Ejemplos de series de números de Fibonacci. Estructura del cuadrilátero ortogonal dorado y espiral.

Sin embargo, esto no es todo lo que se puede hacer con la proporción áurea. Si dividimos uno por 0,618, obtenemos 1,618; si lo elevamos al cuadrado, obtenemos 2,618; si lo elevamos al cubo, obtenemos 4,236. Estas son las razones de expansión de Fibonacci. El único número que falta aquí es 3236, propuesto por John Murphy.

¿Qué piensan los expertos sobre la coherencia?

Algunos podrían decir que estos números ya les resultan familiares porque se utilizan en programas de análisis técnico para determinar la magnitud de las correcciones y ampliaciones. Además, estas mismas series juegan un papel importante en la teoría ondulatoria de Eliot. Son su base numérica.

Nuestro experto Nikolay es un gestor de cartera acreditado en la sociedad de inversión Vostok.

• — Nikolay, ¿crees que la aparición de los números de Fibonacci y sus derivados en los gráficos de varios instrumentos es accidental? ¿Y es posible decir: se produce la “aplicación práctica de la serie de Fibonacci”?
• — Tengo una mala actitud hacia el misticismo. Y más aún en los gráficos bursátiles. Todo tiene sus razones. En el libro “Niveles de Fibonacci” describió maravillosamente dónde aparece la proporción áurea, por lo que no le sorprendió que apareciera en los gráficos de cotizaciones bursátiles. ¡Pero en vano! En muchos de los ejemplos que dio, el número Pi aparece con frecuencia. Pero por alguna razón no está incluido en las relaciones de precios.
• — ¿Entonces no cree en la eficacia del principio ondulatorio de Eliot?
• - No, ese no es el punto. El principio ondulatorio es una cosa. La proporción numérica es diferente. Y las razones de su aparición en los gráficos de precios son la tercera.
• — ¿Cuáles son, en su opinión, las razones de la aparición de la proporción áurea en los gráficos de acciones?
• — La respuesta correcta a esta pregunta puede hacerte ganar el Premio Nobel de Economía. Por ahora podemos adivinar las verdaderas razones. Claramente no están en armonía con la naturaleza. Hay muchos modelos de fijación de precios de cambio. No explican el fenómeno designado. Pero no comprender la naturaleza de un fenómeno no debería negarlo como tal.
• — Y si alguna vez se abre esta ley, ¿podrá destruir el proceso de intercambio?
• — Como muestra la misma teoría ondulatoria, la ley de los cambios en los precios de las acciones es pura psicología. Me parece que el conocimiento de esta ley no cambiará nada y no podrá destruir la bolsa de valores.

Material proporcionado por el blog del webmaster Maxim.

La coincidencia de los principios fundamentales de las matemáticas en diversas teorías parece increíble. Quizás sea fantasía o personalizado para el resultado final. Espera y verás. Mucho de lo que antes se consideraba inusual o no era posible: la exploración espacial, por ejemplo, se ha convertido en algo habitual y no sorprende a nadie. Además, la teoría ondulatoria, que puede resultar incomprensible, se volverá más accesible y comprensible con el tiempo. Lo que antes era innecesario, en manos de un analista experimentado, se convertirá en una poderosa herramienta para predecir el comportamiento futuro.

Números de Fibonacci en la naturaleza.

Mirar

Ahora, hablemos de cómo se puede refutar el hecho de que la serie digital de Fibonacci esté involucrada en cualquier patrón de la naturaleza.

Tomemos otros dos números y construyamos una secuencia con la misma lógica que los números de Fibonacci. Es decir, el siguiente miembro de la secuencia es igual a la suma de los dos anteriores. Por ejemplo, tomemos dos números: 6 y 51. Ahora construiremos una secuencia que completaremos con dos números 1860 y 3009. Tenga en cuenta que al dividir estos números, obtenemos un número cercano a la proporción áurea.

Al mismo tiempo, los números que se obtuvieron al dividir otros pares disminuyeron del primero al último, lo que nos permite decir que si esta serie continúa indefinidamente, entonces obtendremos un número igual a la proporción áurea.

Por tanto, los números de Fibonacci no se destacan de ninguna manera. Hay otras secuencias de números, de los cuales hay un número infinito, que como resultado de las mismas operaciones dan el número áureo phi.

Fibonacci no era un esoterista. No quería poner ningún misticismo en los números, simplemente estaba resolviendo un problema común y corriente sobre conejos. Y escribió una secuencia de números que surgieron de su problema, en el primer, segundo y otros meses, cuántos conejos habría después de la reproducción. Al cabo de un año, recibió la misma secuencia. Y no hice una relación. No se habló de ninguna proporción áurea o relación divina. Todo esto fue inventado después de él durante el Renacimiento.

En comparación con las matemáticas, las ventajas de Fibonacci son enormes. Adoptó el sistema numérico de los árabes y demostró su validez. Fue una lucha dura y larga. Del sistema numérico romano: pesado e incómodo para contar. Desapareció después de la Revolución Francesa. Fibonacci no tiene nada que ver con la proporción áurea.

Existen infinidad de espirales, las más populares son: la espiral logaritmo natural, la espiral de Arquímedes y la espiral hiperbólica.

Ahora echemos un vistazo a la espiral de Fibonacci. Esta unidad compuesta por partes consta de varios cuartos de círculo. Y no es una espiral como tal.

Conclusión

Por mucho que busquemos la confirmación o refutación de la aplicabilidad de la serie de Fibonacci en la bolsa de valores, esa práctica existe.

Grandes masas de personas actúan según la línea de Fibonacci, que se encuentra en muchos terminales de usuario. Por lo tanto, nos guste o no: los números de Fibonacci influyen, y podemos aprovechar esta influencia.

No dejes de leer el artículo -.

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Los números de Fibonacci y la proporción áurea Forman la base para comprender el mundo circundante, construir su forma y la percepción visual óptima por parte de una persona, con la ayuda de la cual puede sentir belleza y armonía.

El principio de determinar las dimensiones de la proporción áurea subyace a la perfección del mundo entero y sus partes en su estructura y funciones, su manifestación se puede ver en la naturaleza, el arte y la tecnología. La doctrina de la proporción áurea se fundó como resultado de la investigación de científicos antiguos sobre la naturaleza de los números.

La evidencia del uso de la proporción áurea por parte de los pensadores antiguos se encuentra en el libro "Elementos" de Euclides, escrito en el siglo III. BC, quien aplicó esta regla para construir pentágonos regulares. Entre los pitagóricos, esta figura se consideraba sagrada porque es a la vez simétrica y asimétrica. El pentagrama simbolizaba la vida y la salud.

Números de Fibonacci

En 1202 se publicó el famoso libro Liber abaci del matemático italiano Leonardo de Pisa, más tarde conocido como Fibonacci. En él, el científico cita por primera vez el patrón de números, en una serie en la que cada número es la suma de 2 dígitos anteriores. La secuencia numérica de Fibonacci es la siguiente:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, etc.

El científico también citó una serie de patrones:

Cualquier número de la serie dividido por el siguiente será igual a un valor que tiende a 0,618. Además, los primeros números de Fibonacci no dan ese número, pero a medida que avanzamos desde el principio de la secuencia, esta relación será cada vez más precisa.

Si divides el número de la serie por el anterior, el resultado llegará a 1,618.

Un número dividido por el siguiente por uno mostrará un valor que tiende a 0,382.

La aplicación de la conexión y los patrones de la sección áurea, el número de Fibonacci (0,618), se puede encontrar no sólo en matemáticas, sino también en la naturaleza, la historia, la arquitectura y la construcción, y en muchas otras ciencias.

A efectos prácticos, se limitan al valor aproximado de Φ = 1,618 o Φ = 1,62. En un valor porcentual redondeado, la proporción áurea es la división de cualquier valor en la proporción de 62% y 38%.

Históricamente, la sección áurea originalmente se llamaba la división del segmento AB por el punto C en dos partes (el segmento más pequeño AC y el segmento más grande BC), de modo que para las longitudes de los segmentos AC/BC = BC/AB era cierto. En palabras simples, la proporción áurea divide un segmento en dos partes desiguales de modo que la parte más pequeña está relacionada con la más grande, al igual que la parte más grande está relacionada con el segmento completo. Posteriormente este concepto se amplió a cantidades arbitrarias.

El número Φ también se llama número de oro.

La proporción áurea tiene muchas propiedades maravillosas, pero además, se le atribuyen muchas propiedades ficticias.

Ahora los detalles:

La definición de GS es la división de un segmento en dos partes en una proporción tal que la parte mayor está relacionada con la más pequeña, como su suma (el segmento completo) está relacionada con la más grande.

Es decir, si tomamos todo el segmento c como 1, entonces el segmento a será igual a 0,618, el segmento b - 0,382. Así, si tomamos un edificio, por ejemplo, un templo construido según el principio 3S, entonces con una altura de, digamos, 10 metros, la altura del tambor con la cúpula será de 3,82 cm, y la altura de la base de la estructura será de 6,18 cm (está claro que los números se toman planos para mayor claridad)

¿Cuál es la conexión entre ZS y los números de Fibonacci?

Los números de secuencia de Fibonacci son:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

El patrón de números es que cada número subsiguiente es igual a la suma de los dos números anteriores.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21, etc.,

y la proporción de números adyacentes se acerca a la proporción de ZS.
Entonces, 21: 34 = 0,617 y 34: 55 = 0,618.

Es decir, el GS se basa en los números de la secuencia de Fibonacci.

Se cree que el término "Proporción áurea" fue introducido por Leonardo Da Vinci, quien dijo: "Que nadie que no sea matemático se atreva a leer mis obras" y mostró las proporciones del cuerpo humano en su famoso dibujo "El hombre de Vitruvio". ”. “Si atamos una figura humana, la creación más perfecta del Universo, con un cinturón y luego medimos la distancia desde el cinturón hasta los pies, entonces este valor se relacionará con la distancia desde el mismo cinturón hasta la parte superior de la cabeza, así como la altura total de una persona se relaciona con la longitud desde la cintura hasta los pies”.

La serie de números de Fibonacci se modela (materializa) visualmente en forma de espiral.

Y en la naturaleza, la espiral GS se ve así:

Al mismo tiempo, la espiral se observa en todas partes (en la naturaleza y no solo):

Las semillas de la mayoría de las plantas están dispuestas en espiral.
- La araña teje una red en espiral.
- Un huracán gira como una espiral.
- Una manada de renos asustada se dispersa en espiral.
- La molécula de ADN está retorcida en una doble hélice. La molécula de ADN está formada por dos hélices entrelazadas verticalmente, de 34 angstroms de largo y 21 angstroms de ancho. Los números 21 y 34 se suceden en la secuencia de Fibonacci.
- El embrión se desarrolla en forma de espiral.
- Espiral coclear en el oído interno.
- El agua baja por el desagüe en forma de espiral.
- La dinámica espiral muestra el desarrollo de la personalidad de una persona y sus valores en espiral.
- Y por supuesto, la propia galaxia tiene forma de espiral.

Así, se puede argumentar que la naturaleza misma está construida según el principio de la Sección Áurea, razón por la cual esta proporción es percibida más armoniosamente por el ojo humano. No requiere “corrección” ni adición a la imagen resultante del mundo.

Película. El número de Dios. Prueba irrefutable de Dios; El número de Dios. La prueba incontrovertible de Dios.

Proporciones áureas en la estructura de la molécula de ADN.

Toda la información sobre las características fisiológicas de los seres vivos se almacena en una molécula microscópica de ADN, en cuya estructura también se encuentra la ley de la proporción áurea. La molécula de ADN consta de dos hélices entrelazadas verticalmente. La longitud de cada una de estas espirales es de 34 angstroms y el ancho es de 21 angstroms. (1 angstrom es la cien millonésima de centímetro).

21 y 34 son números que se suceden en la secuencia de los números de Fibonacci, es decir, la relación entre el largo y el ancho de la espiral logarítmica de la molécula de ADN lleva la fórmula de la proporción áurea 1:1.618

Proporción áurea en la estructura de los microcosmos.

Las formas geométricas no se limitan sólo a un triángulo, un cuadrado, un pentágono o un hexágono. Si conectamos estas figuras entre sí de diferentes maneras, obtenemos nuevas figuras geométricas tridimensionales. Ejemplos de ello son figuras como un cubo o una pirámide. Sin embargo, además de ellas, también hay otras figuras tridimensionales que no hemos encontrado en la vida cotidiana y cuyos nombres escuchamos, quizás por primera vez. Entre estas figuras tridimensionales se encuentran el tetraedro (figura regular de cuatro lados), el octaedro, el dodecaedro, el icosaedro, etc. El dodecaedro consta de 13 pentágonos, el icosaedro consta de 20 triángulos. Los matemáticos señalan que estas cifras se transforman matemáticamente muy fácilmente y su transformación se produce de acuerdo con la fórmula de la espiral logarítmica de la proporción áurea.

En el microcosmos, las formas logarítmicas tridimensionales construidas según proporciones áureas son omnipresentes. Por ejemplo, muchos virus tienen la forma geométrica tridimensional de un icosaedro. Quizás el más famoso de estos virus sea el virus Adeno. La cubierta proteica del virus Adeno está formada por 252 unidades de células proteicas dispuestas en una secuencia determinada. En cada esquina del icosaedro hay 12 unidades de células proteicas en forma de prisma pentagonal y desde estas esquinas se extienden estructuras en forma de púas.

La proporción áurea en la estructura de los virus se descubrió por primera vez en la década de 1950. científicos del Birkbeck College London A. Klug y D. Kaspar. 13 El virus Polyo fue el primero en mostrar una forma logarítmica. La forma de este virus resultó ser similar a la del virus Rhino 14.

Surge la pregunta: ¿cómo forman los virus formas tridimensionales tan complejas, cuya estructura contiene la proporción áurea, que son bastante difíciles de construir incluso con nuestra mente humana? El descubridor de estas formas de virus, el virólogo A. Klug, hace el siguiente comentario:

“El Dr. Kaspar y yo demostramos que para la capa esférica del virus, la forma más óptima es la simetría, como la forma de icosaedro. Este orden minimiza el número de elementos de conexión... La mayoría de los cubos hemisféricos geodésicos de Buckminster Fuller se basan en un principio geométrico similar. 14 La instalación de tales cubos requiere un diagrama explicativo extremadamente preciso y detallado. Mientras que los propios virus inconscientes construyen una capa tan compleja a partir de unidades celulares proteicas elásticas y flexibles”.

Sobre números y fórmulas que se dan en la naturaleza. Bueno, unas pocas palabras sobre estos mismos números y fórmulas.

Los números y las fórmulas en la naturaleza son un obstáculo entre quienes creen en la creación del universo por alguien y quienes creen en la creación del universo mismo. Porque la pregunta es: "Si el universo surgiera por sí solo, ¿no se construirían casi todos los objetos vivos e inanimados según el mismo esquema, según las mismas fórmulas?"

Bueno, no responderemos aquí a esta pregunta filosófica (el formato del sitio no es el mismo 🙂), pero expresaremos las fórmulas. Y comencemos con los números de Fibonacci y la Espiral Dorada.

Por tanto, los números de Fibonacci son elementos de una secuencia numérica en la que cada número posterior es igual a la suma de los dos números anteriores. Es decir, 0 +1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 y así sucesivamente.

Total, obtenemos la serie: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946

Otro ejemplo de la serie de Fibonacci: 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178 y así sucesivamente. Puedes experimentar tú mismo :)

¿Cómo aparecen los números de Fibonacci en la naturaleza? Muy simple:

1. La disposición de las hojas de las plantas se describe mediante la secuencia de Fibonacci. Las semillas de girasol, las piñas, los pétalos de flores y las células de piña también están dispuestas según la secuencia de Fibonacci.
2. La longitud de las falanges de los dedos humanos es aproximadamente la misma que la de los números de Fibonacci.
3. La molécula de ADN está formada por dos hélices entrelazadas verticalmente, de 34 angstroms de largo y 21 angstroms de ancho. Los números 21 y 34 se suceden en la secuencia de Fibonacci.

Usando los números de Fibonacci puedes construir una Espiral Dorada. Entonces, dibujemos un cuadrado pequeño con un lado de, digamos, 1. A continuación, recordemos la escuela. ¿Qué es 1 2? Este será 1. Entonces, dibujemos otro cuadrado al lado del primero, cerca uno del otro. A continuación, el siguiente número de Fibonacci es 2 (1+1). ¿Qué es 2 2? Este será 4. Dibujemos otro cuadrado cerca de los dos primeros cuadrados, pero ahora con un lado de 2 y un área de 4. El siguiente número es el número 3 (1+2). El cuadrado del número 3 es 9. Dibuja un cuadrado de lado 3 y área de 9 al lado de los ya dibujados. Luego tenemos un cuadrado con lado 5 y área 25, un cuadrado con lado 8 y área 64, y así sucesivamente hasta el infinito.

Es hora de la espiral dorada. Conectemos los puntos fronterizos entre los cuadrados con una línea curva suave. Y obtendremos la misma espiral dorada, a partir de la cual se construyen muchos objetos vivos e inanimados en la naturaleza.

Y antes de pasar a la proporción áurea, pensemos. Aquí hemos construido una espiral a partir de los cuadrados de la secuencia de Fibonacci (secuencia 1, 1, 2, 3, 5, 8 y cuadrados 1, 1, 4, 9, 25, 64). Pero ¿qué pasa si no utilizamos los cuadrados de los números, sino sus cubos? Los cubos se verán así desde el centro:

Y al lado:

Bueno, al construir una espiral, resultará espiral dorada volumétrica:

Así se ve esta voluminosa espiral dorada desde un lado:

Pero ¿qué pasa si no tomamos cubos de números de Fibonacci, sino que pasamos a la cuarta dimensión?... Esto es un rompecabezas, ¿verdad?

Sin embargo, no tengo idea de cómo se manifiesta en la naturaleza la proporción áurea volumétrica basada en los cubos de los números de Fibonacci, y mucho menos en los números elevados a la cuarta potencia. Por tanto, volvemos a la proporción áurea en el avión. Entonces, echemos un vistazo a nuestros cuadrados nuevamente. Matemáticamente hablando, esta es la imagen que obtenemos:

Es decir, obtenemos la proporción áurea, donde un lado se divide en dos partes en una proporción tal que la parte más pequeña está relacionada con la más grande como la más grande está relacionada con el valor total.

Es decir, a: b = b: c o c: b = b: a.

A partir de esta relación de magnitudes se construyen, entre otras cosas, un pentágono regular y un pentagrama:

Como referencia: para construir un pentagrama necesitas construir un pentágono regular. El método de construcción fue desarrollado por el pintor y artista gráfico alemán Alberto Durero (1471...1528). Sea O el centro del círculo, A un punto del círculo y E el punto medio del segmento OA. La perpendicular al radio OA, restaurada en el punto O, corta el círculo en el punto D. Con una brújula, traza el segmento CE = ED en el diámetro. La longitud del lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia es igual a DC. Trazamos los segmentos DC en el círculo y obtenemos cinco puntos para dibujar un pentágono regular. Conectamos las esquinas del pentágono entre sí con diagonales y obtenemos un pentagrama. Todas las diagonales del pentágono se dividen entre sí en segmentos conectados por la proporción áurea.

En general, estos son los patrones. Además, existen muchos más patrones diversos de los que se han descrito. Y ahora, después de todos estos números aburridos, aquí está el vídeo prometido donde todo es simple y claro:

Como puedes ver, las matemáticas están presentes en la naturaleza. Y no sólo en los objetos que aparecen en el vídeo, sino también en muchos otros ámbitos. Por ejemplo, cuando una ola llega a la orilla y gira, gira a lo largo de la Espiral Dorada. Etcétera :)

El matemático italiano Leonardo Fibonacci vivió en el siglo XIII y fue uno de los primeros en Europa en utilizar números arábigos (indios). Se le ocurrió un problema un tanto artificial sobre la cría de conejos en una granja, todos los cuales se consideran hembras y se ignora a los machos. Los conejos comienzan a reproducirse después de los dos meses de edad y luego dan a luz un conejo cada mes. Los conejos nunca mueren.

Necesitamos determinar cuántos conejos habrá en la granja en norte meses, si en el momento inicial solo había un conejo recién nacido.

Obviamente, el granjero tiene un conejo en el primer mes y otro en el segundo mes. Al tercer mes habrá dos conejos, al cuarto mes habrá tres, etc. Denotemos el número de conejos en norte mes como. De este modo,
,
,
,
,
, …

Es posible construir un algoritmo para encontrar a cualquiera norte.

Según el planteamiento del problema, el número total de conejos
V norte+1 mes se divide en tres componentes:

conejos de un mes de edad incapaces de reproducirse, en la cantidad de

;

Así, obtenemos

. (8.1)

La fórmula (8.1) le permite calcular una serie de números: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,. ..

Los números en esta secuencia se llaman Números de Fibonacci .

si aceptamos
Y
, luego, usando la fórmula (8.1), puedes determinar todos los demás números de Fibonacci. La fórmula (8.1) se llama recurrente fórmula ( reaparición – “regreso” en latín).

Ejemplo 8.1. Supongamos que hay una escalera en norte pasos. Podemos subirlo en pasos de un escalón, o en pasos de dos escalones. ¿Cuántas combinaciones de diferentes métodos de levantamiento existen?

Si norte= 1, sólo hay una solución al problema. Para norte= 2 hay 2 opciones: dos pasos simples o uno doble. Para norte= 3 hay 3 opciones: tres escalones simples, o uno simple y uno doble, o uno doble y uno simple.

En el siguiente caso norte= 4, tenemos 5 posibilidades (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

Para responder a la pregunta formulada al azar. norte, denotemos el número de opciones como , y tratemos de determinar
según lo conocido Y
. Si comenzamos con un solo paso, entonces tenemos combinaciones para el resto norte pasos. Si comenzamos con un doble paso, entonces tenemos
combinaciones para el resto norte–1 pasos. Número total de opciones para norte+1 pasos es igual

. (8.2)

La fórmula resultante se parece a la fórmula (8.1) como gemela. Sin embargo, esto no nos permite identificar el número de combinaciones. con números de Fibonacci . Vemos, por ejemplo, que
, Pero
. Sin embargo, se produce la siguiente dependencia:

.

Esto es cierto para norte= 1, 2 y también es cierto para todos norte. Números de Fibonacci y número de combinaciones. se calculan usando la misma fórmula, pero los valores iniciales
,
Y
,
difieren.

Ejemplo 8.2. Este ejemplo es de importancia práctica para problemas de codificación de corrección de errores. Encuentra el número de todas las palabras binarias de longitud. norte, que no contiene varios ceros seguidos. Denotemos este número por . Obviamente,
, y las palabras de longitud 2 que satisfacen nuestra restricción son: 10, 01, 11, es decir
. Dejar
- tal palabra de norte caracteres. Si el símbolo
, Eso
puede ser arbitrario (
)-palabra literal que no contiene varios ceros seguidos. Esto significa que el número de palabras que terminan en uno es
.

Si el símbolo
, entonces definitivamente
, y el primero
símbolo
puede ser arbitrario, sujeto a las restricciones consideradas. Por lo tanto, hay
longitud de las palabras norte con un cero al final. Por tanto, el número total de palabras que nos interesan es igual a

.

Teniendo en cuenta que
Y
, la secuencia de números resultante son los números de Fibonacci.

Ejemplo 8.3. En el ejemplo 7.6 encontramos que el número de palabras binarias de peso constante t(y longitud k) es igual . Ahora encontremos el número de palabras binarias de peso constante. t, que no contiene varios ceros seguidos.

Puedes pensar así. Dejar
el número de ceros en las palabras en cuestión. cualquier palabra tiene
espacios entre los ceros más cercanos, cada uno de los cuales contiene uno o más unos. Se asume que
. De lo contrario, no hay una sola palabra sin ceros adyacentes.

Si eliminamos exactamente una unidad de cada intervalo, obtenemos una palabra de longitud
que contiene ceros. Cualquier palabra de este tipo se puede obtener de la forma indicada de algunos (y sólo uno) k-palabra literal que contiene ceros, de los cuales no hay dos adyacentes. Esto significa que el número requerido coincide con el número de todas las palabras de longitud.
, que contiene exactamente ceros, es decir es igual
.

Ejemplo 8.4. Demostremos que la suma
igual a los números de Fibonacci para cualquier número entero . Símbolo
representa El entero más pequeño mayor o igual a . Por ejemplo, si
, Eso
; y si
, Eso
fortificar techo("techo"). También hay un símbolo
, que denota entero más grande menor o igual a . En inglés esta operación se llama piso ("piso").

Si
, Eso
. Si
, Eso
. Si
, Eso
.

Así, para los casos considerados, la suma es efectivamente igual a los números de Fibonacci. Ahora presentamos la prueba para el caso general. Dado que los números de Fibonacci se pueden obtener utilizando la ecuación de recurrencia (8.1), se debe satisfacer la igualdad:

.

Y realmente funciona:

Aquí utilizamos la fórmula obtenida anteriormente (4.4):
.

Suma de números de Fibonacci

Determinemos la suma de la primera norte Números de Fibonacci.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Es fácil ver que sumando uno al lado derecho de cada ecuación obtenemos nuevamente el número de Fibonacci. Fórmula general para determinar la suma de la primera. norte Los números de Fibonacci tienen la forma:

Demostremos esto usando el método de inducción matemática. Para hacer esto, escribamos:

Esta cantidad debe ser igual
.

Reduciendo los lados izquierdo y derecho de la ecuación en –1, obtenemos la ecuación (6.1).

Fórmula para los números de Fibonacci

Teorema 8.1. Los números de Fibonacci se pueden calcular usando la fórmula

.

Prueba. Verifiquemos la validez de esta fórmula para norte= 0, 1, y luego probaremos la validez de esta fórmula para un valor arbitrario norte por inducción. Calculemos la proporción de los dos números de Fibonacci más cercanos:

Vemos que la proporción de estos números fluctúa alrededor de 1,618 (si ignoramos los primeros valores). Esta propiedad de los números de Fibonacci se asemeja a los términos de una progresión geométrica. aceptemos
, (
). Entonces la expresión

convertido a

que después de simplificaciones se ve así

.

Hemos obtenido una ecuación cuadrática cuyas raíces son iguales:

Ahora podemos escribir:

(Dónde C es una constante). ambos miembros Y no des números de Fibonacci, por ejemplo
, mientras
. Sin embargo, la diferencia
satisface la ecuación de recurrencia:

Para norte=0 esta diferencia da , eso es:
. Sin embargo cuando norte=1 tenemos
. Para obtener
, debes aceptar:
.

Ahora tenemos dos secuencias: Y
, que comienzan con los mismos dos números y satisfacen la misma fórmula de recurrencia. Deben ser iguales:
. El teorema ha sido demostrado.

Al aumentar norte miembro se vuelve muy grande mientras
y el papel del miembro la diferencia se reduce. Por lo tanto, en general norte podemos escribir aproximadamente

.

Ignoramos 1/2 (ya que los números de Fibonacci aumentan hasta el infinito como norte hasta el infinito).

Actitud
llamado proporción áurea, se utiliza fuera de las matemáticas (por ejemplo, en escultura y arquitectura). La proporción áurea es la relación entre la diagonal y el lado. pentágono regular(Figura 8.1).

Arroz. 8.1. Pentágono regular y sus diagonales.

Para denotar la proporción áurea, se acostumbra utilizar la letra
en honor al famoso escultor ateniense Fidias.

números primos

Todos los números naturales, los grandes, se dividen en dos clases. El primero incluye números que tienen exactamente dos divisores naturales, uno y él mismo, el segundo incluye todos los demás. Los números de primera clase se llaman. simple, y el segundo - compuesto. Números primos dentro de las tres primeras decenas: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Euclides (siglo III a. C.) estudió las propiedades de los números primos y su relación con todos los números naturales. Si escribes números primos seguidos, notarás que su densidad relativa disminuye. Para los primeros diez hay 4, es decir, 40%, para cien – 25, es decir. 25%, por mil – 168, es decir menos del 17%, por millón – 78498, es decir menos del 8%, etc. Sin embargo, su número total es infinito.

Entre los números primos hay pares de tales números, cuya diferencia es igual a dos (el llamado gemelos simples), sin embargo, no se ha demostrado la finitud o infinidad de tales pares.

Euclides consideraba obvio que multiplicando sólo números primos se podían obtener todos los números naturales, y cada número natural se podía representar como producto de números primos de forma única (hasta el orden de los factores). Por tanto, los números primos forman una base multiplicativa de la serie natural.

El estudio de la distribución de números primos condujo a la creación de un algoritmo que permite obtener tablas de números primos. Tal algoritmo es tamiz de Eratóstenes(Siglo III a.C.). Este método consiste en eliminar (por ejemplo, tachando) aquellos números enteros de una secuencia determinada
, que son divisibles por al menos uno de los números primos más pequeños
.

Teorema 8 . 2 . (Teorema de Euclidiano). El número de números primos es infinito..

Prueba. Demostraremos el teorema de Euclides sobre la infinidad del número de números primos utilizando el método propuesto por Leonhard Euler (1707-1783). Euler consideró el producto de todos los números primos. pag:

en
. Este producto converge, y si se expande, entonces, debido a la unicidad de la descomposición de los números naturales en factores primos, resulta que es igual a la suma de la serie. , de donde se desprende la identidad de Euler:

.

Desde cuando
la serie de la derecha diverge (series armónicas), entonces el teorema de Euclides se deriva de la identidad de Euler.

El matemático ruso P.L. Chebyshev (1821-1894) derivó una fórmula que determina los límites dentro de los cuales se encuentra el número de números primos.
, que no exceda X:

,

Dónde
,
.

basado en materiales del libro de B. Biggs "Un cobertura surgió de la niebla"

Acerca de los números de Fibonacci y el comercio

Como introducción al tema, pasemos brevemente al análisis técnico. En resumen, el análisis técnico tiene como objetivo predecir el movimiento futuro del precio de un activo basándose en datos históricos pasados. La formulación más famosa de sus partidarios es que el precio ya incluye toda la información necesaria. La implementación del análisis técnico comenzó con el desarrollo de la especulación bursátil y probablemente aún no esté completamente terminada, ya que potencialmente promete ganancias ilimitadas. Los métodos (términos) más conocidos en el análisis técnico son los niveles de soporte y resistencia, las velas japonesas, las cifras que presagian una reversión de precios, etc.

La paradoja de la situación, en mi opinión, radica en lo siguiente: la mayoría de los métodos descritos se han generalizado tanto que, a pesar de la falta de evidencia sobre su eficacia, en realidad tienen la capacidad de influir en el comportamiento del mercado. Por lo tanto, incluso los escépticos que utilizan datos fundamentales deberían tener en cuenta estos conceptos simplemente porque muchos otros actores (“tecnólogos”) los tienen en cuenta. El análisis técnico puede funcionar bien en la historia, pero en la práctica casi nadie logra ganar dinero estable con su ayuda; es mucho más fácil hacerse rico publicando grandes cantidades de un libro sobre "cómo hacerse millonario mediante el análisis técnico". .

En este sentido destaca la teoría de Fibonacci, que también se utiliza para predecir precios en diferentes periodos. A sus seguidores se les suele llamar "vacilantes". Se distingue porque no apareció simultáneamente con el mercado, sino mucho antes, unos 800 años. Otra característica es que la teoría se refleja casi como un concepto mundial para describir todo y a todos, y el mercado es sólo un caso especial para su aplicación. La efectividad de la teoría y el período de su existencia le brindan tanto nuevos partidarios como nuevos intentos de crear la descripción menos controvertida y generalmente aceptada del comportamiento de los mercados sobre su base. Pero, lamentablemente, la teoría no ha avanzado más allá de las predicciones individuales exitosas del mercado, que pueden equipararse a la suerte.

La esencia de la teoría de Fibonacci.

Fibonacci vivió una larga vida, especialmente para su época, que dedicó a resolver una serie de problemas matemáticos, formulándolos en su voluminosa obra "El libro del ábaco" (principios del siglo XIII). Siempre estuvo interesado en el misticismo de los números; probablemente no fue menos brillante que Arquímedes o Euclides. Los problemas relacionados con las ecuaciones cuadráticas fueron planteados y parcialmente resueltos antes de Fibonacci, por ejemplo por el famoso Omar Khayyam, científico y poeta; sin embargo, Fibonacci formuló el problema de la reproducción de los conejos, cuyas conclusiones le aportaron algo que permitió que su nombre no se perdiera a lo largo de los siglos.

Brevemente, la tarea es la siguiente. Se colocó un par de conejos en un lugar cercado por todos lados por una pared, y cualquier par de conejos da a luz a otro par cada mes, a partir del segundo mes de su existencia. La reproducción de los conejos a lo largo del tiempo estará descrita por la secuencia: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, etc. Desde un punto de vista matemático, la secuencia resultó ser simplemente única, ya que tenía una serie de propiedades sobresalientes:

• la suma de dos números consecutivos cualesquiera es el siguiente número de la secuencia;

• la relación entre cada número de la secuencia, comenzando por el quinto, y el anterior es 1,618;

• la diferencia entre el cuadrado de cualquier número y el cuadrado de un número dos posiciones a la izquierda será el número de Fibonacci;

• la suma de los cuadrados de números adyacentes será el número de Fibonacci, que está dos posiciones después del mayor de los números cuadrados

De estos hallazgos, el segundo es el más interesante porque utiliza el número 1,618, conocido como la “proporción áurea”. Este número era conocido por los antiguos griegos, quienes lo utilizaron durante la construcción del Partenón (por cierto, según algunas fuentes, el Banco Central sirvió a los griegos). No menos interesante es que el número 1.618 se puede encontrar en la naturaleza tanto en escala micro como macro: desde las vueltas en espiral del caparazón de un caracol hasta las grandes espirales de las galaxias cósmicas. Las pirámides de Giza, creadas por los antiguos egipcios, también contenían durante su construcción varios parámetros de la serie de Fibonacci. Lo más agradable a la vista es un rectángulo, cuyo lado es 1.618 veces más grande que el otro; esta proporción fue utilizada por Leonardo da Vinci para sus pinturas y, en un sentido más cotidiano, a veces se usó al crear ventanas o puertas. Incluso una onda, como en la figura al principio del artículo, se puede representar como una espiral de Fibonacci.

En la naturaleza viva, la secuencia de Fibonacci aparece con no menos frecuencia: se puede encontrar en garras, dientes, girasoles, telarañas e incluso en el crecimiento de bacterias. Si se desea, la coherencia se encuentra en casi todo, incluido el rostro y el cuerpo humanos. Y, sin embargo, se cree que muchas de las afirmaciones que encuentran los números de Fibonacci en fenómenos naturales e históricos son incorrectas; este es un mito común que a menudo resulta ser un ajuste inexacto al resultado deseado.

Números de Fibonacci en los mercados financieros

Uno de los primeros que estuvo más estrechamente involucrado en la aplicación de los números de Fibonacci al mercado financiero fue R. Elliot. Su trabajo no fue en vano, ya que las descripciones de mercado que utilizan la teoría de Fibonacci a menudo se denominan "ondas de Elliott". El desarrollo de los mercados aquí se basó en el modelo de desarrollo humano a partir de superciclos con tres pasos hacia adelante y dos hacia atrás. El hecho de que la humanidad se esté desarrollando de forma no lineal es obvio para casi todos: el conocimiento del Antiguo Egipto y las enseñanzas atomistas de Demócrito se perdieron por completo en la Edad Media, es decir, después de unos 2000 años; El siglo XX generó tal horror e insignificancia de la vida humana que era difícil de imaginar incluso en la era de las Guerras Púnicas de los griegos. Sin embargo, incluso si aceptamos la teoría de los pasos y su número como verdad, el tamaño de cada paso sigue sin estar claro, lo que hace que las ondas de Elliott sean comparables al poder predictivo de cara y cruz. El punto de partida y el cálculo correcto del número de ondas fueron y aparentemente serán la principal debilidad de la teoría.

Sin embargo, la teoría tuvo éxitos locales. Bob Pretcher, a quien se puede considerar un alumno de Elliott, predijo correctamente el mercado alcista de principios de los años 1980 y vio 1987 como el punto de inflexión. Esto realmente sucedió, después de lo cual Bob obviamente se sintió como un genio; al menos a los ojos de los demás, ciertamente se convirtió en un gurú de las inversiones. La suscripción de Prechter al Elliott Wave Theorist creció a 20.000 ese año.sin embargo, disminuyó a principios de la década de 1990, cuando el futuro "pesimismo" previsto para el mercado estadounidense decidió retrasarse un poco. Sin embargo, funcionó para el mercado japonés, y varios partidarios de la teoría, que llegaron "tarde" a una ola, perdieron su capital o el capital de los clientes de sus empresas. Del mismo modo y con el mismo éxito, a menudo intentan aplicar la teoría al comercio en el mercado de divisas.

La teoría cubre una variedad de períodos de negociación, desde semanal, lo que la hace similar a las estrategias de análisis técnico estándar, hasta cálculos durante décadas, es decir. entra en el territorio de las predicciones fundamentales. Esto es posible variando el número de ondas. Las debilidades de la teoría mencionadas anteriormente permiten a sus seguidores hablar no de la inconsistencia de las ondas, sino de sus propios errores de cálculo entre ellas y de una definición incorrecta de la posición inicial. Es como un laberinto: incluso si tienes el mapa correcto, sólo podrás seguirlo si sabes exactamente dónde estás. De lo contrario la tarjeta no sirve de nada. En el caso de las ondas de Elliott, todo parece indicar que se duda no sólo de la exactitud de su ubicación, sino también de la exactitud del mapa como tal.

conclusiones

El desarrollo ondulatorio de la humanidad tiene una base real: en la Edad Media, las olas de inflación y deflación se alternaban, cuando las guerras dieron paso a una vida pacífica relativamente tranquila. La observación de la secuencia de Fibonacci en la naturaleza, al menos en algunos casos, tampoco suscita dudas. Por tanto, cada uno tiene derecho a dar su propia respuesta a la pregunta de quién es Dios: un matemático o un generador de números aleatorios. Mi opinión personal es que, aunque toda la historia humana y los mercados pueden representarse en el concepto de ola, nadie puede predecir la altura y la duración de cada ola.

Al mismo tiempo, 200 años de observación del mercado estadounidense y más de 100 años de otros mercados dejan claro que el mercado de valores está creciendo, atravesando varios períodos de crecimiento y estancamiento. Este hecho es suficiente para obtener ganancias a largo plazo en el mercado de valores, sin recurrir a teorías controvertidas y confiarles más capital del que debería estar dentro de los riesgos razonables.