция 3. 3. Метод на Нютон (тангенси. Нека зададем някакво начално приближение [,b] и линеаризираме функцията f(в околността, използвайки сегмент от реда на Тейлър f(= f(+ f "((-. (5 Вместо уравнението (решаваме
Уравнения на права и равнина Уравнение на права на равнина.. Общо уравнение на права. Знак за паралелност и перпендикулярност на линиите. В декартови координати всяка права линия в равнината Oxy е дефинирана
Московски държавен технически университет на името на N.E. Бауман Факултет по фундаментални науки Департамент по математическо моделиране A.N. Касиков,
Примери за попълване на контролни работи по време на дистанционно обучение Контролна работа 1 (CR-1) Тема 1. Линейна алгебра Задача 1 Необходимо е да се реши системата от уравнения, представена в задачата под формата на постоянни параметри
Московски държавен технически университет на име. Н.Е. Бауман Факултет Фундаментални науки Департамент Висша математика Аналитична геометрия Модул 1. Матрична алгебра. Векторна алгебра Лекция
Билет. Матрици, действия върху тях.. Уравнение на парабола в каноничната координатна система. Билет. Свойства на матричните операции. Ъгълът между тях, условията за успоредност
3 СЪДЪРЖАНИЕ 1. Цели и задачи на дисциплината 4. Място на дисциплината в структурата на БОП 4 3. Структура и съдържание на дисциплината 5 3.1. Структура на дисциплината 5 3.. Съдържание на дисциплината 6 4. Списък на учебно-методически материали
ПРАКТИЧЕСКИ УРОЦИ Урок НЕОБХОДИМИ И ДОСТАТЪЧНИ УСЛОВИЯ ЗА БЕЗУСЛОВЕН ЕКСТРЕМУМ Постановка на проблема Дадена е два пъти непрекъснато диференцируема функция f (), дефинирана на множеството X R Изисква се да се изследва
Решения на задачи по алгебра за втори семестър Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейни векторни пространства Задача 1. Линейно зависими ли са векторите в R4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,
Федерална държавна образователна бюджетна институция за висше професионално образование "Финансов университет към правителството на Руската федерация" (Финансов университет) КАТЕДРА "МАТЕМАТИКА"
Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Покажете, че векторът;;) ;;) ; ;) формирайте основата на вектора и напишете линейна комбинация от вектора If;;) върху тези вектори намерете X от уравнението Покажете, че векторът;)
Теорема на Кронекер-Капели. Решаване на SLAE по метода на Гаус. Ранг на матрицата. Да разгледаме правоъгълна матрица с m реда и колони: A. m m m Нека изберем произволни редове и колони в тази матрица. Елементи
Системи от линейни уравнения с две променливи Система от уравнения от вида се нарича система от линейни уравнения с две променливи. Решението на система от уравнения с две променливи е двойка стойности
ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА Лекция Права и равнина в пространството Съдържание: Уравнение на равнина Взаимно разположение на равнини Векторно-параметрично уравнение на права Уравнения на права от две точки Права
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ Факултет по приложна математика на процесите на управление А. П. ИВАНОВ, Ю. В. ОЛЕМСКОЙ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ ЗА МИНИМИЗАЦИЯ НА КВАДРАТИЧНАТА ФУНКЦИЯ Методика
0 g 6 Proceedings FORA УСЛОВНО НОМЕР НА МАТРИЦА КАТО ИНДИКАТОР ЗА СТАБИЛНОСТ ПРИ РЕШАВАНЕ НА ПРИЛОЖНИ ПРОБЛЕМИ R Tsey, MM Shumafov Адигейски държавен университет, Майкоп Условен номер на матрица
МАТРИЦИ, ДЕТЕРМИНАНТИ, СИСТЕМИ ОТ ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ Метод на гранични минори за намиране на ранга на матрица A = m m m минор Минор k от ред k на матрица A е всеки детерминант от k-ти ред на тази матрица,
ЛЕКЦИЯ 4 ИТЕРАТИВНИ МЕТОДИ ЗА РЕШАВАНЕ НА SLAE За да намалите грешката, свързана със закръгляването, прибягвайте до следния алгоритъм. Нека u е точно решение на системата, u е числено решение. След това въвеждаме
1. Линейни системи и матрици 1. Дефиниране на матрично умножение. Комутативна ли е тази операция? Обяснете отговора. Произведението C на матриците A и B се дефинира като m p m p A B ij = A ik B kj. Операцията не е комутативна.
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ ТОМСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ ПО СИСТЕМИ ЗА УПРАВЛЕНИЕ И РАДИОЕЛЕКТРОНИКА (ТУСУР) Ю.Е. Воскобойников А.А. Мицел НЕПРАВИЛНИ МАТЕМАТИЧЕСКИ ЗАДАЧИ
ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА Разделът „Числени методи на линейната алгебра“ обсъжда числени методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) и числени методи за решаване на проблеми
АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Вектори. Списък с въпроси за първата част на изпита 1. Формулирайте определението за линейни операции върху вектори. Избройте свойствата на линейните операции
Системи от линейни алгебрични уравнения Да разгледаме система от m линейни алгебрични уравнения с неизвестни b b () m m m bm Системата () се нарича хомогенна, ако всички нейни свободни членове b b b m са равни
4. Системи линейни уравнения. Основни понятия Едно уравнение се нарича линейно, ако съдържа неизвестни само на първа степен и не съдържа произведения на неизвестни, т.е. ако има формата + + +
Линейна алгебра Лекция 7 Вектори Въведение В математиката има два вида величини: скалари и вектори. Скаларът е число, а векторът интуитивно се разбира като обект, който има величина и посока Векторно смятане.
Списък с въпроси за изпита по числени методи (28 май 2018 г.) 0.1 Числено интегриране 1. Избройте методи за изчисляване на неправилни интеграли. Конструирайте квадратурна формула за изчисляване на интеграла
Паралелни изчисления в томографията Метод на проста итерация. Методът на бързото спускане. АРТ метод. SIRT метод. При простия итерационен метод факторите на релаксация τ k и матриците H k не зависят от числото
Въведение в линейната матрична алгебра. Определение. Таблица от m n числа от вида m m n n mn, състояща се от m реда и n колони, се нарича матрица. Елементите на матрицата се номерират подобно на елементите на детерминантата
ЛЕКЦИЯ 7 ИНТЕРПОЛАЦИЯ В последната лекция беше разгледана задачата за решаване на свръхопределена система. Такава система има формата: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1 x = f 1, ( a 1 x 1 + a x + + a x = f, ( a 1 x 1 + a x
ТЕОРЕТИЧНИ ВЪПРОСИ I. МАТРИЦИ, ДЕТЕРМИНАНТИ 1) Дайте дефиниция на матрица. Какво представляват нулевите и идентичните матрици? При какви условия матриците се считат за равни? Как се извършва операцията по транспониране? Кога
Лекция 7 ПРИВЕЖДАНЕ НА КРИВА ОТ ВТОРИ РЕД ДО КАНОНИЧНА ФОРМА. Трансформация на бази и координати в равнината Нека на равнината са дадени две правоъгълни декартови координатни системи с общо начало:
Линейна алгебра Модул 1. Линейни и евклидови пространства. Линейни оператори в линейно пространство Лекция 1.4 Резюме Собствени вектори и собствени стойности на линеен оператор, техните свойства.
UDC. СИНТЕЗ НА РЕКУРСИВНИ ЦИФРОВИ ФИЛТРИ ПО ИМПУЛСНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ЕЛЕМЕНТАРНА МАТЕМАТИЧЕСКА ФУНКЦИЯ Никитин Д.А., Ханов В.Х. Въведение В съвременния арсенал от методи за синтезиране на рекурс
Глава 8 Функции и графики Променливи и зависимости между тях. Две количества се наричат правопропорционални, ако съотношението им е постоянно, т.е. ако =, където е постоянно число, което не се променя с промени
Метод на Гаус (метод за елиминиране на неизвестни) Две системи се наричат еквивалентни (еквивалентни), ако техните решения съвпадат. Можете да отидете до еквивалентна система, като използвате елементарни трансформации
Лабораторна работа №3
Решаване на лошо обусловени системи от линейни алгебрични уравнения
Метод на регулиране
Входни параметри: n-положително цяло число, равно на реда n на системата; a е масив от n x n реални числа, съдържащ матрицата на системните коефициенти; b - масив от n реални числа, съдържащ колона от свободни членове на системата (b(1) = b 1, b(2)=b 2, …b(n)=b n) .
Изходни параметри: x – системно решение; p-брой итерации.
Диаграмата на алгоритъма е показана на фигура 18.
Текст на програмата:
процедура regul(N:Цяло число;a:Tmatr;b:Tvector;var X:Tvector; var p:integer);
var a1,a2:tmatr; b1,b2,x0:tvector; алфа,s1,s:реално; max,eps:реално; i,j,k,l:цяло число;
Out_Slau_T(n,a,b);
За I:=1 To n Do (получаване на A T A)
За K:=1 To N Do
За J:=1 Към N Направете S:=S+A*A;
За I:=1 To N Do (получаване A T B)
За J:=1 To N Do
Започнете S:=S+A*B[j];
алфа:=0; (първоначална алфа стойност)
k:=0; (брой повторения)
алфа:=алфа+0,01; вкл.(k); a2:=a1;
за i:=1 до N направете a2:=a1+alfa; (получаване на A T A+алфа)
за i:=1 до N направете b2[i]:=b1[i]+alfa*x0[i]; (получаване на A T B+алфа)
SIMQ(n,a2,b2,l);
a2:=a1; X:=b2; x0:=X; b2:=b1;
vozm(N,eps,a2,b2);
simq(n,a2,b2,l);
за i:=2 до n направи
if abs(b2[i]-X[i])>max then max:=abs(b2[i]-X[i]);
X1 = 1,981 X2 = 0,4735
Фигура 18 - Схема на алгоритъма на метода за регулиране
Варианти на задачи за решаване на лошо обусловени системи с помощта на метода на регуляризация са дадени в таблица 3.
Метод на ротация (Givens)
Диаграмата на алгоритъма е показана на фигура 19.
Пример. Решете система от уравнения
Текст на програмата:
ПРОЦЕДУРА Vrash;
Var I,J,K: Цяло число; M,L,R: Реално; F1:ТЕКСТ; Етикет M1,M2;
Out_Slau_T(nn,aa,b);
за i:=1 до Nn do
За I:=1 до Nn-1 Започнете
За K:=I+1 To Nn Do Begin
Ако (Aa0.0) Тогава отидете на M1; Ако (Aa0.0) Тогава отидете на M1;
1:M:=Sqrt(Aa*Aa+Aa*Aa);
L:=-1.0*Aa/M;
M2: За J: = 1 до Nn Започнете
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
За I:=Nn Downto 1 Do Begin
За K:=0 до Nn-I-1 Започнете M:=M+Aa*Aa; Край;
Aa:=(Aa-M)/Aa; Край;
за i:=1 до Nn do x[i]:=Aa;End;
Изчисленията по програмата доведоха до следните резултати:
X1 = 1,981 X2 = 0,4735
Фигура 19 - Схема на алгоритъма на метода Givens (ротация)
Варианти на задачите
Таблица 3
|
Матрица А |
Матрица А |
||||||
Темата на лабораторна работа № 3 за контрол на знанията е илюстрирана с програма за контрол и обучение.
Лабораторна работа №4
Решаване на нелинейни уравнения и системи от нелинейни уравнения
Метод на проста итерация
Процедура за извършване на лабораторна работа:
Намерете нулевото приближение на решението;
Преобразувайте системата f(x) = 0 във вида x = Ф(x);
Проверете условието за сходимост на метода.
Диаграмата на алгоритъма е показана на фигура 20.
Пример. Решете системата, като използвате метода на проста итерация
Като нулево приближение избираме точката x = 1, y = 2.2, z = 2. Нека преобразуваме системата във формата
Текст на програмата:
ПРОЦЕДУРА Итераз;
Var I,J,K,J1: Цяло число;
X2,X3,Eps: Реално;
Eps:=0,01; X2:=0,0; К:=1;
За J:=1 To Nn Do Begin
За I:=1 To Nn Do Begin S:=S+Aa*Xx[i]; Край;
За J1:=1 To Nn Do Begin Xx:=R; Край; X3:=Xx;
For I:=1 To Nn Do Begin If (Xx[i]>=X3) Then X3:=Xx[i]; Край;
За I:=1 To Nn Do Begin Xx[i]:=Xx[i]/X3; Край;
X1:=X3; U:=Abs(X2-X1); U1:=U/Abs(X1);
Ако (U1>=Eps) Тогава X2:=X1;
До ((K>=50) или (U1
Изчисленията по програмата доведоха до следните резултати:
X(1)= 1,1132 X(2)= 2,3718 X(3)= 2,1365
Брой повторения: 5
Фигура 20 - Алгоритъмна диаграма на метода с проста итерация
Метод на Нютон
Програмата може да се използва за решаване на системи от ред не по-висок от десети.
Входни параметри: n - брой уравнения на системата (съвпада с броя на неизвестните), n £ 10; x-масив от n реални числа, съдържащ първоначалното предположение на решението; f е името на външната процедура f(n, x, y), която изчислява на базата на зададени стойности x, разположени в елементите на масива x, текущите стойности на функцията f и ги поставя в елементите на масива y; g - името на външната процедура g(n, x, d), която изчислява матрични елементи от дадените стойности x от масива x 
, който се намира в масив d с размерност n x n; eps - стойността на условието за завършване на итеративния процес.
Изходни параметри: x - масив от n реални числа (известен още като вход) съдържа приблизителната стойност на решението при излизане от подпрограмата; k е броят на повторенията.
UDC 519.61:621.3
В.П. ВОЛОБОЕВ*, В.П. КЛИМЕНКО*
ОТНОСНО ЕДИН ПОДХОД ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕУСЛОВНА СИСТЕМА ОТ ЛИНЕЙНИ АЛГЕБРИЧНИ УРАВНЕНИЯ, ОПИСВАЩИ ФИЗИЧЕСКИ ОБЕКТ
Институт за проблеми на математическите машини и системи на Националната академия на науките на Украйна, Киев, Украйна
Резюме. Показано е, че вероятността от резултатите от моделирането на физически обекти, чийто дискретен модел е описан от система от линейни алгебрични уравнения (SLAR), не е резултат от лошия дизайн на матрицата, а в резултат на неправилен избор на променлив SLAR на етапа на сгънати нива с помощта на метода на възловите потенциали или неговите аналози и самия метод. Това е основно отклонение от метода за правилно задаване на задачата. Метод за проверка на коректността на SLAR, образуван от е предложен метод на потенциалите на възлите, който има непокътната симетрична матрица, и е необходимо да се трансформира в правилната форма.
Ключови думи: система, моделиране, неправилна настройка, лошо разсъждение, система от линейни алгебрични уравнения, метод на възловите потенциали, метод за правилна постановка на задачата, проверка за коректност.
Анотация. Показано е, че надеждността на резултатите от моделирането на физически обекти, чийто дискретен модел се описва от система от линейни алгебрични уравнения (SLAE), зависи не от лошата условност на матрицата, а от неправилния избор на SLAE променливи на етапа на съставяне на уравнения, използвайки метода на възловите потенциали или неговите аналози, а самият метод е частен случай на метода за правилно формулиране на проблема. Предложена е техника за проверка на коректността на SLAE, съставена по метода на възловите потенциали, имаща неизродена и симетрична матрица и, ако е необходимо, нейното преобразуване в правилна форма.
Ключови думи: система, моделиране, неправилна задача, неправилна обусловеност, система от линейни алгебрични уравнения, метод на възловите потенциали, метод за правилно формулиране на задачата, проверка за коректност.
Резюме. Статията показва, че надеждността на резултатите от симулацията на физически обекти, чийто дискретен модел е описан от система от линейни алгебрични уравнения (SLAE), зависи не от лошо кондиционирана матрица, а от неправилен избор на променлива SLAE на етапа на генериране на уравнения чрез възлов потенциален метод или негови аналози, като методът е частен случай на метод за правилно постановяване на проблем. Предложен е методът за проверка на коректността на SLAE, направен чрез метода на възловия потенциал, имащ неособена и симетрична матрица и, ако е необходимо, нейното преобразуване в правилна форма.
Ключови думи: система, симулация, некоректен проблем, лошо обусловен, система от линейни алгебрични уравнения, възлов потенциален метод, метод за коректна постановка на проблем, проверка на коректността.
1. Въведение
Много проблеми на моделирането на физически (технически) обекти се свеждат до решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE). Тъй като всички изчисления при решаването на такива системи се извършват с краен брой значими цифри, точността може да бъде значително загубена поради грешки в закръгляването. Лошо обусловена (нестабилна) система или в по-обща формулировка неправилно поставен проблем се счита за проблем, който при фиксирано ниво на грешки при въвеждане на данни и точност на изчисленията не гарантира никаква точност на решението. Номерът на условието се използва като априорна най-лоша оценка на възможните грешки при решаването на SLAE. Както следва от литературата, разработването на методи за решаване на неправилно поставени проблеми се разглежда като чисто математически проблем, в който характеристиките на физическите (техническите) обекти не се вземат предвид, въпреки факта, че численото решение на много проблеми по математическа физика и математическо моделиране на сложни физични процеси
© Волобоев В.П., Клименко В.П., 2014 г
сови и технически системи е неизчерпаем източник на проблеми с линейната алгебра. За изброения клас проблеми при разработването на методи за решаване не се взема предвид етапът на съставяне на SLAE, при който по един или друг начин е възможно да се вземат предвид характеристиките на конкретен проблем. Фактът, че този етап трябва да се вземе предвид, се потвърждава от резултатите от следващите работи.
На първо място, заслужава да се отбележи работата, която предоставя примери за матрици, за които загубата на точност при решаване на SLAE е малка, а стойността на числото на условието е огромна, т.е. показва се, че общоприетият критерий за априорна оценка на точността на решаване на SLAE въз основа на числото на условието е необходима, но не е достатъчна. В разработката беше предложен напълно нов подход за решаване на неправилно поставен проблем. Това се крие във факта, че за да се повиши точността на решаване на SLAE, дори при голяма стойност на числото на условието, на етапа на описание на дискретен модел на физически обект се предлага правилно да се съставят SLAE. Това означава не само, че такива матрици съществуват, както се съобщава в работата, но също така, че е предложен метод за правилно компилиране на SLAE матрица, която описва дискретен модел на обект. Методът за съставяне на матрица на SLAE се разглежда във връзка с проблемите на моделиране на поведението на електрически вериги, енергийни системи, прътови системи на механиката и елиптични уравнения на математическата физика.
Същността на този метод е, че за разлика от съществуващите методи, когато се формира SLAE, параметрите на дискретен модел на физически обект се вземат предвид чрез целенасочен избор на променливи. Трябва да се отбележи, че методът е приложим само за тези обекти, чиято топология на дискретния модел е представена чрез графика.
Това изискване се удовлетворява от проектния модел на електрическата верига и енергийната система. За много проблеми на математическото моделиране на сложни физически процеси, технически системи и математическа физика не се използва представянето на топологията на дискретен модел под формата на графика. Работите показват, че горното ограничение се премахва чрез представяне на топологията на елементите на проектните схеми на дискретен модел на физически обект под формата на графика. Съществува и метод за представяне на топологията на елементите под формата на графики.
В тази статия ще предложим метод за коригиране на неправилно поставен проблем за случая, когато топологията на дискретен модел не е представена под формата на графика. При разработването на метода вземаме предвид факта, че общоприетият метод за описание на дискретни модели на проблеми в математическата физика и сложни физически процеси и технически системи (метод на възловия потенциал) е частен случай на метода за правилно съставяне на SLAE матрица .
2. Връзка между точността на решението на SLAE, описваща дискретен модел на обекта и метода за съставяне на уравнения
Академик Воеводин В.В. показа в своята работа, че най-високата точност на резултатите от решаването на SLAE по метода на Гаус се постига при използване на метода с избора на основния елемент. Въз основа на тази идея са публикувани огромен брой произведения. Решаването на практически проблеми обаче показа, че точността на решаване на SLAE, особено в случай на лошо обусловени матрици, се губи значително поради грешки в закръгляването, тоест, за да се подобри точността на резултатите на етапа на решение, не е достатъчно просто да използваме метода на Гаус с избора на основните елементи.
По-нататъшно развитие на тази идея е методът, предложен в работата, където се предлага на етапа на съставяне на описание на дискретен модел на обект да се формират диагоналните елементи на матрицата като основни. За да направите това, при съставянето на описание се използва допълнителна информация, а именно параметрите на дискретния модел. Ефективността на този подход, а именно зависимостта на точността на решението на SLAE, описващо дискретното
ISSN 1028-9763. Математически машини и системи, 2014, № 4
Нов модел на обекта, от метода за съставяне на уравнения, ще бъде демонстриран с помощта на моделен пример. По-долу ще разгледаме съставянето на описание на примерен модел, използвайки метода, описан в, със и без избор на основния елемент и неговото решение.
Електрическата верига, показана на фиг. 1, е избрана като примерен модел. 1.
Ориз. 1. Електрическа верига
Известно е, че условността на SLAE, описваща електрическа верига, зависи от диапазона на разпространение на стойностите на проводимостта (съпротивлението) на компонентите на веригата. Избраният диапазон от промени в проводимостта на компонентите на електрическата верига, равен на 15 порядъка, осигурява лоша обусловеност на SLAE и по този начин, както обикновено се смята, некоректността на проблема. Използвайки примера за изчисляване на потенциала на възел 2 (напрежение върху компонента G2), ще бъде анализирана зависимостта на надеждността на резултатите от изчислението от метода на формиране на диагоналния елемент при съставянето на описание на електрическата верига.
По-долу са основните разпоредби, необходими за решаване на моделен пример, като се използва методът за правилно формулиране на проблема. Изграждането на математически модел на електрическа верига с помощта на този метод се основава на основната система от уравнения на електрическата верига, която включва компонентни уравнения и уравнения, съставени въз основа на законите на Кирхоф. За моделния пример уравнението на компонента има формата
където U i е падналото напрежение през компонента, I е токът, протичащ през компонента, Gt е проводимостта на компонента.
За да се опише графиката на електрическа верига и съответно уравнения, базирани на законите на Кирхоф, се използват топологични матрици на контури и сечения. Графиката на веригата съвпада с електрическата верига. Компилирането на топологични матрици от контури и сечения включва избор на дърво на графика на веригата и чертане на контури за избраното дърво. Дървото на графиката на електрическата верига е избрано по такъв начин, че всички източници на напрежение да са включени в дървото и всички източници на ток са включени в акорди. Елементите във векторите на напрежение U и токовете I на компонентите на веригата са групирани в тези, включени в дървото (индекс D), т.е. клонове и хорди (индекс X), като по този начин:
Контурите се образуват чрез свързване на акорди към дървото на графиката на веригата. В такъв случай
топологичната матрица на контурите има формата
където 1 е единичната подматрица на хордите, t
Означава транспонирането на матрицата, а топологичната матрица на секциите е във формата |1 -F, където 1 е единичната подматрица на клоните. Както следва от , диагоналните членове на матрицата
ISSN 1028-9763. Математически машини и системи, 2014, № 4
ще бъдат основните в случая, когато проводимостите на компонентите на дървото във веригите имат максимална проводимост. Като се има предвид вида на топологичните матрици, уравненията на веригата, съставени на базата на законите на Кирхоф, могат да бъдат записани в матрична форма, както следва:
техен =-ґid, (3)
Променливите на компилираната система от уравнения се избират от напреженията и/или токовете на компонентите в резултат на анализ на основната система от уравнения. Ако компонентите, включени в клоните на дървото, са избрани като променливи напрежения, компонентните уравнения (1) и уравненията (3), (4) могат да бъдат преобразувани в следната форма:
Gd U d - F(Gx (- FUd)) = 0.
По-долу ще представим компилация от уравнения за моделен пример. Първо се изготвя описание на електрическата верига, така че диагоналните членове на матрицата да са основните. Това изискване се удовлетворява от набора от компоненти E1, G6, G3, G2, включени в дървото (на фиг. 1 клоните на дървото са подчертани с удебелена линия). Следните вектори на напрежения и токове на компоненти съответстват на избраното дърво:
и топологични матрици
Уравнение (5), като се вземат предвид (6), (7) и компонентните уравнения след трансформации, има следната форма:
- (G4 + G5) (G4 + G5) G1 + G2 + G4 + G5
SLAE (8) е лошо обусловен, тъй като собствените стойности на матрицата \= 1.5857864376253, R2 = 5.0E +14+j5.0E +14, A = 5.0E +14 - j5.0E +14. За да се определи как точността на резултатите от решаването на системата зависи от избора на опция за съставяне на уравненията, изчисляването на потенциала Uq на възел 2 ще бъде извършено в общата форма:
ISSN 1028-9763. Математически машини и системи, 2014, № 4
(g1+g2 +g4 +g5)-
От анализа на изчислителния процес (9-11) следва, че въпреки големия диапазон от промени в стойностите на проводимостта (15 порядъка), няма строги изисквания за крайната точност на представянето на числата, както когато съставяне на уравнения и при решаването им. За да се получи надежден резултат, е достатъчно да се извърши изчислителният процес на компилиране и решаване на SLAE с точност на представяне на числа до две значими цифри.
Трябва да се отбележи, че в SLAE (8) диагоналният елемент на втория ред (колона) на матрицата G+G4+G5I е значително по-голям (с 15 порядъка) от сумата на останалите членове
редове (колони) | G4 + 2G51. Това означава, че като вземем UG = 0, можем да опростим SLAE
(8), запазвайки надеждността на резултатите. В ерата на ръчното броене тази техника съответства на комбиниране на възел 2 с 3 (фиг. 1).
Във втория случай (без да избирате диагоналния елемент като основен) е достатъчно да изберете компонентите Ex, G6, G4, G2 в дървото (на фиг. 1 клоните на дървото са отбелязани с пунктирани линии
линия). Спадовете на напрежението на тези компоненти съответстват на възлови потенциали 1, 4, 3, 2, преброени от нулевия възел. Това означава, че при такъв избор на компоненти в дървото методът за правилно съставяне на SLAE матрицата съвпада с метода на възловите потенциали. Следните вектори на напрежения и токове на компоненти съответстват на избраното дърво и акорди:
U D = UG UG G4, Ux = G1 UG3 UG G D G ig G4, Ix = G1 IG3 IG
UG G2 G5 ig G2 G5
и топологични матрици
Уравнение (5), като се вземат предвид (12), (13) и компонентните уравнения, ще приеме следното
ISSN 1028-9763. Математически машини и системи, 2014, № 4
G5 + G6 -G5 0 UG G6 0
G5 G3 + G4 + G5 -G3 Uo. = 0
0 - G3 G1 + G2 + G3 Uo2 G1E1
Системата от уравнения (14) е лошо обусловена, тъй като има следните собствени стойности на матрицата: 1 = 1.0,1 =1015 +у1015,1 =1015-/1015. Както в първата версия на примера, потенциалният UG на възел 2 ще бъде изчислен в общ вид:
(G + G + G)-----------
V 3 4 У (G + G)
+ (G1 + G2 + G3)
3 4 5" (G5 + G6)
От анализа на изчислителния процес на решаване на системата от уравнения (15-17) следва, че надеждността на резултатите зависи както при съставянето, така и при решаването на уравнения от крайната точност на представянето на числата. Така че, ако изчислителният процес на решаване на система (15-17) се извършва с точност по-малка от 15 значещи цифри, тогава резултатът ще бъде
1015 +1015 ~ o,
и в случай, че точността е повече от 15 значещи цифри, ще бъде
1030 + 2*1015 +1030 + %+ 3/1015)
От сравнение на матрици (8) и (14), както и изчислителни процеси за решаване на системи от уравнения, следват следните изводи.
Методът на възловите потенциали е специален случай на метода, предложен в , а именно в метода на възловите потенциали ръбовете на графиката, които свързват основния възел с останалите, винаги се избират в дървото.
Диагоналните елементи на матрицата са по-големи по модул от другите елементи, както в редове, така и в колони, независимо дали матрицата е съставена със или без избиране на максимални диагонали. Единствената разлика е колко по-големи са диагоналните елементи от недиагоналните. Това означава, че решаването на този тип SLAE по метода на Гаус с избора на главния елемент не повишава точността на резултатите за този клас задачи.
ISSN 1028-9763. Математически машини и системи, 2014, № 4
Окончателният брой значими цифри, използвани в решението на Гаус, зависи значително от това дали матрицата е конструирана със или без избиране на максимални диагонални елементи. Разликата между една версия на задачата и друга е само, че на етапа на съставяне на уравненията, в единия случай компонентът с максимална проводимост се избира в дървото и по този начин напрежението на този компонент действа като променлива в SLAE. Проводимостта на този компонент участва само в образуването на диагоналния елемент на матрицата. В друг случай този компонент попада в акордите. Както следва от уравнение (3), напрежението на компонента се определя чрез напрежението на компонентите на дървото. От уравнение (4) следва, че проводимостта на компонента участва във формирането на елементите на редове и колони и по този начин проводимостта на хордата определя размера на тези матрични елементи.
3. Преобразуване на матрицата SLAE, съставена по метода на възловите потенциали, до форма, съответстваща на правилната формулировка
При числено решаване на проблеми на математическата физика и математическото моделиране на сложни физически процеси и технически системи за съставяне на SLAE, които описват дискретни модели на тези проблеми, се използва главно методът на възловите потенциали или неговите аналози. Отличителна черта на този метод е, че като SLAE променливи се използват потенциалите на схемата за проектиране на дискретния модел, преброени от базовия възел до останалите възли, прост алгоритъм за съставяне на уравнения и слабо запълнена матрица на SLAE. Цената за такава ефективност може да бъде некоректността на задачата. Като се има предвид, че методът на възловите потенциали е само един от вариантите на метода за правилно поставяне на проблема, неправилно поставен проблем може да бъде коригиран чрез прилагане на матрична трансформация. По-долу ще разгледаме алгоритъм за трансформиране на проблем, неправилно съставен по метода на възловите потенциали.
От цялото разнообразие от физически обекти ще бъдат разглеждани само тези обекти, чийто линеен дискретен модел е описан от SLAE с неизродена и симетрична матрица.
3.1. Алгоритъм за преобразуване на матрица
При разработването на алгоритъм за преобразуване на матрица се използва фактът, че j-тият недиагонален елемент на i-тия ред на матрицата е включен в матрицата със знак минус и съдържа дискретен параметър на модела, който описва връзката между i-тия и j-тия възел на дискретния модел. Диагоналният елемент е включен в матрицата с положителен знак, съдържа сумата от недиагоналните елементи и дискретен параметър на модела, който описва връзката между i-тия възел и базовия. Обикновено, когато се номерират възли на дискретен модел, основният възел се счита за нула.
Както следва от проведеното по-горе изследване, некоректността на проблема на ниво компилиран SLAE възниква само ако поне един от недиагоналните елементи на линията е значително по-голям от параметъра на дискретния модел, който е включен само в диагоналния елемент. По-долу е дадена методология за проверка на коректността на съставения SLAE.
Нека SLAE има формата
където x е векторът на възловите потенциали (възлови влияния), y е векторът на външните потоци, A е матрица от формата
ISSN 1028-9763. Математически машини и системи, 2014, № 4
а11 а1і a1j a1n
аі1 а,і aj ain , (21)
aJ1 an1 аі aJJ ann
където n е размерът на матрицата. Елементите на матрицата отговарят на следните изисквания:
ai > 0, a.< 0, а. = а]г,1 < i < n, 1 < j < n при j Ф і. (22)
По-долу ще разгледаме проверката на коректността на i-тия ред на матрицата и, ако е необходимо, нейната корекция.
На първо място се определя параметърът на дискретния модел ait, който е включен само в диагоналния елемент на i-тия ред на матрицата,
i-тият ред на матрицата се счита за правилно съставен, ако параметърът ait отговаря на условието
1 < j < n, при j Ф і.
Ако условие (24) не е изпълнено, i-тият ред се коригира. Първо се избира най-големият от недиагоналните елементи. Нека това е j -тият елемент от i -тия ред. Лесно може да се провери, че поради спецификата на състава на матрицата (условие (22)), параметърът на дискретния модел, който участва във формирането на елементите o. и a.^ на i-тия и j-ия ред, е включен като неразделна част в елементите aii и a. . Същността на коригирането на i-тия ред е да преобразувате i-тия и j-тия ред на матрицата, така че стойността на елемента да бъде a. беше включен само в елемент aii. Лесно е да се види това, представяйки променливата xi във формата
X = xj + xj (25)
и извършване на следната трансформация на елементите от j-тата колона на SLAE матрицата
o = ai. + ai, 1< 1 < n , (26)
получаваме нова j-та колона на матрицата, в която преобразуваните елементи са a. и а. не съдържат параметъра на дискретния модел, формирал елементите a. и а. .
Следващата стъпка е да трансформирате j-тия ред с помощта на формулата
aji = a.i + aii, 1< l < n . (27)
Елементите a i на трансформирания j-низ вече не съдържат параметъра на дискретния модел, съответстващ на елемент a i.
ISSN 1028-9763. Математически машини и системи, 2014, № 4
Проверката на коректността на SLAE матрицата и коригирането на неправилни редове се извършва за цялата матрица. В тази работа се разглежда само подходът за конструиране на алгоритъм за преобразуване на матрица в правилната форма. В тази работа не се разглеждат въпроси, свързани с разработването на ефективен алгоритъм за преобразуване на матрица в правилна форма. По-долу ще дадем пример за трансформация на матрицата SLAE (14), съставена по метода на възловите потенциали.
3.2. Демо пример
На първо място, трябва да се отбележи, че матрицата (14) е симетрична и неизродена. Коефициентите на матрицата удовлетворяват условието (22). Възловите потенциали съответстват на спада на напрежението в компонентите
U4 = UG^, U3 = UG, U2 = UG
Като се вземе предвид (28), SLAE (14) може да се представи, както следва:
G5 + G6 - G5 0 U 4 0
G5 G3 + G4 + G5 - G3 U3 = 0
0 - G3 G + G2 + G3 U2 GA
Проверката на коректността на матрицата включва следните операции.
Включено е само определяне по формула (23) на параметъра на дискретния модел ait
в диагонален елемент. За първия ред на матрицата ще бъде G6, за втория ред G4 и за третия - (Gl + G2).
Проверката на редовете на матрицата за коректност се извършва в съответствие с формула (24). В резултат на тази проверка се оказва, че вторият ред не отговаря на изискването за коректност, тъй като (G4 = 1) ^ (G3 = 1015) . Параметърът G3 също е включен в третия ред на матрицата, следователно, в съответствие с формула (25), представянето на променливата U3 е избрано във формата
U3 = U2 + U23, (30)
В резултат на трансформирането на елементите от 3-та колона, в съответствие с формула (26), получаваме матрица (29) със следния вид:
G5 + G6 - G5 - G5
G5 g3 + g4 + g5 g4+g5
и след трансформиране на третия ред, в съответствие с формула (27), матрицата (31) ще има формата
(G5 + G6) - G5 - g5 U 4 0
G5 (G3 + G4 + G) (G4 + G5) U 23 = 0 . (32)
G5 (G4 + g5) (G + G2 + G4+g5) U2 G E
SLAE (32) отговаря на изискването за коректност, така че настройката се счита за завършена. Променливите SLAE (32) съответстват на променливите SLAE (8), т.е.
ISSN 1028-9763. Математически машини и системи, 2014, № 4
В резултат на трансформацията в дърво бяха избрани същите компоненти, както в метода за правилно формулиране на проблема. От сравнение на SLAE (8) и (32) следва, че недиагоналните елементи на матрица (32) на втората колона и втория ред се различават по знак от матрицата (8). Това е резултат от факта, че при трансформирането на матрицата (14) е избрана посоката на тока на компонента G3, противоположна на посоката, избрана при съставянето на SLAE (8). Като заменим променливата U23 с U23 = -U23 и променим знаците на елементите във второто уравнение на противоположни, получаваме матрица (8).
4. Заключение
Моделирането се превърна в неразделна част от интелектуалната дейност на човечеството, а надеждността на резултатите от моделирането е основният критерий за оценка на резултатите от моделирането. За да се гарантира надеждността на резултатите, са необходими нови подходи за разработване на методи и алгоритми за описание на сложни обекти и техните решения.
За разлика от съществуващия подход за разработване на методи за решаване на неправилно поставени проблеми, тази статия предлага да се приведе неправилно поставен проблем (необусловен) в правилна форма. Показано е, че не лошата условност на матрицата затруднява получаването на надеждни резултати при решаване на SLAE, описващи дискретни модели на физически обекти, а неправилният избор на SLAE променливи на етапа на съставяне на уравнения и методът на възловото потенциали и неговите аналози, които се използват за компилиране на SLAE, описващи дискретен модел, е частен случай на метода за правилно формулиране на проблема. Предложена е техника за проверка на коректността на SLAE, съставена по метода на възловите потенциали за случая, когато SLAE матрицата е несингулярна и симетрична. Разглежда се алгоритъм за преобразуване на матрица в правилна форма.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Калиткин Н.Н. Критерий за количествена обусловеност за системи от линейни алгебрични уравнения / N.N. Калиткин, Л.Ф. Юхно, Л.В. Кузьмина // Математическо моделиране. - 2011. Т. 23, № 2. - С. 3 - 26.
2. Волобоев В.П. За един подход за моделиране на сложни системи / V.P. Волобоев, В.П. Клименко // Математически машини и системи. - 2008. - № 4. - С. 111 - 122.
3. Волобоев В.П. За един подход за моделиране на енергийни системи / V.P. Волобоев, В.П. Клименко // Математически машини и системи. - 2009. - № 4. - С. 106 - 118.
4. Волобоев В.П. Механика на прътовите системи и теория на графите / V.P. Волобоев, В.П. Клименко // Математически машини и системи. - 2012. - № 2. - С. 81 - 96.
5. Волобоев В.П. Метод на крайните елементи и теория на графите / V.P. Волобоев, В.П. Клименко // Математически машини и системи. - 2013. - № 4. - С. 114 - 126.
6. Пухов Г.Е. Избрани въпроси на теорията на математическите машини / Пухов G.E. - Киев: Издателство на Академията на науките на Украинската ССР, 1964. - 264 с.
7. Сешу С. Линейни графики и електрически вериги / С. Сешу, М.Б. Рийд. - М.: Висше училище, 1971. - 448 с.
8. Зенкевич О. Крайни елементи и апроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. - М.: Мир, 1986. -318 с.
9. Воеводин В.В. Изчислителни основи на линейната алгебра / Воеводин V.V. - М.: Наука, 1977. -304 с.
10. Теоретични основи на електротехниката: учебник за университети / K.S. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. - . - Петър, 2003. - Т. 2. - 572 с.
Да се върнем отново към СЛАУ Aх=bс квадратна матрица A размер MхN, което, за разлика от „добрия“ случай, разгледан по-горе (вижте раздел 8.D), изисква специален подход. Нека обърнем внимание на два подобни вида SLAE:
- изродена система (с нулев детерминант |A|=0);
- лошо обусловена система (детерминантата А не е равна на нула, но числото на условието е много голямо).
Въпреки факта, че тези видове системи от уравнения се различават значително една от друга (за първата няма решение, а за втората има само едно), от практическа гледна точка на компютъра има много общо между тях.
Изродени SLAE
Изродена система е система, описана от матрица с нулев детерминант |A|=0(единична матрица). Тъй като някои уравнения, включени в такава система, са представени чрез линейна комбинация от други уравнения, тогава всъщност самата система е недостатъчно определена. Лесно е да се разбере, че в зависимост от конкретния тип на вектора b от дясната страна има или безкраен брой решения, или изобщо няма. Първият вариант се свежда до конструиране на нормално псевдорешение (т.е. да се избере от безкраен набор от решения това, което е най-близо до определен, например нулев вектор). Този случай беше обсъден подробно в раздел. 8.2.2 (вижте списъци 8.11-8.13).
Ориз. 8.7. Графично представяне на несъгласувана система от две уравнения с сингулярна матрица
Нека разгледаме втория случай, когато SLAE Aх=bс особена квадратна матрица A няма решение. Пример за такъв проблем (за система от две уравнения) е илюстриран на фиг. 8.7, в горната част на която е въведена матрицата Аи вектор b, а също така се прави опит (неуспешен, тъй като матрица A е сингулярна) за решаване на системата с помощта на функцията изолирам. Графиката, която заема основната част на фигурата, показва, че двете уравнения, определящи системата, определят две успоредни прави в равнината (x0,x1). Правите не се пресичат в никоя точка на координатната равнина и съответно няма решение на системата.
Забележка
Първо, имайте предвид, че SLAE, дефиниран от неособена квадратна матрица с размер 2x2, дефинира двойка пресичащи се прави в равнината (вижте Фигура 8.9 по-долу). Второ, струва си да се каже, че ако системата беше последователна, тогава геометричното представяне на уравненията би било две съвпадащи линии, описващи безкраен брой решения.
Ориз. 8.8. Графика на сеченията на остатъчната функция f (x) = |Ax-b|
Лесно е да се досетите, че в разглеждания единствен случай на псевдорешения на системата, които минимизират несъответствието |Ax-b|, ще бъдат безкрайно много и ще лежат на третата права линия, успоредна на двете, показани на фиг. 8.7 и разположен в средата между тях. Това е илюстрирано на фиг. 8.8, който показва няколко раздела на функцията f(x)= | Ax-b |, които показват наличието на семейство от минимуми с еднаква дълбочина. Ако се опитате да използвате вградената функция, за да ги намерите Минимизиране, неговият числен метод винаги ще намери всяка една точка от споменатата права (в зависимост от началните условия). Следователно, за да се определи уникално решение, трябва да се избере от целия набор от псевдорешения това, което има най-малката норма. Можете да опитате да формулирате този многоизмерен проблем за минимизиране в Mathcad, като използвате комбинации от вградени функции Минимизиране, обаче, по-ефективен начин би бил да се използва регуляризация (вижте по-долу) или ортогонални матрични декомпозиции (вижте раздел 8.3).
