En combinatoria, estudian cuestiones sobre cuántas combinaciones de un determinado tipo se pueden hacer a partir de objetos (elementos) determinados.
El nacimiento de la combinatoria como rama está asociado a los trabajos de B. Pascal y P. Fermat sobre la teoría del juego. G.V. hizo una gran contribución al desarrollo de métodos combinatorios. Leibniz, J. Bernoulli y L. Euler.
El filósofo, escritor, matemático y físico francés Blaise Pascal (1623-1662) demostró desde el principio sus destacadas habilidades matemáticas. La gama de intereses matemáticos de Pascal era muy diversa. Pascal demostró una cosa
a partir de los teoremas básicos de la geometría proyectiva (teorema de Pascal), diseñó una máquina sumadora (máquina sumadora de Pascal), dio un método para calcular coeficientes binomiales (triángulo de Pascal), fue el primero en definir y aplicar con precisión el método de inducción matemática para la prueba, dio un paso significativo en el desarrollo del análisis infinitesimal, jugó un papel importante en el surgimiento de la teoría de la probabilidad. En hidrostática, Pascal estableció su ley fundamental (ley de Pascal). Las “Cartas a un provincial” de Pascal fueron una obra maestra de la prosa clásica francesa.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fue un filósofo, matemático, físico e inventor, abogado, historiador y lingüista alemán. En matemáticas, junto con I. Newton, desarrolló el cálculo diferencial e integral. Hizo importantes contribuciones a la combinatoria. Su nombre, en particular, está asociado con problemas de teoría de números.
Gottfried Wilhelm Leibniz no tenía un aspecto muy impresionante y, por tanto, daba la impresión de ser una persona bastante sencilla. Un día, en París, entró en una librería con la esperanza de comprar un libro de un filósofo que conocía. Cuando un visitante preguntó por este libro, el librero, tras examinarlo de pies a cabeza, dijo burlonamente: “¿Por qué lo necesitas? ¿Eres realmente capaz de leer esos libros? Antes de que el científico tuviera tiempo de responder, el propio autor del libro entró en la tienda con las palabras: “¡Saludos y respetos al gran Leibniz!” El vendedor no podía entender que se trataba realmente del famoso Leibniz, cuyos libros tenían una gran demanda entre los científicos.
En el futuro, lo siguiente jugará un papel importante
Lema. Dejemos entrar un conjunto de elementos y, en un conjunto, elementos. Entonces el número de todos los pares distintos será igual a .
Prueba. De hecho, con un elemento de un conjunto podemos hacer pares tan diferentes, y en total en un conjunto de elementos.
Colocaciones, permutaciones, combinaciones.
Tengamos un conjunto de tres elementos. ¿De qué manera podemos seleccionar dos de estos elementos? .
Definición. Las disposiciones de un conjunto de diferentes elementos por elementos son combinaciones que se componen de elementos dados por > elementos y difieren en los elementos mismos o en el orden de los elementos.
El número de todas las disposiciones de un conjunto de elementos por elementos se denota por (de la letra inicial de la palabra francesa "arreglo", que significa disposición), donde y .
Teorema. El número de colocaciones de un conjunto de elementos por elementos es igual a
Prueba. Digamos que tenemos elementos. Sean posibles colocaciones. Construiremos estas ubicaciones de forma secuencial. Primero, definamos el primer elemento de ubicación. A partir de un conjunto determinado de elementos se puede seleccionar de varias maneras. Después de seleccionar el primer elemento, todavía hay formas de seleccionar el segundo elemento, etc. Dado que cada una de estas opciones proporciona una nueva ubicación, todas estas opciones se pueden combinar libremente entre sí. Por lo tanto tenemos:
Ejemplo.¿De cuántas maneras puede estar compuesta una bandera por tres franjas horizontales de diferentes colores si hay material de cinco colores?
Solución. El número requerido de banderas de tres bandas:
Definición. La permutación de un conjunto de elementos es la disposición de los elementos en un orden determinado.
Por lo tanto, todas las diferentes permutaciones de un conjunto de tres elementos son
Se indica el número de todas las permutaciones de elementos (de la letra inicial de la palabra francesa "permutación", que significa "permutación", "movimiento"). Por lo tanto, el número de todas las permutaciones diferentes se calcula mediante la fórmula
Ejemplo.¿De cuántas maneras se pueden colocar las torres en el tablero de ajedrez para que no se ataquen entre sí?
Solución. El número requerido de torres.
¡Un priorato!
Definición. Las combinaciones de diferentes elementos por elementos son combinaciones que se componen de elementos dados por elementos y difieren en al menos un elemento (en otras palabras, subconjuntos de elementos de un conjunto de elementos dado).
Como puede ver, en combinaciones, a diferencia de las ubicaciones, no se tiene en cuenta el orden de los elementos. Se indica el número de todas las combinaciones de elementos, elementos en cada uno (de la letra inicial de la palabra francesa "combinasion", que significa "combinación").
Números
Todas las combinaciones de un conjunto de dos son .
Propiedades de los números (\sf C)_n^k
De hecho, cada subconjunto de elementos de un conjunto de elementos dado corresponde a uno y sólo un subconjunto de elementos del mismo conjunto.
De hecho, podemos seleccionar subconjuntos de elementos de la siguiente manera: arreglar un elemento; el número de subconjuntos de elementos que contienen este elemento es igual a ; el número de subconjuntos de elementos que no contienen este elemento es igual a .
el triangulo de pascal
En este triángulo, los números extremos en cada fila son iguales a 1, y cada número no extremo es igual a la suma de los dos números superiores de la fila anterior. Así, este triángulo te permite calcular números.
Teorema.
Prueba. Consideremos un conjunto de elementos y resolvamos el siguiente problema de dos maneras: ¿cuántas secuencias se pueden formar a partir de los elementos de un determinado
¿Conjuntos en cada uno de los cuales ningún elemento aparece dos veces?
1 vía. Seleccionamos el primer miembro de la secuencia, luego el segundo, tercero, etc. miembro
Método 2. Primero seleccionemos elementos de un conjunto dado y luego organicémoslos en algún orden.
Multiplica el numerador y denominador de esta fracción por:
Ejemplo.¿De cuántas maneras puedes elegir 5 números de 36 en el juego “Sportloto”?
Número requerido de formas
Tareas.
1.
Las matrículas de los automóviles constan de 3 letras del alfabeto ruso (33 letras) y 4 números. ¿Cuántos números de matrícula diferentes hay?
2.
Hay 88 teclas en el piano. ¿De cuántas maneras puedes producir 6 sonidos seguidos?
3.
¿Cuántos números de seis cifras hay que sean divisibles por 5?
4.
¿De cuántas maneras se pueden colocar 7 monedas diferentes en tres bolsillos?
5.
¿Cuántos números de cinco dígitos puedes hacer que tengan el dígito 5 al menos una vez en su notación decimal?
6.
¿De cuántas maneras se pueden sentar 20 personas en una mesa redonda, considerando que las formas son iguales, si se pueden obtener unas de otras moviéndose en círculo?
7.
¿Cuántos números de cinco cifras hay que son divisibles por 5 y no contienen cifras idénticas?
8.
En papel cuadriculado con un lado de celda de 1 cm, se dibuja un círculo con un radio de 100 cm que no pasa por la parte superior de las celdas ni toca los lados de las celdas. ¿Cuántas celdas puede cruzar este círculo?
9.
¿De cuántas maneras se pueden ordenar los números en una fila de manera que queden adyacentes y en orden ascendente?
10.
¿Cuántos números de cinco dígitos se pueden formar a partir de dígitos si cada dígito solo se puede usar una vez?
11.
De la palabra ROT, al reorganizar las letras, se pueden obtener las siguientes palabras: TOP, ORT, OTR, TRO, RTO. Se llaman anagramas. ¿Cuántos anagramas puedes formar con la palabra LOGARITMO?
12.
Llamemos terrible número natural, su representación como suma de números naturales. Aquí, por ejemplo, están todas las particiones de un número:
Las particiones se consideran diferentes si difieren en números o en el orden de sus términos.
¿Cuántas particiones diferentes de un número en términos hay?
13.
¿Cuántos números de tres cifras hay con orden de dígitos no creciente?
14.
¿Cuántos números de cuatro dígitos hay con orden de dígitos no creciente?
15.
¿De cuántas maneras se pueden sentar 17 personas seguidas para que queden una al lado de la otra?
16.
Las niñas y los niños se sientan al azar en una fila de asientos. ¿De cuántas maneras se pueden sentar para que no haya dos niñas sentadas una al lado de la otra?
17.
Las niñas y los niños se sientan al azar en una fila de asientos. ¿De cuántas maneras se pueden sentar para que todas las niñas se sienten una al lado de la otra?
Reordenamientos. Fórmula para el número de permutaciones.
Permutaciones de norte elementos
deja que el conjunto X comprende norte elementos.
Definición. Colocación sin repetición denorte elementos del conjuntoX Por norte llamado permutación de norte elementos.
Tenga en cuenta que cualquier permutación incluye todos los elementos del conjunto.X , y exactamente una vez. Es decir, las permutaciones difieren entre sí sólo en el orden de los elementos y pueden obtenerse unas de otras mediante permutación de elementos (de ahí el nombre).
Número de todas las permutaciones denorte Los elementos están indicados por el símbolo. .
Dado que las permutaciones son un caso especial de ubicaciones sin repeticiones cuando , entonces la fórmula para encontrar el número obtenemos de la fórmula (2), sustituyendo en ella :
De este modo,
(3)
Ejemplo. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 5 libros en un estante?
Solución. Hay tantas formas de colocar libros en una estantería como diferentes permutaciones de los cinco elementos: maneras.
Comentario. No es necesario memorizar las fórmulas (1) a (3): los problemas relacionados con su aplicación siempre se pueden resolver utilizando la regla del producto. Si los estudiantes tienen problemas para crear modelos combinatorios de problemas, entonces es mejor limitar el conjunto de fórmulas y reglas utilizadas (para que haya menos posibilidades de cometer errores). Es cierto que los problemas en los que se utilizan permutaciones y la fórmula (3) suelen resolverse sin problemas.
Tareas
1. F. De cuantas formas pueden hacer cola en taquilla: 1) 3 personas; 2) 5 personas?
Solución.
Varias opciones para la disposición de n personas en una cola difieren entre sí sólo en el orden en que están dispuestas las personas, es decir, son diferentes permutaciones de n elementos.
¡Tres personas pueden hacer cola P3 = 3! = 6 maneras diferentes.
Respuesta: 1) 6 formas; 2) 120 maneras.
2. T. ¿De cuántas maneras caben 4 personas en un banco de cuatro plazas?
Solución.
El número de personas es igual al número de asientos en el banco, por lo que el número de opciones de ubicación es igual al número de permutaciones de 4 elementos: ¡P4 = 4! = 24.
Puedes razonar según la regla del producto: para la primera persona puedes elegir cualquiera de los 4 lugares, para el segundo - cualquiera de los 3 restantes, para el tercero - cualquiera de los 2 restantes, el último ocupará 1 lugar restante ; hay de todo = 24 formas diferentes de sentar a 4 personas en un banco de cuatro plazas.
Respuesta: 24 formas.
3. M. En casa de Vova para almorzar: primer, segundo, tercer plato y pastel. Definitivamente comenzará con el pastel y se comerá el resto en orden aleatorio. Encuentre el número de opciones posibles para el almuerzo.
Problemas M del libro de texto. manuales de A.G. Mordkovich
T - ed. S.A.Telyakovsky
F- M.V.
Solución.
Después del pastel, Vova puede elegir cualquiera de los tres platos, luego dos y terminar con el resto. Número total de posibles opciones de almuerzo: =6.
Respuesta: 6.
4. F. ¿Cuántas frases diferentes correctas (desde el punto de vista del idioma ruso) se pueden componer cambiando el orden de las palabras en una oración: 1) “Salí a caminar”; 2) ¿“Un gato camina por el jardín”?
Solución.
En la segunda frase, la preposición “en” siempre debe aparecer antes del sustantivo “yarda” al que se refiere. Por lo tanto, al contar el par "en el patio" como una palabra, puedes encontrar el número de permutaciones diferentes de tres palabras condicionales: ¡P3 = 3! = 6. Así, en este caso, puedes formar 6 frases correctas.
Respuesta: 1) 6; 2) 6.
5. ¿De cuántas maneras puedes usar las letras K, L, M, H para designar los vértices de un cuadrilátero?
Solución.
Supondremos que los vértices del cuadrilátero están numerados, cada uno con un número constante. Entonces el problema se reduce a contar el número de formas diferentes de disponer 4 letras en 4 lugares (vértices), es decir, contar el número de permutaciones diferentes: ¡P4 = 4! = 24 maneras.
Respuesta: 24 formas.
6. F. Cuatro amigos compraron entradas de cine: para el 1.º y 2.º asiento de la primera fila y para el 1.º y 2.º asiento de la segunda fila. ¿De cuántas maneras pueden los amigos ocupar estos 4 asientos en el cine?
Solución.
¡Cuatro amigos pueden ocupar 4 lugares diferentes P4 = 4! = 24 maneras diferentes.
Respuesta: 24 formas.
7. T. El mensajero debe entregar paquetes a 7 instituciones diferentes. ¿Cuántas rutas puede elegir?
Solución.
Se debe entender por ruta el orden en que el mensajero visita las instituciones. Numeremos las instituciones del 1 al 7, luego la ruta se representará como una secuencia de 7 números, cuyo orden puede cambiar. El número de rutas es igual al número de permutaciones de 7 elementos: ¡P7= 7! = 5.040.
Respuesta: 5.040 rutas.
8. T. ¿Cuántas expresiones hay idénticamente iguales al producto abcde, que se obtienen de él reordenando los factores?
Solución.
Dado es el producto de cinco factores diferentes en abcde, cuyo orden puede cambiar (cuando se reordenan los factores, el producto no cambia).
¡Hay un total de P5 = 5! = 120 formas diferentes de organizar los cinco multiplicadores; Consideramos que una de ellas (abcde) es la original, las 119 expresiones restantes son idénticamente iguales a ésta.
Respuesta: 119 expresiones.
9. T. Olga recuerda que el número de teléfono de su amiga termina en los números 5, 7, 8, pero olvidó en qué orden aparecen estos números. Indique la mayor cantidad de opciones que tendrá que atravesar para comunicarse con su amiga.
Solución.
¡Los últimos tres dígitos de un número de teléfono se pueden ubicar en uno de P3 =3! =6 pedidos posibles, de los cuales sólo uno es correcto. Olga puede escribir inmediatamente la opción correcta, puede escribir la tercera, etc. Tendrá que escribir el mayor número de opciones si la opción correcta resulta ser la última, es decir, la sexta.
Respuesta: 6 opciones.
10. T. ¿Cuántos números de seis cifras (sin números repetidos) se pueden formar a partir de los números: a) 1,2, 5, 6, 7, 8; b) 0, 2, 5, 6, 7, 8? Solución.
a) Dados 6 dígitos: 1, 2, 5, 6, 7, 8, a partir de ellos puedes formar diferentes números de seis dígitos solo reorganizando estos dígitos. ¡El número de números diferentes de seis dígitos es igual a P6 = 6! = 720.
b) Dados 6 dígitos: 0, 2, 5, 6, 7, 8, a partir de ellos debes formar varios números de seis dígitos. La diferencia con el problema anterior es que el cero no puede ser lo primero.
Puedes aplicar directamente la regla del producto: puedes elegir cualquiera de los 5 dígitos (excepto cero) para el primer lugar; en segundo lugar, cualquiera de los 5 dígitos restantes (4 son "distintos de cero" y ahora contamos cero); al tercer lugar: cualquiera de los 4 dígitos que quedan después de las dos primeras opciones, etc. El número total de opciones es: = 600.
Puede utilizar el método de eliminar opciones innecesarias. Se pueden reorganizar 6 dígitos ¡P6 = 6! = 720 formas diferentes. Entre estos métodos habrá aquellos en los que el primer lugar sea cero, lo cual es inaceptable. Contemos el número de estas opciones no válidas. Si hay un cero en el primer lugar (es fijo), entonces los siguientes cinco lugares pueden contener números "distintos de cero" 2, 5, 6, 7, 8 en cualquier orden. El número de formas diferentes en que se forman 5 números. se puede colocar en 5 lugares es igual a P5 = 5! = 120, es decir, el número de permutaciones de números a partir de cero es 120. El número requerido de números diferentes de seis dígitos en este caso es igual a: P6 - P5 = 720 - 120 = 600.
Respuesta: a) 720; b) 600 números.
11. T. ¿Cuántos de los números de cuatro cifras (sin números repetidos) formados por los números 3, 5, 7, 9 son aquellos que: a) comienzan con el número 3;
b) ¿son múltiplos de 15?
Solución.
a) De los números 3, 5, 7, 9 formamos números de cuatro cifras empezando por el número 3.
Arreglamos el número 3 en primer lugar; luego en los tres restantesLos números 5, 7 9 se pueden colocar en cualquier orden en cualquier orden. El número total de opciones para su ubicación es igual a P. 3 = 3!=6. Habrá tantos números diferentes de cuatro dígitos compuestos pornúmeros dados y comenzando con el número 3.
b) Tenga en cuenta que la suma de estos dígitos 3 + 5 + 7 + 9 = 24 es divisible por 3, por lo tanto, cualquier número de cuatro dígitos formado por estos dígitos es divisible por 3. Para que algunos de estos números sean divisibles por 15, es necesario para que terminen en el número 5.
Arreglamos el número 5 en último lugar; ¡Los 3 dígitos restantes se pueden colocar en tres lugares delante de 5 Rz = 3! = 6 maneras diferentes. Habrá tantos números diferentes de cuatro dígitos formados por estos números que son divisibles por 15.
Respuesta: a) 6 números; b) 6 números.
12. T. Encuentra la suma de los dígitos de todos los números de cuatro dígitos que se pueden formar a partir de los números 1, 3, 5, 7 (sin repetirlos).
Solución.
Cada número de cuatro cifras formado por los dígitos 1, 3, 5, 7 (sin repetición) tiene una suma de dígitos igual a 1 + 3 + 5 + 7 = 16.
¡A partir de estos números puedes hacer P4 = 4! = 24 números diferentes, que difieren sólo en el orden de los dígitos. La suma de las cifras de todos estos números será igual a
16 = 384.
Respuesta: 384.
13. T. Siete niños, entre los que se encuentran Oleg e Igor, están parados en fila. Encuentre el número de combinaciones posibles si:
a) Oleg debe estar al final de la fila;
b) Oleg debe estar al principio de la fila e Igor debe estar al final de la fila;
c) Oleg e Igor deben estar uno al lado del otro.
Solución.
a) Solo hay 7 niños en 7 lugares, pero un elemento está fijo y no se puede reorganizar (Oleg está al final de la fila). El número de combinaciones posibles es igual al número de permutaciones de los 6 niños que están frente a Oleg: P6=6!=720.
par como un solo elemento, reorganizado con los otros cinco elementos. ¡El número de combinaciones posibles será entonces P6 = 6! = 720.
Dejemos que Oleg e Igor estén ahora uno al lado del otro en orden IO. ¡Entonces obtenemos otro P6 = 6! = 720 otras combinaciones.
El número total de combinaciones en las que Oleg e Igor están uno al lado del otro (en cualquier orden) es 720 + 720 = 1440.
Respuesta: a) 720; b) 120; c) 1.440 combinaciones.
14. M. Once jugadores de fútbol se alinean antes del inicio del partido. El primero es el capitán, el segundo es el portero y el resto son aleatorios. ¿Cuántos métodos de construcción existen?
Solución.
Después del capitán y el portero, el tercer jugador puede elegir cualquiera de los 9 lugares restantes, el siguiente entre 8, etc. El número total de métodos de construcción utilizando la regla del producto es igual a:
1 = 362,880, o P 9 = 9! = 362.880.
Respuesta: 362.880.
15. M. ¿De cuántas maneras se pueden designar los vértices de un cubo con las letras A, B, C, D, E, F, G, K?
Solución.
Para el primer vértice puede elegir cualquiera de las 8 letras, para el segundo, cualquiera de las 7 restantes, etc. El número total de formas según la regla del producto es=40 320, o P8 = 8!
Respuesta: 40.320.
16. T. El horario del lunes tiene seis lecciones: álgebra, geometría, biología, historia, educación física, química. ¿De cuántas maneras puedes crear un horario de lecciones para este día de modo que dos lecciones de matemáticas estén una al lado de la otra?
Solución.
Hay 6 lecciones en total, de las cuales dos lecciones de matemáticas deben estar una al lado de la otra.
"Pegamos" dos elementos (álgebra y geometría) primero en el orden AG y luego en el orden GA. ¡Por cada opción de “pegado” obtenemos P5 = 5! = 120 opciones de horarios. El número total de formas de crear un cronograma es 120 (AG) +120 (GA) = 240.
Respuesta: 240 formas.
17. T. ¿Cuántas permutaciones de las letras de la palabra “cono” hay en las que las letras K, O, N están una al lado de la otra?
Solución.
Se dan 5 letras, tres de las cuales deben estar una al lado de la otra. ¡Tres letras K, O, N pueden estar al lado de una de P3 = 3! = 6 maneras. Para cada método de "pegar" las letras K, O, N, ¡obtenemos P3 = 3! = 6 formas de permutar letras, “pegar”, U, S. El número total de diferentes permutaciones de letras de la palabra “cono”, en la que las letras K, O, N están una al lado de la otra, es 6 6 = 36 permutaciones - anagramas.
Respuesta: 36 anagramas.
18. T. ¿De cuántas maneras pueden 5 niños y 5 niñas ocupar los asientos del 1 al 10 en una misma fila en el teatro? ¿De cuántas maneras pueden hacer esto si los niños se sientan en asientos impares y las niñas en asientos pares?
Solución.
Cada opción de disposición de niños se puede combinar con cada una de las opciones de disposición de niñas, por lo tanto, según la regla del producto, el número total de formas para sentar a los niños en este caso es 120 20= 14400.
Respuesta: 3.628.800 formas; 14.400 maneras.
19. T. Cinco niños y cuatro niñas quieren sentarse en un banco de nueve plazas de modo que cada niña se siente entre dos niños. ¿De cuántas maneras pueden hacer esto?
Solución.
Según las condiciones de la tarea, los niños y las niñas deben alternarse, es decir, las niñas solo pueden sentarse en los lugares pares y los niños solo en los impares. Por lo tanto, las niñas solo pueden cambiar de lugar con las niñas y los niños solo pueden cambiar de lugar con los niños. ¡Se pueden sentar cuatro niñas en cuatro lugares pares P4 = 4! = 24 maneras, y cinco niños en cinco lugares impares P5 = 5! = 120 formas.
Cada forma de colocar a las niñas se puede combinar con cada forma de colocar a los niños, por lo tanto, según la regla del producto, el número total de formas es igual a: P4
20 = 2.880 formas.
Respuesta: 2.880 formas.
20. F. Factoriza los números 30 y 210 en factores primos. ¿De cuántas maneras se puede escribir el número como producto de factores simples: 1) 30; 2) 210?
Solución.
Factoricemos estos números en factores primos:
30 = 2 ; 210 = 2 .
El número 30 se puede escribir como producto de factores primos.
R 3 = 3! = 6 formas diferentes (reordenando factores).
El número 210 se puede escribir como producto de números primos.
multiplicadoresR
4
= 4!
= 24 formas diferentes.
Respuesta: 1) 6 formas; 2) 24 maneras.
21. F. ¿Cuántos números pares diferentes de cuatro dígitos sin dígitos que no se repiten se pueden escribir usando los números 1, 2, 3, 5?
Solución.
Para que un número sea par, debe terminar con un dígito par, es decir, 2. Fijemos los dos en el último lugar, los tres dígitos restantes deben aparecer delante de él en cualquier orden. ¡El número de permutaciones diferentes de 3 dígitos es P3 = 3! = 6; por lo tanto, también habrá 6 números pares diferentes de cuatro cifras (a cada permutación de tres cifras se le suma el número 2).
Respuesta: 6 números.
22. F. ¿Cuántos números impares diferentes de cinco dígitos que no tienen dígitos idénticos se pueden escribir usando los dígitos 1, 2, 4, 6, 8?
Solución.
Para que un número compuesto sea impar, debe terminar en un dígito impar, es decir, uno. Los 4 dígitos restantes se pueden reordenar, colocando cada reordenamiento antes de la unidad.
El número total de números impares de cinco dígitos es igual al número de permutaciones: ¡P4 = 4! =24.
23. F. ¿Cuántos números diferentes de seis dígitos con dígitos que no se repiten se pueden escribir usando los dígitos 1; 2 3, 4, 5, 6, si: 1) el número debe comenzar con 56; 2) ¿Deberían estar los números 5 y 6 uno al lado del otro?
Solución.
Fijamos dos dígitos 5 y 6 al comienzo del número y les agregamos varias permutaciones de los 4 dígitos restantes; el número de números diferentes de seis cifras es igual a: ¡P4 = 4! = 24.
El número total de números diferentes de seis dígitos en los que los dígitos 5 y 6 están uno al lado del otro (en cualquier orden) es 120 + 120 = 240 números. (Las opciones 56 y 65 son incompatibles y no pueden realizarse simultáneamente; aplicamos la regla de la suma combinatoria).
Respuesta: 1) 24; 2) 240 números.
24. F. ¿Cuántos números pares diferentes de cuatro dígitos que no tienen dígitos idénticos se pueden formar a partir de los números 1,2,3,4?
Solución.
Un número par debe terminar en un dígito par. Arreglamos el número 2 en el último lugar, luego los 3 dígitos anteriores se pueden reorganizar ¡P3 = 3! = 6 formas diferentes; obtenemos 6 números con un dos al final. Arreglamos el número 4 en el último lugar, ¡obtenemos P3 = 3! = 6 permutaciones diferentes de los tres dígitos anteriores y 6 números terminados en 4.
El número total de números pares de cuatro cifras será 6 + 6 = 12 números diferentes.
Respuesta: 12 números.
Comentario. Encontramos el número total de opciones usando la regla de la suma combinatoria (6 opciones para números que terminan en dos, 6 opciones para números que terminan en cuatro; los métodos para construir números con un dos y un cuatro al final son mutuamente excluyentes, incompatibles, por lo tanto, el número total de opciones es igual a la suma del número de opciones con un dos al final y el número de opciones con un 4 al final). La entrada 6 + 6 = 12 refleja mejor las razones de nuestras acciones que la entrada P.
25. F. ¿De cuántas maneras se puede escribir el número 1) 12 como producto de factores primos? 2) 24; 3) 120?
Solución.
La peculiaridad de este problema es que en la expansión de cada uno de estos números hay factores idénticos que se repiten. Al formar diferentes permutaciones a partir de factores, no obtendremos una nueva permutación si intercambiamos dos factores idénticos.
1) El número 12 se descompone en tres factores primos, dos de los cuales son idénticos: 12 = .
Si todos los factores fueran diferentes, entonces podrían reordenarse en el producto P3 = 3. = 6 maneras diferentes. Para enumerar estos métodos, "distinguiremos" condicionalmente dos de dos y enfatizaremos uno de ellos: 12 = 2.
Entonces son posibles las siguientes 6 variantes de descomposición en habitantes:
Pero, de hecho, subrayar números no tiene significado en matemáticas, por lo que las 6 permutaciones resultantes en notación ordinaria se ven así:
es decir, de hecho, no obtuvimos 6, sino 3 permutaciones diferentes. El número de permutaciones se redujo a la mitad debido a que no tenemos que tener en cuenta las permutaciones de dos de dos entre sí.
Denotemos P x el número requerido de permutaciones de tres elementos, incluidos dos idénticos; entonces el resultado que obtuvimos se puede escribir de la siguiente manera: Рз = Р X Pero 2 es el número de permutaciones diferentes de dos elementos, es decir, 2 == 2! = P 2, por lo tanto P3, = P x P 2, por lo tanto P x = 
. (esta es la fórmula para el número de permutaciones con repeticiones).
Se puede razonar de otra manera, basándose únicamente en la regla combinatoria del producto.
Para crear un producto de tres factores, primero elija un lugar para el factor 3; esto se puede hacer de una de tres maneras. Después de esto, llenamos los dos espacios restantes de dos en dos; Esto se puede hacer de 1 manera. Según la regla del producto, el número total de formas es: 3-1 =3., Р x =20.
Segunda vía. Al componer un producto de cinco factores, primero elegimos un lugar para los cinco (5 vías), luego para los tres (4 vías), y llenamos los 3 lugares restantes de dos en dos (1 vía); según la regla del producto 5 4 1 = 20.
Respuesta: 1) 3; 2) 4; 3) 20.
26. F. ¿De cuántas maneras se pueden colorear 6 celdas para que 3 celdas sean rojas y las 3 restantes estén pintadas (cada una con su propio color) de blanco, negro o verde?
Solución.
Permutaciones de 6 elementos, entre los cuales tres son idénticos:
De lo contrario: para pintar de blanco, puede elegir una de las 6 celdas, negra - de 5, verde - de 4; Las tres celdas restantes están pintadas de rojo. Número total de formas: 6 5 4 1 = 120.
Respuesta: 120 formas.
27.T. Un peatón debe caminar una cuadra al norte y tres cuadras al oeste. Anote todas las rutas peatonales posibles.= 4.
Respuesta: 4 rutas.
28. M. a) En las puertas de cuatro oficinas idénticas es necesario colgar carteles con los nombres de cuatro subdirectores. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?
b) En la clase 9 “A” del miércoles hay 5 lecciones: álgebra, geometría, educación física, ruso, inglés. ¿Cuántas opciones de horarios puedes crear para este día?
c) ¿De cuántas maneras pueden dispersarse cuatro ladrones, uno a la vez, en las cuatro direcciones?
d) El ayudante deberá entregar cinco copias de la orden del general a cinco regimientos. ¿De cuántas maneras puede elegir la ruta de entrega de las copias del pedido?
Solución.
a) Para la primera placa, puedes elegir cualquiera de los 4 gabinetes,
Para el segundo, cualquiera de los tres restantes, para el tercero, cualquiera de los dos restantes, para el cuarto, uno restante; en concordancia con reglas
producto, el número total de formas es: 4 3 2 1 = 24, o P4 = 4! = 24.= 120, o P5 = 5! = 120.
Respuesta: a) 24; b) 120; c) 24; d) 120.
Literatura
Afanasyev V.V. Teoría de la probabilidad en ejemplos y problemas, - Yaroslavl: Universidad Pedagógica Estatal de Yaroslavl, 1994.
Bavrin I. I. Matemáticas superiores: Libro de texto para estudiantes de especialidades químicas y matemáticas de universidades pedagógicas - 2ª edición, revisada. - M.: Educación, 1993.
Bunimovich E. A., Bulychev V. A. Probabilidades y estadísticas. Grados 5-9: Manual para instituciones de educación general, - M.: Bustard, 2005.
Vilenkin N. Ya. y otros. Álgebra y análisis matemático para el grado 10: un libro de texto para estudiantes en escuelas y clases con un estudio en profundidad de las matemáticas. - M.: Educación, 1992.
Vilenkin N. Ya. y otros. Álgebra y análisis matemático para el grado 11: un libro de texto para estudiantes de escuelas y clases con un estudio en profundidad de las matemáticas - M.: Prosveshchenie, 1990.
Glazer G.I. Historia de las matemáticas en la escuela: grados 9-10. Manual para profesores. - M.: Educación 1983.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. Matemáticas 9: Álgebra. Funciones. Análisis de datos - M.: Avutarda, 2000.
Kolyagin y otros. Álgebra e inicio de análisis grado 11. Matemáticas en la escuela - 2002 - N° 4 - págs. 43,44,46.
Lyupshkas V.S. Cursos opcionales de matemáticas: teoría de la probabilidad: libro de texto para los grados 9-11 - M., 1991.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. Elementos de estadística y teoría de la probabilidad: un libro de texto para estudiantes de 7º a 9º grado - M.: Prosveshchenie, 2005.
Mordkovich A.G., Semenov P.V. Álgebra y principios del análisis, grado 10: Libro de texto para instituciones de educación general (nivel de perfil) - M.: Mnemosyna, 2005.
Tkacheva M.V., Fedorova N.E. Elementos de estadística y probabilidad: un libro de texto para estudiantes de los grados 7 a 9 - M.: Prosveshchenie, 2005.
Opción 1
N° 1. ¿De cuántas maneras se pueden colocar cinco libros diferentes en un estante?
No. 2. ¿Cuántos números de tres cifras con distintas cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 3, 6, 7, 9?
Numero 3. En una reunión, 9 excompañeros intercambiaron tarjetas de presentación. ¿Cuántas tarjetas de presentación se utilizaron?
No. 4. ¿Cuántas permutaciones de las letras de la palabra "figura" hay en las que las letras "y", "p", "a" están una al lado de la otra en el orden dado?
opcion 2
N° 1. ¿De cuántas maneras se pueden colocar seis libros diferentes en un estante?
No. 2. ¿Cuántos números de tres cifras con distintas cifras se pueden formar con los dígitos 0, 3, 4, 5, 8?
Numero 3. En la conferencia, 7 participantes intercambiaron números de teléfono. ¿Cuántos números de teléfono se intercambiaron?
No. 4. ¿Cuántas permutaciones de las letras de la palabra “vértice” hay en las que las letras “v”, “e”, “r” están una al lado de la otra en el orden dado?
Trabajo independiente. Combinatoria.
Opción 3
N° 1. ¿De cuántas maneras pueden actuar 9 participantes de la competencia en orden de prioridad en los cuartos de final de la competencia?
No. 2. Usando los números 0, 3, 7, 8, forma todos los números posibles de dos dígitos en los que los números no se repiten.
Numero 3. En la zona N, cada dos pueblos están conectados por una carretera. Determine el número de dichos caminos si hay 10 aldeas en el área.
No. 4. ¿Cuántos números de teléfono de cinco dígitos hay, comenzando por el número 3, en los que todos los dígitos son diferentes?
Opción 4
N° 1. El mensajero debe entregar pizza en seis direcciones. ¿Cuántas rutas puede elegir?
No. 2. Usando los números 0, 2, 4, 6, 8, ¿inventa todos los números posibles de tres dígitos en los que los números no se repiten?
Numero 3. Hay 9 puntos marcados en el avión, no hay tres de ellos que se encuentren en la misma línea recta. ¿Cuántas rectas se pueden trazar por estos puntos?
No. 4. ¿Cuántos números de teléfono de seis dígitos hay que comienzan con 36 y todos los dígitos son diferentes?
