¿A qué es igual la tangente? La tangente es perpendicular al radio trazado hasta el punto de tangencia.

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Objetivos de la lección

• Educativo – repetición, generalización y prueba de conocimientos sobre el tema: “Tangente a un círculo”; desarrollo de habilidades básicas.
• De desarrollo: para desarrollar la atención, la perseverancia, la perseverancia, el pensamiento lógico y el habla matemática de los estudiantes.
• Educativo: a través de la lección, cultive una actitud atenta hacia los demás, inculque la capacidad de escuchar a los camaradas, la asistencia mutua y la independencia.
• Introducir el concepto de tangente, un punto de contacto.
• Considere la propiedad de una tangente y su signo y muestre su aplicación en la resolución de problemas de la naturaleza y la tecnología.

Objetivos de la lección

• Desarrollar habilidades para construir tangentes usando una regla de escala, un transportador y dibujando un triángulo.
• Pon a prueba las habilidades de resolución de problemas de los estudiantes.
• Asegurar el dominio de las técnicas algorítmicas básicas para construir una tangente a un círculo.
• Desarrollar la capacidad de aplicar los conocimientos teóricos a la resolución de problemas.
• Desarrollar el pensamiento y el habla de los estudiantes.
• Trabaje en el desarrollo de las habilidades para observar, notar patrones, generalizar y razonar por analogía.
• Inculcar el interés por las matemáticas.

Plan de estudios

1. El surgimiento del concepto de tangente.
2. La historia de la tangente.
3. Definiciones geométricas.
4. Teoremas básicos.
5. Construir una tangente a una circunferencia.
6. Consolidación.

El surgimiento del concepto de tangente.

El concepto de tangente es uno de los más antiguos de las matemáticas. En geometría, una tangente a un círculo se define como una línea que tiene exactamente un punto de intersección con ese círculo. Los antiguos, utilizando compás y reglas, podían trazar tangentes a un círculo y, más tarde, a secciones cónicas: elipses, hipérbolas y parábolas.

La historia de la tangente.

El interés por las tangentes revivió en los tiempos modernos. Luego se descubrieron curvas desconocidas para los científicos antiguos. Por ejemplo, Galileo introdujo la cicloide y Descartes y Fermat construyeron una tangente a ella. En el primer tercio del siglo XVII. Comenzaron a comprender que una tangente es una línea recta, "más cercanamente adyacente" a una curva en una pequeña vecindad de un punto determinado. Es fácil imaginar una situación en la que sea imposible construir una tangente a la curva en un punto determinado (figura).

Definiciones geométricas

Círculo- el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto dado, llamado centro.

círculo.

Definiciones relacionadas

• Un segmento que conecta el centro de un círculo con cualquier punto del mismo (así como la longitud de este segmento) se llama radio círculos.
• La parte del plano delimitada por una circunferencia se llama todo al rededor.
• Un segmento que une dos puntos de una circunferencia se llama segmento acorde. Una cuerda que pasa por el centro de una circunferencia se llama diámetro.
• Dos puntos cualesquiera divergentes en un círculo lo dividen en dos partes. Cada una de estas partes se llama arco círculos. La medida de un arco puede ser la medida de su correspondiente ángulo central. Un arco se llama semicírculo si el segmento que une sus extremos es un diámetro.
• Una recta que tiene exactamente un punto común con una circunferencia se llama tangente a un círculo, y su punto común se llama punto de tangencia de la recta y el círculo.
• Una recta que pasa por dos puntos de una circunferencia se llama secante.
• Un ángulo central en una circunferencia es un ángulo plano que tiene un vértice en su centro.
• Un ángulo cuyo vértice se encuentra en un círculo y cuyos lados cortan a este círculo se llama ángulo inscrito.
• Dos circunferencias que tienen un centro común se llaman concéntrico.

Linea tangente- una línea recta que pasa por un punto de una curva y coincide con él en este punto hasta el primer orden.

Tangente a una circunferencia es una recta que tiene un punto común con una circunferencia.

Línea recta que pasa por un punto de un círculo en el mismo plano perpendicular al radio trazado hasta este punto. llamado tangente. En este caso, este punto de la circunferencia se llama punto de tangencia.

Donde en nuestros casos “a” es una línea recta tangente a un círculo dado, el punto “A” es el punto de tangencia. En este caso, a⊥OA (la recta a es perpendicular al radio OA).

Ellos dijeron eso dos círculos se tocan, si tienen un único punto en común. Este punto se llama punto de contacto de los círculos. A través del punto de tangencia, puedes trazar una tangente a uno de los círculos, que también es tangente al otro círculo. Los círculos en contacto pueden ser internos o externos.

Una tangencia se llama interna si los centros de los círculos se encuentran en el mismo lado de la tangente.

Una tangencia se llama externa si los centros de los círculos se encuentran en lados opuestos de la tangente.

a es la tangente común a las dos circunferencias, K es el punto de tangencia.

Teoremas básicos

Teorema sobre tangente y secante

Si se traza una tangente y una secante desde un punto que se encuentra fuera del círculo, entonces el cuadrado de la longitud de la tangente es igual al producto de la secante por su parte exterior: MC 2 = MA MB.

Teorema. El radio trazado hasta el punto de tangencia del círculo es perpendicular a la tangente.

Teorema. Si el radio es perpendicular a una recta en el punto donde intersecta un círculo, entonces esta recta es tangente a este círculo.

Prueba.

Para demostrar estos teoremas, debemos recordar qué es una perpendicular de un punto a una recta. Esta es la distancia más corta desde este punto hasta esta línea. Supongamos que OA no es perpendicular a la tangente, pero existe una recta OS perpendicular a la tangente. La longitud OS incluye la longitud del radio y un cierto segmento BC, que ciertamente es mayor que el radio. Por tanto, se puede probar para cualquier línea. Concluimos que el radio, el radio trazado hasta el punto de contacto, es la distancia más corta a la tangente desde el punto O, es decir OS es perpendicular a la tangente. En la demostración del teorema inverso partiremos del hecho de que la tangente tiene un solo punto común con la circunferencia. Dejemos que esta recta tenga un punto más común B con el círculo. El triángulo AOB es rectangular y sus dos lados son iguales como radios, lo cual no puede ser el caso. Así, encontramos que esta recta no tiene más puntos en común con el círculo excepto el punto A, es decir es tangente.

Teorema. Los segmentos tangentes trazados desde un punto al círculo son iguales, y la línea recta que conecta este punto con el centro del círculo divide el ángulo entre las tangentes.

Prueba.

La prueba es muy sencilla. Utilizando el teorema anterior, afirmamos que OB es perpendicular a AB y OS es perpendicular a AC. Los triángulos rectángulos ABO y ACO son iguales en cateto e hipotenusa (OB=OS - radios, AO - total). Por lo tanto, sus lados AB=AC y sus ángulos OAC y OAB son iguales.

Teorema. La magnitud del ángulo formado por una tangente y una cuerda que tienen un punto común en una circunferencia es igual a la mitad de la magnitud angular del arco encerrado entre sus lados.

Prueba.

Consideremos el ángulo NAB formado por una tangente y una cuerda. Dibujemos el diámetro de AC. La tangente es perpendicular al diámetro trazado hasta el punto de contacto, por tanto, ∠CAN=90 o. Conociendo el teorema, vemos que el ángulo alfa (a) es igual a la mitad del valor angular del arco BC o la mitad del ángulo BOS. ∠NAB=90 o -a, de aquí obtenemos ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB o = la mitad del valor angular del arco BA. etc.

Teorema. Si se traza una tangente y una secante desde un punto a un círculo, entonces el cuadrado del segmento tangente desde un punto dado hasta el punto de tangencia es igual al producto de las longitudes de los segmentos secantes desde un punto dado hasta los puntos de su intersección con el círculo.

Prueba.

En la figura, este teorema se ve así: MA 2 = MV * MC. Demostrémoslo. Según el teorema anterior, el ángulo MAC es igual a la mitad del valor angular del arco AC, pero también el ángulo ABC es igual a la mitad del valor angular del arco AC según el teorema, por lo tanto, estos ángulos son iguales entre sí. otro. Teniendo en cuenta que los triángulos AMC y BMA tienen un ángulo común en el vértice M, enunciamos la similitud de estos triángulos en dos ángulos (segundo signo). De la similitud tenemos: MA/MB=MC/MA, de donde obtenemos MA 2 =MB*MC

Construir tangentes a una circunferencia

Ahora intentemos resolverlo y descubrir qué se debe hacer para construir una tangente a un círculo.

En este caso, como regla general, el problema da un círculo y un punto. Y tú y yo necesitamos construir una tangente al círculo para que esta tangente pase por un punto dado.

En el caso de que no conozcamos la ubicación de un punto, consideremos casos de posibles ubicaciones de puntos.

En primer lugar, un punto puede estar situado dentro de un círculo, que está limitado por un círculo dado. En este caso, no es posible trazar una tangente a través de esta circunferencia.

En el segundo caso, el punto está ubicado en un círculo y podemos construir una tangente trazando una línea perpendicular al radio, que se traza hasta el punto que conocemos.

En tercer lugar, supongamos que el punto está situado fuera del círculo, que está limitado por el círculo. En este caso, antes de construir una tangente, es necesario encontrar un punto en la circunferencia por el que debe pasar la tangente.

Con el primer caso espero que te haya quedado claro, pero para resolver la segunda opción necesitamos construir un segmento sobre la recta en la que se encuentra el radio. Este segmento debe ser igual al radio y al segmento que se encuentra en el círculo del lado opuesto.

Aquí vemos que un punto en un círculo es el medio de un segmento que es igual al doble del radio. El siguiente paso será construir dos círculos. Los radios de estos círculos serán iguales al doble del radio del círculo original, con centros en los extremos del segmento, que es igual al doble del radio. Ahora podemos dibujar una línea recta que pase por cualquier punto de intersección de estos círculos y un punto dado. Esta línea recta es la mediana perpendicular al radio del círculo que se dibujó inicialmente. Así, vemos que esta recta es perpendicular al círculo y de esto se deduce que es tangente al círculo.

En la tercera opción, tenemos un punto fuera del círculo, que está limitado por un círculo. En este caso, primero construimos un segmento que conectará el centro del círculo proporcionado y el punto dado. Y luego encontramos su medio. Pero para ello es necesario construir una bisectriz perpendicular. Y ya sabes cómo construirlo. Luego necesitamos dibujar un círculo, o al menos una parte de él. Ahora vemos que el punto de intersección del círculo dado y el recién construido es el punto por donde pasa la tangente. También pasa por el punto que se especificó según las condiciones del problema. Y finalmente, por los dos puntos que conoces, puedes trazar una recta tangente.

Y finalmente, para demostrar que la recta que construimos es tangente, debemos prestar atención al ángulo que formaron el radio del círculo y el segmento conocido por la condición y que conecta el punto de intersección de los círculos. con el punto dado por la condición del problema. Ahora vemos que el ángulo resultante descansa sobre un semicírculo. Y de esto se deduce que este ángulo es correcto. En consecuencia, el radio será perpendicular a la recta recién construida, y esta recta es la tangente.

Construcción de una tangente.

La construcción de rectas tangentes es uno de esos problemas que propiciaron el nacimiento del cálculo diferencial. El primer trabajo publicado relacionado con el cálculo diferencial, escrito por Leibniz, se tituló “Un nuevo método de máximos y mínimos, así como de tangentes, para el cual ni las cantidades fraccionarias ni irracionales, ni un tipo especial de cálculo, son un obstáculo”.

Conocimiento geométrico de los antiguos egipcios.

Si no tenemos en cuenta la muy modesta contribución de los antiguos habitantes del valle entre el Tigris y el Éufrates y Asia Menor, entonces la geometría se originó en el Antiguo Egipto antes del 1700 a.C. Durante la temporada de lluvias tropicales, el Nilo reponía sus reservas de agua y se desbordó. El agua cubrió áreas de tierra cultivada y, a efectos fiscales, era necesario determinar cuánta tierra se perdió. Los topógrafos utilizaron una cuerda muy tensa como herramienta de medición. Otro incentivo para la acumulación de conocimientos geométricos por parte de los egipcios fueron sus actividades como la construcción de pirámides y las bellas artes.

El nivel de conocimiento geométrico se puede juzgar a partir de manuscritos antiguos, que están específicamente dedicados a las matemáticas y son algo así como libros de texto, o mejor dicho, libros de problemas, donde se dan soluciones a diversos problemas prácticos.

El manuscrito matemático más antiguo de los egipcios fue copiado por cierto estudiante entre 1800 y 1600. ANTES DE CRISTO. de un texto más antiguo. El papiro fue encontrado por el egiptólogo ruso Vladimir Semenovich Golenishchev. Se conserva en Moscú, en el Museo de Bellas Artes que lleva el nombre de A.S. Pushkin, y se llama papiro de Moscú.

En Londres se conserva otro papiro matemático, escrito doscientos o trescientos años después que el de Moscú. Se llama: "Instrucción sobre cómo alcanzar el conocimiento de todas las cosas oscuras, todos los secretos que las cosas esconden en sí mismas... Según monumentos antiguos, el escriba Ahmes escribió esto. El manuscrito se llama "papiro de Ahmes", o". el papiro Rhind - por el nombre del inglés que encontró y compró este papiro en Egipto. El papiro de Ahmes proporciona soluciones a 84 problemas que implican diversos cálculos que pueden ser necesarios en la práctica.

Definición. Una tangente a una circunferencia es una línea recta en un plano que tiene exactamente un punto común con la circunferencia.

Aquí hay un par de ejemplos:

Podríamos terminar aquí, pero la práctica demuestra que no basta con memorizar la definición: es necesario aprender a ver las tangentes en los dibujos, conocer sus propiedades y, además, practicar correctamente la aplicación de estas propiedades resolviendo problemas reales. Todo esto lo haremos hoy.

Propiedades básicas de las tangentes.

Para resolver cualquier problema, es necesario conocer cuatro propiedades clave. Dos de ellos se describen en cualquier libro de referencia/libro de texto, pero los dos últimos de alguna manera se olvidan, pero en vano.

1. Los segmentos tangentes trazados desde un punto son iguales.

Un poco más arriba ya hablamos de dos tangentes trazadas desde un punto M. Entonces:

Los segmentos tangentes a una circunferencia trazada desde un punto son iguales.

2. La tangente es perpendicular al radio trazado hasta el punto de contacto.

Miremos la imagen de arriba nuevamente. Dibujemos los radios O.A. Y TRANSMISIÓN EXTERIOR., después de lo cual encontramos que los ángulos OAM Y O.B.M.- derecho.

El radio trazado hasta el punto de contacto es perpendicular a la tangente.

Este hecho se puede utilizar sin prueba en cualquier problema:

Por cierto, nota: si dibujas un segmento om, entonces obtenemos dos triángulos iguales: OAM Y O.B.M..

3. Relación entre tangente y secante

Pero éste es un hecho más grave y la mayoría de los escolares no lo saben. Consideremos una tangente y una secante que pasan por el mismo punto común. METRO. Naturalmente, la secante nos dará dos segmentos: dentro del círculo (segmento ANTES DE CRISTO.- también se llama cuerda) y exterior (también se llama parte exterior MC).

El producto de toda la secante por su parte externa es igual al cuadrado del segmento tangente.

4. Ángulo entre tangente y cuerda

Un hecho aún más avanzado que suele utilizarse para resolver problemas complejos. Recomiendo encarecidamente ponerlo en servicio.

El ángulo entre la tangente y la cuerda es igual al ángulo inscrito subtendido por esta cuerda.

¿De dónde viene el punto? B? En problemas reales, generalmente “aparece” en algún lugar de la condición. Por tanto, es importante aprender a reconocer esta configuración en los dibujos.

El artículo proporciona una explicación detallada de las definiciones, el significado geométrico de la derivada con notaciones gráficas. Se considerará la ecuación de una recta tangente con ejemplos, se encontrarán las ecuaciones de una tangente a curvas de segundo orden.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definición 1

El ángulo de inclinación de la recta y = k x + b se llama ángulo α, que se mide desde la dirección positiva del eje x hasta la recta y = k x + b en la dirección positiva.

En la figura, la dirección x está indicada por una flecha verde y un arco verde, y el ángulo de inclinación por un arco rojo. La línea azul se refiere a la línea recta.

Definición 2

La pendiente de la recta y = k x + b se llama coeficiente numérico k.

El coeficiente angular es igual a la tangente de la recta, es decir k = t g α.

• El ángulo de inclinación de una recta es igual a 0 sólo si es paralela a x y la pendiente es igual a cero, porque la tangente de cero es igual a 0. Esto significa que la forma de la ecuación será y = b.
• Si el ángulo de inclinación de la recta y = k x + b es agudo, entonces se cumplen las condiciones 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, y hay un aumento en la gráfica.
• Si α = π 2, entonces la ubicación de la línea es perpendicular a x. La igualdad se especifica por x = c siendo el valor c un número real.
• Si el ángulo de inclinación de la recta y = k x + b es obtuso, entonces corresponde a las condiciones π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Una secante es una recta que pasa por 2 puntos de la función f (x). En otras palabras, una secante es una línea recta que pasa por dos puntos cualesquiera en la gráfica de una función determinada.

La figura muestra que A B es una secante y f (x) es una curva negra, α es un arco rojo, que indica el ángulo de inclinación de la secante.

Cuando el coeficiente angular de una línea recta es igual a la tangente del ángulo de inclinación, está claro que la tangente de un triángulo rectángulo A B C se puede encontrar mediante la relación entre el lado opuesto y el adyacente.

Definición 4

Obtenemos una fórmula para encontrar una secante de la forma:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, donde las abscisas de los puntos A y B son los valores x A, x B y f (x A), f (x B) son las funciones de valores en estos puntos.

Obviamente, el coeficiente angular de la secante se determina mediante la igualdad k = f (x B) - f (x A) x B - x A o k = f (x A) - f (x B) x A - x B , y la ecuación debe escribirse como y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) o
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

La secante divide visualmente la gráfica en 3 partes: a la izquierda del punto A, de A a B, a la derecha de B. La siguiente figura muestra que hay tres secantes que se consideran coincidentes, es decir, se establecen mediante una ecuación similar.

Por definición, está claro que la recta y su secante en este caso coinciden.

Una secante puede intersectar la gráfica de una función determinada varias veces. Si existe una ecuación de la forma y = 0 para una secante, entonces el número de puntos de intersección con la sinusoide es infinito.

Definición 5

Tangente a la gráfica de la función f (x) en el punto x 0 ; f (x 0) es una línea recta que pasa por un punto dado x 0; f (x 0), con presencia de un segmento que tiene muchos valores de x cercanos a x 0.

Ejemplo 1

Echemos un vistazo más de cerca al siguiente ejemplo. Entonces queda claro que la recta definida por la función y = x + 1 se considera tangente a y = 2 x en el punto de coordenadas (1; 2). Para mayor claridad, es necesario considerar gráficas con valores cercanos a (1; 2). La función y = 2 x se muestra en negro, la línea azul es la línea tangente y el punto rojo es el punto de intersección.

Obviamente, y = 2 x se fusiona con la recta y = x + 1.

Para determinar la tangente, debemos considerar el comportamiento de la tangente A B cuando el punto B se acerca infinitamente al punto A. Para mayor claridad, presentamos un dibujo.

La secante A B, indicada por la línea azul, tiende a la posición de la propia tangente, y el ángulo de inclinación de la secante α comenzará a tender al ángulo de inclinación de la propia tangente α x.

Definición 6

La tangente a la gráfica de la función y = f (x) en el punto A se considera la posición límite de la secante A B cuando B tiende a A, es decir, B → A.

Pasemos ahora a considerar el significado geométrico de la derivada de una función en un punto.

Pasemos a considerar la secante A B para la función f (x), donde A y B con coordenadas x 0, f (x 0) y x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), y ∆ x es denotado como el incremento del argumento. Ahora la función tomará la forma ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Para mayor claridad, demos un ejemplo de dibujo.

Considere el triángulo rectángulo resultante A B C. Usamos la definición de tangente para resolver, es decir, obtenemos la relación ∆ y ∆ x = t g α . De la definición de tangente se deduce que lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . De acuerdo con la regla de la derivada en un punto, tenemos que la derivada f (x) en el punto x 0 se llama límite de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento, donde ∆ x → 0 , entonces lo denotamos como f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

De ello se deduce que f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, donde k x se denota como la pendiente de la tangente.

Es decir, encontramos que f '(x) puede existir en el punto x 0, y como la tangente a una gráfica dada de la función en el punto de tangencia igual a x 0, f 0 (x 0), donde el valor de la pendiente de la tangente en el punto es igual a la derivada en el punto x 0 . Entonces obtenemos que k x = f " (x 0).

El significado geométrico de la derivada de una función en un punto es que da el concepto de existencia de una tangente a la gráfica en el mismo punto.

Para escribir la ecuación de cualquier recta en un plano, es necesario tener un coeficiente angular con el punto por el que pasa. Su notación se toma como x 0 en la intersección.

La ecuación tangente a la gráfica de la función y = f (x) en el punto x 0, f 0 (x 0) toma la forma y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Esto significa que el valor final de la derivada f "(x 0) puede determinar la posición de la tangente, es decir, verticalmente, siempre que lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ y lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ o ausencia total bajo la condición lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

La ubicación de la tangente depende del valor de su coeficiente angular k x = f "(x 0). Cuando es paralela al eje o x, obtenemos que k k = 0, cuando es paralela a o y - k x = ∞, y la forma de la ecuación tangente x = x 0 aumenta con k x > 0, disminuye cuando k x< 0 .

Ejemplo 2

Compile una ecuación para la tangente a la gráfica de la función y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 en el punto con coordenadas (1; 3) y determine el ángulo de inclinación.

Solución

Por condición, tenemos que la función está definida para todos los números reales. Encontramos que el punto con las coordenadas especificadas por la condición, (1; 3) es un punto de tangencia, entonces x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Es necesario encontrar la derivada en el punto con valor - 1. lo entendemos

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

El valor de f'(x) en el punto de tangencia es la pendiente de la tangente, que es igual a la tangente de la pendiente.

Entonces k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Se deduce que α x = a r c t g 3 3 = π 6

Respuesta: la ecuación tangente toma la forma

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Para mayor claridad, damos un ejemplo en una ilustración gráfica.

El color negro se utiliza para la gráfica de la función original, el color azul es la imagen de la tangente y el punto rojo es el punto de tangencia. La figura de la derecha muestra una vista ampliada.

Ejemplo 3

Determinar la existencia de una tangente a la gráfica de una función dada.
y = 3 · x - 1 5 + 1 en el punto con coordenadas (1 ; 1) . Escribe una ecuación y determina el ángulo de inclinación.

Solución

Por condición, tenemos que se considera que el dominio de definición de una función dada es el conjunto de todos los números reales.

Pasemos a encontrar la derivada.

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Si x 0 = 1, entonces f' (x) no está definido, pero los límites se escriben como lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ y lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , lo que significa que existencia de tangente vertical en el punto (1; 1).

Respuesta: la ecuación tomará la forma x = 1, donde el ángulo de inclinación será igual a π 2.

Para mayor claridad, representémoslo gráficamente.

Ejemplo 4

Encuentra los puntos en la gráfica de la función y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, donde

1. No hay tangente;
2. La tangente es paralela a x;
3. La tangente es paralela a la recta y = 8 5 x + 4.

Solución

Es necesario prestar atención al alcance de la definición. Por condición, tenemos que la función está definida sobre el conjunto de todos los números reales. Ampliamos el módulo y resolvemos el sistema con intervalos x ∈ - ∞ ; 2 y [-2; + ∞) . lo entendemos

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Es necesario diferenciar la función. tenemos eso

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Cuando x = − 2, entonces la derivada no existe porque los límites unilaterales no son iguales en ese punto:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lím x → - 2 + 0 y " (x) = lím x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Calculamos el valor de la función en el punto x = - 2, donde obtenemos que

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, es decir, la tangente en el punto ( - 2; - 2) no existirá.
2. La tangente es paralela a x cuando la pendiente es cero. Entonces k x = t g α x = f "(x 0). Es decir, es necesario encontrar los valores de tal x cuando la derivada de la función la convierte en cero. Es decir, los valores de f ' (x) serán los puntos de tangencia, donde la tangente es paralela a x.

Cuando x ∈ - ∞ ; - 2, entonces - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, y para x ∈ (- 2; + ∞) obtenemos 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Calcular los valores de función correspondientes.

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Por tanto - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 se consideran los puntos requeridos del gráfico de funciones.

Veamos una representación gráfica de la solución.

La línea negra es la gráfica de la función, los puntos rojos son los puntos de tangencia.

1. Cuando las rectas son paralelas, los coeficientes angulares son iguales. Luego es necesario buscar puntos en el gráfico de la función donde la pendiente será igual al valor 8 5. Para hacer esto, necesitas resolver una ecuación de la forma y "(x) = 8 5. Entonces, si x ∈ - ∞; - 2, obtenemos que - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, y si x ∈ ( - 2 ; + ∞), entonces 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

La primera ecuación no tiene raíces ya que el discriminante es menor que cero. vamos a escribir eso

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Otra ecuación tiene dos raíces reales, entonces

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Pasemos a encontrar los valores de la función. lo entendemos

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Puntos con valores - 1; 4 15, 5; 8 3 son los puntos en los que las tangentes son paralelas a la recta y = 8 5 x + 4.

Respuesta: línea negra – gráfica de la función, línea roja – gráfica de y = 8 5 x + 4, línea azul – tangentes en puntos - 1; 4 15, 5; 8 3.

Puede haber un número infinito de tangentes para funciones dadas.

Ejemplo 5

Escribe las ecuaciones de todas las tangentes disponibles de la función y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, que se ubican perpendiculares a la línea recta y = - 2 x + 1 2.

Solución

Para compilar la ecuación tangente, es necesario encontrar el coeficiente y las coordenadas del punto tangente, basándose en la condición de perpendicularidad de las rectas. La definición es la siguiente: el producto de coeficientes angulares que son perpendiculares a rectas es igual a - 1, es decir, se escribe como k x · k ⊥ = - 1. De la condición tenemos que el coeficiente angular se ubica perpendicular a la recta y es igual a k ⊥ = - 2, entonces k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Ahora necesitas encontrar las coordenadas de los puntos de contacto. Necesitas encontrar x y luego su valor para una función determinada. Tenga en cuenta que del significado geométrico de la derivada en el punto
x 0 obtenemos que k x = y "(x 0). De esta igualdad encontramos los valores de x para los puntos de contacto.

lo entendemos

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sen 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sen 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 pecado 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 pecado 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ pecado 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Esta ecuación trigonométrica se utilizará para calcular las ordenadas de los puntos tangentes.

3 2 x 0 - π 4 = a r c pecado - 1 9 + 2 πk o 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c pecado - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk o 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk o x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z es un conjunto de números enteros.

Se han encontrado x puntos de contacto. Ahora debes pasar a buscar los valores de y:

y 0 = 3 porque 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - pecado 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 o y 0 = 3 - 1 - pecado 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 o y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 o y 0 = - 4 5 + 1 3

De esto obtenemos que 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c pecado 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 son los puntos de tangencia.

Respuesta: las ecuaciones necesarias se escribirán como

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Para una representación visual, considere una función y una tangente en una línea de coordenadas.

La figura muestra que la función está ubicada en el intervalo [-10; 10 ], donde la línea negra es la gráfica de la función, las líneas azules son tangentes, que se ubican perpendiculares a la línea dada de la forma y = - 2 x + 1 2. Los puntos rojos son puntos de contacto.

Las ecuaciones canónicas de las curvas de segundo orden no son funciones de un solo valor. Las ecuaciones tangentes para ellos se elaboran según esquemas conocidos.

Tangente a una circunferencia

Para definir un círculo con centro en el punto x c e n t e r ; y c e n t e r y radio R, aplica la fórmula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Esta igualdad se puede escribir como una unión de dos funciones:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

La primera función está ubicada en la parte superior y la segunda en la parte inferior, como se muestra en la figura.

Para compilar la ecuación de un círculo en el punto x 0; y 0 , que se encuentra en el semicírculo superior o inferior, debes encontrar la ecuación de la gráfica de una función de la forma y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r or y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r en el punto indicado.

Cuando en los puntos x c e n t e r ; y centro + R y x centro; y c e n t e r - R tangentes pueden estar dadas por las ecuaciones y = y c e n t e r + R e y = y c e n t e r - R , y en los puntos x c e n t e r + R ; y centro y
x centro - R ; y c e n t e r será paralelo a o y, entonces obtenemos ecuaciones de la forma x = x c e n t e r + R y x = x c e n t e r - R .

Tangente a una elipse

Cuando la elipse tiene centro en x centro; y c e n t e r con semiejes a y b, entonces se puede especificar usando la ecuación x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Se pueden denotar una elipse y un círculo combinando dos funciones, a saber, la media elipse superior e inferior. Entonces entendemos eso

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Si las tangentes están ubicadas en los vértices de la elipse, entonces son paralelas respecto de x o respecto de y. A continuación, para mayor claridad, considere la figura.

Ejemplo 6

Escribe la ecuación de la tangente a la elipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 en puntos con valores de x iguales a x = 2.

Solución

Es necesario encontrar los puntos tangentes que corresponden al valor x = 2. Sustituimos en la ecuación existente de la elipse y encontramos que

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Entonces 2; 5 3 2 + 5 y 2; - 5 3 2 + 5 son los puntos tangentes que pertenecen a la media elipse superior e inferior.

Pasemos a encontrar y resolver la ecuación de la elipse con respecto a y. lo entendemos

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Obviamente, la media elipse superior se especifica usando una función de la forma y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, y la media elipse inferior y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Apliquemos un algoritmo estándar para crear una ecuación para una tangente a la gráfica de una función en un punto. Escribamos que la ecuación de la primera tangente en el punto 2; 5 3 2 + 5 se verá así

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Encontramos que la ecuación de la segunda tangente con un valor en el punto
2; - 5 3 2 + 5 toma la forma

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Gráficamente, las tangentes se designan de la siguiente manera:

Tangente a la hipérbole

Cuando una hipérbola tiene centro en x centro; y centro y vértices x centro + α ; y centro y x centro - α; y c e n t e r , se produce la desigualdad x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, si con vértices x c e n t e r ; y centro + b y x centro; y c e n t e r - b , entonces se especifica usando la desigualdad x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Una hipérbola se puede representar como dos funciones combinadas de la forma

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r o y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x centro) 2 + a 2 + y centro

En el primer caso tenemos que las tangentes son paralelas a y, y en el segundo son paralelas a x.

De ello se deduce que para encontrar la ecuación de la tangente a una hipérbola, es necesario averiguar a qué función pertenece el punto de tangencia. Para determinar esto, es necesario sustituir en las ecuaciones y verificar la identidad.

Ejemplo 7

Escribe una ecuación para la tangente a la hipérbola x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 en el punto 7; - 3 3 - 3 .

Solución

Es necesario transformar el registro de solución para encontrar una hipérbola usando 2 funciones. lo entendemos

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 y y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Es necesario identificar a qué función pertenece un punto determinado con coordenadas 7; - 3 3 - 3 .

Obviamente, para comprobar la primera función es necesario y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, entonces el punto no pertenece a la gráfica, ya que la igualdad no se cumple.

Para la segunda función tenemos que y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, lo que significa que el punto pertenece a la gráfica dada. Desde aquí deberías encontrar la pendiente.

lo entendemos

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Respuesta: la ecuación tangente se puede representar como

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Está claramente representado así:

Tangente a una parábola

Para crear una ecuación para la tangente a la parábola y = a x 2 + b x + c en el punto x 0, y (x 0), debes usar un algoritmo estándar, luego la ecuación tomará la forma y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0). Tal tangente en el vértice es paralela a x.

Debes definir la parábola x = a y 2 + b y + c como la unión de dos funciones. Por lo tanto, necesitamos resolver la ecuación para y. lo entendemos

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Representado gráficamente como:

Para saber si un punto x 0, y (x 0) pertenece a una función, proceda con cuidado según el algoritmo estándar. Tal tangente será paralela a o y con respecto a la parábola.

Ejemplo 8

Escribe la ecuación de la tangente a la gráfica x - 2 y 2 - 5 y + 3 cuando tengamos un ángulo tangente de 150°.

Solución

Comenzamos la solución representando la parábola como dos funciones. lo entendemos

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49-8x-4

El valor de la pendiente es igual al valor de la derivada en el punto x 0 de esta función y es igual a la tangente del ángulo de inclinación.

Obtenemos:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

A partir de aquí determinamos el valor x para los puntos de contacto.

La primera función se escribirá como

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Obviamente, no existen raíces reales, ya que obtuvimos un valor negativo. Concluimos que no existe una tangente con un ángulo de 150° para tal función.

La segunda función se escribirá como

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Tenemos que los puntos de contacto son 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Respuesta: la ecuación tangente toma la forma

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Representémoslo gráficamente de esta manera:

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