някои функции. Ако възстановим функция от нейния пълен диференциал, ще намерим общия интеграл на диференциалното уравнение. По-долу ще говорим за метод за възстановяване на функция от нейния пълен диференциал.
Лявата страна на диференциалното уравнение е общият диференциал на някаква функция U(x, y) = 0, ако условието е изпълнено.
защото пълна диференциална функция U(x, y) = 0Това 
, което означава, че когато условието е изпълнено, се посочва, че .
Тогава, 
.
От първото уравнение на системата получаваме 
. Намираме функцията, използвайки второто уравнение на системата:
Така ще намерим желаната функция U(x, y) = 0.
Пример.
Нека намерим общо решение на DE 
.
Решение.
В нашия пример. Условието е изпълнено, защото:
Тогава лявата страна на първоначалното диференциално уравнение е общият диференциал на някаква функция U(x, y) = 0. Трябва да намерим тази функция.
защото 
е общият диференциал на функцията U(x, y) = 0, означава:
.
Ние се интегрираме от х 1-во уравнение на системата и диференцирайте по отношение на грезултат:
.
От второто уравнение на системата получаваме . означава:
Където СЪС- произволна константа.
Така общият интеграл на даденото уравнение ще бъде 
.
Има и втори метод за изчисляване на функция от нейния пълен диференциал. Състои се от вземане на линейния интеграл от фиксирана точка (x 0, y 0)до точка с променливи координати (x, y): 
. В този случай стойността на интеграла не зависи от пътя на интегриране. Удобно е като път на интегриране да се вземе прекъсната линия, чиито връзки са успоредни на координатните оси.
Пример.
Нека намерим общо решение на DE 
.
Решение.
Проверяваме изпълнението на условието:
Така лявата страна на диференциалното уравнение е пълният диференциал на някаква функция U(x, y) = 0. Нека намерим тази функция, като изчислим криволинейния интеграл на точката (1; 1) преди (x, y). Като път на интегриране приемаме начупена линия: първият участък на начупената линия се прекарва по права линия y = 1от точка (1, 1) преди (x, 1), като втори участък от пътя вземаме права отсечка от точката (x, 1)преди (x, y):
И така, общото решение на дистанционното управление изглежда така: 
.
Пример.
Нека определим общото решение на DE.
Решение.
защото , което означава, че условието не е изпълнено, тогава лявата страна на диференциалното уравнение няма да бъде пълен диференциал на функцията и трябва да използвате втория метод на решение (това уравнение е диференциално уравнение с разделими променливи).
Диференциал наречено уравнение на формата
П(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 ,
където лявата страна е общият диференциал на всяка функция на две променливи.
Нека означим неизвестната функция на две променливи (това трябва да се намери при решаване на уравнения в общите диференциали) с Еи скоро ще се върнем към него.
Първото нещо, на което трябва да обърнете внимание е, че от дясната страна на уравнението трябва да има нула, а знакът, свързващ двата члена от лявата страна, трябва да е плюс.
Второ, трябва да се спазва известно равенство, което потвърждава, че това диференциално уравнение е уравнение в общите диференциали. Тази проверка е задължителна част от алгоритъма за решаване на уравнения в общи диференциали (тя е във втория параграф на този урок), така че процесът на намиране на функция Едоста трудоемко и е важно да се уверим в началния етап, че не губим време.
И така, неизвестната функция, която трябва да се намери, се обозначава с Е. Сумата от частичните диференциали за всички независими променливи дава общия диференциал. Следователно, ако уравнението е общо диференциално уравнение, лявата страна на уравнението е сумата от частичните диференциали. Тогава по дефиниция
dF = П(x,y)dx + Q(x,y)dy .
Нека си припомним формулата за изчисляване на общия диференциал на функция от две променливи:
Решавайки последните две равенства, можем да напишем
.
Разграничаваме първото равенство по отношение на променливата "y", второто - по отношение на променливата "x":
.
което е условие дадено диференциално уравнение наистина да бъде общо диференциално уравнение.
Алгоритъм за решаване на диференциални уравнения в тотални диференциали
Етап 1.Уверете се, че уравнението е общо диференциално уравнение. За да се изрази 
беше общият диференциал на някаква функция Е(x, y) е необходимо и достатъчно, така че . С други думи, трябва да вземете частната производна по отношение на хи частната производна по отношение на гдруг член и ако тези производни са равни, тогава уравнението е общо диференциално уравнение.
Стъпка 2.Запишете система от частични диференциални уравнения, които съставят функцията Е:
Стъпка 3.Интегрирайте първото уравнение на системата - чрез х (г Е:
,
г.
Алтернативен вариант (ако е по-лесно да се намери интегралът по този начин) е да се интегрира второто уравнение на системата - чрез г (хостава константа и се изважда от интегралния знак). По този начин се възстановява и функцията Е:
,
където е все още неизвестна функция на х.
Стъпка 4.Резултатът от стъпка 3 (намереният общ интеграл) се диференцира с г(алтернативно - според х) и се приравнява към второто уравнение на системата:
,
и в алтернативен вариант - към първото уравнение на системата:
.
От полученото уравнение определяме (алтернативно)
Стъпка 5.Резултатът от стъпка 4 е интегриране и намиране (алтернативно намиране).
Стъпка 6.Заместете резултата от стъпка 5 в резултата от стъпка 3 - във функцията, възстановена чрез частично интегриране Е. Произволна константа ° Счесто се записва след знака за равенство - от дясната страна на уравнението. Така получаваме общо решение на диференциалното уравнение в общи диференциали. Той, както вече беше споменато, има формата Е(x, y) = ° С.
Примери за решения на диференциални уравнения в общи диференциали
Пример 1.
Етап 1. уравнение в общи диференциали
хедин член от лявата страна на израза
и частната производна по отношение на гдруг термин
уравнение в общи диференциали
.
Стъпка 2. Е:
Стъпка 3.от х (гостава константа и се изважда от интегралния знак). Така възстановяваме функцията Е:
където е все още неизвестна функция на г.
Стъпка 4. г
.
.
Стъпка 5.
Стъпка 6. Е. Произволна константа ° С
:
.
Каква грешка е най-вероятно да възникне тук? Най-честите грешки са да се вземе частичен интеграл върху една от променливите за обичайния интеграл на продукт от функции и да се опита да се интегрира по части или заместваща променлива, а също и да се вземе частната производна на два фактора като производна на произведение на функции и потърсете производната по съответната формула.
Това трябва да се помни: когато се изчислява частичен интеграл по отношение на една от променливите, другата е константа и се изважда от знака на интеграла, а когато се изчислява частичната производна по отношение на една от променливите, другата също е константа и производната на израза се намира като производната на „действащата“ променлива, умножена по константата.
Между уравнения в общи диференциали Не е необичайно да се намерят примери с експоненциална функция. Това е следващият пример. Забележително е и с факта, че решението му използва алтернативна опция.
Пример 2.Решете диференциално уравнение
.
Етап 1.Нека се уверим, че уравнението е уравнение в общи диференциали
. За да направим това, намираме частната производна по отношение на хедин член от лявата страна на израза 
и частната производна по отношение на гдруг термин
. Тези производни са равни, което означава, че уравнението е уравнение в общи диференциали
.
Стъпка 2.Нека напишем система от частични диференциални уравнения, които съставят функцията Е:
Стъпка 3.Нека интегрираме второто уравнение на системата - по г (хостава константа и се изважда от интегралния знак). Така възстановяваме функцията Е:
където е все още неизвестна функция на х.
Стъпка 4.Ние диференцираме резултата от стъпка 3 (намерения общ интеграл) по отношение на х
и се приравнява към първото уравнение на системата:
От полученото уравнение определяме:
.
Стъпка 5.Интегрираме резултата от стъпка 4 и намираме: 
.
Стъпка 6.Заместваме резултата от стъпка 5 в резултата от стъпка 3 - във функцията, възстановена чрез частично интегриране Е. Произволна константа ° Спишете след знака за равенство. Така получаваме общата сума решаване на диференциално уравнение в общи диференциали
:
.
В следващия пример се връщаме от алтернативна опция към основната.
Пример 3.Решете диференциално уравнение
Етап 1.Нека се уверим, че уравнението е уравнение в общи диференциали
. За да направим това, намираме частната производна по отношение на гедин член от лявата страна на израза
и частната производна по отношение на хдруг термин 
. Тези производни са равни, което означава, че уравнението е уравнение в общи диференциали
.
Стъпка 2.Нека напишем система от частични диференциални уравнения, които съставят функцията Е:
Стъпка 3.Нека интегрираме първото уравнение на системата - 
от х (гостава константа и се изважда от интегралния знак). Така възстановяваме функцията Е:
където е все още неизвестна функция на г.
Стъпка 4.Ние диференцираме резултата от стъпка 3 (намерения общ интеграл) по отношение на г
и се приравнява към второто уравнение на системата:
От полученото уравнение определяме:
.
Стъпка 5.Интегрираме резултата от стъпка 4 и намираме: 
Стъпка 6.Заместваме резултата от стъпка 5 в резултата от стъпка 3 - във функцията, възстановена чрез частично интегриране Е. Произволна константа ° Спишете след знака за равенство. Така получаваме общата сума решаване на диференциално уравнение в общи диференциали
:
.
Пример 4.Решете диференциално уравнение
Етап 1.Нека се уверим, че уравнението е уравнение в общи диференциали
. За да направим това, намираме частната производна по отношение на гедин член от лявата страна на израза
и частната производна по отношение на хдруг термин
. Тези производни са равни, което означава, че уравнението е общо диференциално уравнение.
Стъпка 2.Нека напишем система от частични диференциални уравнения, които съставят функцията Е:
Стъпка 3.Нека интегрираме първото уравнение на системата - 
от х (гостава константа и се изважда от интегралния знак). Така възстановяваме функцията Е:
където е все още неизвестна функция на г.
Стъпка 4.Ние диференцираме резултата от стъпка 3 (намерения общ интеграл) по отношение на г
и се приравнява към второто уравнение на системата:
От полученото уравнение определяме:
.
Стъпка 5.Интегрираме резултата от стъпка 4 и намираме: 
Стъпка 6.Заместваме резултата от стъпка 5 в резултата от стъпка 3 - във функцията, възстановена чрез частично интегриране Е. Произволна константа ° Спишете след знака за равенство. Така получаваме общата сума решаване на диференциално уравнение в общи диференциали
:
.
Пример 5.Решете диференциално уравнение
.
Етап 1.Нека се уверим, че уравнението е уравнение в общи диференциали
. За да направим това, намираме частната производна по отношение на гедин член от лявата страна на израза 
и частната производна по отношение на хдруг термин 
. Тези производни са равни, което означава, че уравнението е уравнение в общи диференциали
.
Показва как да разпознаете диференциално уравнение в общите диференциали. Дадени са методи за решаването му. Даден е пример за решаване на уравнение в общи диференциали по два начина.
СъдържаниеВъведение
Диференциално уравнение от първи ред в общите диференциали е уравнение от формата:(1) ,
където лявата страна на уравнението е общият диференциал на някаква функция U (x, y)от променливи x, y:
.
При което .
Ако се намери такава функция U (x, y), тогава уравнението приема формата:
dU (x, y) = 0.
Общият му интеграл е:
U (x, y) = C,
където C е константа.
Ако диференциално уравнение от първи ред е написано по отношение на неговата производна:
,
тогава е лесно да го приведете във форма (1)
. За да направите това, умножете уравнението по dx. Тогава . В резултат на това получаваме уравнение, изразено чрез диференциали:
(1)
.
Свойство на диференциалното уравнение в общите диференциали
За да уравнението (1)
беше уравнение в общите диференциали, е необходимо и достатъчно връзката да се проведе:
(2)
.
Доказателство
Освен това приемаме, че всички функции, използвани в доказателството, са дефинирани и имат съответните производни в някакъв диапазон от стойности на променливите x и y. Точка х 0, y 0също принадлежи към тази област.
Нека докажем необходимостта от условие (2).
Нека лявата страна на уравнението (1)
е диференциалът на някаква функция U (x, y):
.
Тогава
;
.
Тъй като втората производна не зависи от реда на диференциране, тогава
;
.
Следва, че . (2)
Условие на необходимост
доказано..
Нека докажем достатъчността на условие (2) (2)
:
(2)
.
Нека условието е изпълнено (x, y)Нека покажем, че е възможно да се намери такава функция U
.
че неговият диференциал е: (x, y)Това означава, че има такава функция U
(3)
;
(4)
.
, което удовлетворява уравненията: (3)
Нека намерим такава функция. Нека интегрираме уравнението 0
от x от x
;
;
(5)
.
към x, като приемем, че y е константа: (2)
:
.
Правим диференциация по отношение на y, като приемаме, че x е константа и прилагаме (4)
Уравнението
.
ще бъде изпълнено, ако 0
Интегриране върху y от y
;
;
.
играчка: (5)
:
(6)
.
Заместник в
.
И така, открихме функция, чийто диференциал
Достатъчността е доказана. (6) Във формулата ,U(x 0, y 0) (x, y)е константа - стойността на функцията U 0, y 0в точка х
. Може да му се присвои произволна стойност.
Как да разпознаем диференциално уравнение в общите диференциали
(1)
.
Разгледайте диференциалното уравнение: (2)
:
(2)
.
За да определите дали това уравнение е в общи диференциали, трябва да проверите условието
Ако е валидно, тогава това уравнение е в общите диференциали. Ако не, тогава това не е пълно диференциално уравнение.
Проверете дали уравнението е в общи диференциали:
.
Тук
,
.
Ние диференцираме по отношение на y, като вземем предвид x константа:
.
Нека разграничим
.
Тъй като:
,
тогава даденото уравнение е в общи диференциали.
Методи за решаване на диференциални уравнения в тотални диференциали
Метод на последователна диференциална екстракция
Най-простият метод за решаване на уравнение в общи диференциали е методът на последователно изолиране на диференциала. За да направим това, използваме формули за диференциране, написани в диференциална форма:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
В тези формули u и v са произволни изрази, съставени от произволна комбинация от променливи.
Пример 1
Решете уравнението:
.
По-рано открихме, че това уравнение е в общи диференциали. Нека го трансформираме:
(P1) .
Решаваме уравнението чрез последователно изолиране на диференциала.
;
;
;
;
.
играчка: (P1):
;
.
Метод на последователна интеграция
В този метод търсим функцията U (x, y), удовлетворяващи уравненията:
(3)
;
(4)
.
Нека интегрираме уравнението (3)
в x, като се има предвид y константа:
.
Тук φ (y)- произволна функция на y, която трябва да бъде определена. Това е константата на интеграцията. Заместете в уравнението (4)
:
.
Оттук:
.
Интегрирайки, намираме φ (y)и по този начин У (x, y).
Пример 2
Решете уравнението в общи диференциали:
.
По-рано открихме, че това уравнение е в общи диференциали. Нека въведем следната нотация:
,
.
Търся функция U (x, y), чийто диференциал е лявата страна на уравнението:
.
Тогава:
(3)
;
(4)
.
Нека интегрираме уравнението (3)
в x, като се има предвид y константа:
(P2)
.
Разграничете по отношение на y:
.
Да заместим (4)
:
;
.
Нека интегрираме:
.
Да заместим (P2):
.
Общ интеграл на уравнението:
U (x, y) = const.
Комбинираме две константи в една.
Метод на интегриране по крива
Функция U, дефинирана от отношението:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
може да се намери чрез интегриране на това уравнение по кривата, свързваща точките ,UИ (x, y):
(7)
.
Тъй като
(8)
,
тогава интегралът зависи само от координатите на началната ,Uи окончателно (x, y)точки и не зависи от формата на кривата. от (7)
И (8)
намираме:
(9)
.
Тук x 0
и y 0
- постоянен. Следователно У ,U- също постоянно.
Пример за такова определение на U беше получен в доказателството:
(6)
.
Тук интегрирането се извършва първо по сегмент, успореден на оста y от точката (x 0, y 0)към основния въпрос (x 0, y). След това се извършва интегриране по сегмент, успореден на оста x от точката (x 0, y)към основния въпрос (x, y) .
По-общо, трябва да представите уравнението на крива, свързваща точки (x 0, y 0)И (x, y)в параметрична форма:
х 1 = s(t 1); г 1 = r(t 1);
х 0 = s(t 0); г 0 = r(t 0);
x = s (T); y = r (T);
и интегрира върху t 1
от т 0
към t.
Най-лесният начин за извършване на интегриране е върху сегмент, свързващ точки (x 0, y 0)И (x, y). В такъв случай:
х 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; г 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
T 0 = 0
; t = 1
;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
След заместване получаваме интеграла върху t от 0
преди 1
.
Този метод обаче води до доста тромави изчисления.
Препратки:
В.В. Степанов, Курс по диференциални уравнения, "ЛКИ", 2015г.
Определение 8.4.Диференциално уравнение на формата
Където 
се нарича пълно диференциално уравнение.
Обърнете внимание, че лявата страна на такова уравнение е общият диференциал на някаква функция 
.
Най-общо уравнение (8.4) може да бъде представено като
Вместо уравнение (8.5), можем да разгледаме уравнението
,
чието решение е общият интеграл на уравнение (8.4). По този начин, за да се реши уравнение (8.4), е необходимо да се намери функцията 
. В съответствие с дефиницията на уравнение (8.4) имаме
(8.6)
функция 
ще търсим функция, която удовлетворява едно от тези условия (8.6):
Където 
- произволна функция, независима от 
.
функция 
се дефинира така, че да е изпълнено второто условие на израз (8.6).
(8.7)
От израз (8.7) се определя функцията 
. Замествайки го в израза за 
и да получите общия интеграл на първоначалното уравнение.
Задача 8.3.Интегриране на уравнение
Тук 
.
Следователно това уравнение принадлежи към типа диференциални уравнения в общите диференциали. функция 
ще го търсим във формата
.
От друга страна,
.
В някои случаи състоянието 
може да не се изпълни.
След това такива уравнения се свеждат до разглеждания тип чрез умножаване по така наречения интегриращ фактор, който в общия случай е само функция 
или 
.
Ако някое уравнение има интегриращ фактор, който зависи само от 
, тогава се определя по формулата
къде е връзката 
трябва да бъде само функция 
.
По същия начин интегриращият фактор зависи само от 
, се определя по формулата
къде е връзката 
трябва да бъде само функция 
.
Отсъствие в дадените отношения, в първия случай, на променливата 
, а във втория - променливата 
, са знак за съществуването на интегриращ фактор за дадено уравнение.
Задача 8.4.Редуцирайте това уравнение до уравнение в общите диференциали.
.
Помислете за връзката:
.
Тема 8.2. Линейни диференциални уравнения
Определение 8.5. Диференциално уравнение 
се нарича линейна, ако е линейна по отношение на желаната функция 
, негова производна 
и не съдържа произведението на търсената функция и нейната производна.
Общата форма на линейно диференциално уравнение е представена от следната връзка:
(8.8)
Ако във връзка (8.8) дясната страна 
, тогава такова уравнение се нарича линейно хомогенно. В случай, че дясната страна 
, тогава такова уравнение се нарича линейно нехомогенно.
Нека покажем, че уравнение (8.8) може да се интегрира в квадратури.
На първия етап разглеждаме линейно хомогенно уравнение.
Такова уравнение е уравнение с разделими променливи. Наистина ли,
;
/
Последната връзка определя общото решение на линейно хомогенно уравнение.
За намиране на общо решение на линейно нехомогенно уравнение се използва методът за промяна на производната на константа. Идеята на метода е, че общото решение на линейно нехомогенно уравнение е в същата форма като решението на съответното хомогенно уравнение, но произволна константа 
заменен с някаква функция 
да се определи. Така че имаме:
(8.9)
Замествайки във връзка (8.8) съответните изрази 
И 
, получаваме
Замествайки последния израз във връзка (8.9), получаваме общия интеграл на линейното нееднородно уравнение.
Така общото решение на линейно нехомогенно уравнение се определя от две квадратури: общото решение на линейно хомогенно уравнение и частно решение на линейно нехомогенно уравнение.
Задача 8.5.Интегриране на уравнение 
По този начин изходното уравнение принадлежи към типа линейни нехомогенни диференциални уравнения.
На първия етап ще намерим общо решение на линейно хомогенно уравнение.
;
На втория етап определяме общото решение на линейното нехомогенно уравнение, което се намира във формата
,
Където 
- функция за определяне.
Така че имаме:
Заместване на отношенията за 
И 
в първоначалното линейно нехомогенно уравнение получаваме:
;
;
.
Общото решение на линейно нехомогенно уравнение ще има формата:
.
Със стандартната форма $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, в която лявата страна е общият диференциал на някаква функция $F \left( x,y\right)$ се нарича общо диференциално уравнение.
Уравнението в общите диференциали винаги може да бъде пренаписано като $dF\left(x,y\right)=0$, където $F\left(x,y\right)$ е функция, такава че $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.
Нека интегрираме двете страни на уравнението $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; интегралът на нулевата дясна страна е равен на произволна константа $C$. По този начин общото решение на това уравнение в неявна форма е $F\left(x,y\right)=C$.
За да бъде дадено диференциално уравнение уравнение в общите диференциали, е необходимо и достатъчно условието $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ Бъди доволен. Ако определеното условие е изпълнено, тогава има функция $F\left(x,y\right)$, за която можем да напишем: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, от което получаваме две отношения : $\frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ и $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right) )$.
Интегрираме първото отношение $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ върху $x$ и получаваме $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, където $U\left(y\right)$ е произволна функция от $y$.
Нека го изберем така, че второто отношение $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ да е изпълнено. За да направим това, диференцираме получената връзка за $F\left(x,y\right)$ по отношение на $y$ и приравняваме резултата към $Q\left(x,y\right)$. Получаваме: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\надясно)$.
По-нататъшното решение е:
- от последното равенство намираме $U"\left(y\right)$;
- интегрирайте $U"\left(y\right)$ и намерете $U\left(y\right)$;
- заместете $U\left(y\right)$ в равенството $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ и накрая получаваме функцията $F\left(x,y\right)$.
Откриваме разликата:
Интегрираме $U"\left(y\right)$ върху $y$ и намираме $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.
Намерете резултата: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.
Записваме общото решение във формата $F\left(x,y\right)=C$, а именно:
Намерете конкретно решение $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, където $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:
Частичното решение има формата: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.
