Para empezar hay que decir que por lo general existen dos tipos de fracciones: fracciones ordinarias y fracciones decimales. Las fracciones ordinarias se escriben así:
Las fracciones decimales se escriben de manera diferente:

Las fracciones ordinarias constan de dos partes: arriba está el numerador, abajo está el denominador. El numerador y el denominador están separados por una línea de fracción. Así que recuerda:

Cualquier fracción es parte de un todo.. Generalmente tomado en su conjunto 1 (unidad). El denominador de una fracción muestra en cuántas partes se divide el todo ( 1 ), y el numerador es cuántas partes se tomaron. Si cortamos la tarta en 6 partes iguales (en matemáticas dicen Comparte ), entonces cada parte del bizcocho será igual a 1/6. Si Vasya comió 4 piezas, entonces comió 4/6.

Por otro lado, una barra oblicua no es más que un signo de división. Por tanto, una fracción es el cociente de dos números: el numerador y el denominador. En el texto de los problemas o en las recetas las fracciones suelen escribirse así: 2/3, 1/2, etc. Algunas fracciones tienen sus propios nombres, por ejemplo, 1/2 - "mitad", 1/3 - "tercero", 1/4 - "cuarto"
Ahora averigüemos qué tipos de fracciones ordinarias existen.

2 Tipos de fracciones ordinarias

Hay tres tipos de fracciones comunes: propias, impropias y mixtas:

fracción adecuada

Si el numerador es menor que el denominador, entonces dicha fracción se llama correcto, Por ejemplo: Una fracción propia siempre es menor que 1.

Fracción impropia

Si el numerador es mayor que el denominador o igual al denominador, dicha fracción se llama equivocado, Por ejemplo:

Una fracción impropia es mayor que uno (si el numerador es mayor que el denominador) o igual a uno (si el numerador es igual al denominador)

Fracción mixta

Si una fracción consta de un número entero (parte entera) y una fracción propia (parte fraccionaria), entonces dicha fracción se llama mezclado, Por ejemplo:

Una fracción mixta siempre es mayor que uno.

3 Conversiones de fracciones

En matemáticas, a menudo es necesario convertir fracciones ordinarias, es decir, una fracción mixta debe convertirse en una fracción impropia y viceversa. Esto es necesario para realizar determinadas operaciones, como la multiplicación y la división.

Entonces, cualquier fracción mixta se puede convertir en una fracción impropia. Para ello se multiplica la parte entera por el denominador y se suma el numerador de la parte fraccionaria. La cantidad resultante se toma como numerador y el denominador se deja igual, por ejemplo:

Cualquier fracción impropia se puede convertir en una fracción mixta. Para hacer esto, divida el numerador por el denominador (con resto). El número resultante será la parte entera y el resto será el numerador de la parte fraccionaria, por ejemplo:

Al mismo tiempo dicen: “Hemos aislado la parte entera de la fracción impropia”.

Una regla más para recordar: Cualquier número entero se puede representar como una fracción con denominador 1., Por ejemplo:

Hablemos de cómo comparar fracciones.

4 Comparación de fracciones

Al comparar fracciones, puede haber varias opciones: es fácil comparar fracciones con los mismos denominadores, pero es mucho más difícil si los denominadores son diferentes. Y también hay una comparación de fracciones mixtas. Pero no te preocupes, ahora veremos cada opción en detalle y aprenderemos a comparar fracciones.

Comparar fracciones con el mismo denominador

De dos fracciones con el mismo denominador pero diferente numerador, la fracción con el numerador mayor es mayor, por ejemplo:

Comparar fracciones con los mismos numeradores

De dos fracciones con los mismos numeradores pero diferentes denominadores, la fracción con el denominador menor es mayor, por ejemplo:

Comparar fracciones mixtas e impropias con fracciones propias

Una fracción impropia o mixta siempre es mayor que una fracción propia, por ejemplo:

Comparando dos fracciones mixtas

Al comparar dos fracciones mixtas, la fracción cuya parte entera es mayor es mayor, por ejemplo:

Si las partes enteras de las fracciones mixtas son iguales, mayor será la fracción cuya parte fraccionaria sea mayor, por ejemplo:

Comparar fracciones con diferentes numeradores y denominadores

No puedes comparar fracciones con diferentes numeradores y denominadores sin convertirlas. Primero hay que reducir las fracciones al mismo denominador y luego comparar sus numeradores. Cuanto mayor es la fracción cuyo numerador es mayor. Pero veremos cómo reducir fracciones al mismo denominador en las dos secciones siguientes del artículo. Primero veremos la propiedad básica de las fracciones y las fracciones reductoras, y luego reduciremos directamente las fracciones al mismo denominador.

5 La propiedad principal de una fracción. Reducir fracciones. El concepto de GCD.

Recordar: Solo puedes sumar, restar y comparar fracciones que tengan el mismo denominador.. Si los denominadores son diferentes, primero debes llevar las fracciones al mismo denominador, es decir, transformar una de las fracciones para que su denominador sea el mismo que el de la segunda fracción.

Las fracciones tienen una propiedad importante, también llamada la propiedad principal de una fracción:

Si tanto el numerador como el denominador de una fracción se multiplican o dividen por el mismo número, entonces el valor de la fracción no cambia:

Gracias a esta propiedad podemos reducir fracciones:

Reducir una fracción es dividir tanto el numerador como el denominador por el mismo número.(ver ejemplo justo arriba). Cuando reducimos una fracción, podemos escribir nuestras acciones así:

Más a menudo en los cuadernos la fracción se abrevia de la siguiente manera:

Pero recuerda: sólo puedes reducir factores. Si el numerador o denominador contiene una suma o una diferencia, no se pueden reducir los términos. Ejemplo:

Primero debes convertir la suma a un multiplicador:

A veces, cuando se trabaja con números grandes, para reducir una fracción es conveniente encontrar máximo común divisor del numerador y denominador (MCD)

Máximo divisor común (MCD) varios números es el mayor número natural por el cual estos números son divisibles sin resto.

Para encontrar el mcd de dos números (por ejemplo, el numerador y el denominador de una fracción), debes factorizar ambos números en factores primos, marcar los mismos factores en ambas factorizaciones y multiplicar estos factores. El producto resultante será el MCD. Por ejemplo, necesitamos reducir una fracción:

Encontremos el mcd de los números 96 y 36:

MCD nos muestra que tanto el numerador como el denominador tienen factor 12 y podemos reducir la fracción fácilmente.

A veces, para llevar fracciones al mismo denominador, basta con reducir una de las fracciones. Pero más a menudo es necesario seleccionar factores adicionales para ambas fracciones. Ahora veremos cómo se hace esto. Entonces:

6 Cómo reducir fracciones al mismo denominador. Mínimo común múltiplo (MCM).

Cuando reducimos fracciones al mismo denominador, seleccionamos un número para el denominador que sería divisible tanto por el primer como por el segundo denominador (es decir, sería un múltiplo de ambos denominadores, en términos matemáticos). Y es deseable que este número sea lo más pequeño posible, es más conveniente contarlo. Por tanto, debemos encontrar el MCM de ambos denominadores.

Mínimo común múltiplo de dos números (MCM) es el número natural más pequeño que es divisible por ambos números sin resto. A veces, el MCM se puede encontrar oralmente, pero con mayor frecuencia, especialmente cuando se trabaja con números grandes, es necesario encontrar el MCM por escrito, utilizando el siguiente algoritmo:

Para encontrar el MCM de varios números, necesitas:

1. Factoriza estos números en factores primos
2. Toma la expansión más grande y escribe estos números como un producto.
3. Selecciona en otras descomposiciones los números que no aparecen en la descomposición más grande (o aparecen menos veces en ella), y súmalos al producto.
4. Multiplica todos los números del producto, este será el MCM.

Por ejemplo, encontremos el MCM de los números 28 y 21:

Sin embargo, volvamos a nuestras fracciones. Después de haber encontrado o escrito calculado el MCM de ambos denominadores, debemos multiplicar los numeradores de estas fracciones por multiplicadores adicionales. Puedes encontrarlos dividiendo el MCM por el denominador de la fracción correspondiente, por ejemplo:

Por lo tanto, redujimos nuestras fracciones al mismo denominador: 15.

7 Sumar y restar fracciones

Sumar y restar fracciones con denominadores iguales

Para sumar fracciones con los mismos denominadores, debes sumar sus numeradores, pero dejar el denominador igual, por ejemplo:

Para restar fracciones con los mismos denominadores, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador igual, por ejemplo:

Sumar y restar fracciones mixtas con denominadores iguales

Para sumar fracciones mixtas, debe sumar por separado sus partes enteras, luego sumar sus partes fraccionarias y escribir el resultado como una fracción mixta:

Si al sumar partes fraccionarias obtienes una fracción impropia, selecciona la parte entera y súmala a la parte entera, por ejemplo:

La resta se realiza de forma similar: a la parte entera se le resta la parte entera y a la parte fraccionaria se le resta la parte fraccionaria:

Si la parte fraccionaria del sustraendo es mayor que la parte fraccionaria del minuendo, “tomamos prestado” uno de la parte entera, convirtiendo el minuendo en una fracción impropia, y luego procedemos como de costumbre:

Asimismo restar una fracción de un número entero:

Cómo sumar un número entero y una fracción

Para sumar un número entero y una fracción, simplemente suma ese número antes de la fracción para crear una fracción mixta, por ejemplo:

Si nosotros suma de un numero entero y una fraccion mixta, sumamos este número a la parte entera de la fracción, por ejemplo:

Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores.

Para sumar o restar fracciones con diferentes denominadores, primero debes llevarlas al mismo denominador, y luego proceder como cuando sumas fracciones con los mismos denominadores (suma los numeradores):

A la hora de restar procedemos de la misma forma:

Si trabajamos con fracciones mixtas, reducimos sus partes fraccionarias al mismo denominador y luego restamos como siempre: la parte entera de la parte entera, y la parte fraccionaria de la parte fraccionaria:

8 Multiplicar y dividir fracciones.

Multiplicar y dividir fracciones es mucho más fácil que sumar y restar porque no es necesario reducirlas al mismo denominador. Recuerda las reglas simples para multiplicar y dividir fracciones:

Antes de multiplicar números en el numerador y denominador, es recomendable reducir la fracción, es decir, deshacerse de los mismos factores en el numerador y denominador, como en nuestro ejemplo.

Para dividir una fracción por un número natural, debes multiplicar el denominador por este número y dejar el numerador sin cambios:

Por ejemplo:

Dividir una fracción por una fracción

Para dividir una fracción por otra, debes multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor (la fracción recíproca).

Si invertimos la fracción, es decir, intercambiamos el numerador y el denominador, obtenemos una fracción recíproca. El producto de una fracción y su inversa da uno. En matemáticas, estos números se llaman recíprocos:

Por ejemplo, números - son mutuamente inversas, ya que

Entonces, volvamos a dividir una fracción por una fracción:

Para dividir una fracción por otra, debes multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor.:

Por ejemplo:

Al dividir fracciones mixtas, al igual que al multiplicar, primero debes convertirlas a fracciones impropias:

Al multiplicar y dividir fracciones por números naturales enteros, también puedes representar estos números como fracciones con denominador 1 .

Y cuando dividir un número entero por una fracción representar este número como una fracción con un denominador 1 :

Matemáticas "fraccionarias" para niños

Acordemos de inmediato que una fracción es parte de un todo, menos de uno. ¿En cuántas partes dividiremos el todo? Y así estamos de acuerdo. ¿Qué consideraremos como una unidad? Lo mismo que estamos de acuerdo. Son muy complacientes estas fracciones. Y también debes recordar una cosa: el número en cuántas partes decidimos dividir el todo es el denominador, cuántas de estas partes tomamos es el numerador.

Por ejemplo, aquí hay una historia. Hay 3 manzanas en el pasto, el erizo tomó solo 2. Para una (unidad) entera tomaremos todas las manzanas, toda la cosecha. Pero tenemos 3 de ellos, lo que significa que nuestra cosecha se divide en 3 partes. 3 es el denominador. La cosecha completa (unidad) es 3/3 y cada manzana es 1/3 de la cosecha. Como el erizo tomó 2 manzanas, ¡significa que tomó 2/3 de la cosecha!

O puedes llevarte Lego, un set de construcción tan querido por muchos niños. Hace tiempo que notamos que todos sus elementos son de diferente tamaño, ¿verdad? Y en cada parte hay un número diferente de puntos “espinillas”. Contemos: aquí hay uno, dos, cuatro, seis e incluso ocho.

Consideremos un “ladrillo” Lego con ocho puntos en su conjunto (unidad). Primero, comparémoslo con otros. ¿Cuántas piezas de Lego con 4 puntos necesitamos tomar para hacer nuestra unidad “ladrillo”? Así es, dos. Esto significa que una parte con 4 puntos es la mitad de nuestra “unidad”. ¿Cuántas partes con dos puntas necesitas tomar para obtener el todo? Así es, cuatro. Por lo tanto, uno de esos detalles es 1/4. Y una parte con un punto es 1/8, porque necesitarás hasta 8 de esas partes para formar un todo. Ahora el problema es más complicado: tenemos un elemento con seis puntos. Tiene capacidad para 3 “cuartos”, y si le agregas uno más, obtienes un entero (unidad). Entonces, aquí está el primer ejemplo: 3/4+1/4=4/4 o 1 (si el numerador y el denominador son iguales, ¡entonces este es uno!)

Éste no es ni mucho menos el único experimento que se puede realizar con Legos. Puedes estar de acuerdo en muchas cosas con fracciones. ¿Y si contamos lo mismo no en cuartos, sino en octavos? ¿Y nuestro denominador será 8? Miremos la imagen: la unidad es un “ladrillo” de ocho puntas. 1/2: esto resulta ser 4/8 y 1/4 = 2/8. Y esta es una historia sobre cómo se pueden reducir fracciones. ¡Pero este tema realmente puede esperar un poco!

Los ejemplos con fracciones son uno de los elementos básicos de las matemáticas. Hay muchos tipos diferentes de ecuaciones con fracciones. A continuación se muestran instrucciones detalladas para resolver ejemplos de este tipo.

Cómo resolver ejemplos con fracciones - reglas generales

Para resolver ejemplos con fracciones de cualquier tipo, ya sea suma, resta, multiplicación o división, es necesario conocer las reglas básicas:

• Para sumar expresiones fraccionarias con el mismo denominador (el denominador es el número en la parte inferior de la fracción, el numerador en la parte superior), debes sumar sus numeradores y dejar el denominador igual.
• Para restar una segunda expresión fraccionaria (con el mismo denominador) de una fracción, debes restar sus numeradores y dejar el denominador igual.
• Para sumar o restar fracciones con diferentes denominadores, necesitas encontrar el mínimo común denominador.
• Para encontrar un producto fraccionario, debes multiplicar los numeradores y denominadores y, si es posible, reducir.
• Para dividir una fracción por una fracción, se multiplica la primera fracción por la segunda fracción al revés.

Cómo resolver ejemplos con fracciones - práctica

Regla 1, ejemplo 1:

Calcula 3/4 +1/4.

De acuerdo con la Regla 1, si dos (o más) fracciones tienen el mismo denominador, simplemente sumas sus numeradores. Obtenemos: 3/4 + 1/4 = 4/4. Si una fracción tiene el mismo numerador y denominador, la fracción será igual a 1.

Respuesta: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Regla 2, ejemplo 1:

Calcular: 3/4 – 1/4

Usando la regla número 2, para resolver esta ecuación necesitas restar 1 de 3 y dejar el denominador igual. Obtenemos 2/4. Como se pueden reducir dos 2 y 4, reducimos y obtenemos 1/2.

Respuesta: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Regla 3, Ejemplo 1

Calcular: 3/4 + 1/6

Solución: Usando la tercera regla, encontramos el mínimo común denominador. El mínimo común denominador es el número que es divisible por los denominadores de todas las expresiones fraccionarias del ejemplo. Por lo tanto, necesitamos encontrar el número mínimo que será divisible por 4 y 6. Este número es 12. Escribimos 12 como denominador Dividimos 12 por el denominador de la primera fracción, obtenemos 3, multiplicamos por 3, escribimos. 3 en el numerador *3 y signo +. Dividimos 12 por el denominador de la segunda fracción, obtenemos 2, multiplicamos 2 por 1, escribimos 2*1 en el numerador. Entonces, obtenemos una nueva fracción con un denominador igual a 12 y un numerador igual a 3*3+2*1=11. 11/12.

Respuesta: 11/12

Regla 3, Ejemplo 2:

Calcula 3/4 – 1/6. Este ejemplo es muy similar al anterior. Hacemos todos los mismos pasos, pero en el numerador en lugar del signo +, escribimos un signo menos. Obtenemos: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Respuesta: 7/12

Regla 4, Ejemplo 1:

Calcular: 3/4 * 1/4

Usando la cuarta regla, multiplicamos el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda. 3*1/4*4 = 3/16.

Respuesta: 3/16

Regla 4, Ejemplo 2:

Calcula 2/5 * 10/4.

Esta fracción se puede reducir. En el caso de un producto, se cancelan el numerador de la primera fracción y el denominador de la segunda y el numerador de la segunda fracción y el denominador de la primera.

2 cancela de 4. 10 cancela de 5. Obtenemos 1 * 2/2 = 1*1 = 1.

Respuesta: 2/5 * 10/4 = 1

Regla 5, Ejemplo 1:

Calcular: 3/4: 5/6

Usando la quinta regla, obtenemos: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Reducimos la fracción según el principio del ejemplo anterior y obtenemos 9/10.

Respuesta: 9/10.

Cómo resolver ejemplos con fracciones - ecuaciones fraccionarias

Las ecuaciones fraccionarias son ejemplos en los que el denominador contiene una incógnita. Para resolver dicha ecuación, es necesario utilizar ciertas reglas.

Veamos un ejemplo:

Resuelve la ecuación 15/3x+5 = 3

Recordemos que no se puede dividir por cero, es decir el valor del denominador no debe ser cero. Al resolver este tipo de ejemplos, esto debe indicarse. Para ello existe un OA (rango de valores permitidos).

Entonces 3x+5 ≠ 0.
Por tanto: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

En x = 5/3 la ecuación simplemente no tiene solución.

Habiendo especificado la ODZ, la mejor manera de resolver esta ecuación es deshacerse de las fracciones. Para ello, primero presentamos todos los valores no fraccionarios como una fracción, en este caso el número 3. Obtenemos: 15/(3x+5) = 3/1. Para deshacerte de las fracciones necesitas multiplicar cada una de ellas por el mínimo común denominador. En este caso será (3x+5)*1. Secuenciación:

1. Multiplica 15/(3x+5) por (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Abra los corchetes: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. Hacemos lo mismo con el lado derecho de la ecuación: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Igualar los lados izquierdo y derecho: 45x + 75 = 9x +15
5. Mueva las X a la izquierda, los números a la derecha: 36x = – 50
6. Encuentre x: x = -50/36.
7. Reducimos: -50/36 = -25/18

Respuesta: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Cómo resolver ejemplos con fracciones - desigualdades fraccionarias

Las desigualdades fraccionarias del tipo (3x-5)/(2-x)≥0 se resuelven utilizando el eje numérico. Veamos este ejemplo.

Secuenciación:

• Igualamos el numerador y denominador a cero: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 =>x=2
• Dibujamos un eje numérico, escribiendo en él los valores resultantes.
• Dibuja un círculo debajo del valor. Hay dos tipos de círculos: llenos y vacíos. Un círculo relleno significa que el valor dado está dentro del rango de solución. Un círculo vacío indica que este valor no está incluido en el rango de solución.
• Como el denominador no puede ser igual a cero, habrá un círculo vacío debajo del segundo.

• Para determinar los signos, sustituimos en la ecuación cualquier número mayor que dos, por ejemplo 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. el valor es negativo, lo que significa que escribimos un menos encima del área después de los dos. Luego sustituya X por cualquier valor del intervalo de 5/3 a 2, por ejemplo 1. El valor vuelve a ser negativo. Escribimos un menos. Repetimos lo mismo con la zona situada hasta 5/3. Sustituimos cualquier número menor que 5/3, por ejemplo 1. Nuevamente, menos.

• Como nos interesan los valores de x para los cuales la expresión será mayor o igual a 0, y no existen tales valores (hay menos en todas partes), esta desigualdad no tiene solución, es decir, x = Ø (un conjunto vacío).

Respuesta: x = Ø

Parte de una unidad o varias partes de ella se llama fracción simple o común. El número de partes iguales en que se divide una unidad se llama denominador y el número de partes tomadas se llama numerador. La fracción se escribe como:

En este caso, a es el numerador y b es el denominador.

Si el numerador es menor que el denominador, entonces la fracción es menor que 1 y se llama fracción propia. Si el numerador es mayor que el denominador, entonces la fracción es mayor que 1, entonces la fracción se llama fracción impropia.

Si el numerador y el denominador de una fracción son iguales, entonces la fracción es igual.

1. Si el numerador se puede dividir por el denominador, entonces esta fracción es igual al cociente de la división:

Si la división se realiza con resto, entonces esta fracción impropia se puede representar mediante un número mixto, por ejemplo:

Entonces 9 es un cociente incompleto (la parte entera de un número mixto),
1 - resto (numerador de la parte fraccionaria),
5 es el denominador.

Para convertir un número mixto en una fracción, debes multiplicar la parte entera del número mixto por el denominador y sumar el numerador de la parte fraccionaria.

El resultado resultante será el numerador de la fracción común, pero el denominador seguirá siendo el mismo.

Operaciones con fracciones

Expansión de fracciones. El valor de una fracción no cambia si multiplicas su numerador y denominador por el mismo número distinto de cero.
Por ejemplo:

Reducir una fracción. El valor de una fracción no cambia si divides su numerador y denominador por el mismo número distinto de cero.
Por ejemplo:

Comparar fracciones. De dos fracciones con iguales numeradores, aquella cuyo denominador es menor es mayor:

De dos fracciones con el mismo denominador, es mayor aquella cuyo numerador es mayor:

Para comparar fracciones cuyos numeradores y denominadores son diferentes, es necesario expandirlas, es decir, llevarlas a un denominador común. Consideremos, por ejemplo, las siguientes fracciones:

Sumar y restar fracciones. Si los denominadores de las fracciones son iguales, entonces para sumar las fracciones debes sumar sus numeradores y para restar las fracciones debes restar sus numeradores. La suma o diferencia resultante será el numerador del resultado, pero el denominador seguirá siendo el mismo. Si los denominadores de las fracciones son diferentes, primero debes reducir las fracciones a un denominador común. Al sumar números mixtos, sus partes enteras y fraccionarias se suman por separado. Al restar números mixtos, primero debe convertirlos a la forma de fracciones impropias, luego restar uno del otro y luego convertir el resultado nuevamente, si es necesario, a la forma de un número mixto.

Multiplicar fracciones. Para multiplicar fracciones, debes multiplicar sus numeradores y denominadores por separado y dividir el primer producto por el segundo.

División de fracciones. Para dividir un número por una fracción, debes multiplicar este número por la fracción recíproca.

Decimal- este es el resultado de dividir uno entre diez, cien, mil, etc. partes. Primero se escribe la parte entera del número, luego se coloca un punto decimal a la derecha. El primer dígito después del punto decimal significa el número de décimas, el segundo, el número de centésimas, el tercero, el número de milésimas, etc. Los números ubicados después del punto decimal se llaman decimales.

Por ejemplo:

Propiedades de los decimales

Propiedades:

• La fracción decimal no cambia si sumas ceros a la derecha: 4,5 = 4,5000.
• El decimal no cambia si eliminas los ceros al final del decimal: 0,0560000 = 0,056.
• El decimal aumenta en 10, 100, 1000, etc. veces, si mueves el punto decimal uno, dos, tres, etc. posiciones a la derecha: 4,5 45 (la fracción ha aumentado 10 veces).
• Las fracciones decimales se reducen en 10, 100, 1000, etc. veces, si mueves el punto decimal uno, dos, tres, etc. posiciones a la izquierda: 4,5 0,45 (la fracción ha disminuido 10 veces).

Una fracción decimal periódica contiene un grupo de dígitos que se repite infinitamente llamado período: 0,321321321321…=0,(321)

Operaciones con decimales

Sumar y restar decimales funciona de la misma manera que sumar y restar números enteros, solo necesitas escribir los decimales correspondientes uno debajo del otro.
Por ejemplo:

La multiplicación de fracciones decimales se realiza en varias etapas:

• Multiplicamos decimales como números enteros, ignorando el punto decimal.
• Se aplica la regla: el número de decimales en el producto es igual a la suma de los decimales en todos los factores.

Por ejemplo:

La suma de los números de decimales en los factores es igual a: 2+1=3. Ahora necesitas contar 3 dígitos desde el final del número resultante y poner un punto decimal: 0,675.

División de decimales. Dividir una fracción decimal por un número entero: si el dividendo es menor que el divisor, entonces debes escribir un cero en la parte entera del cociente y poner un punto decimal después. Luego, sin tener en cuenta el punto decimal del dividendo, suma el siguiente dígito de la parte fraccionaria a su parte entera y nuevamente compara la parte entera resultante del dividendo con el divisor. Si el nuevo número vuelve a ser menor que el divisor, se debe repetir la operación. Este proceso se repite hasta que el dividendo resultante sea mayor que el divisor. Después de esto, la división se realiza como para números enteros. Si el dividendo es mayor o igual al divisor, primero divide su parte entera, escribe el resultado de la división en el cociente y pon un punto decimal. Después de esto, la división continúa como en el caso de los números enteros.

Dividir una fracción decimal por otra: primero, los puntos decimales del dividendo y el divisor se transfieren al número de decimales del divisor, es decir, convertimos el divisor en un número entero y se realizan las acciones descritas anteriormente.

Para convertir una fracción decimal en una fracción ordinaria, es necesario tomar el número después del punto decimal como numerador y tomar la k-ésima potencia de diez como denominador (k es el número de decimales). La parte entera distinta de cero se almacena en una fracción ordinaria; se omite la parte entera cero.
Por ejemplo:

Para convertir una fracción a decimal, debes dividir el numerador por el denominador de acuerdo con las reglas de división.

Un porcentaje es una centésima de unidad, por ejemplo: 5% significa 0,05. Una razón es el cociente de un número dividido por otro. La proporción es la igualdad de dos razones.

Por ejemplo:

La principal propiedad de la proporción: el producto de los términos extremos de la proporción es igual al producto de sus términos medios, es decir, 5x30 = 6x25. Dos cantidades mutuamente dependientes se denominan proporcionales si la relación entre sus cantidades permanece sin cambios (coeficiente de proporcionalidad).

Así, se han identificado las siguientes operaciones aritméticas.
Por ejemplo:

El conjunto de los números racionales incluye los números positivos y negativos (enteros y fraccionarios) y el cero. Una definición más precisa de números racionales, aceptada en matemáticas, es la siguiente: un número se llama racional si puede representarse como una fracción ordinaria irreducible de la forma:, donde a y b son números enteros.

Para un número negativo, el valor absoluto (módulo) es un número positivo que se obtiene cambiando su signo de “-” a “+”; para un número positivo y cero, el número mismo. Para indicar el módulo de un número se utilizan dos rectas, dentro de las cuales se escribe este número, por ejemplo: |–5|=5.

Propiedades del valor absoluto

Sea el módulo de un número dado , para lo cual se cumplen las siguientes propiedades:

Un monomio es el producto de dos o más factores, cada uno de los cuales es un número, una letra o una potencia de una letra: 3 x a x b. La mayoría de las veces se hace referencia al coeficiente simplemente como un multiplicador numérico. Los monomios se llaman similares si son iguales o difieren sólo en coeficientes. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de todas sus letras. Si entre la suma de monomios hay otros similares, entonces la suma se puede reducir a una forma más simple: 3 x a x b + 6 x a = 3 x a x (b + 2). Esta operación se llama sacar términos similares o sacarlos de paréntesis.

Un polinomio es una suma algebraica de monomios. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios incluidos en el polinomio dado.

Existen las siguientes fórmulas de multiplicación abreviadas:

Métodos de factorización:

Una fracción algebraica es una expresión de la forma , donde A y B pueden ser un número, un monomio o un polinomio.

Si dos expresiones (numéricas y alfabéticas) están conectadas por el signo "=", se dice que forman una igualdad. Cualquier igualdad verdadera que sea válida para todos los valores numéricos permitidos de las letras incluidas en ella se llama identidad.

Una ecuación es una igualdad literal que es válida para ciertos valores de las letras incluidas en ella. Estas letras se llaman incógnitas (variables) y sus valores, en los que esta ecuación se convierte en una identidad, se llaman raíces de la ecuación.

Resolver una ecuación significa encontrar todas sus raíces. Dos o más ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas raíces.

• cero era la raíz de la ecuación;
• la ecuación tenía sólo un número finito de raíces.

Tipos básicos de ecuaciones algebraicas:

Para la ecuación lineal ax + b = 0:

• si a x 0, hay una única raíz x = -b/a;
• si a = 0, b ≠ 0, no hay raíces;
• si a = 0, b = 0, la raíz es cualquier número real.

Ecuación xn = a, n N:

• si n es un número impar, para cualquier a tiene una raíz real igual a a/n;
• Si n es un número par, entonces para un 0, entonces tiene dos raíces.

Transformaciones de identidad básicas: sustitución de una expresión por otra idénticamente igual a ella; transferir términos de la ecuación de un lado al otro con signos opuestos; multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por la misma expresión (número) distinta de cero.

Una ecuación lineal con una incógnita es una ecuación de la forma: ax+b=0, donde a y b son números conocidos y x es una cantidad desconocida.

Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tienen la forma:

Donde a, b, c, d, e, f son números dados; x, y son incógnitas.

Los números a, b, c, d son coeficientes de incógnitas; e, f son términos libres. La solución a este sistema de ecuaciones se puede encontrar mediante dos métodos principales: el método de sustitución: de una ecuación expresamos una de las incógnitas mediante coeficientes y otra incógnita, y luego la sustituimos en la segunda ecuación resolviendo la última ecuación; encontramos una incógnita, luego sustituimos el valor encontrado en la primera ecuación y encontramos la segunda incógnita; un método para sumar o restar una ecuación de otra.

Operaciones con raíces:

Una raíz aritmética de enésimo grado de un número no negativo a es un número no negativo cuyo enésimo grado es igual a a. Una raíz algebraica de enésimo grado de un número dado es el conjunto de todas las raíces de este número.

Los números irracionales, a diferencia de los números racionales, no se pueden representar como una fracción irreducible ordinaria de la forma m/n, donde myn son números enteros. Estos son números de un nuevo tipo que se pueden calcular con cualquier precisión, pero que no se pueden reemplazar por un número racional. Pueden aparecer como resultado de mediciones geométricas, por ejemplo: la relación entre la longitud de la diagonal de un cuadrado y la longitud de su lado es igual.

Una ecuación cuadrática es una ecuación algebraica de segundo grado ax2+bx+c=0, donde a, b, c reciben coeficientes numéricos o alfabéticos, x es una incógnita. Si dividimos todos los términos de esta ecuación por a, el resultado es x2+px+q=0 - la ecuación reducida p=b/a, q=c/a. Sus raíces se encuentran mediante la fórmula:

Si b2-4ac>0, entonces hay dos raíces diferentes, b2-4ac=0, entonces hay dos raíces iguales; b2-4ac Ecuaciones que contienen módulos

Tipos básicos de ecuaciones que contienen módulos:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, donde f(x), g(x), fk(x), gk(x) son funciones dadas.

Vida 0,123 4 (\displaystyle 0(,)1234).

En notación de una fracción de la forma. X/Y (\displaystyle X/Y) o X Y (\displaystyle (\frac (X)(Y))) el número antes o encima de la línea se llama numerador, y el número después o debajo de la línea es denominador. El primero desempeña el papel de dividendo, el segundo, el de divisor.

Tipos de fracciones

fracciones comunes

Común(o simple) fracción: escribir un número racional en la forma ± m norte (\displaystyle \pm (\frac (m)(n))) o ± m / n , (\displaystyle \pm m/n,) Dónde norte ≠ 0. (\displaystyle n\neq 0.) Una barra horizontal o diagonal indica un signo de división, lo que da como resultado un cociente. El dividendo se llama numerador fracciones y el divisor es denominador.

Notación para fracciones comunes

Existen varios tipos de escritura de fracciones ordinarias en forma impresa:

Fracciones propias e impropias

Correcto Una fracción cuyo numerador es menor que su denominador se llama fracción. Una fracción que no es propia se llama equivocado, y representa un número racional con un módulo mayor o igual a uno.

Por ejemplo, fracciones 3 5 (\displaystyle (\frac (3)(5))), 7 8 (\displaystyle (\frac (7)(8))) y son fracciones propias, mientras que 8 3 (\displaystyle (\frac (8)(3))), 9 5 (\displaystyle (\frac (9)(5))), 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))) Y 1 1 (\displaystyle (\frac (1)(1)))- fracciones impropias. Cualquier número entero distinto de cero se puede representar como una fracción impropia con denominador 1.

fracciones mixtas

Una fracción escrita como un número entero y una fracción propia se llama fracción mixta y se entiende como la suma de este número y una fracción. Cualquier número racional se puede escribir como fracción mixta. A diferencia de una fracción mixta, una fracción que contiene sólo un numerador y un denominador se llama simple.

Por ejemplo, 2 3 7 = 2 + 3 7 = 14 7 + 3 7 = 17 7 (\displaystyle 2(\frac (3)(7))=2+(\frac (3)(7))=(\frac (14 )(7))+(\frac (3)(7))=(\frac (17)(7))). En la literatura matemática estricta, prefieren no usar tal notación debido a la similitud de la notación para una fracción mixta con la notación para el producto de un número entero por una fracción, así como debido a la notación más engorrosa y los cálculos menos convenientes. .

fracciones compuestas

Una fracción de varios pisos o compuesta es una expresión que contiene varias líneas horizontales (o, menos comúnmente, oblicuas):

decimales

Un decimal es una representación posicional de una fracción. Se parece a esto:

Ejemplo: 3,141 5926 (\displaystyle 3(,)1415926).

La parte del registro que viene antes del punto decimal posicional es la parte entera del número (fracción), y la parte que viene después del punto decimal es la parte fraccionaria. Cualquier fracción ordinaria se puede convertir a decimal, que en este caso tiene un número finito de decimales o es una fracción periódica.

En términos generales, para escribir un número posicionalmente, puedes utilizar no solo el sistema numérico decimal, sino también otros (incluidos algunos específicos, como Fibonacci).

El significado de una fracción y la propiedad principal de una fracción.

Una fracción es solo una representación de un número. Un mismo número puede corresponder a distintas fracciones, tanto ordinarias como decimales.

Operaciones con fracciones

Esta sección cubre operaciones con fracciones ordinarias. Para operaciones con fracciones decimales, consulte Fracción decimal.

Reducción a un denominador común

Para comparar, sumar y restar fracciones, se deben convertir ( traer) a una forma con el mismo denominador. Sean dos fracciones: a b (\displaystyle (\frac (a)(b))) Y c d (\displaystyle (\frac (c)(d))). Procedimiento:

Después de esto, los denominadores de ambas fracciones coinciden (igual METRO). En lugar del mínimo común múltiplo, en casos simples podemos tomar como METRO cualquier otro múltiplo común, como el producto de denominadores. Para ver un ejemplo, consulte la sección Comparación a continuación.

Comparación

Para comparar dos fracciones comunes, debes llevarlas a un denominador común y comparar los numeradores de las fracciones resultantes. Una fracción con un numerador mayor será mayor.

Ejemplo. Comparemos 3 4 (\displaystyle (\frac (3)(4))) Y 4 5 (\displaystyle (\frac (4)(5))). MCM(4, 5) = 20. Reducimos las fracciones al denominador 20.

Por eso, 3 4 < 4 5 {\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}

Adición y sustracción

Para sumar dos fracciones ordinarias, debes reducirlas a un denominador común. Luego suma los numeradores y deja el denominador sin cambios:

El MCM de los denominadores (aquí 2 y 3) es igual a 6. Damos la fracción 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) al denominador 6, para ello se debe multiplicar el numerador y el denominador por 3.
Sucedió 3 6 (\displaystyle (\frac (3)(6))). damos la fraccion 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))) al mismo denominador, para ello se debe multiplicar el numerador y el denominador por 2. Resultó 2 6 (\displaystyle (\frac (2)(6))).
Para obtener la diferencia entre fracciones, también es necesario llevarlas a un denominador común y luego restar los numeradores, dejando el denominador sin cambios:

El MCM de los denominadores (aquí 2 y 4) es igual a 4. Presentamos la fracción 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) al denominador 4, para esto necesitas multiplicar el numerador y el denominador por 2. Obtenemos 2 4 (\displaystyle (\frac (2)(4))).

Multiplicación y división

Para multiplicar dos fracciones ordinarias, debes multiplicar sus numeradores y denominadores:

En particular, para multiplicar una fracción por un número natural, debes multiplicar el numerador por el número y dejar el denominador igual:

En general, es posible que el numerador y el denominador de la fracción resultante no sean coprimos y es posible que sea necesario reducir la fracción, por ejemplo:

Para dividir una fracción común por otra, debes multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda:

Por ejemplo:

Convertir entre diferentes formatos de grabación

Para convertir una fracción a decimal, divide el numerador por el denominador. El resultado puede tener un número finito de decimales, pero también puede ser una fracción periódica infinita. Ejemplos:

Para convertir un decimal en una fracción común, escribe la parte fraccionaria como un número natural dividido por la potencia apropiada de 10. Luego, la parte entera con signo se suma al resultado, formando una fracción mixta. Ejemplo:

Historia y etimología del término.

término ruso fracción, como sus análogos en otros idiomas, proviene de